UD. MC. T5. Teoría de grafos y optimización de redes

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Presentación del Tema 5 (Teoría de grafos y optimización de redes) para la asignatura Métodos cuantitativos de 2º de Grado en Ingeniería en Organización Industrial, curso 2011/2012, de la Universidad de Deusto.

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UD. MC. T5. Teoría de grafos y optimización de redes

  1. 1. TEMA 5 TEORÍA DE GRAFOS Y OPTIMIZACIÓN DE REDES Ing. Alex Rayón Jerez http://www.alexrayon.es http://paginaspersonales.deusto.es/alrayon 2 de Diciembre del 2011Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
  2. 2. Índice de contenidos Introducción Definiciones Árbol de extensión o de extensión de mínimo peso Problemas de camino mínimo Recorridos en grafos Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
  3. 3. Introducción Primeras etapasSurge en el siglo XVIII con Euler (1707-1803)El problema de los puentes de KonigsbergResolución de problemas que pueden ser modelados mediante ungrafo y resueltos mediante algoritmos específicamente desarrolladospara un grafo Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial 3
  4. 4. Introducción El metro de LondresLa historia del metro de Londres tiene mucha relación con la Teoríade Grafos Más concretamente, con la Inmersión de Grafos (Graph Drawing) Permite explicar de forma sencilla la representación (inmersión) de un grafoPara un mismo conjunto de vértices y una misma lista deconexiones entre ellos, puede haber trazados con o sin cruces entrelas líneas.Depende del dibujo que se haga del grafo, de la inmersión que seelija, se pueden destacar, y por lo tanto aprovechar, una característicau otra del grafo Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial 4
  5. 5. Introducción El metro de Londres (II)Los primeros mapas del metro deLondres eran geográficos Dibujar sobre un plano de la ciudad los recorridos de las distintas líneasHarry Beck, ingeniero electrónicoempleado en el metro de Londres, sepercató en 1931 de que al usuario no leinteresaba conocer el recorrido del metrobajo tierra Simplemente le interesaba conocer la posición relativa de las líneas y estaciones para realizar los trasbordos que necesitase Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial 5
  6. 6. Introducción El metro de Londres (III)Más que un diseño geográfico, resultaría más útil un diseñotopológico Menos curvas y direcciones en las líneas De broma, hizo su primer diseño basado en los utilizados en circuitos eléctricosEn 1936, entre otros cambios, eliminó curvas y sólo permitió ángulosde 45º y 90ºEn 1940, se incorporaron ángulos de 60º también, idea que sedesechó por enturbiar la claridad del plano Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial 6
  7. 7. Introducción El metro de Londres (IV)Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial 7
  8. 8. Introducción El metro de NYC“1972, Massimo Vignellidesigned a diagrammatic mapfor the New York City subway” “...the map was created in B.C. (before computer) for the A.C. (after computer) era.”Nueva versión en la M.T.A.’sThe Weekender Web site Contenido semántico en tiempo real (obras, fines de semana, mapa del barrio sobre el que se pasa, etc.) Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial 8
  9. 9. DefinicionesUn grafo, desde el punto de vista geométrico intuitivo, no es más queun conjunto de puntos en el espacio o vértices, que estánconectados mediante un conjunto de líneas o aristasUn grafo se define mediante dos conjuntos (G), el conjunto de losvértices del grafo (V) y el conjunto de las relaciones existentes entrelos vértices (A) G = (V , A) donde V = {1,2,3,4} A = { (1,2), (1,3), (2,3), (2,2), (3,4), (4,2), (4,3)}Tamaño del grafo: nº de aristasOrden del grafo: nº de vértices Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial 9
  10. 10. Definiciones (II)Un grafo dirigido o red es un conjunto de nodos, nudos o vértices unidospor arcos (así cada arco es un par ordenado de vértices)Un bucle es un arco de la forma (a,a) como por ejemplo el arco (2,2)Una arista es un arco sin orientación es decir, no ordenado y que puede serutilizado en el sentido que se deseeUn grafo no dirigido es un conjunto de vértices y un conjunto de aristasUn multigrafo es un grafo en el que existen un par de vértices unidos pormás de una aristaUna cadena es una secuencia de aristas o de arcos sin considerar suorientación, que une un par de nodos. En el ejemplo, la secuencia de arcosque unen el nodo 4 con el 1 sería: (4,2) (2,1).Un camino es una cadena en la que todos los arcos tienen la mismaorientación Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial 10
  11. 11. Definiciones (III)Un grafo es conexo si cualquier par de vértices está unido por almenos una cadena (se dice fuertemente conexo si cualquier par devértices está unido por al menos un camino)Un ciclo es todo circuito que no contiene vértices repetidos exceptoel vértice extremoUn árbol es un grafo conexo y sin ciclosUn grafo se puede almacenar a través de la matriz de incidencia y/ola matriz de adyacencia: La matriz de incidencia de un grafo no dirigido es una matriz con tantas filas como nodos n y tantas columnas como aristas m tiene el grafo definiéndose sus elementos como: 1 si el nodo i pertenece a la arista j bij =  0 otro caso Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial 11
  12. 12. Definiciones (IV)La matriz de incidencia de un grafo dirigido es igual pero se marcacon -1 el nodo inicial y con +1 el nodo final del arco Esta matriz tendrá únicamente dos elementos distintos de cero en cada columna (si hubiera un bucle sólo habría uno)La matriz de adyacencia de un grafo es una matriz cuadrada de tantasfilas y columnas como número de nodos y cuyos elementos sedefinen como: 1 si existe un arco (arista) del nodo i al j aij =  0 otro casoEn el caso de un grafo no dirigido esta matriz es simétrica Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial 12
  13. 13. Definiciones (V)Cálculo de las matrices correspondientes de adyacencia e incidenciade los siguientes grafos: Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial 13
  14. 14. Árbol de extensiónPartiendo de un grafo no dirigido G=(V,E), un árbol de extensión esun árbol que incluye todos los vértices de G y sus aristas estánincluidas en EDado un grafo no dirigido G=(V,E), con “pesos” en sus aristas, elproblema de optimización que se plantea sobre él, asociado al árbolde extensión es el problema del árbol de extensión de mínimo peso Consiste en obtener a partir del grafo original un árbol que conecte todos los vértices y cuya suma de los pesos de sus aristas sea mínima Diseño de una red con el objetivo de que tenga la menor longitud o coste global posible Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial 14
  15. 15. Árbol de extensión (II)Solución a este problema Algoritmo de Kruskal Algoritmo de Prim Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial 15
  16. 16. Problema de camino mínimo IntroducciónEl problema de los caminos más cortos es el problema que consisteen encontrar un camino entre dos vértices (o nodos) de tal maneraque la suma de los pesos de las aristas que lo constituyen es mínima Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial 16
  17. 17. Problema de camino mínimo Introducción (II)“GPS Data on Beijing Cabs Revealsthe Cause of Traffic Jams” Investigadores de la Microsoft Research Asia han dividido la ciudad en regiones (figura contigua), analizando cómo los taxis se mueven a través de ellas Si se puede tomar un camino directo entrea A y B, y un taxista toma un camino alternativa... ¿qué pasa?Algoritmo aplicable a ciudades conmucha densidad de taxis (Mexico City,Bangkok, Tokyo, New York, BuenosAires y Moscow) Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial 17
  18. 18. Problema de camino mínimo EnunciadoSe trata de buscar el camino más corto de un vértice a todos losdemásSe denominan en plural “Problemas de camino mínimo” porqueexisten varios planteamientos posibles dentro de esta definición: Camino mínimo de un origen a un destino. Caminos mínimos de un vértice a todos los demás. Caminos mínimos de todos a todos los vértices. Etc.Nosotros nos centraremos en el segundo de ellos Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial 18
  19. 19. Problema de camino mínimo Enunciado (II)El primer paso consiste en comprobar que no existan circuitos delongitud negativa Solución a través del algoritmo de DijkstraSi hubiera longitudes negativas se debiera resolver por el algoritmode Bellman-Ford Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial 19
  20. 20. Problema de camino mínimo SoluciónAlgoritmo de Dijkstra Ir obteniendo el camino mínimo en cada iteración al vértice transitorio con longitud menor desde el origen, ya que al no existir arcos con longitud negativa , nunca será posible disminuir ese valor pasando por ningún nodo cuya distancia sea mayor Una vez asegurada que la distancia obtenida hasta ese vértice es la menor posible, se actualizan las demás etiquetas transitorias, viendo si existe un camino más corto a estos nodos a través del nodo recién etiquetado Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial 20
  21. 21. Recorrido en grafos RecorridosSon formas de recorrer un grafo (sus nodos y/o sus aristas)cumpliendo determinadas condicionesSu forma clásica responde a problemas en los que no se incluyeningún tipo de optimización El objetivo es encontrar una solución factible al problema planteado, sin embargo a partir de ellos se han formulado nuevos problemas con la optimización ya integrada Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial 21
  22. 22. Recorrido en grafos ProblemasEl ciclo euleriano y su problema: El cartero chinoEl ciclo hamiltoniano y su problema El viajante Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial 22
  23. 23. ReferencesLibros y PublicacionesRobinson, R. (1999) “Welcome to OR Territory” OR/MS Today pp. 40-43, August.Sitios webMind the map [online]. URL: http://seispalabras-clara.blogspot.com/2011/09/mind-map.htmlAhead of Its Time | An Icon Goes Digital [Online]. URL: http://tmagazine.blogs.nytimes.com/2011/09/16/ahead-of-its-time-an-icon-goes-digital/GPS Data on Beijing Cabs Reveals the Cause of Traffic Jams [Online]. URL: http://www.stumbleupon.com/su/2ttEz5/www.technologyreview.com/communications/38679/Problema del camino más corto [Online]. URL: http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_del_camino_m%C3%A1s_corto Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
  24. 24. Copyright (c) 2011 Alex Rayón JerezThis work (but the quoted images, whose rights are reserved to their owners*) is licensed under the Creative Commons “Attribution-ShareAlike” License. To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ * Referencias de la transparencia anterior. Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
  25. 25. Profesor: Ing. Alex Rayón Jerez Bilbao, Septiembre 2011 2º de Grado en Ingeniería en Organización Industrial Facultad de Ingeniería Universidad de DeustoDepartamento de Tecnologías Industriales, Facultad de Ingeniería, Universidad de Deusto Avda. de las Universidades, 24, 48007 Bilbao, País Vasco, España Alex Rayón Jerez alex.rayon@deusto.es Para contactar conmigo, muchas formas :-) http://alexrayon.es/alex-rayon-20/ Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial

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