Definicion y clasificacion_de_matrices
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  • 1. MATRICES1.1 CONCEPTO Y CLASIFICACIÓNUna matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen sernúmeros ordenados en filas y columnas.Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en mfilas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendom y n números naturales.Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C,... y los elementos de las mismas con letrasminúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c,... Un elemento genérico que ocupela fila i y la columna j se escribe aij. Si el elemento genérico aparece entre paréntesis tambiénrepresenta a toda la matriz: A = (aij) ……….. FilaPor comodidad se escribirá A = = ……….. ……….. : : : : ………..ORDEN DE UNA MATRIZ ColumnaIndica el número de filas y el número de columnas que tiene.mxn número de filasnumero de columnasAmxn A Є MmxnEjemplos: 4 3 1 D= 0 2 5
  • 2. ELEMENTOS DE UNA MATRIZ: aijA= (aij)mxn a ij posición columna posición filaEjemplo: ……….. -2 3 1 = ………..A= 0 2 1 ……….. 0 4 -3 : : : : ……….. a11= -2 a23=1DIAGONAL DE UNA MATRIZEn álgebra lineal, la diagonal de una matriz cuadrada contiene los elementos situadosdesde a1x1 hasta anxn.Es decir, los elementos que van desde la esquina superior izquierda hasta la esquinainferior derecha: a1x1, a2x2, a3x3.... anxn. j ……….. = ……….. ……….. : : : : ……….. jLos elementos de la diagonal de la matriz A son: a1x1, a2x2, a3x3
  • 3. Ejercicios:Construir las siguientes matrices dadas las siguientes restricciones: A= A=CLASES DE MATRICESTipo de matriz Definición Ejemplo Aquella matriz que tiene una sola fila, FILA siendo su orden 1×n Aquella matriz que tiene una sola COLUMNA columna, siendo su orden m×1 Aquella matriz que tiene distinto RECTANGULAR número de filas que de columnas, siendo su orden m×n , Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente TRASPUESTA las filas por las columnas. Se representa por At ó AT
  • 4. La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada OPUESTA elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A. Si todos sus elementos son cero. NULA También se denomina matriz cero y se denota por Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es Diagonal principal de orden n. Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann Diagonal secundaria CUADRADA Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1 Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal, notada por Es una matriz cuadrada que es igual aSIMÉTRICA su traspuesta. A = At , a ij = a ji Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta.ANTI SIMÉTRICA A = -At , aij = -aji Necesariamente aii = 0
  • 5. Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal, es decir:DIAGONAL Sea la Matriz A= (aij)mxn ssi: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto losESCALAR de la diagonal principal que son iguales También se denomina matriz unidad. Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que sonIDENTIDAD iguales a 1. Es decir: Sea la Matriz I= (aij)mxn I es matriz identidad ssi: Matriz triangular Superior Sea la Matriz A= (aij)mxn ssi: T. superiorTRIANGULAR Matriz triangular Inferior Sea la Matriz A= (aij)mxn ssi: T. inferior Una matriz A es idempotente si:IDEMPOTENTE Nota: La identidad no es la única idempotente
  • 6. Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal esORTOGONAL una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1. Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matricesNORMAL simétricas, anti simétricas u ortogonales son necesariamente normales. Es una matriz cuadrada ( tiene igual número de filas que de columnas) tal que su cuadrado es igual a la matrizINVOLUTIVA A2 = I unidad, es decir: A es involutiva si A x A = I Decimos que una matriz cuadrada A A es nilpotente de es Nilpotente de orden r si y sólo si orden 3, se verifica que , ( r es elNILPOTENTE menor entero positivo )