¨Uber die Darstellung von Raumkurven durch ihre Invarianten
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A treatise in classical curve theory featuring the development of the complete theory of Frenet frames and the Frenet equations, and the derivation of explicit representations of important curve......

A treatise in classical curve theory featuring the development of the complete theory of Frenet frames and the Frenet equations, and the derivation of explicit representations of important curve classes (Helices, Curves of Constant Precession, Slant Helices)

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  • 1. Mathematisches Institut derBayerischen Julius-Maximilians-Universit¨t Wurzburg a ¨ ¨ Uber die Darstellung von Raumkurven durch ihre Invarianten Diplomarbeit von Toni Menninger aus Ballingshausen Betreuer: Dr. Johann Hartl, Prof. Dr. Helmut Pabel M¨rz 1996 (erg¨nzt August 2001) a a
  • 2. InhaltsverzeichnisEinfuhrung ¨ 2I. Pr¨liminarien a 9 1 Der Orientierte Euklidische Raum . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Begleitbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15II. Zur Theorie der Frenetkurven 20 4 Raumkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.1 Kurve, Tangente, Bogenl¨nge und Kr¨mmungsmaß a u 21 4.2 Tangentiale Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5 Frenetkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.1 Frenetsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.2 (Un-)Eindeutigkeit der Frenetkr¨mmungen . . . . . u 35 6 Das Bishopsystem einer Raumkurve . . . . . . . . . . . . . 44 7 Zusammenhang zwischen Frenet- und Bishopsystem . . . . 50 1
  • 3. INHALTSVERZEICHNIS 2III. Spezielle Klassen von Raumkurven 58 8 Fl¨chenkurven und sph¨rische Kurven . . . . . . . . . . . a a 59 8.1 Die Darbouxbegleitbasis einer Fl¨chenkurve . . . . a 59 8.2 Sph¨rische Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 62 8.3 Lokale Kurvengeometrie . . . . . . . . . . . . . . . 66 9 Explizit integrierbare Frenetkurven . . . . . . . . . . . . . 72 9.1 Geradlinige Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 9.2 Ebene Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 9.3 B¨schungslinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 75 9.4 Kreisellinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Literaturverzeichnis 86
  • 4. Einfuhrung ¨Ausgangspunkt dieser Arbeit war der Fundamentalsatz der Kurventheorief¨r den dreideimensionalen euklidischen Raum: durch zwei stetige Funk- utionen ist eindeutig eine Raumkurve mit den vorgegebenen Funktionen alsKr¨mmung und Torsion (als Funktionen der Bogenl¨nge) – ihren skalaren u aInvarianten – festgelegt. Die Fragestellung lautet nun: Wie kann aus denvorgegebenen Kr¨mmungen m¨glichst viel Information uber die durch sie u o ¨definierte Kurve abgeleitet werden? Insbesondere, wann kann diese Kur-ve explizit bestimmt werden? (dann bezeichnen wir sie als explizit inte-grierbar). Dazu muß im allgemeinen ein System von linearen Differential-gleichungen, den Frenetschen Ableitungsgleichungen oder den nat¨rlichen uGleichungen der Kurve, gel¨st werden (sie wurden 1847 von Frenet und o1851 unabh¨ngig von Serret aufgestellt). Das generelle Verfahren zur aL¨sung linearer Differentialgleichungen hat den Nachteil, daß es unendlich oviele Integrationen erfordert. Lie (1882) und Darboux (1914, Ch. I-IV)zeigten, daß die L¨sung der Frenetgleichungen aquivalent zur L¨sung einer o ¨ oRiccatischen Differentialgleichung ist, die im allgemeinen nicht integrierbarist. L¨sungen der Frenetgleichungen in einer Reihe von Spezialf¨llen (bis o aauf Integration) sind jedoch wohlbekannt. Schon Euler (1736) fand dieexplizite Darstellung ebener Kurven aus ihrer Kr¨mmung. Hoppe (1862) u
  • 5. ¨EINFUHRUNG 4entwickelte einen Ansatz zur Reduzierung der Frenetgleichungen mittelsIntegraltransformationen. F¨r vier der einfachsten F¨lle gab er L¨sungen u a oan, ohne dabei auf ihre geometrische Interpretation einzugehen. Sie f¨hren uauf ebene Kurven, B¨schungslinien und Kurven konstanter Pr¨zession, die o aerst k¨rzlich von Scofield (1995) eingehend untersucht wurden. Weitere uBeispiele f¨r aus ihren Kr¨mmungen explizit angebbaren Kurvenklassen u uwurden bisher nicht bekannt. Neuere Ans¨tze von Hartl und Scofield haben dieses Bild vervollst¨ndigt. a aHartl (1983) stellte fest, daß die linearen Frenet-Differentialgleichungen(verallgemeinert auf den Rn ) unter bestimmten Bedingungen durch Expo-nentierung des Integrals uber ihre Koeffizientenmatrix l¨sbar sind. Hartl ¨ okl¨rte, daß diese direkt integrierbaren Kurven genau die (Hyper)B¨schungs- a olinien im n-dimensionalen Raum sind. Im Dreidimensionalen f¨hrt das auf udie bekannten B¨schungslinien. o Scofield (1994) versucht, die Frenetgleichungen frontal anzugehen.Er findet eine pr¨gnante Neuformulierung des Problems unter Verwendung avon Integraloperatoren, auf deren Invertierung es nun ankommt. Scofieldzeigt auch, daß diese Methode praktisch anwendbar ist; er erh¨lt eine neue aDifferentialgleichung, die in einem Sonderfall zwanglos zur L¨sung f¨hrt, o un¨mlich genau im Falle von Kurven konstanter Pr¨zession. Allerdings sieht a adiese Differentialgleichung in allen anderen F¨llen hoffnungslos aus. Ob der aAnsatz mittels Integraloperatoren neue Ergebnisse bringen wird, bleibtabzuwarten. In dieser Arbeit wurde ein rein geometrischer Zugang gew¨hlt. Nir- a ¨gends werden explizit Differentialgleichungen diskutiert. Die Uberlegungist folgende: Die drei bisher als explizit integrierbar erkannten Kurvenklas-
  • 6. ¨EINFUHRUNG 5sen - ebene Kurven, B¨schungslinien und Kurven konstanter Pr¨zession - o asind dies aufgrund ihrer speziellen geometrischen Eigenschaften, genauer:aufgrund bestimmter Eigenschaften ihrer Tangenten und Normalen. Die-se Kurvenklassen sind als Glieder einer Folge aufsteigender Komplexit¨t ainterpretierbar: Eine B¨schungslinie hat ein ebenes Tangentenbild, das ei- oner Kurve konstanter Pr¨zession liegt wiederum auf einer B¨schungslinie, a ow¨hrend ihr Normalenbild eben ist. Allgemein werden Kurven mit ebenem aNormalenbild als Kreisellinien definiert; die Kurven konstanter Pr¨zession asind ein Sonderfall davon, bei dem gewisse Parameter konstant sind. Insgesamt kann nach diesem Schema eine unendliche Folge von Kur-venklassen definiert werden, deren erste Glieder ebene Kurven, B¨schungs- olinien und Kreisellinien und deren Spezialf¨lle, die Kreise, Schraubenlinien aund Kurven konstanter Pr¨zession, sind. In Abschnitt 7 wird dieses Prinzip apr¨zisiert und die Beziehung zwischen den aufeinanderfolgenden Kurven- aklassen gekl¨rt. Es zeigt sich, daß, ausgehend von der Eulerschen L¨sung a of¨r ebene Kurven, alle Folgekurvenklassen explizit integrierbar sind. Dabei ukommt die Verallgemeinerung einer Rekursionsformel von Bilinski (1955) ¨zur Anwendung, die den Ubergang von der Frenetbegleitbasis einer Kurvezu der der Folgekurve beschreibt. Hauptergebnis dieser Arbeit ist die Ermittlung expliziter Parameter-darstellungen f¨r ebene Kurven, B¨schungslinien und erstmals f¨r Krei- u o usellinien nach der skizzierten Methode (Abschnitt 9). Die Vermutung liegtnahe, daß die Kurvenklassen dieser Folge die einzigen sind, die durch end-lich viele Integrationen aus ihren Kr¨mmungen bestimmbar sind. u In der dreidimensionalen Kurventheorie ist es weithin ublich, sich auf ¨wendepunktfreie Kurven zu beschr¨nken. Auf diese Einschr¨nkung wurde a a
  • 7. ¨EINFUHRUNG 6hier jedoch verzichtet, denn die Theorie der Differentialgleichungen garan-tiert die Existenz einer L¨sung der Frenetgleichungen auch dann, wenn odie vorgegebene Kr¨mmungsfunktion Nullstellen besitzt; vorausgesetzt ist uallein die Stetigkeit. Um aber Kurven mit Wendepunkten in die Analysedieser Arbeit einzubeziehen, brauchen wir eine Verallgemeinerung der Fre-nettheorie, die es erlaubt, die bekannten Methoden auch auf solche Kurvenanzuwenden. Auf die M¨glichkeit dieser verallgemeinerten Frenettheorie owies zuerst Wintner (1956) hin, und Nomizu (1959) und Wong &Lai (1967) bauten sie aus. Es zeigt sich, daß nicht alle Kurven in dieFrenettheorie einbezogen werden k¨nnen und daß die von wendepunktfrei- oen Kurven her gewohnte Eindeutigkeit von Begleitbasis, Kr¨mmung und uTorsion verloren geht. Aber wichtige Kurvenklassen wie die hier unter-suchten sind als Frenetkurven beschreibbar und besitzen charakteristische, nat¨rliche“ Begleitbasen. u” Die ausf¨hrliche Darstellung der verallgemeinerten Frenettheorie nimmt uden gesamten Teil II in Anspruch. Einen zentralen Stellenwert nimmt da-bei der Begriff der Begleitbasis ein, dem schon der vorbereitende 2. Ab-schnitt gewidmet ist. Zun¨chst werden allgemeine Eigenschaften gewisser atangentialer Begleitbasen betrachtet (Abschnitt 4). Die interessantestenvon ihnen sind die bekannten Frenetbegeitbasen (Abschnitt 5) und dievon Bishop (1975) eingef¨hrten, die hier als Bishopbegleitbasen bezeich- unet werden (Abschnitt 6). Letztere zeichnen sich dadurch aus, daß ihreExistenz schon unter schwachen Voraussetzungen gesichert ist, anders alsbei Frenetbegleitbasen. Der Zusammenhang zwischen Frenet- und Bishopbegleitbasen (Ab-schnitt 7) erweist sich in verschiedener Hinsicht als Schl¨ssel. Zum einen uwird daraus die Rekursionsformel gewonnen, die u.a. die L¨sung der Fre- o
  • 8. ¨EINFUHRUNG 7netgleichungen f¨r Kreisellinien erm¨glicht. Zum anderen bieten die Bi- u oshopbegleitbasen einen besonders nat¨rlichen Zugang zu einer Reihe wich- utiger Probleme. So gewonnene Ergebnisse k¨nnen dann in die Begriffe der oFrenettheorie ubertragen werden. Einige Anwendungen, insbesondere f¨r ¨ usph¨rische Kurven, werden in Abschnitt 8 gezeigt. a Sph¨rische Kurven sind im allgemeinen nicht explizit integrierbar. Zu- amindest ist die Eigenschaft, sph¨risch zu sein, aus den Invarianten ables- abar. Eine umfassende notwendige und hinreichende Bedingung daf¨r, daß ueine Kurve sph¨risch ist, wurde erst von Wong (1967, 1972) formuliert. aBishop (1975) erkannte, daß diese Bedingungen mit Hilfe von Bishopbe-gleitbasen sehr leicht abzuleiten sind. Fast von selbst ergibt sich dann derSatz uber die Gesamttorsion geschlossener sph¨rischer Kurven. ¨ a
  • 9. I. Pr¨liminarien a1 Der Orientierte Euklidische RaumThema dieser Arbeit sind Kurven im orientierten euklidischen Raum Rn .In diesem Abschnitt werden einige wichtige Begriffe zusammengestellt unddie Notationen eingef¨hrt. uGegeben ist der Vektorraum Rn mit kanonischer Basis e1 , . . . , en undkanonischem Skalarprodukt ·, · mit den Eigenschaften ei , ej = δij , aV + bW, X = a V, X + b W, X , V, W = W, Vf¨r a, b ∈ R, V, W, X ∈ Rn , durch das der Vektorbetrag u |X| = X, X f¨r X ∈ Rn udefiniert ist. Zugleich ist der Winkel Θ zwischen zwei Vektoren V, W er-kl¨rt durch a V, W cos Θ = . |V ||W |Die Menge der Einheitsvektoren bilden die Einheitssph¨re a S n = {X ∈ Rn+1 |X| = 1}.
  • 10. ¨PRALIMINARIEN 10Vektoren werden durch ihre kartesischen Koordinaten in Spaltenform be-schrieben, n t X = (x1 , . . . , xn ) = xi ei i=1 t(wo Transposition bezeichnet). Dann ist X, Y = X t Y . Punkte werdenauf die gleiche Weise in Koordinaten geschrieben; eine strenge begriffli-che Unterscheidung zwischen Punkten und Vektoren wird in dieser Arbeitnicht gemacht. Wir schreiben X Y ⇔ die Vektoren X und Y sind linear abh¨ngig, und a X ⊥ Y ⇔ X, Y = 0 ⇔ die Vektoren X und Y sind orthogonal.Das lineare Erzeugnis eines Vektortupels V1 , . . . Vk ist k V1 , . . . , Vk = αi Vi αi ∈ R, f¨r i = 1, . . . , k u i=1und das orthogonale Komplement ist {V1 , . . . , Vk }⊥ = V1⊥ ∩ . . . ∩ Vk⊥ = {X ∈ Rn X ⊥ Vi f¨r i = 1 . . . k}. uEine Orthonormalbasis (ONB) des Rn ist ein Vektortupel B1 , . . . Bn mit Bi , Bj = δij .Orthonormalbasen werden als Spaltentupel B = (B1 , . . . Bn )t geschriebenund mit ihrer orthogonalen Koordinatenmatrix B ∈ Rn×n identifiziert. Esgilt B t B = I mit Einheitsmatrix I. Eine ONB B heißt positiv orientiert,falls det B = +1.Die Orthogonalen Matrizen mit Determinante +1 heißen auch eigentlichorthogonal. Sie bilden die Gruppe SO(n) = {M ∈ Rn×n M t M = I ∧ det M = +1}.
  • 11. ¨PRALIMINARIEN 11Eine Abbildung X ∈ Rn → M X ∈ Rn heißt Drehung, falls M ∈ SO(n). ¨Sie beschreibt den Ubergang von der kanonischen Basis auf die Basis mitKoordinatenmatrix M . Eine Abbildung α : R n → Rn , α(X) = X0 + M X (X0 ∈ Rn , M ∈ SO(n)),eine Drehung, kombiniert mit einer Translation, heißt eigentliche oder ori-entierungserhaltende Bewegung.Ein beliebiger Vektor X besitzt zur ONB B = (B1 , . . . Bn )t die Darstellung n X= X, Bi Bi = B t X. i=1X ist der Koordinatenvektor von X bez¨glich B: u X = ( X, B1 . . . X, Bn )t = BX.Im R3 , f¨r den wir uns haupts¨chlich interessieren, ist zus¨tzlich das Vek- u a atorpodukt zweier Vektoren definiert. F¨r eine beliebige positiv orientierte uONB (B1 , B2 , B3 )t gilt B1 × B2 = B3 , B2 × B3 = B1 , B3 × B1 = B2und f¨r a, b ∈ R und V, W, X ∈ R3 ist u (aV + bW ) × X = a(V × X) + b(W × X), V × W = −W × V.Schließlich gilt f¨r Vektoren X, Y ∈ R3 u X Y ⇐⇒ X × Y = 0.Eine Gerade im R3 ist eine Punktmenge g = x0 + S = {x ∈ R3 x × S = x0 × S = const.},
  • 12. ¨PRALIMINARIEN 12wobei S ∈ R3 0 Richtungsvektor der Geraden und x0 ∈ R ein Punkt aufihr ist.Eine Ebene im R3 ist eine Punktmenge E = x0 + V, W = x0 + N ⊥ = {x ∈ R3 x, N = x0 , N = const.},wobei x0 ∈ R3 ein Punkt auf ihr, V und W zwei linear unabh¨ngige aRichtungsvektoren und N V × W = 0 ein Normalenvektor der Ebeneist.Eine Sph¨re schließlich mit Mittelpunkt m ∈ R3 und Radius R ∈ R+ ist aeine Punktmenge SR,m = {x ∈ R3 |x − m| = R}.Nat¨rlich ist S 2 = S1,0 . Die Schnittmenge aus einer Sph¨re und einer Ebe- u ane wird, falls sie mehr als einen Punkt enth¨lt, als Kreislinie bezeichnet. a2 BegleitbasenDas f¨r diese Arbeit wichtigste Hilfsmittel der Kurventheorie ist die Be- ugleitbasis. Ziel ist, einer Kurve in jedem Punkt eine an sie angepaßte ONBanzuheften, die oft als begleitendes Dreibein‘ bezeichnet wird. Zun¨chst a ’dient der Begriff nur zur Unterscheidung einer variablen von einer starrenBasis (etwa im Sinne von ‘moving frame’).Definition 1 (Begleitbasis). Ein Vektortupel B1 , . . . , Bn von C k -Ein-heitsvektorfeldern Bi : G → S n−1 (G ⊂ R eine offene Menge) heißt C k -Begleitbasis, falls die Komponenten f¨r jeden Parameterwert t ∈ G eine posi- utiv orientierte Orthonormalbasis des Rn bilden. Die Begleitbasis wird mit der
  • 13. ¨PRALIMINARIEN 13matrixwertigen Funktion B : G → Rn , B(t) = (B1 (t), . . . , Bn (t))tidentifiziert mit B(t) ∈ SO(n) f¨r alle t aus G. uDie Ableitungen der Begleitbasisvektoren (falls k ≥ 1) k¨nnen nun wieder odurch die Basis selbst ausgedr¨ckt werden. Wir haben dann u B = B B t · B = (B1 , . . . , Bn )t (B1 , . . . Bn ) · B.Ausgeschrieben, erhalten wir so Ableitungsgleichungen der Form     B B  1   1   .   .   .  = Bi , Bj . ·  . . . (2.1)   i=1...n   j=1...n Bn BnAuf die Koeffizientenmatrix (mit Zeilenindex i und Spaltenindex j) dieserAbleitungsgleichungen kommt es an.Definition 2 (Ableitungsmatrix). Sei B = (B1 , . . . , Bn )t eine C 1 -Be-gleitbasis (k ≥ 1). Die Matrix ΦB = B B t mit Eintr¨gen a Φi,j = Bi , Bj Bheißt Ableitungsmatrix der Begleitbasis B.Nun ist ΦB + Φt = B B t + BB t = (BB t ) = I = 0 Bwegen der Orthogonalit¨t. Daraus folgt aLemma 1. Die Ableitungsmatrix einer C 1 -Begleitbasis ist schiefsymmetrisch.
  • 14. ¨PRALIMINARIEN 14Umgekehrt legt eine schiefsymmetrischen Matrix eine im wesentlichen ein-deutige Begleitbasis fest.Lemma 2. Sei Φ : I → Rn×n eine schiefsymmetrische Matrix mit stetigenKoeffizientenfunktionen auf einem offenen Intervall I ∈ R, und sei t0 ∈ Iund B0 eine positiv orientierte ONB des Rn . Dann gibt es genau eine Rn -Begleitbasis B mit ΦB = Φ und B(t0 ) = B0 . Sie ist aus Φ und B0 alsGrenzfunktion der Picardschen Folge von Integraliterationen darstellbar: t t σ2 B(t) = B0 + Φ(σ1 )B0 dσ1 + Φ(σ2 ) Φ(σ1 )B0 dσ1 dσ2 + · · · t0 t0 t0Beweis. Die lineare Differentialgleichung B = ΦB besitzt zu der vor-gegebenen Anfangsbelegung B0 eine eindeutig bestimmte L¨sung in der oangegebenen Form, wie aus der Theorie der Differentialgleichungen be-kannt ist. Die L¨sung B = (B1 , . . . , Bn )t ist nun tats¨chlich eine Begleit- o abasis. Denn aus der Schiefsymmetrie von Φ folgt, daß alle SkalarprodukteBi , Bj konstant sind: Bi , Bj ≡ Bi (t0 ), Bj (t0 ) ≡ δij .B bleibt auf dem ganzen Intervall kongruent; da der Anfangswert als ONBgew¨hlt wurde, bleibt diese Eigenschaft erhalten. Auch die Orientierung ableibt erhalten wegen der Stetigkeit der Determinante.Korollar. Zwei auf einem Intervall definierte Begleitbasen mit der selbenAbleitungsmatrix unterscheiden sich h¨chstens durch eine Drehung. oBeweis. Seien B und B Begleitbasen mit ΦB = ΦB . Die beiden ONBen ˜B(t0 ) und B(t0 ) sind durch eine Drehung M ineinander uberf¨hrbar, also ¨ uB(t0 ) = B(t0 )M (Gruppeneigenschaft von SO(n)). Nun ist (BM ) = ΦB ·BM . BM hat die selbe Ableitungsmatrix und den selben Anfangswert wieB. Nach Lemma 2 ist dann B ≡ BM .
  • 15. ¨PRALIMINARIEN 15Bemerkung. In der Begleitbasisdefinition wurden auch unzusammenh¨n- agende Definitionsmengen G zugelassen. F¨r das Lemma muß nat¨rlich u uZusammenhang vorausgesetzt werden. Im folgenden bezeichnet I immerein offenes Intervall. 1Das Lemma k¨nnte auch so formuliert werden: die o 2 n(n − 1) Koeffizi-entenfunktionen der schiefsymmetrischen Ableitungsmatrix legen im we-sentlichen eine Rn -Begleitbasis fest. Die in der Kurventheorie bevorzugteFrenetbegleitbasis hat den Vorteil, daß alle bis auf n − 1 Koeffizienten ver-schwinden.3 PolarkoordinatenZu jedem nichtverschwindenden Vektor W ∈ R2 gibt es eindeutig be-stimmte Polarkoordinaten r > 0 und ϕ ∈ [0; 2π[, so daß W = r · E(ϕ).Dabei ist r = |W | als Betrag und ϕ als Polarwinkel zu interpretieren, denW mit der positiven ersten Koordinatenachse einschließt, und E(ϕ) =(cos ϕ, sin ϕ)t bezeichne den vom Winkel ϕ festgelegten Einheitsvektor.Wir werden uns h¨ufig die Darstellung zweidimensionaler Vektoren (bzw. aebener Kurven) in Polarkoordinaten zunutze machen. xDefinition 3 (Polarkoordinaten). Sei V = y : I → R2 ein Vektorfeld.Die stetigen Funktionen r und ϕ : I → R heißen Polarkoordinaten von V ,falls gilt: x r cos ϕ = r · E(ϕ) = (3.1) y r sin ϕWir bezeichnen ϕ als Polarwinkel und r als Polarabstand von V .
  • 16. ¨PRALIMINARIEN 16Die Definition l¨ßt bewußt auch negativen oder verschwindenden Polar- aabstand zu. Soweit m¨glich, sollen auch einem Vektorfeld mit Nullstellen oPolarkoordinaten zugeschrieben werden.F¨r die weitere Untersuchung f¨hren wir die Drehmatrix u u   cos ϕ − sin ϕ D(ϕ) =   ∈ SO(2). sin ϕ cos ϕein, die die Drehung eines Vektors um den Winkel ϕ im positiven Drehsinn(gegen den Uhrzeigersinn) vermittelt. Offensichtlich gelten die Beziehun-gen: D(ϕ) · E(ψ) = E(ϕ + ψ) D(ϕ) · D(ψ) = D(ϕ + ψ) x −y D(π/2) · = y xIst ϕ eine differenzierbare Winkelfunktion, so gilt: E (ϕ) = ϕ · E (ϕ + π/2) D (ϕ) = ϕ · D (ϕ + π/2) .Die Polarkoordinatengleichung (3.1) liefert mit Hilfe dieser Beziehungen x x cos ϕ + y sin ϕ r D(−ϕ) · = rE(0) ⇔ = (3.2) y −x sin ϕ + y cos ϕ 0und es folgt r2 = r(x cos ϕ + y sin ϕ) = x · r cos ϕ + y · r sin ϕ = x2 + y 2 . (3.3)Ableitung der linken Gleichung von (3.2) ergibt x x r x r−ϕ D(π/2)D(−ϕ) +D(−ϕ) = ⇔ D(−ϕ) = ⇒ y y 0 y ϕr
  • 17. ¨PRALIMINARIEN 17 x x y x rr =⇒ rD(−ϕ) = · = ⇒ −yx + xy = r2 ϕ . y −y x y r2 ϕ (3.4)Aus den Gleichungen 3.2, 3.3 und 3.4 erhalten wir das Lemma xLemma 3. Sei y : I → R2 ein Vektorfeld. ϕ : I → R ist genau dannzugeh¨rige Polarwinkelfunktion, wenn gilt o x sin ϕ = y cos ϕ.Durch den Polarwinkel sind bereits eindeutig Polarkoordinaten festgelegt, wo-bei der Polarabstand durch r = x cos ϕ + y sin ϕgegeben ist. Es gelten die Beziehungen r 2 = x2 + y 2 und, falls x, y, ϕ differenzierbar, ϕ r2 = xy − yx .Bemerkung. Offensichtlich sind Polarkoordinaten nicht eindeutig fest-gelegt. Sind (r, ϕ) Polarkoordinaten, so auch (r, ϕ + 2kπ) und (−r,ϕ + (2k + 1)π) (f¨r k ∈ Z). Verschwindet die Vektorfunktion auf einem ugewissen Intervall, so ist der Polarwinkel im Innern dieses Intervalls sogarv¨llig unbestimmt. oAndernfalls gilt eine eingeschr¨nkte Eindeutigkeitsaussage. aLemma 4. Sei V : I → R2 ein Vektorfeld, das auf keinem ganzen Intervallverschwindet, d.h. die Nullstellenmenge I0 = {t ∈ I | V (t) = 0} enthaltekeine inneren Punkte. Wenn V Polarkoordinaten besitzt, dann ist der Pola-rabstand bis aufs globale Vorzeichen und der Polarwinkel (mod π) eindeutigbestimmt.
  • 18. ¨PRALIMINARIEN 18Beweis. Seien (r, ϕ) und (˜, ϕ) Polarkoordinaten von v, also rE(ϕ) = r ˜rE(ϕ), so muß auf I I0 gelten˜ ˜ 1 r 1 ˜ rD(−ϕ)E(ϕ) = r ˜ ˜ ⇒ E(ϕ − ϕ) = ˜ ⇒ sin(ϕ − ϕ) = 0. ˜ 0 r 0Die auf I stetige Funktion sin(ϕ − ϕ) verschwindet auf einer dichten ˜Teilmenge von I, also verschwindet sie identisch auf ganz I. Daraus folgtϕ − ϕ = kπ und r = ±r. ˜ ˜Beispiel 1. Polarkoordinaten existieren nicht immer. Die Vektorfunktion x y : R → R2 mit    −1/t2 te  −1/t2 f¨r t = 0, u te f¨r t < 0, u x(t) = y(t) = 0 f¨r t = 0 u 0 f¨r t ≥ 0, u  ist C ∞ -differenzierbar, hat aber keine stetige Polarwinkelfunktion. Ihr Bildist eine im Nullpunkt geknickte Gerade, die beiden Halbgeraden schließen 3den Winkel 4 π ein. Nach dem Lemma m¨ßte sich der Polarwinkel im uNullpunkt um diesen Betrag (mod π) ¨ndern, also sprunghaft. W¨rde a uv auf einem ganzen Intervall verschwinden, dann h¨tte der Polarwinkel aallerdings Gelegenheit, sich kontinuierlich zu ¨ndern. aEs ist anschaulich klar, daß Probleme mit der Stetigkeit des Polarwinkelsnur in Nullstellen einer Kurve auftauchen. Ansonsten ist die Existenz vonPolarkoordinaten gesichert.Lemma 5. Seien α und β skalare C k -Funktionen auf einem offenen IntervallI ⊂ R, die nirgends gleichzeitig verschwinden. Dann gibt es C k -Polarkoordina- αten r und ϕ f¨r u β . Sie sind im wesentlichen eindeutig (im Sinne von Lemma4) und f¨r sie gilt u β α−αβ r = ± α2 + β 2 und (falls k ≥ 1) ϕ = . α2 + β 2
  • 19. ¨PRALIMINARIEN 19Beweis. Wir setzen r := α2 + β 2 (r ∈ C k , da r > 0) und betrachten 1 αden Einheitsvektor U := r β . Sei ϕ0 der Polarwinkel zum Parameterwertt0 ∈ I, also U = E(ϕ0 ), und t1 ∈ I ein anderer Parameterwert. W¨hrend ader Parameter stetig von t0 nach t1 l¨uft, bewegt sich U stetig auf dem aEinheitskreis von U (t0 ) nach U (t1 ). Der dabei uberstrichene Gesamtwin- ¨kel (oder die auf dem Einheitskreis insgesamt zur¨ckgelegte Bogenl¨nge, u awobei Bewegung in negativer Richtung auch negativ gewertet wird) sei∆ϕt1 . Dann ist durch ϕ(t1 ) := ϕ0 + ∆ϕt1 eine stetige Polarwinkelfunkti- αon f¨r U definiert und damit sind (r, ϕ) Polarkoordinaten f¨r u u β , f¨r die udie Eindeutigkeitsaussage von Lemma 4 gilt.1 Wir haben nun α β = cos ϕ und = sin ϕ. r rKosinus und Sinus sind lokal umkehrbar, ϕ also lokal durch einen Astvon Arkuskosinus bzw. Arkussinus darstellbar und damit differenzierbar,falls k ≥ 1. Die Formel f¨r ϕ folgt dann aus Lemma 3; sie garantiert die uDifferentiationsordnung f¨r ϕ. uBemerkung. Ist eine der Funktionen positiv, etwa α > 0, so ist nat¨rlich u β ϕ = arctan αein Polarwinkel. Im allgemeinen kann ϕ aber nicht so einfach ausgedr¨ckt uwerden.Mit Hilfe dieses Lemmas k¨nnen wir insbesondere einen ebenen Einheits- ovektor bez¨glich einer beliebigen (festen oder Begleit-)Basis durch den u 1 Eine andere Beweism¨glichkeit f¨r diese wichtige Existenzaussage w¨re die Zu- o u asammensetzung einer Polarwinkelfunktion mit Hilfe von lokalen, mod π eindeutigenPolarwinkeln (analog Satz 11). Der hier gegebene Beweis folgt Wong & Lai (1967,10). Andere Beweise bei Spivak (1979, Vol. II, 22 f.) und Chern (1957, Ch. 1, §3.2).
  • 20. ¨PRALIMINARIEN 20Polarwinkel ausdr¨cken. Setzen wir T = αU1 + βU2 , β 2 + α2 = 1, so folgt umit Lemma 5Korollar. Jede C k -Einheitsvektorfunktion T : I → R2 ist als T = E(ψ) miteiner C k -Funktion ψ darstellbar. Bez¨glich einer C k -Begleitbasis (U1 , U2 )t des uR2 lautet ihre Darstellung T = cos θU1 + sin θU2 .(U1 , U2 ) wiederum kann als E(ϕ), E(ϕ + π/2) geschrieben werden (θ undϕ sind ebenfalls C k ; es gilt dann ψ = θ + ϕ) und ihre Ableitungsgleichunglautet (falls k ≥ 1)       U1 0 ϕ U   =  ·  1 . U2 −ϕ 0 U2Die Basis beschreibt eine Drehung mit Winkelgeschwindigkeit ϕ .
  • 21. II. Zur Theorie derFrenetkurven4 Raumkurven4.1 Kurve, Tangente, Bogenl¨nge und Krummungs- a ¨ maßWir beginnen mit einer Zusammenstellung elementarer Definitionen undTatsachen der Kurventheorie im euklidischen Raum. 1. Eine parametrisierte C r -Kurve ist eine C r -Abbildung x : I → Rn eines offenen Intervalls I in den euklidischen Raum Rn . Ihr Bild x[I] heißt Spur. 2. Ein Kurvenpunkt x(t0 ) einer parametrisierten Kurve heißt regul¨r, falls a x in t0 eine nichtverschwindende Ableitung x(t0 ) = 0 besitzt. Eine para- ˙ metrisierte C 1 -Kurve heißt regul¨r, falls alle ihre Kurvenpunkte regul¨r a a sind.
  • 22. THEORIE DER FRENETKURVEN 22 3. Ist x : I → Rn eine regul¨re parametrisierte C r -Kurve (r ≥ 1), so heißt a das C r−1 -Vektorfeld x ˙ T : I → S n−1 , T = |x| ˙ Tangentenvektor(feld) der parametrisierten Kurve. Ein Vektorfeld V : I → Rn heißt normal zur parametrisierten Kurve oder ein Normalen- vektor von x, falls ¨berall T ⊥ V , und tangential, falls ¨berall T V u u ist. 4. Ist x eine regul¨re parametrisierte Kurve auf einem Intervall I, so heißt a die Funktion t s(t) := |x(τ )| dτ ˙ t0 f¨r beliebiges t0 ∈ I Bogenl¨nge(nfunktion) von x. Sie mißt die Bo- u a genl¨nge der parametrisierten Kurve von einem festen Kurvenpunkt x(t0 ) a aus in der von der Parametrisierung festgelegten Orientierung. ˜ ˜ 5. Zwei parametrisierte C r -Kurven x : I → Rn und x : I → Rn heißen C r -¨quivalent, falls sie durch einen orientierungstreuen C r -Diffeomor- a ˜ phismus µ : I → I ineinander ¨berf¨hrbar sind, d.h. x = x ◦ µ. Eine u u ˜ ¨ C r -Kurve ist eine Aquivalenzklasse [s → x(s)] von regul¨ren parametri- a sierten C r -Kurven. Man beachte, daß dieser Kurvenbegriff Regularit¨t a (und damit Differenzierbarkeit) impliziert, anders als der Begriff para- ’ metrisierte Kurve‘. 6. F¨r jede regul¨re parametrisierte C r -Kurve gibt es eine ¨quivalente C r - u a a Parametrisierung x(s) nach ihrer Bogenl¨nge s. Sie ist bis auf eine a Translation des Parameterbereichs eindeutig bestimmt. Deshalb kann als Repr¨sentant einer Kurve stets ihre Bogenl¨ngenparametrisierung a a
  • 23. THEORIE DER FRENETKURVEN 23 gew¨hlt werden. Alle Kurvengr¨ßen, die aus dieser Parametrisierung ge- a o wonnen werden, sind stets invariant gegen¨ber Parametertransformatio- u nen. 7. F¨r die Bogenl¨ngenparametrisierung x(s) einer Kurve gilt u a |x (s)| ≡ 1 und T =x (der Strich bezeichnet hier wie im folgenden immer Differentiation nach der Bogenl¨nge). Umgekehrt ist durch Vorgabe eines Einheitsvektorfel- a des T (s) und eines Anfangspunktes x0 = x(s0 ) eine Kurve mit Tangen- tialvektor T und Bogenl¨nge s eindeutig festgelegt. Ihre Bogenl¨ngen- a a parametrisierung ist gegeben durch s x(s) = x0 + T (σ)dσ. (4.1) s0Wir beschr¨nken uns ab jetzt auf Raumkurven im R3 . Die Schreibweise a γ : x = x(s) (oder k¨rzer γ : x(s)) ist eine Kurve‘ bedeutet, daß die u’Raumkurve γ durch eine regul¨re Parametrisierung x : I → R3 nach der aBogenl¨nge s gegeben sein soll. aDefinition 4 (Krummungsmaß). Sei γ : x = x(s) eine C 2 -Kurve und ¨T = x ihr Tangentenvektor. Dann bezeichnen wir die stetige Funktion κN : I → R+ , 0 κN := |T | = |x |als ihr Kr¨mmungsmaß. Ein Kurvenpunkt x(s0 ) mit u κN (s0 ) = 0 heißt einWendepunkt.Lemma 6. Eine Raumkurve ist genau dann geradlinig, wenn ihr Kr¨mmungs- umaß verschwindet. Sie ist genau dann eben, wenn sie einen konstanten Nor-malenvektor M = 0 besitzt.
  • 24. THEORIE DER FRENETKURVEN 24Beweis. Die Spur einer Kurve γ : x(t) liegt genau dann auf einer Geraden,wenn x × R ≡ const. f¨r einen Richtungsvektor u R = 0 ⇔ T ×R ≡0 ⇔ T (t) ∈ R f¨r alle t. Da u R nur zwei Vektoren der L¨nge 1 aenth¨lt und T stetig ist, ist das ¨quivalent zu T ≡ const., also κN ≡ 0. a aDie Spur liegt genau dann auf einer Ebene, wenn f¨r einen festen Vektor uM = 0 gilt x(s), M ≡ const., also T, M ≡ 0, M ist Normalenvektor.4.2 Tangentiale SystemeDefinition 5 (Tangentiale Begleitbasen). Sei γ : x = x(s), s ∈ I eineKurve. Eine Begleitbasis U : I → R3×3 , U = (U1 , U2 , U3 )t heißt tangentialzu γ, falls U1 ≡ x . Ist U differenzierbar mit Ableitungsmatrix   0 p3 −p2   ΦU = −p3 0 p1  ,     p2 −p1 0so ist das stetige Vektorfeld     p U ,U  1  2 3  p(U) = p2  =  U3 , U1          p3 U1 , U2der Koeffizientenvektor der Begleitbasis. Das Tupel (U, p(U)) aus tangen-tialer C 1 - Begleitbasis und Koeffizientenvektor bildet ein tangentiales Systemder Kurve. 3Bemerkung. Mit DU := i=1 pi Ui = U t p(U) kann die Ableitungsglei-
  • 25. THEORIE DER FRENETKURVEN 25chung auch als   D × U1  U  U = ΦU U = U t p(U) × U = DU × U2      DU × U3geschrieben werden (das gilt auch f¨r nichttangentiale C 1 -Begleitbasen). uDie Begleitbasis beschreibt momentan eine Drehung um die Achse DUmit Winkelgeschwindigkeit |p|. Diese Momentandrehachse wird auch alsZentrode und DU als der nicht normierte Drehvektor bezeichnet.Definition 6 (Drehvektor). Ein stetiges Einheitsvektorfeld D : G → S 2(G ⊂ R offen) heißt Drehvektor oder Zentrodenvektor der Begleitbasis U :G → R3×3 , falls DU D auf ganz G gilt mit DU = U t p(U).Die Ableitungsgleichung lautet dann U = ωD × U mit ω := D, DU .Offensichtlich sind Zentrode und Drehvektor eindeutig bzw. bis aufs Vor-zeichen eindeutig bestimmt, falls G zusammenh¨ngend und die Begleitba- asis nirgends station¨r, d.h. p = 0 ist. aDie Relevanz der tangentialen Systeme und ihrer Koeffizienten f¨r die uKurventheorie besteht in der M¨glichkeit, sie zur Charakterisierung von oKurven zu verwenden.Satz 1 (Fundamentalsatz fur tangentiale Systeme). Seien ein steti- ¨ges Vektorfeld p : I → R3 , p = p(s), ein Parameterwert s0 ∈ I, ein Punktx0 ∈ R3 und eine positiv orientierte ONB U0 des R3 vorgegeben. Dann gibtes eine eindeutig bestimmte C 2 -Kurve γ : x = x(s), s ∈ I und eine eindeutigbestimmte Begleitbasis U auf I, die folgende Bedingungen erf¨llen: u
  • 26. THEORIE DER FRENETKURVEN 26 • x(s0 ) = x0 und U(s0 ) = U0 , • s ist Bogenl¨ngenfunktion der Kurve, a • (U, p) ist tangentiales System der Kurve.Beweis. Durch p ist eine schiefsymmetrische Koeffizientenmatrix nachdem Schema von Definition 5 festgelegt, die zusammen mit U0 eine C 1 -Begleitbasis U festlegt (Lemma 2). Deren erster Vektor U1 ist Tangenti-alvektor einer C 2 -Raumkurve, deren Bogenl¨ngenparametrisierung aus U1 aund x0 eindeutig durch Integration (Gleichung 4.1) hervorgeht. Sie erf¨llt uoffensichtlich die Bedingungen.Analog zum Korollar zu Lemma 2 gilt dasKorollar. Durch ein stetiges Vektorfeld p auf einem Intervall I ist eine C 2 -Kurve samt tangentialer Begleitbasis bis auf eine orientierungstreue Bewegung(eine Drehung, kombiniert mit einer Translation) eindeutig festgelegt.Nat¨rlich kann eine Kurve viele tangentialen Systeme haben. Im R3 h¨ngen u asie alle durch eine einfache Transformation zusammen.Satz 2 (Transformation zwischen tangentialen Systemen). Sei(U, p) ein tangentiales System einer C 2 -Kurve. Dann ist die Gesamtheit ihrertangentialen Systeme (U, p) der Kurve genau durch ˜ t t U = D1 (ϕ) U, p = D1 (ϕ) p + ϕ e1 ˜gegeben, wobei ϕ eine beliebige differenzierbare Winkelfunktion ist und   1 0 0   D1 (ϕ) =  0 cos ϕ − sin ϕ .     0 sin ϕ cos ϕ
  • 27. THEORIE DER FRENETKURVEN 27Beweis. Offensichtlich sind die U nach Konstruktion ebenfalls tangentialeBegleitbasen. Daß jede tangentiale Begleitbasis in der angegebenen Formdarstellbar ist, ist eine f¨r diese Arbeit zentrale Folgerung aus dem Lemma uuber die Existenz von Polarkoordinaten. Ist U = (U1 , U2 , U3 )t , so hat jede¨ ˜ ˜ ˜weitere tangentiale C 1 -Begleitbasis eine Darstellung (U1 , U2 , U3 ) mit U2 = ˜ ˜αU2 + βU3 und U3 = U1 × U2 = −βU2 + αU3 . Wegen (α, β) = 0 ist Lemma5 anwendbar, es gibt eine C 1 -Funktion ϕ mit (α, β) = (cos ϕ, sin ϕ). ˜ tIst nun U = D1 (ϕ)U, so ergibt sich ˜ t U = D1 (ϕ)U ˜ ˜ = D1 (−ϕ)ΦU · D1 (ϕ)U + D1 (−ϕ) · D1 (ϕ)U =⇒ =⇒ ΦU = D1 (−ϕ)ΦU D1 (ϕ) + D1 (−ϕ)D1 (ϕ). ˜Wir erhalten   0 p3 cos ϕ − p2 sin ϕ −p2 cos ϕ − p3 sin ϕ   ΦU =  ∗ ,   ˜ 0 p1 + ϕ   ∗ ∗ 0wobei die Sternchen f¨r schiefsymmetrische Eintr¨ge stehen. Das bedeutet u a p2 ˜ p2 p1 = p1 + ϕ ˜ und = Dt (ϕ) p3 ˜ p3wie behauptet.Wenn ein tangentiales System bekannt ist, sind im Prinzip schon alle be-kannt. Aber gibt es uberhaupt f¨r jede C 2 -Kurve tangentiale Systeme? In ¨ ueinem sp¨teren Abschnitt (Satz 11) wird die Existenz eines solchen gezeigt, adas i. A. aber nicht direkt konstruierbar ist. Folgendes Lemma zeigt, wieunter Umst¨nden eines konstruiert werden kann. Dazu wird als Keim‘des a ’Systems ein nirgends tangentiales Vektorfeld ben¨tigt. o
  • 28. THEORIE DER FRENETKURVEN 28Lemma 7. Sei γ : x = x(s), s ∈ I eine C 2 -Kurve und V : I → R3 einnirgends tangentiales C 1 -Vektorfeld, d.h. x × V = 0 auf ganz I. Dann ist(U1 , U2 , U3 ) mit U1 × V U1 := x , U2 := , U3 := U1 × U2 |U1 × V |eine tangentiale C 1 -Begleitbasis von x.Beweis. Dies ist eine Anwendung des Schmidtschen Orthogonalisierungs-verfahrens. Nach Voraussetzung und Konstruktion sind die Ui wohldefi-nierte Einheitsvektoren, orthogonal, positiv orientiert und C 1 .Bemerkung. Ebene Kurven (Lemma 6) besitzen einen konstanten Nor-malenvektor und damit eine tangentiale Begleitbasis mit einer konstantenKomponente. Eine C 2 -Kurve ist also genau dann eben, wenn es ein tangen-tiales System mit zwei verschwindenden Koeffizienten gibt. Sie ist genaudann geradlinig, wenn sie ein tangentiales System mit verschwindendemKoeffizientenvektor besitzt.Bei nichtebenen Raumkurven wird h¨chstens ein Koeffizient verschwinden. oTangentiale Systeme, bei denen gerade ein Koeffizient verschwindet, sindnat¨rlich von besonderem Interesse. In den folgenden Abschnitten werden ualle Systeme dieser Art untersucht. Die Bedingung p2 ≡ 0 f¨hrt auf die uFrenetsysteme.5 Frenetkurven5.1 FrenetsystemeDie Aufgabe, ein tangentiales System einer Kurve zu konstruieren, ist imR3 und in h¨herdimensionalen R¨umen keineswegs trivial (im Gegensatz o a
  • 29. THEORIE DER FRENETKURVEN 29zum R2 ). Nach Lemma 7 brauchen wir daf¨r ein differenzierbares, nir- ugends tangentiales Vektorfeld. Bei einer Fl¨chenkurve (der Spezialfall ebe- aner Kurven wurde schon erw¨hnt) kann daf¨r die Fl¨chennormale l¨ngs a u a ader Kurve gew¨hlt werden (s. Abschnitt 8.1). Ansonsten ist als Anhalts- apunkt nur die Tangentenfunktion T der Kurve gegeben. Ihre Ableitungist normal und kann als ‘Keim’ im Sinne des Lemmas gew¨hlt werden. aDas ist der wohl einzige sinnvolle Weg, ein tangentiales System f¨r ei- une Raumkurve aus ihrer Parametrisierung (also in intrinsischer Weise) zukonstruieren. Er ist allerdings nur gangbar, wenn T = 0 und T /|T | dif-ferenzierbar ist, also zumindest f¨r C 3 -Kurven ohne Wendepunkte. Das uErgebnis ist die intrinsische Frenetbegleitbasis der Kurve und f¨r sie ver- uschwindet der Koeffizient p2 . Auf dieser Idee ist die klassische Frenettheo-rie aufgebaut. In diesem Abschnitt wird dieser Zugang unter teilweisemVerzicht auf Eindeutigkeit und intrinsischen Charakter auf Kurven mitWendepunkten verallgemeinert.Definition 7 (Geradenstucke und gekrummte Bogen). F¨r eine C 2 - ¨ ¨ ¨ uKurve γ : x = x(s), s ∈ I mit Kr¨mmungsmaß κN erkl¨ren wir die Bezeich- u anungen • IN := {s ∈ I κN (s) = 0} • IW := {s ∈ I κN (s) = 0} = I IN ◦ • IG := I W ◦ • IK := I IG = INEine regul¨re Kurve heißt wendepunktfrei, falls IW = ∅, und geradenst¨ck- a ufrei, falls IG = ∅. Die Einschr¨nkung der Kurve auf eine Zusammenhangs- akomponente von IG bzw. IK heißt ein Geradenst¨ck bzw. ein gekr¨mmter u u
  • 30. THEORIE DER FRENETKURVEN 30Bogen der Kurve. Das Urbild eines Geradenst¨cks nennen wir ein Geradenin- utervall.Bemerkung. Die Menge IN ist offen. Sie ist das Urbild der Menge derNichtwendepunkte und ist komplement¨r zur abgeschlossenen Parameter- amenge der Wendepunkte IW . IN liegt dicht in IK (K steht f¨r krumm‘). u ’Eine Kurve ist aus abz¨hlbar vielen gekr¨mmten B¨gen und Geradenst¨cken a u o uzusammengesetzt.Auf IN kann wie oben angedeutet eine Begleitbasis konstruiert werden.Definition 8 (Intrinsische Kurvengroßen). Sei γ : x = x(s), s ∈ I ¨eine regul¨re C 2 -Kurve mit Tangentenvektor T . Wir definieren die Einheits- avektorfelder • NN : IN → S 2 , NN := 1 κN T und • BN : IN → S 2 , BN := T × NN . Es sei • FN := (T, NN , BN )t .Ist NN differenzierbar, so definieren wir weiter • τN : IN → R, τN := NN , BN , • ωN : IN → R+ , ωN := κ2 + τN N 2 und 1 • DN : IN → S 2 , DN := (τN T + κN B). ωNWir bezeichnen NN und BN als intrinsische Haupt- bzw. Binormale der Kurveund τN als ihre intrinsische Torsion.Satz 3 (Ableitungsgleichungen von Frenet und Darboux). Sei γ :x = x(s), s ∈ I eine C 2 -Kurve. Dann ist FN eine stetige Begleitbasis auf IN .
  • 31. THEORIE DER FRENETKURVEN 31Ist FN außerdem differenzierbar, so gelten auf IN die Ableitungsgleichungen2         T 0 κN 0 T D ×T        N  NN  = −κN τN  · NN  = ωN · DN × NN          0         BN 0 −τN 0 BN DN × BNBeweis. Nach Konstruktion ist FN stetige Begleitbasis, denn T ⊥ T . κNund τN sind nach Definition die Eintr¨ge ihrer Ableitungsmatrix und DN aist Drehvektor gem¨ß Definition 6. aBemerkung. In der Definition der Begleitbasen wurden auch unzusam-menh¨ngende Parameterbereiche wie hier IN zugelassen. FN ist aber kei- ane tangentiale Begleitbasis, da eine solche auf dem gesamten Intervall Idefiniert sein muß (sonst w¨rde sie die Kurve nicht mehr ganz charakteri- usieren).FN ist nur f¨r wendepunktfreie Kurven uberall definiert. Auch in anderen u ¨F¨llen gibt es aber Begleitbasen mit denselben Eigenschaften (tangentialer aBasisvektor und p2 ≡ 0).Definition 9 (Frenetsysteme).a) Ein tangentiales System (F, p(F)) einer Raumkurve heißt Frenetsystem der Kurve, falls p2 (F) ≡ 0. F ist eine Frenetbegleitbasis der Kurve und ihre stetigen Koeffizienten κ := p3 und τ := p1 heißen Kr¨mmung u und Torsion bzw. die Frenetschen Kr¨mmungen des Frenetsystems. Wir u √ bezeichnen außerdem ωL := |p| = κ2 + τ 2 als Lancretsches Kr¨m-u mungsmaß des Systems. 2 Aufgestellt 1847 von Frenet und 1851 unabh¨ngig von Serret. Den rechten Teil ader Gleichung fand Darboux.
  • 32. THEORIE DER FRENETKURVEN 32b) Ein Drehvektor eines Frenetsystems heißt Darbouxvektor.c) Eine Kurve heißt Frenetkurve, falls sie ein Frenetsystem besitzt.Bemerkung. Ein Darbouxvektor existiert i. A. nicht, wenn ωL Nullstellenhat. Sonst ist der Darbouxvektor 1 D=± (τ T + κB). ωLDiese Frenetkurvendefinition geht auf Wintner (1956), Nomizu (1959)und Wong & Lai (1967) zur¨ck. Nomizu und Wong & Lai definieren als uFrenetkurve eine Kurve mit einer Begleitbasis, die die Frenetgleichungenerf¨llt, ¨hnlich wie in der hier verwendeten Definition. u aWintner definierte eine regul¨re C 2 -Kurve in ¨quivalenter Weise als Fre- a anetkurve, wenn sie eine C 1 -Binormale gem¨ß folgender Definition besitzt. aDefinition 10 (Haupt- und Binormale). Sei eine C 2 -Kurve mit Tan-gentialvektor T gegeben. • Ein Normaleneinheitsvektorfeld N : I → S 2 heißt Hauptnormale der Kurve, falls die Tangentenableitung ¨berall kollinear zu ihm ist: u T N. • Ein Normaleneinheitsvektorfeld B : I → S 2 heißt Binormale der Kurve, falls die Tangentenableitung ¨berall orthogonal zu ihm ist: u T ⊥ B.Lemma 8. Eine regul¨re C 2 -Kurve ist genau dann eine Frenetkurve, wenn sie aeine C 1 -Hauptnormale oder eine C 1 -Binormale besitzt. Ihre Frenetbegleitbasisbesteht genau aus der Tangente, einer Hauptnormalen und einer Binormalen.Beweis. Ist (T, N, B) eine Frenetbegleitbasis, so ist wegen p2 = 0 T , B =0 ⇒ T ⊥ B und T N . N ist Hauptnormale und B ist Binormale. IstN eine C 1 -Hauptnormale einer Kurve, so ist nat¨rlich (T, N, T × N ) eine uFrenetbegleitbasis und analog f¨r B. u
  • 33. THEORIE DER FRENETKURVEN 33Bemerkung 1. Frenetsysteme werden k¨nftig in der Form (F, κ, τ ) ge- uschrieben mit F = (T, N, B)t . Wir haben dann κ = T ,N und τ = N ,B .Bemerkenswert sind auch die Beziehungen: κ2 = T , T = κ2 , N 2 ωL = N , N , τ2 = B , B .Die drei Funktionen sind also Maße f¨r die momentane Ver¨nderung des u aNormalenraums N, B , der rektifizierenden Ebene T, B unddes Schmiegraums T, N .Bemerkung 2. Nat¨rlich ist eine wendepunktfreie C 3 -Kurve eine Frenet- ukurve mit Frenetbegleitbasis FN und Kr¨mmungen κN , τN . uBemerkung 3. Ebenso sind ebene C 2 -Kurven Frenetkurven, da ihr kon-stanter Normalenvektor (normiert auf die L¨nge 1) als Binormale gew¨hlt a awerden kann. Die Torsion des so definierten Frenetsystems verschwindet.Bemerkung 4. Eine Frenetkurve ist mindestens von der Ordnung C 2 .Die sonst ubliche Voraussetzung C 3 ist aber nicht notwendig; schon eine ¨C 2 -Kurve kann eine C 1 -Begleitbasis haben (vgl. Hartman & Wintner(1959), S. 770-774).Die S¨tze der klassischen Theorie gelten, soweit sie allein aus den Fre- anetgleichungen gefolgert wurden, auch f¨r verallgemeinerte Frenetkurven. u¨Uber die wendepunktfreien Kurven hinaus kann jetzt eine Vielzahl weite-rer Kurven in die Frenettheorie einbezogen werden. U. a. sind die ebenenKurven bruchlos in die Theorie der Raumkurven integrierbar; weitere Bei-spiele von Frenetkurven werden am Ende des n¨chsten Abschnitts und in a8.1 erw¨hnt. a
  • 34. THEORIE DER FRENETKURVEN 34In der verallgemeinerten Frenettheorie gilt eine erweiterte Version des Fun-damentalsatzes der Kurventheorie. Sie best¨tigt die N¨tzlichkeit des Fre- a unetkurvenbegriffes.Satz 4 (Fundamentalsatz der Frenettheorie). Durch zwei beliebigestetige, reelle Funktionen κ = κ(s) und τ = τ (s) auf einem offenen IntervallI ⊂ R ist eine Frenetkurve mit κ und τ als Kr¨mmungen und Bogenl¨nge s u abis auf eine orientierungstreue Bewegung eindeutig festgelegt.Beweis. Dies ist ein Spezialfall von Satz 1. Nat¨rlich ist die durch p = u(τ, 0, κ)t als Koeffizientenvektor festgelegte Kurve eine Frenetkurve.In der klassischen Theorie wird dieser Satz in abgeschw¨chter Version for- amuliert, indem κ als positiv und differenzierbar vorausgesetzt wird.3 Diesentspricht der Beschr¨nkung auf wendepunktfreie C 3 -Kurven. Unter die- aser Einschr¨nkung ist umgekehrt Existenz und Eindeutigkeit der Frenet- abegleitbasis und der Kr¨mmungen gew¨hrleistet. In dieser Formulierung u ableibt aber die Frage offen, welche Bedeutung die L¨sungen der Frenetglei- ochungen haben, die man erh¨lt, wenn man eine beliebige stetige Funktion a 3 So bei Blaschke & Leichtweiß (1973, 43); Brauner (1981, 97); Do Carmo(1983, 16 f. und 241 f.); Laugwitz (1968, 18 ff.); Stoker (1969, 65 f.). Norden (1956,92) und Spivak (1979, Vol. II, 45) fordern f¨r κ Positivit¨t, aber nur Stetigkeit. Als Be- u agr¨ndung f¨r die Beschr¨nkung gibt Spivak (ebd., 63 f.) die Kurve von Beispiel 2 unten, u u adie keine Frenetkurve ist, an. Blaschke (1921, 21) l¨ßt beide Einschr¨nkungen weg; a aerst in der Bearbeitung von Leichtweiß wurden sie eingef¨gt. Allerding gibt Blaschke, uebenso wie Kommerell & Kommerell (1931, 39) die Kehrwerte der Kr¨mmungen uvor, so daß Wendepunkte auch in der urspr¨nglichen Version implizit ausgeschlossen uwerden. Strubecker (1964, §§15-16) fordert κ ≡ 0 und stetig; Duschek & Mayer(1931, 50) und Struik (1957, 29) setzen explizit nur Stetigkeit voraus.
  • 35. THEORIE DER FRENETKURVEN 35κ als Kr¨mmung vorgibt. Die Antwort ist nun klar: Diese L¨sungen ent- u osprechen genau der Klasse der Frenetkurven.45.2 (Un-)Eindeutigkeit der Frenetkrummungen ¨Im Unterschied zur klassischen Theorie haben wir nicht mehr eine vorgege-bene Frenetbegleitbasis, sondern m¨ssen im Zweifelsfall erst eine suchen. uEs stellt sich daher die Frage nach Existenz und Eindeutigkeit von Frenet-begleitbasis und -kr¨mmmungen. uBeispiel 2. Nicht jede vern¨nftige“ Kurve ist eine Frenetkurve. Sei u ”   −1/t2 e f¨r t < 0 u f (t) := 0 f¨r t ≥ 0. u Dann ist t γ : x = x(t) = t, f (t), f (−t) , t ∈ Ieine C ∞ -Kurve, aber keine Frenetkurve.5 Die Kurve, die nicht zuf¨llig astark an Beispiel 1 erinnert, besteht aus zwei ebenen gekr¨mmten B¨gen. u o 4 Fast in keinem der g¨ngigen Lehrb¨cher wird die L¨cke zwischen dem eingeschr¨nk- a u u aten Fundamentalsatz und den weitergehenden M¨glichkeiten, die aus der Theorie der oDifferentialgleichungen folgen, diskutiert. Wahrscheinlich ist es ohne den begrifflichenRahmen der verallgemeinerten Frenetkurve schwierig, mit den theoretisch existieren-den L¨sungen f¨r κ beliebig‘etwas anzufangen. Einzig Stoker (1969) stellt die Frage, o u ’“What about κ = 0?” (S. 67 f.) Er nennt ein Beispiel, das zeigen soll, daß, entgegendem oben bewiesenen Satz, verschiedene Raumkurven dieselben Kr¨mmungen haben uk¨nnen, wenn κ = 0 zugelassen ist. Tats¨chlich sind die Kurven in seinem Beispiel aber o adurch eine Drehung ineinander uberf¨hrbar, verletzen also nicht den Satz. ¨ u 5 Die Beispielkurve wird auch bei Nomizu (1959, 111) und Spivak (1979, Vol. II, 63f.) angef¨hrt. u
  • 36. THEORIE DER FRENETKURVEN 36Im Wendepunkt x(0) wechselt sie sprunghaft von der x1 /x2 - auf die x1 /x3 -Ebene: die Schmiegebene ver¨ndert sich unstetig. Der linke Grenzwert der aHauptnormalen liegt auf der x2 -, der rechte auf der x3 -Achse. Solche Un-stetigkeiten kommen bei Frenetkurven nicht vor. Die geforderte Existenzeiner stetigen Hauptnormale impliziert n¨mlich, daß die Hauptnormalen- a ’raum‘-Abbildung NN : IN → P2 , NN (s) := T (s) = NN (s)auf ganz I stetig fortsetzbar ist (analog f¨r den Binormalenraum). uEine Frenetbegleitbasis existiert also nicht immer, und wenn sie existiert,ist sie i. A. nicht eindeutig.Beispiel 3. Es gibt Frenetkurven mit unendlich vielen verschiedenen Fre-netbegleitbasen. Ein regul¨res Geradenst¨ck ist Frenetkurve. Ist (N1 , N2 ) a ueine feste ONB des konstanten Normalraumes T ⊥ der Kurve, so daß dieBasis F0 = (T, N1 , N2 )t positiv orientiert ist, so haben die Frenetbegleit-basen gerade die Form F = D1 (ϕ)F0 (ϕ eine C 1 -Funktion) mit Koeffi- tzientenvektor p(F) = ϕ e1 , also κ = 0 und τ = ϕ (Satz 2).In diesem Beispiel hat die Torsion“ keinerlei geometrische Bedeutung f¨r u ”die eigentliche Kurve. Sie beschreibt die Geschwindigkeit, mit der die Nor-malenvektoren um die Tangente rotieren, und kann v¨llig beliebig sein. oDie Frenetschen Kr¨mmungen sind in diesem Fall keine echten Invarian- uten der Kurve wie in der klassischen Theorie. Es k¨nnte immerhin sein, odaß es unter den verschiedenen Begleitbasen und Torsionen eine speziellegibt, die gegen¨ber den anderen aufgrund intrinsischer Eigenschaften der uKurve ausgezeichnet ist. Es w¨rde nahe liegen, Geradenst¨cken die Torsion u u
  • 37. THEORIE DER FRENETKURVEN 37Null zuzuschreiben. In der Tat hat Wintner (1956, §§1-4) diese L¨sung ovorgeschlagen. Er nahm an, daß jeder Frenetkurve eindeutige und stetigeKr¨mmungen zugeschrieben werden k¨nnten, indem einfach κ ≡ κN und u oauf Geradenst¨cken τ ≡ 0 gesetzt werden. uGegenbeispiele widerlegen diese Annahme.Beispiel 4. Wir betrachten eine Variante von Beispiel 2. Der Wendepunktan der Stelle t = 0 werde zu einem ganzen Intervall [0, a] verl¨ngert, auf adem die Kurve geradlinig verl¨uft. Sie besteht dann aus zwei ebenen ge- akr¨mmten B¨gen mit einem Geradenst¨ck dazwischen. Diese so modifi- u o uzierte Kurve ist eine Frenetkurve. Ebene B¨gen sind wie schon erw¨hnt o aFrenetkurven. Wir k¨nnen eine Frenetbegleitbasis F f¨r beide B¨gen defi- o u onieren und diese auf das Geradenst¨ck fortsetzen. Das geht nach folgendem uallgemeinen Prinzip: F(0), F(a), τ0 und τa werden jeweils durch die Grenz-werte dieser Gr¨ßen in 0 und a erkl¨rt (im Beispiel τa = τ0 = 0). Wegen o a tT (0) = T (a) gibt es einen Winkel ϕa mit F(a) = D1 (ϕa ) F(0). Sei nun ϕeine auf [0, a] definierte, im Innern differenzierbare Funktion mit ϕ(0) = 0, ϕ(a) = ϕa , lim ϕ (s) = τ0 und lim ϕ (s) = τa . (5.1) s→0 s→aDann ist F mit der Fortsetzung t F [0,a] :≡ D1 (ϕ) F(0) (5.2)eine Frenetbegleitbasis der ganzen Kurve. Auf dem Geradenst¨ck ist die u ¨Situation wie in Beispiel 3, und der Ubergang an den Endpunkten istnach Konstruktion differenzierbar. Auf ]0, a[ ist p = ϕ e1 und auf dengekr¨mmten B¨gen p = (τ, 0, κ)t , wobei κ(0) = κ(a) = 0 und τ und ϕ u oan den Endpunkten die selben Grenzwerte haben.
  • 38. THEORIE DER FRENETKURVEN 38Diese Konstruktion ist f¨r jedes Geradenst¨ck einer Frenetkurve m¨glich, u u ound ϕ kann beliebig gew¨hlt werden, wenn nur die Festlegungen 5.1 und a5.2 erf¨llt sind. Daraus folgt: uSatz 5 (Frenetkurven mit Geradenstucken). Eine Frenetkurve, die ¨Geradenst¨cke enth¨lt, besitzt unendlich viele verschiedene Frenetsysteme. u aInsbesondere ist es i. A. unm¨glich, die Torsion auf Geradenst¨cken Null o uzu setzen. Die Kurve von Beispiel 4 kann als Flugbahn eines Punktes ver-anschaulicht werden, an den die Frenetbegleitbasis als Dreibein geheftetist. Der Punkt kommt im Parameter 0 mit einer Hauptnormalen paral-lel zur x2 -Achse an und verl¨ßt das Geradenst¨ck mit der Hauptnorma- a ulen in x3 -Richtung. Auf ]0, a[ muß sich das Dreibein um 90◦ um die x1 -Achse drehen, und die Torsion ist die Winkelgeschwindigkeit, also sichernicht verschwindend. Unter den unendlich vielen M¨glichkeiten, die Dre- ohung zu realisieren, ist keine in irgend einer Weise vor den anderen ausge-zeichnet. Frenetbegleitbasis und Torsion einer Kurve mit Geradenst¨cken usind wirklich uneindeutig. Wong & Lai (1967, 9) haben daher den Be-griff Pseudotorsion vorgeschlagen, um dieser Uneindeutigkeit Rechnungzu tragen. Konsequenterweise m¨ßte man eigentlich sogar von Pseudo- ukr¨mmung, Pseudohauptnormale etc. sprechen. uAllerdings herrschen zumindest auf gekr¨mmten Kurvenb¨gen recht klare u oVerh¨ltnisse. aLemma 9. Zwischen einem Frenetsystem ((T, N, B)t , κ, τ ) einer Frenetkurveund ihren intrinsischen Gr¨ßen gelten die Beziehungen oN IN = εNN , B IN = εBN , κ IN = εκN , τ IN ≡ τN , ωL IN ≡ ωN ,wobei ε : IN → {−1, +1} eine auf jeder Zusammenhangskomponente von INkonstante Vorzeichenfunktion ist.
  • 39. THEORIE DER FRENETKURVEN 39Beweis. N und NN sind beide Einheitsvektoren und ihre Richtung ist aufIN durch T = 0 festgelegt. Also nimmt die Funktion ε := N, NN nur dieWerte ±1 an. ε ist stetig und diskret, muß also auf jeder zusammenh¨ngen- aden Menge konstant sein und damit auch differenzierbar. Dann ist auchNN = εN auf IN differenzierbar (N wurde ja C 1 vorausgesetzt) und τNwohldefiniert. Weiter ist (jeweils auf IN ) B = T × N = T × εNN = εBNund κ = N, T = εNN , T = εκN . Schließlich ist τ = N , B = √εNN , εBN = +τN und ωL = κ2 + τ 2 = κ2 + τN = ωN . N 2Daraus folgt, daß die Torsion einer Frenetkurve auf jedem gekr¨mmten uBogen eindeutig bestimmt ist. Es gilt sogar:Satz 6 (Frenetkurven ohne Geradenstucke). Eine geradenst¨ckfreie ¨ uFrenetkurve besitzt ein bis aufs Vorzeichen von Haupt- und Binormale undKr¨mmung eindeutig bestimmtes Frenetsystem. Insbesondere ist ihre Torsion ueindeutig bestimmt. ˜ ˜Beweis. Seien N und N C 1 -Hauptnormalen. Die Funktion ε := N, N ˆist stetig differenzierbar. Auf IN existieren Funktionen ε, ε, so daß N = ˜ ˜εNN und N = εNN (Lemma 9), die auf jeder Zusammenhangskomponente ˜von IN konstant ±1 sind. Also ist ε I = ε˜ und ε ˆ ε ˆ IN ≡ 0. IN liegt nach NVoraussetzung dicht im Definitionsbereich I, und aus Stetigkeitsgr¨nden u ˆ ˜ist ε konstant +1 oder −1, demnach N ≡ ±N . Nat¨rlich ist dann auch u ˜B ≡ ±B, κ ≡ ±˜ und τ ≡ +˜. κ τBemerkung. Die Torsion ist somit zumindest auf gekr¨mmten B¨gen ei- u one echte Invariante, die Kr¨mmung aber nur fast. Zwar ist der Betrag der uKr¨mmung, der ja mit dem Kr¨mmungsmaß κN ubereinstimmt, eindeutig, u u ¨er gen¨gt aber nicht zur vollst¨ndigen Charakterisierung einer Kurve; denn u a
  • 40. THEORIE DER FRENETKURVEN 40 u ¨Vorzeichenwechsel der Kr¨mmung zeigen eine Anderung der Kr¨mmungs- urichtung an und sind nicht zu vernachl¨ssigen. Lassen wir eine stetige aFunktion κ mit Vorzeichenwechseln zusammen mit einer anderen Funkti-on τ eine Kurve charakterisieren (gem¨ß Fundamentalsatz 4), so erhalten awir f¨r (|κ|, τ ) eine v¨llig andere Kurve, f¨r (−κ, τ ) dagegen dieselbe. Es u o uist also nicht m¨glich, gem¨ß der Annahme von Wintner (s.o.) jeder Fre- o anetkurve eine nichtnegative Kr¨mmung zuzuschreiben. Bei Kurven mit uGeradenst¨cken ist die Situation wiederum un¨bersichtlicher. Es kann in u udiesem Fall unendlich viele verschiedene Kr¨mmungen geben, denn das uVorzeichen von κ kann auf jedem gekr¨mmten Bogen jeweils unabh¨ngig u avariiert werden, und unter ihnen gibt es i. A. keine bevorzugte Wahl.In der klassischen Theorie bilden Kr¨mmung und Torsion einer wende- upunktfreien Kurve ein vollst¨ndiges Invariantensystem einer Kurve. In der aVerallgemeinerung gilt das noch mit einer kleinen Einschr¨nkung f¨r ge- a uradenst¨ckfreie Kurven. Allgemein bilden sie zwar eine vollst¨ndige, aber u akeine invariante Charakterisierung der Kurve: verschiedene Paare von Fre-netschen Kr¨mmungen k¨nnen zu verschiedenen Begleitbasen derselben u oKurve geh¨ren. o ¨Satz 7 (Aquivalenz von Frenetschen Krummungen). Zwei Paare ste- ¨ κ ˜tiger Funktionen (κ, τ ) und (˜ , τ ) sind genau dann Frenetsche Kr¨mmungen uderselben Kurve, wenn es eine C 1 -Funktion θ gibt mit κ sin θ = 0, κ cos θ = κ ˜ und θ = τ − τ. ˜Beweis. Ist p = (τ, 0, κ)t Ableitungsvektor eines Frenetsystems, so hatjeder andere Ableitungsvektor p nach Satz 2 die Form ˜      p2 ˜ cos θ sin θ 0 p1 = τ + θ ,   =  ˜   p3 ˜ − sin θ cos θ κ
  • 41. THEORIE DER FRENETKURVEN 41mit einer C 1 -Funktion θ. Die Bedingung ! (˜1 , p2 , p3 ) = (˜, 0, κ) p ˜ ˜ τ ˜f¨hrt dann auf obige Beziehungen. uIn der Beziehung zwischen verschiedenen Frenetkr¨mmungspaaren spie- ulen die Torsionsintegrale eine wichtige Rolle. Bei der Untersuchung vonGeradenst¨cken (Beispiele 3 und 4) stellte sich das Torsionsintegral l¨ngs u aeines Geradenst¨cks als der Winkel, um den sich die Begleitbasis dreht, uheraus. Bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von π ist dieser Winkel durchdie Kurve offensichtlich eindeutig festgelegt. Wir bezeichnen diesen Win-kel als Torsionswinkel und stellen seine intrinsische Eigenschaft allgemeinfest.Definition 11 (Torsionswinkel). Sei τ Torsion einer Frenetkurve auf Iund G ⊂ I ein Intervall. Die Gesamttorsion ΛG und der Torsionswinkel Λπ Gder Kurve entlang G sind durch ΛG := τ (s) ds, Λπ = ΛG G (mod π) Gdefiniert.Satz 8 (Der Torsionswinkel als intrinsische Gr¨ße). Der Torsions- owinkel Λπ einer Frenetkurve ist eine intrinsische Gr¨ße der Kurve, falls die G oEndpunkte des Intervalls G nicht in einem Geradenintervall liegen. Insbeson-dere sind der Torsionswinkel einer Frenetkurve entlang eines Geradenst¨cks uund der Torsionswinkel Λπ := Λπ γ [a,a+L] (mit a ∈ IG ) ¨ber einer geschlossenen / uKurve γ der L¨nge L eindeutig bestimmt. aBeweis. Sind τ und τ Torsionen der selben Frenetkurve, dann gibt es ˜nach Satz 7 eine Funktion θ mit κ sin θ = 0 und θ = τ − τ . Auf IN gilt ˜
  • 42. THEORIE DER FRENETKURVEN 42dann sin θ = 0 ⇒ θ = kπ. Aus Stetigkeitsgr¨nden gilt das sogar auf dem uAbschluß IN = I IG . F¨r s0 und s1 aus dieser Menge folgt dann u s1 ˜ Λπ 0 ,s1 ] − Λπ 0 ,s1 ] = (˜(s) − τ (s))ds (mod π) = τ [s [s s0 s1 = θ (s) ds (mod π) = θ(s1 ) − θ(s0 ) (mod π) ≡ 0 (mod π). s0Nat¨rlich k¨nnen f¨r s0 und s1 auch die Endpunkte eines Geradenintervalls u o ugew¨hlt werden. aZu kl¨ren ist noch, daß der Torsionswinkel einer geschlossenen Kurve wohl- adefiniert ist. O. B. d. A. sei eine geschlossene Kurve der L¨nge L als L- aperiodische Parametrisierung x auf R gegeben (eine andere Parametri-sierung kann periodisch auf R fortgesetzt werden). Da ein Geradenst¨ck unicht geschlossen ist, ist IN = ∅ und f¨r beliebige a, b ∈ IN (b > a) gilt uΛπ = Λπ [a,b] [a+L,b+L] . Das folgt aus x [a,b] ≡x [a+L,b+L] und dem intrinsischenCharakter des Torsionswinkels. Dann ist weiter Λπ π π π π π [a,a+L] − Λ[b,b+L] = Λ[a,b] + Λ[b,b+L] − Λ[a+L,b+L] − Λ[b,b+L] = 0.Also ist der Torsionswinkel einer geschlossenen Kurve unabh¨ngig von ader Wahl des Anfangspunktes, sofern dieser nicht in einem Geradenst¨ck uliegt.Bemerkung. Eine ebene Kurve besitzt ein Frenetsystem mit verschwin-dender Torsion; also verschwindet auch generell der Torsionswinkel aufzul¨ssigen Intervallen. Insbesondere gilt: Die Torsion verschwindet auf al- alen gekr¨mmten B¨gen und der Torsionswinkel verschwindet auf jedem u oGeradenst¨ck. Diese Bedingungen sind auch hinreichend daf¨r, daß ir- u ugendwelche Kr¨mmungen (κ, τ ) zu einer ebenen Kurve geh¨ren. Denn ver- u oschwindender Torsionswinkel auf einem Geradenst¨ck ist ¨quivalent dazu, u a
  • 43. THEORIE DER FRENETKURVEN 43daß die Schmiegebene in den Endpunkten die gleiche ist; die Kurvenb¨gen oliegen also alle in der gleichen Ebene. ¨Das Aquivalenzkriterium wurde erstmals von Wong & Lai (1967) ange-geben und durch elementare Rechnung bewiesen. Sie formulierten auch dieAussage f¨r den Torsionswinkel, f¨r geschlossene Kurven sogar mod 2π; u udies w¨rde bedeuten, daß alle Frenetsysteme die selbe Periodizit¨t aufwei- u asen (vom Verhalten auf Geradenst¨cken abgesehen). Dem ist nicht so. Eine ugeschlossene Frenetkurve der L¨nge L mit einem Geradenst¨ck besitzt so- a uwohl ein 2L-periodisches Frenetsystem, bei dem Haupt- und Binormalenach jedem vollen Durchlauf das Vorzeichen wechseln, als auch ein L-pe-riodisches. Die Gesamttorsionen beider Systeme unterscheiden sich um π,deshalb ist der Satz nur modulo π richtig. F¨r geradenst¨ckfreie Kurven ist u unat¨rlich die Gesamttorsion intrinsisch, da ja die Torsion selber intrinsisch uist.Zum Schluß dieses Abschnitts uber Existenz und (Un)Eindeutigkeit von ¨Frenetsystemen m¨chte ich noch einen sch¨nen Satz von Nomizu (1959), o oder im folgenden allerdings nicht weiter gebraucht wird, zitieren (ohneBeweis):Satz 9 (Analytische Kurven). Jede (regul¨re) analytische Kurve ist eine aFrenetkurve. Falls sie nicht geradlinig ist, sind ihre Wendepunkte allesamtisolierte Punkte und das Frenetsystem ist bis auf ein Vorzeichen eindeutigbestimmt.
  • 44. THEORIE DER FRENETKURVEN 446 Das Bishopsystem einer RaumkurveTangentiale Systeme mit verschwindendem Koeffizienten p2 wurden alsFrenetsysteme untersucht. Der Fall p3 ≡ 0 f¨hrt auf die selbe Situation nur umit anderer Numerierung. Im folgenden betrachten wir den verbleibendenFall p1 ≡ 0.Definition 12 (Bishopsystem). Ein tangentiales Sytem (B, p(B)) einerKurve γ : x := x(s), s ∈ I heißt Bishopsystem, falls der erste Koeffizient p1des Ableitungsvektors verschwindet. B =: (T, M1 , M2 )t heißt Bishopbegleit-basis der Kurve und die stetige parametrisierte Kurve p2 M2 , T k : I → R2 , k= = p3 T , M1heißt Normalenentwicklung des Systems.Bemerkung 1. Die Ableitungsgleichungen eines Bishopsystems((T, M1 , M2 )t , (k1 , k2 )t ) sehen dann so aus:       T 0 k2 −k1 T       M1  = −k2 0  · M 1  .       0       M2 k1 0 0 M2Bemerkung 2. Es gilt |k| = |T | = κN , also entspricht die Null-stellenmenge der Normalenentwicklung genau der Wendepunktmenge derKurve. Insbesondere sind Geradenst¨cke durch k ≡ 0 gekennzeichnet. uDie Normalenkomponenten einer Bishopbegleitbasis haben tangentiale Ab-leitungen. Solche Normalenfelder, die hier als relativ parallel bezeichnetwerden, sind nicht nur zur Konstruktion von Bishopsystemen n¨tzlich, usondern auch f¨r die Untersuchung von Parallelkurven. u
  • 45. THEORIE DER FRENETKURVEN 45Definition 13 (Relativ parallel). 1. Ein C 1 -Normalenfeld entlang einer Kurve heißt relativ paralleles Norma- lenfeld (RPNF) der Kurve, falls seine Ableitung tangential ist. 2. Zwei C 1 -Kurven heißen Parallelkurven, falls sie diffeomorph aufeinan- der bezogen werden k¨nnen so, daß die Normalebenen beider Kurven in o entsprechenden Punkten ¨bereinstimmen. Das heißt, es gibt C 1 -Para- u metrisierungen x(t), x(t) f¨r die beiden Kurven, so daß f¨r alle Para- u u meterwerte gilt x(t) + x(t)⊥ = x(t) + x(t)⊥ . ˙ ˙Bemerkung. Normalenfelder mit tangentialer Ableitung und daraus kon-struierte Begleitbasen wurden m. W. erstamls von Bishop (1975) ausf¨hr- ulich untersucht. In der Literatur (vgl. Blaschke 1921) tauchen sie aberschon im Zusammenhang mit sogenannten Kr¨mmungsstreifen auf. Ist uE(s) ein Vektorfeld l¨ngs einer regul¨ren Kurve γ : x(s), so ist durch a aR(s, v) := x(s) + vE(s) eine Regelfl¨che definiert. Sie ist eine Torse, al- aso in die Ebene verbiegbar, falls die Torsenbedingung det(E, E , T ) = 0erf¨llt ist. Dies ist sicher der Fall, wenn f¨r E ein RPNF gew¨hlt wird. u u aDie so definierte Torse wird als Kr¨mmungsstreifen bezeichnet. uSatz 10 (Parallelkurven). Zwei C 1 -Kurven γ : x = x(s), s ∈ I undγ : x = x(s) sind genau dann Parallelkurven, wenn es ein RPNF M auf Izu γ gibt, so daß die parametrisierte Kurve x := x + M regul¨r und C 1 - ˜ a¨quivalent zu x ist.aBeweis. Ist M RPNF zu γ, so haben die parametrisierten Kurven x undx in entsprechenden Punkten gleiche Normalebenen. Die Tangential- und˜
  • 46. THEORIE DER FRENETKURVEN 46 ¨ ˙damit auch die Normalr¨ume stimmen uberein wegen x = αx = 0. M ist a ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ˜ ˜ ˙normal, also ist x = x + M ∈ x + x⊥ ⇒ x + x⊥ = x + M + x⊥ = x + x⊥ . ˜Sind umgekehrt zwei Parallelkurven γ : x(t) und γ : x(t) gegeben mit ˜ ˜ ˙ ˙x(t)+ x(t)⊥ = x(t)+ x(t)⊥ , so ist x(t) x(t) ⇒ M := x−x hat tangentiale ˙ ˙Ableitung zu beiden Kurven und die Normalenr¨ume stimmen uberein. a ¨Offensichtlich ist M dann selbst normal und damit ein RPNF.Parallelkurven haben also die interessante Eigenschaft, daß sie in entspre-chenden Punkten parallele Tangenten haben und die Verbindungsstreckedazwischen auf beiden Kurven senkrecht ist.6Wir bemerken einige Eigenschaften der RPNFs.Lemma 10. Sei eine C 2 -Kurve mit Tangentialvektor T gegeben; M und M1seien relativ parallele Normalenfelder (RPNFs). Dann gilt:a) |M | ≡ const.b) M, M1 ≡ const.c) ˆ Sind c, c1 reelle Konstanten, so ist M := cM + c1 M1 wieder relativ parallel.d) M := T × M ist wieder relativ parallel.Beweis. M ist tangential ⇒ M, M ≡ 0 ⇒ M, M ≡ const. Genausoist M, M1 ≡ const. 6 Zuweilen werden Kurven auch als Parallelkurven bezeichnet, wenn nur die Tangen-ten parallel, d.h. ihre Tangentenbilder kongruent sind. In diesem Sinne w¨re ein RPNF aeiner Kurve, aufgegaßt als parametrisierte Kurve, sogar selbst Parallelkurve (falls re-gul¨r). a
  • 47. THEORIE DER FRENETKURVEN 47Linearkombinationen von RPNF sind nat¨rlich wieder RPNF, denn die uAbleitungen der Summanden sind alle tangential.Zu (d): M = (T × M ) = T × M + T × M = T × M. Da T und Mbeide normal sind, muß das Kreuzprodukt tangential und M daher relativparallel sein.RPNFs haben also konstante L¨nge und schließen untereinander feste aWinkel ein. Außerdem legt ein RPNF zugleich eine Bishopbegleitbasis fest.Lemma 11. Sei γ : x(s) eine C 2 -Kurve mit Tangentenvektor T und M ≡ 0ein RPNF.a) Mit M1 := M/|M | und M2 := T × M1 ist (T, M1 , M2 )t eine Bishopbegleitbasis der Kurve.b) Ist M0 ein Normalenvektor im Punkt x(s0 ), so gibt es genau ein RPNF M der Kurve mit M (s0 ) = M0 , n¨mlich a M := |M0 | · (cos ϕ0 M1 + sin ϕ0 M2 ), wobei f¨r ϕ0 der durch T orientierte Winkel zwischen M0 und M1 (s0 ) u zu w¨hlen ist. aBeweis. a) M1 und M2 sind RPNFs nach Lemma 10, c) und d) underg¨nzen T nach Konstruktion zu einer Begleitbasis. ab) M ist gem¨ß Lemma 10 c) RPNF und ϕ0 wurde so gew¨hlt, daß a a ˜ ˜M (s0 ) = M0 . Ist M ein weiteres RPNF mit M (s0 ) = M0 , so ist die Dif- ˜ferenz wieder relativ parallel und folglich |M − M | ≡ const. = |M (s0 ) −˜M (s0 )| = 0. Daraus folgt die Eindeutigkeit.
  • 48. THEORIE DER FRENETKURVEN 48Nach diesem Lemma sind die RPNFs einer Kurve und damit ihre Bishop-begleitbasen bis auf die Wahl eines Anfangswertes eindeutig bestimmt —falls es uberhaupt welche gibt. Erfreulicherweise ist die Existenz schon ¨unter schwachen Voraussetzungen gesichert.Satz 11 (Existenz und Fast-Eindeutigkeit des Bishopsystems).Jede C 2 -Kurve besitzt ein Bishopsystem. Ist ((T, M1 , M2 )t , k) ein Bishopsy- ˜stem, so ist die Gesamtheit der Bishopsysteme ((T, M 1 , M 2 )t , k) genau durch M1 M1 = Dt (ϕ0 ) · und k = D(−ϕ0 ) · k M2 M2gegeben mit einem Winkel ϕ0 ∈ R. Insbesondere ist die Normalenentwicklungbis auf eine ebene Drehung eindeutig bestimmt.Beweis. Wir zeigen zun¨chst, daß es differenzierbare und nichtverschwin- adende RPNFs lokal gibt. Diese k¨nnen stetig zusammengesetzt werden, odenn es wurde ja gezeigt, daß aus einem lokalen RPNF ein weiteres kon-struiert werden kann, das irgendeinen vorgegebenen Wert annimmt. Schließ-lich erf¨llt dieses zusammengesetzte RPNF die Differenzierbarkeitsforde- urung. Das ist eine Konsequenz aus der Eindeutigkeit.7 Aus dem RPNFkann dann eine Bishopbegleitbasis konstruiert werden (Lemma 11). DieBeziehungen zwischen verschiedenen Bishopsystemen folgen direkt ausSatz 2.1. Schritt. Die Kurve sei γ : x(s), s ∈ I mit Tangentenvektor T . F¨r jeden uParameterwert s1 gibt es eine Umgebung, auf der eine lokale C 1 -Begleit-basis konstruiert werden kann. Dazu w¨hlen wir einen Vektor V , der in s1 anicht tangential ist. Dann ist V auf einer ganzen Umgebung nicht tangen-tial (wegen T × V = 0 auf einer Umgebung). Wir k¨nnen die Konstruktion o 7 Der Beweis folgt der Skizze von Bishop (1975).
  • 49. THEORIE DER FRENETKURVEN 49von Lemma 7 anwenden. Dabei bleibt die Differentiationsordnung der Tan-gente erhalten.2. Schritt. Aus jeder lokalen Begleitbasis U kann eine Bishopbegleitbasisgleicher Ordnung konstruiert werden. Ist p1 der erste Koeffizient von p(U), t sso ist U := D1 (ϕ)U mit ϕ(s) = − s0 p1 (σ) dσ Bishopbegleitbasis. Denn tnach Satz 2 ist p = D1 (ϕ)p + ϕ e1 ⇒ p1 = p1 + ϕ ≡ 0. ˜ ˜ ¨3. Schritt Wir haben nun eine Uberdeckung von I mit offenen Intervallen,auf denen jeweils RPNFs existieren. Daraus k¨nnen wir zun¨chst auf je- o adem kompakten Teilintervall ein C 1 -RPNF konstruieren, denn wir k¨nnen ouns dann auf eine endliche Teil¨berdeckung beschr¨nken. Auf den endlich u avielen Teilst¨cken wird je ein lokales RPNF so ausgew¨hlt, daß benach- u abarte RPNF jeweils in einer gewissen Nahtstelle ubereinstimmen. Dann ¨stimmen sie wegen der Eindeutigkeit sogar auf der ganzen offenen Schnitt-menge uberein und die Zusammensetzung ist differenzierbar. Sei nun (Kn ) ¨eine Folge kompakter Intervalle mit Kn → I f¨r n → ∞ und Kn ⊂ Kn+1 . uEs gibt eine Folge von RPNFs Mn : Kn → R3 mit Mn+1 Kn ≡ Mn . Somitkann auf ganz I ein globales, differenzierbares RPNF definiert werden.Nat¨rlich charakterisiert auch die Normalenentwicklung ebenso wie die uFrenetschen Kr¨mmungen eine Kurve eindeutig bis auf eine eigentliche uBewegung. Das ist eine direkte Folgerung von Satz 1.Satz 12 (Fundamentalsatz fur Normalenentwicklungen). Eine ebe- ¨ne, stetige parametrisierte Kurve k : I → R2 , k = k(s) ist Normalenentwick-lung einer bis auf eine eigentliche Bewegung eindeutig bestimmten C 2 -Kurve,deren Bogenl¨ngenfunktion s ist. aDie Fasteindeutigkeit des Bishopsystems rechtfertigt es, die Normalenent-wicklung als ein die Kurve charakterisierendes Invariantensystem aufzu-
  • 50. THEORIE DER FRENETKURVEN 50fassen; invariant zwar nur bis auf eine Drehung, aber das heißt ja nur, daßwir von der Lage in der Ebene fast ganz absehen k¨nnen. Bei den Fre- onetkr¨mmungen haben wir im Fall der Geradenst¨ckfreiheit eine ¨hnliche u u aSituation: (κ, τ ), aufgefaßt als Kurve, ist bis auf Spiegelung an der erstenKoordinatenachse eindeutig.7 Zusammenhang zwischen Frenet- und Bi- shopsystemAufgrund der Existenz der Bishopbegleitbasis k¨nnen andere Systeme, ins- obesondere Frenetsysteme, durch das Bishopsystem (B, k) dargestellt wer- tden. Mit dem Ansatz F = D1 (ϕ)B erhalten wir aus Satz 2 die Darstellung p2 (F) p1 (F) = ϕ , = Dt (ϕ)k. p3 (F)Das heißt, (κ, τ ) sind Frenetkr¨mmungen der Kurve genau dann, wenn sie udie Bedingungen 0 − sin ϕ τ =ϕ und k = D(ϕ) =κ = κE(ϕ + π/2) κ cos ϕerf¨llen (f¨r differenzierbares ϕ). Dann ist ϕ − π/2 genau ein Polarwinkel u uund κ der zugeh¨rige Polarabstand von k. Da eine feste Drehung f¨r die o uNormalenentwicklung irrelevant ist, folgtSatz 13 (Umrechnung zwischen Frenet- und Bishopsystem). EineC 2 -Raumkurve ist genau dann eine Frenetkurve, wenn ihre Normalenentwick-lung k eine differenzierbare Polarwinkelfunktion besitzt. Ist (B, k) ein Bisho-psystem der Kurve mit k = rE(ϕ), so ist ein Frenetsystem gegeben durch(F, κ, τ ) mit t F = D1 (ϕ)B, κ = r, τ =ϕ.
  • 51. THEORIE DER FRENETKURVEN 51Ist umgekehrt (F, κ, τ ) ein Frenetsystem einer Frenetkurve, so ist ihr Bisho-psystem (B, k) gegeben durch sB = D1 (ϕ)F, k = κE(ϕ + π/2), ϕ(s) = ϕ0 + τ (t)dt = ϕ0 + Λ[s0 ,s] s0(f¨r ϕ0 ∈ R und s0 ein beliebiger Parameterwert). u ¨Bemerkung. Die meisten Uberlegungen des Abschnitts 5.2 k¨nnen auch odirekt aus diesem Satz gefolgert werden. Insbesondere sagt Lemma 4, daßdie Polarkoordinaten der Normalenentwicklung dann fasteindeutig sind,wenn ihre Nullstellenmenge, also IN , keine inneren Punkte hat. Darausfolgt direkt der Satz 6 uber die Fasteindeutigkeit der Frenetkr¨mmungen ¨ ueiner geradenst¨ckfreien Kurve. uNach dem Satz ist die Gesamttorsion auf einem Intervall als die Ver¨nde- arung des Drehwinkels zwischen Bishopbegleitbasis und Frenetbegleitbasiszu interpretieren. Das hat bemerkenswerte Konsequenzen f¨r die Parallel- ukurven einer geschlossenenen Kurve γ : x(s).Ist M ein RPNF, so ist die Parametrisierung x + M genau dann re-gul¨r, wenn uberall a ¨ T , M = 1 (wegen T , M = − T, M ). Im all-gemeinen brauchen regul¨re Parallelkurven nicht zu existieren. F¨r die a uEinschr¨nkung auf ein kompaktes Intervall ist aber der Wertebereich der aNormalenentwicklung beschr¨nkt; eine Skalierung mit einem geeigneten akonstanten Faktor bildet sie in das Innere des Einheitskreises ab, unddann liefert jedes so skalierte Einheits-RPNF eine regul¨re Parallelkur- ave. Insbesondere besitzt jede geschlossene Kurve regul¨re Parallelkurven. aEs uberrascht vielleicht, daß diese Parallelkurven i. A. nicht geschlossen ¨sind. Sicher sind alle Parallelkurven einer geschlossenen Kurve genau danngeschlossen, wenn ein periodisches RPNF existiert. Dessen Periodizit¨t a
  • 52. THEORIE DER FRENETKURVEN 52h¨ngt nun bei Frenetkurven vom Torsionswinkel und von der Periodizit¨t a ades Frenetsystems ab.Es wurde schon bemerkt, daß das Frenetsystem einer geschlossenen Kurvenicht periodisch zu sein braucht. Es gibt sogar geschlossene Frenetkurvender L¨nge L, f¨r die kein L-periodisches Frenetsystem existiert. Beispiel a uist eine Schleife auf einem M¨biusband mit genau einem Wendepunkt. Es oist allerdings leicht zu sehen, daß zumindest ein 2L-periodisches Frenet-system existiert. Dann erhalten wir bei verschwindendem Torsionswinkeleine geschlossene Parallelkurve, aber auch dann, wenn der Torsionswinkelein rationaler Bruchteil von 2π ist.Satz 14 (Bishopsystem einer geschlossenen Kurve). Eine geschlos-sene Frenetkurve der L¨nge L besitzt ein 2L-periodisches Frenetsystem. Ihr Bi- ashopsystem ist genau dann 2L-periodisch, wenn ihr Torsionswinkel verschwin-det; es ist periodisch, wenn ihre Gesamttorsion ein rationaler Bruchteil von 2πist.Beweis. Wir nehmen wieder an, daß die Kurve γ durch eine L-periodi-sche Parametrisierung x : R → R3 gegeben ist; sei x(0) = x(L) Nicht-wendepunt. Es gibt dann eine ganze ε-Umgebung U (0), auf der die Kurvewendepunktfrei ist, und f¨r s ∈ U ist N (s) = ±N (s + L), wenn N eine uHauptnormale ist. Wenn wir deshalb N von [0, L[, evt. mit umgekehr- ¨tem Vorzeichen, auf [L, 2L[ fortsetzen, so ist der Ubergang bei L glatt.Definieren wir f¨r s ∈ [0, L[ und k ∈ Z u ˆ N (s + 2kL) := N (S) und ˆ N (s + (2k + 1)L) := ±N (s), ˆso ist dann N eine 2L-periodische Hauptnormale und durch sie ist ein Fre-netsystem derselben Periodizit¨t festgelegt. Die Torsion in diesem System aist sogar L-periodisch.
  • 53. THEORIE DER FRENETKURVEN 53Sei jetzt F eine solche Frenetbegleitbasis. Die Bishopbegleitbasis ist danndurch B = D1 (ϕ)F gegeben. Sie ist 2L-periodisch genau dann, wennB(0) = B(2L) (wegen der Eindeutigkeit bei vorgegebener Anfangsbele-gung). Nun folgt B(0) = B(2L) ⇔ ϕ(0) = ϕ(2L) (mod 2π) ⇔ Λ[0,2L] = 0 (mod 2π) ⇔ ⇔ 2Λ[0,L] = 2kπ ⇔ Λπ = 0. γAllgemein wird das Bishopsystem einer geschlossenen Kurve in jedemDurchlauf um den Torsionswinkel (bzw. um π plus den Torsionswinkel)gegen¨ber der urspr¨nglichen Position gedreht. Ist dieser Winkel ein ra- u utionaler Teil des Vollwinkels, so wird es nach entsprechend vielen Uml¨ufen ain die Anfangsposition zur¨ckkehren. uKorollar. Sei γ1 : x(s) = x(s) + M (s) Parallelkurve einer geschlossenenKurve γ : x(s) der L¨nge L. Dann ist γ1 genau dann geschlossen, wenn der aTorsionswinkel von γ ein rationaler Bruchteil von 2π ist. Wenn insbesondereder Torsionswinkel verschwindet, so entspricht ein Umlauf von γ genau einemoder zwei Uml¨ufen von γ. a ¨ ¨Bemerkung. Ahnliche Uberlegungen wie f¨r die Parallelkurven lassen usich auch uber Kr¨mmungsstreifen (s. Bemerkung zu Def. 13) anstellen. ¨ uZun¨chst folgt aus dem Existenzsatz, daß durch jede Kurve, ggf. nach Ein- aschr¨nkung auf ein kompaktes Intervall, ein regul¨rer Kr¨mmungsstreifen a a upositiver Breite gelegt werden kann. Der Torsionswinkel einer geschlosse-nen Kurve verschwindet genau dann, wenn der Kr¨mmungsstreifen sich unach einem Kurvenumlauf schließt. In dieser Form wurde die Aussage vonFenchel (1934) bewiesen.
  • 54. THEORIE DER FRENETKURVEN 54Beispiel 5. Bisher bleibt unklar, welche Werte der Torsionswinkel ei-ner geschlossenen Kurve uberhaupt annehmen kann. Sicherlich gibt es ge- ¨schlossene Kurven mit verschwindendem Torsionswinkel, darunter die ebe-nen Kurven. Es gibt auch welche mit nichtverschwindendem Torsionswin-kel. Als Beispiel betrachten wir eine Kurve auf einem Kreiszylinder, die auseiner Windung einer Schraubenlinie und einem St¨ck einer Mantellinie zu- usammengesetzt ist. Die Ecken an den Endpunkten der Schraubenwindung ¨werden abgerundet, so daß eine glatte Kurve γ1 entsteht. Uber die Gesamt-torsion dieses Gebildes l¨ßt sich zun¨chst nichts sagen. Sei nun γn analog a awie γ1 aufgebaut, nur mit genau n Windungen der selben Gangh¨he und ei- onem entsprechend verl¨ngerten Geradenst¨ck. Insbesondere soll die Form a uder Abrundung genau identisch sein. Da die L¨nge des Geradenst¨cks die a uGesamttorsion nicht beeinflußt, ist Λγn = Λγ1 + (n − 1)Λ, wobei Λ dieGesamttorsion einer Schraubenwindung ist. Sie h¨ngt von der Wahl des aSchraubparameters ab (Λ = 2π sin Θ, wobei Θ der Winkel ist, den dieSchraubenlinie mit einer Lotebene der Schraubachse einschließt). Offen-sichtlich ist es m¨glich, durch geeignete Wahl von Θ und n geschlossene oKurven mit beliebigem Torsionswinkel und nicht geschlossenen Parallel-kurven zu konstruieren.Bisher wurde der Zusammenhang zwischen Bishop- und Frenetsystem ei-ner Kurve hergeleitet. Nun ist jedes Frenetsystem zugleich Bishopsystemeiner anderen Kurve und umgekehrt. Durch Umstellen der Begleitbasiskann erreicht werden, daß statt des ersten Koeffizienten des Ableitungs-vektors (Bishopsystem) der zweite Koeffizient (Frenetsystem) verschwin-det. Ist ((T, M1 , M2 )t , (k1 , k2 )t ) Bishopsystem einer Kurve, so ist etwa((M2 , T, M1 )t , k1 , k2 ) ein Frenetsystem. Es definiert eine Frenetkurve γ1 : sx(s) = s0 M2 (σ)dσ mit Hauptnormale T . Genauso l¨ßt sich ein Frenet- a
  • 55. THEORIE DER FRENETKURVEN 55system zu einem Bishopsystem umschreiben. Als Tangente fungiert imneuen System die Hauptnormale des alten. Da aus dem Bishopsystem ei-ner Frenetkurve wiederum in ihr Frenetsystem umgerechnet werden kann,ergibt sich so eine Methode, um von einem Frenetsystem auf das einerverwandten Kurve uberzugehen. ¨Definition 14 (Vorg¨nger- und Folgekurve). Seien γ1 : x1 (s) und aγ2 : x2 (s) C 2 -Kurven. γ2 heißt Folgekurve von γ1 und γ1 Vorg¨ngerkurve avon γ2 , falls der Tangentenvektor von γ1 Hauptnormale von γ2 ist (bezogenauf die Parametrisierung nach der gemeinsamen Bogenl¨ngenfunktion s). aBemerkung. Eine Kurve γ hat genau dann Vorg¨ngerkurven, wenn sie aFrenetkurve ist. Ist sie geradenst¨ckfrei, so sind es bis auf eine Translation ugenau zwei Vorg¨ngerkurven, die sich nur in der Orientierung unterschei- aden. Sonst sind es unendlich viele verschiedene Vorg¨ngerkurven. Sie sind agenau dann wieder Frenetkurven, wenn es f¨r die Frenetkr¨mmungen von u uγ Polarkoordinaten mit differenzierbarem Polarwinkel gibt; das folgt ausSatz 13, denn das Frenetsystem von γ entspricht einem Bishopsystem derVorg¨ngerkurve. Eine Schar von Folgekurven existiert immer; sie sind Fre- anetkurven und ihre Tangenten sind relativ parallel zu γ. ¨Satz 15 (Ubergang von Vorg¨nger- zu Folgekurve). Zwischen den aFrenetsystemen einer Frenetkurve γ1 und einer Folgekurve γ2 besteht folgen-der Zusammenhang:      T 0 − cos ϕ sin ϕ T  2   1 κ2 cos ϕ  N2  =  1 0   N1  , = κ1 ,      0      τ2 sin ϕ B2 0 sin ϕ cos ϕ B1 s wobei ϕ(s) = ϕ0 + τ1 (σ)dσ s0
  • 56. THEORIE DER FRENETKURVEN 56f¨r ein gewisses ϕ0 ∈ R. Die Binormale B1 = sin ϕT2 +cos ϕB2 der Vorg¨nger- u akurve ist Darbouxvektor des Frenetsystems der Folgekurve.Beweis. Ist ein Frenetsystem von γ1 gegeben, so ist ein Bishopsystemnach Satz 13 gegeben mit ((T1 , −T2 , B2 )t , k), wobei −T2 N1 = D(ϕ) , k = κ1 E(ϕ + π/2) B2 B1und ϕ wie im Satz. Dann ist ((T2 , T1 , B2 )t , κ1 cos ϕ, κ1 sin ϕ) ein Frenetsy-stem einer Folgekurve. Mit N2 := T1 folgen die behaupteten Beziehungen.Ist umgekehrt ein Frenetsystem von γ2 gegeben mit einem differenzierba-ren Polarwinkel der Kr¨mmungen, so ist ein Frenetsystem einer Vorg¨nger- u akurve gem¨ß den Fomeln bestimmbar. aκ1 B1 = τ2 T2 + κ2 B2 ist der nicht normierte Drehvektor der Begleitbasisvon γ2 (Definition 6), also ist B1 ihr Drehvektor. Ihre Drehgeschwindigkeitist κ1 , und es ist κ2 = ωL . 1 2 ¨Der Ubergang auf eine Vorg¨ngerkurve ist genau dann m¨glich, wenn die a oKr¨mmungen in Polarkoordinatendarstellung mit differenzierbarem Po- ularwinkel gegeben sind. Der Polarabstand (im Satz κ1 ), zugleich Drehge-schwindigkeit des Frenetsystems, ist betragsgleich mit dem Lancretsches √Kr¨mmungsmaß ωL = κ2 + τ 2 (Definition 9). Folgerichtig k¨nnte er u oauch als Lancretsche Kr¨mmung ω des Frenetsystems bezeichnet werden. uIst ωL = 0, so verschwinden die Kr¨mmungen eines Frenetsystems nicht ugleichzeitig und Lemma 5 ist anwendbar. Wir erhalten dann folgende For-meln f¨r das Frenetsystem der Vorg¨ngerkurve: u aKorollar. Sei (T, N, B) eine C 2 -Frenetbegleitbasis einer Kurve mit Kr¨mmun- ugen κ, τ und nichtverschwindender Lancretscher Kr¨mmung ωL . Dann ist u
  • 57. THEORIE DER FRENETKURVEN 57((N, C, D)t , ω, µ) mit √ κτ − κ τ ω = ωL = κ2 + τ 2 , µ= sowie κ2 + τ 2 1 1 D= (τ T + κB) und C = (τ B − κT ) ω ωFrenetsystem der Vorg¨ngerkurve mit Tangentenvektor N . aBemerkung 1. Hartl (1993) gibt eine Zerlegung der Darboux-Drehungeiner Kurve (f¨r den wendepunktfreien Fall) in zwei ebene Drehungen an. uDie Winkelgeschwindigkeit einer dieser Drehungen ist gerade (in der Be-zeichnung des Korollars) die Torsion µ der Vorg¨ngerkurve. Daraus wird agefolgert, daß die Gesamttorsion der Folgekurve einer (wendepunktfrei-en) geschlossenen Kurve (mod 2π) verschwindet. Dieser Befund l¨ßt sich aauch folgendermaßen herleiten: Die Frenetbegleitbasis (T, N, B)t einer ge-schlossenen wendepunktfreien Kurve ist periodisch und daher auch die derVorg¨ngerkurve. T ist RPNF zur Vorg¨ngerkurve, also genau dann peri- a aodisch mit der selben Periode, wenn deren Gesamttorsion 0 (mod 2π) ist(das folgt analog aus dem Beweis von Satz 14).Bemerkung 2. Die Voraussetzungen des Korollars sind insbesondere f¨r udas Frenetsystem einer wendepunktfreien C 4 -Kurve erf¨llt. Der Tangen- utenvektor einer wendepunktfreien Kurve ist selbst Ortsvektor einer re-gul¨ren Kurve; die Vorg¨ngerbegleitbasis ist dann gerade die Frenetbe- a agleitbasis der Tangente, allerdings nicht nach deren Bogenl¨nge parametri- asiert. Um die Kr¨mmungen des Tangentenbildes zu erhalten, m¨ßte nach u u ds 1ihrer Bogenl¨nge sT abgeleitet werden, wobei a dsT = κN .Aus einem Frenetsystem einer Kurve kann mit den Formeln des Satzeseine unendliche Folge von Folgekurven samt Frenetsystemen konstruiert
  • 58. THEORIE DER FRENETKURVEN 58werden. Geht man von einer wendepunktfreien C ∞ -Kurve aus, so liefertdas Korollar außerdem eine unendliche Folge von Vorg¨ngerkurven; sie asind wegen ω > 0 wieder wendepunktfrei. Bilinski (1955, 1963) gabdiese Folge an und bemerkte, daß alle nur aus den Frenetgleichungenabgeleiteten S¨tze der Kurventheorie f¨r alle Begleitbasen dieser Folge a ugelten; so besteht eine einfache M¨glichkeit, aus bekannten S¨tzen neue o azu gewinnen. In Abschnitt 9 wird von dieser Methode vor allem in um-gekehrter Richtung Gebrauch gemacht, indem von einer Kurve auf dieFolgekurve geschlossen wird, um die Frenetgleichungen in einigen Spezi-alf¨llen zu integrieren. Denn wenn f¨r Kr¨mmungen κ, τ die L¨sung der a u u oFrenetgleichungen bekannt ist, so liefert der obige Satz die L¨sung f¨r die o uKr¨mmungen κ cos u τ ds, κ sin τ ds und allgemein f¨r alle Folgekurven. uUmgekehrt sind die Frenetgleichungen einer Kurve integrierbar, wenn dieeiner ihrer Vorg¨ngerkurven integrierbar sind. In der Tat sind die wenigen abekannten Beispiele f¨r integrierbare Kurvenklassen gerade die Folgekur- uven ebener Kurven (deren Integrabilit¨t seit 1736 bekannt ist). Satz 15 astellt diese Ergebnisse somit in den ad¨quaten Zusammenhang. a
  • 59. III. Spezielle Klassen vonRaumkurven8 Fl¨chenkurven und sph¨rische Kurven a a8.1 Die Darbouxbegleitbasis einer Fl¨chenkurve aDas klassische Instrument der dreidimensionalen Kurventheorie sind dieFrenetinvarianten Kr¨mmung und Torsion (invariant mit den in Teil II uausgef¨hrten Einschr¨nkungen). Typischerweise wird nach dem Zusam- u amenhang zwischen den Frenetkr¨mmungen (oder anderen, aus diesen ab- ugeleiteten Gr¨ßen wie etwa Gesamtkr¨mmung und -torsion) und lokalen o uoder globalen geometrischen Eigenschaften einer Kurve gefragt. In diesemAbschnitt werden geometrische Eigenschaften mit Hilfe des Bishopsystemsund der Normalenentwicklung (der Bishopinvariante) analysiert. Der Zu-sammenhang zwischen Normalenentwicklung und elementarer Kurvengeo-metrie ist so eng, daß einige Probleme auf diesem Weg wesentlich direkterangegangen werden k¨nnen als mit den Mitteln der Frenettheorie, darun- oter insbesondere die Charakterisierung sph¨rischer Kurven. Die so gewon- anenen Ergebnisse werden dann mit Hilfe von Satz 13 in die Begriffe der
  • 60. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 60Frenettheorie ubertragen. ¨Zun¨chst betrachten wir Fl¨chenkurven. Ihnen kann mit Hilfe der Fl¨chen- a a anormale in nat¨rlicher Weise eine Begleitbasis zugeordnet werden. uDefinition 15 (Darbouxbegleitbasis). Sei eine C 2 -Kurve γ mit Tan-gentialvektor T auf einer regul¨ren C 2 -Fl¨che gegeben; deren Fl¨chennormale a a a ˆ ˆentlang der Kurve sei N , und weiter wird der Seitenvektor S := N × T ˆdefiniert. Offensichtlich ist (T, S, N )t eine tangentiale Begleitbasis der Kurve,die Streifen- oder Darbouxbegleitbasis. Durch sie ist das Darbouxsystem derFl¨chenkurve definiert. Die Koeffizienten ihres Ableitungsvektors p werden als a • Geod¨tische Kr¨mmung a u κg := p3 = T , S • Normalkr¨mmung u ˆ κn := −p2 = T , N und • Geod¨tische Torsion a τg := ˆ p1 = N , Sbezeichnet. Eine C 2 -Kurve auf einer regul¨ren C 2 -Fl¨che heißt a a • Geod¨tische, a falls κg ≡ 0, • Asymptotenlinie, falls κn ≡ 0, • Kr¨mmungslinie, u falls τg ≡ 0.Es folgt sofort, daß die Fl¨chennormale entlang einer Geod¨tischen eine a aHauptnormale, entlang einer Asymptotenlinie eine Binormale und entlangeiner Kr¨mmungslinie relativ parallel ist. Ein Spezialfall sind Fl¨chen mit u akonstantem Normalenvektor, also Ebenen. Bei ihnen verschwinden Nor-malkr¨mmung und Geod¨tische Torsion, ebene Kurven sind also sowohl u aKr¨mmungs- als auch Asymptotenlinien. u
  • 61. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 61Satz 16 (Geod¨tische, Asymptoten- und Krummungslinien). a ¨16.1 Eine Geod¨tische auf einer regul¨ren C 2 -Fl¨che ist eine Frenetkurve; die a a a Fl¨chennormale entlang der Kurve ist Hauptnormale. Die Darbouxbe- a gleitbasis ist zugleich Frenetbegleitbasis mit der Normalkr¨mmung und u der geod¨tischen Torsion als Frenetkr¨mmungen. a u16.2 Eine Asymptotenlinie auf einer regul¨ren C 2 -Fl¨che ist eine Frenetkurve; a a die Fl¨chennormale entlang der Kurve ist Binormale der Kurve, und die a zugeh¨rigen Frenetschen Kr¨mmungen stimmen gerade mit den geod¨ti- o u a schen Kr¨mmungen ¨berein. u u16.3 Das Darbouxsystem einer Kr¨mmungslinie auf einer regul¨ren C 2 -Fl¨che u a a ist ein Bishopsystem der Kurve. Insbesondere ist die Fl¨chennormale a l¨ngs der Kr¨mmungslinie relativ parallel. a uKorollar. Der Torsionswinkel einer geschlossenen Kr¨mmungslinie auf einer uregul¨ren C 2 -Fl¨che ohne Selbstdurchdringungen ist 0. a aBeweis. Ein Fl¨che, die frei von Selbstdurchringungen ist, hat in jedem aFl¨chenpunkt genau eine Tangentialebene. Die Fl¨chennormale l¨ngs einer a a ageschlossenen Kurve der L¨nge L ¨ndert nach jedem Durchlauf h¨chstens a a odas Vorzeichen, ist also zumindest 2L-periodisch. Im Fall einer geschlosse-nen Kr¨mmungslinie ist also das Bishopsystem 2L-periodisch, und dann uverschwindet der Torsionswinkel (Satz 14).Bemerkung 1. Ein Darbouxvektor einer Frenetkurve erzeugt eine Tor-se, auf der die Kurve Geod¨tische ist. Sie heißt rektifizierende Fl¨che und a aist die Einh¨llende der rektifizierenden Ebenen. Wird sie in die Ebene uverbogen, so erscheint die urspr¨ngliche Kurve als Geradenst¨ck ( rekti- u u ’fiziert‘). Das ist leicht daran zu sehen, daß die Erste Grundform dieser
  • 62. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 62Fl¨che nicht von der Kr¨mmung abh¨ngt (sondern nur von der Gesamt- a u atorsion). Bei Kurven mit Wendepunkten ist die rektifizierende Fl¨che i. A. anicht regul¨r. aBemerkung 2. Jede Kurve ist Kr¨mmungslinie auf ihrem Kr¨mmungs- u ustreifen; dies erkl¨rt die Bezeichnung f¨r die von einem RPNF einer Kurve a uerzeugte Torse (s. Bemerkung zu Def. 13). Auch durch jede geschlosseneKurve l¨ßt sich ein regul¨rer und lokal injektiver Kr¨mmungsstreifen le- a a ugen. Er ist entweder geschlossen oder durchdringt sich selbst. Deshalb giltdie Aussage des Korollars nicht, wenn Selbstdurchdringung zugelassen ist.8.2 Sph¨rische Kurven aDer Satz erm¨glicht es, f¨r spezielle Fl¨chenkurven Frenet- oder Bishop- o u abegleitbasen explizit zu finden. Insbesondere sind alle ebenen und sph¨ri- aschen Kurven Kr¨mmungslinien. Die Bestimmung ihrer Bishopsysteme uf¨hrt zu einer uberraschend einfachen Charakterisierung sph¨rischer Kur- u ¨ aven.Satz 17 (Charakterisierung ebener und sph¨rischer Kurven). a17.1 Eine C 2 -Kurve ist genau dann eben, wenn ihre Normalenentwicklung auf einer Ursprungsgeraden liegt.17.2 Eine C 2 -Kurve liegt genau dann auf einer Sph¨re mit Radius R, wenn a ihre Normalenentwicklung auf einer Geraden mit Abstand 1/R vom Ur- sprung liegt. Der Radialvektor ist RPNF der Kurve.Beweis. 1. Die Kurve liege auf einer Ebene mit Einheitsnormalenvek-tor E. Wegen E = 0 ist er RPNF und kann zu einer Bishopbegleitbasis
  • 63. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 63erg¨nzt werden, und eine Koordinate der zugeh¨rigen Normalenentwick- a olung verschwindet, sie liegt also auf einer Koordinatenachse. Ist umgekehrteine Kurve auf einer Ursprungsgeraden als Normalenentwicklung gegeben,so kann sie durch eine Drehung auf eine Koordinatenachse verlegt wer-den. Die zugeh¨rige Kurve besitzt also eine Bishopbegleitbasis mit einem okonstanten Normalenvektor M . Dann liegt sie in einer Ebene. (Lemma 6).2. Die Kurve γ : x(s) liege auf einer Sph¨re mit Radius R und Mittelpunkt am. F¨r den Radialvektor xm := x − m gilt xm = T und u x m , xm = R 2 1⇒ T, xm = 0 ⇒ xm ist RPNF. M := x R m ist ein Einheits-RPNF. Ei-ne Koordinate der zugeh¨rigen Normalenentwicklung hat den konstanten o 1Wert R , sie liegt also auf einer Geraden mit diesem Abstand vom Ur-sprung.Sei umgekehrt eine geradlinige Normalenentwicklung k gegeben. Sie ist ˜durch eine Drehung in die Form (k1 , 1/R)t uberf¨hrbar, die zugeh¨ri- ¨ u oge Raumkurve besitzt also ein Einheitsnormalenvektorfeld M mit M =1R T .Dann erf¨llt x = RM erf¨llt u u die Gleichung x = T ; γ : x(s) istalso eine sph¨rische Kurve mit Normalenentwicklung k. Jede andere Kur- ave mit der selben Normalenentwicklung unterscheidet sich nur durch eineBewegung.Bemerkung. Daraus folgt, daß sph¨rische Kurven wendepunktfrei sind. aKorollar. Eine C 2 -Kurve ist genau dann geradlinig bzw. liegt auf einer Kreis-linie mit Radius ρ, wenn ihre Normalenentwicklung konstant ist und k ≡ 0bzw. |k| = ρ−1 .Beweis. Der erste Teil wurde schon bei der Definition der Normalenent-wicklung bemerkt. Nach dem Satz liegt eine Kurve mit k ≡ const., |k| =
  • 64. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 64ρ−1 genau in der Schnittmenge einer Ebene und unendlich vieler Kugelnmit Radius ≥ ρ. Diese Schnittmenge ist ein Kreis mit Radius ρ.Hieraus ergeben sich wichtige Konsequenzen f¨r geschlossene sph¨rische u aKurven.Satz 18 (Geschlossene ebene und sph¨rische Kurven). Sei γ : x(s) aeine ebene C 2 - oder sph¨rische C 3 -Kurve. Sie sei geschlossen mit Gesamtl¨nge a aL. Dann existieren L-periodische Frenet- und Bishopsysteme der Kurve, undalle Parallelkurven sind geschlossen, wobei ein Umlauf von γ genau einemUmlauf jeder Parallelkurve entspricht.Beweis. Im ebenen Fall ist die Ebenennormale sowohl Binormale als auchRPNF. Sie ist konstant, also auch L-periodisch. Eine sph¨rische C 3 -Kurve aist wendepunktfrei, besitzt also ein intrinsisches Frenetsystem, das die sel-be Periodizit¨t wie die Kurvenparametrisierung aufweist. Der Radialvek- ator l¨ngs der Kurve ist RPNF (Satz 17) und nat¨rlich ebenso periodisch. a uKorollar. Die Gesamttorsion jeder geschlossenenen sph¨rischen C 3 -Kurve ist aNull.Beweis. Wegen der Wendepunktfreiheit ist die Gesamttorsion definiert.Aus dem vorherigen Satz und Satz 14 folgt, daß ihr Wert nπ (n ∈ Z) ist.Nun ist die Normalenentwicklung k der Kurve eine Nichtursprungsgerade.Sie liegt ganz in einer Halbebene des R2 . Der Wertebereich eines Polarwin-kels ϕ von k liegt dann offensichtlich in einem offenen Intervall der L¨nge ah¨chstens π. F¨r zwei Parameterwerte s1 und s2 gilt dann wegen Satz 13 o u|ϕ(s1 ) − ϕ(s0 )| = |Λ[s0 ,s1 ] | < π. Dann ist die Gesamttorsion 0.
  • 65. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 65Bemerkung. Diesen Satz beweist auch Fenchel (1934). Nach einemSatz von Scherrer (1940) sind Ebene und Kugel die einzigen Fl¨chen, aauf denen jede geschlossene Kurve verschwindenden Torsionswinkel bzw.Gesamttorsion hat.Wir leiten nun aus der Charakterisierung sph¨rischer Kurven durch ihre aNormalenentwicklung die Bedingungen f¨r ihre Frenetkr¨mmungen her. u uSatz 19 (Sph¨rische Kurven). F¨r eine C 3 -Kurve γ : x(s), s ∈ I sind a u¨quivalent:a i.) γ ist sph¨risch mit Kugelradius R. a ii.) Die Normalenentwicklung von γ liegt auf einer Geraden im Abstand 1/R vom Ursprung.iii.) γ ist Frenetkurve mit Kr¨mmungen κ, τ , und f¨r beliebiges s0 ∈ I gibt u u es gewisse Konstanten A und B mit s s √ A cos τ (σ)dσ + B sin τ (σ)dσ κ(s) ≡ 1. R = A2 + B 2 . s0 s0iv.) γ ist Frenetkurve mit Kr¨mmungen κ = 0, κ = ρ−1 und τ und es u existiert eine C 1 -Funktion f (s), so daß gilt ρ = fτ und f + ρτ = 0. R= ρ2 + f 2 .Beweis. (i) ⇒ (ii): Satz 17(ii) ⇒ (iii): F¨r die geradlinige Normalenentwicklung k = (k1 , k2 )t gibt es ueinen festen Winkel Θ mit k, E(Θ) = d = R−1 ⇒ Ak1 + Bk2 = 1 mitR2 = A2 + B 2 . Nun ist k = κE(ϕ) mit ϕ = τ ds, wobei die Integrati-onskonstante eine Drehung bewirkt. Das ist die Aussage.
  • 66. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 66(iii) ⇒ (iv): Mit C = (A, B)t und ϕ = τ ds haben wir κ C, E(ϕ) =1 ⇒ κ = 0 und ρ = C, E(ϕ) . Dann ist ρ = τ C, E(ϕ + π/2) . W¨hle af = C, E(ϕ + π/2) ⇒ ρ = f τ und f = τ C, E(ϕ + π) = −ρτ . Schließ-lich ist ρ2 + f 2 = C, C = R2 .(iv) ⇒ (i): Sei (T, N, B)t Frenetbegleitbasis der Kurve mit diesen Kr¨mmun- ugen. Betrachte die parametrisierte Kurve m : I → R3 mit m = x+ρN +f Bund die Funktion Q auf I mit Q = x − m, x − m = ρ2 + f 2 = R2 . Esergibt sich m = T + f τ N + ρ(−κT + τ B) − ρτ B − τ f N ≡ 0 und ebensoQ ≡ 0, also liegt γ auf einer Kugel mit Mittelpunkt m und Radius R.Bemerkung. F¨r eine C 4 -Kurve mit τ = 0 ist (iv) aquivalent zur Bedin- u ¨gung 2 ρ ρ + ρτ = 0, R= ρ2 + . (8.1) τ τIn der Literatur wird h¨ufig nur diese eingeschr¨nkt g¨ltige Charakteri- a a usierung sph¨rischer Kurven genannt. Erst Wong (1963) entwickelte die avollst¨ndige Charakterisierung (iv) und leitete daraus, basierend auf ei- aner Entdeckung von Breuer und Gottlieb, (iii) ab (Wong (1972)).Bishop (1975) bemerkte (ii) und erkannte den Zusammenhang mit (iii).8.3 Lokale KurvengeometrieWir kommen noch einmal auf den bemerkenswert direkten Zusammen-hang zwischen Normalenentwicklung und Kurvengeometrie zur¨ck. Satz u17 zeigt, wie die Normalenentwicklung die Kurve quasi in niedrigerer Di-mension widerspiegelt. Eine Normalenentwicklung, die auf einer geknick-ten Geraden liegt mit der Knickstelle im Ursprung (wie in Beispiel 1)repr¨sentiert eine Kurve, die aus B¨gen auf verschiedenen Ebenen besteht a o
  • 67. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 67wie in Beispiel 2 bzw. 4. Das ist eine Anwendung der Normalenentwicklungauf Kurven, die mit den Mitteln der Frenettheorie nicht erfaßbar sind.Ist die Normalenentwicklung eine außerhalb des Ursprungs geknickte Ge-rade, so geht die Kurve von einer ebenen in eine sph¨rische oder von aeiner Kugel auf eine andere uber, wobei sie evt. ein St¨ck geradlinig oder ¨ ukreislinig verl¨uft. In regul¨ren Punkten der Normalenentwicklung einer a aKurve k¨nnen wir ihre Tangente als Normalenentwicklung einer ebenen ooder sph¨rischen Ber¨hrkurve interpretieren. Das f¨hrt zu einer sch¨nen a u u oMethode zur lokalen Kurvenanalyse.Definition 16 (Oskulation). Sei γ : x(s) eine C 3 -Raumurve und S ei-ne Gerade, Ebene, Kreis oder Sph¨re. Wir sagen, die Kurve oskuliert S im aKurvenpunkt x(s0 ), falls sie in diesem Punkt eine Kurve γ von 3. Ordnungber¨hrt, d.h. f¨r γ gibt es eine Parametrisierung x = x(s), so daß gilt u u x(i) (s0 ) = x(i) (s0 ) f¨r i = 0 . . . 3. uEin Kurvenpunkt x0 heißt • Wendepunkt h¨herer Ordnung, falls x in x0 eine Gerade oskuliert; o • Scheitel, falls die Kurve in x0 einen Kreis oskuliert; • Gew¨hnlicher Wendepunkt, falls er Wendepunkt ist und die Kurve in x0 o genau eine Ebene oskuliert; • Henkelpunkt, falls x0 kein Wendepunkt ist und x dort eine Ebene osku- liert; • ordentlicher Punkt, falls die Kurve in x0 genau eine Kugel oskuliert, n¨mlich ihre oskulierende Kugel. a
  • 68. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 68Bemerkung. Eine Kurve ber¨hrt in jedem Punkt genau eine Gerade, un¨mlich ihre Tangente. Ein Wendepunkt h¨herer Ordnung oskuliert al- a oso genau die Tangente. Falls die Kurve genau eine Ebene oskuliert, soist dies ihre Schmiegebene. Ein Scheitel ist zugleich Henkelpunkt, aberkein ordentlicher Punkt, da die Kurve dort beliebig viele Kugeln osku-liert. Es gibt nat¨rlich nur einen Schmiegkreis 3. Ordnung; g¨be es zwei, u aso m¨ßten sich die beiden Kreislinien ebenfalls von so hoher Ordnung u u u ¨ber¨hren (Ber¨hrung zwischen Kurven ist offensichtlich eine Aquivalenz-relation), und dann stimmen sie uberein. ¨Ein Wendepunkt ist sicher nicht ordentlich, denn jede Ber¨hrkurve 2. Ord- unung in einem solchen hat dort ebenfalls einen Wendepunkt, ist also nichtsph¨risch. Auch ein Henkelpunkt ist nicht ordentlich; das wird im folgen- aden Satz bewiesen.Satz 20 (Lokale Kurvengeometrie). Sei γ : x(s) eine regul¨re C 3 - aRaumkurve mit Normalenentwicklung k = (k1 , k2 )t , Kr¨mmungsmaß κN , uKr¨mmungsradius ρ = 1/κN und intrinsischer Torsion τN . F¨r einen Kur- u uvenpunkt x0 = x(s0 ) gilt:a) x0 ist Wendepunkt h¨herer Ordnung ⇐⇒ k = 0 ∧ k = 0 ⇐⇒ o κN = 0 ∧ κN = 0.b) x0 ist Scheitel ⇐⇒ k = 0∧k = 0 ⇐⇒ κN = 0 ∧ κN = 0 ∧ τN = 0. Der Radius des Schmiegkreises ist r = 1/|k| = ρ.c) x0 ist Gew¨hnlicher Wendepunkt ⇐⇒ k = 0 ∧ k = 0 ⇒ κN = 0. od) x0 ist Henkelpunkt ⇐⇒ k = 0 ∧ k2 k1 = k1 k2 ⇐⇒ κN = 0 ∧ τN = 0.
  • 69. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 69e) x0 ist ordentlicher Punkt ⇐⇒ k = 0 ∧ k2 k1 = k1 k2 ⇐⇒ κN τN = 0. Der Radius der oskulierenden Kugel ist k 1 2 + k2 2 ρ 2 R = = ρ2 + |k1 k2 − k2 k1 | τN (alle Funktionen an der Stelle s0 ausgewertet).Beweis. Sei Tk (s0 ) := k(s0 )+ k (s0 ) der (in singul¨ren Punkten adegenerierte) Tangentialraum von k im Parameterwert s0 und B die Bi-shopbegleitbasis von γ. Durch die Festlegungen x(s0 ) = x(s0 ), B(s0 ) = B(s0 ), k(s) = k(s0 ) + sk (s0 )in einer Umgebung von s0 ist eine Kurve γ : x(s) eindeutig festgelegt (Satz12). γ hat mit γ in x(s0 ) nach Konstruktion Ber¨hrung 3. Ordnung und udie Normalenentwicklung von γ liegt in Tk (s0 ), also ist die Spur von γTeil einer Geraden bzw. eines Kreises, einer Ebene oder Sph¨re gem¨ß der a aCharakterisierung von Satz 17. Daraus gewinnen wir die Kriterien f¨r die uNormalenentwicklung. Die f¨r die Frenetkr¨mmungen folgen dann durch u udie Beziehungen k = κN E(ϕ), ϕ = τN , k = κN E(ϕ) + κN τN E(ϕ + π/2) (8.2)aus Satz 13. Im Einzelnen (im Folgenden sind wieder alle Funktionen ander Stelle s0 auszuwerten):x0 ist Wendepunkt h¨herer Ordnung ⇐⇒ Tk = {0} ⇐⇒ k = 0 ∧ k = o0 ⇐⇒ x ) = 0 ∧ x = 0 ⇐⇒ κN = 0 ∧ κN = 0. Das Kr¨mmungsmaß uist in einem Wendepunkt h¨herer Ordnung differenzierbar, da die rechts- ound linksseitigen Differenzenquotienten gegen 0 konvergieren.
  • 70. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 70 (8.2)x0 ist Scheitel ⇐⇒ T = {k0 } = {0} ⇐⇒ k(s0 ) = 0 ∧ k (s0 ) = 0 ⇐⇒κN (s0 ) = 0 ∧ κN = 0 ∧ τN = 0. Die Bedingungen f¨r Gew¨hnliche u oWendepunkte folgen genau so leicht.x0 ist Henkelpunkt ⇐⇒ k = 0 ∧ Tk ist Ursprungsgerade. Letzteres ista¨quivalent zu D(π/2)k, k = 0 ⇐⇒ k2 k1 = k1 k2 .Mit den Gleichungen 8.2 erhalten wir D(π/2)k, k = κN E(ϕ + π/2), κN E(ϕ) + κN τN E(ϕ + π/2) = κ2 τN . Nund daraus folgt wegen κN = 0 die Bedingung τN = 0.x0 ist genau dann ein ordentlicher Punkt, wenn Tk eine Gerade mit posi-tivem Abstand vom Ursprung ist. Bedingung daf¨r ist k = 0 und u | D(π/2)k, k | (8.2) d= > 0 ⇐⇒ k1 k2 = k2 k1 ⇐⇒ κN τN = 0. |k |Dann ist 1 k ,k κN 2 + κ2 τN N 2 ρ2 R2 = = = = 2 + ρ2 d2 D(π/2)k, k 2 κ4 τN N 2 τN(denn κN 2 = ρ 2 κ4 ). NKorollar. Jeder Punkt einer C 3 -Raumkurve ist entweder Wendepunkt, Hen-kelpunkt oder Ordentlicher Punkt.Bemerkung 1. Eine Kurve ohne Wende- und Henkelpunkte ist genaudann sph¨risch, wenn der Radius der oskulierenden Kugel konstant ist. aDas ist ¨quivalent zu der Bedingung (8.1), die im Anschluß an Satz 17 agenannt wurde. Eine Kurve mit Henkelpunkten kann diese Bedingung inallen ordentlichen Punkten erf¨llen, ohne sph¨risch zu sein. Sie geht dann u a
  • 71. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 71beliebig oft von einer Kugel auf eine andere uber, und ihre Normalenent- ¨wicklung besteht aus entsprechend vielen Strecken, die miteinander Eckenbilden. Das erkl¨rt, warum diese Bedingung unzureichend ist. aBemerkung 2. Der Mittelpunkt der Schmiegkugel in ordentlichen Punk-ten ist durch R m=x− (k M1 + k2 M2 ) |k | 1gegeben, wenn ((T, M1 , M2 )t , (k1 , k2 )t ) ein Bishopsystem ist. Es ist leichtnachzurechnen, daß m konstanten Abstand R von der im Beweis verwen-deten sph¨rischen Kurve γ hat. In Frenetbegriffen ist a ρ m = x + ρNN + BN τN(Beweis etwa durch Konstruktion einer sph¨rischen Schmiegkurve, die a(8.1) erf¨llt). uEs ist zu vermuten, daß der Begriff der Bishopbegleitbasis auf den Rnverallgemeinerbar ist und der Existenzsatz von Abschnitt 6 auch allge-mein gilt. Eine C 2 -Kurve im Rn ist dann durch eine Normalenentwicklungim Rn−1 charakterisiert; bei einer Kurve, die in einem affinen Unterraumoder einer Sph¨re liegt, wird sich die Dimension entsprechend reduzieren. aDie Schmiegebenen an die Normalenentwicklungen sind ¨hnlich interpre- atierbar wie eben f¨r R3 ausgef¨hrt. Es wird hier darauf verzichtet, diesen u uGedanken weiter zu verfolgen. Das w¨rde, ebenso wie die Verallgemeine- urung der Frenettheorie auf h¨here Dimensionen, den Rahmen dieser Arbeit osprengen.
  • 72. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 729 Explizit integrierbare FrenetkurvenIn diesem letzten Abschnitt werden die einfachsten Kurvenklassen unter-sucht, deren Parametrisierungen bis auf Integration explizit aus ihren Fre-netkr¨mmungen bestimmbar sind. Ausgehend von der bekannten L¨sung u of¨r ebene Kurven werden mit den in Abschnitt 7 entwickelten Mitteln die uFolgekurven der ebenen Kurven, die B¨schungslinien, und deren Folge- okurven, die Kreisellinien, behandelt. Prinzipiell sind auch alle Folgekur-ven noch h¨herer Ordnung in dieser Weise darstellbar. Der Vollst¨ndigkeit o ahalber werden fr¨here Ergebnisse wiederholt und auch der triviale Fall der ugeradlinigen Kurven einbezogen.9.1 Geradlinige KurvenSatz 21 (Charakterisierung der geradlinigen Kurven). F¨r eine re- ugul¨re Raumkurve γ : x(t) sind ¨quivalent: a a i.) γ ist geradlinig. ii.) Der Tangentialvektor von γ ist konstant, T ≡ T0 .iii.) γ besitzt ein konstantes tangentiales System.iv.) Die Normalenentwicklung von γ liegt im Ursprung. v.) γ ist Frenetkurve mit Frenetkr¨mmung κ ≡ 0. uvi.) Die Bogenl¨ngenparametrisierung von γ ist gegeben durch a x(s) = x0 + s · T0 mit x0 ∈ R3 , T0 ∈ S 2 .Beweis. Alle Aussagen sind offensichtliche Folgerungen aus Lemma 6.
  • 73. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 739.2 Ebene KurvenSatz 22 (Charakterisierung der ebenen Kurven). F¨r eine C 2 -Kurve uγ sind ¨quivalent: a i.) γ ist eine ebene Kurve. ii.) γ besitzt ein konstantes Normalenvektorfeld N0 = 0.iii.) Das Tangentenbild von γ liegt auf einem Großkreis.iv.) Die Normalenentwicklung von γ liegt auf einer Ursprungsgeraden. v.) γ ist Frenetkurve und besitzt ein Frenetsystem mit τ ≡ 0.vi.) γ ist Frenetkurve mit verschwindender Torsion auf jedem ihrer B¨gen o und verschwindendem Torsionswinkel auf jedem Geradenst¨ck. uBeweis. (i) ⇔ (ii): Ist N0 = 0 Ebenennormale, so gilt x(s), N0 = const. ⇔ ⊥T, N0 = 0 (s. Lemma 6.) (ii) ⇔ (iii): T (s) ∈ N0 f¨r alle s ⇔ das uTangentenbild liegt in der Schnittmenge von Sph¨re und einer Ursprungs- aebene, also auf einem Großkreis. (ii) ⇔ (iv), (v): Eine konstante Nor-male, auf L¨nge 1 normiert, hat sowohl tangentiale als auch normale Ab- aleitung (n¨mlich 0) und ist deshalb sowohl RPNF als auch Binormale. aEs existieren ein Bishop- und ein Frenetsystem mit k1 ≡ 0 bzw. τ ≡ 0.Die Normalenentwicklung ist also eine Ursprungsgerade (s. Satz 17). Istumgekehrt die Normalenentwicklung auf einer Ursprungsgerade, so kannk1 durch eine Drehung zum Verschwinden gebracht werden, dann gibt esein konstantes RPNF. Verschwindende Torsion impliziert analog die Exi-stenz einer konstanten Binormalen. (v) ⇒ (vi): Klar. (vi) ⇒ (iv): Seien
  • 74. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 74Frenetkr¨mmungen κ, τ einer Kurve gegeben. Dann ist die Normalenent- uwicklung k = κE(ϕ − π/2) mit ϕ(s) = ϕ0 + Λ[s0 ,s] (Satz 13). Dabei sollκ(s0 ) = 0 sein (gibt es kein solches s0 , so ist die Kurve geradlinig, also aucheben). Nun ist ϕ(s) (mod π) = ϕ0 (mod π) f¨r jedes s mit κ(s) = 0, also uliegt die Menge {k(s) κ(s) = 0} auf einer Ursprungsgeraden, w¨hrend a{k(s) κ(s) = 0} = {0}. Die Normalenentwicklung liegt also auf einerUrsprungsgeraden.Korollar. Sei γ eine ebene C 2 -Kurve mit Tangente T und EbenennormaleE, |E| = 1. Dann ist (T, N, B)t mit B=E und N = B × Tzugleich Frenet- und Bishopbegleitbasis von γ.Sind nun Kr¨mmungen κ = κ(s) und τ ≡ 0 gegeben, so wissen wir, daß sie uzu einer ebenen Kurve geh¨ren. Ist f¨r ihre Frenetbasis ein Anfangswert o uB0 = (T0 , N0 , B0 )t gegeben, so ist B0 ≡ const. und T (s) ∈ T0 , N0 liegtauf einem Großkreis. Wir k¨nnen dann die ebene Begleitbasis (T, N )t in oPolarkoordinaten schreiben (hier wird wieder von Lemma 5 und KorollarGebrauch gemacht) in der Form T T0 = Dt (Ω) . N N0Dann ist   T 0 Ω =  T N −Ω 0 Nund es folgt sofort Ω = κ. Integration uber ¨ T (s) = cos Ω(s)T0 + sin Ω(s)N0liefert dann die wohlbekannte L¨sung der nat¨rlichen Gleichungen f¨r ebe- o u une Kurven von Euler (1736) (hier bezogen auf die Basis B0 ):
  • 75. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 75Satz 23 (Losung der Frenetgleichungen fur ebene Kurven). Sind ¨ ¨die stetigen Funktionen κ = κ(s), s ∈ I 0 und τ ≡ 0 als Frenetkr¨mmungen ueiner Raumkurve gegeben, so ist ihre Bogenl¨ngenparametrisierung gegeben adurch   s 0 cos Ω(σ)dσ   s s x(s) =  sin Ω(σ)dσ  , Ω(s) = κ(σ)dσ.   0   0 09.3 Boschungslinien ¨Definition 17 (Boschungsvektor). Ein stetiges Vektorfeld V : I → S 2 ¨heißt B¨schungsvektor, falls es mit einem festen Vektor E (|E| = 1), der oB¨schungsrichtung, einen konstanten B¨schungswinkel Θ ∈ ]0, π[ einschließt o o(cos Θ = V, E ∈ ] − 1, +1[ ).Bemerkung. Ein konstanter Vektor V0 ist nat¨rlich B¨schungsvektor u obez¨glich jeder B¨schungsrichtung E, E = ±V0 ist jedoch nicht zugelas- u osen. F¨r nicht konstanten B¨schungsvektor sind B¨schungsrichtung und u o o-winkel bis aufs Vorzeichen eindeutig bestimmt.Lemma 12. F¨r ein C 1 -Einheitsvektorfeld V sind ¨quivalent: u a i.) V ist B¨schungsvektor. o ii.) V schließt mit einer festen Geraden einen konstanten Winkel ein.iii.) V schließt mit einer festen Ebene einen konstanten Winkel ein.iv.) Das Bild von V liegt auf einem Kreis. v.) V ist RPNF einer ebenen Kurve.
  • 76. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 76Beweis. (i)⇔ (ii) klar.(i)⇒ (iii): Sei V, E = cos Θ = const. = ±1. Dann ist V = cos ΘE + 1sin ΘE1 , wobei E1 = sin Θ (V −cos ΘE) ein Einheitsvektorfeld in der EbeneE ⊥ ist. Nun ist E1 die Richtung der orthogonalen Projektion von V in E ⊥ ,und V, E1 = sin Θ = const. = 0, also ist der Winkel zwischen V und E ⊥konstant.(iii) ⇒ (iv): Es gibt wieder eine Darstellung V = cos ΘE + sin ΘE1 , wobeiE Ebenennormale und E1 der Einheitsvektor der orthogonalen Projektionvon V in die Ebene ist (falls die ortogonale Projektion 0 ist, ist V konstant;dann ist (iv) ohnehin erf¨llt). Insbesondere ist der Abstand von V zur uEbene konstant cos Θ; V liegt also auf einer Parallelebene, die die Sph¨re ain einem Kreis schneidet.(iv) ⇒ (i): V liegt auf einem Kreis, ist also insbesondere eben. Dann gilt V, E = const. f¨r die Ebenennormale E. u(i) ⇒ (v): Sei V, E = cos Θ = ±1. Dann ist |V × E| = | sin Θ| = 0 1und T = sin Θ V × E liegt wegen T ⊥ E auf einem Großkreis, ist alsoTangente einer ebenen Kurve γ (Satz 9.2). Wegen V ⊥ V und V ⊥ Eist V T , also RPNF zu γ. (v) ⇒ (i): Sei (T, N1 , N2 )t Bishopbegleitbasiseiner ebenen Kurve mit N1 = const.. Jedes RPNF hat dann die FormV = cos ϕ0 N1 + sin ϕ0 N2 , und es ist V, N1 = cos ϕ0 .Definition 18 (B¨schungslinien). Eine regul¨re C 2 -Kurve heißt B¨schungs- o a olinie (allgemeine Schraubenlinie oder Helix), falls ihr Tangentialvektor B¨- oschungsvektor ist.Bemerkung. Ebene Kurven sind B¨schungslinien mit Θ = π/2. oSatz 24 (Charakterisierung der B¨schungslinien). Sei γ : x(s) eine oC 2 -Kurve mit Tangentenvektor T und D ein konstanter Einheitsvektor = ±T .
  • 77. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 77Dann sind ¨quivalent: a i.) γ ist B¨schungslinie mit B¨schungsrichtung D und B¨schungswinkel Θ. o o o ii.) γ ist Geod¨tische auf einer von D erzeugten Zylinderfl¨che . a aiii.) γ ist Folgekurve einer ebenen Kurve in D⊥ .iv.) γ besitzt eine Binormale, die B¨schungsvektor ist. o v.) γ besitzt ein Frenetsystem mit einem konstanten Darbouxvektor D.vi.) Es gibt Frenetkr¨mmungen κ, τ der Kurve, f¨r die gilt u u τ = cot Θ κ mit festem Winkel Θ.Beweis. (i) ⇒ (ii): Sei Z(s, v) = x(s) + vD eine Zylinderfl¨che. Es ist a ˆ ˆZs = T und Zv = D. F¨r die Fl¨chennormale N gilt dann N T × D = 0 u aund wegen T ⊥ D, T ⊥ T ist T ˆ N . Dann ist γ Geod¨tische auf der aZylinderfl¨che. a(ii) ⇒ (iii): Die Ebenennormale auf der Zylinderfl¨che, die Hauptnormale avon γ ist, liegt in D⊥ , also auf einem Großkreis. Also gibt es eine ebeneVorg¨ngerkurve von γ in D⊥ . a(iii) ⇔ (v): Die ebene Vorg¨ngerkurve besitzt eine konstante Binormale. aDiese ist Darbouxvektor des Systems von γ. Umgekehrt ist ein konstanterDarbouxvektor Binormale der Vorg¨ngerkurve. a(iii) ⇒ (vi): Ist γ geradlinig, so ist (vi) mit κ = τ = 0 erf¨llt. Ansonsten ugibt es, da wir f¨r die Vorg¨ngerkurve verschwindende Torsion annehmen u a κ cos ϕ0k¨nnen, nach Satz 15 eine Darstellung o τ =ω sin ϕ0 mit cos ϕ0 = 0. MitΘ = π/2 − ϕ0 ist die behauptete Beziehung erf¨llt. u
  • 78. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 78(vi) ⇒ (iv): Sei (T, N, B)t Frenetbegleitbasis mit Kr¨mmungen wie ange- ugeben. Setze D := cos ΘT + sin ΘB. Dann ist D = cos ΘκN − sin Θ cot ΘκN = 0 ⇒ D = const.Sowohl T als auch B sind also B¨schungsvektoren mit B¨schungsrichtung o oD.(iv) ⇒ (i): Die Binormale B sei B¨schungsvektor. Dann ist sie RPNF einer oebenen Kurve mit Tangente N (Lemma 12), und T = N × B ist ebenfallsRPNF dieser ebenen Kurve, also ebenfalls B¨schungsvektor. oKorollar. Sei γ eine C 2 -B¨schungslinie mit Tangente T , B¨schungsrichtung o oD und -winkel Θ ∈ ]0, π[. Dann ist eine Frenetbegleitbasis (T, N, B)t von γgegeben durch 1 1 B := D − cot Θ T, N := T ×D sin Θ sin Θmit τ = cot Θ κ.Bemerkung. Die Zylinderfl¨che einer B¨schungslinie ist gerade ihre rek- a otifizierende Fl¨che (s. Abschnitt 8.1). aDas Kriterium, daß die Kr¨mmungen einer B¨schungslinie in konstantem u oVerh¨ltnis zueinander stehen, wurde 1802 von Lancret (1805) gefunden. aDie Umkehrung wurde erst 1848 von Bertrand bewiesen, nachdem Pui-seux 1842 den Spezialfall der Kurven konstanter Kr¨mmung und Torsion, udas sind die gew¨hnlichen Schraubenlinien auf Kreiszylindern, gekl¨rt hat- o ate.8 8 Vgl. Scheffers (1901, 224); Enneper (1882, 72)
  • 79. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 79Seien nun Kr¨mmungen κ = κ(s), τ = cot Θ κ(s) gegeben. Wir ermit- uteln die Parametrisierung der zugeh¨rigen B¨schungslinie. Ein m¨glicher o o oAnsatz (mit der B¨schungsrichtung in x3 -Richtung) w¨re o a   sin Θ cos Ω   T =  sin Θ sin Ω      cos Θanalog zum Ansatz bei den ebenen Kurven; denn T liegt auf einem Kreis.Wir gehen einen etwas anderen Weg unter Verwendung von Satz 15. Wirhaben κ κ sin Θ κ = = E(π/2 − Θ). τ sin Θ cos Θ sin ΘDie ebene Vorg¨ngerkurve hat nach Satz 15 Kr¨mmungen a u 1 ω= κ, µ=0 sin Θund eine Frenetbegleitbasis (N, C, D)t mit s N t N0 D = D0 , = D (Ω) , Ω(s) = ω(σ)dσ C C0 0gem¨ß den f¨r ebene Kurven gefundenen Formeln. Satz 15 liefert dann f¨r a u udie Begleitbasis der B¨schungslinie (wir setzen ϕ0 = π/2 − Θ): o T = sin ϕ0 D0 − cos ϕ0 C = cos ΘD0 + sin Θ(sin ΩN0 − cos ΩC0 ), B = cos ϕ0 D0 + sin ϕ0 C = sin ΘD0 + cos Θ(cos ΩC0 − sin ΩN0 ), N = cos ΩN0 + sin ΩC0 .Ist ein Anfangswert (T0 , N0 , B0 )t der Begleitbasis vorgegeben, so brauchenwir nur noch D0 = sin ΘT0 + cos ΘB0 , C0 = sin ΘB0 − cos ΘT0 zu setzen.Im folgenden geben wir eine Koordinatendarstellung bez¨glich der Basis u(−C0 , N0 , D0 )t .
  • 80. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 80Satz 25 (Losung der Frenetgleichungen fur B¨schungslinien). ¨ ¨ oSeien κ = κ(s) und τ = cot Θ · κ als stetige Funktionen auf einem IntervallI, 0 ∈ I, gegeben mit einem Winkel Θ ∈ ]0, π[. Eine Bogenl¨ngenparametri- asierung der von κ und τ als Frenetkr¨mmungen festgelegten B¨schungslinie u oist gegeben durch   s sin Θ 0 cos Ω(σ)dσ s  s  1 x(s) = sin Θ sin Ω(σ)dσ) , Ω(s) = κ(σ)dσ.    0  sin Θ 0 cos ΘsDie zugeh¨rige Frenetbegleitbasis lautet o       sin Θ cos Ω − sin Ω − cos Θ cos Ω       T =  sin Θ sin Ω  , N =  cos Ω  , B =  − cos Θ sin Ω  .             cos Θ 0 sin ΘBemerkung. F¨r κ = const. erhalten wir Schraubenlinien auf Kreiszy- ulindern. Sie sind durch konstante Kr¨mmung und Torsion charakterisiert. u9.4 KreisellinienDefinition 19. Eine C 2 -Frenetkurve heißt Kreisellinie, falls sie einen B¨- oschungsvektor als Hauptnormale besitzt.Satz 26 (Charakterisierung der Kreisellinien). F¨r eine C 2 -Kurve γ usind ¨quivalent: a i.) γ ist Kreisellinie. ii.) Eine Hauptnormale von γ ist B¨schungsvektor mit B¨schungswinkel Θ ∈ o o ]0, π[.
  • 81. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 81iii.) Es gibt ein Frenetsystem von γ mit einem B¨schungsvektor als Darboux- o vektor.iv.) γ ist Folgekurve einer B¨schungslinie mit B¨schungswinkel Θ ∈ ]0, π[. o o v.) Es gibt ein Frenetsystem von γ mit Kr¨mmungen u κ = ω cos ϕ, τ = ω sin ϕ, ϕ = cot Θ ω mit stetiger Funktion ω und Konstanter cot Θ.Beweis. (i) ⇔ (ii) n. Def. (ii) ⇔ (iv): Die Hauptnormale ist Tangen-te einer Vorg¨ngerkurve, die B¨schungslinie ist. Umgekehrt ist die Tan- a ogente einer B¨schungslinie Hauptnormale ihrer Folgekurve. (iv) ⇔ (iii): oDie Vorg¨ngerkurve ist nach Satz 18 genau dann B¨schungslinie, wenn a osie einen B¨schungsvektor als Binormale besitzt. Diese ist Darbouxvektor oder Folgekurve. (iv) ⇔ (v): Die Vorg¨nger-B¨schungslinie hat Kr¨mmun- a o ugen ω, cot Θ ω. Satz 15 liefert dann (v). Umgekehrt hat eine Kurve mitKr¨mmungen dieser Form eine B¨schungslinie als Vorg¨ngerkurve. u o aBemerkung. Kreisellinien sind in der Literatur selten diskutiert9 undbisher offenbar nicht benannt worden. Sie zeichnen sich gem¨ß (iii) da- adurch aus, daß die vom Darbouxvektor festgelegte Momentandrehachseihrer Frenetbegleitbasis mit festem Winkel um eine feste Achse rotiert.Das erinnert etwas an die geneigte Drehachse eines Kreisels. Ist die Win-kelgeschwindigkeit ω auch noch konstant, so sprechen wir mit Scofieldvon Kurven konstanter Pr¨zession. B¨schungslinien sind Kreisellinien mit a oΘ = π/2. 9 Bilinski (1963, 293) formulierte die Charakterisierung (v).
  • 82. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 82Seien nun stetige Kr¨mmungen u s κ = ω cos ϕ, τ = ω sin ϕ, ϕ(s) = ϕ0 + cot Θ ω(σ)dσ 0auf einem Intervall I (0 ∈ I) vorgegeben. Die Vorg¨ngerkurve ist eine aB¨schungslinie mit Kr¨mmungen ω und µ = ϕ und Frenetbegleitbasis o u(T1 , N1 , B1 )t wie in Satz 25. Nach Satz 15 ist dann T = − cos ϕN1 +sin ϕB1die Tangente der gesuchten Kreisellinie, also   cos ϕ sin Ω − cos Θ sin ϕ cos Ω s   1T = − cos ϕ cos Ω − cos Θ sin ϕ sin Ω  , Ω(s) = Ω0 + ω(σ)dσ.     sin Θ 0 sin Θ sin ϕDie Integrationskonstante Ω0 wurde in den S¨tzen 23 und 25 weggelassen; asie bewirkt nur eine Drehung des Koordinatensystems. W¨hlen wir nun a ϕ0Ω0 := cos Θ , so haben wir ϕ = cos ΘΩ. Das f¨hrt zu einer relativ einfachen uParametrisierung.Satz 27 (Losung der Frenetgleichungen fur Kreisellinien). Seien ¨ ¨die stetigen Kr¨mmungen u s κ = ω cos ϕ, τ = ω sin ϕ, ϕ(s) = ϕ0 + cot Θ ω(σ)dσ 0(ω stetig, Θ ∈ ]0, π/2[) auf einem Intervall I (0 ∈ I) vorgegeben; λ1 :=1 − cos Θ, λ2 := 1 + cos Θ. Dann ist folgendermaßen eine Parametrisierungdes Tangentialvektors der durch sie definierten Kreisellinie gegeben:   λ2 sin λ1 Ω + λ1 sin λ2 Ω s 1  ϕ0 1 T = −λ2 cos λ1 Ω − λ1 cos λ2 Ω  , Ω(s) = + ω(σ)dσ.   2  cos Θ sin Θ 0 2 sin Θ sin(cos Θ · Ω)Integration ¨ber T liefert eine Bogenl¨ngenparametrisierung der Kreisellinie. u a
  • 83. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 83Bemerkung. Die regul¨ren Teilb¨gen des Tangentenbildes (bei Wende- a opunkten ist T singul¨r) sind sph¨rische B¨schungslinien. Denn die Haupt- a a onormale der Kurve ist auch Tangente des Tangentenbildes.Wir untersuchen nun noch den Spezialfall ω = const., also Kurven, derenZentrode mit konstanter Geschwindigkeit ω um eine feste Achse rotiert.Dann ist auch µ = ϕ = cot Θ · ω konstant. Wir schließen die F¨lle ω = 0 a(Geradenst¨ck) und µ = 0 (Schraubenlinie) aus und beschr¨nken uns auf u aω > 0. Setzen wir α := ω 2 + µ2 = ω/ sin Θ, so erhalten wir µ ω α−µ α+µ cos Θ = , sin Θ = , λ1 = , λ2 = , Ω(s) = αs. α α α αDie Integrationskonstante bei Ω bewirkt nur eine Phasenverschiebung undkann weggelassen werden. Dann ist die Tangente   (α + µ) sin(α − µ)s + (α − µ) sin(α + µ)s 1   T (s) = −(α + µ) cos(α − µ)s − (α − µ) cos(α + µ)s   2α   2ω sin µselementar intergierbar. Vereinfachen wir hier (in Abweichung zu den obi-gen Bezeichnungen) mit λ1 := α − µ und λ2 := α + µ, so erhalten wirfolgende von Scofield (1995) gefundene L¨sung: oSatz 28 (Kurven konstanter Pr¨zession). Seien Kr¨mmungen a uκ = ω cos µs, τ = ω sin µs mit Konstanten ω > 0, µ = 0 vorgegeben. Mitα := ω 2 + µ2 , λ1 = α − µ, λ2 = α + µ und λ := λ2 /λ1 ist dann     x λ cos λ1 s + λ−1 cos λ2 s   1   X(s) = y  = −  λ sin λ1 s + λ−1 sin λ2 s        2α   z 2µω cos µs
  • 84. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 84Links: Das Tangentenbild, eine sph¨rische B¨schungslinie mit Kuspen, einer a oKurve konstanter Pr¨zession. Rechts die zugeh¨rige Kurve konstanter Pr¨zes- a o asion mit ω = 15, µ = 8 und cos Θ = 8/17. Sie ist geschlossen. Aus Scofield(1995).eine Bogenl¨ngenparametrisierung der durch κ und τ definierten Kurve kon- astanter Pr¨zession. Sie liegt auf einem einschaligen Hyperboloid mit der Glei- achung µ2 2 µ2 x2 + y 2 − z =4 4 ω2 ωund ist genau dann geschlossen, wenn µ/α rational ist. Die zugeh¨rige Fre- onetbegleitbasis (T (s), N (s), B(s)) ist gegeben durch       λ2 sin λ1 s + λ1 sin λ2 s ω cos αs λ1 cos λ2 s − λ2 cos λ1 s 1       −λ cos λ1 s − λ1 cos λ2 s , 2  ω sin αs  ,  λ1 sin λ2 s − λ2 sin λ1 s  .      2α  2      2ω sin µs µ 2ω cos µs
  • 85. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 85Beweis. Zur Geschlossenheit: Die Vorg¨ngerkurve ist Schraubenlinie mit aKr¨mmungen ω, µ; ihr Frenetsystem ist periodisch. Ein Vergleich mit den uFormeln von Satz 25 ergibt f¨r die Periodenl¨nge L = 2π/α und f¨r die Ge- u a u Lsamttorsion 0 µ ds = 2πµ/α. Die Tangente der Kreisellinie ist RPNF zurSchraubenlinie. Sie und damit das ganze Frenetsystem der Kreisellinie istgenau dann periodisch, wenn µ/α rational ist (Satz 14 ist hier anwendbar,obwohl die Schraubenlinie selbst nicht geschlossen ist). Die Parametrisie-rung der Kreisellinie schließlich hat offensichtlich die selbe Periodizit¨t wie aihr Tangentenvektor.Bemerkung. Die Konstante α wirkt lediglich als linearer Skalierungsfak-tor. Eine Kurve konstanter Pr¨zession ist schon durch den B¨schungswin- a o ¨kel Θ der Vorg¨ngerkurve bis auf Ahnlichkeit eindeutig festgelegt. aDie nat¨rlichen Gleichungen der Kurven konstanter Pr¨zession wurden u aim wesentlichen schon von Hoppe (1862) gel¨st, ohne daß er dies weiter oausgef¨hrt h¨tte. Satz 28 wurde erstmals von Scofield (1995) formuliert u aund durch geometrische Analyse bewiesen. Er verwendet eine bekannteParametrisierung f¨r sph¨rische B¨schungslinien als Ansatz f¨r das Tan- u a o ugentenbild.Scofield (1994) entwickelt eine Methode zur Bearbeitung der Frenet-differentialgleichungen durch Invertierung von Differentialoperatoren undzeigt ihre Anwendbarkeit auf Kurven konstanter Pr¨zession. Er gewinnt au.a. die folgende interessante Differentialgleichung (Theorem 4): ω ω 2 µξ − (ω 2 µ) ξ + (ω 4 µ − κ τ + κ τ )ξ + ω 3 µ ξ=0 µDabei sind κ = ω cos ϕ, τ = ω sin ϕ die Kr¨mmungen der gesuchten Kurve uund ω, µ = ϕ die der Vorg¨ngerkurve. Der Fall µ = 0 muß nat¨rlich a u
  • 86. SPEZIELLE KURVENKLASSEN 86ausgeschlossen werden. Insbesondere sind B¨schungslinien ausgeschlossen. o ωBei Kreisellinien mit µ = const. f¨llt der letzte Term weg, wir haben dann a µ µ2 µ ξ − ξ + α2 + 3 2 − ξ =0 µ µ µmit α2 = ω 2 + µ2 . Auch diese vereinfachte Gleichung wirkt nicht sehreinladend. Erheblich einfacher wird sie aber im Spezialfall der Kurvenkonstanter Pr¨zession mit µ = 0. Dann bleibt ubrig a ¨ ξ = −α2 ξ .Mit Hilfe der L¨sungen dieser Differentialgleichung gelingt es in der Tat, odie obige Parametrisierung der Kurven konstanter Pr¨zession zu ermitteln. aNach Bestimmung geeigneter Integrationskonstanten f¨r die Komponenten uξi ist eine Tangentenparametrisierung nach Scofield etwa durch s t1 (s) = 1− κ(σ)ξ1 (σ)dσ, 0 s t2 (s) = κ(σ)ξ2 (σ)dσ, 0 s t3 (s) = κ(σ)ξ3 (σ)dσ 0gegeben. Es scheint so, daß dieser Ansatz mittels Differentialoperatorengenau f¨r Kurven konstanter Pr¨zession zur L¨sung f¨hrt, w¨hrend die u a o u aAnwendung auf Kreisellinien schwierig sein d¨rfte. Bei allen anderen Kur- uven sind die Frenetgleichungen noch komplexer. Ich vermute deshalb, daßdie explizit integrierbaren Frenetkurven genau die Folgekurven der ebenenKurven sind.
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