TRABAJO COLABORATIVO DE ÁLGEBRA LINEAL

1. ALGEBRA LINEAL 100408A
TRABAJO COLABORATIVO 1
PRESENTADO POR:
ALFONSO DARIO MEJÍA FERNANDEZ
EVALDINO YESID CAMACHO CUADRADO
GRUPO 131
TUTOR:
IVÁN FERNANDO AMAYA COCUNUBO
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA- UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA
PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Barranquilla Octubre 12 de 2012

2. I. INTRODUCCIÓN
El siguiente trabajo colaborativo pretende lograr la apropiación de conocimientos de los
contenidos temáticos de la unidad 1 del curso de Algebra lineal, mediante la solución
práctica de ejercicios y problemas sobre vectores, matrices y determinantes, utilizando
la estrategia de aprendizaje basado en proyectos, con la interacción de los participantes
que componen nuestro grupo colaborativo y de esta forma lograr el desarrollo de
competencias en los contenidos y conceptos estudiados en los capítulos de la primera
unidad, para alcanzar la transferencia de conocimientos mediante el aprendizaje
significativo.
A continuación se encuentra el desarrollo y solución a ejercicios de vectores polares,
matrices según el método de Gauss Jordan, el determinante de una matriz y solución de
matriz inversa.

3. II. OBJETIVOS
 Lograr la transferencia de conocimientos y competencias relativas a los
conceptos básicos teórico-práctico de los vectores, matrices y determinantes a
través del estudio, análisis y solución de problemas y ejercicios propuestos.
 Realizar la apropiación y comprensión grupal de los fundamentos conceptuales
de los determinantes y los principios de espacio vectorial y su aplicabilidad a un
problema real en el entorno profesional, mediante la investigación, análisis y
estudio de fuentes bibliográficas textuales y recursos multimedia relacionados
con los temas contenidos en la unidad1 y su aplicación en diferentes áreas del
conocimiento.
 Reconocer la importancia del dominio básico del Algebra lineal, como disciplina
imprescindible para nuestra formación en cualquier área científica, ya que nos
permite desarrollar competencias en el campo de la investigación y desarrollo
motriz.

4. III. DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS
Inicialmente debemos representarlos en su forma rectangular:
El vector │u│ = (2Cos45º, 2Sen45º)= (1.41, 1.41)
el vector │v│ = (4Cos60º, 4Sen60º)= (2, 3.46)
1.1) vector U + 2 veces el vector V = (2Cos45º+8Cos60º, 2Sen45º+8Sen60º)
Reemplazando los resultados:
U + 2v = (1.41+ 4, 1.41+ 6.92)
U+2v= (5.55, 8.33)
1.2) vector V - vector U = (4Cos60º-2Cos45º, 4Sen60º -2Sen45º)
Reemplazando los resultados:
V-u = (2 – 1.41, 3.46 – 1.41)
V-u = (0.59, 2.05)
1.3) 3 veces el vector V - el vector U = (12Cos60º-2Cos45º, 12Sen60º-2Sen45º)
Reemplazando los resultados:
3v- u = (6 - 1.41, 10.39 - 1.41)
3v- u = (4.59, 8.98)

5. 2. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:
2.1 u= 2i+9j y v= -i - 4j
∅ = (𝑢, 𝑣)
𝑢. 𝑣
cos ∅ =
⃦ 𝑢 ⃦⃦ 𝑣 ⃦
u. v = 2,9 −1, −4 = 2 −1 + 9 (−4) Grafica 1
u. v = −38
⃦u ⃦= ⃦(2,9) ⃦= 2 2 + 9 2 = 85
⃦u ⃦=5 17
⃦v ⃦= ⃦ (-1,-4) ⃦= ( −1) 2 + (−4) 2 = 17
Reemplazando en la formula inicial
−38
cos ∅ =
85. 17
−38 −38
cos ∅ = =
17𝑋5. 17 17 17. 5
−38
cos ∅ = = −0.9996
17. 5
∅ = 𝑖𝑛𝑣 𝐶𝑜𝑠(−0.9996)
∅ = 178º 22′ 45"

6. 2.2 w= -2i-3j y u=-i-5j Grafica 2
w= (-2,-3)
u= (-1,-5)
𝑤. 𝑢
cos ∅ =
⃦ 𝑤 ⃦⃦ 𝑢 ⃦
w. u = −2, −3 −1, −5 = 2 15 = 17
w. u = 17
⃦w ⃦= ⃦ (-2,-3) ⃦= (−2) 2 + (−3) 2 = 13
⃦u ⃦= ⃦ (-1,-5) ⃦= (−1) 2 + (−5) 2 = 26
Reemplazando en la formula inicial
17 17
cos ∅ = =
13. 26 13. 2 ∗ 13
17 17 17
cos ∅ = = =
13. 13. 2 13. 2 18.38
cos ∅ = 0.924
∅= invCos0.924
∅= 22º 28’ 55”

7. 3. Dada la siguiente matriz, encuentre 𝑨− 𝟏 empleando para ello el
método de Gauss – Jordán
−3 5 5
A= 7 −5 −8
0 2 −3
−3 5 5 1 0 0
1
7 −5 −8 ⋮ 0 1 0 3
F1
0 2 −3 0 0 1
5 5
1 −3 − 3 −1/3 0 0
7 −5 −8 ⋮ 0 1 0 − 7F1 + F2
0 2 −3 0 0 1
5 5 1
1 − − − 0 0
3 3 3
3
0 1
11 ⋮ 7
1 0 𝐹2
20
3 3
0 2 −3 0 0 1
5 5 1
1 − − − 0 0 5
3 3 3 𝐹2+𝐹1
3
0 1
11 ⋮ 7 3
0 −2𝐹2+𝐹3
20 20 20
0 2 −3 0 0 1
3 1 1
1 0 − 0
4 4 4
11 7 3 10
0 1 ⋮ 0 − 𝐹3
20 20 20 41
41 7 3
0 0 − − − 1
10 10 10

8. 1 1
1 0 −
3 0
4 4 11
4 7 3 − 𝐹3+𝐹2
20
0 1
11 ⋮ 20 0 3
20 𝐹3+𝐹1
20 7 3 10 4
0 0 1 −
41 41 41
31 25 15
−
82 82 82
1 0 0 21 9 11
0 1 0⋮
0 0 1 82 82 82
7 3 10
−
41 41 41
31 25 15
−
82 82 82
21 9 11 31 25 −15
A-1= 82 82 82
= 1/82 21 9 11
7 3 10 14 6 −20
− Respuesta
41 41 41

9. 4. Emplee una herramienta computacional adecuada (por ejemplo, MAPLE, o
cualquier software libre) para verificar el resultado del numeral anterior. Para
esto, anexe los pantallazos necesarios que verifiquen el resultado.

10. 5. Encuentre el determinante de la siguiente matriz, describiendo paso a paso la
operación que lo va modificando (sugerencia: emplee las propiedades e intente
transformarlo en una matriz triangular).
 1 0 9 2 1
 1 1 3 2 1 
 
B =  1 0 2 2 1
 
0 0 0 7  2
0
 3 0 1 1
 1 0 9 2 1  1 1 3 2 1
 1 1 3 2 1   1 0 9 2 1
  
B =  1 0 2 2 1  𝐹1 ⟺ 𝐹2  1 0  2  2 1  𝐶2 ⟺ 𝐶1
   
0 0 0 7  2 0 0 0 7  2
0
 3 0 1 1 0
 3 0 1 1
1  1 3  2 1  1  1 3  2 1 
0  1 9 2 1 0  1 9 2 1
   −𝐹1+𝐹3
0  1  2 2 1  −3𝐹1 + 𝐹3 0  1  2 2 1  3𝐹2+𝐹3
   
0 0 0 7  2 0 0 0 7  2
3 0
 0 1 1 0 3  9 7  2 
 
1  1 3  2 1  1  1 3  2 1 
0  1 9 2 1 0  1 9 2 1
  18   −13
0 0  11 0 0  11 𝐹3 + 𝐹5 0 0  11 0 0  7 𝐹4 + 𝐹5
   
0 0 0 7  2 0 0 0 7  2
0 0 18 13 1 
  0 0
 0 13 1 
1  1 3  2 1 
0  1 9 2 1 
 
0 0  11 0 0 
 
0 0 0 7 2 
0 0
 0 0 33 / 7 

DET B = (1)*(-1)*(-11)*(7)*(33/7) = 363
Respuesta

11. 6. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello
determinantes
 (10  5)  (0  35) (0  14) 
Adj A  (5  1) (15  7)  (3  7)
 
 (5  2)
  (15  0) (6  0) 

 15 35  14  15 4 7 
Adj A  4 22 10  ⟹  35 22 15  = Adj At
   
 7 15  6   14 10  6
   
  3 1  1 .3 1 
 
 0 2 5 0 2  DET A = (-3)(2)(-5)+(1)(5)(7)+(-1)(0)(1)-(-1)(2)(7)-(-3)(5)(1)-(1)(0)(-5) = 94
 7 1  5 7 1
 
1
𝐴 −1 = ∗ 𝑎𝑑𝑗𝐴 𝑡
det 𝐴
 15 4 7 
1 1  
𝐴− =  35 22 15 
94
 14 10  6
  Respuesta

12. IV. BIBLIOGRAFIA
Zúñiga, C.A. (2010). Algebra lineal (1a. ed.). Bogotá: Copyright UNAD
Zúñiga, C.A (s.f.). Guía: Trabajo colaborativo1. Algebra lineal. Recuperado el 2 de
octubre de 2012, del Sitio web del campus virtual de la Universidad nacional abierta y a
distancia UNAD: http://66.165.175.248/campus08/file.php/3/2012-
2/TRABAJOS/TRABAJO_COLABORATIVO_1.pdf
Normas Apa. (s.f.). Recuperado el 21 agosto de 2012, de
http://www.slideshare.net/rchoquel/normas-apa-1430826
Multiplicación de matrices. (s.f.). Recuperado el 5 de octubre de 2012 de
http://www.youtube.com/watch?v=eRBuGozq6Us
Calculo del determinante. (s.f.). Recuperado el 4 de octubre de 2012 de
http://www.youtube.com/watch?v=ZuaIjvBPTBc