1. FORMULARIO DE VARIABLE COMPLEJA
Un número complejo llamado Z, está formado por:
푧 = 푟(cos 휃 + 푖 sen 휃) = 푥 + 풊푦
ퟏ
풏 풔풆풏(
Prado Ibarra Alfonso.
Donde:
푥 = 푹풆(풛), 푦 = 푰풎(풛)
푖2 = −1, 푖3 = −푖, 푖4 = 1, 푖 5 = 푖
 Suma
푧 + 푤 = (푎 + 푖푏) + (푐 + 푖푑) = (푎 + 푐) + 풊(푏 + 푑) (Binomial)
 Resta
푧 − 푤 = (푎 + 푖푏) − (푐 + 푖푑) = (푎 − 푐) + 풊(푏 − 푑) (Binomial)
 Producto
푧푤 = (푎 + 푖푏)(푐 + 푖푑) = (푎푐 − 푏푑) + 풊(푎푑 + 푏푐) (Binomial y polar)
 División
푤
푤푧̅
=
=
푧
푧푧̅
(푐+푖푑)(푎−풊푏)
(푎+푖푏)(푎−풊푏)
(Binomial y polar)
 Potencia
푧 = 푟푒푖휃
푧푛 = 풓풏풆풊풏휽
 Raíces
푧 = 푟푒푖휃
1
푧
푛 = 풓
ퟏ
풏 풆풊(휽
풏
+ퟐ풌흅
풏
) 풌 = ퟎ, ퟏ, ퟐ, 풏 − ퟏ (Forma polar exp.)
z = 풓(cos 휃 + 푖 sen 휃)
1
ퟏ
푧
푛 = 풓
풏 풄풐풔(
휽
풏
+
ퟐ풌흅
풏
) + 풊 풓
휽
풏
+
ퟐ풌흅
풏
) (Polar trig.)
Módulo
푧 = 푥 + 풊푦
|풛| = 풓 = √풙ퟐ + 풚ퟐ
Representación polar
푧 = 푟푒푖휃 = |풛|풆풊 퐚퐫퐠 (풛) tan 휽 =
푦
푥
, cos 휽 =
푥
푟
, sen 휽 =
푦
푟

2. Prado Ibarra Alfonso.
Formula e identidad de Euler
푒푖휋 − 1 = ퟎ
푒푖휃 = (퐜퐨퐬 휽 + 풊 퐬퐞퐧 휽)
Fórmulas para funciones trigonométricas
cos 푥 =
풆풊풙+풆−풊풙
ퟐ
sen 푥 =
풆풊풙−풆−풊풙
ퟐ풊
cosh 푥 =
풆풙+풆−풙
ퟐ
senh 푥 =
풆풙−풆−풙
ퟐ
Funciones de variable compleja
 Función logaritmo natural
ln 푧 = 퐥퐧|풛| + 풊(푨풓품(풛) + ퟐ풏흅) 풏 = ퟎ, ퟏ, ퟐ
 Función exponencial e
푒푧 = 푒(푥+푖푦) = 풆풙(퐜퐨퐬 풚 + 풊 퐬퐞퐧 풚)
 Potencia
푧푎 = 풆풂 퐥퐧 풛
 Funciones trigonométricas
sen 푧 = 푠푒푛푥 cosh 푦 + 풊 푐표푠 푥 푠푒푛ℎ 푦
cos 푧 = 푐표푠푥 cosh 푦 − 풊 푠푒푛푥 푠푒푛ℎ푦
푠푒푛ℎ 푧 = 푠푒푛ℎ 푥 cos 푦 + 풊 cosh 푥 푠푒푛 푦
푐표푠ℎ 푧 = cosh 푥 cos 푦 + 풊 푠푒푛ℎ 푥 푠푒푛 푦
Calculo de funciones de variable compleja
 Límite
lim
푧→푧0
푓(푧) = 퐿 Si para cada 휀 > 0 푒푥푖푠푡푒 훿 푡푎푙 푞푢푒 |푓(푧) − 퐿| < 휀 푠푖푒푚푝푟푒 푞푢푒:
0 < |푧 − 푧0| < 훿
 Continuidad de f( 푧) en 푧0
lim
푧→푧0
푓(푧) = 푓(푧0)

3. 푏
Prado Ibarra Alfonso.
 Derivada
푓′ (푧0) = 풍풊풎
Δ풛→ퟎ
풇(풛ퟎ + Δ풛) − 풇(풛ퟎ )
Δ풛
Funciones analíticas
 En variable compleja una función analítica debe satisfacer las condiciones de
Cauchy-Riemann, si 푓(푧) = 푢 + 풊푣:
흏풖
흏풙
=
흏풗
흏풚
Y
흏풖
흏풚
= −
흏풗
흏풙
Nota: 풛̅, |풛|, 푹풆(풛), 푰풎 (풛) no son analíticas.
 Criterio de derivabilidad
푓′ (푧) =
휕푢
휕푥
+ 풊
흏풗
흏풙
O bien 푓′ (푧) =
흏풗
흏풚
− 풊
흏풖
흏풚
 Funciones armónicas
Una función f(x,y) se dice que es armónica si satisface la ecuación de Laplace:
흏ퟐ풇
흏풙ퟐ +
흏ퟐ풇
흏풚ퟐ = ퟎ 훁 ퟐ ϕ = 0 (퐿푎푝푙푎푐푖푎푛표)
Si 푓(푧) = 푢(푥, 푦) + 푖푣(푥, 푦) es analítica, las funciones u(x,y) y v(x,y) son funciones
armónicas.
흏ퟐ풖
흏풙ퟐ +
흏ퟐ풖
흏풚ퟐ = ퟎ
흏ퟐ풗
흏풙ퟐ +
흏ퟐ풗
흏풚ퟐ = ퟎ
Nota: Como poner una función en términos de z.
풇(풛) = 풖(풛, ퟎ) + 풊 풗(풛,ퟎ)
 Integral compleja
∫ 푓(푧)푑푧
퐶
= lim
‖푃‖→0
Σ 푓(푧푘∗
)Δ푧푘
푛
푘=1
 Evaluación de una integral de contorno
∫ 푓(푧)푑푧 = ∫ 푢푑푥 − 푣푑푦 + 푖 ∫ 푣푑푥 + 푢푑푦
퐶 퐶 퐶
∫ 푓(푧) 푑푧 = ∫ 푓(푧(푡)) 푧′(푡)푑푡
퐶 푎

4.  Teorema de Cauchy-Gousart
Suponga que f es analítica en un dominio simplemente conexo D. Entonces para
todo contorno cerrado simple C en D ∮ 푓(푧)푑푧 = 0
*Para dominios múltiplemente conexos:
푛
∮ 푓(푧)푑푧 = Σ ∮ 푓(푧)푑푧
퐶푘
푘=1
퐶
*Principio de la deformación de contornos:
∮ 푓(푧)푑푧 = ∮ 푓(푧)푑푧
퐶 퐶1
2휋푖 푛 = 1
0 푛 ≠ 1
Prado Ibarra Alfonso.
∮
푑푧
(푧 − 푧0)푛 = {
}
퐶
 Formula de la integral de Cauchy
푓(푧0) =
1
2휋푖
∮
푓(푧)
푧 − 푧0
푑푧
퐶
 Formula integral de Cauchy para derivadas
푓(푛) (푧0) =
푛!
2휋푖
∮
푓(푧)
(푧 − 푧0)푛+1 푑푧
퐶