2. ● Secciones cónicas de un cono (dibujo de una
superficie cónica y el corte de los planos con dicha
superficie obtenida la elipse, la hipérbola y la
parábola)
● Elipse: Definición, parámetros, estudio analítico,
trazado y ejemplos reales.
● Hipérbola: Definición, parámetros, estudio analítico,
trazado y ejemplos reales.
● Parábola:Definición, parámetros, estudio analítico,
trazado y ejemplos reales.
● Hoja ralizda en el visionado del videdo en clase.
● Opinión personal acerca del trabajo realizado.
SECCIONES CÓNICAS DE UN CONO
3. ELIPSE
DEFINICIÓN:
es un lugar geométrico de dos puntos del plano cuya suma de las distancias a dos
puntos fijos, llamados focos, es constante.
4. PARÁMETROS:
-F1 y F2 son puntos fijos, los focos de la elipse.
-La recta que contiene a los se llama eje focal.
-A, B, C y D son los vértices de la elipse.
-El segmento AB es el eje mayor y el segmento CD es el eje menor.
-El punto de intersección de los dos ejes, es el centro.
d(F1, F2)= 2c
d(A, B)= 2a
d(C, D)= 2b
ESTUDIO ANALÍTICO:
con la fórmula reducida de la elipse podemos conocer las coordenadas de todos sus
puntos.
Cambia sobre le gráfico los valores de las coordenadas ( x, y), y da los parámetros de
la elipse(a, b, c), observando la posición que adopta el punto P y obtenemos la ecuación
de la elipse:
TRAZADOS:
– Trazado de la elipse por puntos:
situamos los focos trazado un arco de centro C y radio “a”. Situamos dos puntos al
5. azar entre el foco y el centro de la curva. Cuantos mas puntos tracemos, mas facil
nos resultará el dibujo final nos resultara el dibujo final de la elipse. Trazamos
arcos pinchando en los focos F y F`. Unimos los puntos calculados y los extremos
de los ejes.
– Trazdo de una elipse por haces proyectivos:
trazamos el rectángulo AOCE, y fividimos los lados AO y AE en un mismo número
de partes iguales. Seguídamente iremos trazando las rectas C1-D1, C2-D2, etc, y
en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para
los cuatro cuadrantes de la elipse.
– Trazado de la elipse mediante radios vectores:
Teniedno en cuenta la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los
puntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a, longitud del eje
mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma
sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor, 1, 2, 3
etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos A1-B1, A2-B2,
A3-B3, y así sucesivamente, determinando los puntos 1`, 2`, 3`, etc. de la elipse.
Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos de la elipse,
uno en cada cuadrante de la misma.
Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la
elipse, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o
plantillas de curvas especiales.
– Trazado de la elipse por envolventes:
Esta contrucción se basa en el hecho de que la circunferencia principal de una
elipse, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los
6. focos a las tangentes a la elipse.
Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como el P,
indicando en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos por P la
perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la elipse.
Repitiendo esta operación, ontendremos una serie de tangentes que irán
envolviendo a la elipse.
– Trazado de la elipse a partir de circunferencias afines:
comenzaremos trazado las ciercunferenciad de centro 0, y diametros AB y CD.
Seguidamente trazaremos radios como el 01, que corta a las circunferencias
anteriores en los puntos 1 y 2. Por dichos puntos trazaremos las paralélas a CD y
AB respectivamente. Dichas paralelas se cortan en el punto 3, que es de la elipse.
El número de radios trazados, serán los necesarios para definir suficientemente la
elipse.
– Trazado de la elipse a partir de dos diámetros conjugados por triángulos
semejantes afines:
partiendo de los ejes conjugados A`B`y C`D`, comenzamos trazando la
7. circunferencia de centro 0 y diámetro A`B`. Sobre la circunferencia anterior,
trazaremos cuerdas perpendiculares a A`B`, como la 1-2. Uniendo 2 con C`y 1 con
D`, obtendremos los triángulos 02C`y 01D`. Dolo restará contruir en el resto de
cuerdas triángulos semejantes a estos como el MPN, de lados paralelos al triángulo
02C`, obteniendo así puntos de la elipse.
– Método del jardinero:
Para trazar elipses de grandes dimensiones podemos usar una cuerda de longitud
igual al eje mayor, colocamos ese extremo sobre los focos y extiramos la cuerda
para dibujar la curva.
EJEMPLOS REALES:
– Órbitas planetarias:
las órbitas de los planetas al rotar alrededor del sol son elípticas. El sol estaría
8. situado en uno de sus focos. La excentridad es proxima al cero, es decir se acerca
bastante a una circunferencia.
– Formas cirulares
La representación de cualquier forma circular que no observamos frontalmente, es
una elipse.
– Bovedas elipsoidales
permiten a dos personas situadas en los focos, mantener una conversación sin que
las personas mas proximas se enteren.
HIPÉRBOLA
DEFINICIÓN:
es el lugar geométrico de los puntos tal que el valor absoluto de la diferencia de sus
9. distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
PARÁMETROS:
– F y F`son los focos, los puntos fijos de la hipérbola.
– La recta que une los focos F yF, se llama eje focal.
– Los vértices V1 y V2, son los dos puntos de intersección del eje focal con la
hipérbola.
– El punto medio del segmento que une los focos en el centro de la hipérbola.
– Las dos recta a las que la hipérbola se acerca indefinidamente sin llegar a tocarlas
se denominan asíntotas.
– Situando la hipérbola en unos ejes cartesianos y su centro sobre el origen de
coordenadas, se cumple que:
d( F,F`)= 2c
d(V1, V2)=2a
ESTUDIO ANALÍTICO:
tomando una hipérbola cuyo centro es el origen de coordenadas, sus focos están
situados en los puntos F y F`. Se cumple que la diferencia de las distancias de
cualquier punto de la hipérbola, P (x, y), al os focos. Obtenemos la ecuación reducida
de la hipérbola:
TRAZADOS:
– Trazado por puntos a partir de los ejes:
los datos son: 2a=AB y 2c=FF`.
10. Se toma el punto 1 en el eje real AB y con radios A1 y centros en F y F`se trazan
dos arcos.
Se toma el punto 1 en el eje real AB y con radiso B1 y centros F y F`se trazan dos
arcos que se cortan con los anteriores en puntos de la hipérbola.
Se repite el proceso varias veces y se unen los puntos con plantilla.
– Trazado de la tangente y normal a la hipérbola en un punto P de ella:
La tangente y la normal en un punto P de la hipérbola, al igual que en la elipse, son
las bisectrices de los ángulos que forman los radios vectores r y r' del punto P.
11. – Trazado por papiroflexia:
El doblez es una tangente a la hipérbola, y a su vez, eje de simetría entre el punto
P (foco de la elipse) y los puntos de la circunferencia de papel.
EJEMPLOS REALES:
– Iluminación:
la luz que proyecta la lampara troncocónica sobre una pared paralela a si eje, tiene
forma de hipérbola.
12. – Reloj solar:
la sombra que proyecta una barilla recta clavada perpenducularmente sobre un
plano, tien forma de hipérbola. Por ello los relojes solares tienen esa disposición.
La sombra arrojada cada día es diferente al anterior. En el gráfico adjunto se
encuentra las siete líneas de declinacion comunes, esto e, la línea para cada uno de
los solsticios, equinocios, y la supuesta entrada del sol en cada uno de los signos del
zodíaco.
– Telescopiso de tipo cassegrain
fue inventado en 1672 por el físico francés N. Cassegrain. La incorporación del
espero hiperbólico, reduce considerablemente su tamaño. Telescopios de tipo
Cassegrain están en funcionamiento en algunos de los observatorios astronómicos
más importantes del mundo..
PARÁBOLA
DEFINICIÓN:
13. es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y
de una recta que se denomina directriz.
PARÁMETROS:
- F es el foco de la parábola y D es la directriz.
– A la distancia entre la directriz y el foco la llamamos p.
– La recta que pasa por F y es perpendicular a D es el eje.
– El vértice es el punto V, que es la interseción del eje con la parábola.
– Si situamos la parábola en unos ejes cartesianos, con vértice en el origen de
coordenadas y cuyo eje es el eje Y, se cumple que:
D: y = -P/2
ESTUDIO ANALÍTICO:
Tomando un punto P(x, y), de una parábola cuyo vértice es el origen de coordenadas,
V(0,0), y su eje se sitúa sobre el eje Y, obtenemos la ecuación reducida de la parábola:
TRAZADOS:
-Trazado de una parábola por puntos:
Se conocen la directriz d, el eje y el foco. El vértice V es el punto medio del segmento
14. AF.
Se trazan varias perpendiculares al eje, del vértice a la derecha.
Con centro en F y radio A1=r, se corta a dicha perpendicular, obteniendo el punto P y
su simétrico, que son puntos de la curva; se obtiene así r= PF = PN, según la definición
de la curva.
Esta operación se repite para obtener nuevos puntos que se unen con plantilla de
curvas.
– Trazado de la tangente y normal en un punto M de la parábola:
La tangente t en un punto M de la parábola es la bisectriz de los radios vectores
MN y MF; la normal n es perpendicular a la tangente
16. Reflejan las radiaciones paralelas al eje sobre su foco y viceversa, propieda que se
utiliza para fabricar: Antenas parabólica, espejos, calefactores, faro, lentes,
hornos solares, centrales electricas parabólicas, etc.
– Iluminación
la forma que adopta la proyección de un foco puntual sobre un plano paralelo a un
lado del foco, es una parábola.
– Trayectoria de proyectiles
También es parabólica la trayectoria que describen los proyectiles. Intenta clavar
la flecha en la diana eligiendo el ángulo y lanzándola.
– Diseño
es utilizda frecuentemente en la arquitectura moderna y en diseño industrial.
17. CAPÍTULO 5: DEL BALONCESTO A LOS COMETAS
MATERIAL PARA EL ALUMNO.
1- Hoy vamos a hablar de: la cónica
2- ¿ Cuáles de las curvas mencionadas se ven el el vaso? Un círculo y un elipse
3- ¿Qué instrumento se utiliza para dibujar las cónicas sobre una pared? Lámparas
4- ¿Son siempre útiles los estudios de un matemático? No
5- Apolonio de pérgamo es el autor del mas importante tratado de la antigüedad
dedicado a las fórmulas.
6- ¿De donde procede el nombre de cónicas? Del cero
7- ¿Quién utilizó por primera vez las cónicas? ¿Para que? J.Kepler, para calcular la
trayectoria de la tierra alrededor del sol.
8- ¿Qué propiedad geométrica caracteriza a las elipses? Que tien dos centros
elipticos.
9-¿Dónde encontramos elipses? En las estaciones de metro, la arquietectura
renacentiasta, el balón de ruttbi, piedras...
10- ¿Dónde aparece la parábola? En el baloncest, en la fuente cuando suben el
agua, en el futbol.
11-¿Quién descubrio la parábola? Galileo al principio del siglo XVII
OPINIÓN PERSONAL
18. Este trabajo que hemos realizado nos a parecido muy interesante porque
nos hemos dado de muchas cosas de nuestro alrededor que se componen
de todas la figuras cónicas. Estaría bien que todo el mundo supiese algo
acerca de las cónicas y de las situaciones en las que se representa.
El caso mas curioso para nuestra opinión es el ejemplo de la estación de
tren, ya que es un lugar muy transitado, y la mayoria de la gente no sabe
esa representación cónica.
Lo mas complicado que nos a resultado hacer en este trabajo ha sido los
trazados de la hiperbola.
