Fundamentos exemplo

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Fundamentos exemplo

  1. 1. ´ ´ A HISTORIA DA MATEMATICA NO EGITO Por Clenilson Dos Reis, Henrique S. Miranda e Simone Jacobsen. ´ ´ POLO UNIVERSITARIO-UFES 2005
  2. 2. Ses´stris... repartiu o solo do Egito entre seus habitantes... Se o rio levava qualquer o parte do lote de um homem... o rei mandava pessoas para para examinar,e determinar por medida a extens˜o exata da perda... Por esse costume, eu creio, que a geometria a veio a ser conhecida no Egito, de onde passou para a Gr´cia. e
  3. 3. Sum´rio a Cap´ ıtulo II 1 0.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 O Egito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Escrita eg´ ıpcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.4 Rocha de Behistun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.5 A Pedra de Rosetta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.6 A numera¸˜o eg´ ca ıpcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.7 A t´cnica de calcular dos eg´ e ıpcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.8 Os escribas do Egito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0.9 As pirˆmides e o primeiro calend´rio a a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0.10 Os papiros da Matem´tica . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0.11 Os problemas de Rhind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0.12 O surgimento das Fra¸˜es . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 0.13 As fra¸˜es unit´rias . . . . . . . . . . co a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 0.14 A Estagna¸˜o da Ciˆncia no Egito . . ca e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Bibliografia 12 1
  4. 4. Cap´ ıtulo II 0.1 Introdu¸˜o ca Antes do quarto milˆnio a.C. uma forma primitiva de escrita estava em uso na e Mesopotˆmia. Num processo gradual evolu´ a ıram os primitivos registros pictogr´ficos para a uma ordem linear de s´ ımbolos mais simples. Surge a escrita cuneiforme, que dava sig- nificado pelos arranjos das marcas em cunha. Foi encontrada uma rocha A Pedra Rosetta, em 1799, eg´ ıpcia, que trouxe muitas informa¸˜es a respeito dos n´meros. Encontrou-se uma numera¸˜o hierogl´ co u ca ıfica que era baseada no sistema decimal. Determinados s´ ımbolos indicavam valores de 10, 100, 1.000, 10.000 e 100.000. Por repeti¸˜o desses s´ ca ımbolos, escrevia-se o n´mero desejado. u As pirˆmides eg´ a ıpcias exibiam t˜o alto grau de precis˜o na constru¸˜o e orienta¸ao a a ca c˜ que lendas surgiram em torno delas. A sugest˜o de que a raz˜o do per´ a a ımetro da base da pirˆmide Queops, para a altura foi conscientemente posta no valor 2p est´ em desacordo a a com o que se sabe da geometria dos eg´ ıpcios. Aos eg´ıpcios tamb´m podemos atribuir a autoria do primeiro calend´rio. Tendo-se e a interessado pela observa¸˜o dos astros, conclu´ ca ıram que a inunda¸˜o anual do Nilo ocorria ca pouco depois que a estrela Siri´s se levantava a leste, logo antes do sol. Assim, como u essas apari¸˜es da Siri´s ocorriam em intervalos de 365 dias, os eg´ co u ıpcios estabeleceram um calend´rio solar feito de doze meses de trinta dias cada um e mais cinco dias de festa. a Ocorre que esse ano oficial era curto demais por um quarto de dia e foram necess´rias a corre¸˜es desta forma a cada quatro anos, as esta¸˜es avan¸avam em um dia. co co c Outra fonte de informa¸˜o sobre a matem´tica antiga, al´m dos escritos hierogl´ ca a e ıficos, ´ alguns papiros eg´ e ıpcios de mais de trˆs milˆnios de idade. e e O maior deles, conhecido como Papiro de Rhind ou Papiro Ahmes usa uma escrita chamada hier´tica, diferente da hierogl´ a ıfica. A base ainda ´ o sistema decimal, mas j´ s˜o adotados sinais especiais para representar e a a d´ıgitos e m´ltiplos de potˆncias de dez. O n´mero quatro, por exemplo, n˜o ´ mais u e u a e representado com quatro barras verticais e sim com uma barra horizontal. E assim por diante com outros n´meros. u 2
  5. 5. 0.2 O Egito ”D´divas do Nilo”, segundo a express˜o de Her´doto, historiador grego do s´culo V a a o e a.C., o Egito Antigo era, na realidade,um extenso o´sis com mais de 1000 quilˆmetros a o de comprimento por 10 a 20 de largura. O Rio Nilo era, ent˜o, muito mais largo do que a ´ hoje e corria atrav´s de uma vasta plan´ e e ıcie. Ao longo do tempo, a largura do rio foi diminuindo e seu leito ficando cada vez mais profundo. O vale do Nilo compreendia o Alto Egito, ou Terra do Sul, e o Baixo Egito, ou Terra do Norte. O Baixo Egito acupava a vasta plan´ aluvial formada pelo delta. ıcie De junho a outubro, as ´guas do Nilo inundavam as terras de ambas as margens. a Depois das cheias, os camponeses iniciavam as sementeiras num terreno fertilizado pelos sedimentos trazidos pela inunda¸˜o. ca O Rio Nilo fornecia aos eg´ıpcios, ´gua para beber e para irrigar as lavouras, e peixes a e aves aqu´ticas para a alimenta¸˜o. Em suas margens cresciam muitas plantas, entre as a ca quais v´rios tipos de bambu, que serviam para in´meros fins. Com um deles, o papiro, a u fabricava-se uma esp´cie de papel. e O Nilo era t˜o generoso que os eg´ a ıpcios tinham um hino que come¸ava com as seguintes c palavras: ”Salve, ´ Nilo, que sais da terra e conservas vivo o Egito”. o Nem todas as d´divas do Nilo, por´m, eram simp´ticas e uteis. Havia os crocodilos a e a ´ e os hipop´tamos que tornavam o rio bastante perigoso. Al´m disso, ´s vezes, as cheias o e a inundavam as casas, afogando homens e animais. 0.3 Escrita eg´ ıpcia Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas `s margens de rios transformaram-se a em cidades. A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas atividades iam surgindo, gra¸as,sobretudo, ao desenvolvimento do com´rcio. Os agricultores passaram a produzir c e alimentos em quantidades superiores `s suas necessidades. Com isso algumas pessoas a puderam se dedicar a outras atividades, tornando-se artes˜os, comerciantes, sacerdotes, a administradores. Como conseq¨ˆncia desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pr´-Hist´ria ue e o e o come¸o da Hist´ria. Os grandes progressos que marcaram o fim da Pr´-Hist´ria c o e o verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egito. Vocˆ certamente j´ ouviu falar e a nas pirˆmides do Egito. Para fazer os projetos de constru¸˜o das pirˆmides e dos templos, a ca a o n´mero concreto n˜o era nada pr´tico. Ele tamb´m n˜o ajudava muito na resolu¸ao u a a e a c˜ dos dif´ ıceis problemas criados pelo desenvolvimento da ind´stria e do com´rcio. u e Durante quase 15 s´culos, a humanidade olhou fascinada para os hier´glifos eg´ e o ıpcios sem lhe entender o sentido. Os sacerdotes eg´ıpcios do s´culo IV de nossa era foram e 3
  6. 6. os ultimos homens a utilizar essa linguagem. Eles, mantendo a linguagem t˜o fechada, ´ a fizeram com que o significado dessas mensagens se perdesse. Os Europeus da ´poca, e e posteriormente, pensavam que os hier´glifos eram instrumentos m´ o ısticos de algum rito demon´ ıaco. Os hier´glifos podem ter come¸ado em tempos pr´-hist´ricos como uma escrita por o c e o meio de imagens. Embora os eg´ ıpcios nunca tivessem formado um alfabeto como o conhecemos, estabeleceram s´ ımbolos para todas os sons consonantais da sua l´ ıngua. O sistema mostrou-se notavelmente eficiente. Combinando-se fonogramas, formavam-se vers˜es esquematizadas de palavras. o Nem todos os hier´glifos abandonavam a sua fun¸˜o de imagens de palavras para se o ca tornarem s´ımbolos fon´ticos. Pelo menos 100 hier´glifos eram usados para representar a e o palavra que retratavam, sendo usados tamb´m como determinativos do significado das e palavras. Durante 3000 anos constitu´ ıram a linguagem monumental do Egito. A ultima in- ´ scri¸˜o conhecida ´ do ano de 394 d.C., quando o Egito era uma prov´ ca e ıncia romana. J´ a ent˜o, tantos hierogl´ tinham sido propositadamente obscurecidos pelos escribas sac- a ıfos erdotais fazendo com que os sinais fossem incompreens´ ıveis para a maioria dos eg´ ıpcios. Em 1822, um ling¨ista francˆs provou que os desenhos podiam formar palavras n˜o u e a relacionadas com a imagem. S´ ent˜o os homens do Ocidente come¸aram a compreender o a c que tinham diante de si toda uma linguagem que representava a chave para o que at´ e ent˜o tinha sido um povo misterioso. a 0.4 Rocha de Behistun Na d´cada de 1870 foi feito um processo significativo na leitura quando se descobriu e que a Rocha Behistun trazia narra¸˜o trilingue da vit´ria da Dario sobre Cambisses, a ca o inscri¸˜o sendo em persa, elam´ ca ıtico e babilˆnico. O conhecimento do persa consequente- o mente forneceu a chave para a leitura do ass´ ırio, l´ ıngua proximamente aparentada com o babilˆnico, mais antigo. Mesmo depois desta importante descoberta, a decifra¸˜o e o ca an´lise das tabletas com conte´do matem´tico avan¸aram devagar, e foi s´ no segundo a u a c o quarto do s´culo vinte que a percep¸˜o das contribui¸˜es matem´ticas da Mesopotˆmia e ca co a a se tornou apreci´vel, devido em grande parte ` obra pioneira de Fr.Thureau-Dangin na a a fran¸a e Otto Neugebauer na Alemanha e Am´rica. c e 4
  7. 7. 0.5 A Pedra de Rosetta A Escrita eg´ ıpcia permaneceu um verdadeiro mist´rio at´ o inicio do s´culo XIX : e e e placas de pedra, papiros, monumentos cobertos de desenhos cujo sentido ningu´m, apesar e dos esfor¸os, conseguira at´ ent˜o decifrar. c e a O Francˆs Jean-Fran¸ois Champollion tinha 12 anos de idade quando, em 1802, de- e c cidiu dedicar-se a resolver esse enigma. Onze anos mais tarde, conseguiu decifrar o primeiro hierogl´ e, em 1821, iniciou o estudo intensivo do documento conhecido como ıfo pedra de Rosetta, que o levaria a descobrir o segredo de toda a escrita eg´ıpsia. A pedra de Rosetta ´ um bloco de basalto encontrado junto ao Forte de Rosetta, no e bra¸o ocidental do nilo. Foi levada para a Fran¸a pelo imperador Napole˜o Bonaparte, c c a quando retornou da expedi¸˜o militar ao Egito. Hoje ela est´ no museu Britˆnico, em ca a a Londres. Esse documento traz, em trˆs escritas diferentes, uma proclama¸˜o em honra do e ca fara´ Ptolomeu V, feita no ano de 196 a.C. Na primeira, proclama¸˜o est´ em caracteres o ca a hierogl´ ıfos; na segunda, na escrita dem´tica( escrita mais simplificada que os hierogl´ o ıfos ); na terceira, em grego. Comparando a escrita hierogl´ ıfica com a grega, Champollion conseguiu decifrar a palavra Ptolomeu. Com isso, descobriu a chave para decifrar os hierogl´ ıfos, em 1822. Gra¸as a essa descoberta, muitos outros documentos puderam ser entendidos e a c Hist´ria do Antigo Egito passou a ser bem conhecida pelos estudiosos modernos do que o pelos antigos. 0.6 A numera¸˜o eg´ ca ıpcia Tamb´m os algarismos hierogl´ e ıficos (numera¸˜o correspondente ` escrita da antiga ca a civiliza¸˜o eg´ ca ıpcia) acompanharam a evolu¸˜o da escrita. Inicialmente representavam a ca 5
  8. 8. unidade e as seis primeiras potˆncias de 10. Estes algarismos eram simbolizados pelos e seguintes hierogl´ ıficos particulares: Algarismos fundamentais da numera¸˜o hierogl´ ca ıfica eg´ ıpcia e as suas principais vari- antes. 0.7 A t´cnica de calcular dos eg´ e ıpcios Com a ajuda deste sistema de numera¸˜o, os eg´ ca ıpcios conseguiam efetuar todos os c´lculos que envolviam n´meros inteiros. Para isso, empregavam uma t´cnica de c´lculo a u e a muito especial: todas as opera¸˜es matem´ticas eram efetuadas atrav´s de uma adi¸˜o. co a e ca Por exemplo, a multiplica¸˜o 13 * 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes. ca 13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 A tabela abaixo ajuda a compreender como os eg´ ıpcios conclu´ıam a multiplica¸˜o: ca N´mero de parcelas Resultado 1 9 2 18 4 36 8 72 u Eles buscavam na tabela um total de 13 parcelas; era simplesmente a soma das trˆs e colunas destacadas: 1 + 4 + 8 = 13 O resultado da multiplica¸˜o 13 * 9 era a soma dos resultados destas ca trˆs colunas: e 9 + 36 + 72 = 117 Os eg´ ıpcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos c´lculos com n´meros inteiros. Mas, em muitos problemas pr´ticos, eles sentiam neces- a u a sidades de expressar um peda¸o de alguma coisa atrav´s de um n´mero. E para isso os c e u n´meros inteiros n˜o serviam. u a 6
  9. 9. 0.8 Os escribas do Egito N˜o existe no Egito profiss˜o mais bem sucedida e sem esfor¸o do que a do escriba. a a c Eles sendo altos funcion´rios a servi¸o do fara´ tinham como dever, anotar o que acontecia a c o nos campos, contar os gr˜os, registrar as cheias do Nilo, calcular os impostos que os a camponeses deveriam pagar, escrever contratos, atas judiciais, cartas, al´m de registrar e os outros produtos que entravam no armaz´m. Mas n˜o para por a´ Alguns sacerdotes e a ı. tamb´m sabiam escrever e receitar f´rmulas m´gicas. e o a O principal material utilizado pelos escribas era o papiro, acompanhado de pinc´is,e paletas, tinteiros e um pil˜o. Quando eles iam escrever esmagavam os pigmentos no pil˜o a a e depois transferiam a tinta para o tinteiro, que tinha duas cavidades: Uma para tinta vermelha e outra para a tinta preta. Os pinc´is eram umidecidos com ´gua que ficava e a numa bolsa de couro. Algumas paletas tinham car´ter espiritual para os escribas, sendo a guardadas em seus t´mulos. u 0.9 As pirˆmides e o primeiro calend´rio a a As famosas pirˆmides eg´ a ıpcias s˜o enormes monumentos em forma de pirˆmides de a a base retangular que foram mandadas construir pelos reis das diversas dinastias. A sua antig¨idade, magnitude e esplendor davam-lhes uma gl´ria imperec´ u o ıvel, cujo brilho per- durou, atrav´s dos longos s´culos, at´ os nossos dias. Sabe-se que houve mais de 170 e e e pirˆmides no Egito e na N´bia. a u As maiores pirˆmides eg´ a ıpcias s˜o conhecidas pelo nome de ”Pirˆmides de Giz´”, a a e porque est˜o perto da cidade deste nome, situadas nas margens do Nilo e nas prox- a imidades das ru´ ınas de Mˆnfis. S˜o trˆs essas pirˆmides, e levam os nomes dos mais e a e a not´veis reis da quarta dinastia: Khufu (ou Qu´ops), Krafre (ou Qu´fren) e Menkaura a e e (ou Miquerinos). A pirˆmide de Qu´ops excede em muito as outras em tamanho e maravilhas. Segundo a e Her´doto, a sua constru¸˜o exigiu 30 anos de trabalho, no qual foram empregados cerca o ca de cem mil oper´rios. A sua altura ´ de 147 metros, e a base de qualquer das faces a e laterais ´ de 234 metros. Era orientada esta pirˆmide conforme os 4 pontos cardeais e a celestes, sendo a entrada na face norte. Atualmente est´ a 4 minutos de grau, do Norte a para Oeste; mas, como a posi¸˜o do p´lo terrestre varia no valor de um minuto em ca o mil anos, fica claro que a orienta¸˜o da pirˆmide era absolutamente exata quando foi ca a constru´ıda, cerca de 4.000 anos antes do Cristo. Esse colosso consta de dois milh˜es o e meio de blocos de pedra, todas pesad´ ıssimas. No centro da pirˆmide faltam alguns a 7
  10. 10. blocos, omitidos para dar passagem ao corpo embalsamado do rei Khufu. Nas paredes h´ s´ries de pinturas que representam esse rei em v´rias ocupa¸˜es: comendo, lavrando a e a co campo, conduzindo bois etc. O espa¸o interior da pirˆmide ´ de tal tamanho que nele c a e caberia a igreja de S. Pedro, de Roma. Se a pirˆmide fosse desmanchada, suas pedras a dariam material bastante para um muro que circulasse toda a Fran¸a. c As dimens˜es das duas pirˆmides que s˜o vizinhas da pirˆmide de Que´ps s˜o menores: o a a a o a a de Qu´fren tem 137 metros de altura, a de Miquerinos, 66 metros. e E quais foram, as raz˜es que levaram os fara´s a construir as pirˆmides? Geralmente o o a se pensa que unicamente para lhes servirem de mausol´us; ´, por´m, imposs´ e e e ıvel que os reis eg´ıpcios, cujos atos eram controlados pelo sacerd´cio cient´ o ıfico, gastassem tanto dinheiro e tantos anos de trabalhos, feitos por milhares de oper´rios, com o unico fim de a ´ satisfazer uma in´til vaidade. Ponderando as aludidas coincidˆncias astronˆmicas com os u e o detalhes na constru¸˜o, temos de aceitar a opini˜o daqueles que dizem que, al´m de serem ca a e t´mulos de reis, as pirˆmides eram postos astronˆmicos e sagrados redutos de grandes u a o iniciados. Marsham Adams considera a pirˆmide como exemplo apresentado em pedra a do que o ”Livro dos Mortos”ensina em palavras: que ali a alma, livre do corpo f´ ısico, passava atrav´s de portas sucessivas; fazia diversas viagens m´ e ısticas e adquiria a posse de poderes conquistados sobre o seu ”eu”inferior; assim, progredindo de uma inicia¸˜o para ca outra, o estudante das leis da Vida e da Morte aprende os segredos da Vida Integral e entra no segredo da Mans˜o de Luz. a Primeiro calend´rio da hist´ria da humanidade e come¸a com a enchente anual do rio a o c Nilo. Surge por volta de 3000 a.C. O ano tem 365 dias, divididos em 12 meses de 30 dias e mais cinco dias extras, dedicados aos deuses. Os eg´ıpcios s˜o os primeiros a utilizar um calend´rio solar, embora os 12 meses de 30 a a dias sejam de origem lunar. O ano tem 365 dias - e 6 horas a menos que o ano solar, o que significa atraso de um dia a cada quatro anos. Havia trˆs esta¸˜es determinadas pelo fluxo do rio Nilo: Cheias (akket); Semeio e co (pert) e Colheita (shemu). A rela¸˜o entre as esta¸˜es definidas pelo Nilo e as esta¸˜es ca co co naturais era feita pelo nascer heliacal da estrela Sirius, conhecida dos eg´ ıpcios pelo nome de Sothis. A primeira apari¸˜o da estrela no c´u da manh˜, depois da sua conjun¸˜o com ca e a ca o sol determinava o in´ da contagem das esta¸˜es das Cheias. ıcio co O calend´rio eg´ a ıpcio foi reconhecido pelos astrˆnomos gregos e tornou-se o calend´rio o a de referˆncia da astronomia por muito tempo. Cop´rnico usou-o para construir suas e e t´buas da lua e planetas. a 8
  11. 11. 0.10 Os papiros da Matem´tica a Quase tudo o que sabemos sobre a Matem´tica dos antigos eg´ a ıpcios se baseia em dois grandes papiros: o Papiro Ahmes e o Papiro de Moscou. O primeiro foi escrito por volta de 1.650 a.C. e tem aproximadamente 5,5 m de comprimento e 32 cm de largura. Foi comprado em 1.858 por um antiqu´rio escocˆs chamado Henry Rhind. Por isso ´ a e e conhecido tamb´m como Papiro de Rhind. Atualmente encontra-se no British Museum, e de Londres. O Papiro de Moscou ´ uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8 e cm de largura, com 25 problemas. Encontra-se atualmente em Moscou. O papiro de Golonishev ou de Moscou foi datado aproximadamente no ano de 1850 a.C. Em 1893 Abra˜o V.S Golonishev adquiriu esse papiro e o trouxe para Moscou e n˜o se sabe nada a a sobre o seu autor. O problema mais interessante do papiro de Moscou ´ o problema 14 que mostra e o problema do volume de um tronco de uma pirˆmide quadrada ( com a transcri¸˜o a ca hierogl´ ıfica ) . O papiro Rhind descreve os m´todos de multiplica¸˜o e divis˜o dos eg´ e ca a ıpcios, o uso que faziam das fra¸˜es unit´rias, o emprego da regra da falsa posi¸˜o, a solu¸˜o para o co a ca ca problema da determina¸˜o da ´rea de um c´ ca a ırculo e muitas aplica¸˜es da matem´tica a co a problemas pr´ticos. a 0.11 Os problemas de Rhind O papiro cont´m uma s´rie de tabelas e 85 problemas e as suas solu¸˜es. Eis uma e e co lista das suas tabelas e problemas: C´lculos que mostram 2 dividido por cada um dos n´meros ´ a u ımpares de 3 a 101. Uma tabela contendo os resultados da divis˜o de cada n´mero de 1 a 9 por 10. 1 a a u 6 Divis˜o de 1, 2, 6, 7, 8 e 9 p˜es por 10 homens. 7 a 20 Multiplica¸˜o de diferentes a a ca fra¸˜es por 1 + 1/2 + 1/4 ou 1 + 2/3 + 1 /3 21 a 23: Subtra¸˜es: 1 - (2/3 + 1/15), co co 1 - (2/3 + 1/30) e 2/3 - (1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45). 24 a 29 Problemas de quantidades, envolvendo equa¸˜es do 1o grau com uma inc´gnita, resolvida pelo m´todo co o e da falsa posi¸˜o. 30 a 34 Problemas semelhantes aos anteriores, mas mais complicados ca (envolvendo fra¸˜es) e resolvidos pelo m´todo da divis˜o. 35 a 38 Problemas de hekat co e a (medida de capacidade), envolvendo equa¸˜es do 1o grau com uma inc´gnita mas ainda co o mais complexas que as anteriores, resolvidos pelo m´todo da falsa posi¸˜o. 39 Divis˜o e ca a de p˜es. 40 Divis˜o de p˜es envolvendo progress˜es aritm´ticas. 41 a 43 Volumes de a a a o e 9
  12. 12. contentores cil´ ındricos de cereais. 44 a 47 Volumes de contentores paralelepip´dicos de e e co o ´ cereais. 47 Tabela das fra¸˜es de 1 h´kat, como fra¸˜es do olho de H´rus. 48 a 53 Areas co de triˆngulos, retˆngulos, trap´zios e c´ a a e ırculos. 54 e 55 Divis˜o relacionada com ´rea. 56 a a a 60 Problemas relacionados com pirˆmides (sekeds, alturas e bases) 61 e 61B Tabela a de uma regra para encontrar 2/3 de n´meros ´ u ımpares e fra¸˜es unit´rias. 62 Problema co a de propor¸˜es, sobre metais preciosos e os seu peso. 63 e 65 Divis˜o proporcional de co a p˜es por um n´mero de homens. 64 Problema envolvendo uma progress˜o aritm´tica. 66 a u a e Divis˜o de gordura. 67 Propor¸˜o de gado devido a imposto. 68 Divis˜o proporcional de a ca a cereais entre grupos de homens. 69 a 78 Problemas de pesos de p˜o e cerveja. Propor¸˜o a ca inversa. 79 Progress˜o geom´trica de raz˜o 7. 80 e 81 Tabelas das fra¸˜es do olho de a e a co H´rus. 82 a 84 Problemas (pouco claros) sobre a quantidade de comida de v´rios animais o a dom´sticos, como gansos e outras aves. e 0.12 O surgimento das Fra¸˜es co Os eg´ ıpcios usavam cordas para medir o tamanho da perda de cada lote dos habitantes devido `s cheias do rio Nilo. Havia uma unidade de medida assinada na pr´pria corda. a o As pessoas encarregadas de medir o tamanho da perda, esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Esses encarregados eram chamados de estiradores de corda. No entanto, o mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um n´mero inteiro de vezes no lado do terreno. u Foi por essa raz˜o que os eg´ a ıpcios criaram um novo tipo de n´mero: o n´mero fra- u u cion´rio. a Para representar os n´meros fracion´rios, usavam fra¸˜es. u a co 0.13 As fra¸˜es unit´rias co a Os eg´ ıpcios trabalhavam bem com a fra¸˜o 2/3, para a qual tinham um sinal hier´tico. ca a Tanto que para achar um ter¸o de um n´mero, primeiro achavam 2/3 e tomavam a metade c u disso. Conheciam usavam o fato de que dois ter¸os da fra¸˜o unit´ria 1/p ser a soma de c ca a duas fra¸˜es unit´rias 1/2p e 1/6p, e sabiam que o dobro da fra¸˜o 1/2p ´ a fra¸˜o 1/p. co a ca e ca 10
  13. 13. ´ E interessante verificar o modo como os eg´ ıpcios encaravam fra¸˜es de forma geral co m/n. N˜o como uma ”coisa”elementar, mas como parte de um processo incompleto. a Por exemplo, a fra¸˜o 3/5, para n´s irredut´ ca o ıvel, era pensada como soma de trˆs fra¸oes e c˜ unit´rias 1/3 + 1/5 + 1/15. a O papiro de Rhind fornece uma tabela para a transforma¸˜o de fra¸˜es gerais em ca co somas de fra¸˜es unit´rias. Come¸a fornecendo 2/n como soma de fra¸˜es unit´rias, co a c co a para todos os valores ´ımpares de n de 5 a 101. E assim outros equivalentes.O ultimo item ´ da tabela decomp˜e 2/101 em 1/101 mais 1/202 mais 1/303 mais 1/606. Isso mostra o uma habilidade aritm´tica que ´ dif´ de encontrar mesmo atualmente, apesar de nossos e e ıcil recursos t´cnicos e tecnol´gicos. e o O tipo de combina¸˜es de fra¸˜es escolhida n˜o ´ explicada. O porque de uma certa co co a e combina¸˜o e n˜o outra, ficam sem resposta. ca a V´rios investigadores ao analizarem a tabela (c´lculos que mostram 2 dividido por a a cada um dos n´meros ´ u ımpares de 5 ` 101) do papiro de Rhind, tiraram algumas conclus˜es a o a cerca do sistema de decomposi¸˜o: * Todas as fra¸˜es da forma 2/3K est˜o expressas ca co a como soma de fra¸˜es unit´rias da forma 1/2K + 1/6K. * Todas as fra¸˜es da forma co a co 2/5K s˜o decompostas em 1/3K + 1/5K excetuando a fra¸˜o 2/95 ( K=19 ) que aparece a ca decomposta como 1/60 + 1/380 + 1/570. Estes dois exemplos n˜o s˜o unicos, e atrav´s da analise desta tabela muitos investi- a a ´ e gadores acreditam que os eg´ ıpcios possu´ ıam m´todos eruditos (inteligentes), na decom- e posi¸˜o de fra¸˜es em soma de fra¸˜es unit´rias. ca co co a 0.14 A Estagna¸˜o da Ciˆncia no Egito ca e O amor aos deuses benevolentes, o respeito ` tradi¸˜o, a preocupa¸˜o com morte e a ca ca as necessidades dos mortos, tudo isso encorajou um grau de estagna¸˜o. A geometia ca pode ter sido uma d´diva do Nilo, como Her´doto acreditava, mas os eg´ a o ıpcios pouco o aproveitaram. A matem´tica de Ahmes era a de seus antepassados e descentes. Para real- a iza¸˜es matem´ticas mais progressistas devemos examinar o vale fluvial mais turbulento co a conhecido como Mesopotˆmia. a 11
  14. 14. Referˆncias Bibliogr´ficas e a [1] B.Boyer Carl ,Traducao:F.Gomide Elza, Hist´ria da Matem´tica, Editora ¸˜ o a Edgard Blucher LTDA (1974). ` [2] Pileti Nelson, Piletti Claudino , Hist´ria e Vida, III, Editora Atica (1997). o [3] , Internet Explorer. 12

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