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1. Problemas de gravitación universal
 

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    1. Problemas de gravitación universal 1. Problemas de gravitación universal Document Transcript

    •           Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia Camino  de  la  Piedad,  8  -­‐  C.P.  40002    -­‐    Segovia    -­‐    Tlfns.  921  43  67  61  -­‐    Fax:  921  44  34  47   www.maristassegovia.org  |  fuencisla@maristascompostela.org     HOJA  1  –  GRAVITACIÓN  UNIVERSAL       TIPO  1     LIBRO  PÁGINAS  76  y  77:  ejercicios  10  y  26.     1.1. Un  cuerpo  de  masa  m  =  2  kg,  se  encuentra  en  un  punto  definido  por  𝑟 = 3𝑡𝚤 + 4𝑡! 𝚥.  Si  sabemos  que  sobre   este  objeto  está  actuando  una  fuerza  con  origen  en  “O”,  calcula:   a) El  momento  angular  del  objeto.   b) El  momento  de  la  fuerza  que  le  mueve  con  respecto  al  punto  “O”.   c) ¿Es  una  fuerza  central?   Sol:  a)   𝑳 = 𝟐𝟒𝒕 𝟐  𝒌  𝒌𝒈 · 𝒎 𝟐 /𝒔;        b)   𝑴 = 𝟒𝟖𝒕  𝒌  𝑵 · 𝒎     1.2. Existe  una  fuerza  actuando  sobre  un  objeto  de  masa  m  =  6  kg.  La  posición  de  esta  masa  en  el  espacio  en   función   del   tiempo   viene   dada     mediante   el   vector   de   posición   𝑟 = 3𝑡! − 6𝑡 𝚤 − 4𝑡! 𝚥 + 3𝑡 + 2 𝑘  (𝑚).   Calcula:   a) La  fuerza  resultante  sobre  dicha  masa.   b) El  momento  de  la  fuerza  respecto  al  origen.   c) El  momento  lineal  y  el  momento  angular  del  objeto.   d) Las   ecuaciones   fundamentales   de   la   dinámica   de   traslación   y   rotación   de   una   partícula   son   !! !" = 𝐹   y   !! !" = 𝑀  respectivamente,  demuestra  que  ambas  se  cumplen  es  esta  situación.     Sol:    a)   𝑭 = 𝟑𝟔  ! − 𝟏𝟒𝟒  !  𝑵;      b)   𝑴 = 𝟒𝟑𝟐𝒕 𝟐 + 𝟐𝟖𝟖𝒕  ! + −𝟐𝟖𝟖𝒕 𝟑 + 𝟖𝟔𝟒𝒕 𝟐  𝒌  𝑵 · 𝒎;                  c)   𝒑 = 𝟑𝟔 · 𝒕 − 𝟏  ! − 𝟕𝟐𝒕 𝟐  ! + 𝟏𝟖  𝒌 𝒌𝒈 · 𝒎/𝒔       𝑳 = 𝟏𝟒𝟒 𝒕 𝟑 + 𝒕 𝟐  ! + 𝟓𝟒𝒕 𝟐 + 𝟕𝟐𝒕 − 𝟕𝟐  ! − 𝟕𝟐𝒕 𝟒 − 𝟐𝟖𝟖𝒕 𝟑  𝒌  𝒌𝒈 · 𝒎 𝟐 /𝒔     1.3. Tenemos  un  objeto  con  un  vector  de  posición   𝑟 = 2𝑡! − 4𝑡 𝚤 − 4𝑡𝚥 + 3𝑡 − 1 𝑘  y  cuya  masa  es  m  =  6  kg.   Calcula:   a) El  momento  angular  del  objeto.   b) Comprueba  si  se  cumple  la  ecuación  fundamental  de  la  dinámica  de  rotación.   Sol:  a)   𝑳 = −𝟐𝟒  ! + 𝟑𝟔𝒕 𝟐 − 𝟐𝟒𝒕 + 𝟐𝟒  ! + 𝟒𝟖𝒕 𝟐  𝒌  𝒌𝒈 · 𝒎 𝟐 /𝒔     1.4. Un   tiovivo   de   2   m   de   radio   y   momento   de   inercia   500   kg·∙m2   está   girando   alrededor   de   un   pivote   sin   rozamiento  a  razón  de  una  revolución  cada  5  s.  Una  niña  de  masa  25  kg,  que  originalmente  se  encuentra  de   pie  en  el  centro  del  tiovivo,  se  desplaza  hasta  el  borde.  Determina  la  nueva  velocidad  angular  del  tiovivo.   Sol:   𝝎 𝒇 = 𝝅 𝟑  𝒓𝒂𝒅/𝒔     1.5. Calcula  el  momento  angular  de  la  Tierra  respecto  al  centro  del  Sol  considerando  la  órbita  de  la  Tierra  circular.   Sol:   𝑳 = 𝟐! 𝟕 · 𝟏𝟎 𝟒𝟎  𝒌𝒈 · 𝒎 𝟐 /𝒔     1.6. Calcula  el  momento  angular  con  respecto  al  centro  de  la  Tierra  de  un  satélite  artificial  de  850  kg  de  masa  que   se  mueve  en  una  órbita  circular  de  9500  km  de  radio  a  una  velocidad  de  6480  m  s–1 .   Sol:   𝑳 = 𝟓! 𝟐𝟑 · 𝟏𝟎 𝟏𝟑  𝒌𝒈 · 𝒎 𝟐 /𝒔    
    •           Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia Camino  de  la  Piedad,  8  -­‐  C.P.  40002    -­‐    Segovia    -­‐    Tlfns.  921  43  67  61  -­‐    Fax:  921  44  34  47   www.maristassegovia.org  |  fuencisla@maristascompostela.org     1.7.   a) Defina  momento  angular  de  una  partícula.  Justifique  su  teorema  de  conservación.   b) Un  satélite  de  masa  m  =  200  kg  describe  una  órbita  circular  geoestacionaria  alrededor  de  la  Tierra.   Determine  la  velocidad  orbital  del  satélite  y  el  módulo  de  su  momento  angular  respecto  del  centro  de   la  Tierra.   a) El  momento  angular  de  una  partícula  se  define  como  el  producto  vectorial  del  vector  posición  de  dicho   partícula  por  su  cantidad  de  movimiento   𝑝 .     Para  que  se  conserve  una  magnitud  física  en  el  tiempo  se  tiene  que  cumplir  que  la  derivada  primera  de   dicha  cantidad  respecto  del  tiempo  sea  nula.  En  nuestro  caso:   𝑑𝐿 𝑑𝑡 = 0  ⇔  𝐿 = 𝑐!"     𝑑𝐿 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑟×𝑚 · 𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑𝑟 𝑑𝑡 ×𝑚 · 𝑣 + 𝑟× 𝑑(𝑚 · 𝑣) 𝑑𝑡     i. !! !" ×𝑚 · 𝑣 = 𝑚 · 𝑣×𝑣 = 0    ya  que   𝑣×𝑣 = 0.   ii. 𝑟× !(!·!) !" = 𝑟× !" !" · 𝑣 + 𝑚 · !! !" = 𝑟×𝑚 · 𝑎 = 𝑟×𝐹 = 𝑀     𝑑𝐿 𝑑𝑡 = 𝑟×𝐹   El  momento  angular  se  conservará  en  diferentes  situaciones:    F = 0    r = 0    r  y  F  misma  dirección   En  el  caso  de  objetos  describiendo  órbitas  bajo  el  dominio  de  un  campo  gravitatorio,  el  momento  angular  se   conserva  debido  a  la  tercera  situación,  ya  que   𝑟 ∥ 𝐹.     b) Para   poder   calcular   la   velocidad   orbital   suponemos   que   la   órbita   es   circular.   La   fuerza   de   atracción   que   ejerce   la   Tierra   sobre   el   satélite   causa   la   aceleración   centrípeta   necesaria   para   que   el   satélite   orbite   alrededor  de  ella.  Todo  cuerpo  que  gira  se  ve  sometido  a  una  fuerza  centrípeta  𝐹! = !!! ! .  En  nuestro  caso,   esta  fuerza  centrípeta  es  exactamente  la  fuerza  gravitatoria  𝐹! = 𝐺 !·! !! ,  ya  que  el  planeta  se  mantiene  en   su  órbita:   𝐹! = 𝐹!      →         𝑚𝑣! 𝑅 = 𝐺 𝑀 · 𝑚 𝑅!          →          𝑅 · 𝑣! = 𝐺 · 𝑀           →          𝑣 = 𝐺𝑀 𝑅     Con   esta   relación   podemos   calcular   la   velocidad   del   satélite   en   la   órbita,   sin   embargo,   antes   debemos   averiguar  el  valor  de  R.     Para  ello  retomamos  una  expresión  del  desarrollo  anterior:     𝑅 · 𝑣! = 𝐺 · 𝑀    
    •           Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia Camino  de  la  Piedad,  8  -­‐  C.P.  40002    -­‐    Segovia    -­‐    Tlfns.  921  43  67  61  -­‐    Fax:  921  44  34  47   www.maristassegovia.org  |  fuencisla@maristascompostela.org   Y  teniendo  en  cuenta  que   𝑣 = 𝜔 · 𝑅  y  que   𝜔 = !! ! :       𝑅 · 4𝜋! · 𝑅! 𝑇! = 𝐺 · 𝑀 →   𝑇! 𝑅! = 4𝜋! 𝐺 · 𝑀 →  𝑅 = 𝐺𝑀𝑇! 4𝜋! !     Ahora  sólo  nos  queda  sustituir  los  datos,  teniendo  en  cuenta  que,  ya  que  el  satélite  es  geoestacionario,  su   periodo  será  el  mismo  que  el  de  la  Tierra:     𝑇!"#$%&'(ó!  !"#é!"#$ = 𝑇!"#$%&ó!  !"#$$% = 24  ℎ = 86400  𝑠     𝑅 = 𝐺𝑀! 𝑇! 4𝜋! ! = 6’67 · 10!!!  𝑁 𝑚! 𝑘𝑔! · 5’98 · 10!"  𝑘𝑔 · 86400  𝑠 ! 4𝜋! ! ≈ 4! 23 · 10!  𝑚     Y,  por  tanto,  la  velocidad  orbital  será:     𝒗 = 𝐺𝑀! 𝑅 = 6’67 · 10!!!  𝑁 𝑚! 𝑘𝑔! · 5’98 · 10!"  𝑘𝑔 4!23 · 10!  𝑚 = 𝟑𝟎𝟕𝟎! 𝟕𝟒  𝒎/𝒔     Por   otro   lado,   nos   piden   calcular   el   módulo   del   momento   angular   del   satélite   respecto   del   centro   de   la   Tierra:   𝐿 = 𝑚 · 𝑅 · 𝑣 = 200  𝑘𝑔 · 4! 23 · 10!  𝑚 · 3070! 74  𝑚/𝑠     𝑳 = 𝟐! 𝟔 · 𝟏𝟎 𝟏𝟑   𝒌𝒈 · 𝒎 𝟐 𝒔     TIPO  2     LIBRO  PÁGINAS  76,  77  y  78:  ejercicios  3,  4,  5,  9,  12,  16,  28,  32,  33,  38,  39  y  40.     1.8. Todos  sabemos  que  la  Tierra  tarda  365  días  en  dar  una  vuelta  completa  al  Sol,  menos  conocido  es  que  la   distancia  Tierra  –  Sol  es  de  1’49·∙108  km.  Sabiendo  que  la  distancia  de  Júpiter  al  Sol  es  de  8’16·∙108  km,  ¿cuántos   días  durará  un  año  en  Júpiter?   Sol:   𝑻 𝑱 ≈ 𝟒𝟔𝟕𝟖  𝒅í𝒂𝒔     1.9. Un  planeta  gira  alrededor  del  Sol  según  una  órbita  elíptica.  Cuando  se  encuentra  más  cerca  del  Sol,  a  una   distancia  de  2·∙105  km  su  velocidad  es  de  3·∙104   m/s.  ¿Cuál  será  la  velocidad  del  planeta  cuando  se  encuentre  en   la  posición  más  alejada  del  Sol,  a  una  distancia  de  4·∙105  km?   Sol:   𝒗 𝒂 = 𝟏! 𝟓 · 𝟏𝟎 𝟒  𝒎/𝒔     1.10. La  Tierra,  en  su  perihelio,  está  a  una  distancia  de  147  millones  de  kilómetros  del  Sol  y  lleva  una  velocidad  de   30! 3  𝑘𝑚/𝑠.  ¿Cuál  es  la  velocidad  de  la  Tierra  en  su  afelio,  si  dista  152  millones  de  kilómetros  del  Sol?   Sol:   𝒗 𝒂 = 𝟐𝟗! 𝟑  𝒌𝒎/𝒔    
    •           Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia Camino  de  la  Piedad,  8  -­‐  C.P.  40002    -­‐    Segovia    -­‐    Tlfns.  921  43  67  61  -­‐    Fax:  921  44  34  47   www.maristassegovia.org  |  fuencisla@maristascompostela.org   1.11. Neptuno  y  la  Tierra  describen  órbitas  en  torno  al  Sol,  siendo  el  radio  medio  de  la  primera  órbita  treinta  veces   mayor  que  el  de  la  segunda.  ¿Cuántos  años  terrestres  tarda  Neptuno  en  recorrer  su  órbita?   Sol:  164’32  años  terrestres.     1.12. Dos  planetas  de  masa  iguales  orbitan  alrededor  de  una  estrella  de  masa  mucho  mayor  que  ellos.  El  planeta  1   describe   una   órbita   circular   de   radio   r1   =   108   km   con   un   periodo   de   rotación   T1   =   2   años.   El   otro   planeta   describe  una  órbita  elíptica  cuya  distancia  más  próxima  es  rP  =  108  km  y  la  más  alejada  rA  =  1’8·∙108  km.     a) Calcula  el  periodo  de  rotación  del  planeta  2.     b) Calcula  la  relación  de  las  velocidades  en  el  aphelio  y  perihelio  del  planeta  2.   Sol:  a)   𝑻 𝟐 ≈ 𝟑! 𝟑𝟏𝒂ñ𝒐𝒔;      b)  1’8     1.13. Dos  planetas  de  masa  iguales  orbitan  alrededor  de  una  estrella  de  masa  mucho  mayor  que  ellos.  El  planeta   1  describe  una  órbita  circular  de  radio  r1  =  108  km  con  un  periodo  de  rotación  T1  =  2  años.  El  otro  planeta   describe  una  órbita  elíptica  cuya  distancia  más  próxima  es  rP  =  108  km  y  la  más  alejada  rA  =  1’8·∙108  km.   Define  todas  las  leyes  que  utilices  en  la  resolución  del  problema.   a) Calcula  el  periodo  de  rotación  del  planeta  2.   b)      Calcula  la  relación  de  las  velocidades  en  el  aphelio  y  perihelio  del  planeta  2.     a) Primero   tendremos   que   calcular   la   distancia   media   del   planeta   2   a   la   estrella;   para   ello   aplicamos   la   Primera   Ley   de   Kepler,   que   dice   que   “los   planetas   girando   alrededor   del   Sol   describen   órbitas   elípticas   planas,  estando  el  Sol  en  uno  de  sus  focos”:     𝑟! = 𝑟! + 𝑟! 2 = 10!!  𝑚 + 1!8 · 10!!  𝑚 2 = 1! 4 · 10!!  𝑚     Ahora  aplicamos  la  Tercera  Ley  de  Kepler,  que  dice  que  “el  cociente  entre  el  cuadrado  del  periodo  y  el  cubo   del  radio  es  constante  para  todos  los  planetas  que  giran  alrededor  de  una  estrella”:     𝑇! ! 𝑟! ! = 𝑇! ! 𝑟! !    →     𝑇! = 𝑇! · 𝑟! ! 𝑟! ! = 2𝑎ñ𝑜𝑠 · 1!4 · 10!!  𝑚 ! 10!!  𝑚 !     𝑻 𝟐 ≈ 𝟑! 𝟑𝟏𝒂ñ𝒐𝒔     b) Aplicamos  la  Segunda  Ley  de  Kepler,  que  dice  que  “los  vectores  de  posición  que  proporcionan  la  posición   del  planeta  barren  áreas  iguales  en  tiempos  iguales”:     𝑟! · 𝑣! = 𝑟! · 𝑣!     𝑣! 𝑣! = 𝑟! 𝑟! = 1!8 · 10!!  𝑚 10!!  𝑚 = 1′8     𝒗 𝑷 = 𝟏! 𝟖  𝒗 𝑨      
    •           Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia Camino  de  la  Piedad,  8  -­‐  C.P.  40002    -­‐    Segovia    -­‐    Tlfns.  921  43  67  61  -­‐    Fax:  921  44  34  47   www.maristassegovia.org  |  fuencisla@maristascompostela.org     TIPO  3     LIBRO  PÁGINAS  76,  77  y  78:  ejercicios  6,  7,  8,  13,  18,  20,  22,  23,  34,  36  y  42.     1.14. Calcula  la  masa  del  Sol  sabiendo  que  la  Tierra  describe  una  órbita  circular  de  150  millones  de  kilómetros  de   radio.   Sol:   𝑴⨀ = 𝟐! 𝟎𝟏 · 𝟏𝟎 𝟑𝟎  𝒌𝒈     1.15. Expresa  en  función  del  radio  de  la  Tierra,  a  qué  distancia  de  la  misma  un  objeto  de  1  kg  de  masa  pesa  1  N.   Sol:   𝒓 = 𝟑! 𝟏𝟑 · 𝑹⨁     1.16. Los  cuerpos  se  atraen  con  una  fuerza  gravitatoria  que  es  proporcional  a  su  masa.  En  ausencia  de  rozamiento,   caen  más  rápido  los  cuerpos:   a) De  mayor  masa.   b) De  menor  masa.   c) Todos  igual  de  rápido.     1.17. ¿Cuántas  veces  es  mayor  el  peso  de  un  cuerpo  que  la  fuerza  centrípeta  a  la  que  está  sometido  en  la  superficie   de  la  Tierra?   Sol:   𝟐 𝟖𝟗     TIPO  4     LIBRO  PÁGINAS  76  y  78:  ejercicios  2  y  41.     1.18. ¿Dónde  tendrá  más  masa  una  pelota  de  tenis,  en  la  Tierra  o  en  la  Luna?  ¿Dónde  pesará  más?     1.19. Un   astronauta   lleva   a   la   Luna   una   manzana   que   compró   en   el   supermercado   de   su   calle   de   masa   250   gr.   ¿Cuánto  pesará  en  la  Luna  si  la  mide  con  una  balanza  de  resorte?  ¿Y  si  se  mide  con  una  balanza  de  platos?     1.20. La  masa  de  la  Luna  es  1/81  de  la  masa  de  la  Tierra  y  si  radio  1/4  del  terrestre.  Calcula  lo  que  pesará  en  la  Luna   una  persona  de  70  kg  de  masa.   Sol:   𝑷 = 𝟏𝟑𝟓! 𝟓  𝑵     1.21. Un  cuerpo  tiene  una  masa  de  10  kg.  Si  se  le  traslada  a  otro  planeta  con  una  masa  10  veces  inferior  a  la  de  la   Tierra,  pero  con  igual  tamaño,  ¿cuál  será  su  peso?   Sol:   𝐏 = 𝟗′𝟖  𝐍     1.22. La  masa  de  Júpiter  es  aproximadamente  318  veces  la  de  la  Tierra  y  su  diámetro  11  veces  mayor.  ¿Cuál  es  el   peso  en  la  superficie  de  este  planeta  de  un  astronauta  cuyo  peso  en  la  Tierra  es  de  750  N?   Sol:   𝐏 = 𝟏𝟗𝟕𝟏  𝐍      
    •           Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia Camino  de  la  Piedad,  8  -­‐  C.P.  40002    -­‐    Segovia    -­‐    Tlfns.  921  43  67  61  -­‐    Fax:  921  44  34  47   www.maristassegovia.org  |  fuencisla@maristascompostela.org   1.23. La  masa  del  Sol  es  324  440  veces  mayor  que  la  de  la  Tierra  y  su  radio  108  veces  el  terrestre.  ¿Cuántas  veces   es  mayor  el  peso  de  un  cuerpo  en  la  superficie  del  Sol  que  en  la  de  la  Tierra?     La  expresión  de  la  fuerza  gravitatoria  es  𝐹 = 𝐺 !·! 𝑟! .  Comparamos  esta  fuerza  en  la  superficie  del  Sol  y  de  la   Tierra:   𝐹!"# 𝐹!"#$$% = 𝐺 𝑀!"# · 𝑚 𝑟!"# ! 𝐺 𝑀!"#$$% · 𝑚 𝑟!"#$$% ! = 𝑀!"# 𝑀!"#$$% · 𝑟!"#$$% 𝑟!"# !     𝐹!"# 𝐹!"#$$% = 324440 · 𝑀!"#$$% 𝑀!"#$$% · 𝑟!"#$$% 108 · 𝑟!"#$$% ! = 324440 · 1 108 !     𝐹!"# 𝐹!"#$$% ≈ 27! 82     ⟹       𝑭 𝑺𝒐𝒍 = 𝟐𝟕! 𝟖𝟐 · 𝑭 𝑻𝒊𝒆𝒓𝒓𝒂     TIPO  5     LIBRO  PÁGINA  76:  ejercicios  15  y  17.     1.24. Sabiendo  que  la  distancia  entre  la  Tierra  y  la  Luna  es  de  3! 84 · 10!  𝑚.  ¿En  qué  punto  debería  situarse  un   satélite  de  10  toneladas  para  que  sea  igualmente  atraído  por  ambas?  ¿Y  si  el  cuerpo  tuviera  20  toneladas?   Sol:   𝟑! 𝟒𝟔 · 𝟏𝟎 𝟖  𝒎     1.25. Tenemos   cuatro   masas   m1,   m2,   m3   y   m4,   todas   de   1   kg,   situadas   cada   una   en   un   vértice   de   un   cuadrado   perfecto  de  lado  l  =  1  m.  ¿Qué  fuerza  ejercerán  sobre  otra  masa  de  1  kg  situada  en  el  centro  del  cuadrado?   Haz  el  desarrollo  matemático  completo.   Sol:   𝑭 = 𝟎     1.26. Dado  el  siguiente  sistema  de  la  figura  en  el  que  la  masa   m3  se  encuentra  sometida  exclusivamente  a  la  acción  de   las  otras  dos.  Calcula  la  fuerza  que  actúa  sobre  m3.         Sol:   𝑭 𝑻 = − 𝟒! 𝟐𝟕 · 𝟏𝟎!𝟏𝟑  ! + 𝟐! 𝟑𝟕 · 𝟏𝟎!𝟏𝟐  !  𝑵       1.27. Un  cuerpo  de  masa  m1  está  separado  una  distancia  d  de  otro  cuerpo  de  masa  m2  y  entre  ellos  existe  una   fuerza  de  atracción   𝐹.  Calcula  el  valor  de  la  fuerza  si:   a) m1  duplica  su  masa.   b) m1  reduce  su  masa  a  la  mitad.   c) Los  cuerpos  se  aproximan  hasta  que  la  distancia  entre  ellos  se  reduce  a  la  mitad.   d) Los  cuerpos  se  alejan  hasta  que  la  distancia  entre  ellos  se  duplica.   Sol:  a)   𝑭! = 𝟐 · 𝑭;    b)   𝑭! = 𝑭/𝟐;    c)   𝑭! = 𝟒 · 𝑭;    d)   𝑭! = 𝑭/𝟒         1.28. Calcula   la   fuerza   que   actúa   sobre   una   partícula   de   2   kg   en   los   puntos   (3,   2,   5)   y   (2,   –5,   3)   en   el   campo   gravitatorio  creado  por  una  esfera  de  5000  kg  que  ocupa  el  origen  de  coordenadas.     1.29. En  los  vértices  A,  B  y  C  de  un  cuadrado  de  10  m  de  lado,  existen  masas  de  10,  20  y  30  kg,  respectivamente.   Calcula  la  fuerza  que  actuaría  sobre  una  masa  de  0’1  kg  en  el  centro  del  cuadrado  y  en  el    vértice  D.  
    •           Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia Camino  de  la  Piedad,  8  -­‐  C.P.  40002    -­‐    Segovia    -­‐    Tlfns.  921  43  67  61  -­‐    Fax:  921  44  34  47   www.maristassegovia.org  |  fuencisla@maristascompostela.org     1.30. Los  tres  vértices  de  un  triángulo  equilátero  de  5  m  de  lado  están  ocupados  por  masas  de  100  kg.  Calcula  la   fuerza  sobre  las  tres  masas.     1.31. En  los  vértices  inferiores  de  un  rectángulo  de  5  m  de   lado   se   han   colocado   dos   masas   de   1   kg   y   0’5   kg,   respectivamente.   Determina   la   fuerza   que   ejercen   sobre  otra  masa  de  2  kg  que  está  en  el  tercer  vértice   (sobre   la   masa   de   medio   kilogramo)   si   la   altura   del   rectángulo  es  de  3  m.     Llamamos  A  al  cuerpo  de  0’5  kg  y  B  al  cuerpo  de  1  kg,   respectivamente.   𝐹!"   será   la   fuerza   ejercida   sobre   el   cuerpo  C  de  2  kg  por  el  cuerpo  A;  y   𝐹!"  la  ejercida  por  el   cuerpo  B.     Calculamos   𝐹!";  primero  su  módulo:     𝐹!" = 𝐺 𝑚! · 𝑚! 𝑑!" ! = 6! 67 · 10!!!   𝑁 · 𝑚! 𝑘𝑔! · 0!5  𝑘𝑔 · 2  𝑘𝑔 3  𝑚 ! = 7! 41 · 10!!"  𝑁     En  forma  vectorial:     𝑭 𝑨𝑪 = −𝟕! 𝟒𝟏 · 𝟏𝟎!𝟏𝟐  !  𝑵     Calculamos   ahora   𝐹!";   primero   necesitamos   saber   la   distancia   entre   ambos   cuerpos   y   las   relaciones   trigonométricas  para  el  ángulo   𝛼:     𝑑!" ! = 5  𝑚 ! + 3  𝑚 ! = 34  𝑚!        →             𝑑!" = 5! 83  𝑚     sin 𝛼 = 3  𝑚 5!83  𝑚              𝑦           cos 𝛼 = 5  𝑚 5!83  𝑚     Calculamos  su  módulo:     𝐹!! = 𝐺 𝑚! · 𝑚! 𝑑!! ! = 6! 67 · 10!!!   𝑁 · 𝑚! 𝑘𝑔! · 1  𝑘𝑔 · 2  𝑘𝑔 34  𝑚! = 3! 92 · 10!!"  𝑁     En  forma  vectorial:     𝐹!! = −𝐹!" · cos 𝛼  𝚤 − 𝐹!" · sin 𝛼  𝚥  = −3! 92 · 10!!"  𝑁 · 5 5!83  𝚤 − 3! 92 · 10!!"  𝑁 · 3 5!83  𝚥     𝑭 𝑩𝑪 = − 𝟑! 𝟑𝟔 · 𝟏𝟎!𝟏𝟐  ! + 𝟐! 𝟎𝟐 · 𝟏𝟎!𝟏𝟐  !  𝑵     Aplicamos  el  principio  de  superposición  para  calcular  el  vector  fuerza  resultante:     𝐹! = 𝐹! = 𝐹!! + 𝐹!" = −7! 41 · 10!!"  𝚥  𝑁 − 3! 36 · 10!!"  𝚤 + 2! 02 · 10!!"  𝚥  𝑁     𝑭 𝑻 = − 𝟑! 𝟑𝟔 · 𝟏𝟎!𝟏𝟐  ! + 𝟗! 𝟒𝟑 · 𝟏𝟎!𝟏𝟐  !  𝑵