PRODUCTO INTERNO Vectores Ortogonales

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PRODUCTO INTERNO Vectores Ortogonales

  1. 1. Producto interno<br />Definición, propiedades, productos usuales e inusuales y ejemplos.<br />
  2. 2. Producto interno<br />Definición<br />El producto interno, interior o punto, es una aplicación externa bilineal definida sobre un espacio vectorial, cuyo resultado al operar entre sí dos vectores, es un escalar o número.<br />Sea (V, K, +, •) un espacio vectorial, un producto interno sobre V, es una función que asigna a cada par de vectores u, vϵ V, un escalar (u/v) ϵK.<br />
  3. 3. Notación<br />Sean los vectores u, v:<br />u=(u1, u2, u3,…., un)<br />v=( v1, v2, v3,…., vn)<br />u/v = u1 v1 + u2 v2 + … + un vn<br />
  4. 4. Productos internos usuales e inusuales<br />Producto interno usual en Rn<br />Sea (Rn, R, +, •) u, v ϵ Rn<br />u=(u1, u2, u3,…., un) <br />v=( v1, v2, v3,…., vn) <br />u/v = u1 v1 + u2 v2 + … + un vn<br />
  5. 5. Producto interno usual en Pn(x)<br />Sea (Pn(x), R, +, •) p(x), q(x) ϵ Pn(x)<br />p(x)= a0 + a1x +….+ anxn<br />q(x)= b0 + b1x +….+ bnxn<br />Producto interno inusual en Pn(x)<br />
  6. 6. Propiedades<br />Conmutativa<br />Asociativa<br />Distributiva<br />.<br />.<br />
  7. 7. Producto de matrices<br />Por definición tenemos que el producto de matrices es igual a:<br />Donde Tr es la traza de la matriz, la traza es la suma de los elementos de la diagonal de una matriz.<br />Ejemplos:<br />
  8. 8. Obtenemos la transpuesta de B y multiplicamos las matrices<br />Sumamos los elementos de la diagonal de la matriz resultante y obtenemos el resultado.<br />Por tanto el resultado es:<br />
  9. 9. Vectores ortogonales yproyección ortogonal<br />Teoría y evaluación<br />
  10. 10. Vectores ortogonales<br />Definición<br />Sea (V, K, +, •) un espacio vectorial definido con producto interno, dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero.<br />Sean u, v ϵ V son vectores ortogonales si se cumple que:<br /> <br />
  11. 11. Cuando se trabaja con vectores en R2 y R3 cuando los vectores son ortogonales se dice que son perpendiculares entre sí, ejemplos:<br />Sean:<br />u= (1, 4, 0) u/v = (1)(-8)+(4)(2)+(0)(3) <br />v=(-8, 2, 3) u/v = -8+8+0<br />u/v = 0<br />u= (3, 3) u/v= (3)(-1)+(3)(1)<br />v= (-1, 1) u/v=-3+3<br />u/v= 0<br />
  12. 12. Nota:<br />El vector nulo se lo considera perpendicular para cualquier vector del subespacio al que pertenece.<br />De forma analítica tenemos que:<br />0v/v ϵ V 0V/v = 0<br /> <br />
  13. 13. 0V= (0, 0, 0) u/v = (0)(-2)+(0)(7)+(0)(1) <br />v=(-2, 7, 1) u/v = 0+0+0<br />u/v = 0<br />Ejemplos:Sean:<br />
  14. 14. Proyección ortogonal<br />Definición<br />Sean u, v ϵ V entonces existe un vector w es la proyección ortogonal de v sobre u si solamente si se cumple que<br />(v-w)/w=0<br /> v - w v<br />w u<br />
  15. 15. Pasos para calcular wTenemos que w ǁ u Tenemos que w┴v-ww=α u (v-w)/w=0<br />Reemplazando tenemos que:<br />(v- α u)/ α u=0 <br />Aplicando las propiedades del producto interno tenemos:<br />α (v/u) - α α(u/u)=0 <br />
  16. 16. Evaluación<br />Proyección ortogonal<br />Calcula la proyección del vector u sobre el vector vsiendo:<br />u= (2, 0, -5)<br />v= (5, 1, 4)<br />

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