3. Movimiento vibratorio

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3. Movimiento vibratorio

  1. 1. MOVIMIENTO VIBRATORIO TEMA 3
  2. 2. MOVIMIENTO PERIÓDICO Y OSCILATORIO MOVIMIENTO PERIÓDICO: es un movimiento en el que se repiten todas las características del mismo en un tiempo determinado. MOVIMIENTO OSCILATORIO: es aquel movimiento periódico en el que la partícula se desplaza de un lado a otro de la posición de equilibrio. MOVIMIENTO VIBRATORIO: es el movimiento oscilatorio en el que las oscilaciones son relativamente rápidas. PERIODO (T): es el tiempo empleado en realizar un ciclo completo, es decir, en volver a la situación inicial.
  3. 3. MOVIMIENTO PERIÓDICO Y OSCILATORIO FRECUENCIA (ν): es el número de ciclos que se completan en un segundo. 1 = ; −1 =  ELONGACIÓN [x(t), y(t)]: es la distancia que separa a la partícula de la posición de equilibrio en un instante dado. (x → horizontal; y → vertical). AMPLITUD (A): es la elongación máxima, es decir, la máxima distancia que se separa la partícula de la posición de equilibrio.
  4. 4. MOVIMIENTO VIBRATORIOARMÓNICO SIMPLE
  5. 5. M.V.A.S. Es el más sencillo dentro de los movimientos vibratorios. Es un movimiento periódico en el que la partícula se desplaza a ambos lados de la posición de equilibrio. Se caracteriza porque es un movimiento con aceleración variable. Esta aceleración está producida por una fuerza recuperadora que es proporcional al desplazamiento, pero de sentido contrario. Al móvil que describe este movimiento se le llama oscilador armónico.
  6. 6. LEY DE HOOK = − ·  La fuerza va a ser máxima en los extremos = = − . Como esto es así, la aceleración también será máxima en dichos puntos. La fuerza en = 0 va a ser 0, entonces, la aceleración también se anulará en el punto de equilibrio. Podemos decir que la aceleración es variable en función de la posición de la partícula. Si hablamos de la velocidad: = 0 = = − → = 0
  7. 7. M.V.A.S.Elongación: , = ; Velocidad: = ; Aceleración: = ; 2
  8. 8. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO
  9. 9. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO Movimiento vertical: 2 = − · = · = · 2 2 − · = · 2 2 · 2 + · = 0  Ecuación diferencial, no sabemos resolver este tipo de ecuaciones, pero en este caso se ve casi a simple vista lo que vamos a obtener…
  10. 10. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO = · sin · Además, = (velocidad angular) Comprueba que se cumple la ecuación ¿Y si hubiese una constante sumando/restando en el argumento del seno…? ¿Y si en vez del seno usamos un coseno…?
  11. 11. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO = · sin + 0 = · cos + 0Donde → ó () → () → ó 0 → . ó 0 2 = = 2 =
  12. 12. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO CAMBIO DE UNIDADES: RADIANES → GRADOS3 ′ 2 ⟶ 3 ′ 2 · 180 0 = 576 0 sin 576 0 ≈ −0′9
  13. 13. EJEMPLO  Suponemos que tenemos una masa colgada de un muelle como en la figura. Cuando lo dejamos estar, la masa está en reposo (izq.). Esa es su posición de equilibrio.  Contraemos el muelle 2 cm y soltamos, dejando que la masa oscile libremente (despreciamos rozamiento con el aire).  Queremos calcular la fase inicial.
  14. 14. EJEMPLOComo es un movimiento vibratorio armónico simple cumplirála Ley de Hook: = − · Conocemos la solución que se obtiene para estos casos: = · sin + 0En este caso, en el momento inicial (t = 0) la elongación es 0 = −2 y la amplitud = 2 ; sustituimos en lafórmula y despejamos: −2 = 2 · sin · 0 + 0 −2 = 2 · sin 0
  15. 15. EJEMPLOObviamente, para conseguir que el 2 valga -2 sólo nos faltaun signo menos: sin 0 = −1 −1 0 = sin −1 = − 2 0 = − 2
  16. 16. REPRESENTACIÓN Si = · sin + 0 y además 0 = 0: Vamos a distinguir dos puntos (azules y morados)
  17. 17. REPRESENTACIÓN 1 = · sin 1 + 0 Diferencia de fase: ∆ = 2 + 0 − 1 + 0 2 = · sin 2 + 0 ∆ = 2 − 1 ∆ = 2 − 1 Observamos dos situaciones importantes y significativas en función del valor que tome esta diferencia de fase
  18. 18. REPRESENTACIÓN ∆ = 2 − 1 ∆ = 2 · ; = 0, 1, 2, 3, … los puntos están en FASE, es decir, tienen la misma elongación y tendencia, y su distancia es el Periodo (o un múltiplo del mismo). ∆ = (2 + 1); = 0, 1, 2, 3, … los puntos están es OPOSICIÓN DE FASE, es decir, tiene la misma elongación, tendencia contraria y su distancia es el Periodo (o un múltiplo del mismo).
  19. 19. VELOCIDAD DE VIBRACIÓN DEL M.V.A.S. sin + 0 = = = cos + 0 → cos + 0 = ±1sin + 0 = 0 ⇒ sin + 0 = = 0 = ± ¡¡¡ocurre en la Posición de Equilibrio!!!
  20. 20. VELOCIDAD DE VIBRACIÓN DEL M.V.A.S. = cos + 0 → cos + 0 = 0sin + 0 = ±1 ⇒ sin + 0 = = ± = 0 ¡¡¡ocurre en los extremos del movimiento!!!
  21. 21. VELOCIDAD DE VIBRACIÓN DEL M.V.A.S. sin2 + cos 2 = 1cos + 0 = 1 − sin2 + 0 2 cos + 0 = 1− 2 sin + 0 = 2 − 2 = cos + 0 = = 2 − 2 2 = 2 − 2
  22. 22. ACELERACIÓN DEL M.V.A.S. cos + 0 = = = −2 sin + 0 = −2 → sin + 0 = ±1 ⇒ = = ± = ±2 ¡¡¡ocurre en los extremos del movimiento!!!
  23. 23. ACELERACIÓN DEL M.V.A.S. = −2 sin + 0 = −2 → sin + 0 = 0 ⇒ = 0 = 0 ¡¡¡ocurre en la Posición de Equilibrio!!!
  24. 24. EL PÉNDULO SIMPLE
  25. 25. EL PÉNDULO SIMPLE Se compone de un cuerpo que cuelga de un hilo de masa despreciable y que se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio. Este mecanismo describe un m.v.a.s. La fuerza a la que se encuentra sometido el péndulo es la fuerza de la gravedad. 1004065 de El bibliómata
  26. 26. EL PÉNDULO SIMPLE Vamos a calcular la fuerza total a la que se ve sometido el péndulo para entender así su movimiento. = · sin = − sin = · cos = cos = − = + + = + − =
  27. 27. EL PÉNDULO SIMPLE Como θ va a ser muy pequeño si queremos tratar al péndulo como un m.v.a.s. (si las oscilaciones son muy grandes no podemos despreciar el rozamiento y deja de serlo) ≈ 0 ⇒ sin ≈ = − = = − = Fuerza proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario
  28. 28. EL PÉNDULO SIMPLE Podemos calcular la aceleración a la que se ve sometido: = − = = − =
  29. 29. EL PÉNDULO SIMPLE Y podemos calcular la frecuencia de oscilación del péndulo, ya que conocemos la aceleración de cualquier m.v.a.s: = − 2 − 2 = = = =
  30. 30. EL PÉNDULO SIMPLE Y por último, podemos calcular la relación más importante que vamos a ver para un péndulo simple, su periodo: 2 2 = = = 2
  31. 31. ECUACIONES DE MOVIMIENTO = · sin + 0 = 0 · sin + 0Ejemplo: Calcula el desfase inicial en t = 0 0 = 10 0 = 10 0 = 0 · sin + 0 10 0 = 10 0 · sin 0 + 0 sin 0 = 1 0 = sin −1 (1) 0 = 2
  32. 32. ENERGÍA DEL OSCILADOR ARMÓNICO
  33. 33. ENERGÍA DEL OSCILADOR ARMÓNICOEn el m.v.a.s. se ponen en juego dos tipos de energía: La energía cinética La energía potencial (Modelo de Einstein)
  34. 34. ENERGÍA CINÉTICA DEL M.V.A.S. 1 2 = 1 2 1 = cos + 0 = 2 2 cos 2 + 0 = 2 2 2 1 2 2 + 1= cos 0 = 2 1 − sin 2 + 0 = 2 2 1 1= 2 − 2 sin 2 + 0 = 2 − 2 2 2 1 2 = 0 → á = 1 2 = 2 − 2 ; 2 = ± → = 0
  35. 35. ENERGÍA POTENCIAL DEL M.V.A.S. Podemos calcular la energía potencial porque las fuerzas elásticas son fuerzas conservativas. = −∆Calculamos primero el trabajo: 2 2 · 2 2 1 2 1 2 = · = − · · = − = 1 − 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 = −∆ = 1 − 2 = 1 − 2 2 2
  36. 36. ENERGÍA POTENCIAL DEL M.V.A.S. 1 2 1 2 = −∆ = 1 − 2 = 1 − 2 2 2Consideramos E P = 0 cuando x = 0; es decir, en la posiciónde equilibrio: = 0 → = 0 1 2 = ; 2 1 2 = ± → á = 2
  37. 37. ENERGÍA MECÁNICA DEL M.V.A.S. 1 1 1 1 1 = + = − + = − + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 = ; 2 1 2 1 2 = 0 → = 0 á = ⇒ = 2 2 1 2 1 2 = ± → á = = 0 ⇒ = 2 2
  38. 38. ENERGÍA MECÁNICA DEL M.V.A.S. ¡¡¡La Energía Mecánica es Constante!!!
  39. 39. EJEMPLO Un objeto de 0’5 kg describe un m.v.a.s. de periodo 2 s y una amplitud A = 0’1 m. Calcula la energía potencial, cinética y mecánica para una elongación de 5 cm. ¿Cuáles son sus valores en los extremos y en el punto de equilibrio? 1 Vamos a necesitar calcular la constante k, = 2 − 2 para eso nos dan T: 2 1 2 = 2 = = 2 1 4 2 = 2 = 2 2 Sustituimos los datos: ′ 4 2 ′ = 0 5 · = 4 93 2 = 4′93 2 2
  40. 40. EJEMPLO Un objeto de 0’5 kg describe un m.v.a.s. de periodo 2 s y una amplitud A = 0’1 m. Calcula la energía potencial, cinética y mecánica para una elongación de 5 cm. ¿Cuáles son sus valores en los extremos y en el punto de equilibrio?Calculamos las energías en x = 0’05m 1 = · 4 ′ 93 · 0 ′ 1 2 − 0 ′ 05 2 = 1 ′ 85 · 10 −2 2 1 ′ = · 4 93 · 0 ′ 05 2 = 6 ′ 16 · 10 −3 2 1 ′ = · 4 93 · 0 ′ 1 2 = 2 ′ 47 · 10 −2 2
  41. 41. EJEMPLO Un objeto de 0’5 kg describe un m.v.a.s. de periodo 2 s y una amplitud A = 0’1 m. Calcula la energía potencial, cinética y mecánica para una elongación de 5 cm. ¿Cuáles son sus valores en los extremos y en el punto de equilibrio?Calculamos las energías en los extremos (x = ± A): = 0 = = 2 ′ 47 · 10 −2 Calculamos las energías en el punto de equilibrio (x = 0): = = 2 ′ 47 · 10 −2 = 0
  42. 42. AMORTIGUAMIENTO
  43. 43. AMORTIGUAMIENTO En los movimientos vibratorios existen fuerzas no conservativas como la fuerza de rozamiento que hacen que la energía disminuya. Esta pérdida de energía se traduce en una disminución de Amplitud. 1 = 2 2Para evitar el amortiguamiento se debe comunicar al sistemaenergía con la misma frecuencia de vibración. A esta frecuencia sela conoce como frecuencia de RESONANCIA .

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