Formulas de inerciai

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Formulas de inerciai

  1. 1. CENTROIDE Y MOMENTOS DE INERCIAIntroducción El centroide y los momentos de inercia son dos propiedades empleadas para determinar la resistencia ydeformación de elementos estructurales tales como vigas y columnas, ya que definen las característicasgeométricas de la forma y tamaño de la sección transversal de los elementos estructurales. Por ello acontinuación se establece la definición y forma de determinar el centroide y los momentos de inercia. Para precisar la ubicación del centroide y valorar los momentos de inercia primero se definen yestablecen para áreas simples, luego se indica la forma de calcularse en áreas compuestas además se definenotras propiedades geométricas que son función del centroide y los momentos de inercia.Centroide Definición El peso de un objeto generalmente se representa por el peso total aunque la realidad sugiere que debeser representado como un gran número de diferenciales de peso distribuidos en todo el objeto. Un sistemaequivalente al planteado consiste en determinar el peso total o resultante de todos los diferenciales de pesodonde la ubicación de la resultante es un único punto denominado centro de gravedad. El centro de gravedad es el punto de aplicación en un cuerpo rígido de la resultante de las fuerzasdonde los efectos sobre el cuerpo no varían. En el caso de superficies homogéneas, el centro de gravedad sesustituye por el centroide del área, el cual considera las áreas de los elementos en vez de los pesos y lasexpresiones para determinar las coordenadas centroidales son: A = ∫ dA ; x A = ∫ xdA ; y A = ∫ ydA (1) Figura 1. Centroide del área A y coordenadas de una parte del área ∆A (Tomado de Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I) por Beer, F. y Johnston, E., 1977. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.) Centroide de áreas compuestas En gran cantidad de casos una superficie cualquiera puede ser subdividida en una serie de figurascomunes (rectángulo, triangulo, circunferencia etc..). Esta forma de análisis es útil y permite determinar elcentroide de cualquier superficie según:Facultad de Arquitectura y Diseño Prof. Jorge O. Medina M.Universidad de Los Andes, Venezuela Sistemas Estructurales 10 1
  2. 2. A = ∑ Ai ; x = ∑x A i i ; y= ∑yA i i (2) ∑A i ∑A i Los centroides y el área común se obtienen de la aplicación de fórmulas para áreas comunes como losindicados en la tabla del apéndice. Figura 2. Subdivisión de un área (Tomado de Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I) por Beer, F. y Johnston, E., 1977. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.) Teorema de Pappus-Guidin Una superficie de revolución es aquella que se genera al girar una curva con respecto de un eje, porejemplo una esfera se puede generar al girar un arco semicircular. De manera similar tenemos los cuerpos derevolución que son obtenidos al girar un área con respecto de un eje fijo. Teorema I El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generadora por la distanciarecorrida por el centroide de la curva, al generar la superficie. Teorema II El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generadora por la distancia recorrida por elcentroide del área al generar el cuerpo.Momentos de Inercia Definición El centroide representa el punto donde se ubica la resultante del peso de un objeto y es proporcional ala ubicación del área asociada. Adicional al centroide tenemos el momento de inercia que además depende dela distancia que está el área a un eje dado.Figura 3. Esquema de Momento de Inercia (Tomado de Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I) por Beer, F. y Johnston, E., 1977. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)Facultad de Arquitectura y Diseño Prof. Jorge O. Medina M.Universidad de Los Andes, Venezuela Sistemas Estructurales 10 2
  3. 3. El momento de inercia es una propiedad geométrica (similar al área) de una superficie o área querepresenta cuanta área está situada y que distancia está con respecto a un eje dado. Se define como la suma delos productos de todas las áreas elementales multiplicadas por el cuadrado de las distancias a un eje. Tieneunidades de longitud elevada a la cuatro (longitud4). Es importante para el análisis de vigas y columnas,porque el diseño del tamaño de estos elementos está relacionado con el momento de inercia debido a quedefine la forma apropiada que debe la sección del elemento estructural. (Beer y Johnston, 1977; Das,Kassimali y Sami, 1999; Parker y Ambrose, 1995) Dada la definición de momento de inercia, esta se expresa según la Ecuación 3. I x = ∫ y 2dA ; I y = ∫ x 2dA (3) Momento de Inercia de franjas diferenciales Al desarrollar la ecuación I x = ∫ y 2dA para una figura rectangular, es según la Figura 4 y respecto ala base del rectángulo, la siguiente: h dy y b Figura 4. Momento de Inercia de un área rectangular h h y3 bh 3 dA = bdy ; dI x = y bdy ⇒ I x = ∫ by dy ⇒ I x = b 2 2 ⇒ Ix = (4) 0 3 0 3Figura 5. Esquema de elemento diferencial de inercia. (Tomado de Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I) por Beer, F. y Johnston, E., 1977. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.) La anterior ecuación se desarrolla para un elemento diferencial según la Figura 5 y permite obtener elmomento de inercia de un área cualquiera al ser integrada. 1 3 1 dI x = y dx ⇒ I x = ∫ y 3dx (5) 3 3Facultad de Arquitectura y Diseño Prof. Jorge O. Medina M.Universidad de Los Andes, Venezuela Sistemas Estructurales 10 3
  4. 4. dI y = x 2 ydx ⇒ I y = ∫ x 2 ydx (6) Otras propiedades geométricas relacionadas con el Momento de Inercia Además del área y el momento de inercia se tiene otras propiedades geométricas útiles para establecerla sección transversal de un elemento estructural y están relacionados con el área y momento de inercia, estaspropiedades son: Momento Polar de Inercia, Radio de Giro y Módulo de Sección. Momento polar de inercia El momento polar de inercia es una propiedad importante para las secciones relacionadas con ejescilíndricos, polares además de elementos sometidos a torsión y se define según la Ecuación 7. J O = ∫ r 2 dA ⇒ J O = I x + I y (7) Figura 6. Momento Polar de Inercia (Tomado de Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I) por Beer, F. y Johnston, E., 1977. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.) Radio de giro El radio de giro es una propiedad que se obtiene de considerar el área concentrada en una franjaparalela a un eje con un espesor diferencial, el radio de giro representa la distancia del área transformada paraque tenga el mismo momento de inercia respecto a eje dado (véase Figura 7). El radio de giro es útil en eldiseño de columnas y se determina según la Ecuación 8 (Beer y Johnston, 1977; Das, Kassimali, y Sami,1999).Figura 7. Radio de giro. (Tomado de Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I) por Beer, F. y Johnston, E., 1977. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)Facultad de Arquitectura y Diseño Prof. Jorge O. Medina M.Universidad de Los Andes, Venezuela Sistemas Estructurales 10 4
  5. 5. Ix Iy JO rx = ; ry = ; rO = (8) A A A Módulo de sección El módulo de sección se define como la relación del momento de inercia respecto a la distancia de lafibra más alejada al eje neutro1, esta propiedad es útil en el diseño de vigas y se determina según la Ecuación9 (Parker y Ambrose, 1995). Ix Iy Sx = ; Sy = (9) y x Iy Ix C Y x Figura 8. Modulo de Sección Momento de inercia de áreas compuestas Para establecer los momentos de inercia de áreas compuestas, se debe considerar que el momento deinercia varía según el eje que se considere, por ello previamente se define el teorema de ejes paralelos quevalora el momento de inercia de una sección con respecto a un eje cualquiera una vez conocido el momentode inercia con respecto al eje centroidal. De esta forma se establece el valor de la inercia de un área compuesta al relacionar el momento deinercia centroidal de cada área simple con respecto al centroide del área compuesta.Figura 9. Esquema del Teorema de los Ejes Paralelos (Tomado de Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I) por Beer, F. y Johnston, E., 1977. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.) Teorema de los ejes paralelos Cuando se combinan superficies, los momentos de inercia de cada área requieren de la transmisión delmomento de inercia al nuevo eje centroidal del área compuesta, esta se logra mediante el Teorema de los ejesparalelos o Teorema de Steiner, donde el momento de inercia con respecto a una eje dado es igual al 1 Distancia que es igual a la longitud de la fibra al centroide.Facultad de Arquitectura y Diseño Prof. Jorge O. Medina M.Universidad de Los Andes, Venezuela Sistemas Estructurales 10 5
  6. 6. momento de inercia con respecto al eje centroidal paralelo al eje dado más el producto del área multiplicadopor el cuadrado de la distancia entre los dos ejes. I = I + Ad 2 ; r = r + d 2 ; J O = J C + Ad 2 (10) Areas compuestas Un área compuesta se puede subdividir en varias áreas comunes cuyas expresiones de momento deinercia sean conocidas, de manera que el momento de inercia del área compuesta es igual a la suma de losmomentos de inercia de cada área común, siempre y cuando cada momento de inercia este referido al mismoeje; para ello se emplea el teorema de los ejes paralelos. n I eje = ∑ I ejei (11) i =1 A2 xc2 C A1 xc3 A3 xc1 Figura 10. Cálculo de Inercia de áreas compuestas. En la Figura 10 se observa un área subdividida en tres figuras simples donde para determinar elmomento de inercia centroidal (eje horizontal c), es igual a la suma de los tres momentos de inercia referidosal mismo eje c, por lo tanto previo a la aplicación de la Ecuación 11 es necesario aplicar la Ecuación 10 pararelacionar el momento de inercia centroidal de cada una de las áreas que la componen (ejes xc1, xc2, xc3) al ejec.Referencias Beer, F. y Johnston, E. R. (1977). Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I). Bogotá,Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A. Das, B., Kassimali, A. y Sami, S. (1999). Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática. México D.F,México: Editorial LIMUSA, S.A. de C.V. Parker, H. y Ambrose, J. (1995). Ingeniería simplificada para Arquitectos y Constructores. MéxicoD.F, México: Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.Facultad de Arquitectura y Diseño Prof. Jorge O. Medina M.Universidad de Los Andes, Venezuela Sistemas Estructurales 10 6
  7. 7. ApéndiceCentroides y Momentos de Inercia de Figuras comunesForma Area x y Ix IyRectángulo BH B H BH 3 B3H 2 2 12 12Triangulo H BH BH 3 3 2 36 B H BH BH 3 B3H 3 3 2 36 36 πD 2 πr 4 πr 4Circulo D D πr 2 = 2 2 4 4 4 πr 2 9π 2 − 64 4 πr 4MedioCirculo D 4r r 2 3π 2 72π 8 πr 2 9π 2 − 64 4 9π 2 − 64 4CuartoCirculo 4r 4r r r 3π 3π 4 144π 144πMedia elipse 0 4b πab 9π 2 − 64 3 πa 3b ab 3π 2 72π 8Cuartoelipse de 4a 4b πab 9π 2 − 64 3 9π 2 − 64 3 ab ab 3π 3π 4 144π 144πParábola 0 3h 4ah 16ah 3 4a 3 h 5 3 175 15Facultad de Arquitectura y Diseño Prof. Jorge O. Medina M.Universidad de Los Andes, Venezuela Sistemas Estructurales 10 7
  8. 8. Centroides y Momentos de Inercia de Figuras comunesForma Area x y Ix IyMediaparábola 3a 3h 2ah 8ah 3 19a 3 h 8 5 3 175 480Extractoparabólic 3a 3h ah 37 ah 3 a 3ho 4 10 3 2100 80Extractosde forma n +1 a n +1 h ah (7n2 + 4n + 1)ah3 ha 3general n+2 4n + 2 n + 1 12(3n + 1)(2n + 1)2 (n + 3)(n + 2 )2Facultad de Arquitectura y Diseño Prof. Jorge O. Medina M.Universidad de Los Andes, Venezuela Sistemas Estructurales 10 8

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