Trigonometria 1

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Destinado aos alunos do 2º e 3º ano de Formação Geral.
Estudo no Triângulo Retângulo.

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Trigonometria 1

  1. 1. COLÉGIO ESTADUAL JOSUÉ BRANDÃO 2º Ano de Formação Geral – Matemática Professor Alfredo Coelho TRIGONOMETRIA A Trigonometria tem origem no Triângulo Retângulo e, por esse motivo, para iniciarmos o seu estudo vamos fazer uma breve revisão do triângulo retângulo. TRIÂNGULO RETÂNGULO É o triângulo que contém um ângulo reto. No triângulo dado o ângulo reto é o ângulo do vértice C é o ângulo que mede . Em nosso estudo, se não for dada outra orientação, adotaremos o nome do ângulo igual ao nome de seu vértice. Por exemplo: vértice A corresponde ao ângulo A, vértice B, corresponde ao ângulo B. No triângulo retângulo os lados têm nomes próprios: os dois menores chamam-se CATETOS e o maior chama-se HIPOTENUSA. Em nosso triângulo temos: O lado , cateto menor, chamado de cateto oposto ao ângulo A, cateto maior, chamado de cateto adjacente ao ângulo A e, o lado que é o maior dos lados, é chamado de hipotenusa. TEOREMA DE PITÁGORAS Enunciado: “O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”. Demonstração: Com base no triângulo do item anterior, tomamos um quadrado ABCD qualquer. Se dividirmos os seus lados como mostrado na figura temos: A área da figura 5 é igual a área do quadrado ABCD, subtraída da soma das áreas de 1 a 4. As figura 1, 2, 3, e 4 são TRIÂNGULOS de lados , e , e áreas iguais a . A figura 5 é um QUADRADO de lado e área igual . Calculando a área do quadrado ABCD de lados iguais a temos: , verificando o valor da área 5, temos: , de onde podemos verificar que: e, assim concluímos que: cqd. Exercícios Resolvidos
  2. 2. Exercício resolvido 1 – Sedo um triângulo retângulo de catetos e iguais a 5,0 e 12,0 centímetros, respectivamente calcule o valor de sua hipotenusa . Solução: Pelo teorema de Pitágoras temos Logo: ou seja , de onde Exercício resolvido 2 – Dado o triângulo ao lado com medidas em centímetros, determine o valor de x. Solução: Pelo teorema de Pitágoras temos Logo: de onde . Exercícios Propostos Exercício 1 – Dado o triângulo ao lado determine quem são os catetos e a hipotenusa. Calcule o valor da hipotenusa e a área do triângulo. Exercício 2 – João avista um helicóptero segundo um raio visual que mede 1300 metros. Sabendo que a distância horizontal de João até a vertical em que se encontra o helicóptero é igual a 500 metros, calcule a altura em que se encontra o helicóptero. RELAÇÕES ENTRE OS LADOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO Dado um triângulo retângulo qualquer de catetos e . Tomando-se o ponto D sobre a hipotenusa , temos os segmentos: (h) igual altura relativa à hipotenusa , (m) igual a projeção do cateto sobre a hipotenusa e (n) igual a projeção do cateto sobre a hipotenusa . A altura h divide o triângulo ABC em dois outros triângulos (ACD e CBD) semelhantes entre si e também semelhante ao triângulo ABC. Deste modo temos: I Triângulo ABC II Triângulo ADC III Triângulo CDB De I e II temos , então podemos fazer: 2
  3. 3. 1- 2- De II e III temos , então podemos fazer: 3- De I e III temos , então podemos fazer: 4- 5- Exercícios Resolvidos Exercício resolvido – 3 Dado o triângulo retângulo abaixo, calcule as medidas de c, m, n e h, em centímetros. Solução: Aplicando o teorema de Pitágoras temos Respostas: c=10,0cm; m=6,4cm; n=3,6cm e h=4,8cm. Exercícios Propostos Exercício 3 – Dado o triângulo ao lado, sabendo que e , medido em centímetros, calcule, a medida de a medida de , a medida de , a medida de e a área do triângulo ABC. Exercício 4 – Num triângulo equilátero ABC, de lado 16 u.c. A partir do vértice A traça-se uma reta até o ponto médio (M) do lado BC (mediana AM), e daí traça-se uma perpendicular ao lado AC determinando o ponto N, em AC. Calcule a medida de segmento MN. Exercício 5 – No triângulo dado, as medidas estão em metros. Calcule o valor numérico das medidas indicadas por letras. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Num triângulo retângulo temos um ângulo reto e dois agudos, o ângulo reto é determinado pelos catetos e é oposto à hipotenusa. São definidas três funções Trigonométricas: Seno, Cosseno e Tangente. 3
  4. 4. FUNÇÃO SENO Defini-se função Seno (sen) como sendo “a razão entre o cateto oposto a um ângulo e a hipotenusa do triângulo”. No nosso triângulo temos vamos considerar o ângulo A, então teremos: , isto é, FUNÇÃO COSSENO Defini-se função Cosseno (cos) como sendo “a razão entre o cateto adjacente a um ângulo e a hipotenusa do triângulo”. , isto é, FUNÇÃO TANGENTE Defini-se função Tangente (tg) como sendo “a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a um ângulo”. , isto é, Exercícios Resolvidos Exercício resolvido – 4 No triângulo retângulo dado abaixo calcule o valor numérico das funções trigonométricas, seno, cosseno e tangente, em relação ao ângulo A. Solução: . ou seja, . . ou seja, . ou seja, . Exercício resolvido – 5 Dado um triângulo retângulo cujos catetos medem 6 e 8 u.c., respectivamente. Sendo o menor cateto, oposto ao ângulo , calcule , e . Solução: Cálculo da hipotenusa . . . , ou seja, ·. . , ou seja, . , ou seja, . Exercícios Propostos 4
  5. 5. Exercício 6 – No triângulo dado abaixo determine as funções seno, cosseno e tangente para os ângulos A e B. Exercício 7 – Num triângulo retângulo um dos catetos mede e a hipotenusa mede calcule as funções seno, cosseno e tangente do maior ângulo agudo. RELAÇÕES FUNDAMENTAIS 1ª – Tomando-se e , como , temos simplificando vem: 2ª – Da dedução anterior temos: e , elevando as igualdades ao quadrado temos, e . Somando com , vem . Pelo teorema de Pitágoras , logo teremos a expressão , pondo em evidência vem: , ou seja, 3ª – Os ângulos agudos do triângulo retângulo são complementares: e o lado oposto ao ângulo A é adjacente ao ângulo B e vice-versa. Desse modo Demonstração: Na figura do topo da página, temos: e para o ângulo A e e para o ângulo B. Desse modo temos: Exercícios Resolvidos Exercício Resolvido – 8 Dado calcule e . Solução: Como temos ou seja . Fazendo vem Exercício Resolvido – 9 Dado calcule e . Solução: Como de onde temos . Mas c ou seja c , de onde vem e . Exercícios Propostos Exercício 8 – Dado calcule o valor de e . Exercício 9 – Sendo calcule o valor de e . 5
  6. 6. Exercício 10 – Tomando o cosseno de um ângulo encontrou-se a medida igual a calcule o valor do seno e tangente desse ângulo. Exercício 11 – Num triângulo retângulo a tangente calculada, de um de seus ângulos agudos, é igual . Qual o valor do seno e cosseno desse ângulo? Exercício 12 – No exercício anterior quais os ângulos agudos do triângulo dado? CÁLCULO DO VALOR NUMÉRICO DO SENO, DO COSSENO E DA TANGENTE Usaremos triângulos equiláteros e isósceles de 45° para a dedução. Ângulo de 30° e 60° Consideremos um triângulo equilátero de lado L. No triângulo equilátero os ângulos internos A, B e C são iguais a 60° Traçando-se a mediana . dividimos o triângulo em dois triângulos retângulos de lados H, L/2 e L, com os ângulos complementares 30° e 60° . Cálculo do valor numérico de H. Pelo teorema de Pitágoras temos: , de onde ou . De onde vem ··; concluindo Seno, cosseno e tangente de 30°: Da definição de seno temos ou seja: Da definição de cosseno temos ou seja: De ou seja: Seno, cosseno e tangente de 60°: Aplicando a relação para ângulos complementares temos: , e Ângulo de 45° Consideremos um triângulo isósceles de lados L e base M, cujos ângulos da base: B e C medem 45° respectivamente. O ângulo , mede 90° . Cálculo do valor numérico de M. 6
  7. 7. Pelo teorema de Pitágoras temos: , isto é: Seno, cosseno e tangente de 45°: Da definição de seno temos ou seja: Como o cateto oposto e cateto adjacente ao ângulo A são iguais, , ou seja: Como no triângulo retângulo e o cateto oposto pode variar de 0 (para o ângulo de 0° até ) o tamanho da hipotenusa (para o ângulo de 90° enquanto que o cateto adjacente pode ), variar do tamanho da hipotenusa (para o ângulo de 0° até 0 (para o ângulo de 90° ) ). Temos as seguintes relações a mais: e e e (o símbolo significa não existe) Com os dados calculados acima podemos construir a TABELA de valores numéricos das principais funções trigonométricas de 0° a 90°. Ângulos Funções 0° 30° 45° 60° 90° sen 0 1 cos 1 0 tg 0 1 OBSERVAÇÃO Os ângulos de , e são chamados de ângulos ou arcos notáveis. Exercício 13 – Um triângulo retângulo tem lado oposto ao ângulo de igual a . Qual a medida da hipotenusa desse triângulo? (Considere ). 7
  8. 8. Exercício 14 – Quando um avião está na altura 500 metros, do solo, na mesma vertical da torre de uma igreja, é avistado por um observador, na mesma horizontal da igreja. Sabendo que o ângulo de visão do observador é de com a horizontal e, considerando responda as alternativas: a. Construa um triângulo retângulo para ilustrar o problema. b. Calcule a distância do observador ao avião. c. Calcule a distância do observador à igreja. Exercício 15 – (OM-SP) Na figura, o é retângulo em B e . O segmento é bissetriz do ângulo e . Determine a medida de . Exercício 16 – Três colegas: Antonio, Bento e Carlos estão numa quadra. Antonio e Bento ocupam os pontos e B formando o segmento de reta e Carlos está num ponto , de modo que o segmento forma um ângulo de com e o segmento forma um ângulo de com . Sabendo que a distância entre Antonio e Carlos é de : a. Desenhe um triângulo para ilustrar o problema. b. Calcule a distância entre Antonio e Bento. c. Calcule a distância entre Bento e Carlos. Exercício 17 – (FUVEST-SP) (Adaptado) Dois pontos A e B, estão situados, paralelamente, na margem de um rio e distantes 40 metros um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que os ângulos e são iguais e medem 75° Determine a largura, aproximada do rio, considerando o c . ·. TRIGONOMETRIA NO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO É no círculo onde o estudo da trigonometria fica mais completo e geral. CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA: Círculo e circunferência, apesar de ocuparem a mesma posição, simultaneamente no espaço, são entidades geométricas diferentes. O círculo refere-se à região interna, contornada pela linha da circunferência uma é área e a outra linha, logo não tem sentido falar em área da circunferência, ou em comprimento do círculo. ÂNGULO E ARCO Outras duas entidades relacionadas com círculo e circunferência, são ângulos e arcos. Num círculo são dados três pontos A e B sobre a circunferência e C no centro do círculo. Quando um ponto se move sobre a circunferência, do ponto A até o ponto B, ele descreve uma linha de A até B chamada de arco de circunferência, ou simplesmente arco . Enquanto o ponto se desloca sobre a circunferência, a linha 8
  9. 9. que liga o ponto C ao ponto A (raio da circunferência) descreve uma área sobre o círculo, a qual nós chamamos de ângulo central, ou simplesmente ângulo . NOTAS: • Ângulos e arcos são entidades geométricas ligadas ao mesmo círculo; • O ângulo descreve uma área no círculo e o arco descreve uma linha na circunferência que contorna o círculo; • O arco depende do raio, quanto maior o raio, maior será o arco. • O ângulo central não depende do raio. Independente do raio o ângulo central é o mesmo; • Veremos no círculo trigonométrico que tanto faz falarmos em ângulo como em arco, pois o raio é unitário e desse modo, ângulo e arco tornam-se uma mesma entidade, ou seja , o arco AB coincide com o ângulo ACB. UNIDADES DE MEDIDAS Os ângulos são medidos em GRAUS e os arcos são medidos em RADIANOS, outra medida, (pouco utilizada) para medir anglos é o GRADO. GRAU Grau é a tricentésima sexagésima parte da área da circunferência, ou logo podemos concluir de que uma circunferência contém um ângulo central total de . RADIANO Um radiano é o ângulo central (arco) cuja medida do arco é igual a medida do raio, ou seja: sendo o ângulo central correspondente ao arco l, então temos: Em qualquer circunferência, quando a medida do comprimento total por ela descrito ( ) é dividida pelo seu diâmetro (d) o resultado é igual a uma constante irracional denominada de com unidade em radiano (rad). O diâmetro é igual a dois raios e valor numérico de , atualmente é aproximado para 3,14. Quando uma circunferência é dividida por seu diâmetro, ela fica dividida em duas partes (ângulos), igual a cada uma, o que nos leva à conclusão de que o ângulo central total de uma circunferência é igual a . Do que foi visto acima temos: como Comprimento de uma circunferência é igual a . Substittuindo o ângulo total da circunferência por , temos , o qual se pode generalizar para qualquer arco , tal que: Sendo α em radiano (rad) CONVERSÕES Como a circunferência mede equivalente a , temos: 9
  10. 10. . Onde será o correspondente em graus ( ) e o correspondente em radiano ( . Exercícios Resolvidos Exercício Resolvido – 10. Converta os ângulos (a) de e (b) de para . Solução: (a) , ou seja, (b) , ou seja, Exercício Resolvido – 11. Converta os ângulos (a) de e (b) de para graus. Solução: (a) ·, ou seja, (b) , ou seja, Exercício Resolvido – 12. Calcular o valor, em graus, (a) de e (b) de Solução: (a) De , tomando-se o valor aproximado de de 3,14 vem: . Nota com esta aproximação o único valor exato é , usarmos o valor de , com 32 casas decimais o valor encontrado seria Vamos trabalhar com 3,14. (b) NOTAS IMPORTANTES: 1. Tratando-se de ângulo central a metade de uma circunferência mede rad, e a circunferência total mede rad. 2. Com o conceito de radiano o comprimento de um arco em graus será dado por: Exercícios Propostos Exercício 18 – Converta os ângulos (a) de (b) de e (c) de 315 para . Exercício 19 – Converta os ângulos (a) de , (b) de e (c) de para graus. Exercício 20 – Converta (a) , (b) e (b) para graus. Exercício 21 – Calcule o comprimento do arco cujo ângulo central (a) é igual a , (b) , (c) , sendo os raios respectivamente iguais a: 5; 3 e 8 metros. 10
  11. 11. Respostas dos Exercícios Propostos: Exercício – 1. dad Exercício – 2. r Exercício – 3. , , , e a área . Exercício – 4. Exercício – 5. , , e . Exercício – 6. , , , , e Exercício – 7. , e Exercício – 8. e Exercício – 9. e Exercício – 10. e Exercício – 11. e Exercício – 12. Pela tabela logo Exercício – 13. 20 cm Exercício – 14. a. b. 1000 m c. 865 m Exercício – 15. 12 cm Exercício – 16. a. b. c. Exercício – 17. Exercício – 18. (a) rad, (b) rad (c) rad. Exercício – 19. (a) , (b) e (c) . Exercício – 20. (a) (b) , (c) . Exercício – 21. (a) ; (b) ; (c) 11

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