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Modelos relaciones y variables
 

Modelos relaciones y variables

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aplicacion de modelos y relaciones del modulo de matematicas en la licenciatura de matematicas en

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    Modelos relaciones y variables Modelos relaciones y variables Document Transcript

    • MODELOS REALACIONES Y VARIABLESHISTORIALa historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia,donde fueron capaces de resolverecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (a ), así comoecuaciones indeterminadas como + = con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvíancualquier ecuación cuadrática empleandoesencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. Tambiénfueron capaces de resolver algunasecuaciones indeterminadas.Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con latradición de Egipto y Babilonia, aunque ellibro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel ypresenta muchas soluciones sorprendentes paraecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobreresolución de ecuaciones encontró, a su vez,acogida en el mundo islámico, en donde se le llamó ciencia dereducción y equilibrio. (La palabra árabeal-jabru que significa `reducción, es el origen de la palabraálgebra). En el siglo IX, el matemáticoal-Jwðrizmð; escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra,una presentación sistemática de la teoríafundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostracionesincluidas. A finales del siglo IX, el matemáticoegipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales eidentidades del álgebra, y resolvióproblemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen
    • x + y + z = 10, + = , y xz = .CONSTANTES Y VARIABLES CONSTANTE En la mayoría de los cálculos intentamos encontrar un número. Por ejemplo, el área de un terreno rectangular de 25 metros de longitud y 40 metros de anchura (o yardas o pies) es 25 x 40 = 1000 m2 Hasta que llevemos a cabo la multiplicación, podemos representar la respuesta por alguna letra, normalmente la x, y escribir 25 x 40 = x Podemos decir que "x simboliza una cantidad desconocida". La idea fundamental del álgebra es muy simple: VARIABLE La cantidad desconocida x es un número como cualquier otro. Se puede sumar, restar, multiplicar o dividir de la misma forma que los números comunes. A la relación matemática que implica a números conocidos (como 25 o 40) y a desconocidos (como x) se la conoce como una ecuación. A veces no tenemos x de una forma tan clara como anteriormente, sino que está dentro de alguna expresión complicada. Para obtener una solución, deberemos reemplazar la susodicha ecuación (o ecuaciones) por otras que contengan la
    • misma información pero de forma más clara. El objetivo final es aislar la incógnita, para que parezca aparte, para proporcionar a la ecuación la antedicha fórmula, a saber x = (expresión conteniendo solo números conocidos) Una vez alcanzado esto, el número que representa la x puede calcularse rápidamente. Por ejemplo: "¿Cual es el número que si lo dobla, luego le suma 5 y luego divide esa suma por 3, obtiene 3?" Llame a ese número x. La declaración hecha mediante palabras puede también escribirse por medio de una ecuación: (2x + 5)/3 = 3 El paréntesis encierra las cantidades que se manejan como un número único, y 2x significa "2 veces x". En álgebra, los símbolos (o paréntesis) colocados junto a otros se sobreentiende que están multiplicados. Si sigue esta regla, nunca se confundirá por la similitud entre la letra x y el signo de la multiplicación. Los programas de computadora, en cambio, normalmente representan la multiplicación mediante *, colocado un poco más bajo que aquí. PROPIEDADESFACTORIZACION DEFINICION En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el
    • factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + bCASOSFACTORIZACION Caso I - Factor común Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer térmi no más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes. Factor común polinomio Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos. un ejemplo: Caso II - Factor común por agrupación de términos Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Un ejemplo numérico puede ser: entonces puedes agruparlos de la siguiente manera: Aplicamos el caso I (Factor común) Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al
    • segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.Ejemplo 1:Ejemplo 2:Caso IV - Diferencia de cuadradosSe identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Seresuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), unonegativo y otro positivo.O en una forma más general para exponentes pares:Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, elresultado nos da r+1 factores.Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracciónSe identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hayque completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces , el valor que sesuma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.Nótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están a modo de aclaración visual.Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + cSe identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de elloses el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocanla raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado eltérmino independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado eltérmino del medio.Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + cSe identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de elloses el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocanla raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado eltérmino independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado eltérmino del medio.Ejemplo:
    • Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la nLa suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que nsea un número impar):Quedando de la siguiente manera:Ejemplo:La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedandode la siguiente manera:Ejemplo:Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de estageneralización.Caso VIII - Trinomio de la forma ax2 + bx + cEn este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, laletra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer términoes un término independiente, o sea sin una parte literal, así:Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica el término independiente por elcoeficiente del primer término(4x2) :Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado eltérmino independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado enparéntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2 :
    • Queda así terminada la factorización : Caso IX - Cubo perfecto de Tetranomios eniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que: EJERCICIOS taller de factorizacionECUACIONES Y SUSTITUCIONES DEFINICION Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación. Ejemplo: La ecuación: 3X - 8 = 10 sólo se cumple para X = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que X = 6 es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por ejemplo, X = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo)
    • Resolver una ecuación es hallar los valores de X que la satisfacen a través detécnicas matemáticas variadas. Si la ecuación es de primer grado, un despeje es elprocedimiento general. Si el grado de la ecuación es superior a uno, deben utilizarseotros métodos.SOLUCIONUna ecuacion tiene solucion cuando se encuentra el valore de las variables, una ecuacion puedeno tener solucion, tener una unica solucion o tener infinita solucionesECUACION LINEALUna ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrandouna o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir,una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En elsistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es: y=m x+bDonde m representa la pendiente y el valor de b determina la ordenada al origen (el punto dondela recta corta al eje y).Las ecuaciones en las que aparece el término xy (llamado rectangular) no son consideradaslineales.Algunos ejemplos de ecuaciones lineales: 3x + 2y = 5 3x + y -5 = -7x + 4y +3 x - y + z = 15 3x - 2y + z = 20 x + 4y - 3z = 10 GRÁFICA
    • PROBLEMAS 1.Halle el área y perímetro del tríángulorectángulo mostrado. Las dimensiones están en metros 2.ECUACION CUADRATICA DEFINICION Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones. 3.- Soluciones de una ecuación cuadrática: Fórmula resolvente El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuación general de la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 hasta que la X quede despejada. Dicho procedimiento no será cubierto en este documento. La solución de una ecuación de segundo grado es la llamada fórmula resolventUna ecuación de segundo grado, ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayorexponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece unaincógnita y que se expresa en la forma canónica: a + bx + c = 0donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficientelineal o de primer grado y c es el término independiente.Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma: a +b +c=0
    • con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 seconoce como ecuación bicuadrática.La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos, ya que junto con lasecuaciones lineales, permiten modelar un gran número de relaciones y leyes. GRÁFICA FÓRMULA a ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general: x= x= x= son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones racionales del álgebra elemental. Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada): podremos saber el número y naturaleza de las soluciones: 1. Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo, >0 (la parábola
    • cruza dos veces el eje x); 2. Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es cero, = 0 (la parábola sólo toca en un punto al eje x); 3. Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo, < 0 (la parábola y el eje x no se cruzan). PROBLEMAS 1.La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números 2.El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala. 3.Halle el área y perímetro del tríángulorectángulo mostrado. Las dimensionesestán en metrosECUACION CUBICA DEFIFNICION Una ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica: a números reales o el de los números complejos. FORMULAS Ecucaion cubica ecuacion cubica GRAFICAECAUCION LOGARITMICA
    • DEFINICION DE LOGARITMO Y PROPIEDADESLa Logaritmación es una operación entre dos números reales a y b, llamados base y argumentorespectivamente, que se define como sigue:log a b = c Û ac = b, siendo a > 0 , a ¹1 y b>0Ejemplos: log 2 8 = 3 pues 23 = 8 log 4 16 = 2 pues 42 = 16 log 6 1 = 0 pues 60 = 1 PROPIEDADES Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia. El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando. En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:DEFINICION Una ecuación es Logarítmica cuando la incógnita está afectada por la logaritmación. Para resolver ciertas ecuaciones logarítmicas se debe aplicar la definición de dicha operación.Luego de obtenidos los valores, se deben verificar, descartando aquellos que no cumplan conlas condiciones de la logaritmaciónLog 2(x-1) = -1x-1 = 2-1x= 3/2GRAFICA
    • EJERCICIOS a) log 6 (x+5) = 2 + 2 log 6 x b) (log 4 x)2 + log 4 x3 + 2 = 0 c) log 5 (x+12) = log 5 (x+2) + log 5 5ECAUCION EXPONENCIAL Definicon y propiedades Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente. Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta: a0 = 1 a1 = a ecuacion_exponencial003 ecuacion_exponencial004 am : an = am - n
    • an : bn = (a : b)nPara resolver una ecuación exponencial vamos a seguir los siguientes pasos:Uno: Si los dos miembros de la igualdad tienen distinta base, debemos reducirlos a la mismabase.Ejemplo:na vez que tenemos la misma base en los dos miembros, igualamos los exponentes yresolvemos la ecuación:Reducimos a la misma baseEl primer término es una potencia elevada a potencia, y lo expresamosEsta ecuación exponencial es una ecuación de segundo grado. Para resolverla, es necesario eluso de incógnitas auxiliares. Así el problema se simplifica y es fácil comprobarlo.La incógnita auxiliar para esta ecuación exponencial es:A continuación se reemplaza con el valor de la incógnita auxiliar en la ecuación y se resuelve.z2 + z = 72z2 + z - 72 = 0Esta ecuación podría resolverse mediante la fórmula general para resolver ecuaciones desegundo grado, pero como corresponde al caso de factorización de un trinomio perfecto esconveniente por su rapidez utilizar dicha factorización. Se debe recordar que para hacerla hay
    • Factorizando queda: (z + 9) (z - 8) = 0 Luego se igualan ambos paréntesis a cero; se obtienen dos resultados y se elige el que sea correcto. z + 9 = 0 z - 8 = 0 z = -9 z = 8 De los dos resultados, el correcto es z = 8, porque 23 = 8. (Para resolver cualquier ecuación exponencial siempre deben igualarse las bases; en este ejercicio todas las bases deben ser 2). Sabiendo que z = 8; ahora se debe reemplazar el valor de la incógnita y resolver: 2(x+1) = 8 2(x+1) = 23 x + 1= 3 x=2 Comprobación: 4(x+1) + 2(x+1) = 72 4(2+1) + 2(2+1) = 72ECAUCIONES TRIGONOMETRICAS
    • TALLER GENERAL1,2.3.4.5.6.7.8.9.1011.1213.131415.1617.18.19.
    • 20 21 22. 23.SISTEMAS DE ECUACIONES SISTEMA DE 2X2 DEFINICION Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común. La solución de un sistema es un par de números , tales que reemplazando x por e y por se satisfacen a la vez ambas ecuaciones. x = 2, y = 3 SITEMA DE 3X3 sitema 3x3
    • FÓRMULASFUNCIONES DEFINICION Una funcion es un tipo especial de relacion entre elementos de dos conjuntos. Un conjunto inicial llamado Dominio y un conjunto Final llamado Imagen, una funcion asigna a cada elemento del dominio un elemento de la Imagen Para que una relacion sea funcion se deben cumplir dos condiciones Una función es una relación entre dos variables numéricas, habitualmente las denominamos x e y; a una de ellas la llamamos variable dependiente pues depende de los valores de la otra para su valor, suele ser la y; a la otra por tanto se la denomina variable independiente y suele ser la x. GRAFICA CLASES
    • Funciones algebraicasEn las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variableindependiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.Las funciones algebraicas pueden ser:Funciones explícitasSi se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.f(x) = 5x - 2Funciones implícitasSi no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuaroperaciones.5x - y - 2 = 0Funciones polinómicasSon las funciones que vienen definidas por un polinomio.Su dominio es R, es decir, cualquier número real tiene imagen.Funciones constantesEl criterio viene dado por un número real.
    • f(x)= kLa gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.Funciones polinómica de primer gradof(x) = mx +nSu gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.Función afín.La función afín es del tipo:y = mx + nm es la pendiente de la recta.La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.y = 2x - 1x y = 2x-10 -111funciónFunción lineal.y = mxSu gráfica es una línea recta que pasa por el origen decoordenadas.y = 2xx 0 1 2 3 4y = 2x 0 2 4 6 8gráfica
    • Función identidad.f(x) = xSu gráfica es la bhttp://www.vitutor.co.uk/fun/images/identidad.gifisectriz del primer y tercercuadrante.Funciones cuadráticas
    • f(x) = ax² + bx +cSon funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. Representación gráfica de la parábola Podemos construir una parábola a partir de estos puntos: 1. Vértice Vértice Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola. La ecuación del eje de simetría es: eje 2. Puntos de corte con el eje OX En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax² + bx +c = 0 Resolviendo la ecuación podemos obtener: Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² - 4ac > 0 Un punto de corte: (x1, 0) si b² - 4ac = 0 Ningún punto de corte si b² - 4ac < 0 3. Punto de corte con el eje OY En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: Representar la función f(x) = x² - 4x + 3. 1. Vértice V(2, -1) 2. Puntos de corte con el eje OX x² - 4x + 3 = 0 ecuación (3, 0) (1, 0) 3. Punto de corte con el eje OY (0, 3)
    • GráficaFunciones a trozosSon funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.El dominio lo forman todos los números reales menos el 4 Función parte entera de x Es una función que a cada número real hace corresponder el número entero inmediatamente
    • inferior.f(x) = E (x)x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2Función mantisaFunción que hace corresponder a cada número el mismo número menos su parte entera.f(x) = x - E (x)x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2f(x) = x - E(x) 0 0.5 0.9 0 0.5 0.9 0Función signof(x) = sgn(x)Función signoFunciones en valor absoluto.Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo lossiguientes pasos:1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x esnegativa se cambia el signo de la función.4 Representamos la función resultante.
    • D= R
    • D=RFunciones racionalesEl criterio viene dado por un cociente entre polinomios:Función racionalEl dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan eldenominador.Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:
    • Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones.
    • Funciones radicalesEl criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.El dominio de una función irracional de índice impar es R.El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores quehacen que el radicando sea mayor o igual que cero. CRITERIOS El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. Función radical de índice impar El dominio es R. Dominio de una función irracional de índice impar Dominio de la función irracional de índice impar Función radical de índice par El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
    • Funciones trascendentesLa variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectadadel signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría. Función exponencial Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia se llama función exponencial de base a y exponente x. x y = 2x -3 1/8 -2 1/4 -1 1/2 01 12 24 38 graph of exponential function
    • Propiedades de la función exponencial Dominio: R. Recorrido: R +. Es continua. Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica. Es inyectiva todaac a 1(ninguna imagen tiene más de un original). Creciente si a >1. Decreciente si a < 1. Las curvas y = e y = son simétricas respecto del eje OY.Funciones logarítmicasLa función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.x log1/8 -31/4 -2
    • 1/2 -110214283Logarithmic Function Propiedades de las funciones logarítmicas Dominio: R + Recorrido: R Es continua. Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica. Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original). Creciente si a>1. Decreciente si a<1.Funciones trigonométricas Función seno f(x) = sen x
    • Dominio: ErreRecorrido: [-1, 1]Período: PropiedadesContinuidad: Continua en PropiedadesImpar: sen(-x) = -sen xFunción cosenof(x) = cos xDominio: ErreRecorrido: [-1, 1]Período: PropiedadesContinuidad: Continua en PropiedadesPar: cos(-x) = cos xFunción tangentef(x) = tg x
    • Dominio: PropiedadesRecorrido: ErreContinuidad: Continua en PropiedadesPeríodo: PropiedadesImpar: tg(-x) = -tg xFunción cotangentef(x) = cotg x
    • Dominio:RecorridoContinuidad: Continua enPeríodo:Impar: cotg(-x) = -cotg xFunción secantef(x) = sec x
    • Dominio:Período:Continuidad: Continua enPar: sec(-x) = sec xFunción cosecantef(x) = cosec x
    • Dominio: Período: Continuidad: Continua en Impar: cosec(-x) = -cosec x PROPIEDADESPRINCIPIOS BÁSICOS DE TRIGONOMETRIA
    • RELACIONES TRIGONOMETRICAS DEFINICIONES EJERCICIOS Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos EJERCICIOS Razones trigonométricas del ángulo doble EJERCIOS
    • Razones trigonométricas del ángulo mitad EJERCICICOS
    • Transformaciones de sumas en productos EJERCICIOSTransformaciones de productos en sumas EJERCICIO
    • IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALESRelación seno cosenoRelación secante tangenteRelación cosecante cotangente EJERCICIOS
    • ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
    • DEFINICIONEn las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas ypor tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten entodas las vueltas.Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias paratrabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidadestrigonométricas fundamentales. EJEMPLOS Resuelve las ecuaciones trigonométricas: 1. 2.
    • 3.Dividimos por 2 en los dos miembros e igualamos cada factor a 0.4.5.
    • 6.7.
    • EJERCICIOSBIBLIOGRAFIATALLER