1. DEFINICIÓN DE ESPACIOS Y SUB ESPACIOS
VECTORIALES
Un espacio vectorial sobre un cuerpo , es un conjunto no vacío, dotado de dos
operaciones:
( , , +,.)
Operación
Conjunto no vacio Operación Externa
de vectores Ov Interna (SUMA (PRODUCTO DE
DE VECTORES) UN VECTOR por
un ESCALAR)
Recordemos que la forma de representar a un vector es:
V=
Condiciones
Genérico
o restricciones
2. OPERACIÓN INTERNA OPERACIÓN EXTERNA
Suma de Vectores Multiplicación de un escalar por un Vector
α=3
Espacios Vectoriales Comunes
(V,K,+,*) GENÉRICO EJEMPLO
a + bx 3-x 0 + 0x
( a, b ) ( 2 ,5) ( 0, 0 )
( a, b , c ) ( 4 , -6 , 2 ) ( 0, 0 , 0 )
Un espacio vectorial (V), definido sobre un cuerpo k (en general ) es un conjunto
; sobre el que hay definidas dos operaciones:
1. Suma:
3. Verificando las siguientes propiedades:
(a) Conmutativa:
(b) Asociativa: .
(c) Elemento neutro
(d) Elemento opuesto:
2. Producto por un escalar:
Verificando las siguientes propiedades:
(a)
(b)
(c)
(d)
Los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores.
Un espacio vectorial real es un espacio vectorial sobre el cuerpo R de los números
reales.
SUBESPACIO VECTORIAL
Se llama subespacio vectorial (S) de un espacio vectorial V a cualquier subconjunto no
vacío, tal que que es espacio vectorial con las mismas operaciones definidas
sobre V.
Caracterización de subespacios vectoriales
Si V es un espacio vectorial , entonces:
4. CONDICIONES PARA QUE SE CUMPLA UN ESPACIO VECTORIAL
a)
b)
c)
Ejemplo:
Demostrar si W es subespacio vectorial:
a)
1.
2.
