Clasificacion y operaciones

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Clasificacion y operaciones

  1. 1. CLASES DE MATRICES Tipo de Definición Ejemplo matriz Aquella matriz que tiene una solaFILA fila, siendo su orden 1×n Aquella matriz que tiene una solaCOLUMNA columna, siendo su orden m×1 Aquella matriz que tiene distintoRECTANGULAR número de filas que de columnas, siendo su orden m×n , Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiandoTRASPUESTA ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por At ó AT La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cadaOPUESTA elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A. Si todos sus elementos son cero.NULA También se denomina matriz cero y se denota por Aquella matriz que tiene igualCUADRADA número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es Diagonal de orden n.
  2. 2. Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann Diagonal secundaria : son los principal elementos aij con i+j = n+1 Diagonal Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal, notada por secundaria Es una matriz cuadrada que esSIMÉTRICA igual a su traspuesta. A = At , a ij = a ji Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de suANTI SIMÉTRICA traspuesta. A = -At , aij = -aji Necesariamente aii = 0 Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal, es decir:DIAGONAL Sea la Matriz A= (aij)mxn ssi: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos exceptoESCALAR los de la diagonal principal que son iguales También se denomina matrizIDENTIDAD unidad.
  3. 3. Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. Es decir: Sea la Matriz I= (aij)mxn I es matriz identidad ssi: Matriz triangular Superior Sea la Matriz A= (aij)mxn ssi: T. superiorTRIANGULAR Matriz triangular Inferior Sea la Matriz A= (aij)mxn ssi: T. inferior Una matriz A es idempotente si:IDEMPOTENTE Nota: La identidad no es la única idempotente Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matrizORTOGONAL ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1. Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matricesNORMAL simétricas, anti simétricas u ortogonales son necesariamente normales. Es una matriz cuadrada ( tieneINVOLUTIVA igual número de filas que de A2 = I columnas) tal que su cuadrado es
  4. 4. igual a la matriz unidad, es decir: A es involutiva si A x A = I Decimos que una matriz cuadrada A es nilpotente de orden 3, A es Nilpotente de orden r si y sólo si se verifica que ,(rNILPOTENTE es el menor entero positivo )OPERACIONES CON MATRICES Suma de matricesSi las matrices A= (a ij ) y B= (b ij ) tienen el mismo orden, la matriz suma es:A+B= (a ij +b ij ).La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan lamisma posición y la matriz resultante tiene el mismo orden de las matrices iníciales, o seaA y B.Ejemplo:Propiedades de la suma de matrices:Interna:La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.Asociativa:A + (B + C) = (A + B) + CElemento neutro:
  5. 5. A+0=ADonde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.Elemento opuesto:A + (−A) = OLa matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.Conmutativa:A+B=B+A Producto de un escalar por una matrizDada una matriz B= (b ij ) y un número real k R, se define la multiplicación de unnúmero real por una matriz a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elementoestá multiplicado por k.k · B=(k b ij )Ejemplo:Propiedades a · (b · A) = (a · b) · A A Mmxn, a, b a · (A + B) = a · A + a · BA,B Mmxn , a (a + b) · A = a · A + b · A A Mmxn , a, b 1 · A = A A Mmxn Producto de matricesDos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con elnúmero de filas de B.Mm x n x Mn x p = M m xp
  6. 6. El elemento c ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos. Ejemplo: Primer método de multiplicación de matrices: Segundo método de multiplicación de matrices:A*B = 3 1 2 3 0 3 7 3 6 Propiedades de la multiplicación de matrices: Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C Elemento neutro: A·I=A Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. No es Conmutativa: A·B≠B·A Distributiva del producto respecto de la suma: A · (B + C) = A · B + A · C

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