Forma escalonada de una matriz

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Forma escalonada de una matriz

  1. 1. 1.4. FORMA ESCALONADA DE UNA MATRIZ MATRIZ ESCALONADA POR FILA 1 0 0B= 0 1 0 0 0 1En álgebra lineal una matriz se dice que es escalonada o que está en forma escalonada si: 1. Todas las filas cero están en la parte inferior de la matriz. 2. El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, está a la derecha del pivote de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero). Ejemplo: Las siguientes matrices son reducidas por fila: Las siguientes matrices no son reducidas por fila:
  2. 2. MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS 1 0 -5 0 0 1 17 0 0 0 0 1Si además se cumplen las siguientes condiciones de matriz escalonada y: 1. Sus pivotes son todos iguales a 1 2. En cada fila el pivote es el único elemento no nulo de su columna.Se dice que es escalonada reducida por filas.Ejemplo:OPERACIONES ELEMENTALES DE FILA Multiplicar una fila por un escalar no nulo. Notación: Intercambiar de posición dos filas. Notación: Sumar a una fila y un múltiplo de otra. Notación:
  3. 3. MATRICES SEMEJANTES Se dice que la matriz A es semejante o equivalente por filas de la matriz B si la matriz A se obtiene al realizar operaciones elementales de fila en la matriz BEjemplo 1:Ejemplo 2: 1 2 3 1 2 3A= 3 1 -3 = 3 1 -3 -5 0 2 -5 0 2 F2 F2-3F1 F3 F3+5F1Las matrices semejantes comparten varias propiedades: Rango Determinante La misma Traza Los mismos valores propios 1.5 MATRIZ INVERSA Una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que AA−1 = A−1A = In Donde In es la matriz identidad de orden n
  4. 4. PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA  La inversa de una matriz, si existe, es única.  La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:  Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:  Y, evidentemente: CALCULO DE UNA MATRIZ INVERSAMediante las transformaciones elementales de filas de una matriz, convertir la matrizanterior en otra, que tenga en las n primero columnas la matriz identidad y en las núltimas columnas la matriz A-1El método consiste, pues, en colocar juntas las matrices a invertir y la identidad en esteorden.
  5. 5. A * A-1 = Tenemos:

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