Matematika bru

4,164 views
3,972 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
4,164
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
42
Actions
Shares
0
Downloads
47
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Matematika bru

  1. 1. Matematika Ekonomi 1
  2. 2. FAUZIAH DWI UTARI 120511650PSIKOLOGI PERKEMBANGAN PRODI MATEMATIKA FKIP UNA
  3. 3.  Kompetensi: Mampu menyelesaikan persoalan Ekonomi dan Bisnis dengan alat analisis Matematika. Literatur Chiang A.C, 1984. Fundamental Methods of Mathematical Economics. Third Edition, Mc Graw- Hill Book Inc. New York Johannes, H dan Handoko, BS. 1994. Pengantar Matematika untuk Ekonomi. Edisi ke empat belas. LP3ES. Jakarta Matematika Ekonomi 3
  4. 4. Materi: Pegertian Matematika Himpunan Sistem Bilangan Fungsi Fungsi Linear Fungsi non Linear Diferensial Fungsi Sederhana Diferensial Fungsi Majemuk Aljabar Matriks Matematika Ekonomi 4
  5. 5. MATEMATIKAASAL KATAAsal kata : MATHEIN artinya mempelajari atau belajar. Dengan mempelajari mate- matika, seseorang akan terbiasa mengatur jalan pemikirannya dgn sistematis. Berpikir matematis: Seseorang yg hendak menem-puh jarak 2 mil akan MEMILIH naik mobil dari pada jalan kaki, kecuali jika waktunya banyak terluang atau sedang berolah raga.
  6. 6. Berpikir matematis:Untuk dapat mengenderai mobil, harus belajarmenyupir. Untuk dapat supir mobil yang baik,dia perlu pengetahuan matematika.Matematika, merupakan sarana = pendekatanuntuk suatu analisa.Dengan mempelajari matematika, membawasese-orang kepada kesimpulan dalam waktuyang singkat. Matematika Ekonomi 6
  7. 7. Ekonomi dan Matematika EkonomiAnalisis ekonomi tidak berbeda jika menggunakan pendekatan matematis dibanding dengan tanpa pendekatan matematis. Bedanya/keuntungannya:a. Dengan pendekatan matematis, persoalan atau pokok bahasan menjadi sederhana.b. Dengan pendekatan matematis, berarti mengaktif- kan logika dengan asumsi-asumsinya.c. Dapat memakai sebanyak n variabel dalam meng- gambarkan sesuatu (hubungan antar variabel) Mis Qd = f(Pr, Inc, Pi, … ), Pr = harga komoditi ybs Inc = pendapatan, Pi = harga kom. substitusi Matematika Ekonomi 7
  8. 8. Kelemahannya pendekatan matematis:a. Bahasa matematis tidak selalu mudah dimengerti oleh ahli ekonomi sehingga sering menimbulkan kesukaran. Contoh Y = f(X), dalam ilmu ekonomi bagaimana mengartikan persamaan matematis tersebut, mis dalam: permintaan, produksi, pendapatan nas, dll. sehingga ahli ekonomi sulit memetik keuntungan dari matematika.b. Seorang ahli ekonomi yang memiliki pengetahuan dasar matematika, ada kecenderungan: (1) membatasi diri dengan hanya memecahkan persoalan secara matematis Matematika Ekonomi 8
  9. 9. (2) membuat beberapa asumsi yang kurang tepat demi memudahkan pendekatan matematis atau statistis. Artinya, lebih banyak berbicara matematika dan statistika dari pada prinsip/ teori ekonomi.Kesimpulan dari bahasa adalah:1. Matematika merupakan pendekatan bagi ilmu ekonomi.2. Pendekatan matematis merupakan “ mode of transportation” yaitu membawa pemikiran kepada kesimpulan dengan singkat (model) Matematika Ekonomi 9
  10. 10. Matematika Ekonomi dan EkonometrikaEkonometrika adalah pengetahuan yang berkaitandengan penerapan statistika untuk menganalisa dataekonomi. Data Ekonometrika Matematika Ekonomi - Deduksi - Induksi - Model - Mengolah data - Mengambil kesimpulan Matematika Ekonomi 10
  11. 11. Teori Ekonomi Fakta deduktif Model atau Hipotesis Data Ekonomi Satu PersamaanTeori Statistika Metode Ekonometrika Simultan induktif Teori Teori Teori Diterima Ditolak Disempurnakan Matematika Ekonomi 11
  12. 12. Bidang Matematika Ekonomi yang dibahas:Menurut “Social Science Research Council, seorangahli ekonomi harus mengerti matematika : Himpunan(gugus), hubungan dan fungsi, teori matriks, kalkulus(limit fungsi, diferensial, persamaan diferensi, partialdifferentiation, integrasi multipel). Matematika Ekonomi 12
  13. 13. HIMPUNAN = GUGUSSilabus:• Definisi, pencatatan dan himpunan khas• Himpunan Bagian• Pengolahan (operasi) himpunan• Hubungan Matematika Ekonomi 13
  14. 14. 1. Definisi, pencatatan dan himpunan khas Himpunan adalah kumpulan dari obyek- obyek yg memiliki sifat tertentu. Sifat ini menjadi penciri yg membuat obyek/unsur itu termasuk dalam himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan dilambangkan : A, B, X, …, Z (kapital) Obyek atau unsur atau elemen dilambang- kan a,b,c, … atau 1, 2, 3, … Perhatikan (… tiga titik) dibaca dan sete- rusnya. Matematika Ekonomi 14
  15. 15. Dua cara pencatatan suatu himpunana. Cara pendaftaran: P = { 2, 3, 4 } P = nama himpunan/gugus tanda kurawal buka dan kurawal tutup “ dan “ menyatakan himpunan 2, 3, 4 = obyek/unsur/elemen Artinya, himpunan P beranggotakan bilangan bulat positip: 2, 3, dan 4.b. Pendefinisian sifat: X = { x / x bil. genap} X = nama himpunan x = obyek/unsur/elemen tanda “/” dibaca dengan syarat x bil genap = sifat atau ciri Matematika Ekonomi 15
  16. 16. Cara pendefinisian sifat yang lain:J = { x / 2 < x < 5 } x merupakan unsur Sifat: bilangan nyata 2 < x < 5, baca himpunan semua bilangan nyata lebih besar dari 2 dan lebih kecil dari 5Himpunan khas:a. Himpunan Semesta (S) atau Universum (U) Merupakan himpunan keseluruhan obyek yang sedang dibicarakan S={ x / x bilangan ganjil }, berarti semua bil ganjilb. Himpunan kosong (emty set) E= { } himpunan kosong atau dicatat dengan “ø” Matematika Ekonomi 16
  17. 17. Perhatikan: P = { 2, 3, 4 }Untuk menyetakan keanggotaan dicatat dengan “€”Jadi: 2 € P 3€P 4 € P.Tanda € baca “unsur” atau “elemen” atau “didalam”Sebaliknya, 5, 6 tidak termasuk unsur Pdicatat 5€P 6€PTanda € dibaca “bukan unsur” atau “bukan elemen”atau “diluar”. Matematika Ekonomi 17
  18. 18. 2. Himpunan bagian Suatu himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B, jika dan hanya jika setiap unsur A juga merupakan unsur himpunan B. A = { 2, 4, 6 }; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Dicatat : A B, baca A himp. bagian B atau A anak gugus dari B Sebaliknya dicatat: B A, baca B mencakup A Tanda dibaca bukan himpunan bagian dan tanda dibaca tidak/bukan mencakup Perhatikan: himp. bagian terjadi apabila dari suatu himp dibentuk himp lain dengan memilih unsur himp itu sebagai unsurnya. Matematika Ekonomi 18
  19. 19. Contoh: X = { 1, 2, 3, 4 }Himpunan bagiannya:a.Memilih semua unsur: X4 = { 1, 2, 3, 4 }b.Memilih tiga unsur X31 = { 1, 2, 3 } X32 = { 1, 2, 4 } X33 = { 1, 3, 4 } X34 = { 2, 3, 4 } c. Memilih dua unsur X21 = { 1, 2 }; X22 = { 1, 3 } X23 = { 1, 4 }; X24 = { 2, 3 } X25 = { 2, 4 }; X26 = { 3, 4 } Matematika Ekonomi 19
  20. 20. d. Memilih 1 unsur: X11 = { 1 }; X12 = { 2 } X13 = { 3 }; X14 = { 4 }e. Tanpa memilih X0 = { }Jumlah himpunan bagian dari 1 himp. = 2n1 elemen: 1  2 himp bag2 elemen: 1 2 1  4 himp bag3 elemen: 1 3 3 1  8 himp bag4 elemen: 1 4 6 4 1  16 himp bag5 elemen: 1 5 10 10 5 1  32 himp bagDisebut segitiga Pascal = bilanga Binom Newton Matematika Ekonomi 20
  21. 21. 3. Pengolahan (operasi) Himpunan Operasi matematis: penjumlahan, penggandaan, pembagian. Operasi himpunan: gabungan (union), potongan (irisan) dan komplemen. Operasi Gabungan ( U ) A U B = { x / x ε A atau x ε B } A U B baca: A union B; A gabung B; A atau B. Jika A = { 3, 5, 7 ); B = { 2, 3, 4, 8 } A U B = { 3, 5, 7, 2, 4, 8 } atau { 2, 3, 4, 5, 7, 8 } Matematika Ekonomi 21
  22. 22. Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsir S A BSifat-sifat gabungana. A U B = B U A  Hukum komutasib. A (A U B) dan B (A U B) Matematika Ekonomi 22
  23. 23. Operasi potongan (irisan) = ∩A ∩ B = { x / x ε A dan x ε B }A ∩ B, baca A irisan B; atau A dan BMisal: A = { 0, 5, 10, 15 } dan B = { 1, 5, 8, 15, 17 } A ∩ B = { 5, 15 }Dalam diagram Venn, A ∩ B adalah daerah diarsir: s A B Matematika Ekonomi 23
  24. 24. Sifat : a. A ∩ B = B ∩ A (hukum komutasi) b. (A ∩ B) A dan (A ∩ B) BOperasi selisihSelisih himpunan A dan B, dicatat dengan A – BA – B = { x / x € A, tetapi x € B }Diagram Venn A – B sebagai berikut: S A B Matematika Ekonomi 24
  25. 25. Misal: A = { a, b, c, d }; B = { f, b d, g } A – B = { a, c } serta B – A = { f, g } A – B sering dibaca “A bukan B”.Sifat: a (A – B) A; (B – A) B b (A – B); dan (B – A) adalah saling asing atau terputus Matematika Ekonomi 25
  26. 26. KomplemenA’ = { x / x € S, tetapi x € A } A’baca “komplemen A” atau “bukan A”Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … } himp.bil bulat positipA = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } bil. bulat positip ganjilA’ = { 2, 4, 6, 8, 10. . . } bil. bulat positip genapDiagram Venn untuk komplemen sbb: (diarsir) S A A’ A Matematika Ekonomi 26
  27. 27. Sifat: a. A U A’ = S b. A ∩ A’ = ø c. (A’)’ = ALatihan 1Gambarkan sebuah diagram venn untukmenunjukkan himpunan universal S dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }A = {2, 3, 5, 7 }B = {1, 3, 4, 7, 8 }Kemudian selesaikan :a). A – B b). B – A c) A ∩ Bd). A U B e) A ∩ B’ f) B ∩ A’g). (A U B)’ h) (A ∩ B)’ Matematika Ekonomi 27
  28. 28. Latihan 2Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaanhimpunan: € atau €A B A∩B AUB (A∩B)’ (AUB)’€ €€ €€ €€ € Matematika Ekonomi 28
  29. 29. HubunganHimpunan Hasil kali CartesiusApabila ada dua himpunan X dan Y masing-masingx ε X dan y ε Y, maka dari dua himpunan terserbutdapat disusun himpunan yang beranggotakanpasangan urut atau pasangan tersusun (x, y).Contoh sederhana, misalkan nilai ujian mate-matikadiberi dari angka 1 hingga 4, sedang-kan pekerjaanrumah diberi angka 1 hingga 3.Jadi : X = {1, 2, 3, 4} sedangkan Y = {1, 2, 3}Himpunan hasil kali Cartesius adalah:X x Y = {(x, y)/ x ε X, y ε Y} Matematika Ekonomi 29
  30. 30. Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb: Y X 1 2 3 1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3)X x Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Matematika Ekonomi 30
  31. 31. Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkan dalam sistem koordinat cartesius berikut: Y PR = {1, 2} malas PR = {3, 4} rajin 3 • H1 • • H4 • U = {1, 2} kurang mengerti U = {3} pintar 2 • • • • H2 H3 Terdapat 4 himp bag 1 • • • • H1 = {malas ttp pintar} 0 1 2 3 4 X H2 = {malas dan krg mengerti} Gbr: Hubungan nilai ujian H3 = {rajin ttp krg dan nilai pekerjaan rumah ngerti} H4 = {rajin dan pintar} Matematika Ekonomi 31
  32. 32. Daerah dan Wilayah (Range) hubungan Perhatikan kembali Himpunan hasil kali Cartesius: H = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Himpunan unsur-unsur pertama pasangan urut, disebut dengan Daerah hubungan Dh = {1, 2, 3, 4} Himpunan unsur-unsur kedua pasangan urut, disebut dengan Wilayah hubungan: Wh = {1, 2, 3} Matematika Ekonomi 32
  33. 33. Kesimpulan: Himpunan hasil kali Cartesius adalah himpunan pasangan urut atau tersusun dari (x, y) dimana setiap unsur x € X dipasangkan dengan setiap unsur y € Y. X x Y = { (x, y) / x € X, y € Y } Daerah hubungan Dh = { x / x € X} Daerah hubungan: Wh = { y / y € Y} Matematika Ekonomi 33
  34. 34. SISTEM BILANGAN 1. Pembagian bilangan Bilangan 2; -2; Nyata 1,1; -1,1 Khayal + dan - Akar negatip Rasional Irrasional √(-4) = 2Hasil bagi dua bil Hasil bagi dua bil bulat,bulat, pecahan pecahan desimal takdesimal atau berulangdesimal berulang 0,14925253993999… π, ℮0,1492525 1; 4; 8; Bulat termasuk Pecahan ½; 2/7 dsb 0 Matematika Ekonomi 34
  35. 35. 2. Tanda pertidaksamaan Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” Tanda > melambangkan “lebih besar dari” Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan” Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan”3. Sifat Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d Matematika Ekonomi 35
  36. 36. FungsiSilabus:a. Pengertianb. Macam-macam fungsic. Fungsi Lineard. Fungsi non Linear Matematika Ekonomi 36
  37. 37. PengertianHimpunan hasil kali Cartesius ini dikenal dgnhubungan. Tetapi ada hubungan dimana satu unsurX dihubungkan dengan satu unsur Y. (tidak setiapunsur X dihubungkan dengan setiap unsut Y)Dengan denah Venn sbb: X Y • • Hubungan 1 - 1 •Hubungan dengan kasus diatas, bahwa untuk setiapnilai x dihubungkan (hanya terdapat satu) nilai yyang sesuai, disebut dengan bentuk hubungan ataufungsi. Jelasnya fungsi LINEAR Matematika Ekonomi 37
  38. 38. Perhatikan juga contoh berikut: Y y = f(x) •x1 •y1 y1 • • •x2 •yn •xn X 0 x1 x2 Y XGambar di atas, nilai x1 dan x2 dalam X, dihubung-kan dengan nilai y1 dalam Y, dengan bentuk y = f(x)Fungsi disebut juga TRANSFORMASI, jadi x ditransformasikan di dalam himpunan y. Matematika Ekonomi 38
  39. 39. Transformasi mengandung pengertian yang luas:a. x menentukan besarnya nilai yb. x mempengaruhi nilai yc. Dll.Pernyataan y = f(x)dibaca: y merupakan fungsi dari xataudicatat : f : x  y aturan ditransformasisimbol “f” diartikan sebagai “aturan” transformasiunsur himp. X kedalam himpunan YLebih spesifik: Fungsi: suatu bentuk hubunganmatematis yang menyatakan hubungan ketergan-tungan (hub fungsional antara satu variabeldengan variabel lain Matematika Ekonomi 39
  40. 40. Perhatikan: y = f(x) x merupakan sebab (variabel bebas) y akibat dari fungsi (variabel terikat)Himpunan semua nilai-nilai x, disebut sebagaiDomain atau Daerah fungsi (Df) dan nilai y disebutdengan Range atau Wilayah fungsi (Rf = Wf).Df = { x / x ε X }Wf = { y / y ε Y }Misal: Biaya total C dari suatu perusahaan setiap hari merupakan fungsi dari output Q tiap hari: C = 150 + 7Q. Perusahaan memiliki kapasitas limit sebesar 100 unit per hari.Berapa Daerah dan Range dari fungsi biaya?Jawaban:Df = { Q / 0 ≤ Q ≤ 100 }Rf = { C / 150 ≤ C ≤ 850 }  Dapat Anda jelaskan ? Matematika Ekonomi 40
  41. 41. Macam-macam fungsia. Fungsi Bentuk umumnya : Polinomial y = a + bx + cx2 + . . . + pxn yy Slope = a1 case c < 0 a0 a0 x xKonstan, jika n = 0 Linear, jika n = 1 Kuadratik, jika n = 2y=a y = a + bx Y = c + bx + ax2 Matematika Ekonomi 41
  42. 42. y • Titik maksimum Titik belok • Fungsi kubik y = d + cx + bx2 + ax3 xy Titik maksimum Fungsi polinom derajad 4 y = e + dx + cx2 + bx3 + ax4 Titik minimum x Matematika Ekonomi 42
  43. 43. b. Fungsi RasionalFungsi ini, dengan y dinyatakan sebagai rasio duapolinomial dengan variabel x atau juga berupa fungsihiperbola. y Hiperbola: y = (a/x), a > 0 x 0c. Fungsi eksponensial dan logaritma y y Logaritma Eksponensial y = logbx y = bx , b>1 x x Matematika Ekonomi 0 43 0
  44. 44. Fungsi linear• Fungsi linear merupakan bentuk yang paling dasar dan sering digunakan dalam analisa ekonomi• Fungsi linear merupakan hubungan sebab-akibat dalam analisa ekonomi – misalnya: - antara permintaan dan harga - invests dan tingkat bunga - konsumsi dan pendapatan nasional, dll• Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 1 atau fungsi polinom derajad-1. Matematika Ekonomi 44
  45. 45.  Bentuk umum Diturunkan dari fungsi polinom: y = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn Disebut fungsi linear jika n = 1 yaitu y = a + bx  bentuk umum Contoh: y = 4 + 2x  a = 4 b=2 Pengertian: a = 4 = penggal garis pada sumbu vertikal y b = 2, adalah koefisien arah atau lereng atau slope garis. Matematika Ekonomi 45
  46. 46. y a a0 = penggal garis a y = ax + b, a pada sumbu y a yaitu nilai y ∆y = a ∆x saat x = 0b x 1 2 3 4 5 0 a = lereng garis atau ∆y/Δx pada x = 0, ∆y/∆x = a; pada x = 1, ∆y/∆x = a Matematika Ekonomi 46
  47. 47.  Perhatikan bahwa lereng fungsi linear selalu konstan. Latihan-1 y = 4 + 2x Penggan garis pada sumbu y = …………… Lereng garis : x y ∆x ∆y ∆y/∆x = a Mendapatkan penggal garis 0 - - - pada sumbu y 1 ketika x = 0 2 3 4 Matematika Ekonomi 47
  48. 48. Lengkapi tabel berikut dari garis: y = 4 + 2xx y ∆x ∆y ∆y/∆x = a-3 Mendapatkan-2 penggal garis-1 pada sumbu x ketika y = 001234 Matematika Ekonomi 48
  49. 49. Kurva (grafik) fungsi Fungsi Linear, kurvanya garis lurus karena lerengnya sama. Misalkan y = 36 – 4x maka a = -4  (∆y/∆x) b = 36 Menggambarkan kurvanya cukup mencari titik potong (penggal) dengan: sumbu x dan penggal dengan sumbu y Hubungkan kedua titik penggal tersebut Titik penggal pada sb x,  y = .., x = … atau titik (…, …) Titik penggal pada sb y,  x = .., y = … atau titik (…, …) Matematika Ekonomi 49
  50. 50. Grafik: y 36 • (0,36) 18 y = 36 – 4x (9,0) • x 0 9 Grafik dengan lereng negatip Matematika Ekonomi 50
  51. 51.  Gambarkan grafik fungsi: y = 2 + 4x Titik penggal dg sb x  y = 0, x = -1/2, (-1/2, 0) Titik penggal dg sb y  x = 0, y = 2, (0,2) Gambarkan : y y = 2 + 4x x 0 Grafik dengan lereng positip Matematika Ekonomi 51
  52. 52. Fungsi non linear (kuadratik) Fungsi non linear juga merupakan bentuk yang sering digunakan dalam analisa ekonomi• Sebagaimana fungsi linear, fungsi non linear juga merupakan hubungan sebab-akibat• Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 2 atau fungsi polinom derajad-2. Bentuk umum Diturunkan dari fungsi polinom: y = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn Disebut fungsi kuadratik jika n = 2 dan a2 0, yaitu y = a0 + a1x + a2x2 atau sering ditulis: y = ax2 + bx + c Matematika Ekonomi 52
  53. 53.  Contoh - 1: • Contoh - 2: y = 8 – 2x – x2 a= • y = 2x2 + 4x + 6 -1 (a < 0) a = 2  a > 0) b = -2 c b=4 =8 c=2Menggambar kurva non linear kuadratika. Cari titik penggal dengan sb x, pada nilai y = 0 0 = 8 – 2x – x2 atau 8 – 2x – x2 = 0 Menyelesaikan persamaan ini dapat melalui dua cara: 1. Faktorisasi Maksudnya, menguraikan ruas utama fungsi tersebut menjadi bentuk perkalian ruas- ruasnya atau disebut bentuk perkalian dua fungsi yang lebih kecil Matematika Ekonomi 53
  54. 54. Faktorisasi persamaan di atas menghasilkan: (2 -x)(4 + x) f(x) = g(x).h(x) (2 -x)(4 + x) = 0 (2 -x) = 0, berarti x = 2, di titik (2, 0) (4 +x)= 0, berarti x = -4, dititik (-4, 0)2. Memakai rumus kuadrat (bujur sangkar) -b √ b2 – 4ac x = -------------------- 2c - (-2) √ (-2)2 – 4(-1)(8) x = ------------------------------- 2(-1) Matematika Ekonomi 54
  55. 55. 2 √ 4 + 32 2 6 x = ---------------- = --------- -2 -2 x1 = (2 + 6)/(-2) = -4,  titik (-4, 0) x2 = (2 – 6)/(-2) = 2,  titik (2, 0) Hasilnya sama dengan cara faktorisasi.b. Cari titik penggal dengan sb y, pada nilai x = 0 y = 8 – 2x – x2, untuk x = 0, y = 8, titik (0,8)c. Karena ciri fungsi kuadrat memiliki titik maksi- m atau minimum (lihat gambar terdahulu) maka titik ini harus dicari. Matematika Ekonomi 55
  56. 56.  Mencari titik maks atau min Sifat fungsi kuadratik a. Memiliki titik maks atau min yang disebut titik ekstrim. Titik maks jika a < 0 dan min jika a > 0 b. Titik maks atau min pada titik (x, y) dengan: -b b2 – 4ac x = ----, dan y = ----------- 2a -4a c. Kurvanya simetri pada titik xmaks/min y = 8 – 2x – x2, a < 0  berarti maks xmaks = -(-2)/(2)(-1) = -1 ymaks = [(-2)2 – 4(-1)(8)]/(-4)(-1) = 36/4 = 9.  titik maks (-1, 9). Matematika Ekonomi 56
  57. 57.  Gambarkan kurvanya: y 0 x Matematika Ekonomi 57
  58. 58.  Hubungan dua garis Dua buah garis dengan fungsi linier dapat: a. berimpit Berimpit: Jika dan hanya jika a1 = a2 b1= b2 b. Sejajar Sejajar: Jika dan hanya jika a1 = a2 b1 b2 Matematika Ekonomi 58
  59. 59. c. Berpotongan Berpotongan: jika dan y hanya jika Ttk pot a1 a2 • b1 b2 xDua garis fungsi linear dan fungsi non linear hanyadapat berpotongan. y Ttk pot Ttk pot a<0 • • a>0 y2 = ax2 + bx + c x Matematika Ekonomi 59
  60. 60.  Mencari titik potong dua garis/persamaan Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x dan y sama pada perpotongan tersebut Caranya: (1) Bentuk fungsi harus y = f(x) (2) samakan kedua fungsi untuk mendapat titik potong Cari titik potong fungsi x = 15 – 2y dan 3y = x +3 x = 15 – 2y  y = -(1/2)x + 15/2 3y = x +3  y = (1/3)x + 1 -(1/2)x + 15/2 = (1/3)x + 1 -(1/2)x – (1/3)x = 1 – 15/2 x = 78/10 Matematika Ekonomi 60
  61. 61.  Untuk mendapatkan y, substitusi x = 78/10 pada salah satu fungsi: y = (1/3)x + 1, untuk x = 78/10; y = (1/3)(78/10) + 1 y = 26/10 Titik potong fungsi (x, y) = (78/10, 26/10) Matematika Ekonomi 61
  62. 62.  Mencari titik potong dua garis/persamaan (1) 2x + 3y = 21 dan (2) x + 4y = 23 Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x dan y sama pada saat perpotongan tersebut. Ubah persamaan di atas menjadi bentuk y = f(x) (1) 2x + 3y = 21  3y = 21 – 2x atau y = 7 – (2/3)x (2) x + 4y = 23  4y = 23 – x atau y = (23/4) – (1/4)x Titik potong kedua garis: 7 – (2/3)x = (23/4) – (1/4)x 7 – (23/4) = (2/3)x – (1/4)x 5 = (5/12)x x = 12.  y = 11/4  (12, 11/4) Matematika Ekonomi 62
  63. 63. Penggunaan Fungsi dalam ekonomiAnalisa keseimbangan pasarKeseimbangan pasar – Model linearAsumsi-1: Keseimbangan pasar terjadi jika “ekses demand” = 0 atau (Qd – Qs = 0)Asumsi-2: Qd = jumlah permintaan adalah fungsi linear P (harga). Jika harga naik, maka Qd turun.Asumsi-3: Qs = jumlah penawaran adalah fungsi linear P. Jika harga naik, maka Qs juga naik, dengan syarat tidak ada jlh yang ditawarkan sebelum harga lebih tinggi dari nol.Persoalan,bagaimana menentukan nilai keseimbangan ?
  64. 64. Dalam pernyataan matematis, keseimbangan terjadipada saat: Qd = QsQd = a - bP, slope (-) (1)Qs = -c + dP, slope (+) (2)Gambarnya sbb: Qd , Qs a Qs = -c + dP Qd = a -bP keseimbangan Q0 0 P P1 P0 -c Matematika Ekonomi 64
  65. 65. Kasus lain, keseimbangan dapat dilihat sbb:Qs = 4 – p2 dan Qd = 4P – 1Jika tidak ada pembatasan misalnya, berlaku dalamekonomi, maka titik potong pada (1, 3), dan (-5, -21)tetapi karena batasan hanya pada kuadran I (daerahpositip) maka keseimbangan pada (1, 3)} 4 QS = 4p - 1 3 1,3 keseimbangan QD = 4 - p2 0 1 2 -1 Matematika Ekonomi 65
  66. 66. Keseimbangan pasar (lanjutan)Pada nilai Q dan p berapa terjadi keseimbang-anpermintaan dan penawaran dari suatu komodititertentu jika: Qd = 16 – P2 , (Permintaan) QS = 2p2 – 4p (penawaran) Gambarkan grafiknya Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5 Matematika Ekonomi 66
  67. 67. PenjelasanPada saat keseimbangan maka Qd = Qs 16 – p2 = 2p2 – 4p 3p2 – 4p – 16 = 0Ingat fungsi polinom derajad 2 atau n = 2dengan bentuk umum: ax2 + bx + cKoefisien a = 3, b = -4, dan c = -16p = (-b) (b2 – 4ac)1/2 = 4 (16 + 192)1/2 = 3.1 (+) 2a 6 Qd = 16 – p2 = 16 - (3.1)2 = 6.4 Jadi keseimbangan tercapai pada Jlh komoditas 6.4 dan harga 3.1. Atau (Q, p) = (6.4 , 3.1) Matematika Ekonomi 67
  68. 68. Grafik:Fungsi Permintaan: Qd = 16 – p2a. Titik potong dengan sb Q  p = 0; Q = 16, (16,0)b. Titik potong dengan sb p  Q = 0; 16 – p2 = 0 (p – 4)(p + 4). p – 4 = 0, p = 4, ttk (0, 4) p + 4 = 0, p = -4, ttk (0, -4)c.Titik maks/min: (Q,p) Q = (-b/2a) = 0/-2 = 0 p = (b2 – 4ac)/(-4a) = 0 – 4(-1)(16)/(-4)(-1)) = 16 atau pada titik (0, 16) Matematika Ekonomi 68
  69. 69. Grafik:Fungsi penawaranQs = 2p2 – 4pa. Titik potong dengan sb Q  p = 0; Q = 0, (0,0)b. Titik potong dengan sb p  Q = 0; 2p2 – 4p = 0 Atau 2p(p – 2) = 0; 2p = 0; p = 0; ttk pot (0, 0) (p – 2) = 0; p = 2; ttk pot ( 0, 2)c. Titik maks/min: (Q,p) Q = (-b/2a) = 4/4 = 1 p = (b2 – 4ac)/(-4a) = (-4)2 – 4(2)(0)/(-4)(2) = 2 atau pada titik (1, 2) Matematika Ekonomi 69
  70. 70. Grafik: p Qs 4 3.1 Qd 2 Q 0 6.4 16 Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5 Untuk p = 3.5, terjadi ekses supply dan p = 2.5, terjadi ekses demand Matematika Ekonomi 70
  71. 71. Penjelasan ekses suplai dan ekses demand Qs Qd Ekses demand mendorong harga naik, dan ekses supply mendorong harga turun. Matematika Ekonomi 71
  72. 72. DERIFATIF1.1. Pengantar KalkulusKalkulus khususnya bahasan matematika tentanga. Fungsib. Derivatif atau fungsi turunanc. Derivatif parsial dand. Integralsangat luas penggunaannya dalam ilmuekonomi.Khusus tentang derivatif (kalkulus dife-rensial) dapat diinventarisir aplikasinya dalam ilmuekonomi diantaranya:1). Elastisitas, khususnya elastisitas permintaan Matematika Ekonomi 72
  73. 73. 2) Elastisitas produksi3) Biaya total, rata-rata dan marginal4) Revenue dan marginal revenue5) Maksimisasi penerimaan dan profit.6) dll.Pendekatan matematis yang sangat pesat dewasa inimembuat seorang ahli ekonomi termasuk Agric.Economist, atau agribussines manager perlu mendalamipengetahuan kalkulus diferensial dan inte-gral. Untuk kesempatan ini, kalkulus diferensial danaplikasinya dalam ekonomi lebih diutamakan. Matematika Ekonomi 73
  74. 74. 1.2. Limit fungsi Pandanglah fungsi h yang diberikan dengan persamaan: 2x2 + x - 3 h(x) = ------------- x-1 Persamaan ini harus disederhanakan sedemikian rupa, supaya jika disubstitusikan nilai x = 1, (per- hatikan pembagi/penyebut) maka nilainya 0/0 (bentuk tak tentu) Matematika Ekonomi 74
  75. 75. Untuk tujuan ini, fungsi tersebut diuraikan atas fak-tornya, sehingga: 2x2 + x - = (x-1)(2x +3) h(x) = ------------- 3 ------------- = 2x + 3 x-1 x-1 x2 - 4 Demikian juga jika g(x) = ---------, nilainya akan tak x-2 tentu, untuk x = 2 Karena itu g(x) disederhanakan menjadi: (x – 2)(x + 2) g(x) = ------------------- = x + 2. x-2 Matematika Ekonomi 75
  76. 76. Fungsi h dengan persamaan diatas grafik sebagai berikut: Fungsi h tdk terdefi- nisi di titik x = 1. Un- tuk x 1, maka h(x) y = 2x + 3. Sehingga untuk x mendekati 5 1, h(x) akan mende- 4 y = h(x) kati 5. Dikatakan 3 limit fungsi h dititik x 2 = 1 adalah 5. 1 0 1 x Matematika Ekonomi 76
  77. 77. Keadaan di atas, dicatat sebagai: 2x2 + x - 3 lim h(x) = lim ------------- = 5 x1 x1 x-1 Baca: limit fungsi h(x) untuk x menuju 1Demikian juga dengan g(x) di atas x2 - 4lim g(x) = lim --------- = 4.x2 x2 x-2 Matematika Ekonomi 77
  78. 78. 1.3. Pengertian DerivatifSuatu fungsi dengan persamaan y = f(x) mempunyai nilai(terdefinisi) pada x = x0 dan y = f(x) kontinu di titiktersebut, maka: lim f(x) = f(x0) Y x -> x0 Y = f(x) diskontinu pada x = x0 Y = f(x) Y=f(x) y1y0 y0 • Y = f(x) kontinu • pada x = x0 x x0 x0
  79. 79. Sehingga f(x) – f(x0) 0 ------------------ = --- x – x0 0Maka lim f(x) – f(x0) disebut dengan derivatif ------------- x->x0 x – x0 fungsi f dititik x = x0. Dengan mensubstitusi Δx = x – x0, atau x = x0 + Δx, untuk x-> x0 berarti Δx ->0 atau: f(x0 + Δx) – f(x0) lim ------------------- merupakan derivatif Δx atau turunan fungsi. Δx-> 0 Matematika Ekonomi 79
  80. 80. Simbol derivatif fungsi dilambangkan dg: f’(x) atau dy/dx atau y’ atau Dxy.Atau dengan penjelasan lain:Ump. y = f(x) dengan kurva sbb: y = f(x) y + Δy = f(x + Δx) Y = f(x)y1 y Δy ΔxBesarnya pertambahan adalah: x x1Δy = f(x + Δx) – f(x).Dibagi dg Δx: Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x) ------------------------------- Δx Matematika Ekonomi 80
  81. 81. lim Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x) ----------------------------- Δx->0 Δxadalah turunan fungsi tsb yaitu: y’ = f’(x) = dy/dxContoh. Cari turunan y = f(x); y = x2 + 1, dititik x = 5.Jika x ditambah sebesar Δx, maka y akan bertambahsebesar Δy. y + Δy = (x + Δx)2 + 1 y = x2 + 1 (-) Matematika Ekonomi 81
  82. 82. Dengan pengurangan: Δy = (x + Δx)2 + 1 – x2 – 1 = x2 + 2xΔx + (Δx)2 + 1 – x2 – 1 = 2xΔx + (Δx)2 Δy/Δx = 2x Δx + (Δx)2 Δx = 2x + Δx lim Δy/Δx = lim 2x + lim Δx dy/dx = 2x +Δx = 2x dititik x = 5, 0 ->0 berarti Δx ->0 Δx ->0 dy/dx untuk x = 5 adalah 10. Matematika Ekonomi 82
  83. 83. 1.4 Rules of differentiationRule 1: Derivative of a power function.Fungsi pangkat (power function) y = xn y + Δy = (x + Δx)n Δy = (x + Δx)n – y Δy = (x + Δx)n – xn Ingat kembali bil. Binom Newton (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = C(0, 4)a4 + C(1, 4)a3b + C(2, 4)a2b2 + C(3, 4)ab3+C(4,4)b3 Matematika Ekonomi 83
  84. 84. C(i, n)  baca kombinasi tingkat i dari n unsur.C(i, n)  adalah teori kombinasi yang menyatakan memilih sebanyak i unsur dari suatu himpunan untuk menjadi anggota himpunan bagiannya.C(0, 4)  berarti kombinasi tingkat 0 dari 4 unsur.C(i, n) = ------------ n! i ! – (n – i)! Matematika Ekonomi 84
  85. 85. n! = n(n-1)(n-2)(n-3) … 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 0! = 1Sekarang: Δy = (x + Δx)n – xn = C(0, n)xn + C(1, n)xn-1Δx + C(2, n)xn-2Δx2 + C(3, n)xn-3Δx3 + C(4, n)xn-4Δx4 + ………… + C(n-1, n)xΔxn-1 - xn Matematika Ekonomi 85
  86. 86. n! n.n-1.n-2.n-3.C(0, n) = --------- = ---------------------- = 1 … 0!(n-0)! 1.n.n-1.n-2.n-3 …C(1, n) = ---------- = ---------------------- = n n! n.n-1.n-2.n-3. … 1!(n-1)! 1.n-1.n-2.n-3. …C(2, n) = ---------- = ---------------------- = ----- n! n.n-1.n-2.n-3. … n.n-1 2!(n-2)! 2.1.n-2.n-3. … 2 Matematika Ekonomi 86
  87. 87. Δy = (x + Δx)n – xn = xn + nxn-1Δx + n(n-1)xn-2Δx2 + 2 C(3, n)xn-3Δx3 + C(4, n)xn-4Δx4 + …… + C(n-1, n)xΔxn-1 - xn = nxn-1Δx + n(n-1)xn-2Δx2 + C(3, n)xn-3Δx3 + C(4, n)xn-4Δx4 + …… + C(n-1, n)xΔxn-1 Matematika Ekonomi 87
  88. 88. Δy = nxn-1+ n(n-1)xn-2Δx + Δx 2 C(3, n)xn-3Δx2 + C(4, n)xn-4Δx3 + …… + C(n-1, n)xΔxn-2 ΔyLim ---- = lim nxn-1 atau dy/dx = nxn-1Δx->0 Δx Δx->0Contoh: y = x5 dy/dx = 5x4. Mis C = total cost, q = output C = q3 derivatif C thdp q = 3q2. Matematika Ekonomi 88
  89. 89. Rule 2: Multiplication by a constant. y = f(x)= cx2, c adalah konstanta, dy/dx? y + Δy = c(x + Δx)2 Δy = cx2 + c2xΔx + c(Δx)2 – cx2 = c2xΔx + c(Δx)2 ---- = c2x + c(Δx) Δy lim Δx = lim c2x , Jadi dy/dx = c2x ---- Δy Δx->0 Δx Δx->0 Matematika Ekonomi 89
  90. 90. Contoh: y =f(x) = 5x2 f’(x) = 5(2)x2-1 = 10xRule 3: Derivative of a sum f(x) = g(x) + h(x) Dengan pembuktian yang sama spt rule (1) dan (2) diperoleh: f’(x) = g’(x) + h’(x) Demikian juga untuk: f(x) = g(x) + h(x) + k(x) f’(x) = g’(x) + h’(x) + k’(x) Matematika Ekonomi 90
  91. 91. Derivatif penjumlahan dua fungsi atau lebih samadengan pengurangan atau selisih.f(x) = g(x) – h(x);f’(x) = g’(x) – h’(x).Contoh:Cari derivatif f(x) = 7x4 + 2x3 – 3x + 37 g(x) = 7x4; g’(x) = 28x3 h(x) = 2x3; h’(x) = 6x2 k(x) = -3x; k’(x) = -3 l(x) = 37; l’(x) = 0 jadi f’(x) = 28x3 + 6x2 – 3. Matematika Ekonomi 91
  92. 92. Rule 4: derivative of a productFungsi hasil kali berbentuk y = f(x) = g(x).h(x) f’(x) = g(x).h’(x) + h(x).g’(x)Contoh: y = f(x) = (2x + 3)(3x2) g(x) = (2x + 3); g’(x) = 2 h(x) = 3x2; h’(x) = 6xJadi: f’(x) = (2x + 3)(6x) + (3x2)(2) = 12x2 + 18x + 6x2 = 18x2 + 18x. Matematika Ekonomi 92
  93. 93. Rule 5: derivatif of a quotient Bentuk umum hasil bagi dua fungsi: y = f(x) = g(x)/h(x). f’(x) = g’(x)h(x) – g(x)h’(x) [h(x)]2 Matematika Ekonomi 93
  94. 94. Contoh: f(x) = (2x – 3)/(X + 1). g(x) = 2x – 3; g’(x) = 2 h(x) = x + 1; h’(x) = 1 f’(x) = (2)(x + 1) – (1)(2x – 3) = 2x + 2 – 2x + 3 (x = + 1)2 5 (x + 1)2 (x + 1)2 Matematika Ekonomi 94
  95. 95. Rule 6: Chain ruleFungsi berantai bentuknya sbb:y = f(u)u = g(x) y = f(z) z = g(u)Dicari derivatif y ter- u = h(x)hadap x atau dy/dx.Dari u = g(x) didpt Dengan cara yang samadu/dx.Dari y = f(u) didpt dy dy du dz = dudy/du, Maka dx dz dxdy = dy . dudx du dx Matematika Ekonomi 95
  96. 96. Contoh: Misalkan x adalah lahan, yang dapatmenghasilkan y unit gandum dan z adalah roti ygterbuat dari gandum. Umpamakan setiap unit lahan(x) dihasilkan 2 unit gandum (y) sehingga: y = 2xUntuk setiap unit gandum (y) dapat diproduksi 15unit roti (z), yang digambarkan sebagai: z = 15yApabila ada perubahan sejumlah kecil lahan (x),maka berapa besar perubahan roti (z) akan terjadidari perubahan tersebut? Hal ini merupakan masa-lah hukum berantai dari turunan fungsi (derivatif). Matematika Ekonomi 96
  97. 97. dy/dx merupakan perubahan y apabila sejumlahkecil perubahan x yaitu dy/dx = 2Perubahan z apabila ada perubahan y dz/dy = 15Oleh karena itu perubahan z apabila ada perubah-an x menjadi: dz/dx = dz/dy. dy/dx = 15(2) = 30 unit. Matematika Ekonomi 97
  98. 98. Contoh: Jika y = uv, dimana u = s3 dan s = 1 – x. v = t2 dan t = 1 + x2u= s 3,  du/ds = 3s2 v = t2,  dv/dt = 2ts = 1 – x  ds/dx = -1 t = 1 + x2  dt/dx = 2x y = uv, adalah bentuk hasil kali berarti dy/dx = u.dv/dx + v.du/dx = u(dv/dt)(dt/dx) + v(du/ds)(ds/dx) = s3(2t)(2x) + t2(3s2)(-1) = 4s3tx -3t2s2 = s2t(4sx – 3t) Substitusi, dy/dx = (1-x)2(1+x2)[4(1-x)(x) – 3(1+x2)] Matematika Ekonomi 98
  99. 99. Contoh: Jika y = (1 + x2)3, dapatkan dy/dx.Dengan memakai derivatif fungsi berantai:Mis u = 1 + x2, dan oleh karena itu y = u3dy/dx = (dy/du)(du/dx) = (3u2)(2x) = 6x(1 + x2)2. Matematika Ekonomi 99
  100. 100. 1.5. Derivatif of higher order Jika y = f(x), maka derivatif pertama dicatat sebagai dy/dx atau f’(x). Derivatif kedua dilambangkan dengan: d2y/dx2 atau f”(x) atau y” Demikian seterusnya untuk derivatif yang lebih tinggi. Semua hukum-hukum yang sudah dibahas, berlaku untuk mencari derivatif orde yang lebih tinggi. Contoh: Hitung derivatif y = f(x) = x3 – 3x2 + 4, dan hitung nilainya untuk x = 2. Matematika Ekonomi 100
  101. 101. f(x) = x3 – 3x2 + 4, f(2) = 8 – 12 + 4 = 0f’(x) = 3x2 – 6x, f’(2) = 12 – 12 = 0f”(x) = 6x – 6 f”(2) = 6f”’(x) = 6 f”’(2) = 6. Matematika Ekonomi 101
  102. 102. 1.5 Derivatif parsial Teknik ini digunakan untuk suatu fungsi lebih dari satu variabel. z = f(x, y) atau z = f( u, v, x) dst Banyak kejadian terdiri dari beberapa variabel. Contoh: Qd = f(h, hkl, sK, i,) dimana h = harga komoditi itu sendiri hkl = harga komoditi lain sK = selera konsumen i = income Umpamakan kita berhadapan dengan fungsi: z = f(x , y), bila y dianggap tetap, maka z hanya merupakan fungsi x dan derivatif z ke x dapat dihitung. Matematika Ekonomi 102
  103. 103. Derivatifnya disebut derivatif parsial atau turunanparsial dari z ke x dan dilambangkan dengan: ∂z/∂x atau ∂f/∂x atau fxDemikian juga jika x dianggap tetap, maka derivatifparsial ke y dapat dihitung, dan dilambangkan dg: ∂z/∂y atau ∂f/∂y atau f yDerivatif parsial z ke x didefinisikan sebagai:∂z/∂x = lim Δz/Δx = lim f(x + Δx, y) – f(x, y) Δx->0 Δx->0 ΔxDerivatif parsial z ke y didefinisikan sebagai:∂z/∂y = lim Δz/Δy = lim f(x,y + Δy) – f(x, y) Δy->0 Δy->0 Δy Matematika Ekonomi 103
  104. 104. Contoh: Jika z = 3x2 + 2xy – 5y2 ,maka: ∂z/∂x = 6x + 2y ∂z/∂y = 2x – 10yDerivatif parsial kedua juga dapat dicari sbb:Contoh: z = (x2 + y2)3∂z/∂x = fX = 3(x2 + y2)2(2x) = 6x(x2 + y2)2∂z/∂y = f y = 3(x2 + y2)2(2y) = 6y(x2 + y2)2∂2z/∂x2 = fXX = 12x(x2 + y2)(2x) = 24x2(x2 + y2)∂2z/∂y2 = f yy = 12y(x2 + y2)(2y) = 24y2(x2 + y2)∂2z/ ∂y∂x = f yx = 12x(x2 + y2)(2y) = derivatif ∂z/∂xthd y 24xy(x2 + y2).∂2z/∂x∂y = fxy = 12y(x2 + y2)(2x) = 24xy(x2 + y2) Matematika Ekonomi 104
  105. 105. Simbol derivatif parsial ∂z/∂x juga dilambangkan ∂f/∂x atau fx.Fungsi turunan kedua dilambangkan: ∂2z/∂x2 atau ∂2f atau fxxFungsi turunan fx terhadap y dilambangkan f yxFungsi turunan f y terhadap x dilambangkan fxy f yx = fxy Matematika Ekonomi 105
  106. 106. Maksimum dan minimum y = f(x)akan maksimum pada saat: dy/dx = 0dan d2y/dx2 < 0akan minimum pada saat: dy/dx = 0dan d2y/dx2 > 0akan mempunyai titik belok (inflection point) pada: dy/dx = 0dan d2y/dx2 = 0 Matematika Ekonomi 106
  107. 107. Apabila fungsinya lebih dari dua variabel: z = f(x, y) atau f(x1, x2), Maksimum jika Minimum jika fx = 0, fy = 0 fx = 0, fy = 0 fxx < 0, fyy < 0 fxx > 0, fyy > 0 fxxfyy – (fxy)2 > 0 fxxfyy – (fxy)2 > 0 Matematika Ekonomi 107
  108. 108. Contoh: Periksa apakah fungsi berikut ini mempu- nyai titik maksimum, minimum atau titik belok dan hitung nilai f(x) pada titik tersebut. y = f(x) = -x2 + 4x + 7 dy/dx = -2x + 4 = 0; nilai x = 2 d2y/dx2 = -2 < 0; berarti mempunyai titik maks. pada x = 2. nilai ymaks atau f(x)maks = -(2)2 + 4(2) + 7 = 11 Matematika Ekonomi 108
  109. 109. Contoh: Tentukan nilai ekstrim (maks/min) dari: z = x2 + xy + y2 – 3x + 2Langkah-langkah:a. Derivatif pertama: fx = 2x + y – 3 f y = x + 2yb. fx = 0 dan f y = 0 2x + y – 3 = 0 x + 2y = 0 Dari 2x + y – 3, didapat y = 3 – 2x. Substitusi y = 3 – 2x ke persamaan x + 2y = 0 didapat x + 2(3 – 2x) = 0; x + 6 – 4x = 0 atau 3x = 6  x = 2. Matematika Ekonomi 109
  110. 110. Untuk x = 2, y = 3 – 2(2) = -1. Artinya titik (2, -1) merupakan titik maks atau minc. Uji dengan derivatif kedua: fxx = 2; f yy = 2; fxy = f yx = 1 fxxf yy – (fxy)2 = 2.2 – 12 = 3 > 0 artinya fungsi z mempunyai titik minimum pada titik (2, -1).d. Nilai zmin = (2)2 + (2)(-1) + (-1)2 – 3(2) + 2 = 4 – 2 + 1 – 6 + 2 = -1. Matematika Ekonomi 110
  111. 111. 1.5 Aplikasi dalam ekonomi1) Elastisitas permintaan Elastisitas permintaan adalah persentase per-ubahan jumlah komoditi diminta apabila terdapat perubahan harga. Jika q = komoditi yg diminta, Δq = perubahannya p = harga komoditi; Δp = perubahannya Matematika Ekonomi 111
  112. 112. Δq/q Δq/q Δq p dq pEd = ------ = lim ------- = lim ---- -- = ---- -- Δp/p Δp->0 Δp/p Δp->0 Δp q dp qContoh: Umpamakan fungsi permintaan q = 18 -2p2 hitung elastisitas permintaan jika harga berku- rang 5% (bukan mendekati nol) dari p = 2, q = 10. Bandingkan hasil kedua pendekatan: defi- nisi dan derivatif.Pendekatan definisi: p = 2; Δp = 0.05 berarti p1 = 2 – 2(0.05) = 1.9Untuk p1 = 1.9, q = 18-2p2 = 18 – 2(1.9)2 = 10.78untuk p = 2, q = 18-2p2 = 18 – 2(2)2 = 10.berarti Δq = 10.78 – 10 = 0.78 Matematika Ekonomi 112
  113. 113. Jadi menurut pendekatan definisi Ed = 7.8%/-0.05% = - 1.56Dengan pendekatan derivatif: Ed = (dq/dp)(p/q) = (-4p)(p/q) = - 4p2/q pada harga p = 2, dan q = 10 Ed = -4(2)2/10 = - 1.60.Perhatikan dengan derivatif, Δp mendekati nol,sementara menurut definisi, Δp = 0.05%, jadihasilnya sedikit berbeda. Matematika Ekonomi 113
  114. 114. 2) Total Cost, Average cost and marginal cost TC = f(q), merupakan fungsi biaya dimana TC = total cost, dan q = produk yang dihasilkan. TC/q = f(q)/q merupakan fungsi biaya rata-rata. MC = dTC/dq merupakan derivatif dari TC, sebagai biaya mar- ginal. Biaya marginal adalah tambahan biaya yg dibutuhkan per satuan tambahan produk. Matematika Ekonomi 114
  115. 115. Hubungan TC, AC dan MC, seperti kurva dibawahini. TC Rp AC MC VC q Matematika Ekonomi 115
  116. 116. Contoh dengan data diskrit q FC VC TC AC MC1 100 10 110 110.00 -2 100 16 116 58.00 6.03 100 21 121 40.33 5.04 100 26 126 31.50 5.05 100 30 130 26.00 4.06 100 36 136 22.67 6.07 100 45.5 145.5 20.78 9.58 100 56 156 19.50 10.59 100 72 172 19.10 16 Matematika Ekonomi 116
  117. 117. Contoh dengan fungsi biaya:TC = q3 – 4q2 + 10q + 75.FC = Fixed Cost = 75VC = Variable cost = q3 – 4q2 + 10q MC = dTC/dq = 3q2 – 8q + 10 AC = TC/q = q2 – 4q + 10 + 75/q3) Revenue and Marginal revenue Apabila fungsi permintaan diketahui, maka Total Revenue (TR) adalah jumlah produk yang diminta dikali harga. Matematika Ekonomi 117
  118. 118. Jadi jika q = kuantitas diminta dan p = harga dengan q = f(p) maka: TR = qp = f(p).p Marginal Revenue (MR) = dTR/dq. Contoh: MR = dTR/dq Fungsi Permintaan; = 9/2 – 3q 3q + 2p = 9; TR, MR, p 2p = 9 – 3q atau MR p = 9/2 – (3/2)q 4 TR = p.q atau p TR = (9/2)q – (3/2)q2 0 3 q Matematika Ekonomi 118
  119. 119. 4). Fungsi produksiSeorang produsen dalam teori ekonomi paling tidakharus mengambil dua keputusan apabila dilandasioleh suatu asumsi produsen berusa-ha memperolehprofit maksimum, adalah:a. Jumlah produk yang yang akan diproduksib. Menentukan kombinasi input-input yang digunakan dan jumlah tiap input tsb.Landasan teknis dari produsen dalam teori ekonomidisebut dengan FUNGSI PRODUKSI.Fungsi produksi = persamaan yang menunjukkanhubungan antara tingkat penggunaan input-inputdengan tingkat output. Matematika Ekonomi 119
  120. 120. Fungsi produksi, secara umum dicatat: Q = f(x1, x2, x3, … , xn)Q = outputxi = input-input yang digunakan, i = 1, 2, 3, … , nApabila dalam proses produksi: Q = f(x1/x2, x3, … , xn)input xI ditambah terus menerus, sedangkan inputlain tetap, maka fungsi produksi itu tunduk padahukum : The law of diminishing returns“bila satu macam input, terus ditambahpenggunaannya sedang penggunaan input lain tidakberubah, maka tam-bahan output yg dihasilkan darisetiap tambahan input, mulai-mula meningkat,kemudian menurun, dan akhirnya negatip”. Matematika Ekonomi 120
  121. 121. Tambahan output yg didapat karena adanya tam- bahan satu unit input dinamakan Produk Fisik Marginal (Produk Marginal = PM). PM = ∂Q/∂xi, i = 1, 2, 3, … , nSelain produk marginal, fungsi lain yang dapat di- turunkan dari fungsi produksi adalah fungsi Produk Rata-rata (PR). PR = Q/x = f(x)/xJadi ada hubungan antara Q atau produk total (PT) dengan PM dan PR.Hubungan tersebut di- tunjukkan oleh kurva berikut ini. Matematika Ekonomi 121
  122. 122. Q X1 Q PM PR Q = PT 1 10 - 10 2 24 14 12 3 39 15 13 4 52 13 13 5 61 9 12.2 x 6 66 5 11 7 66 0 9.4 8 64 -2 8 PM PR x Matematika Ekonomi 122
  123. 123. Ciri-ciri grafik fungsi produksi dicatat sbb:a. Pada saat PT maks, maka PM = 0b. Pada saat PR maks, maka PM = PRc. PR maks pada saat grs lurus dari titik nol (origin) menyinggung kurva PT. Kurva produksi yang dijelaskan di atas, hanya jika input variabel terdiri atas satu input. Untuk Q = f(x1, x2)/x3, … , xN)atau dua input variabel, maka kurvanya dalam ruang spt berikut: Matematika Ekonomi 123
  124. 124. zx1 x2 Matematika Ekonomi 124
  125. 125. MATRIKSMatriks artinya sesuatu yang membungkus, yangdibungkus adalah data kuantitatif yang disusundalam bentuk “baris” dan “lajur”.Contoh: Harga gula pasir di 3 kota selama 3 bulan(rata-rata) Kota A B C Bulan J 4000 4500 4200 F 4200 4600 4500 M 4200 4700 4500
  126. 126. Dengan catatan matriks ditulis:A = 4000 4500 4200 B= 1 0 1 4 4200 4600 4500 3 2 6 7 4200 4700 450 9 8 4 1Bentuk umum sbb: Notasi matriksA = a11 a12 … a1nmxn a21 a22 … a2n Untuk menyederhanakan dicatat: : : : A = (aij)mxn mxn am1 am2 … amn m = jlh baris; n = jlh lajur Matematika Ekonomi 126
  127. 127. Vektor.Kumpulan data/angka yang terdiri atas satu barisdisebut: VEKTOR BARIS, jika satu lajur diseburdengan VEKTOR LAJUR. Dengan demikian, dptdisebut bahwa matriks terdiri atas beberapa vektorbaris dan beberapa vektor lajur.Vektor baris: Vektor lajura’ = (4, 1, 3, 2) b= 1 u = u1x’ = (x1, x2, … xn) 2 u2 8 : un Matematika Ekonomi 127
  128. 128. Beberapa macam bentuk matriksa. Matriks segi: A = (aij)m.n dengan m = n A= 2 0 2 4 4x4 4 1 7 7 1 2 3 4 5 1 4 1b. Matriks setangkup: B = (bij)n.n, bij = bji B=1 0 7 7 4X4 0 5 4 3 7 4 2 5 7 3 5 1 Matematika Ekonomi 128
  129. 129. c. Matriks diagonal e. Matriks segitiga atas, D = (dij)n.n, dij = 0 utk i j jika semua unsur di- bawah diagonal uta- D= 3 0 0 ma bernilai nol. 0 5 0 G= 9 9 3 0 0 7 0 1 3 0 0 2d. Matriks identitasI4 = 1 0 0 0 I2 = 1 0 Diagonal utama Jika semua unsur di- 0 1 0 0 0 1 atas diagonal utama 0 0 1 0 bernilai 0 = matriks segitiga bawah. 0 0 0 1 Matematika Ekonomi 129
  130. 130. Penggandaan matriks Matriks A = (aij)m.n dapat digandakan dgn B = (bij)p.qjika dan hanya jika lajur matriks A = baris matriks Batau n = p Cara penggandaan adalah vektor baris x vektor lajurdimana setiap baris A digandakan dengan setiaplajur B seperti contoh berikut ini. 1 1 0 8 -1 2 4 5 1 1 6 7 8 1 2 Matematika Ekonomi 130
  131. 131. 1 1 0 8 -1 = (1 1 0) 8 , (1 1 0) -1 =2 4 5 1 16 7 8 1 2 1 1 1 2 (2 4 5) 8 , ( 2 4 5) -1 1 1 1 2 (6 7 8) 8 , (6 7 8) -1 1 1 1 1 Matematika Ekonomi 131
  132. 132. (1)(8) + (1)(1) + (0)(1), (1)(-1) + (1)(1) + (0)(2)(2)(8) + (4)(1) + (5)(1), (2)(-1) + (4)(1) + (5)(2)(6)(8) + (7)(1) + (8)(1), (6)(-1) + (7)(1) + (8)(2) 9 0 Contoh-2: 3 6 0 x = 25 12 4 2 -7 y 63 17 z 3x + 6y 4x + 2y – 7z Matematika Ekonomi 132
  133. 133. Putaran matriksMatriks A = (aij)m.n, putarannya adalah A’ = (a’ij)n.m,sedangkan (a’ij) = (aji).Contoh: A = 3 8 -9  A’ = 3 1 1 0 4 8 0 -9 4 D= 1 0 4  D’ = 1 0 4 0 3 7 0 3 7 4 7 2 4 7 2 Matematika Ekonomi 133
  134. 134. Determinan matriks segiDeterminan suatu matriks segi adalah hasil per-kalian unsur-unsur yang tidak sebaris dan tidakselajur, dengan tanda tertentu. Determinanmatriks A dicatat det (A) atau |A|Contoh: Hitung determinan matiks A = 2 7 4 9 det A = (2)(9) – (4)(7) = - 10. - + Matematika Ekonomi 134
  135. 135. Contoh: Cari determinan matriks C= 1 4 7 Cara Sarrus, yaitu dengan 8 2 5 menambahkan lajur 1 sebagai 6 9 3 lajur 4 dan lajur 2 sebagai lajur 5 kemudian mengganda- kan angka yang tidak sebaris dan tidak selajur. - - - det C = 1 4 7 1 4 8 2 5 8 2 6 9 3 6 9 + + + = (1)(2)(3) + (4)(5)(6) + (7)(8)(9) -(7)(2)(6) - (1)(5)(9) – (4)(8)(3) = 405 Matematika Ekonomi 135
  136. 136. Untuk matriks dengan dimensi/ukuran 4 x 4, caraSarrus tidak dapat digunakan melainkan dicari per-kalian unsur yang tidak sebaris dan tidak selajur.Pangkat suatu matriksSuatu matriks segi dengan determinan 0, makamatriks itu disebut berpangkat penuh atau matriks taksingular. Sebaliknya, disebut matriks berpangkat takpenuh atau dinamakan matriks singular.Jika suatu matriks B berukuran nxn, maka pangkatmatriks itu dicatat p(B) = n, jika matriknya berpangkatpenuh. Matematika Ekonomi 136
  137. 137. Tetapi jika determinannya = 0, maka pangkat matriksB, lebih kecil dari n, yaitu dimensi salah satu anakmatriksnya yang memiliki det 0.Contoh A = 1 1 0 , karena det A = 0, maka 3x3 2 -1 1 p(A) 3, dan kemungkinan 4 1 1 p(A) = 2.Untuk memeriksa, ambil salah satu anak matiksnya: A11 = 1 1 , det A11 = - 3 0. Berarti p(A) = 2 2 -1 Matematika Ekonomi 137
  138. 138. Dalam sistem persamaan linear, yang mencari nilai-nilai x dari sistem persamaan tersebut, maka matrikspenyusun persamaan linear dimaksud harus 0 atautak singular atau berpangkat penuh.Misal: 7x1 - 3x2 – 3x3 = 7 2x1 + 4x2 + x3 = 0 - 2x2 - x3 = 2Setelah diubah dg 7 -3 -3 x1 = 7perkalian matiksdiperoleh 2 4 1 x2 0 0 -2 -1 x3 2 Matematika Ekonomi 138
  139. 139. Det. Matriks: 7 -3 -3 = -8 0, berarti nilai-nilai x 2 4 1 dari persamaan li- 0 -2 -1 near itu dpt dicari. Matematika Ekonomi 139
  140. 140. Persamaan linear dan jawabannya.Persamaan linear adalah himpunan dari persamaanlinear dengan beberapa nilai yang hendak dicari.Contoh: 5x1 + 3x2 = 30 7x1 – x2 – x3 = 0 6x1 – 2x2 = 8 10x1 – 2x2 + x3 = 8 6x1 + 3x2 – 2x3 = 7Dari persamaan tersebut akan dihitung x1 dan x2 Matematika Ekonomi 140
  141. 141. Dengan aturan Cramer, menggunakan cara determi- nan, sistem persamaan linear di atas dapat diselesai-kan dg cara sbb:a. Buat persamaan linear menjadi dalam bentuk perkalian matriks. 5 3 x1 = 30 6 -2 x2 8 A x db. Cari nilai det (A); det A = -28c. Dapatkan matiks A1 yaitu matriks A dengan mengganti lajur ke-1 dengan vektor d. Matematika Ekonomi 141
  142. 142. A1 = 30 3 8 -2d. Dapatkan matriks A2 yaitu matriks A dengan mengganti lajur ke-2 dengan vektor d. A2 = 5 30 6 8e. Cari det A1 dan det A2; det A1 = -84; det A2 = -140f. Nilai x1 = det A1/det A, dan x2 = det A2/A. x1 = -84/-28 = 3; x2 = -140/-28 = 5. Matematika Ekonomi 142
  143. 143. Contoh 2 7 -1 -1 x1 = 0 10 -2 1 x2 8 6 3 -2 x3 7 A x da. Det A = -61b. Det A1 = 0 -1 -1 = -61; det A2 = 7 0 -1 = -183 8 -2 1 10 8 1 7 3 -2 6 7 -2 det A3 = 7 -1 0 = -244 10 -2 8 6 3 7 Matematika Ekonomi 143
  144. 144. MATRIKS KEBALIKANJika A = (aij)n.n maka matriks kebalikannya dicatat sebagai A-1.Cara mencari matriks kebalikan:a. Dengan matriks adjointb. Dengan transformasi penyapuanc. Dengan metode Doolittle Matematika Ekonomi 144
  145. 145. Mencari matriks kebalikan dengan matiks adjointUmpamakan dibicarakan matiks A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33Untuk mencari matriks kebalikannya ditempuh lang- kah-langkah sbb:a. Mencari minor setiap unsur apq atau Mpq, dimana p=q = 1, 2, 3. (baris = p, lajur = q = 1, 2, 3) Definisi: Minor unsur apq adalah determinan anak matriks dengan menghapus baris p dan lajur q. Jadi M11 dihitung dengan cara berikiut: Matematika Ekonomi 145
  146. 146. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33Minor unsur a11 = M11 = a22 a23 = a22a33 – a23a32 a32 a33Minor unsur a12 = M12 = a21 a23 = a21a33 – a23a31 a31 a33Minor unsur a13 = M13 = a21 a22 a31 a32 = a21a32 – a22a31 Matematika Ekonomi 146
  147. 147. Minor unsur a21 = M21 = a12 a13 = a12a33 – a13a32 a32 a33Minor unsur a22 = M22 = a11 a13 = a11a33 – a13a31 a31 a33Minor unsur a23 = M23 = a11 a12 a31 a32 = a11a32 – a12a31 Matematika Ekonomi 147
  148. 148. Minor unsur a31 = M31 = a12 a13 = a12a23 – a13a22 a21 a23Minor unsur a32 = M32 = a11 a13 = a11a23 – a13a21 a21 a23Minor unsur a33 = M33 = a11 a12 a21 a22 = a11a22 – a12a21 Matematika Ekonomi 148
  149. 149. b. Kofaktor. Kofaktor unsur apq ialah αpq = (-1)p+qMpq. Kofaktor unsur a11 = α11 = (-1)1+1M11 Kofaktor unsur a12 = α12 = (-1)1+2M12 Kofaktor unsur a13 = α13 = (-1)1+3M13 Kofaktor unsur a21 = α21 = (-1)2+1M21 Kofaktor unsur a22 = α22 = (-1)2+2M22 Kofaktor unsur a23 = α23 = (-1)2+3M23 Kofaktor unsur a31 = α31 = (-1)3+1M31 Kofaktor unsur a32 = α32 = (-1)3+2M32 Kofaktor unsur a33 = α33 = (-1)3+3M33 Matematika Ekonomi 149
  150. 150. Setelah dapat kofaktor dari setiap unsur, susunlahmatriks kofaktor K: K = α11 α12 α13 α21 α22 α23 α31 α32 α33Matriks kebalikan dari A = A-1 = (1/det A)(K’)Perhatikan, kofaktor unsur sebenarnya hanya soaltanda dari minor sauté unsur. Jika indeksnya genap,tandanya + dan jika indeksnya ganjil, tandanyanegatip. Matematika Ekonomi 150
  151. 151. Contoh: Cari matriks kebalikan dari B = 4 1 -1 0 3 2 3 0 7Matriks kofaktor K= 3 2 0 2 0 3 = 21 6 -9 - 0 7 3 7 3 0 -7 31 3 1 -1 4 -1 4 1 5 -8 12 - - 0 7 3 7 3 0 1 -1 4 -1 4 1 - 3 2 0 2 0 3 Matematika Ekonomi 151
  152. 152. Matriks putaran K = K’ = 21 -7 5 6 31 -8 -9 3 12Matriks kebalikan = B-1adalah: (1/det B)K’.det (B) = (4)(3)(7) + (1)(2)(3) + (0)(0)(-1) B-1 = (1/99) 21 -7 5 -(-1)(3)(3) -(2)(0)(4) 6 31 -8 -(1)(0)(7) = 99 -9 3 12 Matematika Ekonomi 152
  153. 153. Untuk menguji, maka: BB-1 = I 4 1 -1 21/99 -7/99 5/99 = 1 0 0 0 3 2 6/99 31/99 -8/99 0 1 0 3 0 7 -9/99 3/99 12/99 0 0 1 B B-1 I Matematika Ekonomi 153
  154. 154. PENGGUNAAN MATRIKS KEBALIKAN DALAM EKONOMI (INPUT – OUTPUT Analysis)Dalam analisis ekonomi dikenal keterkaitan antar in-dustri (atau sektor industri). Artinya output suatusektor dipakai untuk memenuhi sektor lain, dan me-menuhi permintaan akhir rumah tangga, pemerintah,pembentukan modal maupun ekspor. SementaraInput suatu sektor dibeli dari sektor lain. Matematika Ekonomi 154
  155. 155. Dalam analisis ekonomi, sering hubungan antar satusektor dgn sektor lain dinyatakan dengan himpunanpersamaan linear. Contoh analisis input-outputLeontief.Dengan notasi matriks model I-O sbb: AX + F = X atau X - AX = F atau (I – A)X = F pers matriks Leontief X = F/(I - A) = (I – A)-1. F. Matriks kebalikan Leontief Matematika Ekonomi 155
  156. 156. 0.2 0.3 0.2 , x1 , 10 Mis. Sektor perekonomian0.4 0.1 0.2 x2 5 terdiri dari 3 sekt. Pert, Ind,0.1 0.3 0.2 x3 6 dan Jasa. A x F1 0 0 - 0.2 0.3 0.2 = 0.8 -0.3 -0.20 1 0 0.4 0.1 0.2 -0.4 0.9 -0.20 0 1 0.1 0.3 0.2 -0.1 -0.3 0.8 I A 0.8 -0.3 -0.2 x1 = 10 -0.4 0.9 -0.2 x2 5 -0.1 -0.3 0.8 x3 6 I-A F x Matematika Ekonomi 156
  157. 157. Matriks Kofaktor dari (I – A) adalah M11 -M12 M13 = 0.66 0.34 0.21 , K’ = 0.66 0.30 0.24-M21 M22 -M23 0.30 0.62 0.27 0.34 0.62 0.24 M31 -M32 M33 0.24 0.24 0.60 0.21 0.27 0.60(I – A)-1 = 1/(det (I-A)K’ = 1 0.66 0.30 0.24 0.384 0.34 0.62 0.24 0.21 0.27 0.60 = 1.72 0.78 0.63 = R 0.90 1.61 0.63 0.55 0.70 1.56 Matematika Ekonomi 157
  158. 158. Arti dari matriks kebalikan Leontief:Mis r12 = 0.78, artinya untuk menopang setiap per-mintaan akhir akan produk Industri, harusdiproduksi sebanyak 0.78 satuan produk pertanian.R23 = 0.68, artinya untuk menopang setiap permin-taan akhir akan produk Jasa, maka harus diproduk-si sebanyak 0.68 satuan produk Industri. Matematika Ekonomi 158
  159. 159. Vektor x adalah vektor permintaan akhir yaitu: (I – A)-1F X = x1 = 1/0.384 [0.66(10) + 0.30(5) + 0.24(6)] = 24.84 x2 1/0.384 [0.34(10) + 0.62(5) + 0.24(6)] = 20.68 x3 1/0.384 [0.21(10) + 0.27(5) + 0.60(6)] = 18.36 Artinya: Berdasarkan permintaan akhir yang ada, maka dira- malkan output sektor pertanian, industri dan jasa masing- masing akan menjadi 24.84 satuan, 20.68 satuan dan 18.36 satuan. Dengan analogi yang sama, jika permintaan akhir mau di- naikkan, maka ramalan output tiap sektor dapat diketahui. Matematika Ekonomi 159
  160. 160. Penutup: TUHAN Maha Tahu tetapi tidak pernah memberi tahu ! Mengapa ? Manusia sudah diberi pikiran dan manusia adalah makhluk yang berpikir. Matematika merupakan sarana berpikir Matematika Ekonomi 160

×