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  • 1. Profesor: alvino mato Denis .
  • 2. Sea f(x) una función con una antiderivada que denotamos por F(x). Sean a y b dos números reales tales que f(x) y F(x) existen para todos los valores de x en el intervalo cerrado con puntos extremos a y b. Entonces la Integral definida de: ∫ ∫∫ −= == b a b a aFbFdxxf pordefineseydxxfpordenotasebxaaxdexf ).()()( )()( a y b se denominan los límites de integración, en donde a es el Límite Inferior. b es el Límite Superior Definición Cuando evaluamos una Integral definida, se acostumbra utilizar por conveniencia unos paréntesis rectangulares grandes en el lado derecho, de la manera siguiente: ] )()()()( aFbFxFdxxf b a b a −==∫ Por lo tanto, podemos definir que la Integral definida nos indica el área bajo la curva, gráficamente esto es así: y x Y = f(x) Area a b0
  • 3. Gráficamente lo podemos representar de la siguiente manera. . 2 cudradoal unidadesu = Ejercicio 1 Calcular el área y hacer gráfico: 652 ≤≤= xparaxy ∫= 6 5 2 dxxA 6 5 3 3    = x 3 5 3 6 33 −= 2 3 91 3 125216 u= − = y x5 6 2 3 91 u Ejercicio para desarrollar 12)( 2 ≤≤−= xParaxya 2 3)( . ua Solución =
  • 4. Ejercicio 2 Calcular el área y hacer gráfico: 4252 23 ≤≤+−= xParaxxy En estos ejercicios,siempre es conveniente en primer lugar graficar, ya que nos permite visualizar nuestra función. 2 3 4 y x En segundo lugar desarrollamos nuestra función a través de división sintética. 37821 14311 5001 5021 4 3 2 − ba ⇒ Y = Una vez desarrollada la división trasladamos los valores de “y” al gráfico y desarrollamos la Integral 2 3 4 y x 37 14 5 4 2 34 4 2 23 5 3 2 4 )52(    +−=+−=∫ x xx dxxxA b - a       +−−+−= 10 3 16 4 16 20 3 128 4 256 A       +−−+−= 10 3 16 420 3 128 64A 10 3 16 420 3 128 64 −+−+−=A 3 112 70 −=A 2 3 98 uA = 2 3 4 y x 37 14 5 2 3 98 uA = Por tanto, el área comprendida bajo la curva es el resultado de la integral. Ejercicio 2.a Calcular área: 31 9)2 40 16)1. 2 2 ≤≤− −= ≤≤ −= xPara xya xPara xya
  • 5. Ejercicio 3 36 ππ ≤≤= xParaSenxy Recuerda, Graficar primero. 0 y ππππ 236 ∫ 3 6 π π Senxdx ] 3 6 3 6 π π π π CosxSenxdx −=∫ 63 ππ CosCos +−= 2 3 2 1 +−= 2 13 − = 2 3660,0 u= 2 3660,0 u=
  • 6. Ejercicio 4 Hallar el área limitada por las siguientes curvas en el primer cuadrante. 73 353 2 2 3 1 ++= +−= xxy xxy No olvides graficar. ¿Cual es el primer cuadrante? y 0 x 25613 17512 11411 7310 731 ¿En qué punto convergen las curvas? =1y =2y 1 2 3 Y2=7 Y1=3 x y 0 ∫ − 2 0 12 )( dxyy ∫ − 2 0 12 )( dxyy ∫ +−−++ 2 0 32 ))353(73( dxxxxx ∫ +++− 2 0 23 )483( dxxxx 2 0 234 4 2 8 34 3    +++−= x xxx 816 3 8 12 +++−= 2 3 44 u= 2 3 44 u=
  • 7. Ejercicio 5 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola. 2 46 xxy −+= Y la recta que pasa por los puntos )6;4()6;2( =−−= ByA 2 46 xxy −+= 6014 9113 10212 9311 6410 1511 6612 641 − − − − − −− −−− − La recta pasa por: )( 1 12 12 1 xx xx yy yy − − − =− ))2(( )2(4 )6(6 )6( −− −− −− =−− xy )2( 6 12 6 +=+ xy 426 +=+ xy 22 −= xy B= (4;6) A= (-2;-6) -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 10 9 6 4 3 2 1 ∫− −−++− 4 2 2 ))22(64( dxxxx ∫− +−++− 4 2 2 )2264( dxxxx 4 2 23 )8 2 2 3 ( −    ++−= x xx )164 3 8 (3216 3 64 −+−++−= 2 36124824 u=++−= El área de la superficie limitada por la parábola, es de 2 36u= Y la recta pasa por el punto en donde x = 1 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 10 9 6 4 3 2 1
  • 8. Ejercicio 6 Determine el área acotada por el eje “x”, la curva , y las líneas 92 −= xy 43 30 3 9 2 1 2 ≤≤ ≤≤ =∴ −= xSix xSix x xy Solución 40 21 == xyx ¿Por donde va x1 y x2 en el gráfico, encima o abajo? x1 va por abajo, en cambio x2 va por encima. ∫ ∫ −+−− 3 0 3 4 22 )9()9( dxxdxx 4 3 33 0 3 9 3 9 3       −+      +−= x x x x 4 3 33 0 3 9 3 9 3       −+      +−= x x x x       −−      −+      +−−      +−= 27 3 3 36 3 4 0 3 0 27 3 3 3333 ( ) ( )279 3 44 0279 −−      −+−+−= 18 3 44 18 +−= 2 3 64 u= Veamos nuestro gráfico. -1 -9 9 7 5 4 3 2 1 1 2 3 4 x y -3 -2 -1 7414 0313 5212 8111 9010 8111 5212 0313 901 − − − −−− −−− −− − 2 3 64 u=

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