La Matematica Y El Arte

Profesor Fabricio Valdés Nieto Mayo del 2007

Introducción • Durante mucho tiempo, los artistas y diseñadores se han preguntado cuál es la más perfecta y armoniosa forma de dividir en dos partes un objeto. • También se han preguntado cuál es la relación entre las medidas de las partes que constituyen un objeto para que éste sea bello. • Un objeto lo podemos dividir por la mitad, o haciendo que una parte sea el doble de la otra, o de forma que una parte sea el triple de la otra, o que una sea ¾ de la otra,... en fin, podemos hacer cualquier partición o división de un objeto.

• En la antigüedad clásica, el griego Platón observó una forma de particionar un segmento de forma armónica y agradable a la vista que llamó La Sección

• Cerca del año 300 A. C, otro griego, Euclides, encontró geométricamente la forma de dividir en dos partes un segmento de forma armónica, o agradable a la vista • Al segmento particionado le llamó Sección Áurea Euclides

• Euclides escribió en su libro Los Elementos: “Para que un segmento sea particionado en Sección Áurea la razón entre el segmento y la parte mayor debe ser igual a la razón entre la parte mayor y la menor”.

Veamos la partición de un segmento de forma armónica, tal como lo hizo Euclides: Aquí tenemos un segmento AB que ha sido dividido en dos partes: la parte AC y la parte CB (suponemos que AC>CB) Eculides descubrió que un segmento es dividido en dos partes de forma armónica o agradable a la vista siempre y cuando se cumpla que: la razón entre el segmento y la parte mayor es igual a la razón entre la parte mayor y la menor, es decir: AB AC = AC CB

• Ésta forma de particionar un segmento constituyó la base en la que se fundaba el arte y la arquitectura de los griegos El Partenón, templo de los dioses griegos

Determinemos el valor de la Razón Áurea • Toda Razón es una comparación de dos magnitudes mediante su cuociente • Por lo tanto podemos encontrar el cociente o valor que resulta de dividirlos • Determinemos el valor de la Razón Áurea mediante Álgebra (resolviendo una ecuación)

• Tenemos un segmento AB cualquiera con AC = a, CB = b, AB = a + b. Donde CB es el segmento menor. • El segmento debe estar particionado en Razón Áurea, por lo tanto se debe cumplir que: a+b a = a b

a+b a = a b Por el Teorema Fundamental de las proporciones (multiplicando cruzado) queda, ( a + b) ⋅ b = a ⋅ a multiplicando y reduciendo, a ⋅b + b = a 2 2

a ⋅b + b = a 2 2 Nosotros sólo sabemos resolver ecuaciones con una sola incógnita, por lo tanto digamos que la incógnita es “b” (suponemos que conocemos “a”) “pasando” a2 al lado izquierdo de la ecuación, b + a ⋅b − a = 0 2 2

Aplicando la fórmula para encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática, tenemos que: − a ± a − 4 ⋅1 ⋅ ( − a ) 2 2 b= 2 operando, − a ± a (1 + 4)2 b= 2

Escribiendo como producto de raíces, −a± a 2 5 b= 2 factorizando, a (−1 ± 5 ) b= 2 a pasa dividiendo, b (−1 ± 5 ) = a 2

invertimos la razón y queda, a 2 = b (−1 ± 5 )

a 2 Tenemos dos soluciones = b (−1 + 5 ) a 2 = ó b (−1 ± 5 ) a 2 = b (−1 − 5 )

pero veamos bien , 5 es un número irracional mayor que 1 por lo tanto: a 2 = Es un número Positivo b (−1 + 5 ) a 2 = Es un número Negativo b (−1 − 5 ) Escogemos el valor positivo de la Razón pues no existen distancias negativas

El número 5 es aproximadamente 2,236067… luego a 2 = ≈ 1,618033..... b (−1 + 5 ) Este valor encontrado para la Razón Áurea se llama φ (se escribe Phi y se pronuncia Fi) Se nombró así en honor a Fidias, el arquitecto griego que construyó el Partenón usando la Razón Áurea.

El Hermano pequeño • Hemos visto que, si determinamos la razón entre el lado mayor “b” y el menor “a” obtenemos el número de oro Phi. Ahora, también es posible hacer lo inverso: determinar la razón que existe entre el menor y el mayor: b a

• A ese valor se le llama phi (en minúsculas), y es el inverso multiplicativo del número de oro (su hermano pequeño). • Sorprendentemente, lo único que diferencia a ambos números es la parte entera: Phi es 1,618... y phi es 0,618... • ¡El resto de los decimales son los mismos! • Phi es el UNICO número real que cumple esta característica, además de otras muy interesantes.

¿Dónde encontramos la Razón Áurea? La razón entre la distancia del ombligo a los pies y la distancia de la cabeza al ombligo es φ, así como también la razón entre la altura de un hombre y la distancia del ombligo a los pies El Hombre de Vitrubio -Leonardo Da Vinci-

En los cuerpos y rostros de actrices, actores y cantantes famosos dist.menton.a.boca 6,5 = ≈ 1,625 ≈ φ dist.boca.a.nariz 4 estatura 163 l arg o.cara 20 = ≈ 1,6908 ≈ φ = ≈ 1,6666 ≈ φ dist.ombligo.a. pies 96,4 dist.menton.a.ojos 12

• Conocemos el Valor de la Razón Áurea • Ya construimos un Segmento Áureo (o Sección Áurea) • Pero también podemos construir cualquier figura geométrica en que sus lados guarden dicha relación • Usando algunos conocimientos de geometría podemos construir el más sencillo de todos, el Rectángulo Áureo (¡ESTE ES UN DESAFÍO!)

Construcción de un Rectángulo Áureo • Un Rectángulo Áureo es simplemente aquel en que la razón entre su lado mayor y su lado menor es φ a b a =φ b

¿Dónde podemos encontrar Rectángulos Áureos? En la vida cotidiana: Generalmente, las tarjetas de crédito, los carnet de identidad y pases escolares tienen forma de rectángulo áureo, es decir la razón entre su lado mayor y menor es φ También asemejan a rectángulos áureos los televisores de pantalla ancha, las postales y las fotografías

La Gioconda Sección Áurea -Leonardo Da Vinci- -Piet Mondrian-

Dos de las composiciones en rojo, amarillo y azul del pintor Piet Mondrian

En las obras de muchos otros artistas del Renacimiento se han buscado relaciones áureas. Sir Theodore Cook (s XIX) describió una escala simple de divisiones áureas aplicable a la figura humana, que encaja sorprendentemente bien en las obras de algunos pintores, como Boticelli. El Nacimiento de Venus -Boticelli-

Hay otros casos de obras pictóricas en los que aparece el uso del Rectángulo Áureo como medio de distribución espacial (forma de componer un cuadro): En “El Martirio de San Bartolomé”, de Ribera, es evidente la división del espacio en base a rectángulos áureos verticales y horizontales: el objeto principal se ubica en el cuadrado central

En “La Carta”, de Vermeer, la ubicación del elemento principal está en el cruce de las divisiones áureas:

En Monumentos: El Partenón Para los griegos, la Razón Áurea constituyó la base del diseño de monumentos y construcciones en honor a sus dioses El Partenón, templo de los En la fachada del Partenón se puede dioses griegos inscribir un rectángulo áureo

La Espiral Mirabilis (Maravillosa) o Espiral Áurea • Es un curva que surge de dibujar arcos de circunferencia en el interior de los sucesivos cuadrados que se obtienen al construir sucesivos rectángulos áureos

¿Dónde encontramos la Espiral Mirabilis?

En el Arte: "Semitaza gigante volando con Observa cómo la espiral áurea anexo inexplicable de cinco metros se ajusta a los elementos de longitud“ importantes de la pintura -Salvador Dalí-

En la Naturaleza: La concha del cefalópodo marino Nautilus

Comentario Final Como ejercicio de observación te propongo que te fijes en todo lo que nos rodea y compruebes, que el número áureo está presente en todas partes. Si algo nos llama la atención por su belleza, tal vez el número de oro esté en la fuente de diseño

Actividades Investiga para desarrollar las sgtes. actividades: • En papel, construyan un Segmento Áureo con regla y compás • En papel, construyan un Rectángulo Áureo con regla y compás • En papel, construyan una Espiral Áurea con regla y compás

Introducción • Podemos embaldosar un piso con cerámicos, pastelones o azulejos de tal forma que no se superpongan ni quede algún espacio entre ellos • Las baldosas pueden ser cuadradas, triangulares, rectangulares, pero también existen otras figuras con las que podemos embaldosar el piso o, más generalmente, un plano

• Si hemos recubierto un plano con determinadas figuras sin que queden espacios vacíos entre ellas ni se superpongan, podemos decir que hemos hecho una teselación del plano con dichas figuras. Se dice que la figura es teselante. • Teselar es una acción donde intervienen la técnica, la geometría, el arte y la decoración.

• Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempo más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, ropas,...

• Podemos Teselar un plano con figuras geométricas llamadas polígonos. Éstos pueden ser Regulares o Irregulares. • Cuando todos los polígonos de la teselación son regulares e iguales entre si, se dice que la teselación es regular, y de otra forma se dice teselación irregular.

Solo existen 3 teselaciones regulares: • Teselación de triángulos equiláteros: • Teselación de cuadrados (Ejemplo: la del tablero de ajedrez): • Teselación de hexágonos: (Ejemplo: la de los panales de abeja)

• Para teselar un plano, los polígonos se pueden someter a unos tipos de transformaciones en el plano, llamadas Isometrías. - Iso - quiere decir igual, - metría - quiere decir medida, por lo tanto las Isometrías son transformaciones en el plano que conservan los tamaños de las figuras • Las tres Isometrías son: Rotación, Traslación y Reflexión

Rotación de un polígono • Consiste en rotar un polígono en un cierto ángulo respecto a un punto fijo Rotación de un triángulo equilátero

Rotación de un cuadrado

Traslación de un polígono • Consiste en mover en una dirección un polígono Traslación de un cuadrado

Traslación de un triángulo

Reflexión • Consiste en obtener el polígono reflejado con respecto a una recta llamada espejo Reflexión de un triángulo con respecto a la recta espejo

Reflexión de un cuadrado respecto a la recta espejo

Ejemplos de Teselaciones Regulares

El tablero de Ajedrez es un plano teselado por un cuadrado Una teselación con triángulos equiláteros

• Maurits Cornelis Escher, pintor holandés, cuyos trabajos son apreciados por matemáticos, realizó una obra que puede ser calificada como arte matemático y se caracteriza por la teselación irregular del plano. M. C. Escher

• Escher tesela el plano con figuras de aves, peces, personas, reptiles y otros. • El resultado total de combinar las figuras dificulta apreciar la figura y su fondo.

Ejemplos de Teselaciones Irregulares

Pájaros M. Escher

Simetría nº 45 M. Escher

Día y noche M. C. Escher (1938)

Teselación de un plano con la figura de un pez

Construcción de Teselaciones

Teselación a partir de un triángulo Dibuja un triángulo cualquiera. Distorsiona cada lado del triángulo, de forma que siempre sea simétrico respecto de su punto medio. La figura que obtienes de este modo se llama triside y permite recubrir un plano. Puedes intentar hacer tu propio diseño y recubrir el plano con él. Ejemplo

Cometario final del taller Te aconsejo que busques información en Internet sobre M. Escher, pues además de haber creado hermosas Teselaciones, también ha creado “dibujos imposibles” como los que te presento a continuación

Propiedades de los Fractales • Autosimilitud: A diferentes escalas, una figura fractal conserva la misma apariencia, siempre existe una clara similitud entre partes muy distantes de una misma figura fractal. • Infinito Detalle: Al ampliar un fractal, más detalle revela este, sin que se tenga un límite.

Cómo se construyen los Fractales • Los Fractales son generados en computadores con fórmulas o algoritmos y con un conjunto muy reducido de datos. • Su algoritmia es definida por una característica clave: la iteración. • Existen programas para computador que permiten experimentar y descubrir nuevos fractales.

• Además ser bellos, los fractales generados por computador se utilizan para la representación y el análisis de una gran variedad de procesos complejos a lo largo de diversos campos, como pueden ser la Física, las Matemáticas, Biología, Química, Geología, etc.

Rama de un Helecho Fractal

Música Fractal Mediante técnicas de computación, los fractales pueden ser “interpretados” como música.

Actividad Generemos Fractales con el programa WinFract

Gracias por participar del taller

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La Matematica Y El Arte

by Alicia Ipiña on Jul 17, 2009

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