Teori himpunan
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Teori himpunan

on

  • 6,315 views

 

Statistics

Views

Total Views
6,315
Slideshare-icon Views on SlideShare
6,315
Embed Views
0

Actions

Likes
1
Downloads
164
Comments
1

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel

11 of 1

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Teori himpunan Teori himpunan Document Transcript

    • RELASIPRODUK CARTESIANDefinisi :A x B = { (x,y) | x A dan y B} Bidang koordinat menunjukkan perkalian himpunan (Produk Cartesian) R X R Pemberian nama Produk Cartesian dan bidang Cartesius adalah untuk mengenang Rene Descartes (Prancis) yang pertama kali menyelidiki tentang perkalian himpunan R X R abad ke-7Pernyataan berikut bernilai benar1. Jika himpunan A mempunyai n anggota dan himpunan B mempunyai m anggota, maka perkalian himpunan A X B mempunyai n x m = nm anggota.2. Jika A atau B himpunan kosong maka A X B juga merupakan himpunan kosong.3. Jika A atau B himpunan merupakan himpunan tak berhingga, dan yang lainnya bukan merupakan himpunan kosong maka A X B juga merupakan himpunan tak berhingga.RELASI Fungsi pernyataan yang didefinisikan pada perkalian silang himpunan A dan B (A X B) dinyatakan sebagai p(x,y). Jika peubah x dan y pada fungsi pernyataan p(x,y) diganti dengan konstanta a dan b, yang mana (a,b) A X B maka p(a,b) bernilai benar saja atau salah saja.Contoh :A = {Jakarta,Bangkok,Kuala lumpur,Singapura,Manila},B = {Indonesia,Thailand,Singapura,Malaysia,Filipina}Dan p(x,y) = “x ibukota y”Maka p(Bangkok,Thailand) = “Bangkok Ibukota Thailand”→ benar Maka jika p(a,b) bernilai benar, dikatakan “a berelasi dengan b” dan ditulis a R b. Sebaliknya jika p(a,b) tidak bernilai benar maka dikatakan “a tidak berelasi dengan b”.Dengan demikian maka suatu relasi R membutuhkan 1. Sebuah himpunan A 2. Sebuah himpunan B 3. Adanya suatu p(x,y)
    • Contoh :Jika R1 terjadi pada himpunan bilangan real R karena p(x,y) = x lebih kecil dari y. Apakah R1merupakan suatu relasi ?Penyelesaian :R1 merupakan suatu relasi pada himpunan bilangan real R karena p(a,b) selalu bernilai benarsaja atau salah saja untuk setiap pasangan terurut bilangan real (a,b).RELASI realDitujukan pada kalimat terbuka yang mendefinisikan relasi yang dikenakan pada dunia nyata.Misal : x terletak satu mil dari y, x kakak laki-laki y.RELASI abstrakDitujukan pada kalimat terbuka yang mendefinisikan relasi yang bersifat intuitif. Misal : xkurang dari y, x kuadrat dari y.DEFINISI RELASIJika A dan B adalah himpunan-himpunan sebarang maka suatu relasi R dari A ke B adalahsebarang subset dari A X B, termasuk himpunan kosong.Jika R adalah relasi dari A ke B maka suatu pasangan terurut (a,b) adalah anggota R yangkemudian disebut a berelasi R dengan b, dapat ditulis sebagai a R b atau R(a,b) atau *(a,b) R atau R : A→B atau R : A→B atau cukup R.Jika R adalah relasi dari A ke A, yaitu R adalah subset dari A X A, maka R disebut relasipada A.Contoh :1. Di tentukan A = {1,2,3} dan B {a,b} maka F = {(1,b),(3,a),(3,b)} adalah suatu relasi.2. Jika P = {2,3,4,5} dan Q = {4,5,6,7,8,9} serta p(x,y) didefinisikan sebagai “x adalah faktor dari y”, x P, y Q. Bagaimana kita dapat menyatakan relasi R ? (dengan diagram panah, grafik Cartesius, pasangan terurut)3. a. Jika n(A) = 2 dan n(B) = 2, ada berapa relasi yang dapat dibuat dari A ke B ? b. Jika n(A) = 2 dan n(B) = 3, ada berapa relasi yang dapat dibuat dari A ke B ? c. Jika n(A) = p dan n(B) = q, ada berapa relasi yang dapat dibuat dari A ke B ?MENYATAKAN RELASIPerhatikan :Jika P = {2,3,4,5} dan Q = {4,5,6,7,8,9} serta p(x,y) didefinisikan sebagai “x adalah faktor y”,x P, y Q. Bagaimana kita dapat menyatakan relasi R ?
    • Relasi dapat dinyatakan dengan : 1. Diagram panah 2. Pasangan berurutan 3. Grafik CartesiusContoh :1. Perhatikan gambar dibahwah ini ! P Q 3 2 5 4 6 8Tuliskan relasi/hubungan dari himpunan P ke himpunan Q !2. Sebutkan nama relasi dari himpunan A ke himpunan B ! a. A......................................B b. A...............................................B 1 2 1 5 2 4 2 6 3 6 3 8 4 8 4 9RELASI INVERS Jika R adalah relasi dari A ke B, yaitu R ⊂ A X B domain D (daerah asal) dari relasi R adalah himpunan semua anggota pertama pasangan terurut anggota R, yaitu D = {a/a A, (a,b) R}. Range E (daerah hasil) relasi R adalah semua anggota kedua pasangan terurut anggota R, yaitu E = {b/b B, (a,b) R}.Contoh : 1. Relasi R = {(2,b),(3,b),(5,e),(2,d),(1,d)}. Tentukan domain dari R dan tentukan range R! 2. R adalah relasi pada himpunan bilangan real yang didefinisikan oleh kalimat terbuka 4x2 + 9y2 = 36. Dan dapat digambarkan dalam grafik........Definisi Relasi Invers Setiap relasi R dari himpunan A ke himpunan B mempunyai relasi invers R-1 dari B ke A yaitu : R-1 = {(b,a)/(a,b) R}.
    • Dengan kata lain, relasi invers R-1 terdiri dari pasangan terurut yang jika dibalik menjadianggota R.Contoh :1. Ditentukan M = {1,2,3,4,5} dan R = {(1,3),(1,4),(4,4),(4,3)} adalah relasi pada M. Maka R-1 =...............2.Soal-soal1. Jika V = {4,5}, U = {a,b}, W = {p,q,r}. Tentukan : a. V X (U ∪ W) b. (V X U) ∪ (V X W) c. V X (U ∩ W) d. (V X U) ∩ (V X W) e. V X W X U2. Arsirlah daerah berikut pada bidang Cartesius : a. {x| 1<x<5} X {y| -3<y<2} b. [-2,2] X (-1,3]3. R adalah relasi pada A = {2,3,4,5,6,7}. Nyatakan R sebagai himpunan pasangan terurut jika kalimat terbuka dibawah ini mendefinisikan R sebagai : a. “x dan y hanya mempunyai faktor persekutuan 1” b. “x adalah kelipatan y” c. “x adalah setengah kali y” d. “|x-y| habis dibagi 2”Pertanyaan Jika ada hubungan, Tentukan hubungan antara domain dan range dari relasi R dandomain dan range dari relasi R-1 !
    • Macam-macam Relasi1. Relasi RefleksifDefinisi :R adalah relasi pada himpunan A, R ⊂ A X AR disebut relasi refleksif jika dan hanya jika setiap a A, (a,a) R (setiap anggota berelasidengan dirinya sendiri)2. Relasi Non RefleksifDefinisi :R adalah relasi pada himpunan A.R disebut relasi non refleksif jika dan hanya jika ada a A, (a,a) ∉ R (ada anggota A yangtidak berelasi dengan dirinya sendiri)3. Relasi IrrefleksifDefinisi :R adalah relasi pada A.R disebut relasi irrefleksif jika dan hanya jika setiap a A, (a,a) ∉ R (setiap anggota A tidakberelasi dengan dirinya sendiri)Contoh :Ditentukan H = {a,b,c,d,e} & R1 = {(a,a),(b,c),(c,c),(d,d),(d,b),(e,e)} R2 ={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(d,b),(e,e)} R3 = {(b,d),(c,a)}a. Apakah R1 dan R2 merupakan relasi refleksif ?b. Apakah R1,R2,R3 merupakan relasi non refleksif ?c. Manakah diantara R1,R2,R3 yang merupakan relasi irrefleksif ?d. Buatlah masing-masing satu contoh relasi refleksif, relasi non refleksif, relasi irrefleksif pada himpunan H !Manakah yang merupakan relasi refleksif, relasi non refleksif, dan relasi irrefleksif ?a. T = {segitiga pada bidang datar} dan relasi R pada T didefinisikan oleh kalimat terbuka “x sebangun dengan y”b. Relasi R yang didefinisikan oleh kalimat terbuka “x membagi y” pada N = {bilangan asli}c. G = {garis-garis pada bidang datar} dan relasi R pada G didefinisikan sebagai “x tegak lurus y”d. C = {bilangan cacah} dan relasi R pada C didefinisikan sebagai “x+y=10”e. Relasi R didefinisikan oleh kalimat terbuka “x kelipatan dua dari y” pada C = {bilangan cacah)f. N = {bilangan asli} dan relasi R pada N didefinisikan sebagai “2x+y=10”4. Relasi Simetri
    • Definisi :R adalah relasi pada himpunan A.R disebut relasi simetris jika dan hanya jika setiap dua anggota a,b R, maka (b,a) R(untuk setiap dua anggota a,b dari A, jika a berelasi dengan b maka b juga berelasi dengan a)5. Relasi Non SimetriDefinisi :R adalah relasi pada pada himpunan A.R disebut relasi non simetris jika dan hanya jika ada dua anggota a,b A, (a,b) R dan (b,a) ∉R (ada dua anggota a,b dari A sedemikian hingga a berelasi dengan b tetapi b tidak berelasidengan a)6. Relasi AsimetriDefinisi :R adalah relasi pada A.R disebut relasi asimetri, jika dan hanya jika setiap dua anggota a,b A, jika (a,b) R maka(b,a) ∉ R (setiap dua anggota a,b dari A, jika a berelasi dengan b maka b tidak berelasi dengana)7. Relasi AntisimetriDefinisi :R adalah relasi pada A.R disebut relasi antisimetri, jika dan hanya jika setiap dua anggota a,b A, jika (a,b) Rdan (b,a) R maka axb (setiap dua anggota a,b dari A, jika a berelasi dengan b dan b berelasidengan a maka a sama bengan b)Contoh :Ditentukan A = {3,4,5,6} dan R = {(3,4),(4,3),(6,5),(4,6),(5,6)} pada A.a. Apakah R merupakan relasi simetri ?b. Jika ditentukan R1 = {(3,4),(4,3),(6,5),(5,6)} pada A. Apakah R merupakan relasi simetri ?c. Manakah di antara R dan R1 yang merupakan relasi non simetri ?d. Jika ditentukan R2 = {(3,4),(4,5),(5,3),(6,5)} R3 = {(3,4),(4,5),(6,5)} R4 = {(3,4),(4,3)} R5 = {(3,3),(4,4)} R6 = {(4,5),(5,4),(3,3)} Adakah diantara relasi tersebut yang merupakan relasi non simetri ? asimetri ? antisimetri ?8. Relasi TransitifDefinisi :R adalah relasi pada himpunan A.
    • R disebut relasi transitif jika dan hanya jika setiap tiga anggota a,b,c A, jika (a,b) R dan(b,c) R maka (a,c) R (setiap tiga anggota a,b,c dari A jika a berelasi dengan b dan bberelasi dengan c maka a berelasi dengan c)9. Relasi Non TransitifDefinisi :R adalah relasi pada A.R disebut relasi non transitif pada A jika dan hanya jika ada tiga anggota a,b,c Asedemikian hingga (a,b) R dan (b,c) R, dan (a,c) ∉ R (ada tiga anggota a,b,c dari Asedemikian hingga a berelasi dengan b, dan b berelasi dengan c dan a tidak berelasi dengan c)10. Relasi intransitifDefinisi :R adalah relasi pada himpunan A.R disebut relasi intransitif pada A jika dan hanya jika setiap anggota a,b,c A, jika (a,b) Rdan (b,c) R maka (a,c) ∉ R (setiap tiga anggota a,b,c dari A, jika a berelasi dengan b dan bberelasi dengan c maka a tidak berelasi dengan c)Contoh :1. Tentukan A = {3,4,5,6} dan R1 = {(3,4),(4,3),(3,3),(6,5),(4,6),(5,6)} pada A. a. Apakah R1 merupakan relasi transitif ? b. Jika ditentukan R2 = {(3,4),(4,3),(3,3),(6,5),(5,6),(6,6)} pada A. Apakah R2 merupakan relasi transitif ? c. Apakah R1 merupakan relasi non transitif ? d. Jika ditentukan pada A R3 = {(3,4),(5,6),(4,3),(6,5)} R4 = {(3,4),(4,3),(5,6)} R5 = {(3,4),(4,3)} R6 = {(3,3),(4,4)} R7 = {(4,5),(5,4),(4,4)} Adakah di antara relasi-relasi diatas yang merupakan relasi non transitif ? intransitif ?11. Relasi EkivalenDefinisi :R adalah relasi pada himpunan A.R adalah relasi ekivalen jika dan hanya jikaa. R merupakan relasi refleksif, yaitu untuk setiap a,a A, (a,a) Rb. R merupakan relasi simetris, yaitu untuk setiap a,b A, jika (a,b) R maka (b,a) R
    • c. R merupakan relasi transitif, yaitu untuk setiap a,b,c A, jika (a,b) R dan (b,c) R maka (a,c) R.Contoh :1. Ditentukan A adalah sebarang himpunan dan relasi R adalah relasi pada A yang didefinisikan sebagai “x = y”. Apakah R merupakan relasi ekivalen ?