SlideShare a Scribd company logo
1 of 26
Download to read offline
UPF - UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO - NOVEMBRO DE 2005.




               HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NA

                     M E S O P O T Â M I A




MÁRCIO LUÍS FREIRE
INTRODUÇÃO

           A Matemática como a concebemos nos dias atuais foi fruto de uma demorada e

profícua evolução, desde os homens das cavernas, passando por todas as grandes civilizações

do passado até chegar na complexidade do mundo mercantilista e globalizado atual. A

finalidade desse trabalho é mostrar, em forma de evidenciação, que a matemática

desenvolvida pelos povos da Mesopotâmia entre os anos de 2800 a 1880 a.C. dão suportes

lógicos e consistentes aos anseios de todas as culturas posteriores, demonstrando, assim, sua

grande relevância histórica.




                                                                                          2
ASPECTOS GEOGRÁFICOS E SOCIOLÓGICOS DA MESOPOTÂMIA



   Geograficamente a Mesopotâmia está situada entre os rios Tigre e Eufrates no Oriente
Médio, no chamado crescente fértil, onde atualmente se localiza o Iraque e a Síria. Em grego,
a palavra Mesopotâmia significa entre rios. Os povos que formavam a Mesopotâmia foram os
Sumérios, Acádios, Amoritas, Caldeus e Hititas, os quais lutavam pela posse das terras
aráveis.. Porém ao contrário do que ocorria com as águas do rio Nilo, os períodos de cheia
dos rios Tigre e Eufrates eram bastante irregulares, obrigando a realização de numerosas
obras de irrigação e drenagem, com períodos de observação e desenvolvimento com uma
maior dificuldade.. As civilizações que habitam essa região prosperaram com base na
agricultura. Desenvolveram-se nos vales dos rios Tigre e Eufrates devido, à fertilidade da
terra decorrente das inundações destes.




                                                                                          3
O centro, correspondendo ao curso médio dos rios, era chamado de Acádia,
sobressaindo as cidades de Babilônia, Uruc, Nipur, Sipar e Acad. O norte era denominado
Assíria, destacando-se as cidades de Nínive, Nimrud e Assur.

     Por volta de 3 500 a.C., vindos provavelmente da Ásia Central, os sumérios fixaram-se
na Baixa Mesopotâmia, fundindo-se étnica e culturalmente com a população local. Com a
sua chegada, deu-se o aperfeiçoamento dos métodos de cultivo e de irrigação. A agricultura,
além de abastecer regularmente a população, passou a gerar excedentes para o comércio.
Desenvolveram-se o artesanato especializado, o uso de metais e surgiram inovações técnicas
como a roda.

     A população expandiu-se, dando origem a novos grupos sociais como sacerdotes,
funcionários, mercadores, artesãos e soldados. Assim, as aldeias transformaram-se em
cidades, como Ur, Uruk, Lagash, com governo próprio e profissões variadas. Estabeleceu-se
ativo comércio entre as cidades de Suméria e seus vizinhos. Caravanas de mercadores
levavam cargas de cevada e tecidos para a Ásia Menor e para o Irã, retornando com madeira,
pedra e metais, que eram transformados em instrumentos, armas e jóias.

     A revolução urbana fez surgir na Suméria e posteriormente em Acade, cerca de 15 ou
20 cidades-Estado politicamente independentes, mas com língua, religião, organização
social e sistema econômico semelhantes.

     Para desenvolver a agricultura, os habitantes desses vales inventaram sistemas de
canalização e de diques para controlar a direção da água durante as enchentes. Estes



                                                                                          4
sistemas também controlavam a drenagem das águas de volta aos rios. Os sumérios,
babilônicos e os acádios formaram os principais ocupantes desta região entre os anos 2800
a.C. e 1800 a.C. Foi neste período que surgiram os primeiros centros urbanos da
humanidade, com uma vida de ostentação da riqueza, complexa e variada, em que a lealdade
política não era mais em relação a tribos ou clãs, mas sim ao rei que governava. As
principais cidades dessa época foram:Ur, Uruk, Eridu, Nipur e Zagash. Essas cidades eram
governadas pelos patesis, que representavam ao mesmo tempo a figura do chefe militar e
sacerdote. Desenvolveu-se uma sociedade baseada em atividades agrícolas, pastoris,
comerciais e artesanais. A formação de castas, organizada em forma piramidal foi
inevitável.

     O posicionamento social do individuo, geralmente, era determinado pelo critério de
nascimento e hereditariedade. Sua estrutura era dividida em camadas sendo a base da
pirâmide composta pelos escravos, um número significativo e constituído principalmente por
prisioneiros de guerra e homens livres pobres que se vendiam para sobreviver. Acima dos
escravos, existiam os artesãos e os camponeses, que pertenciam às classes de homens livres,
mas não recebiam o suficiente pelo trabalho que realizavam. E no topo da hierarquia social
estava o rei, que possuía riquezas fabulosas, palácios grandiosos e vários funcionários que
auxiliavam na administração do império. Administração essa que se caracterizava pelo
domínio de todos os grupos sociais em um governo de fundamento teocrático. O centro de
cada cidade da Mesopotâmia era dominado pelo “temenos”, conjunto de templos,
destacando-se o “zigurat” ou torre de degraus com um pequeno santuário no alto da elevação.


O templo era dedicado ao culto e às oferendas, como mostra a figura abaixo.




                                                                                            5
Indiscutivelmente, a principal contribuição que os mesopotâmicos realizaram para o
desenvolvimento do conhecimento foi à invenção de um tipo de escrita, a qual era feita por
estiletes em uma placa de argila mole que depois secavam ao sol. Tais letras tinham a forma
de cunha e, por isso, foram chamadas de cuneiforme. Eram monopolizadas pelos sacerdotes
que tinham como uma de suas funções registrar as atividades comerciais. Os sacerdotes dos
templos religiosos, através de seu vasto sistema tributário, coletavam e administravam
gigantescas somas de bens, tais como terrenos, incluindo rebanhos, manadas, rendas e
propriedades rurais. Entretanto, por causa da amplitude e variedade da riqueza acumulada, os
sacerdotes enfrentaram problemas sem precedentes na história humana.




     Para essa prestação de contas como intendentes, não era possível confiar na memória a
respeito dos tributos pagos, transações concluídas, sendo necessária uma forma de registro
permanente. O surgimento da escrita justificou-se pelo crescimento das economias


                                                                                         6
centralizadas, quando os funcionários dos palácios e templos sentiram a necessidade de
manter o controle das quantidades de cereais e dos rebanhos de carneiros e gado que
entravam e saíam dos celeiros e fazendas. Era impossível depender apenas da memória de
um homem para armazenar todas as transações realizadas, além da necessidade de se
transmitir os fatos a outros sacerdotes quando houvesse o falecimento de quem controlava
essas operações, assim, tornou-se indispensável à criação de novos métodos que
mantivessem registros confiáveis e permanentes.




                  COMÉRCIO E ECONOMIA NA MESOPOTÂMIA

           Os mesopotâmicos possuíam uma economia bastante desenvolvida, com métodos
de intercâmbio comercial que incluíam o uso de uma moeda metálica e já dispunham de uma
rede bancária primitiva. Baseada na agricultura, principalmente no cultivo da cevada,
produzia também outros produtos como o óleo de linhaça e de gergelim, linho, trigo e
hortigranjeiros. A cevada muitas vezes era usada como meio de pagamento de salários e em
rações diárias, sendo matéria-prima para a fabricação da bebida natural: a cerveja. Os
rebanhos de ovelhas e cabras pastavam nos campos fora da estação de plantio e o gado
quando havia água suficiente. A produção da lã era extensa e convertida em peças de tecidos.
Santos (2001) nos afirma que:

       Os sumérios eram excelentes agricultores, eram peritos em irrigação; sendo
favorecidos pelos rios Tigre e Eufrates. Eram bons comerciantes. A economia do país se
fundamenta na lavoura e no comércio. Desenvolveram-se intensas relações comerciais com
os países próximos. Trocavam-se metais, madeiras, produtos agrícolas e manufaturados.
Usavam-se recibos, faturas, títulos de créditos, notas promissórias. Circulavam como
dinheiro, barras de ouro ou prata. A unidade monetária padrão de troca era um ciclo de
prata. O comércio era ativo e empregava muita gente.

     Outra atividade econômica era a pesca, utilizando-se de pequenos barcos de junco,
anzol e rede os sumérios pescavam no Golfo Pérsico, nos rios, canais e pântanos. O
artesanato foi um dos responsáveis pelo grande impulso dado ao comércio. Os artesãos eram


                                                                                          7
muito habilidosos e fabricavam móveis de madeira; vasilhas de argila, de pedra, de madeira e
de vidro; objetos de metal, de couro (sandálias, roupas, equipamentos militares), bijuterias e
tijolos (secos ao sol ou cozidos em forno). As lãs retiradas das ovelhas eram utilizadas para
confecção de tecido. As famílias ou oficinas têxteis, constituídas pelos homens livres, eram
os realizadores do trabalho artesanal.

     Segundo texto publicado no site Vbcontrol (2003) “há duas formas básicas para se
obter os materiais que países necessitam: pela guerra ou comércio. Tais materiais são
geralmente exigidos como tributos ou tomados por pilhagem após uma expedição militar”.




     A região mesopotâmia carecia de recursos minerais e de madeira, indispensáveis para a
construção de grandes monumentos, além de resistentes. Ao longo da história, os
mesopotâmicos tiveram cada vez mais necessidade destes materiais, que vinham de longe: ou
das florestas do Líbano ou das montanhas do Irã (atualmente). Essas montanhas também
eram ricas em minerais, pedras e metais. Por este motivo, o comércio começava a ser
executado com todas as regiões vizinhas. De acordo com Cruz e Silva (2002) devido ao
incremento na atividade mercantil, bem como ao aumento de mercadorias em circulação, o
sistema de tábuas contábeis tornou-se complexo. Segundo Iudícibus (1997) “a preocupação



                                                                                           8
com as propriedades e a riqueza é uma constante no homem da Antigüidade,[...] e o homem
teve de ir aperfeiçoando seu instrumento de avaliação patrimonial à medida que as atividades
foram desenvolvendo-se em dimensão e em complexidade”. A situação geográfica da
Mesopotâmia, na rota do comércio entre Oriente e Ocidente, estimulou as atividades
comerciais, tornando necessários rudimentos de aritmética aplicada, tais como sistemas de
contabilidade, noção de juros, etc. Em meados do terceiro milênio os comerciantes da
Suméria já empregavam um sistema de pesos e medidas, fazendo uso de juros simples e
compostos.




      APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA E DA GEOMETRIA MESOPOTÂMICA

       Os Babilônicos (assim também eram chamados os povos mesopotâmicos) tinham
uma maior habilidade e facilidade para efetuar cálculos, talvez em virtude de sua linguagem
ser mais acessível que a egípcia. Eles tinham técnicas para equações quadráticas e bi-
quadráticas, além de possuírem fórmulas para áreas de figuras retilíneas simples e fórmulas
para o cálculo do volume de sólidos simples. Sua geometria tinha suporte algébrico.
Também conheciam as relações entre os lados de um triângulo retângulo e trigonometria
básica, conforme descrito na tábua “Plimpton 322”.
       Os mesopotâmicos foram os inventores da álgebra, do sistema posicional,
desenvolveram os cálculos de divisão e multiplicação, incluindo a criação da raiz quadrada e
da raiz cúbica. E utilizando símbolos para unidades e dezenas, podiam representar qualquer
número. Os símbolos utilizados por este povo para representar os números eram: v que
correspondia a 1 (um) e o < que correspondia ao 10 (dez). O sistema numérico adotado
pelos sumérios é uma combinação do sistema decimal e do sistema sexagesimal. Assim tem-
se:

                   v vv vvv vv vvv vvv < << <<< <<< << <<< vvv
                            vv vv vvv           vvv << << vvv
                                   vvv          vvv        vvv
                   1 2 3 4 5 9 10 20 30 36 40            59




                                                                                          9
Os babilônios usavam um sistema posicional que, em alguns aspectos era semelhante
ao dos egípcios. Algumas inscrições mostram que, surpreendentemente, eles usavam não
somente um sistema decimal mas também um sistema sexagesimal (isto é, base 60) , o qual
trazia enormes facilidades para os cálculos, visto que os divisores naturais de 60 são
1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60, facilitando o cálculo com frações.
           Usavam um traço vertical para representar as unidades e outro desenho para as
dezenas:


     No sistema decimal, os números de 1 a 99 eram representados por agrupamentos destes
símbolos, por exemplo,




           O símbolo para 100 era composto por traços:


           e números superiores a 100, representados novamente por agrupamento. Assim,
por exemplo, temos:




           O símbolo       indica 10 vezes 100, isto é, 1000.




           Também empregava, em algumas tabuletas, o sistema sexagesimal. Os números
     de 1 a 59 eram representados novamente por agrupamento simples e a partir dali, se
     escreviam "grupos de cunhas", com base 60. Por exemplo,




                                                                                     10
Os babilônios chegaram a empregar um símbolo, formado por duas cunhas
inclinadas, para representar a ausência de um grupo. Por exemplo,




           Como este símbolo não era de uso freqüente, e ainda, nunca foi usado no fim de
uma expressão, o sistema babilônio apresentava ambigüidades. Por exemplo,




           poderia representar o número                                         , etc.
           Nosso sistema de numeração indo-arábico é um sistema de numeração posicional
de base 10. Ele é preciso e não apresenta ambigüidades, justamente porque temos o símbolo
0 (zero) para representar ausência de uma casa.
           A base de numeração 10 é o sistema usado quase que universalmente pelo fato de
termos dez dedos disponíveis nas mãos para nos auxiliar nos cálculos.

           Cidade da informática (2001) nos traz o seguinte texto:

           A astronomia e as matemáticas começaram a buscar essas respostas, e a criar
aparatos que lhes serviam como para ordenar o mundo e os ciclos que a natureza dispõe. Os
primeiors calendarios usados pelos babilonicos mediam os meses de acordo com as fases
lunares e os anos, conforme a posição do sol. Pelo testemunho que perdura nas tabuas de
argila que tem chegado até nós, hoje sabemos que por volta do ano de 1950 a.c, o povo
babilônico adotou a base 60 para medir o tempo, ou seja, uma hora é igual a 60 minutos.
Mas para que isso pudesse acontecer deveriam contar no solo com sistemas de numeração,
e também com signos que representava quantidades.

           Ou seja, o sistema sexagesimal teve sua origem na astronomia, especificamente,
na contagem do tempo, ou melhor na divisão do tempo em horas, minutos e segundos. No
qual 1 (uma) hora equivale a 60 minutos.




                                                                                         11
Estes números eram escritos mediante a pressão da extremidade mais larga ou menor de
um cálamo de junco sobre a argila ou verticalmente (para desenhar um círculo) ou
obliquamente. Com o passar do tempo esses números passaram a apresentar uma forma
angular.

           Exemplificando o sistema numérico utilizado pelos sumérios, tem-se:

           1º) << << = 20 x 60 + 20 = 1.220

           2º) vv vv <v = 2 x 602 + 2 x 60 + 11 = 7.331

           Observa-se que os mesopotâmicos começaram a calcular da direita para esquerda,
ou seja, o primeiro grupo de símbolos representam as unidades, o segundo grupo representa
as dezenas, depois seriam as centenas e assim por diante. Um outro fato curioso é que,
retirando o grupo das unidades, os demais grupos são multiplicados pelo fator 60, onde as
dezenas apenas por 60, as centenas por 60 ao quadrado, e assim continuaria, aumentando-se
as casas aumentam-se os expoentes. Este tipo de cálculo deixa bem claro que os sumérios já
conheciam e utilizavam as potências quadradas e cúbicas.

           . Os sumérios utilizaram a formula:




           para utilizar a multiplicação. A divisão se assimila a multiplicação a seguir:




                                                                                            12
Algumas tábuas mostram que os mesopotâmicos chegaram a resolver equações do 2. º e
3. º graus, usando palavras como incógnitas num sentido abstrato e conheciam bem o
processo de fatoração. Não só resolviam as equações quadráticas, seja pelo método
equivalente ao da substituição numa fórmula geral, seja pelo método de completar quadrados,
como também discutiam algumas cúbicas e algumas biquadradas.

            Acredita-se que os povos mesopotâmicos dominavam também as fórmulas de
progressões geométricas. Seus desenvolvimentos podem ser constatados em tabuletas que
indicavam relações entre os lados de um triângulo. Porém, essas tabuletas mostram apenas as
questões e os resultados.

       As implantações dos sistemas de irrigação desenvolvidos exigiam, para a execução do
trabalho, alguma forma primitiva de engenharia e agrimensura, atividades que pressupõem a
aplicação de certos conhecimentos geométricos, tais como mediadas de áreas, linhas de nível,
etc.

       Da matemática mesopotâmica constata-se também a familiarização com as regras
gerais de cálculo da área do retângulo, do triângulo retângulo e isóscele, de um trapézio
retângulo e, do volume de um paralelepípedo e mais, geralmente do volume de um prisma
reto de base trapezional.

            Tinham também uma fórmula para calcular o perímetro da circunferência a que
equivale. Conheciam o volume de um tronco de cone e de um tronco de pirâmide
quadrangular regular. Sabiam que os lados correspondentes de dois triângulos retângulos
semelhantes são proporcionais. Utilizavam-se de uma ‘corda com 13 nós’ de forma a que o
espaço entre eles fosse igual, isto é, a corda media 12 unidades, sendo cada unidade o espaço
entre dois nós consecutivos, para construir um triângulo retângulo, mas não sabiam expressar
teoricamente esse conhecimento.

       Essa técnica foi divulgada por Pitágoras, em 560 a.C. após ter realizado várias viagens
à Mesopotâmia, cujo saber havia fascinado Tales, onde estudou geometria com sacerdotes,
vindo a ter contato com o método da ‘corda de 13 nós’. Com base nesta técnica desenvolveu
o que hoje conhecemos como Teorema de Pitágoras ‘num triângulo, o quadrado da


                                                                                          13
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos’. Pitágoras não só se satisfez com a
generalização da propriedade a que chegou, como também se preocupou com a sua
demonstração, ou seja, em provar que essa regra se aplicava a todos os triângulos retângulos.

                                     Somente em 1637 d.C. foi provada a relação de
                        posicionamento utilizado pelos sumérios nas construções de seus
                        templos, palácios e monumentos arquitetônicos. Tal feito foi
                        realizado por Descartes. Ele criou uma fórmula algébrica para
                        representar um fato trivial e infantil já conhecido por todos; de que
                        um ponto em uma folha de papel retangular está infalivelmente,
como é evidente, onde as duas linhas de suas duas distâncias medidas perpendiculares a duas
margens adjacentes da folha, se encontram. Em linguagem geométrica, isto quer dizer que
um ponto em um plano pode ser representado pelos valores (hoje chamado coordenadas
cartesianas) das suas duas distâncias (x, y), tomadas perpendiculares a dois eixos que se
cruzam em ângulo reto nesse plano, como a convenção de lado positiva e negativa para um e
outro lado do ponto de cruzamento dos eixos.



                               O APARECIMENTO DE

       Uma das características mais relevantes da matemática suméria era o uso do sistema
de numeração posicional. Isto possibilitava o cálculo do valor numérico de grandezas
geométricas com uma precisão admirável para a época. Um exemplo notável pode ser visto
em um tablete sumeriano da Yale Babylonian Collection, catalogado sob a sigla YBC7289.




                                                                                          14
Tablete sumério YBC7289, da Yale
        Babylonian Collection.




     Nele vemos representado um quadrado, suas duas diagonais e três números:
                                       a=30
                                       b=1,24,51,10
                                       c=42,25,35
     escritos no sistema sexagesimal sumeriano. Nessa notação os algarismos do sistema
sexagesimal são indicados por 0, 1, 2,..., 9, 10, 11, 12,...,59, e a vírgula separam as casas.

                                                       Desenho esquemático do tablete
                                                       sumério YBC7289, mostrando um
                                                       quadrado, suas duas diagonais, e três
                                                       números sexagesimais, um sendo o
                                                       valor do lado do quadrado, outro uma



                                                       aproximação do valor de         ,eo
                                                       terceiro uma aproximação do valor de
                                                       sua diagonal.

     Calculando na base sexagesimal temos




                                                                                                 15
portanto           .
     Por outro lado, interpretando na figura acima como o valor da diagonal do quadrado
de lado , temos, em virtude do Teorema de Pitágoras,




     Assim, relacionando            e,             vemos que deve ser uma aproximação de




      Lembrando que os sumérios não tinham notação para separar a parte inteira da parte
fracionária na representação escrita dos números, passamos a interpretar   , e como:
                                            a=(0;30) 60
                                         b=(1;24,51,10)60
                                         c=(0;42,25,35)60
     Vemos que



     que é próximo de 2.
     Resulta a aproximação



     No sistema decimal isso equivale a




                                                                                       16
Comparando com                                  vemos que a aproximação calculada


     pelos sumérios tem erro          . Este foi sem dúvida um cálculo notável.



           PARTIDAS DOBRADAS E CONHECIMENTO MATEMÁTICO

     A matemática sempre foi utilizada como um instrumento, através do qual se podia
explicar os fenômenos naturais, ou seja, suas causas e conseqüências. Por exemplo,
aplicando-se a dualidade dos fatos, pela matemática, obtêm-se na Astronomia a relação do
tempo em horas-dia e horas-noite.

     Os mesopotâmicos também representavam a natureza dos seres através da matemática,
ou seja, os números pares eram considerados seres femininos e os ímpares, masculinos. Até
mesmo na grafia estava presente a dualidades das coisas, o que se pode verificar claramente
no símbolo utilizado para representar o infinito. Esse símbolo representa a união de dois
círculos (4), onde um deles representa o mundo material e o outro o mundo imaterial, em
outras palavras, o infinito significa graficamente a união dos dois mundos.

     Os números também representam o bem e o mal. Representavam o bem, os números
positivos, que significam a soma, o acréscimo; já os números negativos o mal, a exclusão, a
subtração. Paralelamente a esse raciocínio desenvolveu-se o controle do patrimônio, o
sentido do que me pertence e o que pertence à outra pessoa. Segundo Sá (2002) “o ‘meu’ e o
‘seu’ deram, na época, origem a registros especiais de ‘débito’ (o que alguém tem que me
pagar) e ‘crédito’ (o que devo pagar a alguém)”, onde teríamos uma primeira versão do
registro por Partidas Dobradas.

     Uma outra aplicação da matemática pelos mesopotâmicos se refere às funções. Este
povo conhecia o sentido amplo da palavra ‘relação’. Conforme Brito [s.d] diz-se que existe
uma relação entre duas coisas quando existe um elo de ligação, uma correspondência, uma
vinculação entre elas.




                                                                                         17
Usando a representação de conjuntos podemos visualizar estes exemplos mais
facilmente. Dentro de cada conjunto podemos apresentar seus elementos (valores) e associá-
los na relação. Como pode ser observado na figura 1.




     Figura 1 Correlação entre conjuntos

          Observe que do conjunto origem (A) partem os elos de ligação em direção ao
     conjunto destino (B).

          Com esta noção de ‘relação’ em mente e, particularmente, evidenciando as
     situações acima ilustradas, podemos definir o que vem a ser uma função. A idéia de
     relação biunívoca de conjunto que predomina numa função entre origem e destino
     coaduna com a idéia das Partidas Dobradas de origem e aplicação de recursos.

          A forma intuitiva do aprendizado das funções através da representação de
     conjuntos é trocada, na prática, pelo Sistema Cartesiano, no qual colocamos o domínio
     no eixo do x e o contradomínio (em que estarão as imagens) no eixo do y. Desta forma
     podemos visualizar melhor o par ordenado (x,y) e o comportamento das funções que se
     deseja estudar. Assim temos:




     Figura 2 Sistema Cartesiano

     Como já foi dito antes, os mesopotâmicos não deixaram registro desse conhecimento,
mas já foi provado que não só conheciam, como os utilizavam para a edificação de suas
construções monumentais.



                                                                                      18
CONTABILIDADE NA MESOPOTÂMIA

     O par ordenado do eixo cartesiano (x,y) pode ser visto, também, como uma forma de
registro em par, isto é, uma Partida Dobrada. A aplicação do conhecimento da relação
matemática aos controles contábeis em um determinado fato é relatada por Schmidt (2000):

     No ano de 1920, em Nuzi (norte da Babilônia), 49 fichas acompanhadas de uma tabela
de pedra com inscrições cuneiformes listando um pequeno rebanho de carneiros,
pertencente ao segundo milênio a.C., portanto, fora do período pré-histórico. Esses artefatos
representam, aparentemente, a transferência desse pequeno rebanho – sete diferentes tipos
de carneiros e cabras – realizada por Puhisenni, filho de Mapu, habitante da região, para o
pastor de nome Ziquarru. A escavações revelam que as 49 fichas perfuradas representam a
garantia de que o pastor havia recebido o rebanho e tinha uma dívida com o proprietário
anterior. Cada animal do rebanho era representado por uma ficha mantida em um
receptáculo. Sempre que algum animal era transferido para um pastor, ou para outra
pastagem, ou mesma para tosquia, a forma de registro desse evento era a transferência da
ficha correspondente ao animal para outra caixa. A explicação para esse duplo registro (a
tabela de pedra e as fichas), segundo Schmandt-Besserat (1992), foi que a caixa de barro
contendo as fichas era provavelmente destinada ao pastor (ou devedor), enquanto a tabela
constituía o recibo de proprietário (ou credor). Mesmo já existindo a escrita cuneiforme, a
maioria da população (como os pastores de 2000 a.C.) não a dominava e as fichas contábeis
eram de fácil entendimento, já que cada ficha representava um animal.

           Terá a seguinte representação gráfica da situação acima citada:




     Figura 3 Representação utilizando o Conjunto




                                                                                         19
Logo, temos:


     Matematicamente
     f(venda) = (carneiro, Ziquarru)
     f’(venda) = (cabra, Ziquarru)

           Contabilmente
     1o) Débito – Ziquarru (Cliente)
     2o) Débito – Ziquarru (Cliente)
     Crédito – Carneiro (Estoque)
     Crédito – Cabra (Estoque)

     Analisando os fatos, observa-se que há duas contabilidades paralelas, a do vendedor
Puhisenni e a do comprador Ziquarru.

     Isso ficou bem caracterizado quando Schmidt apontou a transferência desse pequeno
rebanho – sete diferentes tipos de carneiros e cabras – realizada por Puhisenni para o pastor
de nome Ziquarru. Essa transferência de propriedade foi registrada por 49 fichas
acompanhadas de uma tabela de pedra com inscrições cuneiformes listando um pequeno
rebanho de carneiros. Em ambas as análises predominam a idéia do registro contábil por
Partidas Dobradas e não por Partidas Simples.

     A contabilidade realizada por Puhisenni revela-nos que houve um registro de saída de
sete animais, ou seja, atualmente diríamos que foi creditada conta-estoque (animais) em sua
contrapartida, por meio das 49 fichas perfuradas, que representam a garantia de que o pastor
havia recebido o rebanho e tinha uma dívida com o proprietário anterior, ou seja, essa
garantia equivale àquilo que atualmente conhecemos por duplicatas, notas promissórias,
cheques pré-datados, ou qualquer outro instrumento que reconheça a dívida, e logicamente
esse registro é feito no Ativo na conta cliente. O conhecimento de números positivos e
negativos nessa operação está bem claro.

     Observe que apesar de estarem registrados em livros distintos, o ato da venda dos
animais teve sua contrapartida que foram os recibos do reconhecimento da dívida, como diz


                                                                                         20
o texto “enquanto a tabela constituía o recibo de proprietário (ou credor)”. Graficamente,
teríamos dois livros um de animais (estoque) e outro de garantia de compra (cliente a
receber), a existência e registro em dois livros de forma simultânea permitem afirmar que tais
registros são por Partidas Dobradas, como se mostra a seguir.

                Registros contábeis realizados por Puhisenni


      Livro1 – Animais (estoque)      Livro 2 – Garantia (cliente a receber)

                                      49 fichas que representam a garantia de que o pastor
      Carneiro
                                      havia recebido o rebanho e tinha uma dívida com o
      Cabras
                                      ele.

     O mesmo fato também é registrado pelo comprador, Ziquarru: “a explicação para esse
duplo registro (a tabela de pedra e as fichas), segundo Schmandt-Besserat (1992), foi que a
caixa de barro contendo as fichas era provavelmente destinada ao pastor (ou devedor)”. Onde
ele debitaria estoque (animais) e creditaria fornecedor (pela emissão de 49 ficha dadas em
garantia).




             Registros contábeis realizados por Ziquarru


 Livro 1 – Animais (estoque)       Livro 2 – Garantia (cliente a pagar)

      Carneiro                   49 fichas que representam a garantia de que o pastor havia
      Cabras                      recebido o rebanho e tinha uma dívida com o Puhisenni.

     Na seqüência do texto há a referência da transição de animais “cada animal do rebanho
era representado por uma ficha mantida em um receptáculo. Sempre que algum animal era
transferido para um pastor, ou para outra pastagem, ou mesmo para tosquia, a forma de
registro desse evento era a transferência da ficha correspondente ao animal para outra caixa”.
Isso demonstra a aplicação de todos os conhecimentos matemáticos, principalmente àqueles
ligados às funções, visto que todos os fatos relacionados com o patrimônio eram registrados.




                                                                                          21
Conforme Sá (1997) a “apuração de custos, revisões de contas, controles gerenciais de
produtividade, orçamento, tudo isto já era praticado em registros feitos em pranchas de
argila, nas civilizações da Suméria e da Babilônia (mesopotâmia)”. Só poderia ser realizado
esse cálculo se os mesopotâmicos aplicassem os princípios matemáticos aqui relatados.

      Um outro fato que concretiza a utilização de partidas dobradas pelos mesopotâmicos é
que somente os sacerdotes poderiam fazer esse registro e controle. Um dos requisitos básicos
 para essa função era o conhecimento teórico e prático de aritmética e geometria. Seria um
  choque de conhecimentos e aplicações dos registros, se os sacerdotes utilizassem partidas
     simples, uma vez que a matemática sempre trabalhou com uma dualidade: causa e
 conseqüência. Por este motivo, é infundado falar que os registros contábeis realizados pelas
civilizações da Mesopotâmia eram feitos sobre forma de partida simples, o fato de utilizarem
livros distintos para os registro de controle não descaracteriza a aplicação da partida dobrada.




   A genialidade dos mesopotâmicos e o seu desenvolvimento cultural criaram, também,
 ambientes intelectuais propícios ao grande progresso na escrita contábil. Há cerca de 2000
      a.C. os sistemas de leis, alcançando o patrimônio, já exigiam controles e registros
 aprimorados, onde a matemática desempenhava um importante papel na concretude da vida
     cotidiana. Por suas construções monumentais constata-se claramente o alto grau de
  desenvolvimento da matemática pelos sumérios, a qual era também empregada em outras
             áreas do conhecimento, inclusive a contabilidade, exemplo abaixo.




                                                                                            22
Para se tornar um sacerdote contador, o indivíduo precisava ter conhecimento de
notação aritmética e do seu uso prático. Um dos princípios básicos da matemática é a relação
dos fenômenos, por isso seria insensato dizer que os sacerdotes não aplicavam esse
conhecimento nos registros contábeis. Conseqüentemente, fica provado que esses registros
eram feitos usando Partidas Dobradas, porém, em livros e formas distintas.




                                      CONCLUSÃO



       Concluímos que a matemática, assim como as ciências de modo geral
desenvolveram-se devido as necessidades que surgiam dia-dia. A matemática na
Mesopotâmia surgiram como uma ciência prática, com o objetivo de facilitar o cálculo do
calendário, a administração das colheitas, organização de obras públicas e a cobrança
de impostos, bem como seus registros.
       As águas dos rios Tigre e Eufrates proporcionavam facilidades para o transporte de
mercadorias, o que ajudou a desenvolver um processo de navegação.




                                                                                        23
Foram desenvolvidos nestes rios grandes projetos de irrigação das terras cultiváveis
e a construção de grandes diques de contenção, abrindo assim o caminho para o
desenvolvimento de uma engenharia primitiva.
       Procedeu-se ao desenvolvimento de uma astronomia rudimentar para o cálculo do
período de cheias e vazantes dos rios, mesmo que estes períodos não fossem regulares
como os do rio Nilo no Egito.
       E também, pelo fato da Mesopotâmia estar situada no centro do mundo conhecido da
época, o que propiciava muito contato com outros povos, ela teve um papel muito grande no
desenvolvimento da matemática de um povo que teve um papel muito importante na
história: o povo Grego. Graças a este contato com o povo Grego, muito desta matemática
chegou até os nossos dias.




                              Referências bibliográficas

     BRITO, Eugênio Oscar de. Dicionário de matemática. Porto Alegre: Globo, [s.d.].

     CIUDAD        DE        LA     INFORMÁTICA.           Antigüedad.   Disponível     em:
<http://www.ciberhabitat.- gob.mx/museo/2_historia/texto/texto_antiguedad.htm>.

     CRUZ, Carlos Geraldo Caixeta; SILVA, Amilto Paulino. Fragmentos da História da
Contabilidade:     da        antiguidade    a    Luca        Pacioli.    Disponível     em:
<http://www.ctcc.com.br/dicas_9.-htm>.




                                                                                        24
GEOCITIES.       Matemáticas      em     el   império     sumerio.   Disponível   em:
<http://geocities.com/cal-culos31416/Historia>.

     GUIMARÃES, Carlos Antonio Fragoso. René Descartes: a filosofia da razão.
Disponível                   em:                   <http://www.google.com.br/search?hl=pt-
BR&ie=UTF-8&oe=UTF-8&q=Descartes&btnG=Pesqui-sa+Google&lr=lang_pt>.

     IUDÍCIBUS, Sérgio de. Teoria da Contabilidade. 5. ed. São Paulo: Atlas, 1997.

     SÁ, Antonio Lopes de. História Geral e das Doutrinas da Contabilidade. São Paulo:
Atlas, 1997. Teoria da Contabilidade. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2002.

     SANTOS, Manoel da Silva. O homem, a Contabilidade e o Contador: da pré-história a
contemporânea. Disponível em: <http://netpage.em.com.br/monoelss/conthomem.htm>.

     SCHMIDT, Paulo. História do Pensamento Contábil. Porto Alegre: Bookman, 2000.


     VBCONTROL. Economia. Disponível em: <http://vbcontrol.hypermart.net/hmrb/

economia.-html>. :


     BARBEIRO, Heródoto. Et alli. História. Ed. Scipione. 2005


     BERUTTI, Flávio. História. Ed. Saraiva. 2004.


     BOYER, Carl B. História da matemática. 2º ed. SP. Edgard Blucher, 2003.


     EVES, Howard. Introdução à história da matemática. 2º ed. UNICAMP, 2002.


     STRUIK, História concisa das matemáticas. Gradiva. 1989.


     Fábio Costa Pedro e Olga M. A. Fonseca Coulon - História: Pré-
História, Antiguidade e Feudalismo, 1989



                                                                                       25
26

More Related Content

What's hot

Egito apresntação dia 26 1º ano
Egito apresntação dia 26 1º anoEgito apresntação dia 26 1º ano
Egito apresntação dia 26 1º anohermes2974
 
5° civilizações do oriente médio
5° civilizações do oriente médio5° civilizações do oriente médio
5° civilizações do oriente médioAjudar Pessoas
 
Antigas civilizações
Antigas civilizações Antigas civilizações
Antigas civilizações Adail Silva
 
Mesopotâmia - 6º Ano (2018)
Mesopotâmia - 6º Ano (2018)Mesopotâmia - 6º Ano (2018)
Mesopotâmia - 6º Ano (2018)Nefer19
 
Mesopotâmia as civilizações da antiguidade
Mesopotâmia   as civilizações da antiguidadeMesopotâmia   as civilizações da antiguidade
Mesopotâmia as civilizações da antiguidadeElaine Santos
 
A economia da mesopotâmia
A economia da mesopotâmiaA economia da mesopotâmia
A economia da mesopotâmiahistoriando
 
Mesopotâmia (6º Ano - 2016)
Mesopotâmia (6º Ano - 2016)Mesopotâmia (6º Ano - 2016)
Mesopotâmia (6º Ano - 2016)Nefer19
 
Os Fenícios - 6º Ano (2017)
Os Fenícios - 6º Ano (2017)Os Fenícios - 6º Ano (2017)
Os Fenícios - 6º Ano (2017)Nefer19
 
Civilizações da África Antiga
Civilizações da África AntigaCivilizações da África Antiga
Civilizações da África AntigaFábio Paiva
 

What's hot (20)

Mesopotamia
MesopotamiaMesopotamia
Mesopotamia
 
Mesopotamia
MesopotamiaMesopotamia
Mesopotamia
 
Mesopotâmia
MesopotâmiaMesopotâmia
Mesopotâmia
 
Povos da mesopotâmia
Povos da mesopotâmiaPovos da mesopotâmia
Povos da mesopotâmia
 
Egito apresntação dia 26 1º ano
Egito apresntação dia 26 1º anoEgito apresntação dia 26 1º ano
Egito apresntação dia 26 1º ano
 
5° civilizações do oriente médio
5° civilizações do oriente médio5° civilizações do oriente médio
5° civilizações do oriente médio
 
Antigas civilizações
Antigas civilizações Antigas civilizações
Antigas civilizações
 
Antiguidade oriental
Antiguidade orientalAntiguidade oriental
Antiguidade oriental
 
Revisao.egito
Revisao.egitoRevisao.egito
Revisao.egito
 
Mesopotâmia - 6º Ano (2018)
Mesopotâmia - 6º Ano (2018)Mesopotâmia - 6º Ano (2018)
Mesopotâmia - 6º Ano (2018)
 
Mesopotâmia as civilizações da antiguidade
Mesopotâmia   as civilizações da antiguidadeMesopotâmia   as civilizações da antiguidade
Mesopotâmia as civilizações da antiguidade
 
A economia da mesopotâmia
A economia da mesopotâmiaA economia da mesopotâmia
A economia da mesopotâmia
 
Mesopotamia
Mesopotamia Mesopotamia
Mesopotamia
 
Mesopotâmia (6º Ano - 2016)
Mesopotâmia (6º Ano - 2016)Mesopotâmia (6º Ano - 2016)
Mesopotâmia (6º Ano - 2016)
 
Os Fenícios - 6º Ano (2017)
Os Fenícios - 6º Ano (2017)Os Fenícios - 6º Ano (2017)
Os Fenícios - 6º Ano (2017)
 
Antiguidade oriental
Antiguidade oriental Antiguidade oriental
Antiguidade oriental
 
Egito antigo
Egito antigoEgito antigo
Egito antigo
 
Mesopotamia
MesopotamiaMesopotamia
Mesopotamia
 
Civilizações da África Antiga
Civilizações da África AntigaCivilizações da África Antiga
Civilizações da África Antiga
 
Mesopotamia
MesopotamiaMesopotamia
Mesopotamia
 

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
HISTÓRIA DA MATEMÁTICAHISTÓRIA DA MATEMÁTICA
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
 
Atividade 1
Atividade 1Atividade 1
Atividade 1
 
Iii encuentro egresados
Iii encuentro egresadosIii encuentro egresados
Iii encuentro egresados
 
Minotauro para pinco
Minotauro para pincoMinotauro para pinco
Minotauro para pinco
 
Proyecto para formulacion
Proyecto para formulacionProyecto para formulacion
Proyecto para formulacion
 
1. razas y cruzamientos
1. razas y cruzamientos1. razas y cruzamientos
1. razas y cruzamientos
 
Resume (update )
Resume (update )Resume (update )
Resume (update )
 
Brochure Voces Efectivas
Brochure Voces EfectivasBrochure Voces Efectivas
Brochure Voces Efectivas
 
Unida uno
Unida unoUnida uno
Unida uno
 
Esports
EsportsEsports
Esports
 
ADMINISTRACION Y FINANZAS EPSEL S.A.- LUIS SANTIAGO GARCIA MERINO
ADMINISTRACION Y FINANZAS EPSEL S.A.- LUIS SANTIAGO GARCIA MERINOADMINISTRACION Y FINANZAS EPSEL S.A.- LUIS SANTIAGO GARCIA MERINO
ADMINISTRACION Y FINANZAS EPSEL S.A.- LUIS SANTIAGO GARCIA MERINO
 
Pwer def
Pwer defPwer def
Pwer def
 
Visita do stº padre em slydes
Visita do stº padre em slydesVisita do stº padre em slydes
Visita do stº padre em slydes
 
Cambios de base numerica
Cambios de base numericaCambios de base numerica
Cambios de base numerica
 
Brazil regions
Brazil regionsBrazil regions
Brazil regions
 
Enums
EnumsEnums
Enums
 
Straight edge Tic
Straight edge TicStraight edge Tic
Straight edge Tic
 
DEP_Instituto_Formacion_continua_transversal_
DEP_Instituto_Formacion_continua_transversal_DEP_Instituto_Formacion_continua_transversal_
DEP_Instituto_Formacion_continua_transversal_
 
Impacto de las tic en la educacion karen
Impacto de las tic en la educacion karenImpacto de las tic en la educacion karen
Impacto de las tic en la educacion karen
 
Funcion y[1]
Funcion y[1]Funcion y[1]
Funcion y[1]
 

Similar to Trabalho final da_mesopot╢mia

Evolocao do trabalho e da sociedade
Evolocao do trabalho e da sociedadeEvolocao do trabalho e da sociedade
Evolocao do trabalho e da sociedadeJoanaPaiva16
 
Primeiras civilizações sociedades africanas da antiguidade
Primeiras civilizações   sociedades africanas da antiguidadePrimeiras civilizações   sociedades africanas da antiguidade
Primeiras civilizações sociedades africanas da antiguidadeseixasmarianas
 
História da mesopotâmia
História da mesopotâmiaHistória da mesopotâmia
História da mesopotâmiaguiurey
 
A civilização mesopotâmica
A civilização mesopotâmicaA civilização mesopotâmica
A civilização mesopotâmicahistoriando
 
ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023
ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023
ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023AzulAssessoriaAcadmi7
 
ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023
ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023
ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023AzulAssessoriaAcadmi7
 
Pré-história e Antiguidade Oriental
Pré-história e Antiguidade OrientalPré-história e Antiguidade Oriental
Pré-história e Antiguidade OrientalBreno Girotto
 
ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023
ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023
ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023AzulAssessoriaAcadmi7
 
a) Explique o que era considerado como riqueza na Idade Média.
a) Explique o que era considerado como riqueza na Idade Média.a) Explique o que era considerado como riqueza na Idade Média.
a) Explique o que era considerado como riqueza na Idade Média.Azul Assessoria Acadêmica
 
b) Com a queda do Império Romano na Europa criou-se uma nova forma de organiz...
b) Com a queda do Império Romano na Europa criou-se uma nova forma de organiz...b) Com a queda do Império Romano na Europa criou-se uma nova forma de organiz...
b) Com a queda do Império Romano na Europa criou-se uma nova forma de organiz...Azul Assessoria Acadêmica
 
a) Explique o que era considerado como riqueza na Idade Média.
a) Explique o que era considerado como riqueza na Idade Média.a) Explique o que era considerado como riqueza na Idade Média.
a) Explique o que era considerado como riqueza na Idade Média.Azul Assessoria Acadêmica
 
b) Com a queda do Império Romano na Europa criou-se uma nova forma de organiz...
b) Com a queda do Império Romano na Europa criou-se uma nova forma de organiz...b) Com a queda do Império Romano na Europa criou-se uma nova forma de organiz...
b) Com a queda do Império Romano na Europa criou-se uma nova forma de organiz...Azul Assessoria Acadêmica
 
A economia da Idade Antiga (4.000 aC-V dC) tinha a agricultura como principal...
A economia da Idade Antiga (4.000 aC-V dC) tinha a agricultura como principal...A economia da Idade Antiga (4.000 aC-V dC) tinha a agricultura como principal...
A economia da Idade Antiga (4.000 aC-V dC) tinha a agricultura como principal...AzulAssessoriaAcadmi7
 
A economia da Idade Antiga (4.000 aC-V dC) tinha a agricultura como principal...
A economia da Idade Antiga (4.000 aC-V dC) tinha a agricultura como principal...A economia da Idade Antiga (4.000 aC-V dC) tinha a agricultura como principal...
A economia da Idade Antiga (4.000 aC-V dC) tinha a agricultura como principal...AzulAssessoriaAcadmi7
 

Similar to Trabalho final da_mesopot╢mia (20)

Trabalho
Trabalho Trabalho
Trabalho
 
cidade
cidadecidade
cidade
 
Evolocao do trabalho e da sociedade
Evolocao do trabalho e da sociedadeEvolocao do trabalho e da sociedade
Evolocao do trabalho e da sociedade
 
Antiguidade oriental
Antiguidade orientalAntiguidade oriental
Antiguidade oriental
 
Primeiras civilizações sociedades africanas da antiguidade
Primeiras civilizações   sociedades africanas da antiguidadePrimeiras civilizações   sociedades africanas da antiguidade
Primeiras civilizações sociedades africanas da antiguidade
 
História da mesopotâmia
História da mesopotâmiaHistória da mesopotâmia
História da mesopotâmia
 
Antiguidade oriental em
Antiguidade oriental  emAntiguidade oriental  em
Antiguidade oriental em
 
A civilização mesopotâmica
A civilização mesopotâmicaA civilização mesopotâmica
A civilização mesopotâmica
 
A civilização mesopotâmica
A civilização mesopotâmicaA civilização mesopotâmica
A civilização mesopotâmica
 
ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023
ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023
ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023
 
ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023
ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023
ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023
 
Pré-história e Antiguidade Oriental
Pré-história e Antiguidade OrientalPré-história e Antiguidade Oriental
Pré-história e Antiguidade Oriental
 
ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023
ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023
ATIVIDADE 1 – ECO - DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO - 54/2023
 
Mesopotâmia
MesopotâmiaMesopotâmia
Mesopotâmia
 
a) Explique o que era considerado como riqueza na Idade Média.
a) Explique o que era considerado como riqueza na Idade Média.a) Explique o que era considerado como riqueza na Idade Média.
a) Explique o que era considerado como riqueza na Idade Média.
 
b) Com a queda do Império Romano na Europa criou-se uma nova forma de organiz...
b) Com a queda do Império Romano na Europa criou-se uma nova forma de organiz...b) Com a queda do Império Romano na Europa criou-se uma nova forma de organiz...
b) Com a queda do Império Romano na Europa criou-se uma nova forma de organiz...
 
a) Explique o que era considerado como riqueza na Idade Média.
a) Explique o que era considerado como riqueza na Idade Média.a) Explique o que era considerado como riqueza na Idade Média.
a) Explique o que era considerado como riqueza na Idade Média.
 
b) Com a queda do Império Romano na Europa criou-se uma nova forma de organiz...
b) Com a queda do Império Romano na Europa criou-se uma nova forma de organiz...b) Com a queda do Império Romano na Europa criou-se uma nova forma de organiz...
b) Com a queda do Império Romano na Europa criou-se uma nova forma de organiz...
 
A economia da Idade Antiga (4.000 aC-V dC) tinha a agricultura como principal...
A economia da Idade Antiga (4.000 aC-V dC) tinha a agricultura como principal...A economia da Idade Antiga (4.000 aC-V dC) tinha a agricultura como principal...
A economia da Idade Antiga (4.000 aC-V dC) tinha a agricultura como principal...
 
A economia da Idade Antiga (4.000 aC-V dC) tinha a agricultura como principal...
A economia da Idade Antiga (4.000 aC-V dC) tinha a agricultura como principal...A economia da Idade Antiga (4.000 aC-V dC) tinha a agricultura como principal...
A economia da Idade Antiga (4.000 aC-V dC) tinha a agricultura como principal...
 

More from almirante2010

O nascimento do cаlculo
O nascimento do cаlculoO nascimento do cаlculo
O nascimento do cаlculoalmirante2010
 
Historia da analise combinatoria (sв matematica)
Historia da analise combinatoria (sв matematica)Historia da analise combinatoria (sв matematica)
Historia da analise combinatoria (sв matematica)almirante2010
 

More from almirante2010 (6)

Renascimento
RenascimentoRenascimento
Renascimento
 
O nascimento do cаlculo
O nascimento do cаlculoO nascimento do cаlculo
O nascimento do cаlculo
 
Historia da analise combinatoria (sв matematica)
Historia da analise combinatoria (sв matematica)Historia da analise combinatoria (sв matematica)
Historia da analise combinatoria (sв matematica)
 
Fundamentos exemplo
Fundamentos exemploFundamentos exemplo
Fundamentos exemplo
 
Antiguidade
AntiguidadeAntiguidade
Antiguidade
 
Matematica
MatematicaMatematica
Matematica
 

Recently uploaded

Regimento da ADUFC-Seção Sindical do ANDES-SN
Regimento da ADUFC-Seção Sindical do ANDES-SNRegimento da ADUFC-Seção Sindical do ANDES-SN
Regimento da ADUFC-Seção Sindical do ANDES-SNADUFC S.Sind
 
5. Em caso de sentença condenatória do Estado agressor, quais as penas?
5. Em caso de sentença condenatória do Estado agressor, quais as penas?5. Em caso de sentença condenatória do Estado agressor, quais as penas?
5. Em caso de sentença condenatória do Estado agressor, quais as penas?excellenceeducaciona
 
Aula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglês
Aula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglêsAula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglês
Aula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglêsAldoBlfia1
 
Lição 10 - A Ceia do Senhor - A Segunda Ordenança da Igreja(COM ANIMAÇÃO).pptx
Lição 10 - A Ceia do Senhor  - A Segunda Ordenança da Igreja(COM ANIMAÇÃO).pptxLição 10 - A Ceia do Senhor  - A Segunda Ordenança da Igreja(COM ANIMAÇÃO).pptx
Lição 10 - A Ceia do Senhor - A Segunda Ordenança da Igreja(COM ANIMAÇÃO).pptxTiagoCarpesDoNascime
 
LAPBOOK DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdf
LAPBOOK  DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdfLAPBOOK  DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdf
LAPBOOK DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdfVivianeFerreiradaSil5
 
01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...
01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...
01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...atividademapa3
 
CADERNO_DE_CULTURA_ESPANHOLA_E_HISPANO-AMERICANA.pdf
CADERNO_DE_CULTURA_ESPANHOLA_E_HISPANO-AMERICANA.pdfCADERNO_DE_CULTURA_ESPANHOLA_E_HISPANO-AMERICANA.pdf
CADERNO_DE_CULTURA_ESPANHOLA_E_HISPANO-AMERICANA.pdfPaulissandraCoelho1
 
3. Como será feita a apresentação do conteúdo destas abordagens? Serão debate...
3. Como será feita a apresentação do conteúdo destas abordagens? Serão debate...3. Como será feita a apresentação do conteúdo destas abordagens? Serão debate...
3. Como será feita a apresentação do conteúdo destas abordagens? Serão debate...azulassessoriaacadem3
 
AULA-05---TRANSITIVIDADE-VERBAL-I_bc6ac78f0ec049a9bf66e829ce05ac19.pptx
AULA-05---TRANSITIVIDADE-VERBAL-I_bc6ac78f0ec049a9bf66e829ce05ac19.pptxAULA-05---TRANSITIVIDADE-VERBAL-I_bc6ac78f0ec049a9bf66e829ce05ac19.pptx
AULA-05---TRANSITIVIDADE-VERBAL-I_bc6ac78f0ec049a9bf66e829ce05ac19.pptxJosé Roberto Pinto
 
8_704__8o_ano_aula_N1_2024.pptx para aulas de artes
8_704__8o_ano_aula_N1_2024.pptx para aulas de artes8_704__8o_ano_aula_N1_2024.pptx para aulas de artes
8_704__8o_ano_aula_N1_2024.pptx para aulas de artesdouglasfronja07
 
Trabalho Faculdade AD1 Didática - 2024 P
Trabalho Faculdade AD1 Didática - 2024 PTrabalho Faculdade AD1 Didática - 2024 P
Trabalho Faculdade AD1 Didática - 2024 PWallasTmara
 
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...excellenceeducaciona
 
1. A atividade toda jurídica ocorre no plano do direito interno ou externo?
1. A atividade toda jurídica ocorre no plano do direito interno ou externo?1. A atividade toda jurídica ocorre no plano do direito interno ou externo?
1. A atividade toda jurídica ocorre no plano do direito interno ou externo?excellenceeducaciona
 
Projeto escolar dia da água educação infantil e fundamental
Projeto escolar dia da água educação infantil e fundamentalProjeto escolar dia da água educação infantil e fundamental
Projeto escolar dia da água educação infantil e fundamentalDiana328805
 
Antologia Literária NATAL em Versos 2023
Antologia Literária NATAL em Versos 2023Antologia Literária NATAL em Versos 2023
Antologia Literária NATAL em Versos 2023Nome Sobrenome
 
Introdução à Cartografia e Geoprocessamento - Conceitos Básicos
Introdução à Cartografia e Geoprocessamento - Conceitos  BásicosIntrodução à Cartografia e Geoprocessamento - Conceitos  Básicos
Introdução à Cartografia e Geoprocessamento - Conceitos BásicosVitor Vieira Vasconcelos
 
Ensino Religioso Ensino Religioso Ensino Religioso
Ensino Religioso Ensino Religioso Ensino ReligiosoEnsino Religioso Ensino Religioso Ensino Religioso
Ensino Religioso Ensino Religioso Ensino ReligiosoLUZIATRAVASSO1
 

Recently uploaded (20)

Regimento da ADUFC-Seção Sindical do ANDES-SN
Regimento da ADUFC-Seção Sindical do ANDES-SNRegimento da ADUFC-Seção Sindical do ANDES-SN
Regimento da ADUFC-Seção Sindical do ANDES-SN
 
5. Em caso de sentença condenatória do Estado agressor, quais as penas?
5. Em caso de sentença condenatória do Estado agressor, quais as penas?5. Em caso de sentença condenatória do Estado agressor, quais as penas?
5. Em caso de sentença condenatória do Estado agressor, quais as penas?
 
Aula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglês
Aula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglêsAula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglês
Aula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglês
 
Lição 10 - A Ceia do Senhor - A Segunda Ordenança da Igreja(COM ANIMAÇÃO).pptx
Lição 10 - A Ceia do Senhor  - A Segunda Ordenança da Igreja(COM ANIMAÇÃO).pptxLição 10 - A Ceia do Senhor  - A Segunda Ordenança da Igreja(COM ANIMAÇÃO).pptx
Lição 10 - A Ceia do Senhor - A Segunda Ordenança da Igreja(COM ANIMAÇÃO).pptx
 
LAPBOOK DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdf
LAPBOOK  DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdfLAPBOOK  DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdf
LAPBOOK DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdf
 
NBR 6023/2018 (Corrigida em 2020). Referências. 1s24.pdf
NBR 6023/2018 (Corrigida em 2020). Referências. 1s24.pdfNBR 6023/2018 (Corrigida em 2020). Referências. 1s24.pdf
NBR 6023/2018 (Corrigida em 2020). Referências. 1s24.pdf
 
01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...
01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...
01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...
 
CADERNO_DE_CULTURA_ESPANHOLA_E_HISPANO-AMERICANA.pdf
CADERNO_DE_CULTURA_ESPANHOLA_E_HISPANO-AMERICANA.pdfCADERNO_DE_CULTURA_ESPANHOLA_E_HISPANO-AMERICANA.pdf
CADERNO_DE_CULTURA_ESPANHOLA_E_HISPANO-AMERICANA.pdf
 
3. Como será feita a apresentação do conteúdo destas abordagens? Serão debate...
3. Como será feita a apresentação do conteúdo destas abordagens? Serão debate...3. Como será feita a apresentação do conteúdo destas abordagens? Serão debate...
3. Como será feita a apresentação do conteúdo destas abordagens? Serão debate...
 
AULA-05---TRANSITIVIDADE-VERBAL-I_bc6ac78f0ec049a9bf66e829ce05ac19.pptx
AULA-05---TRANSITIVIDADE-VERBAL-I_bc6ac78f0ec049a9bf66e829ce05ac19.pptxAULA-05---TRANSITIVIDADE-VERBAL-I_bc6ac78f0ec049a9bf66e829ce05ac19.pptx
AULA-05---TRANSITIVIDADE-VERBAL-I_bc6ac78f0ec049a9bf66e829ce05ac19.pptx
 
8_704__8o_ano_aula_N1_2024.pptx para aulas de artes
8_704__8o_ano_aula_N1_2024.pptx para aulas de artes8_704__8o_ano_aula_N1_2024.pptx para aulas de artes
8_704__8o_ano_aula_N1_2024.pptx para aulas de artes
 
Os textos contemporâneos na construção da opinião.
Os textos contemporâneos na construção  da opinião.Os textos contemporâneos na construção  da opinião.
Os textos contemporâneos na construção da opinião.
 
Trabalho Faculdade AD1 Didática - 2024 P
Trabalho Faculdade AD1 Didática - 2024 PTrabalho Faculdade AD1 Didática - 2024 P
Trabalho Faculdade AD1 Didática - 2024 P
 
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...
 
1. A atividade toda jurídica ocorre no plano do direito interno ou externo?
1. A atividade toda jurídica ocorre no plano do direito interno ou externo?1. A atividade toda jurídica ocorre no plano do direito interno ou externo?
1. A atividade toda jurídica ocorre no plano do direito interno ou externo?
 
Projeto escolar dia da água educação infantil e fundamental
Projeto escolar dia da água educação infantil e fundamentalProjeto escolar dia da água educação infantil e fundamental
Projeto escolar dia da água educação infantil e fundamental
 
Antologia Literária NATAL em Versos 2023
Antologia Literária NATAL em Versos 2023Antologia Literária NATAL em Versos 2023
Antologia Literária NATAL em Versos 2023
 
Introdução à Cartografia e Geoprocessamento - Conceitos Básicos
Introdução à Cartografia e Geoprocessamento - Conceitos  BásicosIntrodução à Cartografia e Geoprocessamento - Conceitos  Básicos
Introdução à Cartografia e Geoprocessamento - Conceitos Básicos
 
Ensino Religioso Ensino Religioso Ensino Religioso
Ensino Religioso Ensino Religioso Ensino ReligiosoEnsino Religioso Ensino Religioso Ensino Religioso
Ensino Religioso Ensino Religioso Ensino Religioso
 
Complementação: Aplicando as Normas da ABNT. 1s24.pdf
Complementação: Aplicando as Normas da ABNT. 1s24.pdfComplementação: Aplicando as Normas da ABNT. 1s24.pdf
Complementação: Aplicando as Normas da ABNT. 1s24.pdf
 

Trabalho final da_mesopot╢mia

  • 1. UPF - UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO - NOVEMBRO DE 2005. HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NA M E S O P O T Â M I A MÁRCIO LUÍS FREIRE
  • 2. INTRODUÇÃO A Matemática como a concebemos nos dias atuais foi fruto de uma demorada e profícua evolução, desde os homens das cavernas, passando por todas as grandes civilizações do passado até chegar na complexidade do mundo mercantilista e globalizado atual. A finalidade desse trabalho é mostrar, em forma de evidenciação, que a matemática desenvolvida pelos povos da Mesopotâmia entre os anos de 2800 a 1880 a.C. dão suportes lógicos e consistentes aos anseios de todas as culturas posteriores, demonstrando, assim, sua grande relevância histórica. 2
  • 3. ASPECTOS GEOGRÁFICOS E SOCIOLÓGICOS DA MESOPOTÂMIA Geograficamente a Mesopotâmia está situada entre os rios Tigre e Eufrates no Oriente Médio, no chamado crescente fértil, onde atualmente se localiza o Iraque e a Síria. Em grego, a palavra Mesopotâmia significa entre rios. Os povos que formavam a Mesopotâmia foram os Sumérios, Acádios, Amoritas, Caldeus e Hititas, os quais lutavam pela posse das terras aráveis.. Porém ao contrário do que ocorria com as águas do rio Nilo, os períodos de cheia dos rios Tigre e Eufrates eram bastante irregulares, obrigando a realização de numerosas obras de irrigação e drenagem, com períodos de observação e desenvolvimento com uma maior dificuldade.. As civilizações que habitam essa região prosperaram com base na agricultura. Desenvolveram-se nos vales dos rios Tigre e Eufrates devido, à fertilidade da terra decorrente das inundações destes. 3
  • 4. O centro, correspondendo ao curso médio dos rios, era chamado de Acádia, sobressaindo as cidades de Babilônia, Uruc, Nipur, Sipar e Acad. O norte era denominado Assíria, destacando-se as cidades de Nínive, Nimrud e Assur. Por volta de 3 500 a.C., vindos provavelmente da Ásia Central, os sumérios fixaram-se na Baixa Mesopotâmia, fundindo-se étnica e culturalmente com a população local. Com a sua chegada, deu-se o aperfeiçoamento dos métodos de cultivo e de irrigação. A agricultura, além de abastecer regularmente a população, passou a gerar excedentes para o comércio. Desenvolveram-se o artesanato especializado, o uso de metais e surgiram inovações técnicas como a roda. A população expandiu-se, dando origem a novos grupos sociais como sacerdotes, funcionários, mercadores, artesãos e soldados. Assim, as aldeias transformaram-se em cidades, como Ur, Uruk, Lagash, com governo próprio e profissões variadas. Estabeleceu-se ativo comércio entre as cidades de Suméria e seus vizinhos. Caravanas de mercadores levavam cargas de cevada e tecidos para a Ásia Menor e para o Irã, retornando com madeira, pedra e metais, que eram transformados em instrumentos, armas e jóias. A revolução urbana fez surgir na Suméria e posteriormente em Acade, cerca de 15 ou 20 cidades-Estado politicamente independentes, mas com língua, religião, organização social e sistema econômico semelhantes. Para desenvolver a agricultura, os habitantes desses vales inventaram sistemas de canalização e de diques para controlar a direção da água durante as enchentes. Estes 4
  • 5. sistemas também controlavam a drenagem das águas de volta aos rios. Os sumérios, babilônicos e os acádios formaram os principais ocupantes desta região entre os anos 2800 a.C. e 1800 a.C. Foi neste período que surgiram os primeiros centros urbanos da humanidade, com uma vida de ostentação da riqueza, complexa e variada, em que a lealdade política não era mais em relação a tribos ou clãs, mas sim ao rei que governava. As principais cidades dessa época foram:Ur, Uruk, Eridu, Nipur e Zagash. Essas cidades eram governadas pelos patesis, que representavam ao mesmo tempo a figura do chefe militar e sacerdote. Desenvolveu-se uma sociedade baseada em atividades agrícolas, pastoris, comerciais e artesanais. A formação de castas, organizada em forma piramidal foi inevitável. O posicionamento social do individuo, geralmente, era determinado pelo critério de nascimento e hereditariedade. Sua estrutura era dividida em camadas sendo a base da pirâmide composta pelos escravos, um número significativo e constituído principalmente por prisioneiros de guerra e homens livres pobres que se vendiam para sobreviver. Acima dos escravos, existiam os artesãos e os camponeses, que pertenciam às classes de homens livres, mas não recebiam o suficiente pelo trabalho que realizavam. E no topo da hierarquia social estava o rei, que possuía riquezas fabulosas, palácios grandiosos e vários funcionários que auxiliavam na administração do império. Administração essa que se caracterizava pelo domínio de todos os grupos sociais em um governo de fundamento teocrático. O centro de cada cidade da Mesopotâmia era dominado pelo “temenos”, conjunto de templos, destacando-se o “zigurat” ou torre de degraus com um pequeno santuário no alto da elevação. O templo era dedicado ao culto e às oferendas, como mostra a figura abaixo. 5
  • 6. Indiscutivelmente, a principal contribuição que os mesopotâmicos realizaram para o desenvolvimento do conhecimento foi à invenção de um tipo de escrita, a qual era feita por estiletes em uma placa de argila mole que depois secavam ao sol. Tais letras tinham a forma de cunha e, por isso, foram chamadas de cuneiforme. Eram monopolizadas pelos sacerdotes que tinham como uma de suas funções registrar as atividades comerciais. Os sacerdotes dos templos religiosos, através de seu vasto sistema tributário, coletavam e administravam gigantescas somas de bens, tais como terrenos, incluindo rebanhos, manadas, rendas e propriedades rurais. Entretanto, por causa da amplitude e variedade da riqueza acumulada, os sacerdotes enfrentaram problemas sem precedentes na história humana. Para essa prestação de contas como intendentes, não era possível confiar na memória a respeito dos tributos pagos, transações concluídas, sendo necessária uma forma de registro permanente. O surgimento da escrita justificou-se pelo crescimento das economias 6
  • 7. centralizadas, quando os funcionários dos palácios e templos sentiram a necessidade de manter o controle das quantidades de cereais e dos rebanhos de carneiros e gado que entravam e saíam dos celeiros e fazendas. Era impossível depender apenas da memória de um homem para armazenar todas as transações realizadas, além da necessidade de se transmitir os fatos a outros sacerdotes quando houvesse o falecimento de quem controlava essas operações, assim, tornou-se indispensável à criação de novos métodos que mantivessem registros confiáveis e permanentes. COMÉRCIO E ECONOMIA NA MESOPOTÂMIA Os mesopotâmicos possuíam uma economia bastante desenvolvida, com métodos de intercâmbio comercial que incluíam o uso de uma moeda metálica e já dispunham de uma rede bancária primitiva. Baseada na agricultura, principalmente no cultivo da cevada, produzia também outros produtos como o óleo de linhaça e de gergelim, linho, trigo e hortigranjeiros. A cevada muitas vezes era usada como meio de pagamento de salários e em rações diárias, sendo matéria-prima para a fabricação da bebida natural: a cerveja. Os rebanhos de ovelhas e cabras pastavam nos campos fora da estação de plantio e o gado quando havia água suficiente. A produção da lã era extensa e convertida em peças de tecidos. Santos (2001) nos afirma que: Os sumérios eram excelentes agricultores, eram peritos em irrigação; sendo favorecidos pelos rios Tigre e Eufrates. Eram bons comerciantes. A economia do país se fundamenta na lavoura e no comércio. Desenvolveram-se intensas relações comerciais com os países próximos. Trocavam-se metais, madeiras, produtos agrícolas e manufaturados. Usavam-se recibos, faturas, títulos de créditos, notas promissórias. Circulavam como dinheiro, barras de ouro ou prata. A unidade monetária padrão de troca era um ciclo de prata. O comércio era ativo e empregava muita gente. Outra atividade econômica era a pesca, utilizando-se de pequenos barcos de junco, anzol e rede os sumérios pescavam no Golfo Pérsico, nos rios, canais e pântanos. O artesanato foi um dos responsáveis pelo grande impulso dado ao comércio. Os artesãos eram 7
  • 8. muito habilidosos e fabricavam móveis de madeira; vasilhas de argila, de pedra, de madeira e de vidro; objetos de metal, de couro (sandálias, roupas, equipamentos militares), bijuterias e tijolos (secos ao sol ou cozidos em forno). As lãs retiradas das ovelhas eram utilizadas para confecção de tecido. As famílias ou oficinas têxteis, constituídas pelos homens livres, eram os realizadores do trabalho artesanal. Segundo texto publicado no site Vbcontrol (2003) “há duas formas básicas para se obter os materiais que países necessitam: pela guerra ou comércio. Tais materiais são geralmente exigidos como tributos ou tomados por pilhagem após uma expedição militar”. A região mesopotâmia carecia de recursos minerais e de madeira, indispensáveis para a construção de grandes monumentos, além de resistentes. Ao longo da história, os mesopotâmicos tiveram cada vez mais necessidade destes materiais, que vinham de longe: ou das florestas do Líbano ou das montanhas do Irã (atualmente). Essas montanhas também eram ricas em minerais, pedras e metais. Por este motivo, o comércio começava a ser executado com todas as regiões vizinhas. De acordo com Cruz e Silva (2002) devido ao incremento na atividade mercantil, bem como ao aumento de mercadorias em circulação, o sistema de tábuas contábeis tornou-se complexo. Segundo Iudícibus (1997) “a preocupação 8
  • 9. com as propriedades e a riqueza é uma constante no homem da Antigüidade,[...] e o homem teve de ir aperfeiçoando seu instrumento de avaliação patrimonial à medida que as atividades foram desenvolvendo-se em dimensão e em complexidade”. A situação geográfica da Mesopotâmia, na rota do comércio entre Oriente e Ocidente, estimulou as atividades comerciais, tornando necessários rudimentos de aritmética aplicada, tais como sistemas de contabilidade, noção de juros, etc. Em meados do terceiro milênio os comerciantes da Suméria já empregavam um sistema de pesos e medidas, fazendo uso de juros simples e compostos. APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA E DA GEOMETRIA MESOPOTÂMICA Os Babilônicos (assim também eram chamados os povos mesopotâmicos) tinham uma maior habilidade e facilidade para efetuar cálculos, talvez em virtude de sua linguagem ser mais acessível que a egípcia. Eles tinham técnicas para equações quadráticas e bi- quadráticas, além de possuírem fórmulas para áreas de figuras retilíneas simples e fórmulas para o cálculo do volume de sólidos simples. Sua geometria tinha suporte algébrico. Também conheciam as relações entre os lados de um triângulo retângulo e trigonometria básica, conforme descrito na tábua “Plimpton 322”. Os mesopotâmicos foram os inventores da álgebra, do sistema posicional, desenvolveram os cálculos de divisão e multiplicação, incluindo a criação da raiz quadrada e da raiz cúbica. E utilizando símbolos para unidades e dezenas, podiam representar qualquer número. Os símbolos utilizados por este povo para representar os números eram: v que correspondia a 1 (um) e o < que correspondia ao 10 (dez). O sistema numérico adotado pelos sumérios é uma combinação do sistema decimal e do sistema sexagesimal. Assim tem- se: v vv vvv vv vvv vvv < << <<< <<< << <<< vvv vv vv vvv vvv << << vvv vvv vvv vvv 1 2 3 4 5 9 10 20 30 36 40 59 9
  • 10. Os babilônios usavam um sistema posicional que, em alguns aspectos era semelhante ao dos egípcios. Algumas inscrições mostram que, surpreendentemente, eles usavam não somente um sistema decimal mas também um sistema sexagesimal (isto é, base 60) , o qual trazia enormes facilidades para os cálculos, visto que os divisores naturais de 60 são 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60, facilitando o cálculo com frações. Usavam um traço vertical para representar as unidades e outro desenho para as dezenas: No sistema decimal, os números de 1 a 99 eram representados por agrupamentos destes símbolos, por exemplo, O símbolo para 100 era composto por traços: e números superiores a 100, representados novamente por agrupamento. Assim, por exemplo, temos: O símbolo indica 10 vezes 100, isto é, 1000. Também empregava, em algumas tabuletas, o sistema sexagesimal. Os números de 1 a 59 eram representados novamente por agrupamento simples e a partir dali, se escreviam "grupos de cunhas", com base 60. Por exemplo, 10
  • 11. Os babilônios chegaram a empregar um símbolo, formado por duas cunhas inclinadas, para representar a ausência de um grupo. Por exemplo, Como este símbolo não era de uso freqüente, e ainda, nunca foi usado no fim de uma expressão, o sistema babilônio apresentava ambigüidades. Por exemplo, poderia representar o número , etc. Nosso sistema de numeração indo-arábico é um sistema de numeração posicional de base 10. Ele é preciso e não apresenta ambigüidades, justamente porque temos o símbolo 0 (zero) para representar ausência de uma casa. A base de numeração 10 é o sistema usado quase que universalmente pelo fato de termos dez dedos disponíveis nas mãos para nos auxiliar nos cálculos. Cidade da informática (2001) nos traz o seguinte texto: A astronomia e as matemáticas começaram a buscar essas respostas, e a criar aparatos que lhes serviam como para ordenar o mundo e os ciclos que a natureza dispõe. Os primeiors calendarios usados pelos babilonicos mediam os meses de acordo com as fases lunares e os anos, conforme a posição do sol. Pelo testemunho que perdura nas tabuas de argila que tem chegado até nós, hoje sabemos que por volta do ano de 1950 a.c, o povo babilônico adotou a base 60 para medir o tempo, ou seja, uma hora é igual a 60 minutos. Mas para que isso pudesse acontecer deveriam contar no solo com sistemas de numeração, e também com signos que representava quantidades. Ou seja, o sistema sexagesimal teve sua origem na astronomia, especificamente, na contagem do tempo, ou melhor na divisão do tempo em horas, minutos e segundos. No qual 1 (uma) hora equivale a 60 minutos. 11
  • 12. Estes números eram escritos mediante a pressão da extremidade mais larga ou menor de um cálamo de junco sobre a argila ou verticalmente (para desenhar um círculo) ou obliquamente. Com o passar do tempo esses números passaram a apresentar uma forma angular. Exemplificando o sistema numérico utilizado pelos sumérios, tem-se: 1º) << << = 20 x 60 + 20 = 1.220 2º) vv vv <v = 2 x 602 + 2 x 60 + 11 = 7.331 Observa-se que os mesopotâmicos começaram a calcular da direita para esquerda, ou seja, o primeiro grupo de símbolos representam as unidades, o segundo grupo representa as dezenas, depois seriam as centenas e assim por diante. Um outro fato curioso é que, retirando o grupo das unidades, os demais grupos são multiplicados pelo fator 60, onde as dezenas apenas por 60, as centenas por 60 ao quadrado, e assim continuaria, aumentando-se as casas aumentam-se os expoentes. Este tipo de cálculo deixa bem claro que os sumérios já conheciam e utilizavam as potências quadradas e cúbicas. . Os sumérios utilizaram a formula: para utilizar a multiplicação. A divisão se assimila a multiplicação a seguir: 12
  • 13. Algumas tábuas mostram que os mesopotâmicos chegaram a resolver equações do 2. º e 3. º graus, usando palavras como incógnitas num sentido abstrato e conheciam bem o processo de fatoração. Não só resolviam as equações quadráticas, seja pelo método equivalente ao da substituição numa fórmula geral, seja pelo método de completar quadrados, como também discutiam algumas cúbicas e algumas biquadradas. Acredita-se que os povos mesopotâmicos dominavam também as fórmulas de progressões geométricas. Seus desenvolvimentos podem ser constatados em tabuletas que indicavam relações entre os lados de um triângulo. Porém, essas tabuletas mostram apenas as questões e os resultados. As implantações dos sistemas de irrigação desenvolvidos exigiam, para a execução do trabalho, alguma forma primitiva de engenharia e agrimensura, atividades que pressupõem a aplicação de certos conhecimentos geométricos, tais como mediadas de áreas, linhas de nível, etc. Da matemática mesopotâmica constata-se também a familiarização com as regras gerais de cálculo da área do retângulo, do triângulo retângulo e isóscele, de um trapézio retângulo e, do volume de um paralelepípedo e mais, geralmente do volume de um prisma reto de base trapezional. Tinham também uma fórmula para calcular o perímetro da circunferência a que equivale. Conheciam o volume de um tronco de cone e de um tronco de pirâmide quadrangular regular. Sabiam que os lados correspondentes de dois triângulos retângulos semelhantes são proporcionais. Utilizavam-se de uma ‘corda com 13 nós’ de forma a que o espaço entre eles fosse igual, isto é, a corda media 12 unidades, sendo cada unidade o espaço entre dois nós consecutivos, para construir um triângulo retângulo, mas não sabiam expressar teoricamente esse conhecimento. Essa técnica foi divulgada por Pitágoras, em 560 a.C. após ter realizado várias viagens à Mesopotâmia, cujo saber havia fascinado Tales, onde estudou geometria com sacerdotes, vindo a ter contato com o método da ‘corda de 13 nós’. Com base nesta técnica desenvolveu o que hoje conhecemos como Teorema de Pitágoras ‘num triângulo, o quadrado da 13
  • 14. hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos’. Pitágoras não só se satisfez com a generalização da propriedade a que chegou, como também se preocupou com a sua demonstração, ou seja, em provar que essa regra se aplicava a todos os triângulos retângulos. Somente em 1637 d.C. foi provada a relação de posicionamento utilizado pelos sumérios nas construções de seus templos, palácios e monumentos arquitetônicos. Tal feito foi realizado por Descartes. Ele criou uma fórmula algébrica para representar um fato trivial e infantil já conhecido por todos; de que um ponto em uma folha de papel retangular está infalivelmente, como é evidente, onde as duas linhas de suas duas distâncias medidas perpendiculares a duas margens adjacentes da folha, se encontram. Em linguagem geométrica, isto quer dizer que um ponto em um plano pode ser representado pelos valores (hoje chamado coordenadas cartesianas) das suas duas distâncias (x, y), tomadas perpendiculares a dois eixos que se cruzam em ângulo reto nesse plano, como a convenção de lado positiva e negativa para um e outro lado do ponto de cruzamento dos eixos. O APARECIMENTO DE Uma das características mais relevantes da matemática suméria era o uso do sistema de numeração posicional. Isto possibilitava o cálculo do valor numérico de grandezas geométricas com uma precisão admirável para a época. Um exemplo notável pode ser visto em um tablete sumeriano da Yale Babylonian Collection, catalogado sob a sigla YBC7289. 14
  • 15. Tablete sumério YBC7289, da Yale Babylonian Collection. Nele vemos representado um quadrado, suas duas diagonais e três números: a=30 b=1,24,51,10 c=42,25,35 escritos no sistema sexagesimal sumeriano. Nessa notação os algarismos do sistema sexagesimal são indicados por 0, 1, 2,..., 9, 10, 11, 12,...,59, e a vírgula separam as casas. Desenho esquemático do tablete sumério YBC7289, mostrando um quadrado, suas duas diagonais, e três números sexagesimais, um sendo o valor do lado do quadrado, outro uma aproximação do valor de ,eo terceiro uma aproximação do valor de sua diagonal. Calculando na base sexagesimal temos 15
  • 16. portanto . Por outro lado, interpretando na figura acima como o valor da diagonal do quadrado de lado , temos, em virtude do Teorema de Pitágoras, Assim, relacionando e, vemos que deve ser uma aproximação de Lembrando que os sumérios não tinham notação para separar a parte inteira da parte fracionária na representação escrita dos números, passamos a interpretar , e como: a=(0;30) 60 b=(1;24,51,10)60 c=(0;42,25,35)60 Vemos que que é próximo de 2. Resulta a aproximação No sistema decimal isso equivale a 16
  • 17. Comparando com vemos que a aproximação calculada pelos sumérios tem erro . Este foi sem dúvida um cálculo notável. PARTIDAS DOBRADAS E CONHECIMENTO MATEMÁTICO A matemática sempre foi utilizada como um instrumento, através do qual se podia explicar os fenômenos naturais, ou seja, suas causas e conseqüências. Por exemplo, aplicando-se a dualidade dos fatos, pela matemática, obtêm-se na Astronomia a relação do tempo em horas-dia e horas-noite. Os mesopotâmicos também representavam a natureza dos seres através da matemática, ou seja, os números pares eram considerados seres femininos e os ímpares, masculinos. Até mesmo na grafia estava presente a dualidades das coisas, o que se pode verificar claramente no símbolo utilizado para representar o infinito. Esse símbolo representa a união de dois círculos (4), onde um deles representa o mundo material e o outro o mundo imaterial, em outras palavras, o infinito significa graficamente a união dos dois mundos. Os números também representam o bem e o mal. Representavam o bem, os números positivos, que significam a soma, o acréscimo; já os números negativos o mal, a exclusão, a subtração. Paralelamente a esse raciocínio desenvolveu-se o controle do patrimônio, o sentido do que me pertence e o que pertence à outra pessoa. Segundo Sá (2002) “o ‘meu’ e o ‘seu’ deram, na época, origem a registros especiais de ‘débito’ (o que alguém tem que me pagar) e ‘crédito’ (o que devo pagar a alguém)”, onde teríamos uma primeira versão do registro por Partidas Dobradas. Uma outra aplicação da matemática pelos mesopotâmicos se refere às funções. Este povo conhecia o sentido amplo da palavra ‘relação’. Conforme Brito [s.d] diz-se que existe uma relação entre duas coisas quando existe um elo de ligação, uma correspondência, uma vinculação entre elas. 17
  • 18. Usando a representação de conjuntos podemos visualizar estes exemplos mais facilmente. Dentro de cada conjunto podemos apresentar seus elementos (valores) e associá- los na relação. Como pode ser observado na figura 1. Figura 1 Correlação entre conjuntos Observe que do conjunto origem (A) partem os elos de ligação em direção ao conjunto destino (B). Com esta noção de ‘relação’ em mente e, particularmente, evidenciando as situações acima ilustradas, podemos definir o que vem a ser uma função. A idéia de relação biunívoca de conjunto que predomina numa função entre origem e destino coaduna com a idéia das Partidas Dobradas de origem e aplicação de recursos. A forma intuitiva do aprendizado das funções através da representação de conjuntos é trocada, na prática, pelo Sistema Cartesiano, no qual colocamos o domínio no eixo do x e o contradomínio (em que estarão as imagens) no eixo do y. Desta forma podemos visualizar melhor o par ordenado (x,y) e o comportamento das funções que se deseja estudar. Assim temos: Figura 2 Sistema Cartesiano Como já foi dito antes, os mesopotâmicos não deixaram registro desse conhecimento, mas já foi provado que não só conheciam, como os utilizavam para a edificação de suas construções monumentais. 18
  • 19. CONTABILIDADE NA MESOPOTÂMIA O par ordenado do eixo cartesiano (x,y) pode ser visto, também, como uma forma de registro em par, isto é, uma Partida Dobrada. A aplicação do conhecimento da relação matemática aos controles contábeis em um determinado fato é relatada por Schmidt (2000): No ano de 1920, em Nuzi (norte da Babilônia), 49 fichas acompanhadas de uma tabela de pedra com inscrições cuneiformes listando um pequeno rebanho de carneiros, pertencente ao segundo milênio a.C., portanto, fora do período pré-histórico. Esses artefatos representam, aparentemente, a transferência desse pequeno rebanho – sete diferentes tipos de carneiros e cabras – realizada por Puhisenni, filho de Mapu, habitante da região, para o pastor de nome Ziquarru. A escavações revelam que as 49 fichas perfuradas representam a garantia de que o pastor havia recebido o rebanho e tinha uma dívida com o proprietário anterior. Cada animal do rebanho era representado por uma ficha mantida em um receptáculo. Sempre que algum animal era transferido para um pastor, ou para outra pastagem, ou mesma para tosquia, a forma de registro desse evento era a transferência da ficha correspondente ao animal para outra caixa. A explicação para esse duplo registro (a tabela de pedra e as fichas), segundo Schmandt-Besserat (1992), foi que a caixa de barro contendo as fichas era provavelmente destinada ao pastor (ou devedor), enquanto a tabela constituía o recibo de proprietário (ou credor). Mesmo já existindo a escrita cuneiforme, a maioria da população (como os pastores de 2000 a.C.) não a dominava e as fichas contábeis eram de fácil entendimento, já que cada ficha representava um animal. Terá a seguinte representação gráfica da situação acima citada: Figura 3 Representação utilizando o Conjunto 19
  • 20. Logo, temos: Matematicamente f(venda) = (carneiro, Ziquarru) f’(venda) = (cabra, Ziquarru) Contabilmente 1o) Débito – Ziquarru (Cliente) 2o) Débito – Ziquarru (Cliente) Crédito – Carneiro (Estoque) Crédito – Cabra (Estoque) Analisando os fatos, observa-se que há duas contabilidades paralelas, a do vendedor Puhisenni e a do comprador Ziquarru. Isso ficou bem caracterizado quando Schmidt apontou a transferência desse pequeno rebanho – sete diferentes tipos de carneiros e cabras – realizada por Puhisenni para o pastor de nome Ziquarru. Essa transferência de propriedade foi registrada por 49 fichas acompanhadas de uma tabela de pedra com inscrições cuneiformes listando um pequeno rebanho de carneiros. Em ambas as análises predominam a idéia do registro contábil por Partidas Dobradas e não por Partidas Simples. A contabilidade realizada por Puhisenni revela-nos que houve um registro de saída de sete animais, ou seja, atualmente diríamos que foi creditada conta-estoque (animais) em sua contrapartida, por meio das 49 fichas perfuradas, que representam a garantia de que o pastor havia recebido o rebanho e tinha uma dívida com o proprietário anterior, ou seja, essa garantia equivale àquilo que atualmente conhecemos por duplicatas, notas promissórias, cheques pré-datados, ou qualquer outro instrumento que reconheça a dívida, e logicamente esse registro é feito no Ativo na conta cliente. O conhecimento de números positivos e negativos nessa operação está bem claro. Observe que apesar de estarem registrados em livros distintos, o ato da venda dos animais teve sua contrapartida que foram os recibos do reconhecimento da dívida, como diz 20
  • 21. o texto “enquanto a tabela constituía o recibo de proprietário (ou credor)”. Graficamente, teríamos dois livros um de animais (estoque) e outro de garantia de compra (cliente a receber), a existência e registro em dois livros de forma simultânea permitem afirmar que tais registros são por Partidas Dobradas, como se mostra a seguir. Registros contábeis realizados por Puhisenni Livro1 – Animais (estoque) Livro 2 – Garantia (cliente a receber) 49 fichas que representam a garantia de que o pastor Carneiro havia recebido o rebanho e tinha uma dívida com o Cabras ele. O mesmo fato também é registrado pelo comprador, Ziquarru: “a explicação para esse duplo registro (a tabela de pedra e as fichas), segundo Schmandt-Besserat (1992), foi que a caixa de barro contendo as fichas era provavelmente destinada ao pastor (ou devedor)”. Onde ele debitaria estoque (animais) e creditaria fornecedor (pela emissão de 49 ficha dadas em garantia). Registros contábeis realizados por Ziquarru Livro 1 – Animais (estoque) Livro 2 – Garantia (cliente a pagar) Carneiro 49 fichas que representam a garantia de que o pastor havia Cabras recebido o rebanho e tinha uma dívida com o Puhisenni. Na seqüência do texto há a referência da transição de animais “cada animal do rebanho era representado por uma ficha mantida em um receptáculo. Sempre que algum animal era transferido para um pastor, ou para outra pastagem, ou mesmo para tosquia, a forma de registro desse evento era a transferência da ficha correspondente ao animal para outra caixa”. Isso demonstra a aplicação de todos os conhecimentos matemáticos, principalmente àqueles ligados às funções, visto que todos os fatos relacionados com o patrimônio eram registrados. 21
  • 22. Conforme Sá (1997) a “apuração de custos, revisões de contas, controles gerenciais de produtividade, orçamento, tudo isto já era praticado em registros feitos em pranchas de argila, nas civilizações da Suméria e da Babilônia (mesopotâmia)”. Só poderia ser realizado esse cálculo se os mesopotâmicos aplicassem os princípios matemáticos aqui relatados. Um outro fato que concretiza a utilização de partidas dobradas pelos mesopotâmicos é que somente os sacerdotes poderiam fazer esse registro e controle. Um dos requisitos básicos para essa função era o conhecimento teórico e prático de aritmética e geometria. Seria um choque de conhecimentos e aplicações dos registros, se os sacerdotes utilizassem partidas simples, uma vez que a matemática sempre trabalhou com uma dualidade: causa e conseqüência. Por este motivo, é infundado falar que os registros contábeis realizados pelas civilizações da Mesopotâmia eram feitos sobre forma de partida simples, o fato de utilizarem livros distintos para os registro de controle não descaracteriza a aplicação da partida dobrada. A genialidade dos mesopotâmicos e o seu desenvolvimento cultural criaram, também, ambientes intelectuais propícios ao grande progresso na escrita contábil. Há cerca de 2000 a.C. os sistemas de leis, alcançando o patrimônio, já exigiam controles e registros aprimorados, onde a matemática desempenhava um importante papel na concretude da vida cotidiana. Por suas construções monumentais constata-se claramente o alto grau de desenvolvimento da matemática pelos sumérios, a qual era também empregada em outras áreas do conhecimento, inclusive a contabilidade, exemplo abaixo. 22
  • 23. Para se tornar um sacerdote contador, o indivíduo precisava ter conhecimento de notação aritmética e do seu uso prático. Um dos princípios básicos da matemática é a relação dos fenômenos, por isso seria insensato dizer que os sacerdotes não aplicavam esse conhecimento nos registros contábeis. Conseqüentemente, fica provado que esses registros eram feitos usando Partidas Dobradas, porém, em livros e formas distintas. CONCLUSÃO Concluímos que a matemática, assim como as ciências de modo geral desenvolveram-se devido as necessidades que surgiam dia-dia. A matemática na Mesopotâmia surgiram como uma ciência prática, com o objetivo de facilitar o cálculo do calendário, a administração das colheitas, organização de obras públicas e a cobrança de impostos, bem como seus registros. As águas dos rios Tigre e Eufrates proporcionavam facilidades para o transporte de mercadorias, o que ajudou a desenvolver um processo de navegação. 23
  • 24. Foram desenvolvidos nestes rios grandes projetos de irrigação das terras cultiváveis e a construção de grandes diques de contenção, abrindo assim o caminho para o desenvolvimento de uma engenharia primitiva. Procedeu-se ao desenvolvimento de uma astronomia rudimentar para o cálculo do período de cheias e vazantes dos rios, mesmo que estes períodos não fossem regulares como os do rio Nilo no Egito. E também, pelo fato da Mesopotâmia estar situada no centro do mundo conhecido da época, o que propiciava muito contato com outros povos, ela teve um papel muito grande no desenvolvimento da matemática de um povo que teve um papel muito importante na história: o povo Grego. Graças a este contato com o povo Grego, muito desta matemática chegou até os nossos dias. Referências bibliográficas BRITO, Eugênio Oscar de. Dicionário de matemática. Porto Alegre: Globo, [s.d.]. CIUDAD DE LA INFORMÁTICA. Antigüedad. Disponível em: <http://www.ciberhabitat.- gob.mx/museo/2_historia/texto/texto_antiguedad.htm>. CRUZ, Carlos Geraldo Caixeta; SILVA, Amilto Paulino. Fragmentos da História da Contabilidade: da antiguidade a Luca Pacioli. Disponível em: <http://www.ctcc.com.br/dicas_9.-htm>. 24
  • 25. GEOCITIES. Matemáticas em el império sumerio. Disponível em: <http://geocities.com/cal-culos31416/Historia>. GUIMARÃES, Carlos Antonio Fragoso. René Descartes: a filosofia da razão. Disponível em: <http://www.google.com.br/search?hl=pt- BR&ie=UTF-8&oe=UTF-8&q=Descartes&btnG=Pesqui-sa+Google&lr=lang_pt>. IUDÍCIBUS, Sérgio de. Teoria da Contabilidade. 5. ed. São Paulo: Atlas, 1997. SÁ, Antonio Lopes de. História Geral e das Doutrinas da Contabilidade. São Paulo: Atlas, 1997. Teoria da Contabilidade. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2002. SANTOS, Manoel da Silva. O homem, a Contabilidade e o Contador: da pré-história a contemporânea. Disponível em: <http://netpage.em.com.br/monoelss/conthomem.htm>. SCHMIDT, Paulo. História do Pensamento Contábil. Porto Alegre: Bookman, 2000. VBCONTROL. Economia. Disponível em: <http://vbcontrol.hypermart.net/hmrb/ economia.-html>. : BARBEIRO, Heródoto. Et alli. História. Ed. Scipione. 2005 BERUTTI, Flávio. História. Ed. Saraiva. 2004. BOYER, Carl B. História da matemática. 2º ed. SP. Edgard Blucher, 2003. EVES, Howard. Introdução à história da matemática. 2º ed. UNICAMP, 2002. STRUIK, História concisa das matemáticas. Gradiva. 1989. Fábio Costa Pedro e Olga M. A. Fonseca Coulon - História: Pré- História, Antiguidade e Feudalismo, 1989 25
  • 26. 26