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Transformaciones lineales Transformaciones lineales Presentation Transcript

  • Teoría Definición: Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro. Notación: para señalar una transformación lineal usaremos f (v)=W, donde V y W son los espacios vectoriales que actúan sobre un mismo campo. Terminología: a las transformaciones lineales las llamaremos aplicación lineal. Gráfico: Dado un espacio vectorial V, cuyos elementos son: v1, v2…, y dado un espacio vectorial W, sus elementos son función de los elementos de V V W Sean: V,W: Espacios Vectoriales f v1 w1 v1,v2,v3 Vectores v2 w2 w1,w2,w3 v3 w3
  • Teorema: Una función f de V en W que asigna a cada vector v , un vector f(v) Є W es una transformación lineal, si y sólo si, α Є K, vi, vj Є V, satisface los A A siguientes axiomas: 1. f (vi + vj) = f (vi) + f (vj) 2. f (vi) = α.f (vi) Teorema: Sea f : V W Una transformación lineal, entonces se cumple que: 1. f (0v) = 0w 2. f (vi - vj) = f (vi) - f (vj) Teorema: Sea f : V W Una transformación lineal, dimV=n dimV = dimN (f) + dimIm (f)
  • Ejercicios: 1. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama. f : P(2) R2 (a+bx+cx2 ) f (a+bx+cx2 ) = (a-b, 2c+a ) Solución: Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valores de los vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada vector. V1 (1-x) f (1-x) = (2,1) 2 f (3+x-2x2) = (2,-1) V2 (3+x-2x ) 2 f (0+0x+0x2) = (0,0) V3 (0+0x+0x ) Diagrama: P(2) R2 f (a+bx+cx2 ) f (a+bx+cx2 ) = (y, z)
  • Ejercicios: 2. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama. f : R3 R2 (x, y, z ) f (x, y, z) = (2x+y+3z, -x+2y+4z) Solución: Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valores de los vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada vector. V1 (1,3,2) f (1,3,2) = (11, 13) V2 (3,5,1) f (3,5,1) = (14, 11) V3 (0,0,0) f (0,0,0) = (0,0) Diagrama: R3 R2 f (x, y, z ) f (x, y, z ) = (a, b)
  • Ejercicios: 3. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama. f : R3 M2 x+y-z x+3y+2z (x, y, z ) f (x, y, z) = 2x+y-3z -3x+2y+3z Solución: Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valores de los vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada vector. 0 3 V1 (1,0,1) f (1,3,2) = -1 0 0 9 V2 (-2,3,1) f (3,5,1) = -4 15 V3 (0,0,0) f (0,0,0) = 0 0 0 0 R3 M2 Diagrama: f a b (x, y, z ) f (x, y, z ) = c d
  • Teoría Definición: El núcleo es un subespacio vectorial perteneciente al espacio vectorial V, cuyo vector correspondiente en el espacio vectorial W es el vector cero. N (f) = { v Є V | f (v) = 0w } Notación: Núcleo se denota N(f) Gráfico: Dado un espacio vectorial V, cuyos elementos son: v1, v2…, y dado un espacio vectorial W, El núcleo está formado por todos aquellos vectores que tienen como Correspondiente el vector cero en W. V W Sean: . V,W: Espacios Vectoriales . . f v1,v5,v9 v1 Vectores N (f) v5 0w 0w v9 . . .
  • Ejercicios: 1. Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición de núcleo. f : R2 R3 (x, y) f (x, y) = (x-y,2x, y+x) Solución: R3 R2 Diagrama: f (x, y) f (x, y) = (a, b, c) Por la definición, y ya que el núcleo es un conjunto, lo representamos así: N f : {x, y / f (x, y) = (x-y,2x, y+x) = (0,0,0)} Por lo tanto, planteamos nuestro sistema de ecuaciones: Y, luego resolvemos nuestra matriz ampliada, y al resolverla, obtenemos Las restricciones del núcleo. Finalmente expresamos el núcleo con las restricciones reemplazadas. x-y = 0 1 -1 0 y=0 < N f : {(x, y)/ x = 0 y = 0} 2x = 0 2 0 0 x =0 N f : {(0, 0)} y+x = 0 1 1 0 En este caso, el núcleo de la función es el cero vector.
  • 2. Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición de núcleo. f : R2 R3 (x, y) f (x, y) = (a, a+b+c, b+c) Solución: P(2) R3 Diagrama: f (a+bx+cx2 ) f (a+bx+cx2 ) = (a, b, c) Por la definición, y ya que el núcleo es un conjunto, lo representamos así: N f : {a+bx+cx2 / f (a+bx+cx2) = (a, a+b+c, b+c) = (0,0,0)} Por lo tanto, planteamos el sistema de ecuaciones: Y, luego resolvemos nuestra matriz ampliada, y al resolverla, obtenemos las restricciones del núcleo Finalmente expresamos el núcleo con las restricciones reemplazadas. N f : { a+bx+cx2 / a=0 < b= -c } a =0 1 0 0 0 a=0 N f : { -cx+cx 2/ c Є R } a+ b+c = 0 2 1 1 0 b+c=0 N f : { c (-x+x2) / c Є R } b+c = 0 0 1 1 0 b=-c N f : { (-x+x2))}
  • 3. Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición de núcleo. x-2z 2x+y+2z f : R3 M2 (x, y, z) f (x, y, z) = 2x+y+2z 3x+y Solución: Diagrama: R3 M2 f a b (x, y, z) f (x, y, z) = c d Por la definición, y ya que el núcleo es un conjunto, lo representamos así: x-2z 2x+y+2z 0 0 N f : {x, y, z / f (x, y, z) = = } 0 0 2x+y+2z 3x+y Por lo tanto, plantemos el sistema de ecuaciones: Y, luego resolvemos nuestra matriz ampliada, y al resolverla, obtenemos las restricciones del núcleo. Finalmente expresamos el núcleo con las restricciones reemplazadas. x-2z = 0 1 0 -2 0 x-2z=0 x=2z N f : {x, y, z / x=2z y=-6z } < 2x+y+2z= 0 2 1 2 0 y+6z=0 y=-6z N f : { 2z,-6z,z / z Є R } 2x+y+2z= 0 2 1 2 0 N f : { z (2,-6,1) / z Є R } 3x+y=0 3 1 0 0 N f : {2,-6,1}