Profesor Fabricio Valdés Nieto
       Mayo del 2007
Introducción
• Durante mucho tiempo, los artistas y diseñadores se han
  preguntado cuál es la más perfecta y armoniosa fo...
• En la antigüedad clásica, el griego Platón
  observó una forma de particionar un
  segmento de forma armónica y agradabl...
• Cerca del año 300 A. C, otro griego, Euclides,
  encontró geométricamente la forma de dividir
  en dos partes un segment...
• Euclides escribió en su libro Los Elementos:

  “Para que un segmento sea particionado en
  Sección Áurea la razón entre...
Veamos la partición de un segmento de forma
 armónica, tal como lo hizo Euclides:

   Aquí tenemos un segmento AB que ha s...
• Ésta forma de particionar un segmento
  constituyó la base en la que se fundaba el
  arte y la arquitectura de los grieg...
Determinemos el valor de la
            Razón Áurea
• Toda Razón es una comparación de dos
  magnitudes mediante su cuocie...
• Tenemos un segmento AB cualquiera con AC = a,
  CB = b, AB = a + b. Donde CB es el segmento
  menor.

• El segmento debe...
a+b a
                             =
                           a   b
   Por el Teorema Fundamental de las proporciones (m...
a ⋅b + b = a      2            2


            Nosotros sólo sabemos resolver ecuaciones
           con una sola incógnita...
Aplicando la fórmula para encontrar las soluciones de una
ecuación cuadrática, tenemos que:


         − a ± a − 4 ⋅1 ⋅ ( ...
Escribiendo como producto de raíces,

                    −a± a          2
                                        5
     ...
invertimos la razón y queda,


               a     2
                 =
               b (−1 ± 5 )
a     2
Tenemos dos soluciones     =
                         b (−1 + 5 )
    a     2
      =                       ó
    ...
pero veamos bien ,   5     es un número irracional mayor que 1



por lo tanto:

                a     2
                 ...
El número      5   es aproximadamente 2,236067… luego




   a     2
     =         ≈ 1,618033.....
   b (−1 + 5 )

      ...
El Hermano pequeño
• Hemos visto que, si determinamos la razón
  entre el lado mayor “b” y el menor “a”
  obtenemos el núm...
• A ese valor se le llama phi (en minúsculas), y es el
  inverso multiplicativo del número de oro (su hermano
  pequeño).
...
¿Dónde encontramos la
            Razón Áurea?



                        La razón entre la distancia del ombligo a
      ...
En los cuerpos y rostros de actrices,
actores y cantantes famosos




                                             dist.me...
• Conocemos el Valor de la Razón Áurea
• Ya construimos un Segmento Áureo (o Sección
  Áurea)
• Pero también podemos const...
Construcción de un Rectángulo Áureo

• Un Rectángulo Áureo es simplemente aquel en que la
  razón entre su lado mayor y su...
¿Dónde podemos encontrar
               Rectángulos Áureos?
  En la vida cotidiana:

                                     ...
La Gioconda        Sección Áurea
-Leonardo Da Vinci-   -Piet Mondrian-
Dos de las composiciones
en rojo, amarillo y azul del pintor Piet Mondrian
En las obras de muchos otros artistas del Renacimiento
  se han buscado relaciones áureas.




     Sir Theodore Cook (s
X...
Hay otros casos de obras
pictóricas en los que aparece el
uso del Rectángulo Áureo como
medio de distribución espacial
(fo...
En “La Carta”, de
Vermeer,          la
ubicación        del
elemento principal
está en el cruce de
las       divisiones
áu...
En Monumentos:

                        El Partenón
  Para los griegos, la Razón Áurea constituyó la base del diseño de
  ...
La Espiral Mirabilis (Maravillosa) o
                Espiral Áurea

• Es un curva que surge de dibujar arcos de circunfere...
¿Dónde encontramos la Espiral
         Mirabilis?
En el Arte:




 "Semitaza gigante volando con       Observa cómo la espiral áurea
anexo inexplicable de cinco metros     ...
En la Naturaleza:




          La concha del cefalópodo marino Nautilus
Comentario Final
Como ejercicio de observación te propongo
que te fijes en todo lo que nos rodea y
compruebes, que el núme...
Actividades
Investiga para desarrollar las sgtes. actividades:

• En papel, construyan un Segmento Áureo con
  regla y com...
Introducción
• Podemos embaldosar un piso con
  cerámicos, pastelones o azulejos de tal
  forma que no se superpongan ni q...
• Si hemos recubierto un plano con
  determinadas figuras sin que queden
  espacios vacíos entre ellas ni se
  superpongan...
• Las teselaciones han sido utilizadas en
  todo el mundo desde los tiempo más
  antiguos para recubrir suelos y paredes, ...
• Podemos Teselar un plano con
  figuras geométricas llamadas
  polígonos. Éstos pueden ser
  Regulares o Irregulares.

• ...
Solo existen 3 teselaciones regulares:

• Teselación de triángulos equiláteros:




• Teselación de cuadrados
  (Ejemplo: ...
• Para teselar un plano, los polígonos se pueden
  someter a unos tipos de transformaciones en el
  plano, llamadas Isomet...
Rotación de un polígono
• Consiste en rotar un polígono en un cierto ángulo respecto
  a un punto fijo




               ...
Rotación de un
cuadrado
Traslación de un polígono
• Consiste en mover en una dirección un polígono


Traslación de un cuadrado
Traslación de un triángulo
Reflexión
• Consiste en obtener el polígono reflejado con
  respecto a una recta llamada espejo




              Reflexió...
Reflexión de un cuadrado
respecto a la recta espejo
Ejemplos de Teselaciones Regulares
El tablero de Ajedrez
es un plano teselado
  por un cuadrado

                         Una teselación con
                ...
• Maurits Cornelis Escher, pintor holandés,
  cuyos trabajos son apreciados por
  matemáticos, realizó una obra que puede
...
• Escher tesela el plano con figuras de
  aves, peces, personas, reptiles y otros.

• El resultado total de combinar las f...
Ejemplos de Teselaciones Irregulares
Pájaros
M. Escher
Simetría nº 45
  M. Escher
Día y noche
M. C. Escher
   (1938)
Teselación de un plano con la figura de un pez
Construcción
     de
Teselaciones
Teselación a partir de un triángulo
Dibuja un triángulo cualquiera. Distorsiona cada lado del triángulo, de forma que
siem...
Cometario final del taller
Te aconsejo que busques información en
Internet sobre M. Escher, pues además de
haber creado he...
Propiedades de los Fractales
• Autosimilitud:
   A diferentes escalas, una figura fractal
  conserva la misma apariencia, ...
Cómo se construyen los Fractales
• Los Fractales son generados en
  computadores con fórmulas o algoritmos y
  con un conj...
• Además ser bellos, los fractales
  generados por computador se utilizan
  para la representación y el análisis de una
  ...
Rama de un Helecho Fractal
Música Fractal
Mediante técnicas de computación, los
fractales pueden ser “interpretados”
como música.
Actividad


Generemos Fractales con el
   programa WinFract
Gracias por participar del taller
La Matematica Y El Arte
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  1. 1. Profesor Fabricio Valdés Nieto Mayo del 2007
  2. 2. Introducción • Durante mucho tiempo, los artistas y diseñadores se han preguntado cuál es la más perfecta y armoniosa forma de dividir en dos partes un objeto. • También se han preguntado cuál es la relación entre las medidas de las partes que constituyen un objeto para que éste sea bello. • Un objeto lo podemos dividir por la mitad, o haciendo que una parte sea el doble de la otra, o de forma que una parte sea el triple de la otra, o que una sea ¾ de la otra,... en fin, podemos hacer cualquier partición o división de un objeto.
  3. 3. • En la antigüedad clásica, el griego Platón observó una forma de particionar un segmento de forma armónica y agradable a la vista que llamó La Sección
  4. 4. • Cerca del año 300 A. C, otro griego, Euclides, encontró geométricamente la forma de dividir en dos partes un segmento de forma armónica, o agradable a la vista • Al segmento particionado le llamó Sección Áurea Euclides
  5. 5. • Euclides escribió en su libro Los Elementos: “Para que un segmento sea particionado en Sección Áurea la razón entre el segmento y la parte mayor debe ser igual a la razón entre la parte mayor y la menor”.
  6. 6. Veamos la partición de un segmento de forma armónica, tal como lo hizo Euclides: Aquí tenemos un segmento AB que ha sido dividido en dos partes: la parte AC y la parte CB (suponemos que AC>CB) Eculides descubrió que un segmento es dividido en dos partes de forma armónica o agradable a la vista siempre y cuando se cumpla que: la razón entre el segmento y la parte mayor es igual a la razón entre la parte mayor y la menor, es decir: AB AC = AC CB
  7. 7. • Ésta forma de particionar un segmento constituyó la base en la que se fundaba el arte y la arquitectura de los griegos El Partenón, templo de los dioses griegos
  8. 8. Determinemos el valor de la Razón Áurea • Toda Razón es una comparación de dos magnitudes mediante su cuociente • Por lo tanto podemos encontrar el cociente o valor que resulta de dividirlos • Determinemos el valor de la Razón Áurea mediante Álgebra (resolviendo una ecuación)
  9. 9. • Tenemos un segmento AB cualquiera con AC = a, CB = b, AB = a + b. Donde CB es el segmento menor. • El segmento debe estar particionado en Razón Áurea, por lo tanto se debe cumplir que: a+b a = a b
  10. 10. a+b a = a b Por el Teorema Fundamental de las proporciones (multiplicando cruzado) queda, ( a + b) ⋅ b = a ⋅ a multiplicando y reduciendo, a ⋅b + b = a 2 2
  11. 11. a ⋅b + b = a 2 2 Nosotros sólo sabemos resolver ecuaciones con una sola incógnita, por lo tanto digamos que la incógnita es “b” (suponemos que conocemos “a”) “pasando” a2 al lado izquierdo de la ecuación, b + a ⋅b − a = 0 2 2
  12. 12. Aplicando la fórmula para encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática, tenemos que: − a ± a − 4 ⋅1 ⋅ ( − a ) 2 2 b= 2 operando, − a ± a (1 + 4)2 b= 2
  13. 13. Escribiendo como producto de raíces, −a± a 2 5 b= 2 factorizando, a (−1 ± 5 ) b= 2 a pasa dividiendo, b (−1 ± 5 ) = a 2
  14. 14. invertimos la razón y queda, a 2 = b (−1 ± 5 )
  15. 15. a 2 Tenemos dos soluciones = b (−1 + 5 ) a 2 = ó b (−1 ± 5 ) a 2 = b (−1 − 5 )
  16. 16. pero veamos bien , 5 es un número irracional mayor que 1 por lo tanto: a 2 = Es un número Positivo b (−1 + 5 ) a 2 = Es un número Negativo b (−1 − 5 ) Escogemos el valor positivo de la Razón pues no existen distancias negativas
  17. 17. El número 5 es aproximadamente 2,236067… luego a 2 = ≈ 1,618033..... b (−1 + 5 ) Este valor encontrado para la Razón Áurea se llama φ (se escribe Phi y se pronuncia Fi) Se nombró así en honor a Fidias, el arquitecto griego que construyó el Partenón usando la Razón Áurea.
  18. 18. El Hermano pequeño • Hemos visto que, si determinamos la razón entre el lado mayor “b” y el menor “a” obtenemos el número de oro Phi. Ahora, también es posible hacer lo inverso: determinar la razón que existe entre el menor y el mayor: b a
  19. 19. • A ese valor se le llama phi (en minúsculas), y es el inverso multiplicativo del número de oro (su hermano pequeño). • Sorprendentemente, lo único que diferencia a ambos números es la parte entera: Phi es 1,618... y phi es 0,618... • ¡El resto de los decimales son los mismos! • Phi es el UNICO número real que cumple esta característica, además de otras muy interesantes.
  20. 20. ¿Dónde encontramos la Razón Áurea? La razón entre la distancia del ombligo a los pies y la distancia de la cabeza al ombligo es φ, así como también la razón entre la altura de un hombre y la distancia del ombligo a los pies El Hombre de Vitrubio -Leonardo Da Vinci-
  21. 21. En los cuerpos y rostros de actrices, actores y cantantes famosos dist.menton.a.boca 6,5 = ≈ 1,625 ≈ φ dist.boca.a.nariz 4 estatura 163 l arg o.cara 20 = ≈ 1,6908 ≈ φ = ≈ 1,6666 ≈ φ dist.ombligo.a. pies 96,4 dist.menton.a.ojos 12
  22. 22. • Conocemos el Valor de la Razón Áurea • Ya construimos un Segmento Áureo (o Sección Áurea) • Pero también podemos construir cualquier figura geométrica en que sus lados guarden dicha relación • Usando algunos conocimientos de geometría podemos construir el más sencillo de todos, el Rectángulo Áureo (¡ESTE ES UN DESAFÍO!)
  23. 23. Construcción de un Rectángulo Áureo • Un Rectángulo Áureo es simplemente aquel en que la razón entre su lado mayor y su lado menor es φ a b a =φ b
  24. 24. ¿Dónde podemos encontrar Rectángulos Áureos? En la vida cotidiana: Generalmente, las tarjetas de crédito, los carnet de identidad y pases escolares tienen forma de rectángulo áureo, es decir la razón entre su lado mayor y menor es φ También asemejan a rectángulos áureos los televisores de pantalla ancha, las postales y las fotografías
  25. 25. La Gioconda Sección Áurea -Leonardo Da Vinci- -Piet Mondrian-
  26. 26. Dos de las composiciones en rojo, amarillo y azul del pintor Piet Mondrian
  27. 27. En las obras de muchos otros artistas del Renacimiento se han buscado relaciones áureas. Sir Theodore Cook (s XIX) describió una escala simple de divisiones áureas aplicable a la figura humana, que encaja sorprendentemente bien en las obras de algunos pintores, como Boticelli. El Nacimiento de Venus -Boticelli-
  28. 28. Hay otros casos de obras pictóricas en los que aparece el uso del Rectángulo Áureo como medio de distribución espacial (forma de componer un cuadro): En “El Martirio de San Bartolomé”, de Ribera, es evidente la división del espacio en base a rectángulos áureos verticales y horizontales: el objeto principal se ubica en el cuadrado central
  29. 29. En “La Carta”, de Vermeer, la ubicación del elemento principal está en el cruce de las divisiones áureas:
  30. 30. En Monumentos: El Partenón Para los griegos, la Razón Áurea constituyó la base del diseño de monumentos y construcciones en honor a sus dioses El Partenón, templo de los En la fachada del Partenón se puede dioses griegos inscribir un rectángulo áureo
  31. 31. La Espiral Mirabilis (Maravillosa) o Espiral Áurea • Es un curva que surge de dibujar arcos de circunferencia en el interior de los sucesivos cuadrados que se obtienen al construir sucesivos rectángulos áureos
  32. 32. ¿Dónde encontramos la Espiral Mirabilis?
  33. 33. En el Arte: "Semitaza gigante volando con Observa cómo la espiral áurea anexo inexplicable de cinco metros se ajusta a los elementos de longitud“ importantes de la pintura -Salvador Dalí-
  34. 34. En la Naturaleza: La concha del cefalópodo marino Nautilus
  35. 35. Comentario Final Como ejercicio de observación te propongo que te fijes en todo lo que nos rodea y compruebes, que el número áureo está presente en todas partes. Si algo nos llama la atención por su belleza, tal vez el número de oro esté en la fuente de diseño
  36. 36. Actividades Investiga para desarrollar las sgtes. actividades: • En papel, construyan un Segmento Áureo con regla y compás • En papel, construyan un Rectángulo Áureo con regla y compás • En papel, construyan una Espiral Áurea con regla y compás
  37. 37. Introducción • Podemos embaldosar un piso con cerámicos, pastelones o azulejos de tal forma que no se superpongan ni quede algún espacio entre ellos • Las baldosas pueden ser cuadradas, triangulares, rectangulares, pero también existen otras figuras con las que podemos embaldosar el piso o, más generalmente, un plano
  38. 38. • Si hemos recubierto un plano con determinadas figuras sin que queden espacios vacíos entre ellas ni se superpongan, podemos decir que hemos hecho una teselación del plano con dichas figuras. Se dice que la figura es teselante. • Teselar es una acción donde intervienen la técnica, la geometría, el arte y la decoración.
  39. 39. • Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempo más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, ropas,...
  40. 40. • Podemos Teselar un plano con figuras geométricas llamadas polígonos. Éstos pueden ser Regulares o Irregulares. • Cuando todos los polígonos de la teselación son regulares e iguales entre si, se dice que la teselación es regular, y de otra forma se dice teselación irregular.
  41. 41. Solo existen 3 teselaciones regulares: • Teselación de triángulos equiláteros: • Teselación de cuadrados (Ejemplo: la del tablero de ajedrez): • Teselación de hexágonos: (Ejemplo: la de los panales de abeja)
  42. 42. • Para teselar un plano, los polígonos se pueden someter a unos tipos de transformaciones en el plano, llamadas Isometrías. - Iso - quiere decir igual, - metría - quiere decir medida, por lo tanto las Isometrías son transformaciones en el plano que conservan los tamaños de las figuras • Las tres Isometrías son: Rotación, Traslación y Reflexión
  43. 43. Rotación de un polígono • Consiste en rotar un polígono en un cierto ángulo respecto a un punto fijo Rotación de un triángulo equilátero
  44. 44. Rotación de un cuadrado
  45. 45. Traslación de un polígono • Consiste en mover en una dirección un polígono Traslación de un cuadrado
  46. 46. Traslación de un triángulo
  47. 47. Reflexión • Consiste en obtener el polígono reflejado con respecto a una recta llamada espejo Reflexión de un triángulo con respecto a la recta espejo
  48. 48. Reflexión de un cuadrado respecto a la recta espejo
  49. 49. Ejemplos de Teselaciones Regulares
  50. 50. El tablero de Ajedrez es un plano teselado por un cuadrado Una teselación con triángulos equiláteros
  51. 51. • Maurits Cornelis Escher, pintor holandés, cuyos trabajos son apreciados por matemáticos, realizó una obra que puede ser calificada como arte matemático y se caracteriza por la teselación irregular del plano. M. C. Escher
  52. 52. • Escher tesela el plano con figuras de aves, peces, personas, reptiles y otros. • El resultado total de combinar las figuras dificulta apreciar la figura y su fondo.
  53. 53. Ejemplos de Teselaciones Irregulares
  54. 54. Pájaros M. Escher
  55. 55. Simetría nº 45 M. Escher
  56. 56. Día y noche M. C. Escher (1938)
  57. 57. Teselación de un plano con la figura de un pez
  58. 58. Construcción de Teselaciones
  59. 59. Teselación a partir de un triángulo Dibuja un triángulo cualquiera. Distorsiona cada lado del triángulo, de forma que siempre sea simétrico respecto de su punto medio. La figura que obtienes de este modo se llama triside y permite recubrir un plano. Puedes intentar hacer tu propio diseño y recubrir el plano con él. Ejemplo
  60. 60. Cometario final del taller Te aconsejo que busques información en Internet sobre M. Escher, pues además de haber creado hermosas Teselaciones, también ha creado “dibujos imposibles” como los que te presento a continuación
  61. 61. Propiedades de los Fractales • Autosimilitud: A diferentes escalas, una figura fractal conserva la misma apariencia, siempre existe una clara similitud entre partes muy distantes de una misma figura fractal. • Infinito Detalle: Al ampliar un fractal, más detalle revela este, sin que se tenga un límite.
  62. 62. Cómo se construyen los Fractales • Los Fractales son generados en computadores con fórmulas o algoritmos y con un conjunto muy reducido de datos. • Su algoritmia es definida por una característica clave: la iteración. • Existen programas para computador que permiten experimentar y descubrir nuevos fractales.
  63. 63. • Además ser bellos, los fractales generados por computador se utilizan para la representación y el análisis de una gran variedad de procesos complejos a lo largo de diversos campos, como pueden ser la Física, las Matemáticas, Biología, Química, Geología, etc.
  64. 64. Rama de un Helecho Fractal
  65. 65. Música Fractal Mediante técnicas de computación, los fractales pueden ser “interpretados” como música.
  66. 66. Actividad Generemos Fractales con el programa WinFract
  67. 67. Gracias por participar del taller
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