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  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Partie 1. Value-at-Risk Intoduction à la Value-at-Risk Christophe Hurlin, Université d’ Orléans, Laboratoire d’ Economie d’ Orléans (UMR CNRS 6221) Master Econométrie et Statistique Appliquée (ESA), Université d’ Orléans Septembre 2008 Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Introduction Introduction Qu’ ce que la VaR ? est Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qu’ ce que la VaR ? est Un bref aperçu historique : La notion de Value-at-Risk (VaR) est apparue pour la première fois dans le secteur de l’ assurance. A la …n des années 1980, la banque Bankers Trust fut l’ une des premières institutions à utiliser cette notion sur les marchés …nanciers aux Etats-Unis. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qu’ ce que la VaR ? est Le terme VaR est apparu pour la première fois dans une publication grand public en juillet 1993 dans un rapport d’ une réunion du G-30 Mais c’ principalement la banque JP Morgan qui, dans les est années 90, a popularisé ce concept notamment grâce à son système RiskMetrics (1994). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qu’ ce que la VaR ? est Fact La Value-at-Risk est devenue, en moins d’ une dizaine d’ années, une mesure de référence du risque sur les marchés …nanciers, consacrée notamment par la réglementation prudentielle dé…nie dans le cadre des accords de Bâle II. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qu’ ce que la VaR ? est De…nition (Value-at-Risk) De façon générale, la Value-at-Risk correspond au montant des pertes qui ne devraient pas être dépassées pour un niveau de con…ance donné sur un horizon temporel donné (Jorion, 2007) Jorion, P. (2007), Value-at-Risk, Third edition, McGraw-Hill. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qu’ ce que la VaR ? est La Value-at-Risk correspond à une perte maximale potentielle qui ne devrait être atteinte qu’ avec une probabilité donnée sur un horizon temporel donné Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qu’ ce que la VaR ? est De…nition (Value-at-Risk) VaR is an estimate of how much a certain portfolio can lose within a given time period, for a given con…dence level (Engle et Manganelli, 2004). Engle, R. F., and Manganelli, S. (2004), ”CAViaR : Conditional Autoregressive Value-at-Risk by regression quantiles”, Journal of Business and Economic Statistics, 22, pp. 367-381. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qu’ ce que la VaR ? est Example (Value-at-Risk) Si une banque annonce une VaR quotidienne sur son portefeuille de 50 millions de dollars pour un niveau de con…ance de 99%, cela implique qu’ y a seulement une chance sur 100, sous des il conditions normales de marché, que la perte associée à la détention de ce portefeuille sur une journée excède 50 millions de dollars. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qu’ ce que la VaR ? est La simplicité de cette dé…nition constitue l’ des principaux un attraits de la Value-at-Risk : il est en e¤et très facile de communiquer sur la VaR et de ainsi proposer une mesure homogène et générale (quelle que soit la nature de l’ actif, la composition du portefeuille etc.) de l’ exposition au risque. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Introduction Introduction Comment utiliser la VaR ? Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Comment utiliser la VaR ? Comment utiliser la VaR ? La VaR peut être utilisée de trois façons principales (Jorion, 2007) : 1 de façon passive : reporting d’ information 2 de façon défensive : contrôle des risques 3 de façon active : management des risques Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Comment utiliser la VaR ? Reporting des risques La VaR peut être utilisée de façon passive dans le cadre d’ un reporting régulier sur le risques Ce fut historiquement la première utilisation de la VaR en vue de mesurer un risque agrégé (JP Morgan) La VaR est une mesure du risque simple à interpréter exprimée en unité monétaire La VaR est une mesure du risque sur laquelle on peut communiquer de façon non technique La VaR permet de synthétiser en une seule mesure une appréciation sur le risque global Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Comment utiliser la VaR ? Contrôle des risques La VaR peut être utilisée de façon défensive dans le cadre d’ un contrôle des risques La VaR est utilisée pour déterminer des positions limites qui seront imposées aux traders (limites individuelles) ou aux business units (limites collectives) Le principal avantage de la VaR est qu’ fournit un elle dénominateur commun permettant de comparer les risques engendrés par les activités menées sur di¤érents marchés, di¤érents produits etc. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Comment utiliser la VaR ? Management des risques La VaR peut être utilisée de façon active dans le cadre d’ un management des risques La VaR est utilisée dans l’ allocation du capital entre les tradeurs, les business lines, les produits et ou les institution. La VaR est généralement retenue pour le calcul des rendements ajustés du risque ou Risk-adjusted performance measures (RAPM) Optimisation de portefeuille avec des critères de type moyenne-VaR. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Introduction Introduction Qui utilise la VaR ? Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qui utilise la VaR ? Qui utilise la VaR ? En raison de ces très nombreuses utilisations possibles, les utilisateurs de la VaR sont très di¤érents : 1 Institutions …nancières 2 Régulateurs 3 Entreprises non …nancières 4 Asset Managers Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qui utilise la VaR ? Les institutions …nancières Les institutions …nancières ont été à l’ avant garde de la di¤usion et l’ utilisation de la VaR dans le cadre de la mise en place de systèmes centralisés de management / surveillance des risques nécessité liée à l’ évolution de la réglementation nécessité liée à la complexité croissante des instruments …nanciers et à la diversi…cation croissante des risques …nanciers nécessité liée à la connaissance de grands désastres …nanciers (Barings, Daiwa..) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qui utilise la VaR ? Les régulateurs Les réglementations prudentielles visent de façon générale à imposer aux institutions …nancières de garantir un niveau minimum de capitaux disponibles au regard des risque …nanciers. Par conséquent se pose le problème de l’ évaluation de ces risques : Comment évaluer ces risques …nanciers sur des multi-activités, des actifs très di¤érents, des produits complexes ? Qui doit évaluer ces risques ? les autorités de régulation ou les institutions …nancières elles-mêmes ? Dans ce dernier cas comment garantir la validité des évaluations du risque proposées par les institutions …nancières ? Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qui utilise la VaR ? Les régulateurs Fact Dans les années 80-90, on a assisté à une convergence des réglementations prudentielles (comité de Bâle sur le contrôle bancaire, US Federal Reserve, US Securities and Exchange Commission etc) vers l’ adoption de la VaR comme mesure de référence du risque. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qui utilise la VaR ? Les institutions non …nancières Les institutions non …nancières : l’ usage de la VaR dépasse le contexte des seules institutions …nancières : Le management centralisé des risques est utile à toutes les entreprises exposées aux risques …nanciers. On peut citer en exemple les multinationales qui doivent évaluer et se prémunir contre les risques de change, on peut alors mener des analyses de type CFAR (Cash Flow at Risk) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qui utilise la VaR ? Les asset managers La gestion d’ actifs et la VaR : utilisation de la VaR pour gérer les risques …nanciers et développer les stratégies d’ asset management "We can now view our total capital at risk on a portfolio basis, by asset class and by individual manager. Our main goal was to ... have the means to evaluate our portfolio risk going forward" Director of Chrysler pension fund", cité dans Jorion (2007), interview réalisé après l’ achat d’ system de VaR un Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Introduction Introduction Quels types de risques mesure la VaR ? Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Quels types de risques peut mesurer la VaR ? La VaR est une mesure homogène permettant de mesurer di¤érents risques, sur di¤érents marchés, di¤érents actifs (change, actions, dérivés..) De…nition (Portée de la VaR ) L’ objectif de la VaR fournit une mesure du risque total de portefeuille. Par conséquent, la VaR doit tenir compte des e¤ets de levier et de diversi…cation (corrélation). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Les risques …nanciers sont généralement classés en grandes catégories : 1 Risques de marché 2 Risques de liquidité 3 Risques de crédit 4 Risques opérationnels Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? De…nition Le risque de marché désigne le risque de perte lié à l’ évolution des niveaux ou des volatilités des prix de marché. Ces risques peuvent être exprimés sous deux formes : 1 risques absolus, mesurés en unité monétaire 2 risques relatifs exprimés par rapport à un benchmark (notion de tracking error ou déviation par rapport à un indice) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque de marché Fact La VaR a été conçue comme une mesure de risque de marché et le risque de marché demeure aujourd’ le principal champ hui d’ application de la VaR, même si ce n’ plus de façon exclusive. est Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque de liquidité De…nition (risque de liquidité) La notion de risque de liquidité regroupe deux types de risques : le risque de liquidité d’ actif (asset liquidity risk) et le risque de liquidité de …nancement (funding liquidity risk ou cash ‡ow risk). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque de liquidité De…nition (asset liquidity risk) Le risque de liquidité d’ actif (asset-market-product liquidity risk) survient lorsqu’ une transaction ne peut pas intervenir au prix au prix prévu du fait de la taille relative de la position au regard du volume des transactions usuelles (Jorion, 2007). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque de liquidité Remarque : la notion de risque de liquidité est à distinguer de la notion marché liquide / non liquide (exemple : marché de change verus emerging-market equities) puisque ce risque peut survenir sur un marché liquide suivant l’ importance de la position. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque de liquidité De…nition (cash ‡ow liquidity risk) Le risque de liquidité de …nancement (cash ‡ow liquidity risk) fait référence à l’ impossibilté de faire face à ses obligations de paiement, impliquant des liquidations de position et donc la transformation de pertes "papier" en pertes réalisées (Jorion, 2007). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque de liquidité La VaR ne s’ applique pas directement au concept de risque de liquidité, mais : Il est possible de construire des transformations de la VaR intégrant ce type de risque comme la LVAR (Liquidity adjusted Value-at-Risk) Proposer des concepts similaires dans le domaine des données de hautes fréquences portant sur la durée séparant deux transactions successives comme le TaR (Time-at-Risk, Gouriéroux, 2004) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque de crédit De…nition (risque de crédit) Le risque de crédit désigne le risque de pertes engendrées par une situation dans laquelle les contreparties sont incapables ou ne désirent pas remplir leurs obligations contractuelles. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque de crédit Le risque de crédit peut être exprimé sous forme d’ exposition (exposure) c’ à dire de montant soumis au risque ou de taux est de recouvrement (recovery rate) qui désigne la proportion remboursée par l’ emprunteur. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque de crédit Dans le cas du risque de crédit, les facteurs de risques sont nombreux : statut du défaut (partiel ou total), exposition au défaut, et les pertes étant donnée le défaut sont di¢ ciles à calculer. Ce qui explique que la VaR est rarement utilisée en tant que telle dans le domaine de crédit On préferre généralement des notions plus spéci…ques comme l’ expected credit losses (ECT) ou la Worse Credit Exposure (WCE) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque opérationnel De…nition (risque opérationnel) Le risque opérationnel est le risque qui résulte de processus internes inapropriés, ou de systèmes défecteux ou d’ événements externes (Jorion, 2007). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque opérationnel Les risques opérationnels couvrent notamment : 1 le risque de modèle (model risk) 2 risque de personne ou de personnel (people risk) 3 risque légal (legal risk) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque opérationnel Etant donnée l’ importance des risques opérationnels et certains exemples de désastres …nanciers, il existe aujourd’ hui une volonté de quanti…er ces risques Dans ce contexte, des calculs de VaR peuvent théoriquement être appliqués aux risques opérationnels Toutefois, la collecte de données de référence permettant d’ établir la P&L associée à ces risques pose généralement de très gros problèmes et limite par conséquent la portée de l’ application de la VaR à ce contexte. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Préambule Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk De…nition (Value-at-Risk) La Value-at-Risk (VaR) dé…nie pour un taux de couverture de α% correspond au quantile d’ ordre α de la distribution de pro…ts et pertes (pro…ts and losses, P&L) associée à la détention d’ actif ou d’ portefeuille d’ un un actifs sur une période donnée. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Christophe Hurlin Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Ainsi, la dé…nition de la Value-at-Risk est fondée sur trois éléments 1 La distribution des pro…ts et pertes (P&L) du portefeuille ou de l’ actif 2 Le niveau de con…ance (ou de façon équivalente le taux de couverture égal à un moins le niveau de con…ance) ; appelé aussi taux de couverture 3 La période de détention de l’ actif (ou horizon du risque) qui pose parfois le problème de l’ agrégration temporelle de la VaR Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Au délà des éléments de cette dé…nition, divers aspects de la VaR doivent être évoqués à ce niveau : 1 La notion de VaR (ou de P&L) conditionnelle 2 et plus générallement la prévision de VaR Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Mesurer les rendements Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) Quelles sont les données qui servent au calcul de la VaR ? Comment transformer les données de sorte à les exprimer sous forme de P&L ? Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) Fact Les données de P&L à partir desquelles on calcule une Value-at-Risk peuvent prendre di¤érentes formes, mais elles sont généralement exprimées sous forme de rendements (Dowd, 2005) Dowd, K. (2005), Measuring market risk, John Wiley & Sons Ltd. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) De…nition (pro…ts et pertes) On note Pt la valeur d’ actif (ou d’ portefeuille) à la …n de la un un période t. On note Dt l’ ensemble des paiements intermédiaires obtenus entre les dates t 1 et t. Les pro…ts et pertes (P&L) associés à la détention de l’ actif (ou du portefeuille) sont alors dé…nis par : P/Lt = Pt + Dt Pt 1 Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) Remarque 1 si les données sont exprimées sous forme de P&L, les valeurs positives indiquent des pro…ts et les valeurs négatives indiquent des pertes. Remaqrue 2 Il est aussi possible d’ exprimer les données sous forme de pertes et pro…ts (L&P pour losses and pro…ts) telles que : L/Pt = P/Lt Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) Remarque 3 Il conviendrait de tenir compte d’ facteur un d’ actualisation dans la comparaison des valorisations aux dates t et t 1. Si l’ évalue la valeur présente on des P&L à la …n de la date t 1, il vient : present value P/L = Pt + Dt (1 + d ) Pt 1 où d désigne le taux d’ escompte psychologique. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) Remarque 4 Si l’ évalue la valeur future des P&L à la …n de la on date t, il vient : forward value P/L = Pt + Dt (1 + d ) Pt 1 Remarque 5 Généralement on néglige l’ escompte psychologique dans le calcul des P&L sur des horizons courts (quotidiens, hebdomadaires, mensuels, etc.) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) Les P&L sont généralement exprimées sous forme de rendements : 1 Rendements arithmétiques 2 Rendements géométriques Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) De…nition (rendements arithmétiques) Les rendements arithmétiques associés aux pro…ts et pertes (P&L), notés rt , sont dé…nis comme : rt = Pt + Dt Pt Pt 1 1 = Pt + Dt Pt 1 1 Cette dé…nition des rendements suppose que les paiements intérmédiaires Dt ne sont pas ré-investit (problème sur longue période). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) De…nition (rendements géométriques) Les rendements géométriques associés aux pro…ts et pertes (P&L), notés Rt , sont dé…nis comme suit : Rt = ln Christophe Hurlin Pt + Dt Pt 1 Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) On peut passer de l’ une à l’ autre dé…nition par les formules d’ approximation suivantes : Rt = ln (1 + rt ) ce qui implique que si les rendements sont "petits" alors : rt ' Rt Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) Example (rendements géométrique et arithmétique ) Supposons qu’ une certaine date t les rendements arithmétiques à rt par unité de temps soient égaux à 5%. Les rendements géométriques correspondants sont alors égaux à : Rt = ln (1 + 0.05) = 0.0488 Inversement, si les rendements géométriques sont égaux à 5%, les rendements arithmétiques sont alors égaux à rt = exp(Rt ) 1 = exp(0.05) Christophe Hurlin Value-at-Risk 1 = 0.0513
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) Les rendements géométriques supposent implicitement que les paiements intermédiaires Dt sont ré-investis de façon continue. Les rendements géométriques garantissent que le prix d’ actifs ne devient jamais négatif (contrairement au rendement arithmétique), y compris en cas de pertes massives Généralement, on préfére utiliser les rendements géométriques en lieu et place des rendements arithmétiques Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Example (Rendements géométriques) Considérons à titre d’ exemple l’ indice Standard & Poor observé en clôture sur la période du 03/07/1989 au 24/11/2003 ainsi que le rendement géométrique quotidien associé Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Christophe Hurlin Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Christophe Hurlin Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) De…nition (distribution de pro…ts et pertes) La distribution de pro…ts et de pertes (P&L pour pro…t and losses) correspond à la fonction de densité des pertes et pro…ts, supposées aléatoires, associées à la détention de l’ actif ou du portefeuille sur un horizon donné. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) On considère les rendements géométriques, notés Rt , associés à la détention d’ actif sur un horizon donné un (exemple quotidien) Ces rendements sont exprimés sous une forme P&L : un rendement positif indique un gain, un rendement négatif une perte On suppose que ces rendements sont aléatoires : Rt est une variable aléatoire réelle (v.a.r) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Comme toute v.a.r., le rendement à la date t, Rt , est caractérisé par une fonction de densité, notée fR t ( r ) 8r 2 R De…nition (P&L distribution) C’ précisèment cette fonction de densité que l’ quali…e de est on distribution de pro…ts et pertes (P&L distribution). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Remarque 1 : l’ idéal pour caractériser le risque serait de connaître l’ ensemble de la densité de P&L, toutefois on se limite généralement à une caractérisation du risque au travers de la connaissance de certains moments (variance, skeweness, kurtosis) ou de certains fractiles (VaR). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Remarque 2 : si la distribution de P&L est connue, on en déduit immédiatement la VaR, puisque la VaR n’ rien d’ est autre qu’ un fractile de cette fonction de distribution Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk De…nition (dé…nition statistique de la VaR) Pour un taux de couverture (coverage rate) de α%, la Value-at-Risk, notée VaRt (α) , correspond à l’ opposé du fractile d’ ordre α de la distribution de pro…ts et pertes (P&L). VaRt (α) = FR t 1 (α) où FR t (.) désigne la fonction de répartition associée à la fonction de densité fR t (r ) . Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Remarque : la VaR est généralement négative (perte) dans une représentation P&L. Dès, lors par souci de simpli…cation, dans la plupart des ouvrages on dé…nit la VaR en valeur positive en considérant l’ opposé du fractile VaRt (α) = Christophe Hurlin FR t 1 ( α ) Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Remarque : par dé…nition, on a : Z VaR t (α) ∞ Christophe Hurlin fR t (r ) dr = α Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk De…nition (taux de couverture) Quelle que soit la dé…nition retenue (positive ou négative) de la VaR, la probabilité d’ observer une perte supérieure à la VaR sur l’ horizon de détention …xé est égale par dé…nition au taux de couverture (coverage rate) : Pr [Rt < VaRt (α)] = α si VaRt (α) = FR t 1 ( α ) Pr [Rt < VaRt (α)] = α si VaRt (α) = FR t 1 (α) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Remarque : Dans certains ouvrages (Jorion, Dowd..) ou certains articles, on exprime la VaR en fonction du niveau de con…ance : VaR (1 α) = FR t 1 ( α ) On évoque par exemple une VaR à 99% pour un taux de couverture de 1%, une VaR à 95% de niveau de con…ance etc. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk De…nition (convention de notation) Dans le cadre de ce cours, on adoptera pour convention de dé…nir la VaR de façon positive et en fonction du taux de couverture et non du niveau de con…ance : VaRt (α) = Pr [Rt < Christophe Hurlin FR t 1 ( α ) VaRt (α)] = α Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Le principe des méthodes paramétriques de calcul de la VaR (cf. section 5) : 1 Postuler une distribution paramétrique de P&L (normale, Student, GED etc..) 2 Donner une valeur aux paramètres de cette distribution (estimation ou étalonnage) 3 Calculer le fractile correspondant Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Hypothèse H1 : On suppose que la distribution des P&L à la date t est une distribution normale d’ espérance µ et de variance σ2 Rt Christophe Hurlin N µ, σ2 Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Par dé…nition de la VaR on sait que : Pr [Rt < VaRt (α)] = α Par conséquent : Pr Rt µ σ VaRt (α) σ < µ =α où sous l’ hypothèse H1 la variable centrée réduite (Rt une loi normale standard N (0, 1) Rt µ σ Christophe Hurlin N (0, 1) Value-at-Risk µ) /σ suit
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Si l’ note Φ (.) la fonction de répartition de la loi N (0, 1), il on vient : VaRt (α) µ Φ =α σ Ou encore : VaRt (α) σ µ =Φ 1 (α) 1 (α) On en déduit l’ expression de la VaR : VaRt (α) = Christophe Hurlin µ σΦ Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk De…nition (VaR sous hypothèse de normalité) Sous l’ hypothèse de normalité de la distribution de P&L, la VaR associée à un taux de couverture de α% est égale à : VaRt (α) = µ σΦ 1 (α) où µ désigne l’ éspérance et σ2 la variance de la distribution de P&L. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Example (VaR sous normalité) On suppose que le rendement géométrique quotidien d’ actif un observé à la date t, noté Rt , suit une loi normale d’ espérance égale à 0.01% et d’ écart-type égale à 1.5. On en déduit immédiatement les VaR à 1% et 5% : VaRt (0.01) = 0.01 1.5 Φ 1 (0.01) = 3.2451% VaRt (0.05) = 0.01 1.5 Φ 1 (0.05) = 2.4573% Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Example (VaR sous normalité, suite) Si l’ détient cet actif sur une journée, il y a 1% de chance de on réaliser une perte au moins égale à 3.2451% du capital investit. Pour un montant investit de 1M d’ on a : e VaR (5%) = 24 573e VaR (1%) = 32 451e Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle VaR sous hy pothèse de normalité 0.35 P&L Distribution 1% VaR = 3.2451 5% VaR = 2.4573 0.3 Distribution de P&L 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -5 -4 -3 -2 -1 Christophe Hurlin 0 x 1 Value-at-Risk 2 3 4 5
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Hypothèse H2 : On suppose que la distribution des P&L à la date t est une distribution de Student à v degrés de liberté Rt t (v ) Comment calculer la VaR sous l’ hypothèse H2 ? Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk De…nition (VaR et distribution de Student) Sous l’ hypothèse de distribution de Student, la VaR associée à un taux de couverture de α% est égale à : VaRt (α) = G (α; v ) 1 où G (α; v ) désigne la fonction de répartition d’ une loi de Student à v degrés de liberté. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Example (VaR sous hypothèse de Student) On suppose que le rendement géométrique quotidien d’ actif un observé à la date t, noté Rt , suit une loi de Student à 5 degrés de liberté, on en déduit : VaRt (0.01) = G VaRt (0.05) = G Christophe Hurlin 1 (0.01; 5) = 3.3649% 1 (0.05; 5) = 2.015% Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Example (VaR sous hypothèse de Student, suite) Si l’ détient cet actif sur une journée, il y a 1% de chance de on réaliser une perte au moins égale à 3.3649% du capital investit. Pour un montant investit de 1M d’ on a : e VaR (1%) = 33 649e VaR (5%) = 20 015e Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle VaR sous distribution de Student 0.4 0.35 0.3 Distribution de P&L 0.25 0.2 0.15 P&L Dis tribution de Student t(5) 1% VaR = 3.3649 5% VaR = 2.015 0.1 0.05 0 -5 -4 -3 -2 -1 Christophe Hurlin 0 x 1 Value-at-Risk 2 3 4 5
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Généralement, on caractérise la distribution de P&L de façon conditionnelle et non de façon marginale. On dé…nit alors une distribution de pertes et pro…ts conditionnelle, c’ est-à-dire une fonction de densité conditionnelle à un ensemble d’ information disponible à la date t, noté Ωt . Cette densité conditionnelle est notée : fR t ( r j Ω t ) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle De…nition (VaR conditionnelle) Pour un taux de couverture (coverage rate) de α%, la Value-at-Risk conditionnelle à un ensemble d’ information Ωt , notée VaRt ( αj Ωt ) , correspond à l’ opposé du fractile d’ ordre α de la distribution conditionnelle de pro…ts et pertes (P&L) : VaRt ( αj Ωt ) = FR t 1 ( α j Ω t ) où FR t ( r j Ωt ) désigne la fonction de répartition associée à la fonction de densité conditionnelle fR t ( r j Ωt ) . Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Cette densité conditionnelle peut elle aussi être di¤érente d’ une date à l’ autre, mais généralement on se restreint à des densités conditionnelles invariantes dans le temps, i.e. telles que : fR t ( r j Ω t ) = fR ( r j Ω t ) 8 t Cela revient à supposer que conditionnellement à un ensemble d’ information (ou lorsque l’ cherche à on prévoir la Value-at-Risk), les rendements sont identiquement distribués. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle De…nition (prévision de VaR) La prévision de la Value-at-Risk pour la date t + 1 et pour un taux de couverture de α%, obtenue conditionnellement à l’ ensemble d’ information Ωt disponible à la date t, notée VaRt +1 ( αj Ωt ) , est dé…nie par : VaR t +1 jt (α) = VaRt +1 ( αj Ωt ) = FR 1 ( α j Ω t ) où FR ( r j Ωt ) désigne la fonction de répartition associée à la fonction de densité conditionnelle fR ( r j Ωt ) . Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Example (prévision de VaR) Supposons que les P&L à la date t + 1, notées Rt +1 , soient normalement distribués. On cherche à prévoir la moyenne et la variance de cette distribution conditionnellement à l’ information disponible. Supposons que ces estimateurs soient dé…nis par les moments conditionnels suivants : b µ t +1 jt = E ( Rt +1 j Ωt ) bt σ2 +1 jt = V ( Rt +1 j Ωt ) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Example (prévision de VaR, suite) La distribution de P&L conditionnelle est alors : Rt +1 j Ωt bt b N µ t +1 jt , σ 2 +1 jt On en déduit immédiatement une prévision de la VaR de t + 1 pour un taux de couverture de α% : VaR t +1 jt (α) = b µ t +1 jt Christophe Hurlin b σ t +1 jt Φ Value-at-Risk 1 (α)
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Horizon de détention et agrégation temporelle Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Horizon de détention et agrégation temporelle Le deuxième élément fondamental dans le calcul de la Value-at-Risk est la période de détention (ou l’ horizon de risque) de l’ actif ou du portefeuille d’ actifs. Il n’ existe aucune règle quant au choix de la période de détention dans le calcul de la Value-at-Risk puisque ce choix dépend fondamentalement de l’ horizon de reporting ou de l’ horizon d’ investissement des opérateurs. Toutefois, les autorités de régulation peuvent spéci…er des horizons de détention spéci…ques notamment dans le cadre des procédures de validation de la Value-at-Risk. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Horizon de détention et agrégation temporelle Un problème se lorsque la fréquence d’ observations des P&L (intra-day, quotidienne, hebdomadaire, mensuelle etc..) ne correspond pas à l’ horizon de risque On doit alors transformer une mesure de risque adaptée à un horizon en une mesure de risque adaptée en autre horizon, généralement plus long : c’ le problème de l’ est agrégation temporelle Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Horizon de détention et agrégation temporelle Le problème de l’ agrégation temporelle peut se poser de la même façon lorsque l’ cherche à prévoir la VaR à un horizon on supérieur h à l’ unité. En e¤et pour ce faire deux solutions existent : 1 Soit prévoir directement la VaR en t + h, c’ à dire est VaR t +h jt (α) , dans ce cas le problème de l’ agrégation temporelle ne se pose pas 2 Soit on cherche à établir la prévision de la VaR en t + h, VaR t +h jt (α) , à partir de prévisions réalisées à un horizon inférieur, typiquement à un horizon d’ une période, c’ à dire est VaR t +1 jt (α) , VaR t +2 jt +1 (α) , .., VaR t +h jt +h 1 (α) . Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Horizon de détention et agrégation temporelle Dans le cadre du problème de l’ agrégation temporelle des mesures de VaR, on doit distinguer deux cas : 1 le cas où l’ suppose que les rendements sont i.i.d. on 2 le cas où l’ suppose que les rendements ne sont pas i.i.d. on Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Horizon de détention et agrégation temporelle Dans le cas où les rendements sont i.i.d., le problème est relativement simple. Supposons que l’ dispose de l’ on espérance et de la variance de la P&L exprimés en base annuelle. Soient µy et σ2 ces valeurs. y On cherche à déterminer les moments correspondants sur un horizon di¤érent de l’ année sous l’ hypothèse de rendements i.i.d. et sous l’ hypothèse que les mêmes positions ont été maintenues sur l’ année. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Horizon de détention et agrégation temporelle Sous l’ hypothèse i.i.d., on a alors : E (Rt ) = µy T V (Rt ) = σ2 T y où T désigne l’ horizon du risque mesuré en nombre d’ années. Exemple : 1/12 pour un horizon mensuel, 1/252 pour un horizon quotidien si il y a 252 journée de cotation dans une année. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Horizon de détention et agrégation temporelle Example (Jorion, 2007) Sur une base mensuelle, on suppose que le rendement moyen du change EUR/$ est -0.15% et la volatilité est 3.28%. Sur une base annuelle, sous l’ hypothèse i.i.d., le rendement espéré est égal à : 0.15 12 = 1.8% par an et la volatilité annuelle 3.28 p 12 = 11.4% par an Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Horizon de détention et agrégation temporelle Dans le cas où les rendements ne sont pas i.i.d., il convient de postuler un modèle de dépendance entre les rendements : Supposons par exemple que les rendements véri…ent Rt = ρRt 1 + εt où εt est i.i.d. 0, σ2 . ε Dans ce cas, on montre que : V T ∑ Ri i =1 h = σ 2 T + 2 (T R où σ2 = σ2 1 ε R référence 1) ρ + 2 (T 2) ρ2 + .. + 2 (1) ρT ρ2 désigne la variance sur l’ horizon de Christophe Hurlin Value-at-Risk 1
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Horizon de détention et agrégation temporelle Example (Jorion, 2007) Supposons que la volatilité quotidienne soit égale à 1%. Sur deux semaines (10 jours de cotations), la volatilité est multipliée par p 10 = 3.16 si l’ suppose l’ on absence de dépendance des rendements (ρ = 0). En revanche, si ρ = 0.2, la volatilité augmente de 3.79. Si ρ = 0.5, il faut mutiplier la volatilité quotidienne par 5.10 pour obtenir la volatilité en base bi-hebdomadaire. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Préambule Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk On dénombre trois grandes classes de méthodes d’ estimation de la VaR : 1 Méthodes non-paramétriques (Historical Simulation, Weighted Historical Simulation, Filtered Historical Simulation...). 2 Méthodes semi-paramétriques (CAViaR, théorie des extrêmes). 3 Méthodes paramétriques (ARCH, GARCH univarié, GARCH multivarié, RiskMetrics). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Dans cette section, nous limiterons notre analyse aux méthodes d’ estimation de la VaR de type univariées applicables : 1 aux rendements associés à la détention d’ actif un 2 aux rendements associés à la détention d’ portefeuille un d’ actifs en négligeant les gains liés à la diversi…cation des risques et les corrélations entre actifs. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Remarque : on trouve dans certains ouvrage le terme "méthodes de calcul"’de la VaR. Ce terme est impropre, on doit plutôt utiliser le terme de "méthodes d’ estimation" de la VaR. La VaR est le fractile d’ une distribution de P&L, dès lors deux solutions 1 Soit la distribution de P&L est connue, et à ce moment on calcule le fractile correspondant 2 Mais généralement, la distribution de P&L n’ pas est connue ou les paramètres de cette distribution ne sont pas connues. On doit estimer la densité associée, ou les paramètres de cette densité, ou son fractile directement. On parle alors de méthodes d’ estimation de la VaR. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Méthodes non paramétriques Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk De…nition (Méthodes non paramétriques) Le principe général des méthodes non paramétriques d’ estimation / prévision de la Value-at-Risk est que l’ impose a on priori aucune distribution paramétrique de pertes et pro…ts. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Les principales méthodes sont les suivantes : 1 Historical Simulation (HS) 2 Bootstrapped Historical Simulation 3 Simulation Historique et Estimation Non Paramétrique de Densité 4 Weighted Historical Simulation (WHS) ou Hybrid Method 5 Filtered Historical Simulation (FHS) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Simulation Historique Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk 1 La simulation historique (Historical Simulation, ou HS) est une méthode très simple qui est sans doute la plus utilisée actuellement 2 Formellement, la VaR est estimée simplement par le fractile empirique des rendements passés. 3 Si l’ considère par exemple un niveau de con…ance de 95% on et que l’ dispose d’ échantillon de 1000 observations on un historiques de rendements, la VaR est donnée par la valeur du rendement qui correspond à la 50ème plus forte perte. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques De…nition Soit fR1 , R2 , ..RT g la séquence des rendements Rt de l’ actif ou du portefeuille, observés aux dates t = 1 à T . A cette séquence correspond un échantillon de T observations fr1 , r2 , .., rT g. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Problem Théoriquement, à chaque date, le rendement Rt est une v.a.r qui admet une certaine distribution, notée fR t (.) , et donc un fractile d’ ordre α, noté VaRt (α) , qui lui est propre. Or, on ne dispose que d’une seule réalisation, rt , de cette distribution. A partir de cette unique réalisation, sans hypothèse supplémentaire, il est impossible d’ estimer le fractile de la distribution des P&L à la date t, c’ à dire la VaR. est Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Dans l’ approche HS, on fait deux hypothèses très fortes : 1 On suppose que la distribution non conditionnelle des rendements est identique quelle que soit la date t : fR t ( w ) = fR ( w ) 8 t par conséquent le fractile de cette distribution non conditionnelle (la VaR) est aussi identique : VaRt (α) = VaR (α) 8t 2 On suppose que les rendements R1 , .., RT sont indépendamment distribués. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Hypothèse : on suppose que les rendements Rt associés aux P&L, observés à toute date t, sont identiquement et indépendamment distribués (i.i.d) avec : fR t ( w ) = fR ( w ) 8 t VaRt (α) = VaR (α) 8t Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Solution Sous l’ hypothèse i.i.d, on dispose alors d’ échantillon de T un réalisations fr1 , r2 , .., rT g de T v.a.r. admettant la même distribution (ou de la même variable aléatoire) et donc la même VaR. Il est dès lors possible d’ estimer cette VaR. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk De…nition (VaR HS) Sous l’ hypothèse de rendements i.i.d., un estimateur convergent de la VaR pour un taux de couverture de α% est dé…ni par le fractile empirique d’ ordre α associés aux T réalisations historiques des rendements, notées fr1 , r2 , .., rT g. b V aR (α) = percentile frj gT 1 , 100α j= b V aR (α) p ! VaR (α) T !∞ Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Fig.: Source : Jorion (2007) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Example On considère les rendements quotidiens dé…nies à partir des cours à la clotûre du Nikkei entre le 05/01/2004 et le 02/05/2006, soit un total de 5550 observations. Supposons que l’ classe par ordre on croissant les observations r1 , .., r5550 . La VaR HS à 1% est alors ` égale à la 56eme , soit : b V aRt (1%) = Christophe Hurlin 0, 01507% Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Fig.: Rendements Quotidiens Nikkei 05/01/2004 - 02/05/2006 0.06 0.04 0.02 0.00 -0.02 -0.04 1000 2000 Christophe Hurlin 3000 4000 Value-at-Risk 5000
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Empiric al CDF of NIKKEI Quantiles of NIKKEI 1.0 0.06 0.8 0.04 0.6 0.02 0.4 0.00 0.2 -0.02 0.0 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 Christophe Hurlin -0.04 0.0 0.2 Value-at-Risk 0.4 0.6 0.8 1.0
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Remarque : La VaR HS est l’ estimateur d’ une VaR non conditionnelle (ou associée à une distribution de P&L non conditionnelle). Par conséquent la prévision de VaR selon la méthode HS sera relativement "invariante" aux modi…cations de l’ environnement économique. Les prévisions de VaR selon la méthode HS sont "plates" ou "pratiquement plates" (dans le cas rolling estimates). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk C’ le principal défaut de cette méthode (Hendricks, 1996 ; est Boudoukh et al. 1998 ; Pritsker, 2006) : il est invraisemblable que les nombreux facteurs microstructurels et macroéconomiques concourant à la formation du prix d’ actif demeurent inchangés un dans le temps. Hendricks, D.. (1996), ”Evaluation of Value-at-Risk Models Using Historical Data ”,Economic Policy Review, Federal Reserve Bank of New York, April, pp. 39-69. Pritsker, M. (2006), "The hidden dangers of historical simulation", Journal of Banking & Finance, Volume 30, Issue Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Problem Comment construire une prévision de VaR selon la méthode HS ? La solution consiste tout simplement à utiliser le fractile empirique associé aux observations passées R1 , .., R2 VaR T +1 jT (α) = percentile frj gT 1 , 100α j= L’ idée est alors que puisque le rendement en T + 1 à la même distribution que R1 , .., RT , un estimateur de sa VaR peut être obtenu à partir de l’ estimateur de la VaR des rendements passés. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Problem Comment construire une séquence de prévisions de la VaR selon la méthode HS (backtesting) ? Comme pour tous les estimateurs, il y a deux solutions : soit on construit un estimateur glissant (rolling estimate) de la VaR en t + 1 à partir d’ sous ensemble un d’ informations récentes de taille …xe (idée de conditionnement). soit on construit une successions d’ estimateurs de la VaR conditionnellement à toute l’ information disponible, qui croît au fer et à mesure que le temps passe Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Fig.: Prévision Glissante (Rolling Estimate) 1ère Estimation Prévision temps 1 T-N 2ème Estimation 1 T-N+1 Prévision 2 T-N+1 Christophe Hurlin Value-at-Risk T-N+2
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Fig.: Prévision HS non Glissante 1ère Estimation Prévision temps 1 T-N 2ème Estimation 1 T-N+1 Prévision 2 T-N+1 Christophe Hurlin Value-at-Risk T-N+2
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Fact Dans la littérature, on utilise généralement des séquences de prévisions construites à partir d’ une estimation glissante (rolling estimate) a…n d’ introduire un "minimum de conditionnement" dans la VaR-HS et de ne pas accorder trop de poids aux réalisations des rendements les plus anciennes. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk De…nition (Prévisions VaR-HS) Les prévisions glissantes de VaR pour un taux de couverture de α% obtenues par la méthode de simulation historiques correspondent au fractile empirique d’ ordre α de la chronique des rentabilités passées observées sur une fenêtre de taille Te : VaR t jt 1 (α) = percentile frj gt=t1 j Christophe Hurlin Value-at-Risk T e , 100α
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Plus la taille de la fenêtre Te est petite, plus les prévisions de VaR seront volatiles Plus la taille de la fenêtre Te est grande, plus la VaR prévue convergera vers la VaR non conditionnelle et sera par conséquent quasi "constante" dans le temps. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Example (Candelon et al. 2008) Les auteurs considèrent les rendements quotidiens du Nasdaq et appliquent trois méthodes de prévisions de la VaR à 5% dont la méthode HS. Ils considèrent une estimation glissante (rolling estimation) sur une fenêtre de 250 observations. Sur le graphique suivant est reportée une séquence de 250 prévisions obtenues pour la période du 22 Juin 2005 au 20 Juin 2006 ainsi que les rendements observés ex-post. Candelon, B, Colletaz, G, Hurlin C. et Tokpavi. (2008), ”Backtesting Value-at-Risk : A GMM duration-based test”, Working Paper. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Fig.: Historical Returns and 5% VaR Forecasts. Nasdaq (June 2005June 2006) Na s d a d 0.03 Re tu rn s Hi s toric al Sim ulation 5% VaR 0.02 0.01 0 -0.01 -0.02 -0.03 0 50 100 Christophe Hurlin 150 200 Value-at-Risk 250
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Example (Christo¤ersen et Pelletier, 2004) Les auteurs proposent un test de backtesting. A…n d’ étudier les propriétés de ce test, ils proposent des simulations de Monte Carlo dans lesquelles ils simulent des rendements selon un processus GARCH sous Student, puis appliquent la méthodologie HS pour prévoir les VaR sur ces rendements simulés. Christoffersen, P. F. and D. Pelletier (2004), "Backtesting Value-at-Risk : A duration-based approach", Journal of Financial Econometrics, 2, 1, pp. 84-108. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Fig.: Source : Christo¤ersen and Pelletier (2004) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Bootstrapped Historical Simulation (BHS) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Une amélioration simple de la méthode HS consiste à estimer la VaR à partir de données simulées par Bootstrap. Le Bootstrap consiste à ré-échantillonner les données historiques de rendements avec remise. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Plus précisément, la procédure consiste à créer un grand nombre d’ échantillons de rendements simulés, où chaque observation est obtenue par tirage au hasard à partir de l’ échantillon original. Chaque nouvel échantillon constitué de la sorte permet d’ obtenir une estimation de la VaR par la méthode HS standard, et l’ dé…nit au …nal une estimation en faisant la on moyenne de ces estimations basées sur les ré-échantillonnages. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk De…nition (Bootstrapped Historical Simulation) n oT Soit ejs r une séquence de rendements tirés au hasard avec j =1 remise dans l’ échantillon de rendements historiques, et soit e V aR s (α) la VaR-HS associée à cet échantillon de rendements bootstrappés. L’ estimateur BHS (Bootstrapped Historical Simulation) de la VaR correspond à la moyenne empirique des VaR-HS obtenues à partir de S échantillons de rendements boostrappés : 1 S e b V aR (α) = ∑ V aR s (α) S s =1 e r j= V aR s (α) = percentile fejs gT 1 , 100α Christophe Hurlin Value-at-Risk s = 1, .., S
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Remarque 1 : Le fait de construire la moyenne d’ grand nombre un de VaR-HS obtenues sur des échantillons de rendements boostrapés fait que l’ limite l’ on in‡uence des pertes extrêmes, notamment lorsque l’ utilise cette méthode pour la prévision. On on obtient ainsi des prévisions plus volatiles. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Remarque 2 : pour construire une prévision glissante par la méthode BHS, il su¢ t de ré-échantilloner (pour chaque prévision) non plus T valeurs, mais uniquement Te valeurs, où Te désigne la taille de la fenêtre. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Example (Boostrapped Historical Simulation) A partir des codes développés par Dowd (2005), Dutta et Bhattacharya (2006) évaluent les peformances des prévisions de VaR par la méthode BHS sur un indice de valeurs indiennes. Ils reportent notamment l’ histogramme des réalisations des VAR-HS obtenues sur les 10 000 échantillons bootstrappés. Dans leur application, la VaR(5%) HS était égale à 49.935 tandis que la VaR BHS est égale à 51.23 Debashis Dutta and Basabi Bhattacharya (2006), "A Bootstrapped Historical Simulation Value at Risk Approach to S & P CNX Nifty", Working paper, Jadavpur University Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Christophe Hurlin Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Simulation Historique et Estimation Non Paramétrique de Densité Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Une autre amélioration possible de la HS est d’ utiliser une estimation non paramétrique de la distribution conditionnelle de pertes et pro…ts. On sait en e¤et que l’ histogramme associé aux réalisations historiques des rendements n’ pas un bon estimateur est d’ une fonction de densité. Des estimateurs obtenus par lissage, comme les estimateurs à noyau, présentent généralement de meilleures propriétés (voir Yatchew, 2003 pour plus de détails). Yatchew A. (2003), SemiParametric Regression or the Applied Econometrician, Cambridge University Press. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk De…nition (méthode HS étendue) Dans cette perspective, la méthode HS étendue consiste à estimer par une méthode de noyau la densité conditionnelle de pertes et pro…ts, puis de calculer à partir de cette densité estimée le fractile correspondant à la Value-at-Risk (Butler et Schachter, 1998). Butler J.S. and Schachter B. (1998), "Estimating VaR with a precision measure by combining Kernel estimation with Historical Simulation, Working Paper, Vanderbilt University, Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Avantage : Cette méthode permet notamment d’ estimer la Value-at-Risk pour n’ importe quel niveau de con…ance (et ainsi d’ éviter les problèmes dus aux contraintes imposées sur la taille des échantillons). Exemple : calculer une VaR à 1% à partir d’ un échantillon de 50 points. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Limite : toutefois, il est connu que les estimateurs kernel présentent des e¤ets de bords, et que la précision de ces estimateurs est parfoirs très faibles sur les "bords" de l’ échantillon, précisèment là où l’ cherche à estimer la VaR on Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Mise en oeuvre : Estimateurs Kernel voir le cours d’ économétrie semi et non paramétrique Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk De…nition (VaR et estimation Kernel) Un estimateur de la VaR pour un taux de couverture de α% peut ête obtenu à partir de l’ estimateur à noyau (kernel estimate) de la fonction de densité des P&L comme suit : α= Z V aR t (α) b ∞ b t (r ) dr fR T b t (r0 ) = 1 ∑ K fR T λ t =1 rt r0 λ où K (.) désigne une fonction kernel, λ un paramètre de lissage (bandwidth parameter) et T la taille de l’ échantillon utilisé pour l’ estimation. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Example (Rendements quotidiens sur Nikkei) On considère les rendements quotidiens dé…nies à partir des cours à la clotûre du Nikkei entre le 05/01/2004 et le 02/05/2006, soit un total de 5 550 observations. La VaR HS à 1% est égale à 0, 01507%. Dans le cas d’ une estimation kernel de la densité de P&L on trouve (kernel gaussien), la valeur suivante : Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Fig.: Estimateur Kernel (Gaussien) de la distribution de P&L sur les rendements quotidiens du Nikkei Kernel Density (Epanechnikov, h = 0.0015) 100 80 60 40 20 0 -0.02 0.00 Christophe Hurlin 0.02 Value-at-Risk 0.04
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Weighted Historical Simulation (WHS) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk La caractéristique essentielle de la méthode HS traditionnelle est que l’ accorde le même poids aux observations on historiques, quelles soient relativement récentes ou au contraire très anciennes. Concrètement, si l’ considère une estimation HS de la Var à on 5% à partir d’ une fenêtre glissante de 1000 observations, cela revient à prendre le 50ème rendement le plus faible parmi les 1000 observations les plus récentes. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Dans cette estimation HS toutes les observations historiques de rendement datées de moins de 1000 périodes interviennent avec le même poids. Une approche alternative consiste à attribuer aux observations de rendements des poids en fonction soit de leur ancienneté, soit de la volatilité observée des marchés, ou de tout autre facteur. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Cette approche, quali…ée par le terme générique de WHS (Weighted Historical Simulation) recouvre notamment : 1 La méthode Aged-weighted HS où les poids dépendent de l’ ancienneté des observations (Boudoukh, Richardson et Whitelaw, 1998). 2 La méthode Volatility-weighted HS où les poids dépendent de la volatilité. L’ idée de base (Hullet et White, 1998) est de prendre en compte les changement récents de volatilité. 3 La méthode Correlation-weighted HS où l’ ajuste les on rendements passés de façon à ce qu’ re‡ètent les ils changements entre les corrélations passées et futures. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Présentons la méthodologie de type Aged-wheighted HS appelée aussi Méthode Hybride proposée par Boudoukh, Richardson et Whitelaw (1998) Boudoukh J, M Richardson et R Whitelaw, (1998), “The Best of Both Worlds”, Risk, 11, p. 64-67. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Avantages : Comme le souligne Pritsker (2001), on peut s’ accommoder du non respect de l’ hypothèse de distributions i.i.d, en supposant que les observations les plus récentes de l’ ensemble Ωt 1 sont conditionnellement les plus importantes pour une éventuelle prévision. L’ approche demeure non paramétrique, l’ avantage ici est que l’ exploite une information supplémentaire, à savoir le on caractère plus informatif des rentabilités les plus proches de l’ horizon de prévision. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk De…nition (VaR Hybride) Techniquement, le calcul de la VaR Hybride se fait en trois étapes : (i ) à chacune des Te rentabilités les plus récentes rt 1 , rt 2 , ..., rt Te constituant l’ ensemble Ωt 1 est associée une pondération décroissante avec le temps de la forme 1 λ , 11 λλ λ, ..., 11 λλ λTe 1 où λ < 1, puis (ii ) les Te Te 1 λTe rentabilités (et les poids associés) sont ensuite ordonnées de manière croissante et (iii ) en…n les poids ordonnés suivant les niveaux de rentabilité croissants sont sommés jusqu’ hauteur de à α%. La VaR est alors égale à la rentabilité correspondant au dernier poids utilisé dans la sommation. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Example (VaR Hybride) Dans Hurlin et Tokpavi (2008), nous évaluons les procédures de backtesting en appliquant les tests usuels sur des prévisions de VaR issues de sept méthodes di¤érentes parmi lesquelles …gurent la méthode hybride. Les résultats obtenus sur un échantillon de 250 observations des rendements quotidiens associés aux cours à la clotûre du Nasdaq sont reproduits sur la …gure suivante. Dans cette application, les auteurs considèrent des valeurs de λ et Te respectivement …xées à 0.98 et 250 Hurlin C. et Tokpavi S. (2008), ”Une Evaluation des Procédures de Backtesting : Tout va pour le Mieux dans le Meilleur des Mondes", Finance, vol 29(1), pp.53-80, Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Fig.: Prévisions out-of-sample de VaR à 5%, Indice Nasdaq, T = 250 0.04 Méthode Delta Normale RiskMetrics GARCH Student Simulation Historique Méthode Hybride CAViaR Rendements Ex-post 0.03 0.02 0.01 0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05 0 50 100 Christophe Hurlin 150 Value-at-Risk 200 250
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Méthodes paramétriques Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Nous ne présenterons ici brièvement (pour plus de détails cf. partie 2) les méthodes paramétriques suivantes : 1 La méthode de Monte Carlo 2 Le modèle RiskMetric 3 Les modèles ARCH-GARCH Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Méthode de Monte Carlo Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk De…nition (Monte Carlo) La méthode de Monte Carlo consiste à simuler un grand nombre de fois les comportements futurs possibles des facteurs de risque selon un certain nombre d’ hypothèses, et d’ déduire une distribution en des pertes et pro…ts à partir de laquelle on estime …nalement un fractile (HS). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Si cette approche peut s’ appliquer, en théorie, quelles que soient les lois de probabilité suivies par les facteurs de risque, elle est couramment utilisée en pratique, pour des raisons techniques, en supposant que les variations relatives des paramètres de marché suivent des lois normales. Cette méthode convient également à tous les types d’ instruments, y compris optionnels, et permet de tester de nombreux scénarios et d’ inclure explicitement des queues de y distribution épaisses (événements extrêmes pris en compte dans une certaine mesure). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk RiskMetrics Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk RiskMetrics fut developpé par la banque JP Morgan au début des années 90 et a permis de populariser le concept de VaR Ce modèle repose sur des hypothèses théoriques assez contraignantes Dans ce modèle, les principales hypothèses simpli…catrices consistent à supposer, d’ une part, que les lois de probabilité qui régissent les distributions des variations des prix de marché sont normales et, d’ autre part, que les instruments présentent un pro…l de risque linéaire. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk De…nition (RiskMetrics) Dans le cas d’ une approche univariée, la VaR issue de RiskMetrics dé…nie pour un taux de couverture de α% peut s’ écrire sous la forme : p VaRt (α) = Φ (α) ht µ où µ désigne l’ espérance des rendements et ht la variance conditionnelle, telle que : ht = λht 1 + (1 λ) rt2 1 où λ désigne un paramètre de decalage (decay parameter) générallement …xé à 0.97. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Remarque : Dans le modèle RiskMetrics, la variance conditionnelle est supposée suivre un processus de type EWMA (Exponentiel Weighted Moving Average) : la prévision pour la date t est une combinaison linéaire de l’ innovation passée et de la valeur passée de la variance Ce processus est un cas particulier des modèles GARCH, et plus spéci…quement des modèles IGARCH (cf. partie 2 du cours) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Avantages : Sous ces hypothèses, la matrice de variances/covariances peut être appliquée assez directement aux positions détenues pour calculer la VaR. Les calculs utilisés dans la méthode RiskMetrics sont rapides et simples, et requièrent uniquement la connaissance de la matrice des variances/covariances des rendements du portefeuille. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Limite : cette méthode s’ avère être inadaptée aux portefeuilles non linéaires (instruments optionnels) et théoriquement peu adaptée aux queues de distribution épaisses et aux distributions non normales des rendements. Par ailleurs, la …xation du decay parameter peut poser problème sur certains échantillons (contrairement aux paramètres des modèles GARCH qui sont estimés par MV) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Modèles GARCH Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk De…nition (GARCH univariés) Les modèles GARCH permettent de modéliser et de prévoir la variance conditionnelle de la distribution de pertes et pro…ts, ce qui permet dans un second temps de déduire une modélisation ou une prévision de la Value-at-Risk sous un certain nombre d’ hypothèses concernant la distribution conditionnelle des rendements Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Quel est le lien entre la prévision de variance conditionnelle et la prévision de VaR ? Engle R.F. (2001), ”The Use of ARCH/GARCH Models in Applied Econometrics”, Journal of Economic Perspectives, 15(4), 157-168. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk De…nition (VaR sous hypothèse de normalité) Sous l’ hypothèse de normalité de la distribution conditionnelle des P&L, la prévision de VaR associée à un taux de couverture de α% est dé…nie par : p ht +1 Φ 1 (α) VaR t +1 jt (α) = µ où ht +1 désigne la variance conditionnelle des rendements. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Theorem Pour toute distribution elliptique, la prévision de VaR est une transformée linéaire de la prévision de variance (volatilité). Prévoir la variance permet de prévoir la VaR. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk De…nition (Famille de distributions elliptiques) Une distribution appartient à la famille des distributions elliptiques si le logarithme de sa densité peut s’ écrire sous la forme : x µ 2 =c σ où c désigne une constante, µ est un paramètre de location (location parameter) et σ un terme d’ échelle (scale parameter) Exemples : distribution normale, distribution de Student, normal inverse gaussienne (NIG) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Méthodes semi paramétriques Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Situées à mi-chemin entre les approches purement paramétriques et non paramétriques …gurent notamment : 1 La théorie des valeurs extrêmes (EVT) 2 Les régressions quantiles et plus particulierement le modèle CAViaR Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Théorie des Valeurs Extrêmes Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Parmi les méthodes semi-paramétriques …gurent tout d’ abord l’ ensemble des méthodes et approches qui relèvent de la théorie des extrêmes (EVT) qui di¤ère de la théorie statistique habituelle fondée pour l’ essentiel sur des raisonnements de type “tendance centrale”. Les extrêmes sont en e¤et gouvernés par des théorèmes spéci…ques qui permettent d’ établir sous di¤érentes hypothèses la distribution suivie par ces extrêmes. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Il existe deux principales branches de la théorie des valeurs extrêmes : 1 La théorie des valeurs extrêmes généralisée permet de modéliser le maximum ou le minimum d’ très grand un échantillon 2 La loi de Pareto généralisée (ou approche POT “peaks-over-threshold”) qui permet l’ étude de la distribution des pertes excessives au dessus d’ seuil (élevé). un Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Regressions quantiles et CAViaR Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Une seconde grande catégorie de méthodes semi-paramétriques utilisées actuellement pour le calcul et la prévision de la Value-at-Risk relève plus généralement de l’ approche de la régression quantile. L’ idée est la suivante : plutôt que de modéliser une distribution et d’ déduire un quantile (la en Value-at-Risk), cette approche consiste à modéliser directement le quantile lui-même en utilisant des méthodes de régression quantile. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Un exemple de ces méthodes est le modèle Conditional Autoregressive Value at Risk (CAViaR) de Engle et Manganelli (2004) qui spéci…e la dynamique autorégressive du quantile conditionnel. Engle, R. F., et S. Manganelli. (2004), ”CAViaR : Conditional autoregressive Value-at-Risk by regression quantiles”, Journal of Business and Economic Statistics 22, p. 367-381. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk De…nition (CAViaR) Dans le cas du modèle Conditional Autoregressive Value at Risk (CAViaR), la modélisation porte directement sur le fractile latent. Ainsi, la VaR conditionnelle à α% est dé…nie par le modèle suivant : VaR t jt 1 (α) = β0 + β1 VaR t 1 jt 2 ( α ) +l β2 , ..., βp , rt 1 , VaR t 1 jt 2 ( α ) où βi 2 R et où l (.) est une fonction de la rentabilité et de la VaR de la période précédente. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Remarque : Engle et Manganelli proposent quatre spéci…cations pour cette fonction, parmi lesquelles …gure la spéci…cation de type Asymetric Slope : l β2 , β3 , rt 1 , VaR t 1 jt 2 ( α ) = β2 max (rt Christophe Hurlin Value-at-Risk 1 , 0) β3 min (rt 1 , 0)
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Les techniques de régression quantile non linéaire permettent d’ estimer la valeur des paramètres βi et ensuite celle de la VaR de la période courante. Le modèle à estimer est alors le suivant : rt = VaR t jt 1 ( α ) + εt Quantα ( εt j Ωt ) = 0 La minimisation d’ une fonction quantile objectif introduite par Koenker et Basset (1978) permet alors d’ obtenir des estimateurs des paramètres βi asymptotiquement convergents. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Fig.: Source : Engle et Manganelli (2004) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Example (Candelon et al. 2008) Les auteurs considèrent les rendements quotidiens du Nasdaq et appliquent trois méthodes de prévision de la VaR à 5% dont la méthode HS. Ils considèrent une estimation glissante (rolling estimation) sur une fenêtre de 250 observations. Sur le graphique suivant est reportée une séquence de 250 prévisions obtenues pour la période du 22 Juin 2005 au 20 Juin 2006 ainsi que les rendements observés ex-post. Candelon, B, Colletaz, G, Hurlin C. et Tokpavi. (2008), ”Backtesting Value-at-Risk : A GMM duration-based test”, Working Paper. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Nasdad 0.03 Returns Historical Simulation 5% VaR CAViaR 5% 0.02 0.01 0 -0.01 -0.02 -0.03 0 50 100 Christophe Hurlin 150 Value-at-Risk 200 250
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Risque de portefeuille et Value-at-Risk Préambule Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Jusqu’ présent, nous avons considéré la VaR associée aux à P&L d’ seul actif (change, action, obligation, indice, etc..) un Comment calculer la VaR d’ portefeuille composé de un plusieurs actifs ? Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Deux solutions : 1 Considérer le rendement global du portefeuille comme celui d’ actif particulier et calculer la VaR directement sur ce un rendement agrégé. Avantage : simplicité. Inconvénient : en négligeant les covariances entre les rendements des actifs, on néglige toute diversi…cation potentielle des risques. 2. Prendre en compte explicitement les corrélations entre les actifs du portefeuille pour le calcul de la VaR : approche multivariée de la VaR. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Remarque : si l’ sait que théoriquement l’ on approche multivariée de la VaR est celle qui doit être privilégiée, di¤érentes observations empiriques montrent que les VaR calculées de façon univariée sur le rendement agrégé ou de façon multivariée en tenant compte des corrélations entre actifs peuvent être relativement proches. Berkowitz, J., et J. O brien. (2002), ”How Accurate are the Value-at-Risk Models at Commercial Banks”, Journal of Finance 57, p. 1093-1111. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Nous allons ici présenter uniquement l’ approche multivariée de la VaR, dans laquelle la VaR est construite comme une combinaison des risques associés aux di¤érents actifs du portefeuille. Nous reprenons ici la présentation de Jorion (2007) Si les positions du portefeuille sont maintenues sur l’ horizon du risque, le rendement du portefeuille est une combinaison linéaire des rendements des actifs qui le composent, dans laquelle les poids sont dé…nies par montant relatifs investits en début de période. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk De…nition (rendement d’ portefeuille) un Le rendement Rp,t d’ portefeuille de N actifs est dé…ni par : un N Rp,t = ∑ wi Ri ,t i =1 où Ri ,t désigne le rendement de l’ actif i et wi le poids associé à cet actif, avec par convention wi = Wi W N ∑ wi = 1 i =1 où Wi désigne le montant investit dans le titre i en début de période et W la valeur totale du portefeuille. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Remarque 1 : Le rendement du portefeuille peut s’ écrire sous forme vectorielle : Rp,t = w 0 R w = (w1 w2 ...wN )0 (N ,1 ) R = (R1 R2 ...RN ) (1,N ) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Les poids wi peuvent être positifs ou négatifs. On exclut en revanche le cas où la valeur totale du portefeuille serait nulle, i.e. W = 0, puisque dans ce cas, les poids wi = Wi /W ne serait pas dé…nis. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Remarque 2 : Les moments associés aux rendements du portefeuille sont : E (Rp,t ) = w 0 E (R ) = µp V (Rp,t ) = w 0 Σ w = σ2 p (1,N ) (N ,N ) (N ,1 ) où Σ désigne la matrice de variance covariance des rendements de N actifs : 0 1 var (R1 ) cov (R1 , R2 ) cov (R1 , RN ) B C var (R2 ) C Σ=B @ A .. cov (RN , R1 ) var (RN ) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk ou encore 0 B Σ=B @ σ2 1 σ12 σ2 2 σ1N .. σ1N σN On retrouve ainsi l’ expression : σ2 = p N N N 1 C C A ∑ wi2 σ2 + 2 ∑ ∑ wi wj σij i i =1 Christophe Hurlin i =1 j <i Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Remarque 3 : La variance du rendement du portefeuille peut aussi être exprimée en unités monétaires sous la forme : σ2 W 2 = x p 0 Σ x (1,N ) (N ,N ) (N ,1 ) où x désigne le vecteur des montants (en unités monétaires) investits dans les actifs i = 1, .., N x = (W1 W2 ... WN )0 Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Risque de portefeuille et Value-at-Risk VaR d’ portefeuille un Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk A partir d’ portefeuille, certains reporting proposent deux types un de VaR : 1 La VaR diversi…ée (diversi…ed VaR) qui tient compte dela diversi…cation des risques via la structure de covariance des rendements des titres 2 La VaR non diversi…ée (undiversi…ed VaR) qui néglige toute diversi…cation des risques dans le portefeuille. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Hypothèse : Pour commencer on se place dans le cas simple d’ une distribution normale de P&L pour tous les actifs i = 1, .., N d’ espérance de rendement nul. Par conséquent, le rendement du portefeuille Rp,t est lui aussi normal. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk De…nition (VaR Diversi…ée) La Value-at-Risk diversi…ée (ou Value-at-Risk) du portefeuille tient compte des béné…ces de la diversi…cation des risques au sein du portefeuille. Pour un taux de couverture de α% et sous l’ hypothèse de normalité, cette VaR, notée VaRp,t (α) , est dé…nie par : p VaRp,t (α) = Φ 1 (α) σp W = Φ 1 (α) x 0 Σx Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Remarque : on peut aussi proposer une mesure de risque pour chaque actif (ou VaR individuelle) entrant dans la composition du portefeuille comme : VaRi ,t (α) = Φ 1 ( α ) σ i j Wi j = Φ 1 ( α ) σ i j wi j W la valeur absolue s’ explique par la possibilité d’ avoir des poids négatifs. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk De…nition (VaR non diversi…ée) La Value-at-Risk non diversi…ée du portefeuille correspond à la somme des VaR individuelles ou à la VaR d’ portefeuille dans un lequel il n’ a pas de position courte et où tous les rendements y entre tous les actifs sont parfaitement et positivement corrélés : N VaRu,t (α) = ∑ VaRi ,t (α) i =1 L’ écart entre VaRu,t (α) et VaRp,t (α) donne une mesure de la réduction du risque de portefeuille liée à la diversi…cation. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Example (Jorion, 2007) On considère un portefeuille comportant des investissements en dollars canadiens (CAD) et en euros (EUR). On suppose que les deux monnaies ne sont pas corrélées et ont une volatilité respectivement égale à 5% et 12%. Le portefeuille comporte l’ équivalent de 2 millions de dollars investits en dollars canadiens et 1 million de dollars investits en euros. On cherche à calcule la VaR à 5% sur ce portefeuille. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Example (Jorion, 2007, suite) La variance des rendements du portefeuille exprimée en millions de dollars vaut : σ2 W 2 = x p 0 Σ x = (1,2 ) (2,2 ) (2,1 ) 0.052 0 0 0.122 2 1 σ2 W 2 = 0.0244 p 2 1 106 $ On en déduit la VaR diversi…ée : VaRp,t (0.05) = Φ 1 (0.05) Christophe Hurlin p 0.0244 Value-at-Risk 106 = 256, 934 $
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Example (Jorion, 2007, suite) La VaR non diversi…ée est alors égale à la somme des VaR des deux actifs : p VaRCAN ,t (0.05) = Φ 1 (0.05) 0.05 2 106 = 165, 00 $ p VaREUR ,t (0.05) = Φ 1 (0.05) 0.12 1 106 = 198, 00 $ La VaR non diversi…ée est alors égale à : VaRu,t (0.05) = VaRCAN ,t (0.05) + VaREUR ,t (0.05) = 363, 000 $ Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Example (Jorion, 2007, suite) On véri…e que dans ce cas la VaR non diversi…ée est supérieure à la VaR diversi…ée indiquant que la diversi…cation des facteurs de risques réduit le risque global. Attention : la VaR n’ étant pas une mesure de risque cohérente, ce résultat ne sera pas toujours valable sauf dans le cas particulier de distributions de P&L elliptiques. La loi normale appartient à cette famille de distributions (cf. section sur les limites de la VaR) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Risque de portefeuille et Value-at-Risk VaR marginale, incrementale et composée Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Dans une perspective de management des risques, on peut être amené à se poser la question : quelle position doit être modi…ée a…n de réduire ma VaR ? Pour cela, on utilise di¤érents concepts : 1 La VaR marginale 2 La VaR incrementale 3 La VaR composée Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk De…nition (VaR marginale) La Value-at-Risk marginale, notée ∆VaRi (α), correspond à l’ e¤et marginal d’ une augmentation d’ une unité monétaire d’ exposition sur un actif particulier d’ portefeuille sur la VaR du un portefeuille. ∂VaRp,t (α) ∆VaRi (α) = ∂Wi ` où Wi désigne le montant investit dans le i eme actif du portefeuille et VaRp,t (α) désigne la VaR (diversi…ée) du portefeuille. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Hypothèse : On suppose que tous les actifs i = 1, .., N du portefeuille admettent une distribution de P&L de type normale. Par conséquent, le rendement du portefeuille Rp,t est lui aussi normal. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Sous l’ hypothèse de normalité, nous avons vu que la VaR du portefeuille est : p VaRp,t (α) = Φ 1 (α) σp W = Φ 1 (α) x 0 Σx où x désigne le vecteur des montants (en unités monétaires) investits dans les actifs i = 1, .., N x = (W1 W2 ... WN )0 Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk ` Dès lors, la VaR marginale associée au i eme actif est : ∆VaRi (α) = = ∂VaRp,t (α) ∂VaRp,t (α) = ∂Wi ∂wi W ∂σp W Φ 1 (α) ∂wi W ou encore ∆VaRi (α) = Christophe Hurlin Φ 1 (α) Value-at-Risk ∂σp ∂wi
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Réécrivons cette expression : pour cela étudions la dérivée ∂σp /∂wi . On sait que : σ2 = p N N N ∑ wi2 σ2 + 2 ∑ ∑ wi wj σij i i =1 j <i i =1 Dès lors : ∂σ2 p ∂wi = 2wi σ2 + 2 i N ∑ wj σij j =1,j 6=i N = 2 wi cov (Ri , Ri ) + 2 ∑ j =1,j 6=i Christophe Hurlin Value-at-Risk wj cov (Ri , Rj )
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Une autre façon d’ écrire cette expression est : ∂σ2 p = 2 cov (Ri , Rp ) ∂wi puisque par dé…nition Rp,t = ∑N 1 wi Ri ,t . Par ailleurs i= ∂σ2 ∂σp ∂σp cov (Ri , Rp ) p =2 σp =) = ∂wi ∂wi ∂wi σp Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk De…nition (VaR Marginale sous hypothèse de normalité) Sous l’ hypothèse de normalité des P&L, la VaR marginale associée ` au i eme actif du portefeuille véri…e : ∆VaRi (α) = Φ 1 (α) cov (Ri , Rp ) σp où σp et Rp désignent respectivement la volatilité et le rendement du portefeuille et Φ (.) la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk De…nition (Vecteur de VaR marginales) On peut construire un vecteur ∆VaR (α) de VaR marginale associée au N actif de la façon suivante ∆VaR (α) = (N ,1 ) Φ 1 (α) σp Σ x (N ,N ) (N ,1 ) ∆VaR (α) = (∆VaR1 (α) ∆VaR2 (α) ... ∆VaRN (α))0 Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Remarque : sous hypothèse de normalité, la VaR marginale correspond à un facteur au beta associé à l’ actif i, : βi = cov (Ri , Rp ) σ2 p qui peut être estimé par le coe¢ cient de la régression linéaire suivante, correspondant au CAPM (Sharpe, 1964) : Ri ,t = αi + βi Rp,t + εi ,t Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Rappel : Si l’ note β le vecteur des betas des N actifs on i = 1, .., N tel que β = ( β1 β2 ... βN )0 alors β= Christophe Hurlin Σw w 0 Σw Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk De…nition (VaR Marginale et beta) Si la distribution des P&L appartient à la famille des distributions ` elliptiques, la VaR marginale associée au i eme actif du portefeuille est proportionnelle au beta (CAPM) correspondant : ∆VaRi (α) = VaRp,t (α) W βi où VaRp,t (α) et W désignent respectivement la VaR et la valorisation du portefeuille. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Example (Jorion, 2007) On considère un portefeuille comportant des investissements en dollars canadiens (CAD) et en euros (EUR). On suppose que les deux monnaies ne sont pas corrélées et ont une volatilité respectivement égale à 5% et 12%. Le portefeuille comporte l’ équivalent de 2 millions de dollars investits en dollars canadiens et 1 million de dollars investits en euros. Calculons les VaR marginales à 5% sur les deux actifs. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Example (Jorion, 2007, suite) On sait que : ∆VaR (0.05) = (2,1 ) Φ 1 (0.05) Σ x σp (2,2 ) (2,1 ) ∆VaR (α) = (∆VaRCAN (α) ∆VaREUR (α))0 Dès lors : ∆VaR (0.05) = Σ (2,2 ) 1.6449 x = p (2,1 ) 0.0244 Christophe Hurlin 0.052 0 0 0.122 Value-at-Risk 2 1
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Example (Jorion, 2007, suite) On en déduit …nallement les VaR marginales : ∆VaR (0.05) = ∆VaRCAN (α) ∆VaREUR (α) Christophe Hurlin Value-at-Risk = 0.0527 $ 0.1516 $
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk L’ approche de la VaR marginale est générallement complétée par un calcul de VaR incrémentale. La VaR marginale permet de mesurer la variation de la VaR engendrée par une variation marginale, comme son nom lindique, des positions sur un actif particulier. La VaR incrémentale permet de mesurer la variation des risques et donc de la VaR, engendrée par le passage d’ une position initiale à une autre position, impliquant des variations sur un ou plusieurs actifs d’ ampleur variables (problème des non linéarités dans la variation de la VaR). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk De…nition (VaR incrémentale) La Value-at-Risk incrémentale correspond à la variation de VaR engendrée par le passage d’ une position p1 à une position p2 sur l’ ensemble des N actifs du portefeuille. VaR incrémentale = VaRp2 ,t (α) où α désigne le taux de couverture. Christophe Hurlin Value-at-Risk VaRp1 ,t (α)
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Example (Jorion, 2007) On considère à nouveau l’ exemple précédent d’ portefeuille un comportant des investissements en dollars canadiens (CAD) et en euros (EUR). On souhaite augmenter la position libéllée en dollar canadien d’ montant équivalent à 10,000 dollars US. On un souhaite calculer la VaR incrémentale à 5% associée au passage du portefeuille initial à ce nouveau portefeuille. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Example (Jorion, 2007) On peut calculer explicitement la variation de VaR. Rappelons que la VaR du portefeuille initial est égale à 256 934$. La VaR du nouveau portefeuille vaut : p x 0 Σx 106 VaRp,t (0.05) = Φ 1 (0.05) = 2.01 1 0.052 0 0 0.122 VaRp,t (0.05) = 257 461 $ On en déduit la valeur de la VaR incrémentale : VaR incrémentale = 527.28 $ Christophe Hurlin Value-at-Risk 2.01 1
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk On peut en…n envisager une décomposition du risque a…n d’ identi…er les gains liés à la diversi…cation. Pour cela on utilise la notion de VaR composée (component VaR) L’ idée de base consiste à déterminer ce que serait le risque si l’ retirait un actif du portefeuille. La variation de risque par on rapport à la situation initiale donne une mesure des gains/pertes en termes de diversi…cation/risque liés à l’ introduction de cet actif dans le portefeuille Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk De…nition (VaR composée) ` La Value-at-Risk composée (component VaR) associée au i eme actif, pour i = 1, .., N, notée CVARi (α) , est la variation de VaR engendrée par la suppression de cet actif du portefeuille. CVaRi ,t (α) = ∆VaRi ,t (α) Wi = VaRp,t (α) βi wi où VaRp,t (α) et Wi désignent respectivement la VaR et le montant investit dans l’ actif i, et où βi désigne le beta (CAPM) eme titre. ` associé au i Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Remarque : Par construction, la somme des CVaR est égale à la VaR : N VaRp,t (α) = ∑ CVaRi ,t (α) i =1 Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk De…nition (VaR composée) On exprime parfois la Value-at-Risk composée (component ` VaR) associée au i eme actif en pourcentage de la VaR totale . CVaRi ,t (α) = βi VaRp,t (α) Christophe Hurlin wi Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Example (Jorion, 2007) On considère à nouveau l’ exemple précédent d’ portefeuille un comportant des investissements en dollars canadiens (CAD) et en euros (EUR). On rappelle que le portefeuille comporte l’ équivalent de 2 millions de dollars investits en dollars canadiens et 1 million de dollars investits en euros. On souhaite calculer les CVAR à 5%. On sait que CVaRi ,t (α) = ∆VaRi ,t (α) Wi CVaRCAN (α) CVaREUR (α) = 0.0527 0.1516 Christophe Hurlin 2 millions $ 1 millions $ Value-at-Risk = 105 630 $ 152 108 $
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Example (Jorion, 2007) On peut exprimer ces CVAR en % de la VaR. Sachant que la VaR du portefeuille vaut 256 934$, on trouve approximativement que :ù CVaRCAN (α) /VaRp,t (α) CVaREUR (α) /VaRp,t (α) = 41% 59% Retirer l’ actif libéllé en euro du portefeuille conduirait à une diminution de la VaR de 59% ou dit autrement cet actif contribue à hauteur de 59% du total de la VaR. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Risque de portefeuille et Value-at-Risk Exemple d’ application Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk Nous considérerons ici deux exemples d’ application repris de Jorion (2007) : 1 Un portefeuille actions 2 Exemple de la Barings Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Christophe Hurlin Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Risque de portefeuille et Value-at-Risk 1 Au moment de l’ éclatement du scandale de la Barings, le trader Leeson avait pris de façon frauduleuse des positions longues sur des futures sur le Nikkei pour plus de 7.7 milliards de dollars et des positions courtes sur les bonds du gouvernement japonais(JBG) pour plus de 16 milliards de dollars. 2 Si un calcul de VaR avait été mis en place sur ces positions frauduleuse, auriat-il permis de détecter la provenance du risque. 3 Jorion (2007) calcule les di¤érentes VaR à partir du bond zero-coupon à 10 ans du gouvenemen japonais et de l’ indice Nikkei. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Christophe Hurlin Préambule VaR d’ Portefeuille un VaR marginale, incrementale et composée Exemples d’ applications Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Limites de la Value-at-Risk Préambule Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk La VaR présente de nombreuses avantages : 1 sa simplicité d’ interprétation 2 son caractère généraliste et général, voir holiste 3 la dimension probabiliste de cette mesure de risque Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Mais la VaR présente certains inconvénients : 1 la VaR est sujette au risque de modèle : une erreur de spéci…cation de la distribution de P&L par exemple 2 la VaR est sujette au risque d’ implémentation liée à la structure des données requises pour estimer la P&L distribution ou la vaR directement 3 Mais tous ces risques ne sont pas propres à la VaR Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk En revanche la VaR présente aussi certaines limites qui lui sont propres : 1 Cette mesure de risque ne donne aucune information sur les pertes au delà de la VaR 2 Cette mesure peut conduire des agents à prendre de "mauvaise décision" d’ investissement 3 Cette mesure peut conduire certains agents à prendre volontairement plus de risque dans un système de management des risques décentralisé Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Fact La Value-at-Risk ne donne aucune information sur l’ ampleur des pertes extrêmes (ou pertes en excès) qui peuvent apparaître au delà de la VaR. Par conséquent, deux positions peuvent avoir la même VaR avec des risques extrêmes totalement di¤érents. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall P&L1 VaR P&L2 Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Example Soient deux projets, dont les rendements notés respectivement R1 et R2 admettent une distribution discrète et équiprobables sur les ensembles de valeurs suivantes : R1 = f 10; 8; 6; 4; 2; 0; 2; 4; 6; 8g R2 = f 11; 7; 6; 4; 2; 0; 2; 4; 6; 8g les deux projets ont la même espérance et la même VaR à 10% VaR1 (0.1) = VaR2 (0.1) = 9 Or le projet 2 peut engendrer des pertes en excès (-11) plus importante que le projet 1 (-10). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Cette limite peut avoir des conséquences importantes pour un investisseur : Supposons qu’ investisseur décide de …nancer un projet sur un la base d’ une analyse moyenne-VaR Supposons que ce projet peut générer de très forts rendements, mais aussi des très fortes pertes Une analyse fondée sur la VaR peut conduire à adopter le projet, si les plus fortes pertes n’ a¤ectent pas la VaR (parce que ces pertes excèdent la VaR), et cela quelle que soit les rendements positif attendus et la taille des pertes potentielles. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Fact L’ analyse moyenne-VaR peut conduire à accepter des projets avec forts rendements positifs, quelles ques soient les possibles pertes associées, si tant est que la réalisation de ces pertes est su¢ sament peu probable : une telle con…guration peut conduire les investisseurs à s’ exposer à des très fortes pertes (quoique relativement peu probable). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk De la même façon, l’ usage de la VaR dans un système de management des risques reposant sur une relation principal-agent (délégation) peut conduire à des e¤ets non désirables : Supposons que la gestion d’ actif est décentralisée et que les traders ou les assets managers sont soumis à des limites de risques en termes de VaR Le trader peut avoir intérêt alors (politique de bonus) a prendre des positions très risquées (vente d’ options out-of-the-money par exemple), mais ayant des probabilité de réalisation faible a…n de ne pas atteindre les limites de risque établies par les système de contrôle des risques. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Plus généralement, on peut se poser la question de savoir si la VaR est une bonne mesure des risques ? Mais qu’ ce qu’ est une "bonne" mesure des risques ? Notion de mesure cohérente des risques Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Limites de la Value-at-Risk Mesure cohérente des risques Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk La théorie des mesures cohérentes de risque a été développée par Artzner et al. (1997, 1999). Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.M., Heath, D., 1997. Thinking coherently. Risk 10 (11), 68–71. Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.M., Heath, D., 1999. Coherent measures of risk. Mathematical Finance 9(3), 203–228. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk L’ idée de départ d’ Artzner et al. (1997, 1999) est à la fois simple et profonde : la notion de risque …nancier est dure, voir impossible à conceptualiser, à moins que l’ ne dispose d’ on une idée claire de ce que l’ entend par mesure de risque on Parallèle avec la température et le thermomètre : on a tous une notion plus ou moins intuitive de la chaleur et de la température, mais il est impossible de la conceptualiser clairement sans la notion de thermomètre Artzner et al. (1997, 1999) postulent donc un ensemble d’ axiomes (axiomes de cohérence) sur ce que doit véri…er une mesure de risque. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk De…nition (Mesure de risque cohérente) Soient X et Y deux distributions de P&L associées à deux portefeuilles et soit ρ (.) une mesure de risque sur un horizon donné. la mesure de risque ρ (.) est dite cohérente ssi elle satisfait les axiomes suivants : (i ) Monotonicité : Y X =) ρ (Y ) ρ (X ) (ii ) Subadditivité : ρ (X + Y ) ρ (X ) + ρ (Y ) (iii ) Homogénéité positive : ρ (hX ) = hρ (X ) pour h > 0 (ii ) Invariance translationnelle : ρ (X + n) = ρ (X ) n pour toute valeur n Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Remarque 1 : l’ axiome le plus important est celui de subadditivité. Il signi…e qu’ portefeuille constitué de sous portefeuilles ne un doit pas être plus risqué (au regard d’ une mesure cohérente) que la somme des risques associés aux sous portefeuilles. Cet axiome se fonde sur l’ idée que l’ agrégation des risques individuels, doit conduire à une diversi…cation des risques et on donc à une diminution du risque globale, ou dans le pire des cas à un maintien de celui-ci. C’ cet axiome qui fonde la diversi…cation des risques. est Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Si les risques sont subadditifs, l’ addition des risques individuels donne une sorte d’ enveloppe supérieure des risques ou une sorte d’ estimation conservatrice des risques. Cela facilite la supervision des risques dans des structures décentralisées. Mais si ce n’ pas le cas, l’ est utilisation du risque agrégré comme indicateur de risque global peut conduire à largement sous évaluer ce risque global. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk La Value-at-Risk est elle une mesure cohérente du risque ? Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Theorem La Value-at-Risk n’ pas une mesure cohérente du risque et en est particulier la Value-at-Risk ne véri…e pas l’ axiome de subadditivité Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Example (Dowd, 2005) Considérons deux obligations A et B. La probabilité de défaut sur chaque obligation est de 4% et on anticipe une perte de 100 en cas de défaut, et une perte nulle en cas de non défaut. La VaR a 5% de chaque titre est donc égale à 0. VaRA (5%) = VaRB (5%) = VaRA (5%) + VaRB (5%) = 0 Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Example (Dowd, 2005, suite) Supposons que les défauts soient indépendants. Au niveau du portefeuille total (une obligation A et une obligation B), la P&L est la suivante : 8 avec une probabilté p1 = 0.962 = 0.9216 < 0 200 avec une probabilté p2 = 0.042 = 0.0016 P/L = : 100 avec une probabilté p3 = 0.0768 cela implique une VaR égale à : VaRA +B (5%) = 100 > VaRA (5%) + VaRB (5%) = 0 La VaR n’ pas subadditive est Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Remarque : on peut rendre la VaR subadditive en imposant des hypothèses fortes sur la distribution de P&L. Notamment en supposant que la distribution appartient à la famille des distributions elliptiques.(cf. Artzner et al., 1999) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Existe-il des mesures de risques (i) cohérentes, (ii) généralistes, (iii) simple d’ interprétation, (iv) aggrégative ? Une mesure candidate est l’ expected shortfall Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Limites de la Value-at-Risk Expected shortfall (ES) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk De…nition (Expected Shortfall) L’ Expected Shortfall (ES) associée à un taux de couverture de α% correspond à la moyenne des α% pires pertes attendues telle que : Z 1 α ESt (α) = F 1 (p ) dp α 0 Rt où FR t (.) désigne la fonction de répartition associée à la fonction de densité fR t (r ) . Par convention, on exprime l’ sous forme ES positive comme la VaR, alors qu’ s’ il agit d’ une perte moyenne. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Remarque 1 : l’ Expected Shortfall nous donne une information sur la moyenne des pertes dans les pires états de la nature, c’ à dire est dans les α% situations où les pertes excèdent la VaR(α) . Remarque 2 : l’ Expected Shortfall est aussi appellée parfois Conditionnal Loss ou Expected Tail Loss (ETL) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Remarque 3 : Pour une distribution discrète, on a : ES (α) = 1 α eme ∑ p ` plus forte perte α p =0 Christophe Hurlin ` Pr p eme plus forte perte Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Lemma L’ Expected Shortfall (ES) est une mesure cohérente de risque et véri…e en particulier l’ axiome de sub-additivité Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Considérons deux distributions discrètes de P&L, notées A et B, avec N quantiles équi-probables. Alors : ESA (α) + ESB (α) = moyenne des Nα plus fortes pertes sur A + moyenne des Nα plus fortes pertes sur B Donc par conséquent : ESA (α) + ESB (α) moyenne des Nα plus fortes pertes sur A +B = ESA +B (α) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Comment calculer l’ ? ES 1 Pour certaines distributions de P&L (distribution normale notamment) il existe des formules analytiques permettant de calculer l’ ES. 2 Dans les autres cas, on utilise des approximations numériques. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk De…nition (ES dans le cas d’ une distribution normale) Dans le cas d’ une distribution de P&L normale centrée réduite N µ, σ2 , l’ Expected Shortfall associée à un taux de couverture de α% vaut : ! Ft 1 ( α ) 2 σ p ESt (α) = exp 2 α 2π Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Corollary Dans le cas d’ une loi N (0, 1) , cette expression est équivalente à l’ expression suivante ESt (α) = φ Φ 1 (α) 0.05 où φ et Φ désignent respectivement la densité et la répartition de la loi normale standard. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Example Voici quelques valeurs d’ sous l’ ES hypothèse de normalité des P&L ESt (0.05) = 2.0627 VaRt (0.05) = 1.6449 ESt (0.01) = 2.6652 Christophe Hurlin VaRt (0.01) = 2.3263 Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall VaR et ES sous distribution Normale 0.4 0.35 0.3 Distribution de P&L 0.25 0.2 0.15 P&L Distribution Normale 1% VaR = 2.3263 1% ES = 2.6652 0.1 0.05 0 -5 -4 -3 -2 -1 Christophe Hurlin 0 x 1 Value-at-Risk 2 3 4 5
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Fact Dans le cas général, il n’ existe pas de formule analytique pour l’ ES et on utilise des approximations numériques. Une méthode de calcul possible est alors celle de la moyenne des VaR (average VaR) : on calcule N VaR associées à N taux de couverture équi-réaprtis sur le segment ]0, α] et l’ calcule la moyenne de ces on VaR. Lorsque N tend vers l’ in…ni, la moyenne empirique des VaR converge vers l’ ES. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall Limites de la Value-at-Risk Example Reprenons l’ exemple d’ une distribution P&L normale N (0, 1) . On cherche à calculer l’ pour un taux de couverture α = 5%. Pour ES cela on considère 10 VaR dé…nies pour des taux de couverture équi-répartis entre 0.001 et 0.05. La moyenne empirique des 10 VaR est alors égale à 2.0728 alors que la vraie valeur de l’ est ES 2.0627 β VaR( β) β VaR( β) 0.001 3.0902 0.0288 1.8991 0.0066 2.4807 0.0343 1.8206 Christophe Hurlin 0.0121 2.2536 0.0399 1.7520 Value-at-Risk 0.0177 2.1045 0.0454 1.6907 0.0232 1.991 0.05 1.644
  • Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Mesure cohérente de risque Expected shortfall FIN PARTIE 1. Christophe Hurlin Value-at-Risk