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Sistema de ecuaciones

  1. 1. DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALESSe denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primergrado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, nien el denominador.Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas.Como es biensabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano.Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación grafica es un plano en el espacio.Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:Representación grafica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del plano x + y + z = 1 en elespacioUN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ES UN CONJUNTO DE ECUACIONES LINEALES DE LA FORMA:En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas.Los números reales aij se denominan coeficientes y los se denominan incógnitas (onúmeros a determinar) y bj se denominan términos independientes.
  2. 2. En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez dex1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la horade resolver el sistema.Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan TODAS lasecuaciones del sistema simultáneamente.Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONESCualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:La matriz formada por A y B conjuntamente, es decir:se llama matriz ampliada del sistema y se representara por (A|B)SISTEMAS EQUIVALENTES 1 1 -1 2 -1 1 1 -3 -1
  3. 3. -1 -3 1 X 2 Y 1 Z 0 = 0Los sistemas equivalentes, se aplican a sistemas de ecuaciones lineales que tienen lasmismas soluciones y que resultan de aplicar sobre la matriz original operacioneselementales de fila 1 1 -1 2 2 -1 1 1 1 -3 -1 0 -1 -3 1 0 CLSIFICACION DE SISTEMAS DE ECUACIONES  Sistemas homogéneos (2 tipos de soluciones) La solución trivial, es decir, cuando las incógnitas valen cero cada una. Infinitas soluciones, cuando algunas de las incógnitas quedan en función de otras y valen cero.  Sistemas no homogéneos (3 tipos de soluciones) Única solución, cuando para todas las incógnitas del sistema existe con un solo valor real. Infinitas soluciones, cuando algunas de las incógnitas están en función de otras y tienen un valor real. No existe solución, cuando los valores de las incógnitas no existen. En sistema No homogéneo Homogéneo a) Si Si (Trivial) b) Si Si
  4. 4. c) Si NoMÉTODOS DE RESOLUCIÓN Método de Gauss El método de Gauss, conocido también como de triangulación o de cascada, nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas. La idea es muy simple; por ejemplo, para el caso de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se trata de obtener un sistema equivalente cuya primera ecuación tenga tres incógnitas, la segunda dos y la tercera una. Se obtiene así un sistema triangular o en cascada de la forma: Ax + By + Cz = D Ey + Fz = G Hz = I Ejemplo: Realizamos operaciones de fila
  5. 5. La ultima matriz esta en forma escalonada por filas, (método de gauss), lo cualsignifica que: . Método de Gauss-JordanEste método, que constituye una variación del método de eliminación de Gauss,permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitossignificativos en las operaciones aritméticas de la computadora. Esteprocedimiento se distingue del método Gaussiano en que cuando se elimina unaincógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que precedena la ecuación pivote así como de las que la siguen.El método se ilustra mejor con un ejemplo. Resolvamos el siguiente conjunto deecuaciones 3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.8500 0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = - 19.3 0.3 X1 - 0.2 X2 + 10 X3 = 71.4000Primero expresemos los coeficientes y el vector de términos independientes comouna matriz aumentada.Se normaliza el primer renglón dividiendo entre 3 para obtener:
  6. 6. El término X1 se puede eliminar del segundo renglón restando 0.1 veces el primerodel segundo renglón. De una manera similar, restando 0.3 veces el primero deltercer renglón se elimina el término con X1 del tercer renglón.En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiendo entre 7.00333:Reduciendo los términos en X2 de la primera y la tercera ecuación se obtiene:El tercer renglón se normaliza dividiendolo entre 10.010:Finalmente, los términos con X3 se pueden reducir de la primera y segundaecuación para obtener:
  7. 7. Nótese que no se necesita sustitución hacia atrás para obtener la solución. Las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana se aplican también al método de Gauss-Jordan. Aunque los métodos de Gauss-Jordan y de eliminación de Gauss pueden parecer casi idénticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos operaciones. Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el mé todo simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultáneas. Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un método directo para obtener la matriz inversa. Método de CramerLa regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica asistemas que cumplan las dos condiciones siguientes: -El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas . -El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero .Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer. Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes. Y sean: Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 ... , Δ n
  8. 8. Los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2ºmiembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna,en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente. Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por lassiguientes expresiones: CRITERIO PARA HALLAR SOLUCIONES
  9. 9. Una vez aplicado Gauss o Gauss-Jordán Tiene solución única si el número de ecuaciones validas es igual al número de incógnitas. Tiene infinitas soluciones si el número de ecuaciones validas es menor al número de incógnitas. No tiene solución si el número de filas no nulas de la matriz ampliada y el de la matriz de coeficientes son diferentes. Aplicamos Gauss – JordánComo se escriben las infinitas solucionesEjemplo: Resolución por Gauss- Jordan
  10. 10. Ejercicios tipo examen: Determinar para que valores de existe: a) b) c)Determinar los valores de “a” para que el sistema a) Tenga solución única. Hallarlas b) Tenga ms de una solución. Hallarlas c) No tenga soluciones
  11. 11. +2 +22
  12. 12. C.S.=C.S.=Determinar los valores de “m” para que el siguiente sistema a) Tenga solución única. Hallarlas b) Tenga más de una solución. Hallarlas c) No tenga soluciones
  13. 13. C.S.=C.S.=
  14. 14. C.S.=C.S.=

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