PRODUCTO INTERNO  Vectores Ortogonales
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PRODUCTO INTERNO  Vectores Ortogonales PRODUCTO INTERNO Vectores Ortogonales Presentation Transcript

  • Producto interno
    Definición, propiedades, productos usuales e inusuales y ejemplos.
  • Producto interno
    Definición
    El producto interno, interior o punto, es una aplicación externa bilineal definida sobre un espacio vectorial, cuyo resultado al operar entre sí dos vectores, es un escalar o número.
    Sea (V, K, +, •) un espacio vectorial, un producto interno sobre V, es una función que asigna a cada par de vectores u, vϵ V, un escalar (u/v) ϵK.
  • Notación
    Sean los vectores u, v:
    u=(u1, u2, u3,…., un)
    v=( v1, v2, v3,…., vn)
    u/v = u1 v1 + u2 v2 + … + un vn
  • Productos internos usuales e inusuales
    Producto interno usual en Rn
    Sea (Rn, R, +, •) u, v ϵ Rn
    u=(u1, u2, u3,…., un)
    v=( v1, v2, v3,…., vn)
    u/v = u1 v1 + u2 v2 + … + un vn
  • Producto interno usual en Pn(x)
    Sea (Pn(x), R, +, •) p(x), q(x) ϵ Pn(x)
    p(x)= a0 + a1x +….+ anxn
    q(x)= b0 + b1x +….+ bnxn
    Producto interno inusual en Pn(x)
  • Propiedades
    Conmutativa
    Asociativa
    Distributiva
    .
    .
  • Producto de matrices
    Por definición tenemos que el producto de matrices es igual a:
    Donde Tr es la traza de la matriz, la traza es la suma de los elementos de la diagonal de una matriz.
    Ejemplos:
  • Obtenemos la transpuesta de B y multiplicamos las matrices
    Sumamos los elementos de la diagonal de la matriz resultante y obtenemos el resultado.
    Por tanto el resultado es:
  • Vectores ortogonales yproyección ortogonal
    Teoría y evaluación
  • Vectores ortogonales
    Definición
    Sea (V, K, +, •) un espacio vectorial definido con producto interno, dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero.
    Sean u, v ϵ V son vectores ortogonales si se cumple que:
     
  • Cuando se trabaja con vectores en R2 y R3 cuando los vectores son ortogonales se dice que son perpendiculares entre sí, ejemplos:
    Sean:
    u= (1, 4, 0) u/v = (1)(-8)+(4)(2)+(0)(3)
    v=(-8, 2, 3) u/v = -8+8+0
    u/v = 0
    u= (3, 3) u/v= (3)(-1)+(3)(1)
    v= (-1, 1) u/v=-3+3
    u/v= 0
  • Nota:
    El vector nulo se lo considera perpendicular para cualquier vector del subespacio al que pertenece.
    De forma analítica tenemos que:
    0v/v ϵ V 0V/v = 0
     
  • 0V= (0, 0, 0) u/v = (0)(-2)+(0)(7)+(0)(1)
    v=(-2, 7, 1) u/v = 0+0+0
    u/v = 0
    Ejemplos:Sean:
  • Proyección ortogonal
    Definición
    Sean u, v ϵ V entonces existe un vector w es la proyección ortogonal de v sobre u si solamente si se cumple que
    (v-w)/w=0
    v - w v
    w u
  • Pasos para calcular wTenemos que w ǁ u Tenemos que w┴v-ww=α u (v-w)/w=0
    Reemplazando tenemos que:
    (v- α u)/ α u=0
    Aplicando las propiedades del producto interno tenemos:
    α (v/u) - α α(u/u)=0
  • Evaluación
    Proyección ortogonal
    Calcula la proyección del vector u sobre el vector vsiendo:
    u= (2, 0, -5)
    v= (5, 1, 4)