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Combinacion lineal

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  • 1. COMBINACIÓN LINEAL
  • 2. Sea (V,K,+,*), Espacio Vectorial,
    S={1, 2,..., n}
    Se dice que un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores
    S = { 1, 2,..., n}
    si es que existe alguna forma de expresarlo como suma de parte de todos los vectores de S, multiplicados a cada uno de ellos por un escalar cualquiera .
    El vector es combinación lineal de los vectores S ssi tal que:
  • 3. Ejemplo:
    Sea , espacio Vectorial
    S = {(1,-1,0),(-2,3,-1),(2,1,-3)}
    Combinación Lineal:
    --->3(1,-1,0) + 4(-2,3,-1) - 2(2,1,-3) = (-9,7,2)
    ---> 4(1,-1-0) + 5(-2,3,-1) - 6(2,1,-3) = (­18,5, 13)
     
  • 4. Para saber que un vector es combinación lineal de otro, procedemos de la siguiente manera:
    = 0
    Se nos formara un sistema de ecuaciones, el cual tendrá dos opciones por el hecho de ser un sistema de ecuaciones homogéneo:
    Que tenga única solución, lo que significa que ninguno de los vectores es combinación lineal de otros.
    Que tenga infinitas soluciones, es decir algún vector es combinación lineal de los otros.
  • 5. Por Ejemplo:
    Determine si es combinación lineal.
    S = {(1,0) , (0,1)}
    ą ( 1, 0 ) + ß( 0 , 1 ) = ( 0 , 0 )
    (ą , ß) = ( 0 , 0 ) Realizamos la matriz ampliada 1 0 0
    0 1 0
    Al desarrollar el determinante de la matriz ampliada, podemos ver que tiene única solución, debido a que su determinante es diferente de cero, por lo tanto, ninguno de sus vectores es combinación lineal de otro.
  • 6. 2. S = { ( 1,2,3 ), ( 2, -1,0), (3,1,3) }
    Entonces, como primer paso:
    a ( 1, 2, 3 ) + b ( 2 , -1, 0 ) + t (3, 1, 3 ) = ( 0 , 0 )
    Al desarrollarlo tenemos:
    (a , 2b ,3 t) + (a 2, - b , t) + (3a ,3 t) = ( 0, 0, 0 )
    Al Hacer la matriz ampliada, tenemos:
    1 2 3 0
    2 -1 1 0
    3 0 3 0
    Al obtener el determinante , nos da como resultado igual a cero, por lo que podemos concluir dos cosas, que el sistema no tiene solución o tiene infinitas soluciones, pero como es un sistema de ecuaciones homogéneas, concluimos que tiene infinitas soluciones.