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Ejercicios resueltos y explicados (norma de un vector)
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Ejercicios resueltos y explicados (norma de un vector)

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  • 1. Ejercicios resueltos y explicados<br />1 ejercicios (de clase) <br />SEA EL CONJUNTO S UNA BASE ORTONORMAL DETERMINAR LA NORMA DE u+ v:<br />S={ u,v } Primeramente los vectores u y v son ortonormales por lo tanto son ORTOGONALES, esto quiere decir que || u/v || = 0, y que:<br /> <br />|| u || = √ (u/u) = 1; entonces, || u || ² = (u/u) = 1<br />|| v || = √ (v/v) = 1; entonces, || v || ² = (v/v) = 1<br />Aplicando la propiedad de productos internos tenemos que:<br />|| u+v || = √(u+v / u+v) = √ (u/u) + (u/v) + (v/u) + (v/v) = √ 2<br />2 ejercicio (folleto) <br />DEMOSTRAR QUE || αu || =|α| || u || ;<br />|| αu || = || αu || ( Tomamos la hipótesis e igualamos ambas expresiones)<br />= √ (αu / αu) (aplicamos definición de norma de vector)<br />= √ α² (u /u) (aplicamos propiedades de producto interno)<br />= |α| √ (u /u) (como α es un escalar aplicamos propiedad del valor absoluto)<br />= |α| || u || ( definición de norma de un vector, y queda demostrada la tesis)<br />A PARIR DE LOS DATOS: = || u || = || v || =1 y v/ (u+ v)= 0 ; CALCULAR u/v <br />|| u || = √ (u/u) = 1; entonces, || u || ² = (u/u) = 1<br />|| v || = √ (v/v) = 1; entonces, || v || ² = (v/v) = 1<br />Aplicando propiedades del producto internos tenemos que:<br /> <br />v/ (u+ v)= (v / u) + (v/v) = 0<br />v/ (u+ v)= (v / u) + 1 = 0 (por hipótesis)<br />(v / u) + 1 = 0 <br />(v / u) = -1 (despejando la ecuación anterior)<br />Ejercicios propuestos<br />2 ejercicios (folleto exámenes)<br />1.- PROBAR LA LEY DEL PARALELOGRAMO PARA DOS VECTORES CUALESQUIERA EN UN ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO:<br /> || u+v || ² + || u-v ||² = 2 || u ||² + 2 || v ||² <br />2.- SEA V UN ESPACIO VECTORIAL DEFINIDO CON PRODUCTO INTERNO, PROBAR QUE SI u, v PERTENECE A V <br />|| u+v || ² = || u ||² + || v ||² SI Y SOLO SI (u / v) = 0 <br />ESTE RESULTADO SE CONOCE COMO TEOREMA DE PITÁGORAS. <br />Evaluación<br />2 preguntas (opción múltiple)<br />1.- A LA NORMA DE UN VECTOE SE LA CONOCE TAMBIEN COMO:<br />A- BASE DE UN VECTOR<br />B- LONGITUD DE UN VECTOR<br />C- AREA DE UN VECTOR<br />D- DIMENCION DE UN VECTOR<br />2.- AL REFERIRSE A LOS ESPACIOS EUCLIDIANOS R, R², R³, LA NORMA, ES UN NÚMERO REAL QUE REPRESENTA:<br />A-DESIGUALDAD TRIANGULAR<br />B-DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARTZ<br />C-LA DISTANCIA ENTRE EL ORIGEN Y EL EXTREMO DEL VECTOR<br />D-NINGUNA RESPUESTA<br />

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