Optimización de portafolios

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La teoría de la cartera y de mercados de capital proporciona un marco de referencia para especificar y medir el riesgo de una inversión y desarrollar las relaciones entre el rendimiento del valor esperado y el riesgo. Es decir, entre el riesgo y el rendimiento requerido sobre la inversión

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Optimización de portafolios

  1. 1. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” MATRIZ SOLVER UNIVERSIDAD GALILEO FACULTAD DE INDUSTRIA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA DOCTORADO EN ADMINISTRACIÓN CON ESPECIALIDAD EN FINANZAS ARQ. ALVARO COUTIÑO Carnet 1300-4393
  2. 2. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” CONTENIDO INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 4 1. Tipos de activos elegibles para el portafolio de inversión .............................................. 7 1.1. Valor de mercado de las acciones................................................................................ 7 1.2. Gráfica Valor de mercado de las acciones................................................................... 7 2. Rendimiento de las acciones: .......................................................................................... 8 2.1. Rendimiento de las acciones........................................................................................ 8 2.2. Gráfica Valor de mercado de las acciones................................................................... 9 3. Riesgos y rendimiento ..................................................................................................... 9 4. Coeficiente de correlación ............................................................................................. 10 4.1. Matriz de coeficientes de correlaciones..................................................................... 10 4.2. Tabla de correlaciones: .............................................................................................. 11 5. Covarianzas ................................................................................................................... 12 5.1. Matriz de covarianzas ................................................................................................ 12 5.2. Tabla de covarianzas ................................................................................................. 12 6. 6.1. 7. Inversión en el mercado: ............................................................................................... 12 Matriz de riqueza ....................................................................................................... 12 Portafolio Eficiente ....................................................................................................... 13 7.1. Matriz de Markowitz ................................................................................................. 13 7.2. Niveles de volatilidad para el portafolio.................................................................... 16 8. Opciones de línea de eficiencia: .................................................................................... 17 8.2. Gráfica de línea de tendencia: Exponencial .............................................................. 18 8.3. Gráfica de línea de tendencia: Lineal ........................................................................ 18 8.4. Gráfica de línea de tendencia: Logarítmica. .............................................................. 19 8.5. Gráfica de línea de tendencia: Potencial.................................................................... 19 1
  3. 3. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” 8.6. 9. Gráfica de línea de tendencia: Media móvil. ............................................................. 20 Alternativas de Portafolios de inversión. ...................................................................... 20 9.1. Menor Riesgo ............................................................................................................ 21 9.1.1. Informe de respuestas de la opción con menor riesgo: .......................................... 21 9.1.2. Informe de confidencialidad de la opción con menor riesgo ................................. 21 9.1.3. Informe de límites de la opción con menor riesgo ................................................. 22 9.2. Rendimiento máximo y menor riesgo: (Portafolio eficiente) .................................... 22 9.2.1. Informe de respuestas de la opción de rendimiento máximo y menor riesgo:....... 22 9.2.2. Informe de confidencialidad de la opción de máxima eficiencia y riesgo controlado ............................................................................................................................. 23 9.2.3. Informe de límites de la opción de rendimiento máximo eficiencia y riesgo controlado ............................................................................................................................. 23 9.3. Informe de respuestas de la opción de máximo riesgo: ............................................. 24 9.3.1. Informe de confidencialidad de la opción de máximo riesgo ................................ 24 9.3.2. Informe de límites de la opción de máximo riesgo ................................................ 25 10. CONCLUSIONES ..................................................................................................... 26 11. BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................... 27 2
  4. 4. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” INDICE DE ILUSTRACIONES: Ilustración 1 Riesgo sistemático y no sistemático. Fuente: (Fabozzi, Modigliano, & Ferri, 1996) ....................................................................................................................................... 6 Ilustración 2 Gráfica Valor de mercado de las acciones. Fuente: Elaboración propia. .......... 7 Ilustración 3 Rendimiento de las acciones. Fuente: Yahoo finance ....................................... 9 Ilustración 4 Frontera de eficiencia: Polinómica. Fuente: Elaboración propia. ................... 17 Ilustración 5 Frontera de eficiencia: Exponencial. Fuente: Elaboración propia................... 18 Ilustración 6 Frontera de eficiencia: Lineal. Fuente: Elaboración propia ............................ 18 Ilustración 7 Frontera e eficiencia: Logarítmica. Fuente: Elaboración propia. .................... 19 Ilustración 8 Frontera de eficiencia: Potencial. Fuente: Elaboración propia. ....................... 19 Ilustración 9 Frontera de eficiencia: Media móvil. Fuente: Elaboración propia. ................. 20 INDICE DE TABLAS: Tabla 1 Valor de mercado delas acciones. Fuente: Yahoo finance ........................................ 7 Tabla 2 Rendimiento de las acciones. Fuente: Yahoo finance. .............................................. 8 Tabla 3 Riesgos y rendimientos. Fuente: Elaboración propia. ............................................... 9 Tabla 4 Matriz de coeficientes de correlaciones. Fuente: Elaboración propia. .................... 10 Tabla 5 Correlaciones. Fuente: Elaboración propia. ............................................................ 11 Tabla 6 Matriz de covarianzas. Fuente: Elaboración propia. ............................................... 12 Tabla 7 Covarianzas. Fuente: Elaboración propia. ............................................................... 12 Tabla 8 Matriz de riqueza. Fuente: Elaboración propia. ...................................................... 12 Tabla 9 Matriz de Markowitz. Fuente: Elaboración rpopia.................................................. 13 Tabla 10 Niveles de volatilidad para el portafolio. Fuente: Elaboración propia. ................. 16 3
  5. 5. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” INTRODUCCIÓN El siguiente análisis de selección óptima de portafolio busca una selección razonable de activos financieros con aversión al riesgo, con el objetivo de maximizar sus rendimientos y con unos niveles de riesgo de cartera aceptables. Según (Fabozzi, Modigliano, & Ferri, 1996) “la teoría de la cartera y de mercados de capital proporciona un marco de referencia para especificar y medir el riesgo de una inversión y desarrollar las relaciones entre el rendimiento del valor esperado y el riesgo. Es decir, entre el riesgo y el rendimiento requerido sobre la inversión”. (pág. 271) A continuación, pasaremos a definir los siguientes conceptos: Teoría de la cartera: La teoría moderna del portafolio es una teoría de la inversión que trata de maximizar el retorno y minimizar el riesgo, mediante la cuidadosa elección de los componentes. Por lo tanto, según (Fabozzi, Modigliano, & Ferri, 1996) al diseñar una cartera, “los inversionistas buscan maximizar el rendimiento esperados de sus inversiones, dado el nivel de riesgo que están dispuestos a aceptar”. (pág. 271). Por lo tanto, la teoría de selección de cartera toma en consideración el retorno esperado a largo plazo y la volatilidad esperada en el corto plazo. En donde, la volatilidad se trata como un factor de riesgo, y la cartera se conforma en virtud de la tolerancia al riesgo de cada inversor en particular, tras ecuacionar el máximo nivel de retorno disponible para el nivel de riesgo escogido. En consecuencia, para poder integrar una cartera de inversión equilibrada lo más importante es la diversificación ya que de esta forma se reduce la variación de los precios. En resumen, la idea de la cartera es, diversificar las inversiones en diferentes mercados y plazos para así disminuir las fluctuaciones en la rentabilidad total de la cartera y por lo tanto también del riesgo. A continuación, procederemos con otras definiciones importantes para la conceptualización del ejercicio. 4
  6. 6. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” ¿Qué es un activo financiero? Un activo financiero es un título o simplemente una anotación contable, por el que el comprador del título adquiere el derecho a recibir un ingreso futuro de parte del vendedor. Es decir, es un tipo de activo intangible, que pude tener un valor económico y que representa un derecho legal sobre una cantidad monetaria futura. (Acciones, bonos). Por lo tanto, La adquisición o compra de un activo financiero se considera una operación financiera de inversión. En consecuencia, la adquisición de un conjunto de activos financieros distintos y/o emitidos por distintas entidades autorizadas se dice que está en posesión de una cartera de valores o portafolio. Según Markowitz (1952) “la conducta racional del inversor persigue maximizar el rendimiento esperado y, al mismo tiempo, minimizar su incertidumbre o riesgo”. (Wikipedia, 2014) Por lo que el inversor perseguirá conseguir una cartera que optimice la combinación rendimiento-riesgo ¿Cómo? Adquiriendo más de un activo financiero con entidades distintas. A este procedimiento se le conoce como diversificación. Según (Fabozzi, Modigliano, & Ferri, 1996) “La diversificación resulta de la combinación de valores cuyo rendimiento es menor que la correlación perfecta para reducir riesgo de la cartera”. (pág. 277) En consecuencia, para poder realizar una adecuada diversificación (claro, todo en el supuesto de incertidumbre) es necesario saber cuantificar el rendimiento esperado y el riesgo. Antes de describir cómo calcular el rendimiento y el riesgo, es necesario distinguir y a su vez, excluir sobre qué tipo de diversificación podemos inferir. Según (Fabozzi, Modigliano, & Ferri, 1996) podemos distinguir dos tipos de riesgos para cualquier entidad:  Riesgo atribuible a la empresa  Riesgo de mercado 5
  7. 7. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” Gráfica Riesgo sistemático y no sistemático Ilustración 1 Riesgo sistemático y no sistemático. Fuente: (Fabozzi, Modigliano, & Ferri, 1996) Como siguiente paso, debemos construir una cartera de inversión, siguiendo los siguientes pasos.  Primero: Definimos las Clases de Activos que debe tener todo Portafolio de Inversión globalmente diversificado.  Segundo: Creación de expectativas frente al rendimiento potencial y la determinación de la exposición al riesgo de cada activo financiero y de los tipos de activos. Por lo tanto, cuando se crea un portafolio en el que se tiene un título libre de riesgo combinado con un título que sí tiene riesgo, se puede crear la Línea de Activos de Capital, que muestra todas las combinaciones de riesgo-rendimiento posibles dadas las diferentes opciones de porcentajes invertidos en cada tipo de activo. En donde, su pendiente nos indica el retorno adicional por el mayor riesgo asumido. Antes de pasar al siguiente paso, determinamos nuestro Perfil de Inversión (Conservador, Moderado y Agresivo) y la tarea que nos resta ahora es construir un portafolio de inversión que se adapte a nuestro perfil de riesgo  Tercera: Se seleccionan los activos y la proporción de inversión en cada uno. Esta decisión implica definir la proporción invertida en activos riesgosos y activos no riesgosos y esto se conoce como Capital Allocation. En consecuencia, es importante tener en cuenta no solo la relación riesgo-retorno de cada activo financiero individualmente sino también cómo interactúan a lo largo del tiempo (su covarianza). 6
  8. 8. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” 1. Tipos de activos elegibles para el portafolio de inversión Para este caso se consideran las siguientes opciones de inversión: 1.1. Valor de mercado de las acciones Valor de mercado de las acciones 1 twtr 2 appl 3 cocacola Date 4 hersheys 1 31/12/2013 63.65 557.68 41.31 96.79 2 30/12/2013 60.51 551.22 41.09 97.12 3 27/12/2013 63.75 556.76 40.66 95.85 4 26/12/2013 73.31 560.54 40.49 96.03 5 24/12/2013 69.96 564.29 40.19 95.52 6 23/12/2013 64.54 566.7 40.16 95.13 7 20/12/2013 60.01 545.75 40.04 95.87 8 19/12/2013 57.49 541.22 39.86 95.83 9 18/12/2013 55.51 547.49 40.02 95.37 10 17/12/2013 56.45 551.69 39.1 93.69 11 16/12/2013 56.61 554.18 39.27 94.38 12 13/12/2013 59 551.13 39.23 94.41 13 12/12/2013 55.33 557.2 39.21 94.53 14 11/12/2013 52.34 558.02 40.13 95.34 15 10/12/2013 51.99 562.18 39.85 95.13 16 09/12/2013 49.14 563.06 40.4 96.53 17 06/12/2013 44.95 556.69 40.46 96.72 18 05/12/2013 45.62 564.52 39.83 95.36 19 04/12/2013 43.69 561.64 40.37 96.3 20 03/12/2013 41.37 562.95 40.35 96.61 21 02/12/2013 40.78 547.95 40.08 96.06 Tabla 1 Valor de mercado delas acciones. Fuente: Yahoo finance 1.2. Gráfica Valor de mercado de las acciones 1000 Valor de mercado acciones 1 twtr 0 2 appl 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 Ilustración 2 Gráfica Valor de mercado de las acciones. Fuente: Elaboración propia. CONCLUSIONES. El comportamiento del valor de mercado se puede observar que la empresa Twitter tiene una tendencia a la baja, mientras que las otras empresas Cocacola y Hersheys se comportan constantes, se puede observar en Appl también se comporta con altibajos, es bastantes inestable, lo que puede indicar que su sector es muy competitivo y no tiene una ventaja 7
  9. 9. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” competitiva sostenible. Todo lo contrario con cocacola y Hersheys los cuales evidencia poseer una ventaja competitiva sostenible. 2. Rendimiento de las acciones: El rendimiento esperado de las acciones (Eri) se determina con base en varios escenarios posibles y la probabilidad de que se presenten esos escenarios como se muestra en la ecuación siguiente: ( ) ∑ Dónde:   = Probabilidad de que se presente el escenario s. Rendimiento del título en el escenario s. Los rendimientos de una acción vienen dados por: ( ) ( ) 2.1. Rendimiento de las acciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Date 31/12/2013 30/12/2013 27/12/2013 26/12/2013 24/12/2013 23/12/2013 20/12/2013 19/12/2013 18/12/2013 17/12/2013 16/12/2013 13/12/2013 12/12/2013 11/12/2013 10/12/2013 09/12/2013 06/12/2013 05/12/2013 04/12/2013 03/12/2013 02/12/2013 Rendimiento de las acciones 1 twtr 2 appl 3 cocacola 5.06% 1.17% 0.53% -5.22% -1.00% 1.05% -13.97% -0.68% 0.42% 4.68% -0.67% 0.74% 8.06% -0.43% 0.07% 7.28% 3.77% 0.30% 4.29% 0.83% 0.45% 3.50% -1.15% -0.40% -1.68% -0.76% 2.33% -0.28% -0.45% -0.43% -4.14% 0.55% 0.10% 6.42% -1.10% 0.05% 5.56% -0.15% -2.32% 0.67% -0.74% 0.70% 5.64% -0.16% -1.37% 8.91% 1.14% -0.15% -1.48% -1.40% 1.57% 4.32% 0.51% -1.35% 5.46% -0.23% 0.05% 1.44% 2.70% 0.67% 4 hersheys -0.34% 1.32% -0.19% 0.53% 0.41% -0.77% 0.04% 0.48% 1.78% -0.73% -0.03% -0.13% -0.85% 0.22% -1.46% -0.20% 1.42% -0.98% -0.32% 0.57% Tabla 2 Rendimiento de las acciones. Fuente: Yahoo finance. 8
  10. 10. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” 2.2. Gráfica Valor de mercado de las acciones Rendimiento de las acciones 20.00% 1 twtr 10.00% 2 appl 0.00% -10.00% 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 3 cocacola 4 hersheys -20.00% Ilustración 3 Rendimiento de las acciones. Fuente: Yahoo finance CONCLUSIONES:  En esta gráfica se puede observar más claramente el comportamiento muy volátil con altibajos de Twiter, mientras que Coca-Cola y Hersheys se mantienen uniforme, lo que puede decirse que tienen una ventaja competitiva sostenible. Por otro lado, Appl su comportamiento se puede observar que es bastante estable, el nivel de volatilidad es bajo, aunque el sector donde compite es elevado y sus necesidades de investigación y desarrollo de tecnología lo puede llevar a reducir sus utilidades. Como siguiente paso, se calcula el riesgo de un portafolio compuesto por varias acciones. Este riesgo se calcula usando la desviación estándar del retorno, así como también las correlaciones de los diferentes tipos de activos que componen el portafolio, haciendo que las ponderaciones sumen 1 por lo general. 3. Riesgos y rendimiento RIESGOS Y RENDIMIENTOS 1 Twtr 2 Appl 3 Cocacola 4 Hersheys E (Ri) 2.23% 0.09% 0.15% 0.04% Vol (Ri) 5.37% 1.29% 1.01% 0.81% Marginalidad 2.41 14.65 6.65 21.46 Tabla 3 Riesgos y rendimientos. Fuente: Elaboración propia. FORMULAS: Dónde:  =ABS (5.37% / 2.23%)  =ABS (Vol (Ri) / E (Ri)) 9
  11. 11. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” CONCLUSIONES: 1. La rentabilidad E (Ri) de la empresa Twiter es muy alta 2.23%, los activos financieros deben tener una rentabilidad por encima del mercado 2. El nivel de riesgo o volatilidad asociada a la rentabilidad de los activos = Vol (Ri) de Twitter es muy elevado 5.37%, lo que necesitamos es que el nivel de riesgo debe ser más pequeño que la del mercado. 3. La Marginalidad es el valor absoluto de la volatilidad sobre la rentabilidad (Vol (Ri) / E (Ri)) = Marginalidad nos dice que por cada uno por ciento que queramos obtener tenemos que tener un costo asociado, es decir que para obtener 1 % en los niveles de rentabilidad debo pagar un costo asociado en términos de riesgo de x: en el caso de Twiter (2.41%) Appl (14.65%) Cocacola (6.65%) y Hersheys (21.46%). Por lo consiguiente, lo que debemos de buscar que estos datos de marginalidad sea más pequeño que el del mercado. 4. Coeficiente de correlación Como siguiente paso: se calcula el coeficiente de correlación, el cual siempre va a estar dentro de un rango desde -1 hasta +1, siendo este un indicador del movimiento completamente entre títulos. En consecuencia, -1 = a un indicador de movimiento en el sentido opuesto; y +1 un indicador de movimiento en el mismo sentido; y un coeficiente de correlación en 0 indica que no existe relación alguna entre los movimientos de los rendimientos de los títulos. EN RESUMEN: La idea en la diversificación es tomar dos o más títulos con coeficiente inferior a +1 para disminuir el riesgo dentro de un portafolio. Esto nos indica que a menor correlación, menor riesgo total el portafolio. Así, al conformar el portafolio se debe tener en cuenta el peso o proporción invertida en cada título, en lugar de su probabilidad de renta. 4.1. Matriz de coeficientes de correlaciones 1 twtr 2 appl 3 cocacola 4 hersheys 1 twtr 1 0.317746749 -0.378249172 -0.354910411 2 appl 3 cocacola 4 hersheys 1 -0.090110906 -0.354354724 1 0.829040839 1 Tabla 4 Matriz de coeficientes de correlaciones. Fuente: Elaboración propia. 10
  12. 12. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” EN RESUMEN:  1 = Significa que la rentabilidad se relaciona perfectamente  La correlación más alta (0.829040839) = peligroso ya que están altamente relacionadas, eso significa que si le va mal a hersheys también le va mal a cocacola.  El grado de correlación negativa significa que mientras en un activo se gana en el otro se pierde, lo ideal es que los indicadores sean lo más pequeños posibles, ideal menos de 30 lo más cercanos a 0 4.2. Tabla de correlaciones: twtr appl cocacola hersheys 1 twtr 100.00% 31.77% -37.82% -35.49% 2 appl 31.77% 100.00% -9.01% 31.77% 3 cocacola -37.82% -9.01% 100.00% 82.90% 4 hersheys -35.49% -35.44% 82.90% 100.00% Tabla 5 Correlaciones. Fuente: Elaboración propia. Dónde:  Correlación perfecta positiva: Si el coeficiente de correlación es igual a la unidad = 1, en general serán activos de la misma empresa o de distintas empresas que han comenzado un proceso de fusión.  Correlación perfecta negativa: Si la correlación entre ambos títulos es perfectamente negativa = -1, nos indicará que el comportamiento del rendimiento de cada activo es completamente opuesto al del otro. CONCLUSIONES:  Cuando los rendimientos de los activos no están perfectamente correlacionados positivamente, la diversificación puede aumentar el ratio del rendimiento esperado de la cartera con respecto a su riesgo. Esto es, la diversificación puede alterar el equilibrio rendimiento-riesgo de las posibles inversiones según nos movamos a lo largo de la curva.  Cuanto menor sea el coeficiente de correlación entre los activos, mayor será el beneficio de la diversificación.  Las combinaciones de dos activos financieros nunca pueden tener más riesgo que el que se encuentra en la línea recta que conecta ambos. 11
  13. 13. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” Ahora calculamos la covarianza para saber cómo reacciona un título ante el movimiento de otro título, así, la covarianza es una medida de dispersión que mide la relación entre dos variables aleatorias, en nuestro caso la covarianza mide si los rendimientos de los activos se mueven conjuntamente. 5. Covarianzas 5.1. Matriz de covarianzas 1 twtr 2 appl 3 cocacola 4 hersheys 1 twtr 0.002879834 2 appl 0.000219832 0.000166208 3 cocacola -0.000204157 -1.16844E-05 0.000101159 4 hersheys -0.000154732 -3.71142E-05 6.77415E-05 6.60014E-05 Tabla 6 Matriz de covarianzas. Fuente: Elaboración propia. 5.2. Tabla de covarianzas twtr appl cocacola Hersheys 1 twtr 0.2880% 0.0220% -0.0204% -0.0155% 2 appl 0.0220% 0.0166% -0.0012% -0.0037% 3 cocacola -0.0204% -0.0012% 0.0101% 0.0068% 4 hersheys -0.0155% -0.0037% 0.0068% 0.0066% Tabla 7 Covarianzas. Fuente: Elaboración propia. Dónde:  Un valor positivo, indicará que ambos rendimientos tienden a moverse en el mismo sentido  Un valor negativo, indicará que se mueven en sentidos opuestos  Un valor nulo, nos advertirá de una posible ausencia de relación entre mambos rendimientos. 6. Inversión en el mercado: 6.1. Matriz de riqueza twtr appl cocacola hersheys Total 10.00% 30.00% 20.00% 40.00% 100.00% Tabla 8 Matriz de riqueza. Fuente: Elaboración propia. EN RESUMEN:  Matriz de riqueza = Hay que tomar en cuenta todas las variables económicas que influyan en la empresa y el mercado.  Hay que tener información cuantitativa y cualitativa para tomar las decisiones, 12
  14. 14. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO”  Hay que recordar que lo que estamos haciendo es colocando recursos y lo que buscamos es optimizarlos.  Debemos basar nuestras decisiones en datos ya obtenidos como los siguientes: a. Marginalidad: El que tenga el menor coeficiente de marginalidad es en el cual tengo que más invertir. Hersheys (4.66%) Appl (6.83%) Cocacola (15.03%) 7. Portafolio Eficiente El siguiente paso, es generar un portafolio que ofrezca el más alto rendimiento con un nivel de riesgo definido, en consecuencia a esto se le llama un “Portafolio Eficiente”. En consecuencia, se debe tener en cuenta el riesgo de cada activo para construir el portafolio, tratando de obtener un balance entre riesgo y retorno. Este proceso de diversificación, tienen como objeto disminuir la exposición a factores de riesgo propios de cada empresa, haciendo que disminuya la volatilidad del portafolio. 7.1. Matriz de Markowitz SUMATORIA INTERNA SUMATORIA EXTERNA Wi*Wj* cov ij 1 twtr 2 twtr appl 0.0007% 3 twtr cocacola -0.0004% 4 twtr hersheys -0.0006% 5 appl twtr 0.0007% 6 appl appl 0.0015% 7 appl cocacola -0.0001% 8 appl hersheys -0.0004% 9 cocacola twtr -0.0004% 10 cocacola appl -0.0001% 11 cocacola cocacola 0.0004% 12 cocacola hersheys 0.0005% 13 hersheys twtr -0.0006% 14 hersheys appl -0.0004% 15 hersheys cocacola 0.0005% 16 hersheys hersheys 0.0011% twtr 0.0029% 17 Varianza (Rp) 0.0052% 18 Volatilidad (Rp) 0.7179% 19 Rentabilidad del portafolio E (Rp) 0.2944% 20 Marginalidad del portafolio 2.43873 Celda sensibilidad 0.7179% Tabla 9 Matriz de Markowitz. Fuente: Elaboración propia. 13
  15. 15. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” EN RESUMEN:  Combinación 1: Empresa Twtr x empresa Twtr x covarianza de Twtr con Twtr y así sucesivamente. ¿Para qué sirve esta matriz? = para obtener la varianza del portafolio.  Varianza del portafolio = la suma de todas = 0.0052%  Es un indicador estadístico, el cual nos dice como están dispersos los datos alrededor de su media aritmética. En consecuencia, el siguiente dato que nos interesa es la raíz cuadrada, por lo que en términos financieros describe lo que se conoce como la volatilidad de la rentabilidad del portafolio. En otras palabras, lo que es el riesgo de invertir simultáneamente de las empresas Twtr, Appl, Cocacola, y Hersheys. Por lo tanto esta volatilidad es el resultado de invertir 10% en Twtr + 30% en Appl + 20% en Cocacola + 40% en Hersheys = raíz cuadrada de 0.0052 = 0.7179% lo que significa que ese es el riesgo del portafolio.  Como siguiente paso calcularemos la Rentabilidad del portafolio = valor esperado de la rentabilidad conjunta de los activos financieros. En consecuencia, multiplicaremos la rentabilidad individual en los activos objeto del análisis por su respectiva participación dentro de la matriz de riqueza. Rentabilidad empresa A multiplicada por su participación de la matriz de riqueza + así sucesivamente en todas las empresas sujetas de análisis, el resultado = 0.2944% este dato corresponde a la rentabilidad del portafolio que se obtendría si invertirnos 10% en Twtr + 30% en Appl + 20% en Cocacola + 40% en Hersheys con un riesgo asociado del 0.7179% a esta alternativa de inversión.  Como siguiente paso, podemos hacer el cálculo de la Marginalidad del portafolio = un valor absoluto de la volatilidad / rentabilidad = 2.4387, si observamos este dato se encuentra por debajo del dato más bajo de las empresas analizadas Hersheys (4.66%). La idea es que este dato se encuentre por debajo de lo que obtenemos en el mercado.  Como siguiente paso es programar de forma lineal una situación en la que podamos maximizar la rentabilidad del portafolio, minimizando el nivel de riesgo asociado, esto nos permitirá al mismo tiempo que tenemos un mejor indicador de: 14
  16. 16. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” marginalidad + rentabilidad y + riesgo, nos indicará como debemos invertir de una forma eficiente. Para realizar ese cálculo se necesita una celda de sensibilidad.  Celda de Sensibilidad: Debe permitir generar simulaciones, para determinados niveles de riesgo asociado correspondan diferentes niveles de rentabilidad y por lo tanto, diferentes formas de invertir en la matriz de riqueza. En consecuencia, se utiliza la herramienta SOLVER, con el objeto de crear el modelo que establece Markowitz en la teoría de portafolios de inversión.  Parámetros de Solver: 1. Establecer objetivos: Rentabilidad del portafolio (0.2944) 2. Para: Maximizar 3. Cambiando las celdas de variables: Componentes de la matriz de riqueza = celdas de variables que van a cambiar, así para permitirnos la maximización de la rentabilidad y reducción del riesgo. 4. Sujeto a las restricciones: 4.1 Datos deben ser mayores o iguales a 0, estos datos no pueden ser negativos, ya que las inversiones no son negativas. 4.2 El 100% de la inversión debe ser 100%, no puede pasarse de la cantidad fija para la inversión 4.3 La volatilidad debe ser igual a la celda de sensibilización 5. Cerrar 15
  17. 17. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” 7.2. Niveles de volatilidad para el portafolio NIVELES DE VOLATIBILIDAD PARA EL PORTAFOLIO MATRIZ DE RIQUEZA Volatilidad (Rp) no hay 0.54653% 0.1053% 2.4 29.92 0 67.68 100 0.54680% 0.1124% 2.73 29.44 0 67.83 100 0.54700% 0.1147% 2.84 29.31 0 67.85 100 0.54750% 0.1189% 3.04 29.03 0 67.93 100 0.55000% 0.1312% 3.62 28.25 0 68.14 100.01 0.56000% 0.1567% 4.82 26.61 0 68.57 100 0.57000% 0.1735% 5.61 25.53 0 68.86 100 0.58000% 0.1800% 6.17 24.61 1.86 67.35 99.99 0.59000% 0.1999% 6.62 23.75 4.78 64.86 100.01 0.60000% 0.2118% 7.04 22.97 7.35 62.64 100 0.6500% 0.2632% 8.87 19.49 19 52.64 100 0.7000% 0.3074% 10.44 16.5 28.98 44.08 100 0.7100% 0.3157% 10.73 15.95 30.83 42.49 100 0.7150% 0.3198% 10.88 15.65 31.73 41.73 99.99 0.7160% 0.3206% 10.91 15.6 31.94 41.55 100 0.7170% 0.3214% 10.94 15.55 32.16 41.36 100.01 0.71790% 0.3221% 10.96 15.5 32.34 41.19 99.99 0.7180% 0.3222% 10.97 15.5 32.32 41.21 100 0.7190% 0.3230% 11 15.45 32.48 41.07 100 1.00% 0.2944% 18.06 2.01 77.37 2.55 99.99 2.00% 0.9819% 40.04 0 59.96 0 100 3.00% 1.3626% 58.39 0 41.61 0 100 4.00% 1.7305% 76.12 0 23.88 0 100 5.00% 2.0936% 93.62 0 6.38 0 100 5.3664% punto 0 E (Rp) 0.54652% twtr appl cocacola hersheys Total 2.2260% 100 0 0 0 100 Solver no encontró ninguna solución viable Tabla 10 Niveles de volatilidad para el portafolio. Fuente: Elaboración propia. 16
  18. 18. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” 8. Opciones de línea de eficiencia: 8.1. Gráfica de línea de tendencia: Polinómica FRONTERA DE EFICIENCIA (Polinómica) 2.5000% Esperanza (Rp) 2.0000% y = -3.0545x2 + 0.6014x - 0.0015 R² = 0.9936 1.5000% FRONTERA DE EFICIENCIA 1.0000% Lineal (FRONTERA DE EFICIENCIA) 0.5000% 0.0000% 0.00000% Polinómica (FRONTERA DE EFICIENCIA) 1.00000% 2.00000% 3.00000% 4.00000% 5.00000% 6.00000% Volatilidad (Rp) Ilustración 4 Frontera de eficiencia: Polinómica. Fuente: Elaboración propia. EN RESUMEN:  La mejor grafica será aquella donde tengamos un R2 lo más elevado posible, por lo tanto sin comparamos el R2 de la gráfica del modelo tipo polinómica (R2 = 0.9936) es el que se encuentra más cercano a 1. En conclusión podemos decir que es el modelo polinómico es el que mejor caracteriza a las fronteras de eficiencia. Gráfica R2 Polinómica 0.9936 Exponencial -27.33 Lineal 0.9858 Logarítmica 0.9751 Potencial 0.9155 Media móvil 17
  19. 19. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” 8.2. Gráfica de línea de tendencia: Exponencial FRONTERA DE EFICIENCIA (Exponencial) 45.0000% 40.0000% Esperanza (Rp) 35.0000% y = e-172.1x R² = -27.33 30.0000% 25.0000% FRONTERA DE EFICIENCIA 20.0000% 15.0000% 10.0000% 5.0000% 0.0000% 0.00000% 1.00000% 2.00000% 3.00000% 4.00000% 5.00000% 6.00000% Volatilidad (Rp) Ilustración 5 Frontera de eficiencia: Exponencial. Fuente: Elaboración propia 8.3. Gráfica de línea de tendencia: Lineal FRONTERA DE EFICIENCIA (Lineal) 2.5000% FRONTERA DE EFICIENCIA Esperanza (Rp) 2.0000% y = 0.4212x R² = 0.9858 Lineal (FRONTERA DE EFICIENCIA) 1.5000% Lineal (FRONTERA DE EFICIENCIA) 1.0000% Lineal (FRONTERA DE EFICIENCIA) 0.5000% 0.0000% 0.00000% 1.00000% 2.00000% 3.00000% 4.00000% 5.00000% 6.00000% Volatilidad (Rp) Ilustración 6 Frontera de eficiencia: Lineal. Fuente: Elaboración propia 18
  20. 20. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” 8.4. Gráfica de línea de tendencia: Logarítmica. FRONTERA DE EFICIENCIA (Logaritmica) 2.5000% Esperanza (Rp) 2.0000% y = 0.0084ln(x) + 0.0448 R² = 0.9751 1.5000% FRONTERA DE EFICIENCIA 1.0000% Logarítmica (FRONTERA DE EFICIENCIA) 0.5000% 0.0000% 0.00000% 1.00000% 2.00000% 3.00000% 4.00000% 5.00000% 6.00000% Volatilidad (Rp) Ilustración 7 Frontera e eficiencia: Logarítmica. Fuente: Elaboración propia. 8.5. Gráfica de línea de tendencia: Potencial. FRONTERA DE EFICIENCIA (Potencial) 3.0000% Esperanza (Rp) 2.5000% 2.0000% y = 0.8468x1.1873 R² = 0.9155 1.5000% FRONTERA DE EFICIENCIA 1.0000% Potencial (FRONTERA DE EFICIENCIA) 0.5000% 0.0000% 0.00000% 1.00000% 2.00000% 3.00000% 4.00000% 5.00000% 6.00000% Volatilidad (Rp) Ilustración 8 Frontera de eficiencia: Potencial. Fuente: Elaboración propia. 19
  21. 21. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” 8.6. Gráfica de línea de tendencia: Media móvil. 2.5000% FRONTERA DE EFICIENCIA (Media móvil) Esperanza (Rp) 2.0000% 1.5000% FRONTERA DE EFICIENCIA 1.0000% 2 per. media móvil (FRONTERA DE EFICIENCIA) 2 per. media móvil (FRONTERA DE EFICIENCIA) 0.5000% 0.0000% 0.00000% 1.00000% 2.00000% 3.00000% 4.00000% 5.00000% 6.00000% Volatilidad (Rp) Ilustración 9 Frontera de eficiencia: Media móvil. Fuente: Elaboración propia. A continuación, analizaremos las siguientes opciones de portafolios de inversión: 9. Alternativas de Portafolios de inversión.  Menor riesgo  Rendimiento máximo y menor riesgo (Portafolio eficiente)  Mayor riesgo 20
  22. 22. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” 9.1. Menor Riesgo 9.1.1. Informe de respuestas de la opción con menor riesgo: Microsoft Excel 14.0 Informe de respuestas Hoja de cálculo: [00 intergado.xlsx]5 resumen Informe creado: 02/03/2014 08:10:44 p.m. Resultado: Solver ha convergido a la solución actual. Se cumplen todas las restricciones. Motor de Solver Motor: GRG Nonlinear Tiempo de la solución: 0.062 segundos. Iteraciones: 15 Subproblemas: 0 Opciones de Solver Tiempo máximo Ilimitado, Iteraciones Ilimitado, Precision 0.000001, Usar escala automática Convergencia 0.0001, Tamaño de población 100, Valor de inicialización aleatorio 0, Adelantada de derivados, Requerir límites Máximo de subproblemas Ilimitado, Máximo de soluciones de enteros Ilimitado, Tolerancia de enteros 1%, Asumir no negativo Celda objetivo (Máx.) Celda Nombre $G$79 Rentabilidad del portafolio E (Rp) Wi*Wj* cov ij Valor original 0.2944% Valor final 0.1053% Celdas de variables Celda $C$55 twtr $D$55 appl $E$55 cocacola $F$55 hersheys Valor original 10.00% 30.00% 20.00% 40.00% Valor final 2.40% 29.92% 0.00% 67.68% Valor de la celda 100.00% 0.5465% 2.40% 29.92% 0.00% 67.68% Fórmula $G$55=1 $G$78=$I$78 $C$55>=0 $D$55>=0 $E$55>=0 $F$55>=0 Nombre Restricciones Celda Nombre $G$55 Total $G$78 Volatilidad (Rp) Wi*Wj* cov ij $C$55 twtr $D$55 appl $E$55 cocacola $F$55 hersheys Entero Continuar Continuar Continuar Continuar Estado Demora Vinculante 0 Vinculante 0 No vinculante 2.40% No vinculante 29.92% Vinculante 0.00% No vinculante 67.68% 9.1.2. Informe de confidencialidad de la opción con menor riesgo Microsoft Excel 14.0 Informe de confidencialidad Hoja de cálculo: [00 intergado.xlsx]5 resumen Informe creado: 02/03/2014 08:10:44 p.m. Celdas de variables Celda $C$55 $D$55 $E$55 $F$55 Nombre twtr appl cocacola hersheys Final Valor 0.023950301 0.299204692 0 0.676845007 Reducido Degradado 0 0 -1.06236726 0 Restricciones Final Lagrange Celda Nombre Valor Multiplicador $G$55 Total 1 -4.176820191 $G$78 Volatilidad (Rp) Wi*Wj* cov ij 0.005465307 764.5034468 21
  23. 23. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” 9.1.3. Informe de límites de la opción con menor riesgo 9.2. Rendimiento máximo y menor riesgo: (Portafolio eficiente) 9.2.1. Informe de respuestas de la opción de rendimiento máximo y menor riesgo: Resultado: Solver encontró una solución. Se cumplen todas las restricciones y condiciones óptimas. Motor de Solver Motor: GRG Nonlinear Tiempo de la solución: 0.047 segundos. Iteraciones: 9 Subproblemas: 0 Opciones de Solver Tiempo máximo Ilimitado, Iteraciones Ilimitado, Precision 0.000001, Usar escala automática Convergencia 0.0001, Tamaño de población 100, Valor de inicialización aleatorio 0, Adelantada de derivados, Requerir límites Máximo de subproblemas Ilimitado, Máximo de soluciones de enteros Ilimitado, Tolerancia de enteros 1%, Asumir no negativo Celda objetivo (Máx.) Celda Nombre $G$79 Rentabilidad del portafolio E (Rp) Wi*Wj* cov ij Valor original 0.2944% Valor final 0.3221% Celdas de variables Celda $C$55 twtr $D$55 appl $E$55 cocacola $F$55 hersheys Valor original 10.00% 30.00% 20.00% 40.00% Valor final 10.96% 15.50% 32.34% 41.19% Valor de la celda 100.00% 0.7179% 10.96% 15.50% 32.34% 41.19% Fórmula $G$55=1 $G$78=$I$78 $C$55>=0 $D$55>=0 $E$55>=0 $F$55>=0 Nombre Restricciones Celda Nombre $G$55 Total $G$78 Volatilidad (Rp) Wi*Wj* cov ij $C$55 twtr $D$55 appl $E$55 cocacola $F$55 hersheys Entero Continuar Continuar Continuar Continuar Estado Vinculante Vinculante No vinculante No vinculante No vinculante No vinculante Demora 0 0 10.96% 15.50% 32.34% 41.19% 22
  24. 24. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” 9.2.2. Informe de confidencialidad de la opción de máxima eficiencia y riesgo controlado 2 Hoja de cálculo: [00 intergado.xlsx]5 resumen Informe creado: 02/03/2014 08:14:18 p.m. Objetivo Celda Nombre Valor $G$79 Rentabilidad del portafolio E (Rp) Wi*Wj* cov ij 0.3221% Variable Celda Nombre $C$55 twtr $D$55 appl $E$55 cocacola $F$55 hersheys Valor 10.96% 15.50% 32.34% 41.19% Inferior Objetivo Límite Resultado 10.96% 0.32% 15.50% 0.32% 32.34% 0.32% 41.19% 0.32% Superior Objetivo Límite Resultado 10.96% 0.32% 15.50% 0.32% 32.34% 0.32% 41.19% 0.32% 9.2.3. Informe de límites de la opción de rendimiento máximo eficiencia y riesgo controlado Microsoft Excel 14.0 Informe de confidencialidad Hoja de cálculo: [00 intergado.xlsx]5 resumen Informe creado: 02/03/2014 08:14:17 p.m. Celdas de variables Celda $C$55 $D$55 $E$55 $F$55 Nombre twtr appl cocacola hersheys Final Valor 0.10961245 0.155044422 0.32342971 0.411913418 Reducido Degradado 0 0 0 0 Restricciones Final Valor Lagrange Celda Nombre Multiplicador $G$55 Total 1 -0.002603254 $G$78 Volatilidad (Rp) Wi*Wj* cov ij 0.007179007 0.811408457 23
  25. 25. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” 9.3. Informe de respuestas de la opción de máximo riesgo: Resultado: Solver encontró una solución. Se cumplen todas las restricciones y condiciones óptimas. Motor de Solver Motor: GRG Nonlinear Tiempo de la solución: 0.031 segundos. Iteraciones: 5 Subproblemas: 0 Opciones de Solver Tiempo máximo Ilimitado, Iteraciones Ilimitado, Precision 0.000001, Usar escala automática Convergencia 0.0001, Tamaño de población 100, Valor de inicialización aleatorio 0, Adelantada de derivados, Requerir límites Máximo de subproblemas Ilimitado, Máximo de soluciones de enteros Ilimitado, Tolerancia de enteros 1%, Asumir no negativo Celda objetivo (Máx.) Celda Nombre $G$79 Rentabilidad del portafolio E (Rp) Wi*Wj* cov ij Valor original 0.2944% Valor final 2.2260% Celdas de variables Celda $C$55 twtr $D$55 appl $E$55 cocacola $F$55 hersheys Valor original 10.00% 30.00% 20.00% 40.00% Valor final 100.00% 0.00% 0.00% 0.00% Valor de la celda 100.00% 5.3664% 100.00% 0.00% 0.00% 0.00% Fórmula $G$55=1 $G$78=$I$78 $C$55>=0 $D$55>=0 $E$55>=0 $F$55>=0 Nombre Restricciones Celda Nombre $G$55 Total $G$78 Volatilidad (Rp) Wi*Wj* cov ij $C$55 twtr $D$55 appl $E$55 cocacola $F$55 hersheys Entero Continuar Continuar Continuar Continuar Estado Demora Vinculante 0 Vinculante 0 No vinculante 100.00% Vinculante 0.00% No vinculante 0.00% Vinculante 0.00% 9.3.1. Informe de confidencialidad de la opción de máximo riesgo Microsoft Excel 14.0 Informe de confidencialidad Hoja de cálculo: [00 intergado.xlsx]5 resumen Informe creado: 02/03/2014 08:18:50 p.m. Celdas de variables Celda $C$55 $D$55 $E$55 $F$55 Nombre twtr appl cocacola hersheys Final Reducido Valor Degradado 0.99999838 0 0 -0.00348388 1.61996E-06 0 0 -0.001465356 Restricciones Final Valor Lagrange Celda Nombre Multiplicador $G$55 Total 1 0.00288492 $G$78 Volatilidad (Rp) Wi*Wj* cov ij 0.053663995 0.361050735 24
  26. 26. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” 9.3.2. Informe de límites de la opción de máximo riesgo Microsoft Excel 14.0 Informe de límites Hoja de cálculo: [00 intergado.xlsx]5 resumen Informe creado: 02/03/2014 08:18:50 p.m. Objetivo Celda Nombre Valor $G$79 Rentabilidad del portafolio E (Rp) Wi*Wj* cov ij 2.2260% Variable Celda Nombre $C$55 twtr $D$55 appl $E$55 cocacola $F$55 hersheys Valor 100.00% 0.00% 0.00% 0.00% Inferior Objetivo Límite Resultado 100.00% 2.23% 0.00% 2.23% 0.00% 2.23% 0.00% 2.23% Superior Objetivo Límite Resultado 100.00% 2.23% 0.00% 2.23% 0.00% 2.23% 0.00% 2.23% 25
  27. 27. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” 10. CONCLUSIONES Conociendo la diversidad de portafolios accesibles en el mercado, un inversionista debe buscar opciones de inversión que se adapten a su perfil y que, dado ese perfil, obtenga el mejor rendimiento posible. Por lo tanto, el inversionista debe comparar los resultados con el estudio de la varianza y covarianza y confirmar si los portafolios óptimos se componen en mayor medida por los portafolios con menor desviación estándar cuando la aversión al riesgo es mayor, y también establecer que a menor riesgo asumido, menor riesgo obtenido. (Ver tabla 11) Pero la mayor conclusión debe ser la consecución de una mezcla de activos para el perfil de riesgo asignado que ofrezca una rentabilidad mejor con una volatilidad menor que una inversión en un solo activo. EN CONCLUSIÓN:  La opción recomendada de Máxima rendimiento y menor riesgo es el punto 0. Niveles de volatilidad del portafolio NIVELES DE VOLATIBILIDAD PARA EL PORTAFOLIO MATRIZ DE RIQUEZA Volatilidad (Rp) E (Rp) twtr 0.54652% no hay Solver no encontró ninguna solución viable Menor riesgo 0.54653% 0.1053% 2.4 29.92 0 67.68 100 Declina 0.7150% 0.3198% 10.88 15.65 31.73 41.73 99.99 Eficiente 0.7160% 0.3206% 10.91 15.6 31.94 41.55 100 Eficiente 0.7170% 0.3214% 10.94 15.55 32.16 41.36 100.01 Punto 0 Máximo rendimiento y menor riesgo 0.71790% 0.3221% 10.96 15.5 32.34 41.19 99.99 Eficiente 0.7180% 0.3222% 10.97 15.5 32.32 41.21 100 Eficiente 0.7190% 0.3230% 11 15.45 32.48 41.07 100 Declina 1.00% 0.2944% 18.06 2.01 77.37 2.55 99.99 Alta riesgo 5.3664% 2.2260% 100 0 0 0 100 appl cocacola hersheys Total Tabla 11 Niveles de volatilidad para el portafolio. Matriz de riqueza alternativas: menor riesgo, eficiente y mayor riesgo. 26
  28. 28. “CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO” 11. BIBLIOGRAFÍA Block, S. B., Hirt, G. A., & Danielse, B. R. (2011). Fundamentos administracion financiera. México D. F.: McGraww HillmInteramericana Editorres S. A. de C. V. Drucker, P., & Flaherty, J. E. (2001). La esencia de la Administración moderna. México D. F.: PEEARSON EDUCACIÓN. Estudios gerenciales. (Octubre de 2009). Google. Recuperado el 2 de Marzo de 2014, de http://www.icesi.edu.co/revistas/index.php/estudios_gerenciales/article/viewFile/327/32 5 Fabozzi, F. J., Modigliano, F., & Ferri, M. G. (1996). Mercados e Instituciones Financieras. México D. F.: Prentice-Hall Hispanoamericana, S. A. FINANZAS PARA INGENIEROS. (2013). Google. Recuperado el 23 de Octubre de 2013, de Scribd: http://es.scribd.com/doc/95779351/Bolsa-de-Valores-de-Nueva-York Jiménez Boulanger, F., Espinoza Gutiérrez, C. L., & Fonseca Retana, L. (2007 ). Ingeniería económica. San José: Tecnológica de Costa Rica. Kozikowski, Z. (2007). Finanzas internacionlaes. México. D. F.: McGraw-Hill/Interamericana Editorres, S. A. de C. V. Mascareñas Pérez-Iñigo, -j. (2010). Finanzas para directivos. Madrid: PEARSON. Mercados y tendencias. (Abril - Mayo de 2012). Google. Recuperado el 28 de Febrero de 2014, de http://revistamyt.com/wp-content/uploads/2012/07/ranking-de-bancos-2012.pdf Wikipedia. (2 de Marzo de 2014). Google. Recuperado el 2 de Marzo de 2014, de http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_moderna_del_portafolio Pérez-Íñigo, Juan Mascareñas. (2010). Finanzas para directivos. Pearson Educación. Madrid: España. Ross, Westerfield, Jaffe. (2009). Finanzas Corporativas. McGraw Hill-Interamericana Editores S.A. de C.V. Distrito Federal: México. 27

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