2. Nº Tema Páginas
1 Conceptos fundamentales de estadística 2,3
2 Tablas de frecuencia 4,5,6
3 Medidas de tendencia central 7,8,9
Evaluación 10
4 Gráficos estadísticos 11,12
5 Moda y Mediana para datos agrupados 14,15
6 Cuartiles para datos no agrupados 16
7 Cuartiles para datos agrupados 17
Evaluación 21
2
3. Tema: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ESTADÍSTICA
Objetivo: Reconocer algunos conceptos fundamentales de la estadística
Materiales: Recortes de periódicos y revistas que muestren datos estadísticos
Conceptos:
CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ESTADÍSTICA
ESTADÍSTICA.
La estadística está ligada con los métodos científicos en la toma, organización, recopilación, presentación y
análisis de datos, tanto para la deducción de conclusiones como para tomar decisiones razonables de acuerdo
con tales análisis.
En un sentido más estricto, el término se utiliza para denotar los mismos datos o números que se derivan de
ellos, como, por ejemplo, promedios. Así se habla de estadística de empleo, estadística de accidentes etc.
Ejercicio: De un periódico recorte datos que representen estadísticas
POBLACIÓN Y MUESTRA
En una colección de datos que atañen a las características de un grupo de individuos u objetos, tal como las
alturas y pesos de los estudiantes de un colegio o el número de cerrojos defectuosos y no defectuosos
producidos por una fábrica en un día determinado, es a menudo imposible o poco práctico observar la
totalidad de los individuos, sobre todo si éstos son muchos. En lugar de examinar el grupo entero llamado
POBLACIÓN o UNIVERSO, se examina una pequeña parte del grupo llamada MUESTRA.
Una población puede ser finita o infinita. Por ejemplo, la población consistente en todos los cerrojos
producidos por una fábrica en un día determinado es finita, mientras la población formada por todos los
posibles sucesos (caras, sellos) en tiradas sucesivas de una moneda es infinita.
Si una muestra es representativa de una población, se pueden deducir importantes conclusiones acerca de ésta,
a partir del análisis de la misma.
Ejercicio: Escriba 5 ejemplos de población y de muestras de las mismas.
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INDUCTIVA
L aparte de la estadística que trata de las condiciones bajo las cuales tales inferencias son válidas se llama
ESTADÍSTICA INDUCTIVA O ESTADÍSTICA INFERENCIAL.
Al no poder estar absolutamente ciertos de la veracidad de tales inferencias, se ha de utilizar con frecuencia en
estas conclusiones el término de PROBABILIDAD.
La parte de la estadística que trata solamente de describir y analizar un grupo dado sin sacar conclusiones o
inferencias de un grupo mayor se llama ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA o DEDUCTIVA.
VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS
Una variable es un símbolo, tal como X, Y, H, x, B, que puede tomar un valor cualquiera de un conjunto
determinado de ellos, llamado dominio de la variable. Si la variable puede tomar solamente un valor se llama
constante.
Una variable que teóricamente puede tomar cualquier valor entre dos valores dados se llama variable
CONTINUA, si no es así se llama DISCRETA.
Ejemplo 1: En una familia el número N de hijos puede tomar cualquiera de los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,….,
pero no puede ser 2,5 o 3,842; es pues una VARIABLE DISCRETA.
Ejemplo 2: La altura H de un individuo puede ser 1,6 m 1,62 metros o 1,625 metros, dependiendo de la
exactitud e la medida; es una VARIABLE CONTINUA.
REDONDEO DE DATOS.
3
4. El resultado de redondear un número tal como 72,8 al entero próximo es 73, puesto que 72,8 está más cerca
de 73 que 72. Análogamente, 72,8146 redondeado al número decimal con dos decimales será 72,81, puesto
que 72,8146 está más cerca de 72,81 que de 72,82.
En el redondeo de 72,465 a un decimal con aproximación de centésimas, nos encontramos con el dilema de
que 72,465 está justamente a la mitad de recorrido entre 72,46 y 72,47. Se acostumbra en tales casos
redondear al número par más próximo que antecede al cinco. Así, 72,465 se redondea a 72,46; 183,575 se
redondea a 183,58; redondeando 116.500.000 con aproximación de millones será 116.000.000. Esta
práctica es especialmente útil al minimizar la acumulación de errores de redondeo cuando se abarca un
número grande de operaciones.
Estadística Descriptivathales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-
indice.html -
Tema: TABLAS DE FRECUENCIAS
Objetivo: Construir una tabla de frecuencias
Conocimientos previos: Conceptos fundamentales de estadística
Conceptos:
TABLAS DE FRECUENCIAS
2.1 TOMA DE DATOS: La toma de datos es la obtención de una colección de los mismos
que no han sido ordenados numéricamente. Un ejemplo es la edad de 50 estudiantes del
grado 10º de la sección nocturna de la IE María Montessori.
2.2 ORDENACIÓN: Una ordenación es una colección de los datos numéricos tomados,
en orden creciente o decreciente de magnitud. La diferencia entre el mayor y el menor de
los números se llama Recorrido o Rango de los datos. Por ejemplo, si la mayor edad de los
estudiantes es 60 años y la menor es 15 años entonces el rango es 60 - 15 = 45 años.
2.3 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA. Cuando se dispone de gran número de
datos, es útil el distribuirlos en clases o categorías y determinar el número de individuos
pertenecientes a cada clase, que es la frecuencia de clase. Una ordenación tabular de los
datos en clases, reunidas las clases y con las frecuencias correspondientes a cada una, se
conoce como una Distribución de frecuencias o Tabla de frecuencias.
La tabla de distribución de frecuencias se hace agrupando el conjunto de datos numéricos
en clases o intervalos apropiados. Este procedimiento lo explicaremos mediante el
desarrollo del siguiente ejercicio.
Los siguientes datos se recopilaron con el fin de determinar la edad de 50 estudiantes del
grado 10º de la sección nocturna de la IE María Montessori. Así los datos obtenidos fueron
los siguientes:
42302520312517251919
22426019181920171716
42202016151620191615
20154230152519151615
17201820151918171615
Organizando este conjunto de datos en forma ascendente y haciendo el correspondiente
recuento (número de veces que se repite cada valor) obtenemos el registro indicado a
continuación. Observemos que el valor máximo es 60 y el menor es 15.
Edades de 50 estudiantes del grado 10º de IE María montessori sección nocturna.
Edad Nº de veces que se repite
4
5. 15 8
16 6
17 5
18 3
19 7
20 8
22 1
25 4
30 2
31 1
42 4
60 1
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
En la anterior ordenación la variable X toma muchos valores diferentes y algunos de ellos
tienen una frecuencia tan pequeña que no se justifica considerarlos por separado. Además,
no podemos visualizar claramente las medidas de tendencia central y su cálculo se dificulta
por la cantidad de operaciones que deben realizarse. Por tanto, es necesario agrupar los
datos en clases o intervalos.
Para agrupar este conjunto en clases o intervalos de datos debemos seguir los siguientes
pasos:
1er paso: Rango o recorrido
Calculamos el rango o recorrido que representamos por R y que es la diferencia entre el
Xmáx y el Xmín.
R = Xmáx - Xmín
R = 60 – 15 = 45
Un rango de 45 años significa que la diferencia entre la mayor edad y la menor es 45 años.
2º Paso: Elección del número de intervalos
Determinamos el número K de clases o intervalos en que vamos a agrupar los datos. No
existe una regla única para fijar el K, pero generalmente varía entre 5 y 20 ( 20k5 ≤≤ )
dependiendo del tamaño n de la muestra; su elección queda al criterio del lector. Elijamos
para agrupar nuestra muestra un número K = 7 de clases o intervalos.
3er Paso: Amplitud de intervalos o clases
Repartimos el rango en clases o intervalos de la misma longitud o amplitud. Si a representa
la amplitud de cada intervalo, entonces:
k
R
a = 4,6
7
45
a ==→
Cuando los datos sean valores enteros de la variable, entonces el cociente
k
R
debe ser un
número entero. Si no ocurre que
k
R
es entero, como en nuestro ejemplo ( 6,4
k
R
= ),
debemos aproximar a al número entero más próximo por encima, es decir a = 7.
4º Paso: Límite de intervalos
Si K = 7 y a = 7, entonces el rango que vamos a repartir ya no es R = 45 sino 7 x 7 =
49. Este nuevo rango se representa por Ra y se llama rango ampliado.
Si Ra - R es la cantidad en que se amplía el rango, entonces en esta misma cantidad se
debe ampliar el Xmáx o disminuir el Xmín ( o ambos) para que se cumpla:
Ra = Xmáx – Xmín.
En nuestro ejemplo: 49 = 64 – 15 ó 49 = 60 – 11 ó 49 = 62 - 13
5
6. Si aumentamos el Xmáx en 4, entonces el Xmáx = 64 es el límite superior del último
intervalo.
Si al límite inferior Li = 15 del primer intervalo se le adiciona la amplitud a = 7, el
resultado Ls = 15 + 7 = 22 es el límite superior del primer intervalo, Así:
Li Xmín. 15
Primera clase Ls = Xmín + Amplitud
Ls = Li + a
Ls = 15 + 7 = 22
La primera clase está formada por todos los valores de x entre 15 y 22 años.
La segunda clase tiene como límite inferior el límite superior de la primera clase y como límite superior el
inferior aumentado en la amplitud.
Segunda clase 22 - 29
Este procedimiento se repite hasta obtener un número (K = 7) de intervalos ya establecido que tiene a 64
como límite superior del último intervalo. (Ver tabla).
Clase Intervalo Marca
de clase:
Xi
Frecuencia
absoluta:
fi
Frecuencia
absoluta
acumulada:
Fi
Frecuencia
relativa
porcentual
100.
n
fi
=
%
Frecuencia
porcentual
acumulada
%
Xi.fi
1º 15 - 22 18,5 37 37 0,74=74% 74% 684.5
2º 22 - 29 25,5 5 42 0,10=10% 84% 127.5
3º 29 - 36 32,5 3 45 0,06=6% 90% 97.5
4º 36 - 43 39,5 4 49 0,08=8% 98% 158
5º 43 - 50 46,5 0 49 0,00=0% 98% 0
6º 50 - 57 53,5 0 49 0,00=0% 98% 0
7º 57 - 64 60,5 1 50 0;02=2% 100% 60.5
Total n=50 1,00=100%
Cuando el cociente
k
R
es exacto y no hay necesidad de ampliar el rango, tanto el límite inferior del primer
intervalo como el límite superior del último intervalo coinciden con los x mín. y x máx.
5º paso: Marcas de clase: Como en cada intervalo podemos considerar infinitos valores reales de la
variable x, debemos tomar uno de ellos que nos represente la clase y nos permita hacer gráficas y
cálculos(como la media aritmética). A cada uno de estos valores se le llama marca de clase y su mejor
representante es el punto medio del intervalo (o valor central).
Si xi representa el punto medio del intervalo i-ésimo, entonces la primera marca de clase es:
5,18
2
2215
1 =
+
=x
Las otras marcas de clase se pueden obtener en forma similar, o sumando a la anterior la amplitud:
2x = 18,5 + 7 = 25,5
3x = 25,5 + 7 = 32,5
4x = 32,5 + 7 = 39,5
7X = 53,5 + 7 = 60,5
6º paso: Tabla de distribución de frecuencias: Si al elaborar la columna de las frecuencias absolutas, un
valor muestral coincide con uno de los límites del intervalo, convenimos en tomar ese valor en aquella clase
donde aparece como límite inferior del intervalo. Es decir, son intervalos cerrados –abiertos. Por ejemplo, el
valor 22 que aparece como límite superior del primer intervalo pertenece a la segunda clase.
El último intervalo lo tomamos cerrado para que el x máx. y los valores que coinciden con él no queden fuera
de la tabla.
En la tabla anterior indicamos las frecuencias absolutas, acumuladas, relativas y acumuladas porcentuales.
Un análisis de la tabla de distribución de frecuencias nos permite afirmar:
6
7. 37 estudiantes de los grados 10º sección nocturna de la IE María Montessori tienen unan edad entre 15 y 22
años correspondientes al 74% de la muestra.
De los 50 estudiantes 49 son menores de 43 años, lo cual corresponde al 98% de la muestra tomada.
Las edades más frecuentes están entre los 15 y 22 años, por tener esta clase la máxima frecuencia absoluta.
www.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica.htm
Tema: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Objetivo:
Reconocer la moda, la mediana y el promedio o media aritmética como
medidas de tendencia central
Calcular la moda y la mediana de datos no agrupados
Calcular el promedio o media aritmética de datos agrupados y no agrupados
Conocimientos previos: Tabla de frecuencias.
Conceptos
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Permiten un mejor análisis de los datos estadísticos. Las medidas de tendencia central son:
Moda, Mediana y Media.
Aclaremos a través de un ejercicio cada uno de estos conceptos.
Ejercicio: Sea x la variable que representa el número de faltas de asistencia al colegio de
los 50 alumnos de un curso durante un año escolar, x genera el siguiente conjunto de datos
numéricos:
3,2,3,4,1,2,3,4,3,3,3,5,6,6,5,3,4,1,2,3,2,5,1,3,3,3,2,4,1,2,2,3,3,5,5,6,3,4,4,1,2,4,3,7,7,3,7,6,5,
3.
Ordenemos los datos, representándolos mediante una tabla de frecuencias y calculemos las
medidas de tendencia central: Moda, Mediana, y Media.
Llene la siguiente tabla:
Xi =
Nº de
faltas
Frecuencia
absoluta:
fi
Frecuencia
absoluta
acumulada:
Fi
Frecuencia
relativa
porcentual
100.
n
fi
=
%
Frecuencia
porcentual
acumulada
%
Xi.fi
1
2
3
4
5
6
7 50 100%
Total n = 50 1,00 = 100% 175
7
8. 3.1 LA MODA. La moda de una serie de datos estadísticos, ordenados en una tabla de
frecuencias, es el valor de la variable que tiene la máxima frecuencia absoluta.
¿Cuál es la moda en el ejercicio realizado? __________
3.2 LA MEDIANA. La mediana de una serie de datos estadísticos numéricos, ordenados
en una tabla de frecuencias, es el valor de la variable tal que entre él y sus menores cubren
la mitad (50%) de la muestra.
Para determinar el valor de la mediana en el ejercicio dado podemos aplicar uno de los
siguientes procedimientos:
1. Tomamos el valor de x que corresponde a la frecuencia acumulada inmediatamente
superior a
2
n
.
Así:
2
n
=
50
2
= 25. La Fi inmediatamente superior a 25 es 30, al cual le
corresponde el valor X3 = 3.
Luego, mediana = Me= 3 faltas significa que la mitad del grupo faltó tres días o más al colegio.
2. En la columna de frecuencias acumuladas porcentuales, leemos aquel porcentaje que es
inmediatamente superior a 50% y tomamos como mediana el valor de X que le corresponde.
Así: 60% es la frecuencia acumulada porcentual inmediatamente superior al 50%; luego Me = 3 faltas.
Si
2
n
coincide con una frecuencia acumulada, entonces tomamos como mediana la semisuma del valor
Xi correspondiente con el siguiente Xi+1 . Es decir: 1
2
i ix x ++
.
3.3 PROMEDIO O MEDIA ARITMÉTICA. La media aritmética o simplemente Media de una serie
de datos estadísticos numéricos es un numero que se obtiene sumando todos los datos y dividiendo la
suma por el tamaño de la muestra.
Para calcular la Media cuando los datos se encuentran ordenados en una tabla de frecuencias,
procedemos de la siguiente manera:
Si los valores diferentes 1 2 3x , x , x ,..., ,kx se presentan con frecuencias absolutas 1 2 3 kf , f , f ,...f ,
entonces la media aritmética simbolizada por X es:
1 1 2 2 3 3 ...
X n
k kx f x f x f x f+ + +
= Donde n es el tamaño de la muestra.
Observa la tabla y mira el encabezado de la última columna Xi.fi, cada uno de esos datos equivale a la
variable multiplicada por su frecuencia absoluta, al sumar estos datos y dividirlos entre el tamaño de la
muestra que en este caso es 50 obtenemos el promedio.
Aplica la fórmula y obtiene el promedio de los datos. Obtendrás 3,5 faltas.
X =
50
=
X = 3,5 faltas nos indica que en promedio los estudiantes del grupo faltan 3,5 días durante el año
escolar.
Ejercicios:
1. La tabla dada a continuación muestra la información sobre el número de casos de urgencias atendidos
diariamente en un hospital durante un trimestre. Hallar la moda, mediana y media aritmética de la demanda
del servicio de urgencias en ese hospital.
Xi . fi Fi % Acumulado Xi.fi
15 3 3 3,33 45
18 4 7 7,78 72
19 10 17 18,89 190
21 16 33 36,67 336
22 12 45 50,00 264
25 12 57 63,33 300
28 16 73 81,11 448
8
9. 31 8 81 90,00 248
35 7 88 97,78 245
40 2 90 100,00 80
Total N = 90 2228
2. A una reunión asisten 6 personas con edades de15, 16, 18, 20, 12 y 14 años. ¿Cuál es la media aritmética?
¿Cuál es la mediana? ¿Cuál de estos valores es más representativo? ¿Por qué?
El tiempo en segundos registrado por un grupo de 40 atletas en los 100 metros planos, presenta el siguiente
conjunto de datos estadísticos numéricos:
13 12 12 11 10 12 14 14 11 12
12 11 11 12 13 13 14 12 10 16
13 13 12 12 12 14 14 14 13 14
11 11 12 12 14 12 12 11 10 12
a. Elaborar una tabla de frecuencias
b. Establecer el número de atletas con un tiempo de 13 segundos.
c. Establecer el porcentaje de atletas con un tiempo de 13 segundos
d. ¿Cuántos atletas recorren los 100 metros en un tiempo inferior a 13 segundos?
e. ¿Cuántos atletas recorren los 100 metros en un tiempo superior a 13 segundos?
f. ¿Qué porcentaje de los atletas recorre los 100 metros en un tiempo máximo de 13
segundos?
g. ¿Qué porcentaje de los atletas recorre los 100 metros en un tiempo mínimo de 13
segundos?
h. Determinar el tiempo modal del grupo de atletas
i. ¿Cuál es el tiempo promedio del grupo en los 100 metros?
j. ¿El 25% del grupo hace los 100 metros en un tiempo inferior o igual a qué valor?
k. ¿El 50% del grupo hace los 100 metros en un tiempo inferior o igual a qué valor?
l. ¿El 75% del grupo hace los 100 metros en un tiempo inferior o igual a qué valor?
Ejercicios de Medidas de Tendencia Central
1. Un urbanista tiene los siguientes lotes: l1 = 85 m2
; l2 = 120 m2
; l3 = 205 m2
; l4 = 186
m2
; l5 = 150 m2
; l6 = 136 m2
; l7 = 142 m2
. ¿Cuál es el área promedio de los lotes?
2. Las notas obtenidas por los alumnos de 10º grado en estadística fueron:
4 alumnos obtuvieron 30; 5 alumnos obtuvieron 40; 7 alumnos obtuvieron 50; 10
alumnos obtuvieron 60; 8 obtuvieron 70; 6 obtuvieron 80, 3 obtuvieron 90; 1 obtuvo 100.
Con los datos anteriores, completa la tabla.
Calcula la media aritmética o nota promedio obtenida por los alumnos.
Xi f i Xi . f i
30 4 120
40 5 200
50 7 350
60 10 600
70 8 560
80 6 480
90 3 270
100 1 100
TOTAL N=44 X=2680/44=60,90
3. Los tiempos en minutos empleados por un grupo de atletas en recorrer 15 Km.
Están representados en la siguiente tabla. Calcula el tiempo promedio empleado
por los atletas.
Tiempo Xi Frecuencia Absoluta f i Xi . f i
120 2
9
10. 130 5
135 4
180 7
200 10
215 8
230 4
4. Calcula la mediana y la moda en los ejercicios anteriores.
5. Calcula la mediana de los números: 15, 6, 3, 8, 10.
6. Calcula la mediana de los números: 3, 6, 7, 10, 15, 18.
Cibergrafía: Estadística es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica
EVALUACION
NOMBRE____________________________SEMESTRE___________FECHA______
1. Con los datos dados a continuación llene la tabla de frecuencias.
Las notas obtenidas por los alumnos de 10º grado en estadística fueron:
3 alumnos obtuvieron 30; 6 alumnos obtuvieron 40; 9 alumnos obtuvieron 50; 10
alumnos obtuvieron 60; 7 obtuvieron 70; 5 obtuvieron 80, 2 obtuvieron 90; 3 obtuvieron
100.
Con los datos anteriores, completa la tabla. (Cada columna vale 5 puntos)
Calcula la media aritmética o nota promedio obtenida por los alumnos. (Vale 5
puntos)
Halla la Moda y la Mediana. (Vale 5 puntos cada una)
Notas = Xi Frecuencia
Absoluta = fi
Frecuencia
Absoluta
Acumulada = Fi
Frecuencia
Relativa o
Porcentual = %
Frecuencia
Porcentual
Acumulada
Xi.fi
30
40
50
60
70
80
90
100 45 100%
Total 45 1,00 = 100%
Promedio =
45
x =
Moda =
10
11. Mediana =
Tema: GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
Objetivo:
Reconocer algunos gráficos estadísticos
Realizar gráficos estadísticos
Conocimientos previos: Tabla de frecuencias
Conceptos:
GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
Los gráficos estadísticos son formas vistosas de presentar los
resultados organizados en las tablas de frecuencias.
Existen muchos tipos de gráficos pero vamos a estudiar 3. Para
ello tomaremos como referencia la tabla de datos correspondiente
a los deportes preferidos de 50 estudiantes.
GRÁFICO DE SEGMENTOS: En este gráfico se representa
con un punto la intersección entre la variable estudiada en este
caso, el deporte preferido que se ubica en el eje X con su
frecuencia que se representa en el eje Y que en este caso es la
frecuencia
absoluta.
Luego se
unen los
puntos por
medio de
segmentos.
Deporte
Nº de
estudiantes
Fútbol 20
Basquet 15
Bolybol 10
Otros 5
Total 50
11
Deporte preferido
0
5
10
15
20
25
Fútbol Basquet Bolybol Otros
Nºdeestudiantes
Nº de estudiantes
12. GRÁFICO DE BARRAS: En este gráfico se ubican en el eje
horizontal la variable estudiada (Deporte preferido) y por medio
de barras verticales se representa la frecuencia absoluta,
dependiendo de la frecuencia es la altura de la barra, todas las
bases de las barras son del mismo tamaño y lo que varía es la
altura.
Cuando en el eje Y se ubica la frecuencia acumulada y en el
gráfico se unen los puntos medios de la base superior de cada
rectángulo por medio de segmentos obtenemos la Ojiva, la
importancia de la cual radica en que en ella podemos ubicar
la mediana.
GRÁFICO CIRCULAR: Para representar el gráfico circular se debe calcular
que área del círculo en grados corresponde a la frecuencia absoluta de la
variable estudiada. Así para saber qué área corresponde al fútbol que fue
escogido como el deporte preferido por 20 estudiantes de un total de 50. Se
realiza el siguiente procedimiento.
Nº de estudiantes Grados
50 360º
20 X
(20).(360º)
X 144º
50
→
→
= =
Luego el área que corresponde al fútbol es 144º
Asimismo se calcula el área para cada uno de los otros deportes.
Básquet
12
0
5
10
15
20
Nº de
estudiantes
Fútbol Basquet Bolybol Otros
Deporte
Deportes preferidos
13. Nº de estudiantes Grados
50 360º
15 X
(15).(360º)
X 108º
50
→
→
= =
El área que corresponde a básquet es de 108º
Voleibol
Nº de estudiantes Grados
50 360º
10 X
(10).(360º)
X 72º
50
→
→
= =
El área que corresponde a voleibol es de 72º
Otros
Nº de estudiantes Grados
50 360º
5 X
(5).(360º)
X 36º
50
→
→
= =
El área que corresponde a otros es de 36º
Nota: La suma de los grados de todos los deportes
escogidos debe dar 360º que es el área total del círculo.
Veamos: Fútbol 144º
Básquet 108º
Voleibol 72º
Otros 36º
Total 3 60º
Para representar el gráfico circular se hace necesario utilizar
el transportador.
Ejercicios:
1. Dada la siguiente tabla de frecuencias correspondiente a
los colores favoritos de 60 niños. Realizar los tres tipos de
gráficos estudiados.
13
Deporte preferido
Fútbol; 20
Basquet; 15
Bolybol; 10
Otros; 5
14. 2. Con la tabla de datos correspondiente al porcentaje de
estudiantes que perdieron esa área, realizar los tres
gráficos estudiados.
CIBERGRAFÍA. Comprensión y aplicación de la estadística
www.cortland.edu/flteach/stats/stat-sp.html
Tema: Moda y Mediana para datos agrupados
Colores
Favoritos
Frecuencia
absoluta
Azul 15
Verde 20
Blanco 5
Rojo 4
Amarillo 16
Total 60
Área
perdida
Frecuencia
porcentual
Español 30%
Matemáticas 20%
Sociales 15%
Ciencias N 10%
Otras 5%
No pierden 20%
Total 100%
14
15. Objetivo: Calcular la moda y la mediana para datos agrupados
Conocimientos previos: Moda y mediana de datos no agrupados.
Conceptos:
LA MODA: Para datos agrupados se encuentra en la mayor
frecuencia absoluta de los intervalos, asimismo se puede
determinar en el gráfico de barras pues la barra más alta equivale
a la moda.
LA MEDIANA: en datos agrupados equivale al dato que se
encuentra en toda la mitad, y para encontrarlo se necesita el
método estudiado anteriormente para datos no agrupados; y luego
se requiere de aplicar la siguiente fórmula.
1
2
i
i
i
n
a F
Me L
f
−
− = +
Donde
Me= Mediana
Li = Límite inferior del intervalo donde se encuentra la mediana
a = amplitud
n = Número de datos
Fi-1 = frecuencia acumulada anterior al intervalo que contiene
la mediana
fi = La frecuencia absoluta que corresponde al intervalo que
contiene la mediana
Ejemplo: La tabla de datos correspondiente a las edades de 50
alumnos de la I.E. María Montessori sección nocturna está dada a
continuación:
Clase Intervalo Marca de
clase: Xi
Frecuencia
absoluta:
fi
Frecuencia
absoluta
acumulada:
Fi
Frecuencia
relativa
porcentual
100.
n
fi
=
%
Frecuencia
porcentual
acumulada
%
Xi.fi
1º 15 - 22 18,5 37 37 0,74=74% 74% 684.5
2º 22 - 29 25,5 5 42 0,10=10% 84% 127.5
3º 29 - 36 32,5 3 45 0,06=6% 90% 97.5
4º 36 - 43 39,5 4 49 0,08=8% 98% 158
5º 43 - 50 46,5 0 49 0,00=0% 98% 0
6º 50 - 57 53,5 0 49 0,00=0% 98% 0
7º 57 - 64 60,5 1 50 0;02=2% 100% 60.5
Total n=50 1,00=100%
La moda es la edad de 18,5 años que es la marca de clase que
corresponde a la mayor frecuencia absoluta 37
La mediana es la edad que se encuentra en el centro de todas las
edades para calcularla utilizaremos
la fórmula
Donde
Me= Mediana, la cual se encuentra ubicada en el primer intervalo
pues
n 50
25
2 2
= = y este dato se encuentra en la frecuencia
acumulada del primer intervalo.
15
1
2
i
i
i
n
a F
Me L
f
−
− = +
16. Li = Límite inferior del intervalo que contiene la mediana, es
decir, 15
a = amplitud = 7 porque 22 - 15 = 7
n = Número de datos = 50
Fi-1 = frecuencia acumulada anterior al intervalo que contiene
la mediana = 0 porque antes de este primer intervalo no hay
datos acumulados.
fi = La frecuencia absoluta que corresponde al intervalo que
contiene la mediana = 37
Por tanto:
[ ]
50
7 0
2
15
37
7 25
15
37
175
15
37
15 4,73
19,73
Me
Me
Me
Me
Me
− = +
= +
= +
= +
=
Lo cual significa que la mediana o la edad que se encuentra en el
centro de los datos recolectados son 19.
Ejercicios:
1. La tabla de frecuencias siguiente corresponde a la
natalidad en una determinada ciudad.
Clase Intervalo Marca
de clase:
Xi
Frecuencia
absoluta:
fi
Frecuencia
absoluta
acumulada:
Fi
Frecuencia
relativa o
porcentual
100.
n
fi
=
%
Frecuencia
porcentual
acumulada
%
Xi.fi
1º 44-51 47,5 16 16 10,67 10,67 760
2º 51-58 54,5 19 35 12,67 23,33 1035,5
3º 58-65 61,5 24 59 16 39,33 1476
4º 65-72 68,5 31 90 20,67 60 2123,5
5º 72-79 75,5 23 113 15,33 75,33 1736,5
6º 79-86 82,5 15 128 10 85,33 1237,5
7º 86-93 89,5 13 141 8,67 94 1163,5
8º 93-100 96,5 9 150 6 100 868,5
150 10401
Hallar la moda, la mediana, la media o promedio aritmético y
realizar un gráfico de barras y trazar la ojiva y ubicar la moda y la
mediana en este gráfico.
Estadística.
Monografías.comwww.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadisti
ca.shtml
16
17. Tema: Cuartiles.
Objetivo: Calcular los cuartiles de una serie de datos no
agrupados
Conocimientos previos: Tabla de frecuencias, mediana.
Conceptos:
CUARTILES: Los cuartiles son tres números reales Q1, Q2, Q3
que separan el conjunto de datos en cuatro grupos de igual
tamaño.
Cuartil Inferior Q1: es el valor de la variable x que cumple que
al menos un 25%
25
100 4
n n
= ÷
de los datos ( u observaciones) son
menores o iguales a Q1 y al menos un 75% de los mismos, son
mayores o iguales a Q1.
Cuartil Medio Q2: Es el valor de la variable x que cumple que al
menos un 50%
50
100 2
n n
= ÷
de los datos son menores o iguales a
Q2 y al menos un 50% de los mismos son mayores o iguales a
Q2 Observamos que Me = Q2 .
Cuartil Superior Q3: Es el valor de la variable x que cumple que
al menos un 75%
75 3
100 4
n n
= ÷
de los datos son menores o
iguales a Q3 y al menos un 25% de los mismos son mayores o
iguales a Q3.
Procedimiento para hallar los cuartiles: Para hallar Q1, Q2, Q3
cuando los datos están ordenados mediante una tabla de
frecuencias, buscamos aquellos porcentajes en la columna de las
frecuencias acumuladas porcentuales que son iguales o
inmediatamente superiores a 25%, 50% y 75%, respectivamente y
tomamos como Q1, Q2, Q3 los valores discretos Xi que
corresponden a esas frecuencias acumuladas.
Ejemplo: Hallar los cuartiles: Inferior, medio y superior en la
tabla de frecuencias que corresponde a los casos de urgencias
atendidos diariamente en un hospital durante un trimestre.
Xi . fi Fi % Acumulado Xi.fi
15 3 3 3,33 45
18 4 7 7,78 72
19 10 17 18,89 190
21 16 33 36,67 336
22 12 45 50,00 264
25 12 57 63,33 300
17
18. 28 16 73 81,11 448
31 8 81 90,00 248
35 7 88 97,78 245
40 2 90 100,00 80
Total N = 90 2228
Solución:
Cuartil Inferior Q1: 36,67 > 25% ⇒ Q1 = 21 urgencias
Cuartil medioQ2: 50 = 50% ⇒ Q2 = 22 urgencias
Cuartil superior Q3: 81,11 > 75% ⇒ Q3 = 28 urgencias
Estos resultados nos permiten concluir que el 25% de las
urgencias atendidas son iguales o inferiores a 22 y que el 75% de
las mismas es superior a 22.
El 50% de las urgencias es igual o inferior a 22 y que el 75% de
las urgencias atendidas es igual o está por debajo de 28 .
Ejercicios:
Hallar los cuartiles inferior medio y superior de la siguiente tabla
correspondiente a las notas obtenidas por los alumnos de 10º
grado en estadística.
Notas = Xi Número de
alumnos= f i
Fi % % Acumulado
30 4 4 9,09 9,09
40 5 9 11,36 20,45
50 7 16 15,9 36,36
60 10 26 22,73 59,09
70 8 34 18,18 77,27
80 6 40 13,64 90,91
90 3 43 6,82 97,73
100 1 44 2,72 100%
Total 44 100%
Con base en los resultados obtenidos responder las siguientes
preguntas:
1. ¿El 75% de los alumnos está por encima de qué
calificación?
2. ¿El 25% de los alumnos está igual o debajo de cuál nota?
3. ¿El 25% de los alumnos está por encima de cuál
calificación?
4. ¿El 75% de los estudiantes tienen notas iguales o inferiores
a cuál?
5. ¿La mitad del grupo está por debajo de cuál calificación?
6. ¿Qué puede concluir de estos resultados?
Cibergrafía: Aulafácil.Curso gratis de Estadística. Estadística
Descriptivawww.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica
Tema: Cuartiles.
Objetivo: Calcular los cuartiles de una serie de datos
agrupados
Conocimientos previos: Cuartiles, mediana para datos
agrupados.
Conceptos:
18
19. Recordar: Los cuartiles son tres números reales Q1, Q2, Q3
que separan el conjunto de datos en cuatro grupos de igual
tamaño.
Para hallar Q1, Q2 y Q3 cuando los datos están agrupados
en clases, encontramos los intervalos que incluyen a Q1, Q2, Q3
y que corresponden a aquellas Fi (frecuencias absolutas
acumuladas) que son iguales o inmediatamente superiores a
n n n
, y 3 ,
4 2 4
respectivamente.
Para hallar los valores Q1 y Q3 , utilizamos la misma
fórmula de la mediana, tomando
n n
y 3
4 4
en lugar de
n
2
.
Cuartil inferior
1
1
4
i
i
i
n
a F
Q L
f
−
− = +
donde
1Q = Cuartil inferior
Li = Límite inferior del intervalo donde se encuentra el cuartil
a = amplitud
n = Número de datos
Fi-1 = frecuencia acumulada anterior al intervalo que contiene
el cuartil inferior.
fi = La frecuencia absoluta que corresponde al intervalo que
contiene el cuartil inferior.
Cuartil medio
1
2
2
i
i
i
n
a F
Q L
f
−
− = +
este cuartil es la misma
mediana
Cuartil superior
1
3
3
4
i
i
i
n
a F
Q L
f
−
− = +
Ejemplo: La tabla de frecuencias siguiente corresponde a la
natalidad en una determinada ciudad. Los datos se tomaron entre
1979 y 1994 de los archivos de los diferentes hospitales de la
ciudad donde se reporta el número de nacimientos por mes.
Hallar los tres cuartiles.
Clase Intervalo Marca
de clase:
Xi
Frecuencia
absoluta:
fi
Frecuencia
absoluta
acumulada:
Fi
Frecuencia
relativa
porcentual
100.
n
fi
=
%
Frecuencia
porcentual
acumulada
%
Xi.fi
1º 44-51 47,5 16 16 10,67 10,67 760
2º 51-58 54,5 19 35 12,67 23,33 1035,5
3º 58-65 61,5 24 59 16 39,33 1476
4º 65-72 68,5 31 90 20,67 60 2123,5
5º 72-79 75,5 23 113 15,33 75,33 1736,5
6º 79-86 82,5 15 128 10 85,33 1237,5
7º 86-93 89,5 13 141 8,67 94 1163,5
8º 93-100 96,5 9 150 6 100 868,5
150 10401
19
20. Cuartil inferior
1
1
4
i
i
i
n
a F
Q L
f
−
− = +
n
4
=
150
37,5
4
= La cuarta parte de los datos es 37,5.
59iF = es la frecuencia absoluta acumulada que contiene el
cuartil inferior que es 37,5
1 35iF− = es la frecuencia absoluta acumulada anterior.
iL =58 límite inferior del intervalo que contiene el cuartil
inferior
a = 7 porque al restar el límite superior y el inferior de cualquier
intervalo obtenemos una amplitud de 7.
if =24 Frecuencia absoluta del intervalo en donde se encuentra
el cuartil inferior.
Reemplazando y desarrollando tenemos:
[ ]
[ ]
1
1
1
1
1
7 37,5 35
58
24
7 2,5
58
24
17,5
58
24
58 0,73
58,73
Q
Q
Q
Q
Q
−
= +
= +
= +
= +
=
Esto significa que la cuarta parte (25%) de los bebés que
nacieron durante el mes es máximo de 58,73.
Cuartil medio
1
2
2
i
i
i
n
a F
Q L
f
−
− = +
este cuartil es la misma
mediana
n 150
75
2 2
= = La mitad de los datos es 75.
90iF = es la frecuencia acumulada que contiene el cuartil medio
que es 75
1 59iF− = es la frecuencia acumulada anterior.
65iL = límite inferior del intervalo que contiene el cuartil medio
31if = Frecuencia absoluta del intervalo en donde se encuentra
el cuartil medio.
Reemplazando y desarrollando tenemos:
[ ]
[ ]
2
2
2
2
2
7 75 59
65
31
7 16
65
31
112
65
31
65 3,61
68,61
Q
Q
Q
Q
Q
−
= +
= +
= +
= +
=
Lo cual significa que en la ciudad investigada la mitad
(50%) de los nacimientos mensuales es inferior a 68,61
bebés .
Cuartil superior
1
3
3
4
i
i
i
n
a F
Q L
f
−
− = +
20
21. n 150
3 3 112,5
4 4
= = Las tres cuartas partes de los datos es
112,5.
113iF = es la frecuencia acumulada que contiene el cuartil
superior que es 75
1 90iF− = es la frecuencia acumulada anterior.
72iL = límite inferior del intervalo que contiene el cuartil
superior
23if = Frecuencia absoluta del intervalo en donde se encuentra
el cuartil superior.
Reemplazando y desarrollando tenemos:
[ ]
[ ]
4
4
4
4
4
7 112,5 90
72
23
7 22,5
72
23
157,5
72
23
72 6,85
78,85
Q
Q
Q
Q
Q
−
= +
= +
= +
= +
=
Aquí vemos que el 75% de los nacimientos durante el mes
es inferior a 78,85 bebés.
Ejercicio: La siguiente tabla muestra las 178 calificaciones
obtenidas por los estudiantes del grado décimo en la prueba final
de matemáticas (escala de 1 a 10).
Intervalos Marca de clase:
Xi
Frecuencia
absoluta:
fi
Frecuencia
absoluta
acumulada:
Fi
Frecuencia
porcentual
acumulada
%
Xi.fi
0,5-1,5 3
1,5-2,5 7
2,5-3,5 20
3,5-4,5 25
4,5-5,5 30
5,5-6,5 40
6,5-7,5 22
7,5-8,5 20
8,5-9,5 8
9,5-10,5 3
1. Completar la tabla de distribución de frecuencias
2. Construir un histograma, un polígono de frecuencias y una
ojiva
3. Hallar la moda, mediana y media.
4. Determinar Q1, Q2, y Q3.
Cibergrafía: Comprensión y aplicación de la
estadísticawww.cortland.edu/flteach/stats/stat-sp.html
21
23. a. Fútbol
b. Básquet
c. Voleibol
d. Atletismo
2. El deporte que menos
gusta es:
a. Fútbol
b. Básquet
c. Voleibol
d. Atletismo
3. La moda en ese
grupo de alumnos es:
a. Fútbol
b. Básquet
c. Voleibol
d. Atletismo
Las preguntas 4 a la 6 se
responden con base en el
gráfico
4. El mayor número de
materias perdidas es:
a. Tres
b. Dos
c. Cero
d. Cuatro
5. El menor número de
materias perdidas es:
a. Tres
b. Dos
c. Cero
d. Cuatro
6. La moda es:
a. Tres
b. Dos
c. Cero
d. Cuatro
7. Con los datos de la
tabla dada a
continuación
realizar:
a. Un gráfico.
(Con la
variable que
es la estatura
y la
Frecuencia
absoluta)
Señalar en el
gráfico la
moda.
b. Trazar la
ojiva
c. (Gráfico de
barras que se
realiza con la
variable y
frecuencia
absoluta
acumulada),
Ubicar la
mediana en la
Ojiva.
23
Materias pérdidas por alumnos de 10º
Cero
Una
dos
Tres
Cuatro
Cinco
Seis
24. Tema: Cuartiles.
Objetivo: Calcular los cuartiles de una serie de datos
agrupados
La tabla de frecuencias siguiente corresponde a la natalidad en
una determinada ciudad. Los datos se tomaron entre 1979 y 1994
de los archivos de los diferentes hospitales de la ciudad donde se
reporta el número de nacimientos por mes. Hallar los tres
cuartiles.
Clase Intervalo Marca
de clase:
Xi
Frecuencia
absoluta:
fi
Frecuencia
absoluta
acumulada:
Fi
Frecuencia
relativa
porcentual
100.
n
fi
=
%
Frecuencia
porcentual
acumulada
%
Xi.fi
1º 44-51 47,5 16 16 10,67 10,67 760
2º 51-58 54,5 19 35 12,67 23,33 1035,5
3º 58-65 61,5 24 59 16 39,33 1476
4º 65-72 68,5 31 90 20,67 60 2123,5
5º 72-79 75,5 23 113 15,33 75,33 1736,5
6º 79-86 82,5 15 128 10 85,33 1237,5
7º 86-93 89,5 13 141 8,67 94 1163,5
8º 93-100 96,5 9 150 6 100 868,5
150 10401
Recordar:
Para hallar Q1, Q2 y Q3 cuando los datos están agrupados
en clases, encontramos los intervalos que incluyen a Q1, Q2, Q3
y que corresponden a aquellas Fi (frecuencias absolutas
acumuladas) que son iguales o inmediatamente superiores a
n n n
, y 3 ,
4 2 4
respectivamente.
Cuartil inferior
1
1
4
i
i
i
n
a F
Q L
f
−
− = +
donde
1Q = Cuartil inferior
Estatura
Nº de
estudiantes
fi
Fi
1,55 5 5
1, 60 12 17
1,65 15 32
1,7 13 45
1,75 2 47
1,8 5 52
1,85 3 55
n=55
24
25. Li = Límite inferior del intervalo donde se encuentra el cuartil
a = amplitud
n = Número de datos
Fi-1 = frecuencia acumulada anterior al intervalo que contiene
el cuartil inferior.
fi = La frecuencia absoluta que corresponde al intervalo que
contiene el cuartil inferior.
Cuartil medio
1
2
2
i
i
i
n
a F
Q L
f
−
− = +
este cuartil es la misma
mediana
Cuartil superior
1
3
3
4
i
i
i
n
a F
Q L
f
−
− = +
SOLUCIONES
25
