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Teoría de funciones de una variable real (Análisis matemático I), Universidad de Zaratoga)

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  • 1. TEORÍA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL I. Barrow (1630–1677), Lectiones Geometricae Editado por José L. Arregui, Julio Bernués,Bienvenido Cuartero y Mario Pérez, sobre apuntes del área de Análisis Matemático
  • 2. III Isaac Newton (1643–1727) Gottfried Leibniz (1646–1716)“Ahí intervinieron los dos verdaderos fundadores del Análisis. N y L, Newton y Leibniz, padresenemigos que se destrozaron para que fuese reconocida su paternidad. Se les deben dos descu-brimientos esenciales. El primero: Descubrieron que las dos direcciones distintas en que los matemáticos habíantrabajado hasta entonces, determinación de tangentes y cálculo de áreas, constituían de hecho lasdos caras de un mismo fenómeno y se podía pasar de una a otra. Se podía, a partir de tangentes,remontar a la curva, de la función derivada se podía remontar a la función de la que era laderivada. ¡Una rectificación había sido llevada a una cuadratura! ¡Si los griegos levantaran lacabeza! Esto fue una revelación en el mundo de los matemáticos. El mismo útil era capaz de efec-tuar acciones tan distintas como calcular la longitud de una curva, determinar el área de unafigura, calcular el volumen de un sólido, situar el centro de gravedad de una figura, localizar losmínimos y los máximos de una curva, determinar las tangentes, expresar las velocidades y lasaceleraciones. Una especie de útil universal que entusiasmó a los que se ocupaban de física. Lasvariaciones de toda clase de fenómenos podrían, en lo sucesivo, estudiarse con esta técnica. Seabría una gran puerta al conocimiento de los fenómenos físicos. ¡La física y la mecánica habíanencontrado su herramienta! La cual era matemática. Consecuencia: el ‘movimiento’, excluido frecuentemente de las matemáticas, hacía una en-trada triunfal. A fines del siglo XVII, el mundo cristalizado de las figuras de la Grecia antigua seanimó. Se pasó de la fotografía al cine. La segunda: ‘N y L’ hicieron de ese nuevo campo un ‘cálculo’, provisto de reglas, el cálculoinfinitesimal. La derivación se convirtió en una operación. Operación de nuevo género que actua-ba no sobre números sino sobre cantidades variables relacionadas con curvas. Operación que sepodía efectuar con ayuda de un algoritmo sistemático.” (Denis Guedj, El teorema del loro. Ed. Anagrama, Barcelona (2000), pp. 376–377.)
  • 3. Índice general1. Números reales 1 1.1. Sistemas numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Números naturales: principio de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Números enteros y racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3. Números reales: operaciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Ordenación de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1. Desigualdades fundamentales en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2. Valor absoluto de un número real. Desigualdades básicas . . . . . . . . . . . 6 1.2.3. Conjuntos acotados en R. El axioma del supremo . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4. Propiedad arquimediana de R: consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.5. Números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.6. Intervalos en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Apéndice: expresión decimal de un número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122. Funciones reales de una variable real. Generalidades 17 2.1. Primeros conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1. Funciones. Clases particulares de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.3. Ejemplos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Funciones trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1. Funciones exponencial y logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2. Funciones trigonométricas. Funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . 26 2.2.3. Funciones hiperbólicas. Funciones hiperbólicas inversas . . . . . . . . . . . 31 2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333. Sucesiones de números reales 37 3.1. Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.1. Definición de sucesión. Sucesiones acotadas y sucesiones convergentes. Lí- mite de una sucesión convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.2. Sucesiones monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.3. Operaciones con sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.4. Desigualdades y límites. Regla del sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1.5. Subsucesiones. Teorema de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.6. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2. Límites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 V
  • 4. VI ÍNDICE GENERAL 3.2.1. Sucesiones divergentes. Propiedades. Operaciones con sucesiones divergentes 50 3.2.2. La recta ampliada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2.3. Límite superior y límite inferior de una sucesión. Límites de oscilación . . . 56 3.3. Límites de sucesiones y funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614. Continuidad 63 4.1. Límites de funciones reales de una variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.1.1. Definición de límite de una función. Unicidad del límite. Límite por sucesiones 63 4.1.2. Límites infinitos y límites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.1.3. Cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.1.4. Límites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.1.5. Límites de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.1.6. Límites y desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.1.7. Condición de Cauchy para funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.1.8. Límites de restricciones y extensiones de funciones . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2.1. Definiciones de continuidad. Operaciones con funciones continuas . . . . . . 73 4.2.2. Propiedades de las funciones continuas: teoremas de Weierstrass, Bolzano y Darboux; funciones continuas monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2.3. Clasificación de discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.2.4. Continuidad uniforme. Teorema de Heine. Extensión de funciones continuas 80 4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825. Derivación 85 5.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.1.1. Concepto de derivada. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.1.2. Interpretación geométrica y física de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.1.3. Derivabilidad y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.1.4. Cálculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.1.5. Derivabilidad de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.2. El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.2.1. Extremos relativos y derivada nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.2.2. Teoremas de Rolle y del valor medio (o de los incrementos finitos) . . . . . . 92 5.3. Aplicaciones del teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.3.1. Funciones con derivada acotada y con derivada nula . . . . . . . . . . . . . 93 5.3.2. Signo de la derivada y monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.3.3. Propiedad del valor intermedio para derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.3.4. Teorema del valor medio generalizado. Regla de L’Hospital . . . . . . . . . 97 5.4. Aproximación polinómica local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.4.1. Desarrollos polinómicos. Teorema de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . 100 5.4.2. Aplicación al cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.4.3. Fórmula de Taylor con resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.4.4. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.4.5. Convexidad y concavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.4.6. Representación gráfica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
  • 5. ÍNDICE GENERAL VII6. La integral de Riemann 119 6.1. Definición (de Darboux) de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.1.1. Definición de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.1.2. Propiedades básicas de las sumas de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.1.3. Existencia de la integral: condición de Riemann. Integrabilidad de las funcio- nes monótonas y de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.1.4. Sumas de Riemann. Definición de integrabilidad de Riemann: comparación con la de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.2. Propiedades básicas de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.2.1. Operaciones con funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.2.2. Integración en subintervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.2.3. Teoremas de la media (o del valor medio) del cálculo integral . . . . . . . . 137 6.3. Teoremas fundamentales del cálculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.3.1. Regla de Barrow (primer teorema fundamental del cálculo integral) . . . . . 139 6.3.2. Continuidad y derivabilidad de una integral con extremo de integración variable141 6.4. Apéndice: construcción de las funciones logarítmica y exponencial . . . . . . . . . . 146 6.5. Apéndice: cálculo de áreas, longitudes y volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.6. Apéndice: cálculo de primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.6.1. Métodos básicos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.6.2. Integrales elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.6.3. Integración de algunos tipos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567. Integrales impropias 161 7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.1.1. Integrales impropias: definición de integrales impropias convergentes, diver- gentes, oscilantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 7.1.2. Primeras propiedades de las integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.2. Convergencia de integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.2.1. Convergencia de integrales impropias con integrando no negativo. Criterios de comparación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.2.2. Integrales impropias de integrando cualquiera: convergencia absoluta y con- vergencia condicional. Criterios de Abel y Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 167 7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698. Series numéricas 171 8.1. Definición y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.1.1. Series: términos y sumas parciales. Series convergentes, divergentes y oscilantes171 8.1.2. Linealidad de la convergencia de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 8.1.3. Series telescópicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 8.1.4. Condición necesaria para la convergencia de una serie. Condición general de convergencia de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 8.2. Series de términos no negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.2.1. Convergencia de una serie de términos no negativos. Criterios de comparación 175 8.2.2. Otros criterios. Convergencia de algunas series de términos no negativos . . . 177 8.3. Series de términos cualesquiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 8.3.1. Series alternadas: criterio de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
  • 6. VIII ÍNDICE GENERAL 8.3.2. Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 8.3.3. Criterios generales de Cauchy (de la raíz) y de D’Alembert (del cociente) . . 182 8.3.4. Criterios de convergencia de Abel y Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.4. Propiedad conmutativa para series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.5. Apéndice: sumación de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 8.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1869. Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor 189 9.1. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 9.1.1. Convergencia de las series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 9.1.2. Propiedades de las funciones representadas por series de potencias . . . . . . 192 9.2. Desarrollos en serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 9.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19910. Sucesiones y series de funciones 201 10.1. Sucesiones y series de funciones: convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . 201 10.2. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 10.2.1. Definición de convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 10.2.2. Convergencia uniforme y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 10.2.3. Convergencia uniforme e integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 10.2.4. Convergencia uniforme y derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 10.3. Una condición suficiente para la convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 20811. Funciones elementales 209 11.1. Funciones elementales y series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 11.1.1. Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 11.1.2. Función logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 11.1.3. Funciones exponencial y logarítmica de base cualquiera . . . . . . . . . . . 212 11.1.4. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 11.2. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 11.3. Apéndice: el número π es irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221Retratos 223Bibliografía 233Índice de símbolos 235Índice alfabético 237
  • 7. Capítulo 1Números reales1.1. Sistemas numéricos1.1.1. Números naturales: principio de inducción Los números 1, 2, 3, . . . , reciben el nombre de números naturales. Con ellos se realizan dos ope-raciones, la suma de números naturales y el producto de números naturales, que dan como resultadootro número natural perfectamente definido. Para dos números naturales cualesquiera m y n, su sumasuele representarse por m + n y su producto por m · n o mn (si no hay lugar a confusión). Si denotamoscon N el conjunto de todos los números naturales, podemos pensar en la suma y el producto comoaplicaciones del producto cartesiano N × N en N: + : N×N → N, · : N×N → N. (m, n) → m+n (m, n) → m·n A continuación describimos las propiedades fundamentales de estas operaciones (m, n, p repre-sentan números naturales cualesquiera): • Propiedad asociativa de la suma: (m + n) + p = m + (n + p). • Propiedad conmutativa de la suma: m + n = n + m. • Propiedad asociativa del producto: (mn)p = m(np). • Propiedad conmutativa del producto: mn = nm. • Elemento neutro (identidad) para el producto: hay un número natural, que denotamos por 1, tal que 1 · n = n · 1 = n. • Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: m(n + p) = mn + mp.Se puede asimismo comparar el tamaño de dos números naturales cualesquiera y establecer así unarelación de orden en N. Suele escribirse m ≤ n para indicar que m es menor o igual que n (o lo quees lo mismo, que n es mayor o igual que m, lo que también se escribe n ≥ m); y se escribe m < n (on > m) para expresar que m es estrictamente menor que n, es decir, que m es menor (y distinto) que n.Esta relación cumple las siguientes propiedades (m, n, p representan números naturales cualesquiera): • Propiedad reflexiva: m ≤ m. 1
  • 8. 2 Capítulo 1. Números reales • Propiedad antisimétrica: si m ≤ n y n ≤ m, entonces m = n. • Propiedad transitiva: si m ≤ n y n ≤ p, entonces m ≤ p. • Propiedad de orden total: siempre es m ≤ n o n ≤ m. La ordenación de N no es independiente de la suma y el producto: para dos números naturales m,n se tiene m > n si y solo si m = n + p para algún número natural p.Principio de buena ordenación. Todo conjunto no vacío de números naturales posee un elementomínimo, es decir, dado S ⊆ N no vacío, existe un elemento m en S tal que m ≤ n para todo n ∈ S.El principio de inducción. Esta es una de las propiedades de N que más vamos a usar durante elcurso. Se puede enunciar así: • si un conjunto de números naturales contiene a 1 y por cada elemento n del conjunto también n + 1 pertenece a él, entonces el conjunto es N. Es decir, dado S ⊆ N tal que 1 ∈ S y n + 1 ∈ S siempre que n ∈ S, es S = N.En la práctica, el principio de inducción suele aplicarse en términos de propiedades más que en térmi-nos de conjuntos: • supongamos que para cada número natural n se tiene una propiedad Pn que puede ser cierta o falsa. Supongamos además que: a) P1 es cierta; b) si para algún n ∈ N la propiedad Pn es cierta, entonces la propiedad Pn+1 también es cierta. Entonces, Pn es cierta para todo n ∈ N.La siguiente variante se llama principio de inducción completa: • supongamos que para cada número natural n se tiene una propiedad Pn que puede ser cierta o falsa. Supongamos además que: a) P1 es cierta; b) si para algún n ∈ N todas las propiedades P1 , P2 , . . . , Pn son ciertas, entonces Pn+1 también es cierta. Entonces, Pn es cierta para todo n ∈ N. Es un hecho notable, señalado por el matemático italiano Peano en su obra Arithmetices principianova methodo exposita (Bocca, 1889) que todas las propiedades de los números naturales puedendeducirse de las siguientes, llamadas en su honor axiomas de Peano para los números naturales: • Para todo número natural n existe otro número natural, ns , que se llama siguiente o sucesor de n. • Existe un número natural, que denotamos por 1, tal que ns = 1 cualquiera que sea el número natural n.
  • 9. 1.1. Sistemas numéricos 3 • Para números naturales cualesquiera m y n, es ms = ns si y solo si m = n. • Principio de inducción: si un conjunto S de números naturales contiene a 1 y por cada elemento n ∈ S también ns ∈ S, entonces S = N.Las operaciones de suma y producto y la relación de orden se definen entonces en términos de si-guientes, véase por ejemplo [B IRKHOFF -M AC L ANE].1.1.2. Números enteros y racionales El conjunto de los números enteros . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . , que amplía el de los naturales,se denota por Z. En él hay definidas dos operaciones, suma y producto, y una relación de orden. Laspropiedades de la suma, el producto y el orden para los números naturales también las cumplen losnúmeros enteros. Y además: • Elemento neutro (cero) para la suma: hay un número entero, que denotamos por 0, tal que 0 + n = n + 0 = n para cualquier entero n. • Elemento opuesto para la suma: para cada entero n hay otro número entero (y solo uno), que denotamos por −n, tal que (−n) + n = n + (−n) = 0.Estas propiedades y las anteriores de la suma y el producto se resumen diciendo que Z, con estas dosoperaciones, es un anillo conmutativo. Para la relación de orden podemos añadir: • Relación del orden con la suma: si a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c. • Relación del orden con el producto por números no negativos: si a ≤ b y c ≥ 0, entonces ac ≤ bc.Principio de buena ordenación de los conjuntos acotados inferiormente. El principio de buenaordenación de los números naturales no es válido para los números enteros: por ejemplo, el propioconjunto Z no tiene elemento mínimo, pues para cada n ∈ Z es n − 1 < n. Sin embargo, hay unapropiedad análoga para cierta clase de subconjuntos: los acotados inferiormente. Un subconjunto S ⊆ Z no vacío se dice que está acotado inferiormente si existe algún númeroentero k ∈ Z tal que para todo n ∈ Z, k ≤ n. Todo conjunto no vacío S ⊆ Z acotado inferiormenteposee un elemento mínimo, es decir, existe un elemento m en S tal que para todo n ∈ S, m ≤ n.Un principio de inducción. En Z puede hablarse del siguiente a un número entero, en el sentidode que entre n y n + 1 no hay ningún otro número entero. No se cumple, sin embargo, el principio deinducción, sino una propiedad similar aunque más débil: • si un conjunto de números enteros contiene un número k y que por cada elemento n del conjunto también n+1 pertenece a él, entonces el conjunto contiene a todos los números enteros mayores o iguales que k. Es decir, si k ∈ S ⊆ Z y n+1 ∈ S siempre que n ∈ S, entonces S ⊇ {n ∈ Z : n ≥ k}.Los números racionales. En Z es posible la resta, pero no la división. Esta operación es posible(dividiendo por elementos distintos de 0) en el conjunto Q de los números racionales, que son co-cientes de números enteros (con denominador no nulo). En este conjunto están definidas la suma yel producto, y una relación de orden. Las propiedades de la suma, el producto y el orden para losnúmeros enteros también las cumplen los números racionales. Y además:
  • 10. 4 Capítulo 1. Números reales • Elemento inverso para el producto: si a = 0, hay un número racional (y solo uno) que denota- mos por a−1 o 1 , tal que a−1 a = aa−1 = 1. aEsta y las anteriores propiedades de la suma, el producto y el orden se resumen diciendo que Q es uncuerpo conmutativo totalmente ordenado. Señalemos que en Q no hay ninguna propiedad similar al principio de inducción. Ni siquierapuede hablarse del siguiente a un número dado: concretamente, entre dos números racionales distintossiempre hay otro número racional. En efecto: si a < b, es fácil comprobar que a < a+b < b. 2 Es fácil descubrir huecos en Q: por ejemplo, ningún número racional puede representar la longitudde la diagonal de un cuadrado de lado 1. Dicho de otra forma, no existe ningún número racional atal que a2 = 2. En efecto: sea a ∈ Q; podemos escribirlo como a = m , con m y n enteros sin factores nprimos comunes y n = 0. Si fuera a2 = 2 se seguiría que m2 = 2n2 , luego m2 es par, y también debeserlo m; pero entonces m = 2p para algún entero p, y sustituyendo en m2 = 2n2 queda 4p2 = 2n2 . Esdecir, 2p2 = n2 ; luego n2 es par, y también deber serlo n. En resumen, m y n son pares; pero habíamossupuesto que m y n no tenían factores comunes. La contradicción viene de suponer que a2 = 2. Para poder hablar de números que representen estas cantidades se necesita una nueva ampliaciónde los sistemas numéricos. Así pasamos a considerar el conjunto R de los números reales o, másexactamente, las propiedades de R (sin entrar en su naturaleza: no decimos qué es un número real,sino cómo se manejan los números reales).1.1.3. Números reales: operaciones algebraicas En R hay dos operaciones, suma y producto, respecto de las cuales es un cuerpo conmutativo.Esto significa que si a, b, c son números reales cualesquiera, se cumple: a) Propiedad asociativa de la suma: (a + b) + c = a + (b + c). b) Propiedad conmutativa de la suma: a + b = b + a. c) Elemento neutro (cero) para la suma: hay un número real, que denotamos por 0, tal que 0 + a = a + 0 = a. d) Elemento opuesto para la suma: hay un número real (y solo uno), que denotamos por −a, tal que (−a) + a = a + (−a) = 0. e) Propiedad asociativa del producto: (ab)c = a(bc). f) Propiedad conmutativa del producto: ab = ba. g) Elemento neutro (identidad) para el producto: hay un número real distinto de 0, que denotamos por 1, tal que 1 · a = a · 1 = a. h) Elemento inverso para el producto: si a = 0, hay un número real (y solo uno) que denotamos por a−1 o 1/a, tal que a−1 a = aa−1 = 1. i) Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: a(b + c) = ab + ac.Todas las propiedades que usamos habitualmente se deducen de estas. Por ejemplo, veamos en detallecómo se prueba que para todo número real x es x · 0 = 0: c) i) x · 0 = x(0 + 0) = x · 0 + x · 0
  • 11. 1.2. Ordenación de los números reales 5y de d) se sigue a) d) c) 0 = −(x · 0) + x · 0 = −(x · 0) + [(x · 0 + x · 0)] = [−(x · 0) + x · 0] + x · 0 = 0 + x · 0 = x · 0. Los números reales se pueden representar gráficamente como puntos de una recta. Esto permitever, sobre todo, las relaciones de orden. √ log 2 3 π γ 2 π π2 −2 −1 0 11 1 π2 2 e3 4 5 6 7 8 9 10 32 6 1 √ √ 2 2 La recta real, con algunos números señalados1.2. Ordenación de los números reales1.2.1. Desigualdades fundamentales en R En R hay una relación de orden que extiende la de los números racionales. Las propiedades básicasson las siguientes (a, b, c representan números reales cualesquiera): • Propiedad reflexiva: a ≤ a. • Propiedad antisimétrica: a ≤ b y b ≤ a =⇒ a = b. • Propiedad transitiva: a ≤ b y b ≤ c =⇒ a ≤ c. • Propiedad de orden total: a ≤ b ó b ≤ a. • Relación con la suma: a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c. • Relación con el producto: c ≥ 0, a ≤ b =⇒ ac ≤ bc; en particular, c ≥ 0, b ≥ 0 =⇒ bc ≥ 0.Dados a, b ∈ R, se escribe a < b si a ≤ b y a = b. De estas propiedades pueden deducirse sucesivamente (es un ejercicio recomendable) las siguien-tes desigualdades, que utilizaremos de aquí en adelante sin más comentario según las necesitemos. Enlo que sigue, a, b, c, d, a1 ,. . . , an representan números reales cualesquiera. • a ≤ b, b < c =⇒ a < c. • a < b, b ≤ c =⇒ a < c. • a < b =⇒ a + c < b + c. • Suma de desigualdades: a ≤ b, c ≤ d =⇒ a + c ≤ b + d, siendo entonces a + c = b + d si y solo si a = b y c = d.
  • 12. 6 Capítulo 1. Números reales • a1 , . . . , an ≥ 0 =⇒ a1 + · · · + an ≥ 0; además, a1 + · · · + an > 0 excepto si a1 = · · · = an = 0. • a > 0, b > 0 =⇒ ab > 0. • a > 0, b < 0 =⇒ ab < 0. • a < 0, b < 0 =⇒ ab > 0. • a2 ≥ 0. • a = 0 =⇒ a2 > 0. • 2ab ≤ a2 + b2 . • 1 > 0, −1 < 0. • a < b, c > 0 =⇒ ac < bc. • a < b, c < 0 =⇒ ac > bc. • a ≤ b, c ≤ 0 =⇒ ac ≥ bc. • 0 ≤ a ≤ b =⇒ a2 ≤ b2 . • 0 ≤ a < b =⇒ a2 < b2 . 1 • a > 0 ⇐⇒ > 0. a 1 1 • 0 < a ≤ b =⇒ ≤ . b a 1 1 • a ≤ b < 0 =⇒ ≤ . b a1.2.2. Valor absoluto de un número real. Desigualdades básicas El valor absoluto de un número real a es el número real no negativo a, si a ≥ 0; |a| = −a, si a ≤ 0.Gráficamente corresponde a la distancia de a al origen.Definición 1.2.1 (distancia entre números reales). Dados a, b ∈ R, se llama distancia entre a y bal número real no negativo |a − b|. Gráficamente, |a − b| mide la distancia geométrica entre los puntos a y b. Recogemos las propiedades del valor absoluto que son de mayor interés para el resto del curso. Sia, b, c, d denotan números reales cualesquiera, se verifica: • |1| = 1; | − 1| = 1. • | − a| = |a|.
  • 13. 1.2. Ordenación de los números reales 7 • −|a| ≤ a ≤ |a|. • |a| ≤ b ⇐⇒ −b ≤ a ≤ b. • |a| < b ⇐⇒ −b < a < b. • |a| > b ⇐⇒ a > b ó a < −b. • |a| ≥ 0. • |a| = 0 ⇐⇒ a = 0. • |ab| = |a| · |b|. • |a−1 | = |a|−1 siempre que a = 0. • a2 ≤ b2 ⇐⇒ |a| ≤ |b|. • a2 = b2 ⇐⇒ |a| = |b|.Desigualdad triangular. Si a y b son números reales cualesquiera, |a + b| ≤ |a| + |b|.Esta desigualdad es muy útil, como iremos viendo. La demostración es sencilla: según las propiedadesanteriores, −|a| ≤ a ≤ |a|, −|b| ≤ b ≤ |b|.Sumamos las desigualdades y resulta −|a| − |b| ≤ a + b ≤ |a| + |b|, es decir, −(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ (|a| + |b|).Usamos otra de las propiedades anteriores (|c| ≤ d ⇐⇒ −d ≤ c ≤ d, cambiando la notación) ydeducimos que |a + b| ≤ |a| + |b|.Desigualdad triangular inversa. Si a y b son números reales cualesquiera, |a| − |b| ≤ |a − b|.Esta desigualdad es consecuencia de la desigualdad triangular. En efecto: aplicando la desigualdadtriangular a los números b y a − b, resulta |a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b|,es decir, |a| − |b| ≤ |a − b|.Cambiando el papel de a y b, tenemos |b| − |a| ≤ |b − a| = |a − b|, es decir, −(|a| − |b|) ≤ |a − b|.De aquí se deduce que |a| − |b| ≤ |a − b|.
  • 14. 8 Capítulo 1. Números reales1.2.3. Conjuntos acotados en R. El axioma del supremo Dado un subconjunto S de R y un número real a, si a ≤ s para todo s ∈ S se dice que a es unacota inferior de S y que S está acotado inferiormente (por a). Si b es otro número real y b ≥ s paratodo s ∈ S, se dice que b es una cota superior de S y que S está acotado superiormente (por b). Si unconjunto S está acotado superior e inferiormente, se dice que está acotado. Un número real m se dice que es el mínimo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es unacota inferior. Es decir, si m ∈ S y m ≤ s para todo s ∈ S. Se escribe entonces m = m´n S. ı Un número real M se dice que es el máximo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es unacota superior. Es decir, si M ∈ S y M ≥ s para todo s ∈ S. En ese caso, se escribe M = m´ x S. a Un número real a se dice que es el ínfimo de un conjunto S si es la mayor cota inferior del S. Esdecir, si a ≤ s para todo s ∈ S y cada a > a no es cota inferior de S; de modo que se tendrá a > spara algún s ∈ S. En ese caso, se escribe a = ´nf S. ı Dicho de otra forma, el ínfimo de un conjunto es el máximo del conjunto de cotas inferiores delprimero. Nótese que si a = ´nf S, será a = m´n S si y solo si a ∈ S. ı ı Un número real b se dice que es el supremo de un conjunto S si es la menor cota superior del S.Es decir, si b ≥ s para todo s ∈ S y cada b < b no es cota superior de S; de modo que se tendrá b < spara algún s ∈ S. Se escribe b = sup S. Dicho de otra forma, el supremo de un conjunto es el mínimo del conjunto de cotas superiores delprimero. Nótese que si b = sup S, será b = m´ x S si y solo si a ∈ S. a El axioma del supremo, o axioma de completitud de R, es la siguiente propiedad que caracterizala diferencia entre Q y R: • Todo subconjunto no vacío de R acotado superiormente tiene supremo.La propiedad simétrica (todo subconjunto no vacío de R acotado inferiormente tiene ínfimo) es con-secuencia de lo anterior.1.2.4. Propiedad arquimediana de R: consecuenciasTeorema 1.2.2 (propiedad arquimediana de R). Dados dos números reales a, b, con a > 0, existealgún número natural n tal que na > b.Demostración. Sean a, b ∈ R, con a > 0. Razonemos por reducción al absurdo: supongamos que la te-sis no es cierta, es decir, na ≤ b para todo número natural n, y veamos que se llega a una contradicción.En tal caso, el conjunto S = {na : n ∈ N}, que no es vacío, estaría acotado superiormente (por b), luegopor el axioma del supremo tendría supremo. Sea s este supremo, es decir, s = sup S = sup{na : n ∈ N}.Puesto que a > 0, s − a < s; según la definición de supremo, s − a ya no puede ser cota superior delconjunto S, de modo que existirá algún elemento en S estrictamente mayor que s − a. Dicho elementoserá de la forma ma con m ∈ N, y así s − a < ma. Pero esto implica que s < ma + a = (m + 1)a yobviamente (m + 1)a ∈ S, con lo cual s no es una cota superior de S. Hemos llegado a una contradic-ción. Aplicada al caso particular a = 1, la propiedad arquimediana muestra que el conjunto N de losnúmeros naturales no está acotado superiormente por ningún número real. Como consecuencia de la propiedad arquimediana se puede probar que todo número real estácomprendido entre dos enteros consecutivos.
  • 15. 1.2. Ordenación de los números reales 9Teorema 1.2.3 (parte entera de un número real). Dado x ∈ R, existe un número entero (y uno solo),que suele denotarse con [x], tal que [x] ≤ x < [x] + 1.El número [x] se llama la parte entera de x.Demostración. La desigualdad del enunciado equivale a decir que [x] es el mayor número entero quees menor o igual que x. Para probar que existe, podemos utilizar uno cualquiera de los siguientescaminos: Primer camino. Comenzamos por observar que todo conjunto no vacío de números enteros aco-tado superiormente tiene un elemento máximo, como se deduce del principio de buena ordenación delos conjuntos minorados sin más que tomar opuestos. Pero el conjunto S = {n ∈ Z : n ≤ x}es no vacío, pues por la propiedad arquimediana existe n ∈ N tal que n > −x y así −n < x, luego−n ∈ S; además, S está acotado superiormente (por x o por cualquier número natural superior a x, sino queremos salirnos de Z). Por lo tanto, S tiene un elemento máximo, llamémosle m. Como m ∈ S, setendrá m ≤ x. Y como m es el máximo de S y m < m + 1, se deduce que m + 1 ∈ S, es decir, x < m + 1. / Segundo camino. Utilizamos que todos los números naturales son mayores o iguales que 1 (de-mostrarlo por inducción) y que los números naturales son justamente los enteros positivos. Llamandonuevamente S al conjunto de enteros menores o iguales que x, S es no vacío por el argumento anteriory está acotado superiormente por x; aplicando el axioma del supremo, S tiene un supremo, al quevamos a llamar s. Como s − 1 ya no es cota superior de S, por ser estrictemente menor que s, existirám ∈ S tal que s − 1 < m ≤ s. Pero m también es cota superior de S, dado que si algún n ∈ S verificasen > m obtendríamos m < n ≤ s < m + 1, de donde 0 < n − m < 1, y n − m sería un entero positivomenor que 1, imposible. Por tanto vemos que hay un elemento de S que es cota superior de S, es decir,que es el máximo de S, y como antes deberá cumplir m ≤ x < m + 1. La propiedad arquimediana permite también deducir cómo están distribuidos en R los númerosracionales.Teorema 1.2.4 (densidad de Q en R). Dados dos números reales a, b, con a < b, existe algún númeroracional r tal que a < r < b.Observación. Si existe tal r, podrá escribirse en la forma r = m/n con m ∈ Z y n ∈ N, de modo quetenemos que encontrar m ∈ Z y n ∈ N tales que a < m/n < b o, lo que es lo mismo, na < m < nb. Esintuitivamente claro, pensando en la representación gráfica de R, que entre dos números a distanciamayor que 1 siempre se puede incluir un número entero (suponiendo los dos números positivos, porejemplo, superponiendo el segmento unidad consigo mismo hacia la derecha, la primera vez quesobrepasemos el número más cercano al origen, no habremos sobrepasado el otro número). Esta es laidea que vamos a tratar de utilizar.Demostración. La propiedad arquimediana aplicada a b − a > 0 y a 1 nos asegura la existencia de unn ∈ N tal que n(b − a) > 1, con lo cual nb > na + 1. Sea ahora S = {p ∈ Z : p > na}. Este es un conjunto no vacío (¿por qué?) de números enterosacotado inferiormente en Z (¿por qué?); por lo tanto, posee un elemento mínimo. Llamando m = m´n S, ıpuesto que m ∈ S es m > na; y como es el mínimo de S, m − 1 no puede estar en S, lo que significa quem − 1 ≤ na. Pero entonces m ≤ na + 1 < nb; así pues, na < m < nb y finalmente a < m/n < b.
  • 16. 10 Capítulo 1. Números reales1.2.5. Números irracionales Los números reales que no son racionales se llaman números irracionales. Veamos que existennúmeros irracionales. Ya sabemos que no hay ningún número racional cuyo cuadrado es 2, así quevamos a probar que sí hay un número real positivo cuyo cuadrado es 2. Este número tendrá que serirracional. Consideremos el conjunto S = {x ∈ R : x ≥ 0, x2 ≤ 2}. Este es un conjunto no vacío de númerosreales (por ejemplo, 1 ∈ S). Y está acotado superiormente, ya que si x ∈ S, x 2 ≤ 2 < 4 = 22 ,de donde se deduce que x ≤ 2. Es decir, 2 es una cota superior de S. Luego el conjunto S tiene supremo. Sea v = sup S; como 1 ∈ S, v ≥ 1 > 0. Comprobemos que no puede ser v2 > 2 ni v2 < 2. Si v2 > 2, entonces tomando h = m´n{v, (v2 − 2)/2v} se tendría h > 0, v − h ≥ 0 y ı (v − h)2 = v2 − 2vh + h2 > v2 − 2vh ≥ v2 − (v2 − 2) = 2 ≥ x2 ,para todo x ∈ S, de donde v − h ≥ x. Pero v − h no puede ser cota superior del conjunto S porque esmenor que su supremo. Si v2 < 2, entonces tomando h = m´n{v, (2 − v2 )/3v} se tendría h > 0, v + h > 0 y ı (v + h)2 = v2 + 2vh + h2 ≤ v2 + 2vh + vh = v2 + 3vh ≤ v2 + (2 − v2 ) = 2,o sea, v + h ∈ S. Pero esto no puede ser, porque v + h > v y en cambio para todo x ∈ S se tiene x ≤ v. Queda así como única posibilidad v2 = 2. Este número positivo cuyo cuadrado es 2 se representa √por 2.Teorema 1.2.5 (densidad de R Q en R). Dados dos números reales a, b, con a < b, existe algúnnúmero irracional x tal que a < x < b.Demostración. Sea y ∈ R Q cualquiera (ya hemos visto que existe alguno). Puesto que a − y < b − y,según el teorema 1.2.4 existe algún r ∈ Q tal que a − y < r < b − y, de donde a < r + y < b. Por último,r + y es un número irracional, ya que si fuera racional se tendría y = (r + y) + (−r) ∈ Q.1.2.6. Intervalos en R Reciben el nombre de intervalos los subconjuntos de R definidos del siguiente modo (a, b sonnúmeros reales cualesquiera): • intervalo acotado y abierto: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}; • intervalo acotado, cerrado por la izquierda y abierto por la derecha: [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}; • intervalo acotado, abierto por la izquierda y cerrado por la derecha: (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}; • intervalo acotado y cerrado: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}; • intervalo abierto, acotado inferiormente pero no superiormente: (a, +∞) = {x ∈ R : x > a}; • intervalo cerrado, acotado inferiormente pero no superiormente: [a, +∞) = {x ∈ R : x ≥ a}; • intervalo abierto, acotado superiormente pero no inferiormente: (−∞, b) = {x ∈ R : x < b};
  • 17. 1.3. Apéndice: expresión decimal de un número real 11 • intervalo cerrado, acotado superiormente pero no inferiormente: (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}; • intervalo no acotado inferior ni superiormente: (−∞, +∞) = R.Nótese que si a > b, (a, b) = 0, de modo que el conjunto vacío es un intervalo. / Los intervalos de R se caracterizan por la propiedad de los valores intermedios:Proposición 1.2.6 (caracterización de los intervalos reales). Un subconjunto I de R es un intervalosi y solo si dados x, y ∈ I, cada z ∈ R tal que x ≤ z ≤ y también pertenece a I (dicho de otro modo:con cada dos valores están también todos los intermedios).Demostración. Para probar la implicación directa basta un examen de todos los casos. Por ejemplo,si I = (a, b), x, y ∈ I, y z ∈ R es tal que x ≤ z ≤ y, se tiene a < x ≤ z ≤ y < b, luego a < z < b y pordefinición z ∈ I. La implicación inversa es trivial en el caso de que I = 0. Suponemos, pues, I = 0. Pueden presen- / /tarse las siguientes situaciones: a) I es acotado; b) I es acotado superiormente pero no inferiormente;c) I es acotado inferiormente pero no superiormente; d) I no es acotado superior ni inferiormente.Veamos cada una de ellas. a) I es acotado. Sea a = ´nf I, b = sup I. Obviamente entonces (a, b) ⊆ I ⊆ [a, b], pues c ∈ ı(a, b) ⇐⇒ a < c < b, y por definición de supremo e ínfimo existirán un x ∈ I con x < c y un y ∈ Icon c < y, luego c ∈ I; por otra parte, también por definición de supremo e ínfimo, de x ∈ I se siguea ≤ x ≤ b, o sea, x ∈ [a, b]. Ahora, • si a, b ∈ I, [a, b] = (a, b) ∪ {a, b} ⊆ I ⊆ [a, b], luego I = [a, b]; • si a ∈ I, b ∈ I, [a, b) = (a, b) ∪ {a} ⊆ I ⊆ [a, b] {b} = [a, b), luego I = [a, b); • si a ∈ I, b ∈ I, (a, b] = (a, b) ∪ {b} ⊆ I ⊆ [a, b] {a} = (a, b], luego I = (a, b]; • si a ∈ I, b ∈ I, (a, b) ⊆ I ⊆ [a, b] {a, b} = (a, b), luego I = (a, b). b) I es acotado superiormente pero no inferiormente. Sea a = sup I, con lo que (−∞, a) ⊆ I ⊆(−∞, a], pues para cada z ∈ I es z ≤ a y dado z < a, existe y ∈ I con z < y (por definición de supremo)y existe x ∈ I con x < z (I no está acotado inferiormente), que con la hipótesis del enunciado da z ∈ I.En consecuencia, • si a ∈ I, (−∞, a] = (−∞, a) ∪ {a} ⊆ I ⊆ (−∞, a], luego I = (−∞, a]; • si a ∈ I, (−∞, a) ⊆ I ⊆ (−∞, a] {a} = (−∞, a), luego I = (−∞, a). /Los restantes casos se analizan de forma análoga: en c) se obtiene I = (a, +∞) o I = [a, +∞), dondea = ´nf I, y en d) queda I = R. ı1.3. Apéndice: expresión decimal de un número real En esta exposición seguimos esencialmente la que puede verse en [A POSTOL 2, págs. 13–15]. Los números reales de la forma a1 a2 an a0 + + 2 + · · · + n , 10 10 10donde a0 es un número entero no negativo y a1 , . . . , an son enteros que satisfacen 0 ≤ a j ≤ 9, seexpresan normalmente de la forma a0 , a1 a2 . . . an . Esta expresión se llama representación decimalfinita. Estos números son racionales, pero no todo número racional tiene una representación decimalfinita (véase [A POSTOL 2, págs. 13–14]).
  • 18. 12 Capítulo 1. Números realesProposición 1.3.1 (aproximaciones decimales finitas de los números reales). Dado un número realx ≥ 0, para todo n ∈ N existe un decimal finito rn = a0 , a1 a2 . . . an tal que 1 rn ≤ x < rn + . 10nEn consecuencia, x = sup{rn : n ∈ N}.Demostración. Para construir los rn basta tomar a0 = [x], ak = [10k x] − 10[10k−1 x], 1 ≤ k ≤ n (verdetalles en [A POSTOL 2, págs. 14–15]). Por otra parte, x es cota superior de {rn : n ∈ N} por construcción, y es la menor de las cotas 1superiores porque si y < x es posible encontrar un n ∈ N de manera que 10n > (¿por qué?) y x−ypara este n es rn > y (¿por qué?). Que x es el supremo del conjunto {rn : n ∈ N} suele expresarse poniendo x = a0 , a1 a2 . . . an . . .y se dice entonces que a0 , a1 a2 . . . an . . . es una representación decimal infinita de x. En ciertos ca-sos, es posible obtener el mismo supremo para dos representaciones decimales infinitas distintas,ver [A POSTOL 2, pág. 15]. Para x = 0, suele tomarse como representación decimal 0, 00 . . . 0 . . .; y para x < 0, se parte de unarepresentación decimal de −x y se coloca un signo − delante. Hay una presentación más geométrica y computacional en [L AX, sec. 1.3]. Si en lugar de potencias de 10 se utilizan potencias de 2, se obtiene la representación binariade los números reales; la representación hexadecimal resulta al tomar potencias de 16. Ambas sonmuy importantes (especialmente la primera) en relación con los ordenadores. Pueden verse detallesen [A BELLANAS -G ALINDO, cap. 3] y [BARTLE -S HERBERT, pág. 73 y sigs.].1.4. EjerciciosEjercicio 1.1. Sea x ∈ R. Demostrar que si |x| ≤ ε para todo ε > 0, entonces x = 0. ¿Qué númerosreales x cumplen que x ≤ ε para todo ε > 0?Ejercicio 1.2. Decir si cada una de las siguientes expresiones es cierta o falsa: 30 30 100 a) ∑ j4 = ∑ j4 b) ∑ 2 = 200 j=1 j=0 j=0 20 20 100 100 2 c) ∑ (2 + j2 ) = 2 + ∑ j2 d) ∑ k2 = ∑k j=1 j=1 k=1 k=1Ejercicio 1.3. Expresar con notación de sumatorio: 1 1 1 1 a) + + +···+ b) 1 + 40 + 900 + 16 000 + 250 000 + 3 600 000 1·2 2·3 3·4 10 · 11 c) 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + 5x4 d) a5 + a4 b + a3 b2 + a2 b3 + ab4 + b5 e) a5 − a4 b + a3 b2 − a2 b3 + ab4 − b5 f) a0 x4 + a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4
  • 19. 1.4. Ejercicios 13 1 1 1 n 1Ejercicio 1.4. Sabiendo que = − , hallar la suma de ∑ . j( j + 1) j j+1 j=1 j( j + 1)Ejercicio 1.5. Hallar las sumas siguientes (n ∈ N): n a) ∑ (2 j − 1) (usar la igualdad j2 − ( j − 1)2 = 2 j − 1, j ∈ N). j=1 n b) ∑ j (apoyarse en a)). j=1Ejercicio 1.6. Probar que xn −yn = (x−y)(xn−1 +xn−2 y+· · ·+xyn−2 +yn−1 ) para cada n ∈ N, x, y ∈ R.Escribir el segundo miembro con notación de sumatorio. Esta expresión recibe el nombre de fórmulao ecuación ciclotómiica. nEjercicio 1.7. Deducir de la ecuación ciclotómica la suma de ∑ x j , x = 1. Hacer operaciones en la j=0 n n nexpresión (1 − x) ∑ jx j para deducir la suma de ∑ jx j , x = 1. Análogamente en (1 − x) ∑ j2 x j para j=1 j=1 j=1 ndeducir la suma de ∑ j2 x j , x = 1. j=1Ejercicio 1.8. Demostrar por inducción las propiedades siguientes (n ∈ N): n n(n + 1)(2n + 1) n k+4 n(3n + 7) a) ∑ k2 = b) ∑ = . k=1 6 k=1 k(k + 1)(k + 2) 2(n + 1)(n + 2) 2 n n(n + 1) n a(rn − 1) c) ∑ k3 = . d) ∑ ar j−1 = (r = 1). k=1 2 j=1 r−1 n 1 √ 2n 1 (−1)k+1 e) ∑ √ ≥ n. f) ∑ = ∑2n k=1 . k=1 k k=n+1 k kEjercicio 1.9. Deducir de las ecuaciones 1=1 1 − 4 = −(1 + 2) 1−4+9 = 1+2+3 1 − 4 + 9 − 16 = −(1 + 2 + 3 + 4)una fórmula general sencilla que incluya las anteriores como casos particulares, y demostrarla me-diante el principio de inducción.Ejercicio 1.10. Probar la fórmula del binomio de Newton: para cada x, y ∈ R y cada n ∈ N, n n j n− j (x + y)n = ∑ xy . j=0 jDeducir de ella que: n n a) 1 + n + +···+ + 1 = 2n ; 2 n−1 n n b) 1 − n + + · · · + (−1)n−1 + (−1)n = 0. 2 n−1
  • 20. 14 Capítulo 1. Números realesEjercicio 1.11. Demostrar que si un conjunto A de números naturales contiene a n0 y además cumplen ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, entonces A contiene a {n ∈ N : n ≥ n0 }. ¿Puede asegurarse siempre la igualdad deestos conjuntos?Ejercicio 1.12. Demostrar que 72n+1 − 48n − 7 (n ∈ N) es divisible por 48.Ejercicio 1.13. Demostrar que 22n + 15n − 1 (n ∈ N) es múltiplo de 9.Ejercicio 1.14. Desigualdad de Bernoulli: probar que para todo x > −1 y todo n ∈ N se verifica(1 + x)n ≥ 1 + nx.Ejercicio 1.15. Probar las siguientes desigualdades para n ∈ N: a) n! > 2n−1 (n ≥ 3) b) (2n)! < 22n (n!)2 √ √ c) n+ n−1+···+ 2+ 1 < n+1 nEjercicio 1.16. Sean x, y > 0 y para cada k, n ∈ N, sea αk,n = ∑ jk n j x j yn− j . j=0 a) Probar, mediante la fórmula del binomio de Newton, que α1,n = nx(x + y)n−1 . n b) Hallar α2,n . Sugerencia: calcular antes β2,n = ∑ j( j − 1) n j x j yn− j . j=0 c) Obtener un procedimiento para calcular αk,n para cualesquiera k, n ∈ N.Ejercicio 1.17. Desigualdad de Cauchy-Schwartz: probar que si x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ R, entonces 2 n n n ∑ x jy j ≤ ∑ x2j ∑ y2j . j=1 j=1 j=1Deducir que, si a2 + b2 = c2 + d 2 = 1, entonces |ac + bd| ≤ 1. n (2n + 1)2Ejercicio 1.18. Sea P(n) la propiedad ∑ k = . k=1 8 a) Probar que si P(n) es cierta, entonces P(n + 1) es cierta. b) Discutir la afirmación: se deduce por inducción que P(n) es cierta para todo n ∈ N.Ejercicio 1.19. Decidir para qué números naturales n es cierta la desigualdad 2n > n2 . Demostrarlopor inducción.Ejercicio 1.20. Comparar nn+1 y (n + 1)n para n ∈ N, y enunciar y demostrar qué desigualdad severifica entre ambos números.Ejercicio 1.21. Probar por inducción que si a1 , a2 , . . . , an son números reales positivos tales quea1 a2 . . . an = 1, entonces a1 + a2 + · · · + an ≥ n. Deducir de aquí que si x1 , x2 , . . . , xn son númerosreales no negativos cualesquiera, entonces x1 + x2 + · · · + xn √ ≥ n x1 x2 . . . xn , nes decir, su media aritmética es siempre mayor o igual que su media geométrica.
  • 21. 1.4. Ejercicios 15 n 1Ejercicio 1.22. Probar que para todo número natural n es 1 + < 3. nEjercicio 1.23. Demostrar que el cardinal del conjunto de las partes de un conjunto que tiene nelementos es 2n .Ejercicio 1.24. Hallar las soluciones de las desigualdades siguientes: 1 x a) 2x2 + 9x + 6 ≥ x + 2 b) x + < 1 c) <0 x x+5 3x2 − 1 2x − 1 2x2 + 9x + 6 d) >0 e) ≤1 f) ≥1 1 + x2 3x + 2 x+2 x2 − 4x + 4 x−1 3x + 2 g) >0 h) ≤ 1 + x3 3x + 4 xEjercicio 1.25. Resolver las ecuaciones: x−1 x−1 a) |x2 − 5x + 6| = −(x2 − 5x + 6) b) = x+1 x+1 c) |(x2 + 4x + 9) + (2x − 3)| = |x2 + 4x + 9| + |2x − 3| d) |x − 1| |x + 1| = 0 e) |x − 1| |x + 2| = 3Ejercicio 1.26. Resolver las siguientes desigualdades: a) |x − 1| + |x + 1| < 1 b) |x − 5| < |x + 1| c) |3x − 5| < 3 d) |x2 − 1| < 1 e) |x2 − x + 1| > 1 f) 1 < |x − 1 | < 2 2 g) x − |x| > 2 h) |x2 − x| + x > 1 i) x + |x − 1| < 2 1 |x3 −1| j) 1+|x−1| < |x − 2| k) −1 ≤ x−1 ≤2Ejercicio 1.27. Estudiar para qué números reales x se cumple: |x| + 1 −2|x| + 1 a) <1 y < 1 b) 2x − |2x − 1| = −5x x xEjercicio 1.28. Calcular el supremo y el ínfimo, si existen, de los siguientes conjuntos, indicando sison máximo o mínimo respectivamente: a) { 1 : n ∈ N} ∪ {0} n b) { 2n+1 : n ∈ N} n √ c) {n ± 1 : n ∈ N} n d) {x ∈ Q : |x| < 2} ∪ {x ∈ Q : 1 x−5 > 7} e) { 1 + (−1)n : n ∈ N} n f) ∞ n=1 {x ∈ R : n2 x2 − n(3n − 1)x + (2n2 − 3n − 2) = 0} {(−1)n n +1 : n ∈ N} 2 g) { 1 : n ∈ N} n h) n+1 i) {x ∈ R : x2 + x − 1 < 0} j) {x ∈ R : x < 0, x2 + x − 1 < 0} k) {x ∈ R : x2 + x + 1 ≥ 0} l) ∞ n=1 −1, 1 n n m) ∞ n=1 −1, 1 n n n) ∞ 1 1 n=1 2n , 2n−1
  • 22. 16 Capítulo 1. Números realesEjercicio 1.29. Sean A un conjunto, s = sup A y ε > 0. ¿Se puede asegurar que existe algún a ∈ Atal que s − ε < a < s? En caso afirmativo, demostrarlo. En caso negativo, dar un contraejemplo ymodificar las desigualdades anteriores para que sea cierto.Ejercicio 1.30. Sean A y B dos conjuntos no vacíos, acotados, de números reales. a) Demostrar que si A ⊆ B, entonces sup A ≤ sup B, ´nf A ≥ ´nf B. ı ı b) Probar que si x ≤ y para todos los x ∈ A, y ∈ B, entonces sup A ≤ y para todo y ∈ B; x ≤ ´nf B para todo x ∈ A ı y por lo tanto sup A ≤ ´nf B. ı c) Demostrar que si sup A < ´nf B, entonces que a < b para todos los a ∈ A, b ∈ B. Justificar si es ı cierto el recíproco.Ejercicio 1.31. a) Sean A y B dos conjuntos acotados de números reales. Definimos el conjunto A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}. Demostrar que sup(A + B) = sup A + sup B, ´nf(A + B) = ´nf A + ´nf B. ı ı ı b) Sean A = {x1 , x2 , . . . , xn } ⊆ R, B = {y1 , y2 , . . . , yn } ⊆ R, y consideremos el conjunto C = {x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn }. Demostrar que supC ≤ sup A + sup B, ´nfC ≥ ´nf A + ´nf B. ı ı ı Dar algún ejemplo que muestre que las desigualdades pueden ser estrictas.
  • 23. Capítulo 2Funciones reales de una variable real.Generalidades2.1. Primeros conceptos2.1.1. Funciones. Clases particulares de funciones Recordemos que una aplicación f : A → B se define en términos conjuntistas como una terna(A, B, G f ), donde A, B son conjuntos dados, llamados respectivamente el dominio y el codominioo conjunto final de f , y G f , denominado gráfico o gráfica de f , es un subconjunto del productocartesiano A × B tal que para todo x ∈ A existe un elemento único y ∈ B de modo que (x, y) ∈ G f (eseelemento y unívocamente asociado a x suele denotarse por f (x) y se llama valor de la aplicación fen el punto x o imagen de x por f ).Definición 2.1.1. Una función real de variable real es una aplicación f : A → B con A, B ⊆ R. Informalmente, dar una función f supone dar: a) su dominio de definición A = dom f ; b) su codominio B (al que habitualmente prestaremos menor atención en este curso); c) una regla de correspondencia o regla de definición que permita asignar inequívocamente a cada elemento x de A, sin excepción, un elemento f (x) de B perfectamente determinado por x y f.Cambiar una cualquiera de estas tres cosas (el dominio, el conjunto final o la regla de definición) haceque la función cambie. Por ejemplo, si tenemos una función f : A → B y consideramos un subconjuntoS de A, la restricción de f a S es la función f |S : S → B tal que f |S (x) = f (x) para cada x ∈ S, queno es la misma función f (se ha cambiado el dominio), aunque venga dada por la misma regla decorrespondencia (a cada x de S, la restricción f |S hace corresponder el mismo valor que f ). En la práctica raras veces se muestra una función como una terna, tal como requeriría su definiciónformal: lo habitual es especificar su dominio y la regla que permite determinar el valor de la funciónen cada elemento del dominio (ver los comentarios de [BARTLE -S HERBERT, sec. 1.2, págs. 22–25]). Encuanto al conjunto final de una función, cuando no se mencione explícitamente se sobrentenderá quedicho conjunto es R. 17
  • 24. 18 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades Suele chocar al principiante que a veces la regla de definición de una función aparece divididaen varias subreglas parciales (expresadas habitualmente mediante fórmulas), tendiendo a interpretarincorrectamente que se han definido tantas funciones como subreglas se enuncien. Por ejemplo, lafunción f : R → R tal que x, si x ≥ 0; f (x) = −x, si x < 0,es una sola función, la función valor absoluto, y no dos funciones, aunque sus valores coincidan enparte de su dominio (no en todo) con los que toman las dos funciones distintas g : x ∈ R → g(x) = x ∈ Ry h : x ∈ R → h(x) = −x ∈ R. Dada una función f , emplearemos la expresión « f está definida en S» como sinónimo de que S esun subconjunto de dom f . El dominio de f es, en este sentido, el mayor subconjunto de R en el que festá definida.Definición 2.1.2. Sea f una función con dominio A y sean S ⊆ A, T ⊆ R. Llamamos conjunto imagende S por f al conjunto f (S) = { f (x) : x ∈ S},y conjunto antiimagen de T por f al conjunto f −1 (T ) = {x : f (x) ∈ T },que será un subconjunto (eventualmente vacío) de A. El conjunto imagen del dominio de f suele denominarse, simplemente, conjunto imagen de f orango de f , y se denota a veces im f o rang f ; por tanto, se tiene im f = f (dom f ) = { f (x) : x ∈ dom f }. Una función f se dice inyectiva si elementos distintos de su dominio tienen siempre imágenesdistintas: es decir, si dados x, y ∈ dom f , de x = y se sigue f (x) = f (y); o, equivalentemente, si dadosx, y ∈ dom f , de f (x) = f (y) se sigue x = y. Una función f : A → B se dice suprayectiva si f (A) = B, o sea, si el conjunto final y el conjuntoimagen de f coinciden; dicho de otra forma, si cada elemento de B es imagen de algún (o algunos)elemento(s) de A. Una función se dice biyectiva si es simultáneamente inyectiva y suprayectiva.Ejemplos. La función identidad id : x ∈ R → id(x) = x ∈ R es trivialmente biyectiva. La función parteentera, que asocia a cada x ∈ R su parte entera (vista como aplicación de R en R) no es inyectiva nisuprayectiva.Definición 2.1.3 (función inversa). Dada una función inyectiva f : A → B, se llama función inversade f a la función f −1 : f (A) → A tal que f −1 (y) = x si y solo si f (x) = y. En términos más formales, f −1 sería la función dada por la terna ( f (A), A, G f −1 ), donde G f −1 ={(y, x) : (x, y) ∈ G f }, y G f es, por supuesto, la gráfica de f . Para ser rigurosos, deberíamos compro-bar que tal terna define efectivamente una función; esto es una consecuencia inmediata de que f esinyectiva. En muchos textos aparece definida la función inversa solamente para funciones biyectivas. Sinembargo, la práctica usual en análisis matemático recomienda ampliar la definición a todas las funcio-nes inyectivas, como acabamos de hacerlo. Obsérvese que, en cualquier caso, lo que hemos definido
  • 25. 2.1. Primeros conceptos 19sería la función inversa de la función biyectiva f˜ : A → f (A) tal que f˜(x) = f (x), que, recordémoslo,salvo cuando f es además suprayectiva, es otra función —la biyección asociada a f — pues cambia elconjunto final.Observación. Dada una función inyectiva f : A → B, una función g es la inversa de f si y solo sig : f (A) → A y g( f (x)) = x para todo x ∈ A, f (g(y)) = y para todo y ∈ f (A).Representación gráfica de una función. Dada una función f , para cada x ∈ dom f el par ordenadode números reales (x, f (x)) puede interpretarse como coordenadas de un punto del plano respecto deun sistema de coordenadas cartesianas, de modo que la gráfica de f , es decir, {(x, f (x)) : x ∈ dom f },vendrá representada por un subconjunto del plano, que da la representación gráfica de la función f .Observar esta representación puede proporcionar a veces información interesante sobre f , por lo quemás adelante nos ocuparemos con detalle de la representación gráfica de funciones. El lector puede examinar cómo se refleja en su representación gráfica que una función es inyectivao suprayectiva, y qué relación hay entre las representaciones gráficas de una función inyectiva y la desu inversa.Tabulación de funciones. Cuando el dominio de una función es finito (y con un número no dema-siado elevado de elementos) es a menudo útil describir la función escribiendo en forma de tabla losvalores del dominio y a su lado, correlativamente, los valores de la función en cada uno de ellos. Así,por ejemplo, suele procederse en la recogida de datos experimentales, cuando se estudian dos magni-tudes de las cuales una depende de la otra y, de hecho, las tablas de correspondencias entre númeroso magnitudes son históricamente muy anteriores a la idea misma de función. También se procede a la tabulación de funciones aunque el dominio no sea finito, reflejando ental caso, por descontado, tan solo una parte finita del mismo. Cabe señalar que en la mayoría delas tablas de funciones que se usan en las ciencias, los valores de la función que aparecen en lastablas no son, por razones obvias, valores exactos, sino valores aproximados con un error que esnecesario controlar para poder utilizarlas adecuadamente. Existe una extensa bibliografía de libros detablas de funciones, sustituidos casi totalmente en la actualidad por los ordenadores e incluso por lascalculadoras científicas de bolsillo. Sin embargo, es muy conveniente conocer al menos uno de ellos,como [S PIEGEL -A BELLANAS]. Veamos ahora algunas clases particulares de funciones que aparecerán frecuentemente a lo largode todo el curso.Definición 2.1.4. Una función f se dice monótona no creciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom fcon x < y, es f (x) ≥ f (y). Una función f se dice monótona no decreciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom f con x < y,es f (x) ≤ f (y). Una función f se dice monótona estrictamente creciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom f conx < y, es f (x) < f (y). Una función f se dice monótona estrictamente decreciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom fcon x < y, es f (x) > f (y). Una función monótona es una función de uno cualquiera de los tipos anteriores. Por brevedad, siS ⊆ dom f , se dice que f es monótona en S si la restricción f |S es monótona.
  • 26. 20 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades Función monótona no creciente Función estrictamente creciente Esta nomenclatura puede variar de unos textos a otros: por ejemplo, algunos autores llaman fun-ciones crecientes a las que nosotros denominamos monótonas no decrecientes, mientras que otrosutilizan el nombre de funciones crecientes para las que hemos definido como monótonas estrictamen-te crecientes. Hemos elegido por ello los nombres que nos parecen menos ambiguos para cada uno delos tipos considerados.Observación. La monotonía no es una propiedad puntual de la función, sino que es una propiedadglobal. Esto significa que solo tiene sentido decir que una función es monótona en un determinadoconjunto, no que es monótona en un punto del conjunto. La expresión función monótona en un puntocarece de significado.Ejemplo. Probar que la función f : R {0} → R definida mediante f (x) = 1/x es estrictamentedecreciente en (−∞, 0) y en (0, +∞). Pero no es estrictamente decreciente en R {0}, porque −1 < 1y sin embargo f (−1) < f (1). En general, dados dos conjuntos A, B ⊆ R y una función f : A ∪ B → R, si f es estrictamentedecreciente en A∪B, puede asegurarse que f es estrictamente decreciente en A y que f es estrictamentedecreciente en B. Pero si f es estrictamente decreciente tanto en A como en B, no puede asegurarse quef sea estrictamente decreciente en A ∪ B. Lo mismo puede decirse con los demás tipos de monotonía.Definición 2.1.5. Se dice que una función f está acotada superiormente si su conjunto imagen estáacotado superiormente. En otras palabras, si existe un número fijo M ∈ R tal que, simultáneamentepara todos los x ∈ dom f , se tiene f (x) ≤ M (por comodidad, suele decirse entonces que f estáacotada superiormente por M o que M es una cota superior de f , en lugar de decir que el conjuntoimagen de f está acotado superiormente por M o que M es una cota superior de dicho conjunto). Enteramente análoga es la definición de función acotada inferiormente. Por último, una función acotada es aquella que está acotada superior e inferiormente, es decir,aquella cuyo conjunto imagen está acotado, de manera que existen constantes m, M ∈ R tales quepara cada x ∈ dom f se tiene m ≤ f (x) ≤ M; equivalentemente, f está acotada si y solo si existe unK ∈ R tal que | f (x)| ≤ K para todo x ∈ dom f . El estudio de una función se simplifica cuando posee algún tipo de repetición. Concretamos estaidea en las siguientes definiciones.
  • 27. 2.1. Primeros conceptos 21Definición 2.1.6. Sea f una función definida en R. Se dice que f es a) par si para cada x ∈ R se cumple f (−x) = f (x) (su gráfica es entonces simétrica respecto del eje de ordenadas); b) impar si para cada x ∈ R se cumple f (−x) = − f (x) (su gráfica es entonces simétrica respecto del origen de coordenadas); c) periódica de periodo T (T ∈ R {0}) si para cada x ∈ R se cumple f (x + T ) = f (x) (su gráfica puede obtenerse entonces por traslación reiterada de la gráfica en cualquier intervalo de longitud |T |). Función par Función imparObservación. Toda función f : R → R puede escribirse, además de manera única, como suma de unafunción par (su componente par) y una función impar (su componente impar). Concretamente, lascomponentes par e impar son f (x) + f (−x) fP (x) = , 2 f (x) − f (−x) fI (x) = . 2Es inmediato comprobar que fP es par, fI es impar y f = fP + fI . Para ver que la descomposición esúnica, supongamos que f = g + h, con g par h impar. Entonces, f (x) + f (−x) [g(x) + h(x)] + [g(−x) + h(−x)] g(x) + h(x) + g(x) − h(x) fP (x) = = = = g(x) 2 2 2y de la misma manera se comprueba que fI = h. Nótese que la definición de función par y de función impar puede ampliarse de manera obvia afunciones f cuyo dominio sea simétrico (respecto al origen de coordenadas), es decir, tal que −x ∈dom f siempre que x ∈ dom f . Función periódica
  • 28. 22 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades2.1.2. Operaciones con funciones Dadas dos funciones f y g, podemos construir a partir de ellas nuevas funciones de diferentesmaneras. Para nosotros, las más útiles son las que a continuación exponemos.Definición 2.1.7. La composición de f y g, denotada g ◦ f , es la función con dominio dom(g ◦ f ) = f −1 (dom g)dada por (g ◦ f )(x) = g ( f (x))para cada x ∈ dom(g ◦ f ) (obsérvese que tales x son justamente aquellos para los que g ( f (x)) tienesentido).Definición 2.1.8. La suma de f y g, denotada f + g, es la función con dominio dom( f + g) = dom f ∩ dom gdada por ( f + g)(x) = f (x) + g(x)para cada x ∈ dom( f + g) (obsérvese que tales x son justamente aquellos para los que f (x) + g(x)tiene sentido). Totalmente similar es la definición de la diferencia f − g y del producto f g de f y g.Definición 2.1.9. El cociente de f y g, es la función f /g con dominio dom( f /g) = (dom f ∩ dom g) g−1 (0)dada por f (x) ( f /g)(x) = g(x)para cada x ∈ dom( f /g) (obsérvese una vez más que tales x son exactamente aquellos para los quef (x)/g(x) tiene sentido). En algunos textos, se da el nombre de dominios naturales a los dominios anteriormente definidos.Ejemplo. Consideremos las funciones f , g : R → R dadas por f (x) = x2 − 1, g(x) = x + 1. Su cocientees la función f (x) x2 − 1 h(x) = = , g(x) x+1definida para x ∈ R −1. Observemos que h(x) = x − 1 en todo su dominio. Sin embargo, h no esexactamente la función x − 1, porque el dominio de esta función es R y el dominio de h es R −1.2.1.3. Ejemplos de funcionesSucesiones Son funciones cuyo dominio es el conjunto N de los números naturales. Desempeñan un destacadopapel en la elaboración de nuestra teoría, y a ellas dedicaremos específicamente el capítulo siguiente.
  • 29. 2.1. Primeros conceptos 23Funciones constantes Son las que asignan a todos los valores de su dominio un mismo valor fijo, es decir, aquellasfunciones f para las que existe un a ∈ R tal que f (x) = a para todos los x ∈ dom f . ¿Puede una función constante ser inyectiva, suprayectiva o biyectiva? ¿Cómo es su representacióngráfica? ¿Es monótona? ¿De qué tipo? ¿Es acotada? ¿Es par, impar, periódica?Función identidad Dado un conjunto A ⊆ R, la identidad en A es la función tal que f (x) = x para cada x ∈ A. ¿Es la identidad siempre inyectiva, suprayectiva o biyectiva? ¿Es monótona? ¿Es acotada? ¿Cómoes su representación gráfica? ¿Cuál es su inversa?Potencias de exponente entero Dado un número natural n, la función f : x ∈ R → xn ∈ R (producto de n funciones iguales a laidentidad) tiene distinto comportamiento según n sea par o impar. Para n = 2k − 1, k ∈ N, la funcióng : x ∈ R → x2k−1 ∈ R es estrictamente creciente y, por tanto, inyectiva. También es suprayectiva,aunque ahora no estamos todavía en condiciones de demostrarlo fácilmente. Sin embargo, la función h : x ∈ R → x2k ∈ R no es inyectiva (es una función par), aunque larestricción de h a [0, +∞) es estrictamente creciente (luego inyectiva), y tiene por imagen el conjunto[0, +∞), como justificaremos más adelante. La potencia de exponente 0 es la función constante con valor siempre igual a 1. Para exponentenegativo, n = −m con m ∈ N, se define 1 1 x ∈ R {0} → xn = = ∈ R. xm x−nRaíces Dado k ∈ N, se puede probar que la función g : x ∈ R → x2k−1 ∈ R es biyectiva. Por tanto, poseeuna función inversa f : R → R, denominada raíz (2k − 1)-ésima; su valor en un punto x ∈ R se denota √ √por 2k−1 x o x1/(2k−1) . De acuerdo con su definición, se tiene y = 2k−1 x si y solo si y2k−1 = x. Sin embargo, puesto que la función h : x ∈ R → x2k ∈ R no es inyectiva, no puede hablarse deraíz 2k-ésima en todo R. No obstante, la restricción de h a [0, +∞) es estrictamente creciente (luegoinyectiva), y tiene por imagen el conjunto [0, +∞): su inversa es la que llamamos función raíz 2k-ésima, de modo que dicha función tendrá ahora por dominio [0, +∞). Es decir, solo está definida en √un número real x si x ≥ 0: su valor en dicho punto se representa por 2k x o x1/(2k) excepto para el caso √ √k = 1 (raíz cuadrada), que se usa abreviadamente x. Nótese que siempre es x ≥ 0 y, en general, √ 2k x ≥ 0.Funciones polinómicas y funciones racionales Las funciones que pueden obtenerse mediante sumas y productos de funciones constantes y de laidentidad en R reciben el nombre de funciones polinómicas. Por tanto, f es una función polinómica(o polinomio) si y solo si existen a0 , a1 , . . . , an ∈ R tales que f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn
  • 30. 24 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidadespara cada x ∈ R (también suelen denominarse funciones polinómicas las restricciones de las anterioresa cualquier subconjunto de R.) Las funciones racionales son aquellas que pueden expresarse como cociente de dos funcionespolinómicas. Su dominio es todo R salvo un conjunto finito (quizás vacío): el conjunto de los ceros oraíces del denominador. Es habitual utilizar el mismo nombre para las restricciones de estas funcionesa subconjuntos cualesquiera.Funciones algebraicas Reciben este nombre las funciones tales que se pueden encontrar polinomios p0 , p1 , . . . , pn demanera que para todo x ∈ dom f se verifica p0 (x) + p1 (x) f (x) + · · · + pn (x) f (x)n = 0. Obsérvese que las raíces anteriormente definidas quedan dentro de esta clase.2.2. Funciones trascendentes Las funciones que vamos a describir ahora, aunque quedan como las anteriores dentro de las quesuelen denominarse genéricamente funciones elementales, y en buena parte son conocidas por ellector, requieren para su construcción técnicas de las que no disponemos todavía. No podemos, pues,definirlas, pero vamos a emplearlas admitiendo de momento que existen y tienen las propiedades queenunciamos.2.2.1. Funciones exponencial y logarítmicaFunción exponencial La función exponencial, exp : R → R,que construiremos más adelante, aparece en la descripción de los fenómenos en los que la variaciónde una magnitud es proporcional al valor de dicha magnitud. El número exp(1) se denota por e. Es irracional; más todavía, es trascendente, lo que significa queno existe ningún polinomio con coeficientes enteros que se anule en e. Sus primeras cifras decimalesson 2, 7182818284590452353602874713526624977572 . . .(sobre su historia, ver [M AOR]). En lugar de exp(x) suele escribirse ex .Proposición 2.2.1 (propiedades de la exponencial). a) e0 = 1. b) Para cada x ∈ R, 1 = e−x , ex y, en particular, ex = 0. c) Dados x, y ∈ R, ex+y = ex · ey .
  • 31. 2.2. Funciones trascendentes 25 d) Dados n ∈ N y x ∈ R, n enx = ex · · ·ex . e) Para cada x ∈ R, ex > 0. f) La función exponencial es estrictamente creciente. En particular, es inyectiva. g) El conjunto imagen de la función exponencial es (0, +∞).Función logarítmica La función logarítmica log : (0, +∞) → Res la inversa de la función exponencial, de modo que log x = y si y solo si ey = x. Por tanto, está caracterizada por cumplir log(ex ) = x cualquiera que sea x ∈ Ry elog x = x cualquiera que sea x ∈ (0, +∞). Sus propiedades son consecuencia de las de la función exponencial.Proposición 2.2.2 (propiedades del logaritmo). a) log 1 = 0; log e = 1. b) Para cada x ∈ (0, +∞), 1 log = − log x. x c) Dados x, y ∈ (0, +∞), log(xy) = log x + log y. d) Dados n ∈ N y x ∈ (0, +∞), log(xn ) = n log x. e) El conjunto imagen de la función logarítmica es R. f) La función logarítmica es estrictamente creciente. En particular, es inyectiva.Funciones exponencial y logarítmica de base cualquieraDefinición 2.2.3. Dado un número real a > 0, la función exponencial de base a se define mediantela igualdad ax = ex log a . Cuando a > 1, esta función tiene propiedades similares a la función exponencial anteriormenteestudiada; si a = 1, es una función constantemente igual a 1, y si a < 1, la diferencia esencial con lafunción exponencial de base e estriba en que la función exponencial de base a es entonces estricta-mente decreciente. Propiedades interesantes que se obtienen directamente de la definición y de lo que hemos vistopara las funciones ex y log x son las siguientes:
  • 32. 26 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades 10 8 exp 6 4 log 2 1 1 2 4 6 8 10 Las funciones exponencial y logaritmoProposición 2.2.4 (propiedades de las potencias). Dados a, b, x, y ∈ R con a > 0, b > 0, a) (ab)x = ax bx . b) (ax )y = axy .Definición 2.2.5. Dado a > 0, a = 1, la función logarítmica de base a se define en (0, +∞) mediantela fórmula log x loga x = . log a Es inmediato comprobar que esta función es la inversa de la función exponencial de base a. Comopropiedad adicional interesante se tiene: dados a, b, x ∈ R con 0 < a = 1 y b > 0, loga (bx ) = x loga b.2.2.2. Funciones trigonométricas. Funciones trigonométricas inversasFunciones trigonométricas Reciben este nombre una serie de funciones de origen geométrico, ligadas con las medidas deángulos y la descripción de fenómenos periódicos. La función seno sen : R → Ry la función coseno cos : R → Rserán definidas más adelante. De momento, admitimos sin demostración que satisfacen las propieda-des que pasamos a enunciar.
  • 33. 2.2. Funciones trascendentes 27Proposición 2.2.6 (propiedades del seno). a) El seno es una función impar, mientras que el co- seno es una función par: cualquiera que sea x ∈ R se tiene sen(−x) = − sen x, cos(−x) = cos x. b) Para cada x ∈ R es sen2 x + cos2 x = 1. c) Existe un número real positivo, denotado por π, tal que sen π = 0 y sen x = 0 si 0 < x < π. Este número π es irracional (y trascendente) y sus primeras cifras decimales son 3, 14159265358979 . . . El número π, «área del círculo de radio 1, es de lejos la constante más célebre de las mate- máticas. Aparecida inicialmente en Geometría, interviene hoy en los dominios más variados: análisis, teoría de números, probabilidades y estadística, combinatoria, etc. Los más grandes matemáticos se han interesado desde hace más de 2000 años por los problemas planteados por este número» ([L E L IONNAIS, pág. 50]). d) cos π = −1. e) Las funciones sen y cos tienen por conjunto imagen el intervalo [−1, 1]. f) Dados x, y ∈ R tales que x2 + y2 = 1, existe un α ∈ R de modo que cos α = x, sen α = y (gráficamente, esto significa que las funciones seno y coseno que hemos definido se correspon- den con las utilizadas en trigonometría). g) Fórmulas de adición: dados x, y ∈ R, sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y h) Las funciones sen y cos son periódicas de periodo 2π. i) La función sen es estrictamente creciente en [0, π/2] y estrictamente decreciente en [π/2, π]. j) La función cos es estrictamente decreciente en [0, π/2] y estrictamente creciente en [π/2, π]. Damos ahora una tabla de algunos valores particulares de estas funciones. grados x sen x cos x 0 0 √ 0 √ √ 1 √ 15 π/12 4 ( 6 − 2) 1 4 ( √ + 2) 1 6 30 π/6 √ 1/2 √3/2 45 π/4 √2/2 2/2 60 π/3 3/2 1/2 90 π/2 1 0
  • 34. 28 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades 1 −2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π −1 La función seno 1 −2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π −1 La función cosenoDefinición 2.2.7. La función tangente tg, la función cotangente ctg, la función secante sec y lafunción cosecante cosec se definen a partir de las funciones seno y coseno mediante las fórmulas sen cos 1 1 tg = , ctg = , sec = , cosec = . cos sen cos sen ¿Cuáles son los dominios de estas funciones? 3π π π 3π − − 2π 2 −π 2 0 2 π 2 2π−2π 3π −π π 0 π π 3π −2π − − 2 2 2 2 La función tangente La función cotangenteFunciones trigonométricas inversas Se conocen con el nombre de funciones trigonométricas inversas las de una colección de fun-ciones que son casi, pero no totalmente, inversas de las funciones tigonométricas que acabamos deconsiderar. Precisemos su definición.
  • 35. 2.2. Funciones trascendentes 29 π 3π 3π π π 3π − 1 − −−2π −π 2 π 2 2π 2 −π 2 2 π 2 3π π −2π 2π − −1 2 2 La función cosecante La función secante La función seno no es inyectiva, por lo que no puede hablarse estrictamente de inversa de lafunción seno. Sin embargo, la restricción de la función seno al intervalo [−π/2, π/2] es estrictamentecreciente, luego inyectiva en particular, y su conjunto imagen es el intervalo [−1, 1] (igual conjuntoimagen que la función seno). La función arco seno, arc sen : [−1, 1] → [−π/2, π/2],es, por definición, la inversa de la restricción de la función seno al intervalo [−π/2, π/2], de maneraque será una función estrictamente creciente, impar, acotada, y tal que dado x ∈ [−1, 1] y ∈ [−π/2, π/2] arc sen x = y ⇐⇒ sen y = x,con lo cual sen(arc sen x) = x para todo x ∈ [−1, 1] = dom arc sen(es decir, la función arco seno es una inversa por la derecha de la función seno), mientras que arc sen(sen x) = x ⇐⇒ x ∈ [−π/2, π/2]. Pasando a la función coseno, su restricción al intervalo [0, π] es una función estrictamente decre-ciente cuyo conjunto imagen es [−1, 1]. Análogamente a lo anterior, la función arco coseno arc cos : [−1, 1] → [0, π]es por definición la inversa de la restricción de la función coseno al intervalo [0, π]. Es una función estrictamente decreciente y acotada, con el mismo dominio que la función arcoseno, pero con distinto codominio. Dado x ∈ [−1, 1], se tiene y ∈ [0, π] arc cos x = y ⇐⇒ cos y = x,
  • 36. 30 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidadescon lo cual cos(arc cos x) = x para todo x ∈ [−1, 1] = dom arc cos(es decir, la función arco coseno es una inversa por la derecha de la función coseno), mientras que arc cos(cos x) = x ⇐⇒ x ∈ [0, π]. π π/2 π/3 π/4 π/6 −1 1 π/2 √ 1 √ 2 1 2 2 3 π/3 π/4 π/6 1 √ −π/2 −1 1 √1 3 2 2 2 La función arco seno La función arco coseno De manera similar, la función arco tangente arc tg : R → (−π/2, π/2)es por definición la inversa de la restricción de la función tangente al intervalo abierto (−π/2, π/2). Es una función estrictamente creciente, impar, acotada, y tal que dado x ∈ R y ∈ (−π/2, π/2) arc tg x = y ⇐⇒ tg y = x,con lo cual tg(arc tg x) = x para todo x ∈ R = dom arc tg(es decir, la función arco tangente es una inversa por la derecha de la función tangente), mientras que arc tg(tg x) = x ⇐⇒ x ∈ (−π/2, π/2). Aunque se usa menos que las anteriores, podemos también definir: la función arco cotangente arc ctg : R → (0, π)es la inversa de la restricción de la función cotangente al intervalo (0, π). Las funciones arco secante y arco cosecante se usan raras veces. Su definición, con las notacionessec−1 y cosec−1 , puede verse en [S PIEGEL -A BELLANAS].
  • 37. 2.2. Funciones trascendentes 31 π/2 π/3 π/4 π/6 √ √1 1 3 3 −π/2 La función arco tangente2.2.3. Funciones hiperbólicas. Funciones hiperbólicas inversasFunciones hiperbólicasDefinición 2.2.8. La función coseno hiperbólico, cosh : R → R, está definida mediante ex + e−x cosh x = . 2 Es una función par (la componente par de la exponencial), estrictamente decreciente en (−∞, 0] yestrictamente creciente en [0, +∞). Está acotada inferiormente por 1: para cualquier x ∈ R, ex + e−x e2x + 1 = ≥ 1 porque e2x + 1 ≥ 2ex > 0. 2 2exSu conjunto imagen es [1, +∞).Definición 2.2.9. La función seno hiperbólico, senh : R → R, está definida mediante ex − e−x senh x = . 2 Es una función impar (la componente impar de la exponencial), estrictamente creciente y no aco-tada superior ni inferiormente: su conjunto imagen es todo R. Estas funciones tienen un cierto parecido con el coseno y el seno trigonométricos, y pueden rela-cionarse geométricamente con la hipérbola de manera similar a como las funciones trigonométricasse relacionan con la circunferencia. Aumentando la semejanza, existen fórmulas para las funcioneshiperbólicas que, con variaciones en algunos signos, recuerdan las conocidas para las funciones trigo-nométricas: por ejemplo, calculando a partir de la definición se comprueba que cosh2 x − senh2 x = 1, cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y, senh(x + y) = senh x cosh y + cosh x senh ycualesquiera que sean x, y ∈ R.
  • 38. 32 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades 4 6 4 3 2 2 1 2 1−2 −1 1 2 La función coseno hiperbólico La función seno hiperbólicoDefinición 2.2.10. La función tangente hiperbólica, tgh : R → R, se define como senh x ex − e−x e2x − 1 tgh x = = = . cosh x ex + e−x e2x + 1 Es una función impar, estrictamente creciente y acotada: su conjunto imagen es el intervalo abierto(−1, 1). 1 −2 −1 1 2 −1 La función tangente hiperbólicaDefinición 2.2.11. La función cotangente hiperbólica , ctgh : R {0} → R, está dada por cosh x ex + e−x e2x + 1 ctgh x = = = . senh x ex − e−x e2x − 1 1 La función secante hiperbólica es sech = . cosh 1 La función cosecante hiperbólica es cosech = . senh
  • 39. 2.3. Ejercicios 33Funciones hiperbólicas inversasDefinición 2.2.12. La función argumento coseno hiperbólico, arg cosh : [1, +∞) → [0, +∞), dadapor arg cosh x = log(x + x2 − 1),es la inversa de la restricción de la función coseno hiperbólico al intervalo [0, +∞). La función argumento seno hiperbólico, arg senh : R → R, dada por arg senh x = log(x + x2 + 1),es la inversa de la función seno hiperbólico. La función argumento tangente hiperbólica, arg tgh : (−1, 1) → R, dada por 1 1+x arg tgh x = log , 2 1−xes la inversa de la función tangente hiperbólica. La función argumento cotangente hiperbólica, arg ctgh : (−∞, −1) ∪ (1, +∞) → R, dada por 1 x+1 arg ctgh x = log , 2 x−1es la inversa de la función cotangente hiperbólica. 2 1 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −1 −2 La función argumento seno hiperbólico2.3. EjerciciosEjercicio 2.1. Probar que la función f : R → R definida por f (x) = 2x + |x − 3| es biyectiva y demos-trar que su función inversa puede escribirse en la forma f −1 (x) = ax + b − |cx + d| para ciertos valoresa, b, c, d ∈ R.Ejercicio 2.2. Describir la gráfica de g en términos de la gráfica de f , en los casos siguientes: a) g(x) = f (x) + c b) g(x) = f (x + c) c) g(x) = c f (x) d) g(x) = f (−x) e) g(x) = − f (x) f) g(x) = f (|x|) g) g(x) = | f (x)| h) g(x) = m´ x{ f (x), 0} a i) g(x) = m´n{ f (x), 0} ı
  • 40. 34 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades 4 2 3 1 −1 2 cosh 1 arg cosh 1 −1 −2 1 2 3 4 La función coseno hiperbólico La función argumento tangente hiperbólicaPor ejemplo, en el primer caso la gráfica de g se obtiene desplazando hacia arriba la gráfica de f unadistancia c si c ≥ 0, o desplazando hacia abajo la gráfica de f una distancia |c| si c < 0.Ejercicio 2.3. Probar que la función f : [1/2, +∞) → R definida mediante f (x) = x2 − x + 1 es estric-tamente creciente. En consecuencia, es inyectiva. ¿Cuál es su función inversa? xEjercicio 2.4. Probar que la función f : R → R dada por f (x) = está acotada. ¿Cuál es la cota x2 + 1inferior más ajustada que se puede encontrar? ¿Cuál la cota superior más ajustada?Ejercicio 2.5. Probar que la función de Dirichlet 1 si x es racional, D(x) = 0 si x es irracionales periódica (comprobar que cada número racional no nulo es un periodo, y que ningún númeroirracional lo es). ¿Es D una función par? ¿Es una función impar? Responder a las mismas preguntaspara la función f (x) = x − [x]. xEjercicio 2.6. Sea f : x ∈ R → f (x) = √ . Calcular f ◦ f . En general, si se define por recurrencia 1 + x2f1 = f y fn+1 = f ◦ fn , n ∈ N, calcular fn .Ejercicio 2.7. Comprobar que para x, y ∈ R arbitrarios es x+y x−y sen x − sen y = 2 cos sen . 2 2Deducir de aquí que sen x = sen y si y solo si existe algún k ∈ Z tal que x = y + 2kπ o existe algúnk ∈ Z tal que x = (2k + 1)π − y.Ejercicio 2.8. Dado n ∈ Z, sea f : nπ − π , nπ + π → R definida por f (x) = sen x. Comprobar que 2 2f es inyectiva y expresar su inversa f −1 en términos de la función arco seno.
  • 41. 2.3. Ejercicios 35Ejercicio 2.9. Dibujar las gráficas de las funciones sen ◦ arc sen y arc sen ◦ sen.Ejercicio 2.10. Probar que para todo x ∈ [−1, 1] es π arc sen x + arc cos x = . 2Ejercicio 2.11. Probar que dados a, b ∈ R tales que a, b, a + b ∈ dom tg, tg a + tg b tg(a + b) = . 1 − tg a tg b¿Puede deducirse de aquí, haciendo tg a = x y tg b = y e invirtiendo, que x+y arc tg x + arc tg y = arc tg ? 1 − xyPrecisar la respuesta.Ejercicio 2.12. Indicar el dominio de las siguientes funciones: x−2 x−1 1 − |x| a) + √ b) x+2 1+x 2 − |x| (x − 1)(x − 2) c) −1 d) arc sen(x − 1) (x − 3)(x − 4) x2 − 5x + 6 5x − x2 e) log f) log x2 + 4x + 6 4Ejercicio 2.13. Sabiendo que el dominio de la función f es [0, 1], hallar el dominio de las funciones: a) f (x2 ) b) f (sen x) c) f (x − 5) d) f (2x + 3) e) f (tg x)Ejercicio 2.14. Probar que: a) Si f (x) = 1 1−x , entonces ( f ◦ f ◦ f )(x) = x. (n) n b) Si f (x) = ax + b, con a = 1, entonces ( f ◦ f ◦ . . . ◦ f )(x) = an x + b a −1 . a−1 √ c) f ◦ g = g ◦ f , donde f (x) = x y g(x) = x2 .Ejercicio 2.15. Demostrar que si f es periódica con periodo T y a = 0, entonces la función g(x) =f (ax + b) es periódica con periodo T . aEjercicio 2.16. Hallar el periodo de las siguientes funciones: a) f (x) = tg 2x b) f (x) = sen4 x + cos4 x c) f (x) = ctg 2 x d) f (x) = | cos x| e) f (x) = sen(2πx) f) f (x) = 2 cos x−π 3Ejercicio 2.17. Estudiar si son pares o impares las siguientes funciones: a) f (x) = |x + 1| − |x − 1| b) f (x) = ax + a−x (a > 0) √ c) f (x) = log 1+x 1−x d) f (x) = log(x + 1 + x2 )Ejercicio 2.18. Hallar la inversa de las funciones siguientes y determinar su dominio: ex − e−x 2x √ a) f (x) = x b) f (x) = c) f (x) = 3 1 − x3 e + e−x 1 + 2x x 2 √ d) f (x) = e) f (x) = 2 + x4 − 1 f) f (x) = 3 1 − x3 x 1 − |x|
  • 42. Capítulo 3Sucesiones de números reales Como libros de referencia para los temas de este capítulo, aunque haya algunas diferencias dedetalle entre su tratamiento y el nuestro, pueden consultarse [BARTLE -S HERBERT] (especialmente suscomentarios sobre algunos conceptos) y [ROSS], algo más conciso pero igualmente claro.3.1. Sucesiones convergentes3.1.1. Definición de sucesión. Sucesiones acotadas y sucesiones convergentes. Límite de una sucesión convergente Informalmente, una sucesión de números reales es una lista ilimitada de números s1 , s2 , s3 , s4 , . . . , sn , . . .(n indica el lugar que ocupa el número sn en la lista); puesto en forma de tabla lugar 1 2 3 4 5 ... n ... valor s1 s2 s3 s4 s5 ... sn ...es obvio que se trata justamente de una función real con dominio N. Esta es su definición formal.Definición 3.1.1. Una sucesión de elementos de un conjunto es una aplicación con dominio N ycodominio dicho conjunto. En particular, una sucesión de números reales es una función real condominio N, o sea, una aplicación s : N → R. Tradicionalmente, el valor que una sucesión s toma en cada n ∈ N se denota por sn , en lugar des(n) como para las demás funciones. Normalmente nos referiremos a sn con el nombre de término n-ésimo de una sucesión, pero no debe perderse de vista que cada término lleva una doble información:su valor y el lugar n que ocupa. Como el dominio N es común a todas las sucesiones, en vez de utilizar la notación s : N → Rpara una sucesión es más frecuente encontrar notaciones del tipo (sn )n∈N ó (sn )∞ ó {sn }∞ o alguna n=1 n=1similar, poniendo mayor énfasis en los términos. Aunque esta notación propicie a veces la confusión,no debería ser necesario insistir en la diferencia entre la propia sucesión y el conjunto de valores quetoma la sucesión, que es la misma que hay entre cualquier función y su conjunto de valores (conjuntoimagen o rango); obsérvese, por ejemplo, que una sucesión tiene siempre infinitos términos inclusoaunque tome un solo valor, como es el caso de las sucesiones constantes. 37
  • 43. 38 Capítulo 3. Sucesiones de números realesEjemplos. Los ejemplos más corrientes de sucesiones se indican dando una fórmula que defina eltérmino n-ésimo, como en los siguientes casos: • sn = a, donde a es un número real prefijado (sucesión constante); la sucesión consta de los términos a, a, a, . . . , a, . . . • sn = n (sucesión de los números naturales); la sucesión consta de los términos 1, 2, 3, 4, 5, . . . , n, . . . • sn = 1 ; la sucesión consta de los términos n 1 1 1 1 1 1, , , , , . . . , , . . . 2 3 4 5 n • sn = (−1)n ; la sucesión consta de los términos −1, 1, −1, 1, −1, . . . , (−1)n , . . . • Las fórmulas no tienen por qué referirse solo a operaciones algebraicas sencillas. Por ejemplo, considérese la sucesión 3, 1; 3, 14; 3, 141; 3, 1415; 3, 14159; 3, 141592; 3, 1415926; 3, 14159265; 3, 141592653; . . . formada por las aproximaciones decimales de π (el término n-ésimo sería la aproximación decimal con n cifras decimales exactas). Aunque no supiéramos escribir con todas sus cifras el término 1 000 000 000 000 000, sabemos que ese término está perfectamente definido, y lo mismo podemos decir de cualquier otro. En este caso podemos dar una fórmula explícita para el término n-ésimo con ayuda de la función parte entera: concretamente, para cada n ∈ N, a1 a2 ak an sn = 3 + + +···+ k +···+ n , 10 102 10 10 donde ak = [10k π] − 10[10k−1 π] (1 ≤ k ≤ n); el hecho de que esta fórmula no proporcione un algoritmo de cálculo para los ak no obsta para que estos estén definidos sin ambigüedad y sin excepción alguna. • Sucesiones recurrentes. Reciben este nombre las sucesiones cuyos términos se definen en fun- ción de los anteriores (definición inductiva o recursiva). Un ejemplo muy citado de este tipo es la sucesión de Fibonacci, dada por s1 = 1, s2 = 1, sn+2 = sn+1 + sn (n ∈ N), cuyos primeros términos son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . . Las sucesiones definidas por recurrencia aparecen con frecuencia en cálculos con ordenadores: ver comentario en [BARTLE -S HERBERT, pág. 85].
  • 44. 3.1. Sucesiones convergentes 39 Otros ejemplos de sucesiones recurrentes son las progresiones aritméticas de primer término x y razón h, que pueden definirse recursivamente por s1 = x, sn+1 = sn + h, y las progresiones geométricas de primer término x y razón r, dadas por s1 = x, sn+1 = sn · r. Se encuentran sin dificultad fórmulas explícitas en ambos casos: sn = x + (n − 1)h para las primeras, sn = x · rn−1 para las segundas. • La regla que define una sucesión no tiene por qué ser de carácter estrictamente matemático. Por ejemplo, puede definirse una sucesión poniendo 107 /3 si el nombre en castellano del número n contiene la letra d sn = √ π en caso contrario (¿cuáles serían sus primeros términos?), o mediante cualquier otra condición que permita asegu- rar que a cada n ∈ N sin excepción se le asocia inequívocamente un número real perfectamente definido. • Existen sucesiones cuyo rango es exactamente Z. Más difícil: existen sucesiones cuyo rango es exactamente Q; la construcción usual se hace mediante el proceso diagonal de Cantor y puede verse en [BARTLE -S HERBERT, págs. 36–37], [S PIVAK, pág. 609]. • ¿Queda definida una sucesión si para cada n ∈ N ponemos sn = m´ x{x ∈ R : x2 + 2nx − 1 < 0}? a ¿Y si ponemos sn = m´ x{x ∈ R : x2 + 2nx − 1 ≤ 0}? a En caso afirmativo, ¿puede darse una expresión más directa para sn ?Notación. Por comodidad, a menudo se denotan las sucesiones simplemente por (sn ) en vez de(sn )n∈N ó (sn )∞ si esto no da lugar a imprecisiones. n=1Definición 3.1.2. Una sucesión (sn ) es convergente si existe un número real a tal que para cadaε > 0 se puede encontrar un número natural N = N(ε) de modo que siempre que n > N se verifique|sn − a| < ε. Se dice entonces que el número a es límite de la sucesión (sn ), y se escribe a = l´m sn . También ı ndecimos que (sn ) converge al número a. Usaremos a veces la fórmula sn → a para indicar que la sucesión de término n-ésimo sn es con-vergente y tiene por límite a.Nota. Recuérdese que la desigualdad |sn −a| < ε es equivalente a las dos desigualdades −ε < sn −a <ε, que equivalen a su vez a las desigualdades a − ε < sn < a + ε.
  • 45. 40 Capítulo 3. Sucesiones de números reales a−ε a a+ε s6 s3 s8 s1 s11 s7 s10 s9 s2 s4 s5 |sn − a| < ε para n > 6Ejemplos (sucesiones convergentes). a) Las sucesión constante sn = c (c ∈ R) converge al nú- mero c. b) La sucesión (1/n) converge a 0 (consecuencia de la propiedad arquimediana, teorema 1.2.2).Ejemplos (sucesiones no convergentes). a) La sucesión ((−1)n ) no es convergente (si tuviese límite a, no puede ser a = 1 puesto que entonces eligiendo ε = 2 > 0, cualquiera que fuese N bastaría tomar n = 2N + 1 > N para conseguir que |sn − a| = | − 1 − 1| = 2 < ε; y si a = 1, eligiendo ahora ε = |1 − a| > 0, cualquiera que fuese N bastaría tomar n = 2N > N para conseguir que |sn − a| = |1 − a| < ε = |1 − a|). b) La sucesión (n) no puede ser convergente, pues si tuviese límite a, tomando ε = 1 en la defini- ción de convergencia, para algún N habría de ser n < a + 1 siempre que n fuese mayor que N, lo cual es imposible (consecuencia una vez más de la propiedad arquimediana).Proposición 3.1.3. Sea a ∈ R. Dada una sucesión (sn ), son equivalentes entre sí: a) (sn ) es convergente con límite a; abreviadamente, a = l´m sn o sn → a. ı n b) siempre que a < a, existe un n tal que para todo n > n es a < sn y siempre que a < a , existe un n tal que para todo n > n es sn < a . c) si a , a son números reales tales que a ∈ (a , a ), existe entonces un N tal que para todo n > N es sn ∈ (a , a ).Demostración. a) =⇒ b) Dado a < a, tomando ε = a − a > 0 existirá por hipótesis un N tal que sin > N entonces sn > a − ε = a − (a − a ) = a . Para a < a se razona de manera similar. b) =⇒ c) Basta observar que x ∈ (a , a ) significa que a < x < a . Por consiguiente, si a ∈ (a , a )existen n y n tales que para todo n > n es sn > a y para todo n > n es sn < a . Tomando ahoraN = m´ x{n , n }, siempre que n > N es simultáneamente n > n y n > n , luego para todo n > N será aa < sn < a o, equivalentemente, sn ∈ (a , a ). c) =⇒ a) Si ε > 0, se tendrá a ∈ (a − ε, a + ε), por lo que debe existir un N tal que para todon > N es sn ∈ (a − ε, a + ε), o lo que es lo mismo, |sn − a| < ε.Corolario 3.1.4. Sea (sn ) una sucesión convergente con límite a y sea c ∈ R. Se tiene: a) Si existe m tal que para todo n > m es c ≤ sn , entonces c ≤ a. b) Si existe m tal que para todo n > m es sn ≤ c, entonces a ≤ c.Demostración. Se prueba por reducción al absurdo aplicando la proposición 3.1.3.
  • 46. 3.1. Sucesiones convergentes 41 El corolario 3.1.4 no es cierto con desigualdades estrictas.Corolario 3.1.5 (unicidad del límite de una sucesión convergente). Sea (sn ) una sucesión conver-gente y sean a, b ∈ R tales que a = l´m sn , b = l´m sn . Entonces a = b. ı ı n nDemostración. Si no, sea, por ejemplo, a < b. Tomando c tal que a < c < b, puesto que c < b y b eslímite de (sn ), debe existir un n tal que para todo n > n sea sn > c; igualmente, puesto que a < c ya es límite de (sn ), debe existir un n tal que para todo n > n es sn < c; tomando n = m´ x{n , n } allegamos a una contradicción: tendría que cumplirse c < sn < c. El límite de una sucesión convergente es así el único número real al que la sucesión converge. Las definiciones de acotación de sucesiones se obtienen particularizando a sucesiones las quedimos sobre acotación de funciones.Definición 3.1.6. Una sucesión (sn )∞ se dice que está acotada superiormente si existe algún nú- n=1mero C ∈ R tal que para todo n ∈ N, sn ≤ C. Se dice que está acotada inferiormente si existe algún número K ∈ R tal que para todo n ∈ N,K ≤ sn . Se dice que está acotada si lo está superior e inferiormente. Esto equivale a que exista un númeroM ≥ 0 tal que para todo n ∈ N, |sn | ≤ M.Proposición 3.1.7. Toda sucesión convergente está acotada.Demostración. Sea (sn ) una sucesión convergente a un número a ∈ R. Tomamos, por ejemplo, ε = 1en la definición de límite y existirá algún número N ∈ N tal que |sn − a| < 1 para todo n > N. Siescribimos B = m´ x{1, |s1 − a|, |s2 − a|, . . . , |sN − a|}, ase tiene que |sn − a| ≤ B, es decir, a − B ≤ sn ≤ a + B,para todo n ∈ N. Luego la sucesión está acotada.Aplicación. Dado x ∈ R tal que |x| > 1, la sucesión que tiene por término n-ésimo xn no es convergen-te. En efecto: si ponemos h = |x| − 1, entonces |xn | = |x|n = (1 + h)n ≥ 1 + nh, según la desigualdadde Bernoulli. De aquí se deduce que la sucesión no está acotada. Tampoco es convergente la sucesión de término n-ésimo sn = n.3.1.2. Sucesiones monótonas Las definiciones sobre monotonía de sucesiones se obtienen particularizando a sucesiones las quedimos sobre monotonía de funciones. Esto equivale a lo siguiente:Definición 3.1.8. a) Una sucesión (sn ) es monótona no decreciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn ≤ sn+1 . b) Una sucesión (sn ) es monótona no creciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn ≥ sn+1 . c) Una sucesión (sn ) es estrictamente creciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn < sn+1 . d) Una sucesión (sn ) es estrictamente decreciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn > sn+1 .
  • 47. 42 Capítulo 3. Sucesiones de números reales e) Una sucesión se dice que es monótona si es de alguno de los tipos anteriores.Proposición 3.1.9. a) Sea (sn ) una sucesión monótona no decreciente. Entonces (sn ) es conver- gente si y solo si está acotada superiormente, en cuyo caso l´m sn = sup{sn : n ∈ N}. ı n b) Sea (sn ) una sucesión monótona no creciente. Entonces (sn ) es convergente si y solo si está acotada inferiormente, en cuyo caso l´m sn = ´nf{sn : n ∈ N}. ı ı nDemostración. Sea (sn ) una sucesión monótona no decreciente. Según la proposición 3.1.7, si la su-cesión converge entonces está acotada (superiormente); esto demuestra una implicación del apartadoa). Supongamos ahora que la sucesión está acotada superiormente, sea a su supremo y veamos quela sucesión converge al punto a. Sea ε > 0. Como a − ε < a, el número a − ε no puede ser una cotasuperior de la sucesión, y por lo tanto existirá algún N ∈ N tal que a − ε < aN .Como la sucesión es no decreciente, para cada n > N se tendrá a−ε a s1 s2 s3 ... sN . . . toda sucesión no decreciente y acotada tiene límite a − ε < aN ≤ aN+1 ≤ · · · ≤ any, por la definición de supremo, an ≤ a < a + ε.Por lo tanto, a − ε < an < a + ε. Esto demuestra que la sucesión converge al punto a. La demostración del apartado b) es análoga.Ejemplo (el número e). La sucesión de término n-ésimo n 1 sn = 1 + nes estrictamente creciente y acotada superiormente por 3. Lo primero puede probarse mediante ladesigualdad de Bernoulli observando que n+1 n+2 n+1 sn+1 1 + n+1 1 n+1 [n(n + 2)]n+1 n + 1 n + 1 1 n+1 = n = = · = 1− sn 1+ 1 n n+1 n+1 n ((n + 1)2 )n+1 n n (n + 1)2 n n+1 n+1 −1 n+1 n > 1 + (n + 1) = · = 1. n (n + 1)2 n n+1
  • 48. 3.1. Sucesiones convergentes 43Que 3 acota superiormente a la sucesión puede deducirse del siguiente resultado, que a su vez sedemuestra por inducción: para cada n ∈ N, si −1 ≤ h ≤ 1 se tiene (1 + h)n ≤ 1 + nh + n2 h2 (ayuda: si nnh ≤ 1, también n2 h3 ≤ nh2 ). El límite de esta sucesión es el número e, base de los logaritmos neperianos y de la funciónexponencial ya presentados en el capítulo 2.Ejemplo. La sucesión (xn ) es monótona no decreciente y acotada si x ∈ [0, 1]; veremos que su límitees 0 si x ∈ [0, 1) y 1 si x = 1. Cuando x ∈ (1, +∞), la sucesión (xn ) es estrictamente creciente yno acotada (para ver esto último, tómese h = x − 1 > 0 y aplíquese la desigualdad de Bernoulli axn = (1 + h)n junto con la propiedad arquimediana) (teorema 1.2.2).Ejemplo. La sucesión de término n-ésimo Hn = 1 + 1 + · · · + 1 es estrictamente creciente y no aco- 2 ntada. Que es estrictamente creciente es inmediato: 1 1 1 1 1 Hn+1 = 1 + + · · · + + = Hn + > Hn . 2 3 n n+1 n+1Veamos que no está acotada, considerando los términos H2m : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 H2m = 1 + + + + + + + + +···+ + · · · + m−1 +···+ m 2 3 4 5 6 7 8 9 16 2 +1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ≥ 1+ + + + + + + + +···+ +···+ m +···+ m 2 4 4 8 8 8 8 16 16 2 2(el primer paréntesis tiene 2 sumandos, el segundo 4, el tercero 8..., el último tiene 2m−1 ) 1 2 4 8 2m−1 = 1+ + + + +···+ m 2 4 8 16 2(aparte del 1, hay m sumandos, todos iguales a 1 ) 2 m = 1+ ; 2por lo tanto, H2m ≥ 1 + m y la sucesión Hn no está acotada. 2Ejemplo. La sucesión de término n-ésimo sn = n+1 + n+2 +· · ·+ 2n es estrictamente creciente (puesto 1 1 1 (n)que sn+1 − sn = 2n+1 − 2n+2 > 0) y acotada superiormente por 1 (obsérvese que sn ≤ n + 1 + . . . + 1 1 1 nn = 1).1 De su límite, por el momento, solo podemos asegurar que está entre s1 = 1 y 1 (o entre s2 = 1 + 1 2 3 4y 1, o entre s3 = 1 + 1 + 1 y 1, etcétera). Más adelante podremos probar que su valor exacto es log 2. 4 5 63.1.3. Operaciones con sucesionesProposición 3.1.10. Sean (sn ), (tn ) sucesiones convergentes con límites a = l´m sn , ı b = l´m tn , ı n ny sea c ∈ R. Entonces a) (sn + tn ) es convergente y tiene límite a + b.
  • 49. 44 Capítulo 3. Sucesiones de números reales b) (c · sn ) es convergente y tiene límite c · a.Demostración. a) Sea ε > 0. Usando la definición de convergencia de (sn ) obtenemos que existe N1 ∈N tal que si n > N1 , entonces |sn − a| < ε/2. De igual manera existe N2 ∈ N tal que si n > N2 , entonces|tn − b| < ε/2. Escribimos N = m´ x{N1 , N2 }. Por tanto, si n > N, se verifican las dos desigualdades a ala vez y así, |(sn + tn ) − (a + b)| ≤ |sn − a| + |tn − b| < ε/2 + ε/2 = ε. b) Si c = 0 el resultado es trivial. Suponer por tanto c = 0. Usamos la definición de convergencia de(sn ) y así, existe N1 ∈ N tal que si n > N1 , entonces |sn −a| < ε/|c|. Por tanto, |csn −ca| = |c| |sn −a| <|c|ε/|c| = εProposición 3.1.11. Sean (sn ), (tn ) sucesiones convergentes con límites a = l´m sn , ı b = l´m tn . ı n nEntonces (sn · tn ) es convergente y tiene límite a · b.Demostración. Como (sn ) es convergente, está acotada por la proposición 3.1.7 y existe K > 0 tal que|sn | ≤ K, ∀n ∈ N. ε Sea ε > 0. Como (sn ) converge, existe N1 ∈ N tal que si n > N1 entonces |sn − a| < 2|b|+1 . Por εotra parte, como (tn ) converge, existe N2 ∈ N tal que si n > N2 entonces |tn − b| < 2K . Finalmente, si N = m´ x{N1 , N2 } y n > N, se tiene a ε ε |sntn − ab| = |sntn − sn b + sn b − ab| ≤ |sn | |tn − b| + |b| |sn − a| ≤ K + |b| <ε 2K 2|b| + 1Ejemplo. 1 1 1 2 = · → 0. n n n 1En general, aplicando reiteradamente el mismo argumento, np → 0 cualquiera que sea p ∈ N.Proposición 3.1.12. Si (sn ) es una sucesión acotada y (tn ) es una sucesión convergente a 0, la suce-sión (sn · tn ) converge a 0.Demostración. Sea ε > 0. Sea K > 0 tal que |sn | ≤ K, ∀n ∈ N. Usando la definición de convergenciade tn para ε/K, se tiene que existe N1 ∈ N tal que si n > N1 entonces |tn | < ε/K. Por tanto, |sn · tn | ≤Kε/K = ε. (−1)nEjemplo. La sucesión de término n-ésimo n converge a 0 (tómese sn = (−1)n , tn = 1 n en la pro-posición 3.1.12)Lema 3.1.13. Sea (tn ) una sucesión convergente con límite b = 0. Fijado r de modo que 0 < r < |b|,existe m ∈ N tal que para n ∈ N se verifica |tn | > r siempre que n > m.Precisando más: si b > 0, es tn > r siempre que n > my si b < 0, tn < −r siempre que n > m.Demostración. Es consecuencia inmediata de la proposición 3.1.3.
  • 50. 3.1. Sucesiones convergentes 45Proposición 3.1.14. Sea (sn ) una sucesión convergente con límite a y (tn ) una sucesión convergentecon límite b = 0. Si (un ) es una sucesión tal que sn un = siempre que tn = 0, tnentonces (un ) es convergente con límite a/b.Demostración. Sea ε > 0. Relacionamos la definición de límite del cociente con el límite de cada unade las sucesiones de la forma siguiente: sn a sn b − tn a |sn b − tn a| |sn b + sntn − sntn − tn a| |sn | |tn − b| + |tn | |sn − a| − = = = ≤ tn b btn |b||tn | |b||tn | |b||tn |Primeramente, usando el lema 3.1.13 con r = |b|/2, existe N1 ∈ N tal que si n > N1 , se tiene |tn | >|b|/2. Ahora, por la proposición 3.1.7, existen constantes K1 , K2 > 0 tales que |sn | < K1 y |tn | < K2para todo n ∈ N. Por otra parte, aplicamos la definición de límite de sn , y así existe N2 ∈ N tal que ε|b|2si n > N2 entonces |sn − a| < . Análogamente para tn , existe N3 ∈ N tal que si n > N3 entonces 4K2 ε|b|2|tn − b| < . Finalmente, si n > m´ x{N1 , N2 , N3 } todas las acotaciones se verifican y a 4K1 ε|b| ε|b| 2 2 sn a |sn | |tn − b| + |tn | |sn − a| K1 4K1 + K2 4K2 − ≤ < =ε tn b |tn ||b| |b||b|/2Corolario 3.1.15. Sea (sn ) una sucesión convergente con límite a y (tn ) una sucesión convergente sintérminos nulos y con límite b = 0. Entonces la sucesión (sn /tn ) es convergente y sn a l´m ı = . n tn bEjemplos. a) La sucesión de término n-ésimo 1+2+···+n n2 converge a 1/2: basta observar que n(n+1) 1+2+···+n 1 1 = 2 = (1 + ). n2 n2 2 n b) La sucesión de término n-ésimo 1 1 2 2 2 n−1 2 a+ + a+ +···+ a+ n n n n converge al número a2 + a + 1 (¿por qué?). 3 c) Si (sn ) es una sucesión cuyos términos son todos no negativos, convergente y con límite a, √ √ entonces la sucesión ( sn ) es convergente con límite a. En el caso a = 0, esto se deduce inmediatamente de la definición de límite; en el caso a = 0, se deduce de √ √ sn − a sn − a = √ √ sn + a
  • 51. 46 Capítulo 3. Sucesiones de números reales √ √ y de que (sn − a) converge a 0, mientras que 1/( sn + a) está acotada: 1 1 0< √ √ ≤√ . sn + a a d) La sucesión de término n-ésimo √ 1+n−1 n converge a 0 (¿por qué?). e) La sucesión de término n-ésimo √ √ n2 + 1 + n √ n +n−n 4 3 converge (¿a qué límite? ¿por qué?). f) La sucesión de término n-ésimo √ √ n+1− n converge (¿a qué límite? ¿por qué?). g) La sucesión (sn ) con 1 1 1 1 sn = + + +···+ 1·2 2·3 3·4 n(n + 1) converge a 1 1 k(k+1) = 1 − k+1 =⇒ sn = 1 − n+1 → 1 . k 1 13.1.4. Desigualdades y límites. Regla del sandwichProposición 3.1.16. Si (sn ) y (tn ) son dos sucesiones convergentes y existe un m tal que s n ≤ tn para todo n > m,entonces l´m sn ≤ l´m tn . ı ı n nDemostración. La sucesión tn − sn cumple la desigualdad 0 ≤ tn − sn para todo n > m y converge al´mn tn − l´mn sn . Por el corolario 3.1.4, 0 ≤ l´mn tn − l´mn sn , es decir, l´mn sn ≤ l´mn tn . ı ı ı ı ı ı Ahora podemos enunciar cómodamente una versión del teorema de los intervalos encajados deCantor con una condición sencilla para que la intersección esté formada por un solo punto.Teorema 3.1.17 (de Cantor de los intervalos encajados). Para cada n ∈ N, sea In = [an , bn ] unintervalo cerrado (no vacío). Supongamos que para todo n se cumple In+1 ⊆ In , es decir, an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn ,y que además l´m(bn − an ) = 0. ı nEntonces n∈N In se reduce a un punto; en concreto, In = {x}, n∈N
  • 52. 3.1. Sucesiones convergentes 47donde x = l´m an = l´m bn . ı ı n nDemostración. Obsérvese que, por hipótesis, la sucesión (an ) es monótona no decreciente y acotadasuperiormente (por b1 , por ejemplo), luego, por la proposición 3.1.9, converge a un número real x.Análogamente, la sucesión (bn ) converge a un número real r y por la proposición 3.1.16, es an ≤x ≤ r ≤ bn para todo n ∈ N. Ahora, la condición l´mn (bn − an ) = 0 asegura que x = r y que {x} = ı∩n∈N In .Proposición 3.1.18 (regla del sandwich o de encajamiento). Sean (sn ), (tn ) y (un ) sucesiones talesque existe un m ∈ N de manera que sn ≤ tn ≤ unpara todo n > m. Si (sn ) y (un ) son sucesiones convergentes y con el mismo límite a, es decir, l´m sn = l´m un = a, ı ı n nentonces (tn ) es también convergente y tiene el mismo límite a, es decir, l´m tn = a. ı nDemostración. Sea ε > 0. Por la definición de límite existe N1 ∈ N tal que si n > N1 entonces |sn −a| <ε, es decir, a − ε < sn < a + ε. Análogamente, existe N2 ∈ N tal que si n > N2 entonces a − ε < un <a + ε. Entonces si n > m´ x{m, N1 , N2 } se tiene a − ε < sn ≤ tn ≤ un < a + ε, es decir, |tn − a| < ε. aEjemplos. a) Se verifica 1 1 1 √ +√ +···+ √ → 1, n 2 +1 n2 +2 n 2 +n pues podemos encajar la sucesión entre n n √ y √ . n2 +n n2 + 1 b) Comprobando que la sucesión de término n-ésimo n+1 n+2 n+n 2 +1 + 2 +···+ 2 n n +2 n +n está encajada entre n+1 n+2 n+n n · n + (1 + 2 + · · · + n) n2 + 1 n(n + 1) + +···+ 2 = = 2 n2 + n n2 + n n +n n2 + n n2 + n y n+1 n+2 n+n n · n + (1 + 2 + · · · + n) n2 + 1 n(n + 1) + 2 +···+ 2 = = 2 , n2 + 1 n + 1 n +1 n2 + 1 n2 + 1 se deduce que la sucesión dada converge a 3 . 2
  • 53. 48 Capítulo 3. Sucesiones de números reales3.1.5. Subsucesiones. Teorema de Bolzano-Weierstrass Eliminando términos de una sucesión podemos extraer de ella nuevas sucesiones, cuyos términosaparecen en la sucesión original en el mismo orden (tal vez no en el mismo lugar) que en la nueva: esdecir, vamos tomando infinitos términos, saltando algunos quizá, pero sin volver atrás. Por ejemplo,dada una sucesión s1 , s2 , s3 , s4 , s5 , s6 , s7 , s8 , s9 , . . . ,si nos quedamos con los términos que ocupan lugar impar (eliminando los que ocupan lugar par),obtenemos una nueva sucesión s1 , s3 , s5 , s7 , s9 , . . . ,cuyo término n-ésimo es s2n−1 ; si nos quedamos con los términos que ocupan lugar par (eliminandolos que ocupan lugar impar), obtenemos la nueva sucesión s2 , s4 , s6 , s8 , s10 , . . . ,cuyo término n-ésimo es s2n . Podemos imaginar fácilmente otras muchas maneras de extraer suce-siones de la sucesión inicial con este procedimiento. Se obtienen así lo que se llaman subsucesionesde la sucesión dada; como iremos viendo a lo largo del curso, el manejo de subsucesiones facilitahabitualmente el estudio de la sucesión original, y permite demostrar varias propiedades esenciales dela teoría de funciones reales de variable real. Pasemos a formalizar este concepto.Definición 3.1.19. Dada una sucesión (sn ), se dice que otra sucesión (tn ) es una subsucesión de (sn )si existe una función ϕ : N −→ N estrictamente creciente, es decir, ϕ(1) < ϕ(2) < ϕ(3) < · · · < ϕ(n) < ϕ(n + 1) < · · ·de manera que para todo n ∈ N es tn = sϕ(n) .Ejemplos. ([BARTLE -S HERBERT, pág. 110], [ROSS, págs. 48–51]) a) Sea n0 ∈ N. Tomando ϕ(n) = n + n0 en la definición anterior, se obtiene la subsucesión sn0 +1 , sn0 +2 , sn0 +3 , sn0 +4 , sn0 +5 , sn0 +6 , sn0 +7 , . . . , que resulta de la original suprimiendo los n0 primeros términos. b) La sucesión de término n-ésimo tn = 4n2 es una subsucesión de la sucesión de término n-ésimo sn = (−1)n n2 , como se ve tomando ϕ(n) = 2n. 1 ∞ c) La sucesión 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , . . . no es una subsucesión de 3 2 4 5 6 7 n n=1 . Tienen los mismos térmi- n+1 nos, pero no en el mismo orden. La sucesión 1, 0, 1 , 0, 1 , 0, 1 , 0, . . . , 1+(−1) 3 5 7 2n , . . . tampoco es 1 ∞ una subsucesión de n n=1 . d) Toda sucesión es una subsucesión de sí misma (reflexividad). También hay transitividad: si (un ) es una subsucesión de (tn ) y (tn ) es una subsucesión de (sn ), a su vez (un ) es una subsucesión de (sn ).Proposición 3.1.20. Toda subsucesión de una sucesión convergente es también convergente y tiene elmismo límite.
  • 54. 3.1. Sucesiones convergentes 49Demostración. Es una consecuencia inmediata de la definición de límite.Aplicaciones. a) Ya vimos, con cierto esfuerzo, que ((−1)n ) no es una sucesión convergente. Ahora es inmediato: la subsucesión de sus términos de lugar par converge a 1, la subsucesión de sus términos de lugar impar converge a −1. b) Para x ∈ [0, 1), la sucesión (xn ) converge a 0: puesto que es convergente, según probamos, y si l´m xn = a, vemos que l´m xn+1 = a · x. Pero xn+1 es una subsucesión de (xn ) (la que ı ı n n corresponde a ϕ(n) = n + 1 en la definición), luego también l´m xn+1 = a, de donde a · x = a y ı n como x = 1, finalmente a = 0. ¿Por qué no podemos utilizar estos cálculos si x > 1? c) La enumeración diagonal de todos los números racionales forma una sucesión que no es con- vergente: tiene subsucesiones convergentes a cualquier número real (ver [ROSS, págs. 49–50]).Proposición 3.1.21. Una sucesión (sn ) es convergente si y solo si la subsucesión de términos delugar par (s2n ) y la subsucesión de términos de lugar impar (s2n−1 ) son ambas convergentes y tienenel mismo límite.Demostración. Por la proposición 3.1.20 basta con demostrar que si s2n → a ∈ R y s2n−1 → a entoncessn → a. Sea ε > 0. Por la definición de límite existen N1 , N2 ∈ N tales que: a) si k > N1 es |s2k − a| < ε; b) si k > N2 es |s2k−1 − a| < ε.Ahora si n > m´ x{2N1 , 2N2 − 1} se tiene, tanto si n es par como impar que |sn − a| < ε. aLema 3.1.22. Toda sucesión posee una subsucesión monótona.Demostración. Véase [S PIVAK, pág. 622]. Con ayuda del teorema de Cantor de los intervalos encajados (teorema 3.1.17) o bien del le-ma 3.1.22, puede demostrarse el siguiente resultado:Teorema 3.1.23 (de Bolzano-Weierstrass). Toda sucesión acotada posee una subsucesión conver-gente.Demostración. Sea (sn ) una sucesión acotada y K > 0 de forma que −K ≤ sn ≤ K para todo n ∈ N.Vamos construyendo la subsucesión de la siguiente forma: bien en [0, K], bien en [−K, 0], habrá infi-nitos términos de la sucesión (quizá incluso en los dos). Supongamos que en I1 = [0, K] hay infinitostérminos y elijamos cualquier elemento sϕ(1) ∈ I1 . De nuevo repetimos la idea y, o bien en [0, K/2]o en [K/2, K], habrá infinitos términos de la sucesión. Nos quedamos uno de los intervalos que con-tenga infinitos sn ; supongamos, por ejemplo, que es I2 = [K/2, K]. Elegimos un elemento sϕ(2) ∈ I2que además cumpla ϕ(2) > ϕ(1). Observemos que I2 ⊆ I1 . El siguiente paso es de nuevo subdividirI2 en dos mitades, [K/2, 3K/4] y [3K/4, K], elegir una mitad I3 que contenga infinitos términos dela sucesión y seleccionar un nuevo sϕ(3) ∈ I3 con ϕ(3) > ϕ(2). Construimos de esa forma una suce-sión de intervalos cerrados encajados I1 ⊇ I2 ⊇ · · · ⊇ In ⊇ . . . y una subsucesión (sϕ(n) ) de (sn ) consϕ(n) ∈ In para todo n ∈ N. Por comodidad escribimos In = [an , bn ] con lo que an ≤ sϕ(n) ≤ bn paratodo n ∈ N y además, como la longitud de cada In es K/2n , se tiene bn − an = K/2n → 0. Por tantopodemos aplicar el teorema 3.1.17 de los intervalos encajados y asegurar la existencia de x ∈ R tal quex = l´m an = l´m bn . Pero por la regla de sandwich (proposición 3.1.18) tenemos que sϕ(n) → x. ı ı n n
  • 55. 50 Capítulo 3. Sucesiones de números reales3.1.6. Sucesiones de CauchyDefinición 3.1.24. Una sucesión (sn )∞ se dice que es de Cauchy si para cada ε > 0 existe algún n=1N ∈ N (que puede depender de ε) de modo que n, m > N =⇒ |sn − sm | < ε.Lema 3.1.25. Toda sucesión de Cauchy está acotada.Demostración. La definición, usada para ε = 1, asegura la existencia de N ∈ N de modo que si n > N,entonces |sn − sN+1 | < 1, es decir, sN+1 − 1 < sn < sN+1 + 1. La sucesión (sn ) está acotada inferior-mente por m´n{s1 , . . . , sN , sN+1 − 1} y superiormente por m´ x{s1 , . . . , sN , sN+1 + 1}. ı aProposición 3.1.26. Una sucesión es convergente si y solo si es de Cauchy.Demostración. Sea sn → a ∈ R. Sea ε > 0. Por definición de límite, existe N ∈ N de modo que sin > N, entonces |sn − a| < ε/2. Por tanto, si n, m > N es |sn − sm | = |sn − a + a − sm | ≤ |sn − a| + |sm −a| < ε/2 + ε/2 = ε. Recíprocamente, sea (sn ) una sucesión de Cauchy. Puesto que está acotada (lema 3.1.25), el teo-rema 3.1.23 de Bolzano-Weierstrass asegura la existencia de una subsucesión (sϕ(n) ) convergente aun cierto a ∈ R. Dado ε > 0, existe N ∈ N de modo que si n, m > N, entonces |sn − sm | < ε/2. En particular se tiene|sn − sϕ(m) | < ε/2. Ahora, tomando límite en m se llega a que, si n > N es |sn − a| ≤ ε/2 < ε.3.2. Límites infinitos3.2.1. Sucesiones divergentes. Propiedades. Operaciones con sucesiones divergentesDefinición 3.2.1. Decimos que una sucesión (sn ) diverge a +∞, y escribimos l´m sn = +∞, si para ı ntodo M ∈ R existe algún N ∈ N que cumpla: n > N =⇒ sn > M. Decimos que una sucesión (sn ) diverge a −∞, y escribimos l´m sn = −∞, si para todo M ∈ R ı nexiste N ∈ N que cumpla: n > N =⇒ sn < M. Una sucesión divergente es una sucesión que diverge a +∞ o a −∞. Las sucesiones que no sonconvergentes ni divergentes se denominan sucesiones oscilantes.Nota. Se sigue directamente de la definición que una sucesión (sn ) diverge a +∞ si y solo si su opuesta(−sn ) diverge a −∞.Observación. En la definición de sucesión que diverge a +∞, en lugar de M ∈ R se puede ponerM > 0; y en la definición de sucesión que diverge a −∞ se puede poner M > 0: a) Una sucesión (sn ) diverge a +∞ si y solo si para todo M > 0 existe N ∈ N tal que siempre que n > N sea sn > M. b) Una sucesión (sn ) diverge a −∞ si y solo si para todo M < 0 existe N ∈ N tal que siempre que n > N sea sn < M.Notas. a) En lo sucesivo, diremos que una sucesión tiene límite si es convergente o divergente, es decir, si no es oscilante. Obsérvese que el límite (en este sentido ampliado) sigue siendo único: si a, b ∈ R ∪ {+∞, −∞} y l´mn sn = a, l´mn sn = b, es a = b. ı ı A veces nos referiremos a las sucesiones convergentes como sucesiones con límite finito y a las divergentes como sucesiones con límite infinito.
  • 56. 3.2. Límites infinitos 51 b) Si una sucesión diverge, no está acotada. Pero hay sucesiones no acotadas que oscilan, no son divergentes.Proposición 3.2.2. a) Sea (sn ) una sucesión monótona no decreciente. Si no está acotada supe- riormente, (sn ) diverge a +∞, l´m sn = +∞. ı n b) Sea (sn ) una sucesión monótona no creciente. Si no está acotada inferiormente, (sn ) diverge a −∞, l´m sn = −∞. ı nDemostración. Es consecuencia directa de las definiciones.Corolario 3.2.3. Toda sucesión monótona tiene límite (finito si está acotada, infinito en caso contra-rio).Ejemplo. Ya vimos que la sucesión de término n-ésimo 1 1 1 Hn = 1 + + + · · · + 2 3 nes monótona estrictamente creciente y no está acotada superiormente. Luego diverge a +∞.Proposición 3.2.4. a) Toda subsucesión de una sucesión divergente a +∞ es divergente a +∞. b) Toda subsucesión de una sucesión divergente a −∞ es divergente a −∞.Demostración. Es consecuencia directa de la definición de límite.Proposición 3.2.5. a) Una sucesión posee una subsucesión divergente a +∞ si y solo si no está acotada superiormente. b) Una sucesión posee una subsucesión divergente a −∞ si y solo si no está acotada inferiormente. c) Una sucesión posee una subsucesión divergente si y solo si no está acotada.Demostración. Es consecuencia directa de las definiciones.Proposición 3.2.6. a) Si (sn ) es una sucesión divergente a +∞ y (tn ) es una sucesión acotada inferiormente, la sucesión (sn + tn ) diverge a +∞. b) ) Si (sn ) es una sucesión divergente a −∞ y (tn ) es una sucesión acotada superiormente, la sucesión (sn + tn ) diverge a −∞.Demostración. a) Por la definición de acotación inferior existe K ∈ R tal que tn > K para todo n ∈ N.Ahora sea M ∈ R. Por definición de límite existe N ∈ N tal que si n > N se tiene sn > M − K. Portanto, si n > N es sn + tn > M − K + K = M. El caso b) es completamente análogo.Corolario 3.2.7. a) Si (sn ) es una sucesión divergente a +∞ y (tn ) es una sucesión convergente o divergente a +∞, la sucesión (sn + tn ) diverge a +∞: abreviadamente, l´m sn = +∞, l´m tn = a ∈ R ∪ {+∞} =⇒ l´m(sn + tn ) = +∞. ı ı ı n n n
  • 57. 3.2. Límites infinitos 53 c) Si (sn ) es una sucesión divergente a +∞ y (tn ) es una sucesión convergente con límite negativo o divergente a −∞, la sucesión (sn · tn ) diverge a −∞: abreviadamente, l´m sn = +∞, l´m tn = a ∈ {−∞} ∪ (−∞, 0) =⇒ l´m(sn · tn ) = −∞. ı ı ı n n n d) Si (sn ) es una sucesión divergente a −∞ y (tn ) es una sucesión convergente con límite negativo o divergente a −∞, la sucesión (sn · tn ) diverge a +∞: abreviadamente, l´m sn = −∞, l´m tn = a ∈ {−∞} ∪ (−∞, 0) =⇒ l´m(sn · tn ) = +∞. ı ı ı n n nDemostración. Es consecuencia directa de la proposición 3.2.8 y la proposición 3.1.3.Nota. El producto de una sucesión divergente a +∞ o a −∞ por una sucesión convergente a 0 puederesultar convergente, divergente a +∞, divergente a −∞ u oscilante.Proposición 3.2.10 (inversas de sucesiones divergentes). a) Una sucesión (sn ) diverge a +∞ si y solo si tiene como mucho un número finito de términos no positivos y su inversa converge a 0: abreviadamente, ∃m; sn > 0 siempre que n > m l´m sn = +∞ ⇐⇒ ı n l´mn s1 = 0 ı n b) Una sucesión (sn ) diverge a −∞ si y solo si tiene como mucho un número finito de términos no negativos y su inversa converge a 0: abreviadamente, ∃m; sn < 0 siempre que n > m l´m sn = −∞ ⇐⇒ ı n l´mn s1 = 0 ı n c) La sucesión de valores absolutos de una sucesión (sn ) diverge a +∞ si y solo si tiene como mucho un número finito de términos no nulos y su inversa converge a 0: abreviadamente, ∃m; sn = 0 siempre que n > m l´m |sn | = +∞ ⇐⇒ ı n l´mn s1 = 0 ı nDemostración. a) Suponemos primeramente que sn → +∞. Por definición de límite, si n > N1 essn > 0, es decir, tiene como mucho un número finito de términos no positivos. Ahora, para ver ques−1 → 0, fijamos ε > 0. De nuevo por hipótesis, existe N2 ∈ N tal que si n > N2 es sn > 1/ε. Luego si nn > m´ x{N1 , N2 } se tiene s−1 < ε. a n Recíprocamente,supongamos que sn > 0 si n > N1 y que s−1 → 0. Para ver que sn → +∞ fi- njamos M > 0. Por definición de límite, existe N2 ∈ N tal que si n > N2 es s−1 < 1/M. Luego si nn > m´ x{N1 , N2 } se tiene sn > M. a Los otros apartados se demuestran análogamente. Es fácil comprobar que una sucesión (sn ) converge a 0 si y solo si la sucesión (|sn |) de sus valoresabsolutos converge a 0. En efecto, ambas propiedades equivalen a que para todo ε > 0 exista un N talque |sn | < ε para n > N. En general, sin embargo, solo puede afirmarse que si (sn ) es convergente conlímite a, entonces (|sn |) es convergente con límite |a|; el recíproco no siempre es cierto si a = 0. Deesto se deduce:
  • 58. 54 Capítulo 3. Sucesiones de números realesCorolario 3.2.11. Una sucesión (sn ) sin términos nulos converge a 0 si y solo si la sucesión (1/|sn |)de los valores absolutos de los inversos diverge a +∞: en símbolos, si sn = 0 para todo n, 1 l´m sn = 0 ⇐⇒ l´m ı ı = +∞. n n |sn | snObservación. Como tn = sn · t1 , el estudio de cocientes se reduce fácilmente a los casos anteriores. nUna muestra:Corolario 3.2.12. Si (sn ) es una sucesión divergente a +∞ y (tn ) es una sucesión convergente conlímite positivo o una sucesión convergente a 0 que tiene a lo más un número finito de términos nopositivos, entonces sn es una sucesión divergente a +∞. t nNota. Si la sucesión cociente sn está definida, puede ser convergente, divergente a +∞, divergente t na −∞ u oscilante, si estamos en alguno de los dos casos siguientes: a) (sn ) y (tn ) convergen a 0; b) l´m |sn | = l´m |tn | = +∞. ı ıSi (sn ) tiene límite no nulo (finito o infinito) y (tn ) converge a 0, su cociente es divergente salvo en elcaso de que tenga infinitos términos positivos e infinitos términos negativos.Proposición 3.2.13 (encajamiento de sucesiones divergentes). Dadas dos sucesiones (sn ) y (tn )para las que existe un m tal que sn ≤ tn siempre que n > m,se verifica: a) si (sn ) diverge a +∞, también (tn ) diverge a +∞: l´m sn = +∞ =⇒ l´m tn = +∞. ı ı n n b) si (tn ) diverge a −∞, también (sn ) diverge a −∞: l´m tn = −∞ =⇒ l´m sn = −∞. ı ı n nDemostración. a) Es consecuencia directa de la definición. Si dado M ∈ R existe N ∈ N de modo quesi n > N es sn > M, tambien se tiene tn ≥ sn > M. Análogamente se comprueba el apartado b).3.2.2. La recta ampliada Los resultados anteriores sugieren ampliar al conjunto R = R ∪ {+∞, −∞} la estructura de ordende R, y (parcialmente) sus operaciones algebraicas. Concretamente: a) Para todo x ∈ R, −∞ ≤ x ≤ +∞. b) Para todo x ∈ R distinto de −∞, (+∞) + x = x + (+∞) = +∞.
  • 59. 3.2. Límites infinitos 55 c) Para todo x ∈ R distinto de +∞, (−∞) + x = x + (−∞) = −∞; quedan sin definir (+∞) + (−∞) y (−∞) + (+∞). d) −(+∞) = −∞, −(−∞) = +∞. e) Para x, y ∈ R, x − y = x + (−y) siempre que la suma tenga sentido; quedan sin definir (+∞) − (+∞) y (−∞) − (−∞). f) Para todo x ∈ (0, +∞) ∪ {+∞}, (+∞) · x = x · (+∞) = +∞. g) Para todo x ∈ {−∞} ∪ (−∞, 0), (+∞) · x = x · (+∞) = −∞. h) Para todo x ∈ (0, +∞) ∪ {+∞}, (−∞) · x = x · (−∞) = −∞. i) Para todo x ∈ {−∞} ∪ (−∞, 0), (−∞) · x = x · (−∞) = +∞; quedan sin definir (+∞) · 0, 0 · (+∞), (−∞) · 0 y 0 · (−∞). j) 1 +∞ = 1 −∞ = 0. k) Para x, y ∈ R, x 1 = x· y y 1 x siempre que el producto tenga sentido; quedan sin definir 0 y por tanto 0 cualquiera que sea x ∈ R, así como +∞ , +∞ , −∞ , y −∞ . +∞ −∞ +∞ −∞ l) | + ∞| = | − ∞| = +∞.Con la estructura resultante, R suele denominarse la recta ampliada.Observación. En R puede hablarse también de cotas superiores e inferiores de un conjunto no vacío,y de supremo, ínfimo, máximo y mínimo. Todo subconjunto no vacío de R tiene siempre supremo(cota superior mínima) e ínfimo (cota inferior máxima) en R.Notas. a) Dados dos elementos cualesquiera x, y ∈ R tales que x < y, se puede encontrar siempre un número real z que cumple x < z < y; en otras palabras, todo intervalo (x, y) ⊆ R contiene números reales.
  • 60. 56 Capítulo 3. Sucesiones de números reales b) Dados x, y, z ∈ R, se tiene x ≥ y =⇒ x + z ≥ y + z siempre que las sumas estén definidas. c) Para todo x de R se tiene (−1) · x = −x. d) Se siguen verificando en R las propiedades del valor absoluto en todos los casos en que tengan sentido.Teorema 3.2.14. Dada una sucesión (sn ) con límite a (finito o infinito) y una sucesión (tn ) con límiteb (finito o infinito), se tiene: a) si a + b está definido en R, (sn + tn ) tiene límite a + b. b) si a − b está definido en R, (sn − tn ) tiene límite a − b. c) si a · b está definido en R, (sn · tn ) tiene límite a · b. d) si a/b está definido en R, (sn /tn ) tiene límite a/b.3.2.3. Límite superior y límite inferior de una sucesión. Límites de oscilaciónDefinición 3.2.15. Sea (sn ) una sucesión acotada superiormente. La sucesión (xn ) de números realesdefinida por xn = sup{sk : k ≥ n}es monótona no creciente, por lo que tiene límite (que puede ser finito o −∞). Dicho límite recibe elnombre de límite superior de la sucesión (sn ). Se denota por l´m sup sn , de modo que ı n l´m sup sn = l´m sup sk ı ı = ´nf sup sk . ı n n k≥n n k≥nSi (sn ) no está acotada superiormente, se define l´m sup sn = +∞. ı nDefinición 3.2.16. Sea (sn ) una sucesión acotada inferiormente. La sucesión (yn ) de números realesdefinida por yn = ´nf{sk : k ≥ n} ıes monótona no decreciente, por lo que tiene límite (que puede ser finito o +∞). Dicho límite recibeel nombre de límite inferior de la sucesión (sn ). Se denota por l´m inf sn , de modo que ı n l´m inf sn = l´m ´nf sk ı ı ı = sup ´nf sk . ı n n k≥n n k≥nSi (sn ) no está acotada inferiormente, se define l´m inf sn = −∞. ı n
  • 61. 3.2. Límites infinitos 57Nota. Una consecuencia inmediata de la definición es que siempre l´m inf sn ≤ l´m sup sn . ı ı n nEjemplos. Pueden examinarse las siguientes sucesiones (en algunos casos no es sencillo demostrarcon rigor cuáles son el límite superior y el inferior): a) l´m inf(−1)n = −1, l´m sup(−1)n = 1. ı ı n n b) l´m inf(−1)n n = −∞, l´m sup(−1)n n = +∞. ı ı n n (−1)n (−1)n c) l´m inf ı = 0, l´m sup ı = 0. n n n n d) l´m inf sen n = −1, l´m sup sen n = 1. ı ı n n e) (0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .); el límite inferior es 0 y el límite superior es 1. f) (0, 1, 0, 2, 0, 3, . . .); el límite inferior es 0 y el límite superior es +∞. g) (0, 1 , 0, 1 , 0, 1 , . . .); el límite inferior es 0 y el límite superior es 0, también. 2 3 4 h) (a, b, c, a, b, c, . . .); el límite inferior es m´n{a, b, c} y el límite superior es m´ x{a, b, c}. ı aProposición 3.2.17. Dada una sucesión (sn ), se tiene: a) (sn ) es convergente con límite a si y solo si l´m inf sn = l´m sup sn = a. ı ı n n b) (sn ) es divergente a +∞ si y solo si l´m inf sn = +∞, ı n y en tal caso también l´m sup sn = +∞. ı n c) (sn ) es divergente a −∞ si y solo si l´m sup sn = −∞, ı n y en tal caso también l´m inf sn = −∞. ı nDemostración. a) Pongamos, para cada n ∈ N, xn = sup{sk : k ≥ n}, yn = ´nf{sk : k ≥ n}. ı (3.1)Está claro que yn ≤ sn ≤ xn . Como l´m inf sn = l´m yn y l´m sup sn = l´m xn , si l´m inf sn = l´m sup sn = ı ı ı ı ı ı n n n n n na ∈ R, basta aplicar la regla del sandwich (proposición 3.1.18) para obtener que (sn ) es convergentecon límite a.
  • 62. 58 Capítulo 3. Sucesiones de números reales Recíprocamente, si (sn ) es convergente con límite a, dado ε > 0 hay un N tal que para todo n > Nes ε ε a− < sn < a + , 2 2con lo que para todo n > N el conjunto {sk : k ≥ n} está acotado superiormente por a + ε e inferior- 2mente por a − ε , y así para todo n > N es 2 ε ε a−ε < a− ≤ yn ≤ xn ≤ a + < a + ε, 2 2y en definitiva, l´m inf sn = l´m yn = a = l´m xn = l´m sup sn . ı ı ı ı n n n n b) Para que l´m inf sn = +∞, la sucesión (sn ) debe estar acotada inferiormente y, usando la no- ı ntación (3.1), debe ser l´m yn = +∞. Como yn ≤ sn , esto obliga a que (sn ) sea también divergente a ı n+∞. Recíprocamente, si (sn ) diverge a +∞ entonces no está acotada superiormente y por definición esl´m sup sn = +∞. También es l´m inf sn = +∞, ya que dado M ∈ R existe un N tal que para todo n > N ı ı n nse verifica sn > M + 1, con lo que yn ≥ yN ≥ M + 1 > M, es decir, l´m yn = +∞. ı n c) Razonamiento análogo al anterior.Corolario 3.2.18. Una sucesión (sn ) tiene límite (en R) si y solo si l´m inf sn = l´m sup sn . ı ı n nY en este caso, el límite es igual al límite superior y al límite inferior. La sucesión (sn ) es oscilante siy solo si l´m inf sn < l´m sup sn . ı ı n nDemostración. Consecuencia inmediata de la proposición 3.2.17. Una descripción interesante de los límites superior e inferior se expresa mediante el siguienteconcepto.Definición 3.2.19. Se dice que un número a ∈ R es un límite de oscilación de una sucesión (sn ) si aes límite de alguna subsucesión de (sn ).Corolario 3.2.20. Toda sucesión tiene al menos un límite de oscilación.Demostración. Toda sucesión tiene una subsucesión monótona, y esta tiene límite (finito o infinito).Proposición 3.2.21. El límite superior de una sucesión es el máximo (en R) de sus límites de oscila-ción. El límite inferior de una sucesión es el mínimo (en R) de sus límites de oscilación.Demostración. Sea (sn ) sucesión. Veamos primeramente que el límite superior (y análogamente severía el límite inferior) es límite de oscilación. Caso 1: supongamos que l´m sup sn = s ∈ R. Sea yn = sup sk con lo que s = ´nf yn . Ahora, por la ı ı k≥n ndefinición de ínfimo, existe N1 ∈ N tal que si n > N1 es s − 1 < yn < s + 1, y por la definición de
  • 63. 3.2. Límites infinitos 59supremo, existe ϕ(1) ∈ N tal que s − 1 < sϕ(1) < s + 1. Repitiendo la misma idea, existe ϕ(2) > ϕ(1)tal que s − 1/2 < sϕ(2) < s + 1/2, y en general existe ϕ(n) > . . . > ϕ(1) tal que s − 1/n < sϕ(n) <s + 1/n. Claramente, por la regla del sandwich, la subsucesión sϕ(n) converge a s. Caso 2: ahora supongamos que l´m sup sn = +∞. Con la notación anterior, y puesto que (yn ) es no ıdecreciente, se tiene yn = +∞ para todo n ∈ N. Como consecuencia, para cada n ∈ N existe sϕ(n) talque sϕ(n) > n. Además, se puede suponer que ϕ(n) > . . . > ϕ(1). Por lo tanto, sϕ(n) → +∞. Obsérvese que el caso l´m sup sn = −∞ queda cubierto por la proposición 3.2.17. ı Para finalizar basta demostrar que cualquier otro límite de oscilación de (sn ) está entre el límitesuperior y el inferior. Sea (sϕ(n) ) subsucesión convergente a un límite de oscilación. Claramente, conla notación de la definición, yn ≤ sϕ(n) ≤ xn y tomando límites se tiene la tesis del enunciado. Otras propiedades de los límites superior e inferior se recogen en el siguiente enunciado.Proposición 3.2.22. Sean (sn ), (tn ) sucesiones de números reales y c ∈ R. a) si l´m sup sn < c, existe un n0 tal que sn < c para todo n ≥ n0 (es decir, solo hay un número finito ı n de términos de la sucesión mayores o iguales que c). b) si l´m sup sn > c, existen infinitos n para los que sn > c. ı n c) si l´m inf sn > c, existe un n0 tal que sn > c para todo n ≥ n0 (es decir, solo hay un número finito ı n de términos de la sucesión menores o iguales que c). d) si l´m inf sn < c, existen infinitos n para los que sn < c. ı n e) si para algún m es sn ≤ tn siempre que n > m, entonces l´m inf sn ≤ l´m inf tn ; ı ı l´m sup sn ≤ l´m sup tn . ı ı n n n n f) l´m inf sn + l´m inf tn ≤ l´m inf(sn + tn ) ≤ l´m inf sn + l´m sup tn ı ı ı ı ı n n n n n ≤ l´m sup(sn + tn ) ≤ l´m sup sn + l´m sup tn . ı ı ı n n n g) si c ≥ 0, l´m inf(csn ) = c l´m inf sn ; ı ı l´m sup(csn ) = c l´m sup sn . ı ı n n n n h) si c < 0, l´m inf(csn ) = c l´m sup sn ; ı ı l´m sup(csn ) = c l´m inf sn . ı ı n n n n i) si sn ≥ 0, tn ≥ 0, l´m inf sn · l´m inf tn ≤ l´m inf(sntn ) ≤ l´m inf sn · l´m sup tn ≤ l´m sup(sntn ) ≤ l´m sup sn · l´m sup tn . ı ı ı ı ı ı ı ı n n n n n n n n j) si sn > 0 para todo n, sn+1 √ √ sn+1 l´m inf ı ≤ l´m inf n sn ≤ l´m sup n sn ≤ l´m sup ı ı ı . n sn n n n sn
  • 64. 60 Capítulo 3. Sucesiones de números reales3.3. Límites de sucesiones y funciones elementales Si f (x) representa una cualquiera de las funciones ex , log x, sen x, cos x, tg x, arc sen x, arc cos x,arc tg x, xr , entonces l´m sn = a =⇒ l´m f (sn ) = f (a) ı ı n npara cualquier punto a del dominio de la función y cualquier sucesión sn contenida en el dominio dela función. Otros límites son los siguientes: l´m sn = −∞ =⇒ l´m esn = 0 ı ı n n l´m sn = +∞ =⇒ l´m esn = +∞ ı ı n n l´m sn = 0, sn > 0 para todo n =⇒ l´m log sn = −∞ ı ı n n l´m sn = +∞ =⇒ l´m log sn = +∞ ı ı n n l´m sn = −∞ =⇒ l´m arc tg sn = − π ı ı 2 n n π l´m sn = +∞ =⇒ l´m arc tg sn = ı ı 2 n n 0, si r > 0 l´m sn = 0, sn > 0 para todo n =⇒ l´m sr = ı ı n n n +∞, si r < 0 +∞, si r > 0 l´m sn = +∞ =⇒ l´m sr = ı ı n n n 0, si r < 0Si f (x) = ar xr + ar−1 xr−1 + · · · + a0 es un polinomio (con r ∈ N y ar = 0), entonces l´m sn = +∞ =⇒ l´m f (sn ) = +∞ ı ı (si ar > 0), n n l´m sn = +∞ =⇒ l´m f (sn ) = −∞ ı ı (si ar < 0). n nDefinición 3.3.1. Sean (sn ) y (tn ) dos sucesiones. Decimos que las dos sucesiones son equivalentesy escribimos sn ∼ tnsi se verifica sn = 1. l´m ı n tn Las principales equivalencias de sucesiones son: • Si sn → 0, esn − 1 ∼ sn log(1 + sn ) ∼ sn 1 sen sn ∼ sn 1 − cos sn ∼ s2 2 n • Sea f (x) = ar xr + ar−1 xr−1 + · · · + a0 , con ar = 0; si sn → +∞, f (sn ) ∼ ar sr , n log f (sn ) ∼ r log sn (si ar > 0). √ • Fórmula de Stirling: n! ∼ nn e−n 2πn.
  • 65. 3.4. Ejercicios 613.4. EjerciciosEjercicio 3.1. ¿Para qué valores de a ∈ R es (an ) una subsucesión de 1 n ? ¿Y de 1 2n ? ¿Y de 1 2n ? 1¿Y de 2n−1 ?Ejercicio 3.2. Estudiar el límite de la sucesión 4 + 3 9 − 4 16 + 5 25 − 6 , , , ,... 1·3 2·4 3·5 4·6Ejercicio 3.3. Calcular el límite de las sucesiones de término general: 2 2 2 1 1 2 n−1 a) a+ + a+ +···+ a+ n n n n (12 + 22 + · · · + n2 )2 1 + 22 + 32 + · · · + n2 b) c) (1 + 2 + · · · + n)3 1 + n + n2 + n3 √ √ 2 √ 3 3 n−4 5 n n d) √ √ e) 3 n − 3(4 − 5 n) √ n+ n+ n √ √ √ f) 4n2 − 1 − (2n − 1) g) n + an2 − 3 n3 − an2 3 3 √ √ a n2 + n − n2 − n h) n 1+ −1 3 i) √ √ n n( 3 n3 + n − 3 n3 − n) √ √ √ √ j) n2 + n + 1 − 3n2 − 1 − 3n k) 9n2 − n − 3 27n3 − 5n2 n3 + 2 n+1 n2 + 3n − 2 2n2 + 1 l) (4n + 3) log m) n−2 n2 + n n2 + 2 4n+1 n+1 n−3 3n2 + 2n + 1 n) ñ) 1 + log n−1 3n2 + 5n 1 1 1 log(3/n) o) p) (2 + 3n4 ) 3 + 2 log(n + 1) n n2 log n log(n2 + 1) q) r) 3 (n + a)(n + b)(n + c) − n log(n2 − 1) √ 2 22n (n!)2 n 2 · 4 · 6 · · · (2n − 2) s) t) n (2n + 1)! 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) n (n + 1)(n + 2) · · · (n + n) 1 u) v) n (3n + 1)(3n + 2) · · · (4n) n n 1p + 2p + · · · + np n cos 1 + cos √2 + · · · + cos √n − n 1 1 w) − (p ∈ N) x) np p+1 log(n3 + 1) √ √ 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + · · · + n(n + 1)(n + 2) y) √ n2 n
  • 66. 62 Capítulo 3. Sucesiones de números reales log 1 − log 2 + log 3 − · · · + log(2n − 1) − log 2n z) log n √ √ √ 2! tg 1 + 3 3! tg 1 + · · · + n n! tg 1 A) 2 √ 3 n B) n n n n · · · 1 2 n n n2 + 1 1 1 1 C) + +···+ D) (2n + 3n )1/n n2 (n + 1)2 (n + n)2 n2 π n2 π n2 π E) sen + sen + · · · + sen 2(n2 + 1) 2(n2 + 2) 2(n2 + n)Ejercicio 3.4. Hallar una relación entre a, b y c para que (n + 1)b − nb l´m na ı n (n + 1)c − ncsea real y distinto de cero. En ese caso, hallar dicho límite. an + nEjercicio 3.5. Discutir, según el valor de a ∈ R, la existencia y el valor de l´m ı . n an−1 + 2n 1 1 1 1Ejercicio 3.6. Sea un = + + +···+ ; probar que existe l´m un y está compren- ı 1+n 2+n 3+n n+n ndido entre 1/2 y 1. nEjercicio 3.7. Hallar, si existe, el límite de la sucesión dada por un+1 = un . 2n + 1Ejercicio 3.8. Sea (xn )∞ una sucesión. Probar que si existen l´m x2k , l´m x2k−1 y l´m x3k , entonces n=1 ı ı ı k k kexiste l´m xn y coincide con los anteriores. ı n x1 + x2 + · · · + xnEjercicio 3.9. Demostrar que si xn → a, entonces → a. nEjercicio 3.10. Calcular el límite superior y el inferior de las sucesiones de término general: (−1)n 1 (−1)n a) a + b) (−1)n + c) + 1 + (−1)n n n n n (−1)n (−1)n n 2n + (−1)n (n + 2) d) 1+ e) f) n 2n + 1 3n + 3 2n + 1 (−1)n (n + 1) a − n(−1) n g) (−1)n 3 + h) i) 3n + 2 2n + 1  2, si n es múltiplo de 4  j) sn = 0, si n es par y no es múltiplo de 4   1, si n es impar
  • 67. Capítulo 4Continuidad4.1. Límites de funciones reales de una variable real4.1.1. Definición de límite de una función. Unicidad del límite. Límite por sucesionesDefinición 4.1.1. Dado a ∈ R, un conjunto V ⊆ R es un entorno de a si contiene un intervalo (a −ε, a + ε) para algún ε > 0. Si V es un entorno de a, se dice que el conjunto V {a} es un entornoreducido de a.Ejemplos. a) Si b < a < c, los intervalos (b, c), [b, c), (b, c] y [b, c] son entornos de a. También lo son los intervalos (b, +∞), [b, +∞), (−∞, c) y (−∞, c]. b) Todo conjunto que contenga un entorno de un punto es a su vez entorno de ese punto.Definición 4.1.2. Sea A ⊆ R, a ∈ R; a es un punto de acumulación de A si todo entorno reducidode a contiene puntos de A; equivalentemente, si para cada ε > 0 existe algún y ∈ A tal que y = a,|y − a| < ε, o sea, tal que 0 < |y − a| < ε. El conjunto de puntos de acumulación de un conjunto A suele denominarse conjunto derivado deA y representarse por A . Informalmente, a ∈ A si y solo si hay puntos de A, distintos de a, arbitrariamente próximos alpunto a.Ejemplos. a) Si A es finito, A = 0. / b) N = Z = 0, Q = R. / c) (a, b) = [a, b] = [a, b]. d) Si A = {1/n : n ∈ N}, 0 ∈ A (aunque 0 ∈ A) y 1 ∈ A (aunque 1 ∈ A). / /Observación. Se puede probar que a ∈ A si y solo si existe una sucesión (xn ) de puntos de A distintosde a que converge al punto a.Definición 4.1.3 (límite de una función en un punto). Sea A ⊆ R, f : A → R, a ∈ A , b ∈ R. Seescribe l´m f (x) = b ı x→acuando se cumple lo siguiente: para cada ε > 0 existe algún δ > 0 tal que para todo x ∈ A con0 < |x − a| < δ se tiene | f (x) − b| < ε. Se dice entonces que b es límite de f (x) cuando x tiende al punto a. 63
  • 68. 64 Capítulo 4. Continuidad 2ε b 2ε b f (a) f (a) a a 2δ 2δ 0 < |x − a| < δ ⇒ | f (x) − b| < ε 0 < |x − a| < δ =⇒ | f (x) − b| < ε La condición de que | f (x) − b| < ε para todo x ∈ A con 0 < |x − a| < δ se puede escribir de estaotra forma: f (U) ⊆ (b − ε, b + ε), U = [A ∩ (a − δ , a + δ )] {a}.Podemos parafrasear esta definición diciendo que f (x) se acerca a b cuando x se acerca al punto adentro del dominio de f , o que b puede ser aproximado tanto como se quiera por valores de f enpuntos de su dominio suficientemente próximos al punto a, pero distintos de a.Ejemplo. Si f : R → R está dada por 0 si x = 0; f (x) = 1 si x = 0,entonces l´m f (x) = 0 (sin que importe que f (0) = 1). ı x→0Proposición 4.1.4 (unicidad del límite). Sea A ⊆ R, f : A → R, a ∈ A , b1 , b2 ∈ R. Si l´m f (x) = b1 ı y l´m f (x) = b2 ı x→a x→aentonces b1 = b2 . b2 − b1Demostración. Supongamos, por ejemplo, que b1 < b2 . Elijamos ε = . Deben existir un δ1 > 0 2 b1 + b2tal que para todo x ∈ A con 0 < |x − a| < δ1 es f (x) < b1 + ε = y un δ2 > 0 tal que para todo 2 b1 + b2x ∈ A con 0 < |x − a| < δ2 es = b2 − ε < f (x). Definiendo δ = m´n{δ1 , δ2 }, resulta que para ı 2 b1 + b2 b1 + b2todo x ∈ A con 0 < |x − a| < δ es < f (x) < . Esto es una contradicción. 2 2 El resultado anterior también se puede obtener como una consecuencia de la proposición siguientey de la unicidad del límite para sucesiones.Proposición 4.1.5 (límite a través de sucesiones). Sea A ⊆ R, f : A → R, a ∈ A , b ∈ R. Las siguientespropiedades son equivalentes: a) l´m f (x) = b. ı x→a
  • 69. 4.1. Límites de funciones reales de una variable real 65 b) para cada sucesión (sn ) de puntos de A {a} tal que l´m sn = a se verifica l´m f (sn ) = b. ı ı n nDemostración. a)=⇒b) Supongamos que l´m f (x) = b. Para cualquier ε > 0 se puede encontrar δ > 0 ı x→ade modo que para todo x ∈ A con 0 < |x − a| < δ se cumple | f (x) − b| < ε. Sea (sn ) una sucesión depuntos de A {a} tal que l´m sn = a. Dado δ > 0, existirá un N ∈ N tal que para todo n > N se verifica ı n|sn − a| < δ , y como sn = a, se deduce que | f (sn ) − b| < ε; en otras palabras, l´m f (sn ) = b. ı n b)=⇒a) Vamos a probar que si a) no se cumple, entonces b) tampoco. Que no se cumpla a)significa que existe algún ε > 0 tal que para todo δ > 0 hay al menos un xδ ∈ A que cumple 0 <|xδ − a| < δ y sin embargo | f (xδ ) − b| ≥ ε. Para cada n ∈ N, elijamos δ = 1 . Hay algún punto sn ∈ A que cumple 0 < |sn − a| < n y sin n 1embargo | f (sn ) − b| ≥ ε. La sucesión (sn ) así obtenida tiene las siguientes propiedades: • está contenida en A {a}, porque sn ∈ A, pero 0 < |sn − a|; • l´m sn = a, porque 0 < |sn − a| < ı 1 n (basta aplicar la definición de límite, o bien la regla del n sandwich, proposición 3.1.18). • pero la sucesión f (sn ) no tiende a b, porque para todos los n ∈ N, | f (sn ) − b| ≥ ε.Por lo tanto, no se cumple b).4.1.2. Límites infinitos y límites en el infinitoDefinición 4.1.6. Un conjunto V ⊆ R es un entorno reducido de +∞ o −∞ si exsite un r ∈ R tal que(r, +∞) ⊆ V (respectivamente, (−∞, r) ⊆ V ).Definición 4.1.7. Se dice que +∞ es un punto de acumulación de un conjunto A ⊆ R si A no estáacotado superiormente, en cuyo caso se escribe +∞ ∈ A . Se dcie que −∞ es un punto de acumula-ción de un conjunto A ⊆ R si A no está acotado inferiormente, y en ese caso se escribe −∞ ∈ A .Definición 4.1.8 (límites infinitos y límites en el infinito). Sea A ⊆ R, f : A → R, a, b ∈ R ∪ {±∞},a ∈ A . Se escribe l´m f (x) = b ı x→asi para cada entorno V de b existe un entorno reducido U de a tal que f (U) ⊆ V . Pueden darse definiciones en términos de desigualdades, desglosando los diferentes casos posi-bles. Concretamente, sean A ⊆ R, f : A → R, a, b ∈ R. a) l´m f (x) = +∞ si para cada M ∈ R existe algún δ > 0 tal que todos los x ∈ A con 0 < |x − a| < δ ı x→a cumplen f (x) > M. b) l´m f (x) = −∞ si para cada M ∈ R existe algún δ > 0 tal que todos los x ∈ A con 0 < |x − a| < δ ı x→a cumplen f (x) < M. c) l´m f (x) = b si para cada ε > 0 existe algún K ∈ R tal que todos los x ∈ A con x > K cumplen ı x→+∞ | f (x) − b| < ε. d) l´m f (x) = +∞ si para cada M ∈ R existe algún K ∈ R tal que todos los x ∈ A con x > K ı x→+∞ cumplen f (x) > M.
  • 70. 66 Capítulo 4. Continuidad e) l´m f (x) = −∞ si para cada M ∈ R existe algún K ∈ R tal que todos los x ∈ A con x > K ı x→+∞ cumplen f (x) < M. f) l´m f (x) = b si para cada ε > 0 existe algún K ∈ R tal que todos los x ∈ A con x < K cumplen ı x→−∞ | f (x) − b| < ε. g) l´m f (x) = +∞ si para cada M ∈ R existe algún K ∈ R tal que todos los x ∈ A con x < K ı x→−∞ cumplen f (x) > M. h) l´m f (x) = −∞ si para cada M ∈ R existe algún K ∈ R tal que todos los x ∈ A con x < K ı x→−∞ cumplen f (x) < M. Con esta ampliación, sigue habiendo unicidad de límite. Igualmente se mantiene la caracterizaciónmediante sucesiones:Proposición 4.1.9. Sea A ⊆ R, f : A → R, a, b ∈ R ∪ {±∞}, a ∈ A . Las siguientes propiedades sonequivalentes: a) l´m f (x) = b. ı x→a b) para cada sucesión (sn ) de puntos de A {a} tal que l´m sn = a se verifica l´m f (sn ) = b. ı ı n nDemostración. Basta adaptar a cada caso la demostración de la proposición 4.1.5.4.1.3. Cálculo de límitesProposición 4.1.10 (operaciones algebraicas con límites). Sean A ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto deacumulación de A, c ∈ R y f , g : A → R. Se tiene: a) l´m ( f (x) + g(x)) = l´m f (x) + l´m g(x), si estos últimos límites existen y su suma está definida ı ı ı x→a x→a x→a en R ∪ {±∞}. b) l´m c f (x) = c l´m f (x), si este último límite existe y su producto por c está definido en R∪{±∞}. ı ı x→a x→a c) l´m f (x)g(x) = l´m f (x) l´m g(x), si estos últimos existen y su producto está definido en R ∪ ı ı ı x→a x→a x→a {±∞}. f (x) x→a f (x) l´m ı d) l´m ı = , si estos últimos límites existen y su cociente está definido en R ∪ {±∞}. x→a g(x) l´m g(x) ı x→aDemostración. Basta aplicar la proposición 4.1.9 y el resultado análogo para sucesiones.Proposición 4.1.11 (acotación y límite cero). Sean A ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulaciónde A, y f , g : A → R. Supongamos que: a) la función f está acotada, es decir, existe M > 0 tal que | f (x)| ≤ M para todo x ∈ A. b) l´m g(x) = 0; ı x→aEntonces l´m f (x)g(x) = 0. ı x→a
  • 71. 4.1. Límites de funciones reales de una variable real 67Demostración. Basta aplicar la proposición 4.1.9 y el resultado análogo para sucesiones.Proposición 4.1.12 (cambios de variable). Sean A, B subconjuntos de R, a un punto de acumulaciónde A, b un punto de acumulación de B, f : A → R y g : B → R tales que f (A) ⊆ B y supongamos que l´m f (x) = b, ı l´m g(y) = c ı x→a y→bSi b ∈ f (A), entonces existe l´m g( f (x)) = c. ı x→aDemostración. Sea ε > 0. Como l´m g(y) = c, existe algún r > 0 tal que para todo y ∈ B con 0 < ı y→b|y − b| < r, se tiene |g(y) − c| < ε. Ahora, como l´m f (x) = b, existe algún δ > 0 tal que para todo x ∈ A con 0 < |x − a| < δ , se tiene ı x→a| f (x) − b| < r. Sea x ∈ A con 0 < |x − a| < δ . No solo es | f (x) − b| < r, sino que como b ∈ f (A) y f (A) ⊆ B,resulta 0 < | f (x) − b| < r, f (x) ∈ BPor lo tanto, |g( f (x)) − c| < ε. La hipótesis adicional b ∈ f (A) es suficiente, aunque no necesaria para que se verifique la tesis.Bastaría también, por ejemplo, que f fuese inyectiva; o que b ∈ B y c = g(b). Sin añadir algunacondición como estas, no puede garantizarse la validez del resultado final: considérese, por ejemplo,el caso de las funciones definidas en R por 0 si y = 0 f (x) = 0, g(y) = . 1 si y = 0Entonces g( f (x)) = 1 para todo x, y así l´m f (x) = 0, ı l´m g(y) = 0, ı l´m g( f (x)) = 1. ı x→0 y→0 x→0 A veces es útil en el cálculo de límites tener en cuenta las siguientes consecuencias inmediatas dela definición de límite:Proposición 4.1.13. Si A ⊆ R, a punto de acumulación de A y f : A → R, a) l´m f (x) = b ∈ R ⇐⇒ l´m | f (x) − b| = 0. ı ı x→a x→a b) l´m f (x) = b ∈ R =⇒ l´m | f (x)| = |b|. ı ı x→a x→a El recíproco solo es cierto, en general, cuando b = 0. c) l´m f (x) = b (a ∈ R) ⇐⇒ l´m f (a + t) = b. ı ı x→a t→0
  • 72. 68 Capítulo 4. Continuidad4.1.4. Límites laterales Si en las definiciones de límites añadimos una de las dos condiciones x > a, x < a, entonces sehabla de límites laterales (por la derecha y por la izquierda, respectivamente). Se emplea la notación l´m+ f (x), l´m− f (x). ı ıx→a x→aDefinición 4.1.14 (límites laterales: por la derecha y por la izquierda). Sean A ⊆ R, f : A → R,a ∈ R un punto de acumulación de A y b ∈ R. a) Se dice que l´m+ f (x) = b si para cada ε > 0 existe algún δ > 0 tal que todos los x ∈ A con ı x→a 0 < x − a < δ cumplen | f (x) − b| < ε. b) Se dice que l´m+ f (x) = +∞ si para cada M ∈ R existe algún δ > 0 tal que todos los x ∈ A con ı x→a 0 < x − a < δ cumplen f (x) > M. c) Se dice que l´m+ f (x) = −∞ si para cada M ∈ R existe algún δ > 0 tal que todos los x ∈ A con ı x→a 0 < x − a < δ cumplen f (x) < M. d) Se dice que l´m− f (x) = b si para cada ε > 0 existe algún δ > 0 tal que todos los x ∈ A con ı x→a 0 < a − x < δ cumplen | f (x) − b| < ε. e) Se dice que l´m− f (x) = +∞ si para cada M ∈ R existe algún δ > 0 tal que todos los x ∈ A con ı x→a 0 < a − x < δ cumplen f (x) > M. f) Se dice que l´m− f (x) = −∞ si para cada M ∈ R existe algún δ > 0 tal que todos los x ∈ A con ı x→a 0 < a − x < δ cumplen f (x) < M. En términos de entornos reducidos, la definición anterior se puede escribir de manera más breve.Para los límites laterales se puede probar el resultado análogo a la proposición 4.1.9. También, y comoconsecuencia inmediata de las definiciones, tenemos:Proposición 4.1.15. Sean A ∈ R, f : A → R y a ∈ R de modo que (a − δ , a + δ ) ⊆ A para algún δ > 0.Sea b ∈ R ∪ {±∞}. Entonces, l´m f (x) = b ⇐⇒ l´m− f (x) = l´m+ f (x) = b. ı ı ı x→a x→a x→a Las proposiciones siguientes demuestran que las funciones monótonas tienen límites laterales entodos los puntos.Proposición 4.1.16. Sean A ⊆ R, f : A → R monótona no decreciente, a ∈ R ∪ {±∞}. a) si a ∈ [A ∩ (−∞, a)] , entonces f tiene límite por la izquierda en a (finito o infinito) y es l´m f (x) = sup{ f (x) : x ∈ A ∩ (−∞, a)} ı x→a− (entendiendo que si el conjunto no está acotado superiormente, su supremo es +∞). b) si a ∈ [A ∩ (a, +∞)] entonces f tiene límite por la derecha en a (finito o infinito) y es l´m f (x) = ´nf{ f (x) : x ∈ A ∩ (a, +∞)} ı ı x→a+ (entendiendo que si el conjunto no está acotado inferiormente, su ínfimo es −∞).
  • 73. 4.1. Límites de funciones reales de una variable real 69Demostración. Solo demostramos el apartado a) y en el caso de que a ∈ R y el conjunto { f (x) : x ∈A ∩ (−∞, a)} esté acotado. Los demás casos son similares. Sea L = sup{ f (x) : x ∈ A ∩ (−∞, a)} ∈ R. Sea ε > 0. Entonces, L − ε no es una cota superior delconjunto { f (x) : x ∈ A ∩ (−∞, a)}, así que existe algún r ∈ A ∩ (−∞, a) tal que L − ε < f (r). Si ahoraelegimos δ = a − r, todos los x ∈ A tales que 0 < a − x < δ cumplen r = a − δ < x,luego L − ε < f (r) ≤ f (x) ≤ L < L + ε, es decir: | f (x) − L| < ε. La variante para funciones monótonas no crecientes, que enunciamos a continuación, se demuestrade igual manera.Proposición 4.1.17. Sean A ⊆ R, f : A → R monótona no creciente, a ∈ R ∪ {±∞}. a) si a ∈ [A ∩ (−∞, a)] , entonces f tiene límite por la izquierda en a y es l´m f (x) = ´nf{ f (x) : x ∈ A ∩ (−∞, a)} ı ı x→a− (entendiendo que si el conjunto no está acotado inferiormente, su ínfimo es −∞). b) si a ∈ [A ∩ (a, +∞)] entonces f tiene límite por la derecha en a y es l´m f (x) = sup{ f (x) : x ∈ A ∩ (a, +∞)} ı x→a+ (entendiendo que si el conjunto no está acotado superiormente, su supremo es +∞).4.1.5. Límites de funciones elementales Si f (x) representa una cualquiera de las funciones ex , log x, sen x, cos x, tg x, arc sen x, arc cos x,arc tg x, xr , entonces l´m f (x) = f (a) ı x→apara cualquier punto a del dominio de la función. Otros límites son los siguientes: l´m ex = 0 ı l´m ex = +∞ ı x→−∞ x→+∞ l´m log x = −∞ ı l´m log x = +∞ ı x→0+ x→+∞ l´m ı tg x = +∞ l´m ı tg x = −∞ x→(π/2)− x→(π/2)+ π π l´m arc tg x = − ı l´m arc tg x = ı x→−∞ 2 x→+∞ 2 l´m xr = 0 ı l´m x = +∞ ı r (si r > 0) x→0+ x→+∞ l´m xr = +∞ ı l´m xr = 0 ı (si r < 0) x→0+ x→+∞Si f (x) = ar xr + ar−1 xr−1 + · · · + a0 es un polinomio (con r ∈ N y ar = 0), entonces l´m f (x) = +∞ ı (si ar > 0), x→+∞ l´m f (x) = −∞ ı (si ar < 0). x→+∞
  • 74. 70 Capítulo 4. ContinuidadTambién se tiene el siguiente orden de infinitud, donde a > 0 y b > 1: log x xa bx xx (x → +∞).Aquí, “ f (x) g(x) cuando x → +∞” significa que f (x) l´m ı =0 x→+∞ g(x)(o bien que g(x)/ f (x) → +∞).Definición 4.1.18. Sean A ⊆ R, a ∈ R∪{±∞} un punto de acumulación de A, y f , g : A → R. Decimosque f es equivalente a g cuando x tiende al punto a, y escribimos f (x) ∼ g(x) (x → a)si se verifica f (x) l´m ı = 1. x→a g(x)Nota. Los resultados sobre sucesiones equivalentes se trasladan sin dificultad a funciones equivalen-tes. En general, podemos traducir las equivalencias entre sucesiones a equivalencias entre funciones.Por ejemplo: • Equivalencias de infinitésimos: cuando x → 0, ex − 1 ∼ x log(1 + x) ∼ x (1 + x)α − 1 ∼ αx sen x ∼ x 1 − cos x ∼ x2 /2 tg x ∼ x arc sen x ∼ x arc tg x ∼ x • Equivalencias de infinitos: sea f (x) = ar xr + ar−1 xr−1 + · · · + a0 , con ar = 0; cuando x → +∞, f (x) ∼ ar xr , log f (x) ∼ r log x (si ar > 0).4.1.6. Límites y desigualdadesNotación. Para abreviar y unificar algunos enunciados, a veces es cómoda la siguiente notación:dados a ∈ R ∪ {±∞}, r ∈ R,  {x ∈ R : 0 < |x − a| < r}  si a ∈ R (y entonces r > 0) E(a; r) = {x ∈ R : x > r} si a = +∞   {x ∈ R : x < r} si a = −∞.Proposición 4.1.19. Sean A ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulación de A y f : A → R para laque existe l´m f (x) = b ∈ R ∪ {±∞}. Se tiene: ı x→a
  • 75. 4.1. Límites de funciones reales de una variable real 71 a) dado c < b, existe r tal que c < f (x) ∀x ∈ A ∩ E(a; r) (en palabras, cuando el límite de f en a es mayor que c, también la función f se mantiene mayor que c en puntos suficientemente próximos al punto a, pero distintos de a). b) dado c > b, existe r tal que f (x) < c ∀x ∈ A ∩ E(a; r) (en palabras, cuando el límite de f en a es menor que c, también la función f se mantiene menor que c en puntos suficientemente próximos al punto a, pero distintos de a).Corolario 4.1.20. Sean A ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulación de A y f , g : A → R y supon-gamos que existen l´m f (x) = b ∈ R ∪ {±∞} y l´m g(x) = c ∈ R ∪ {±∞}. Se tiene: ı ı x→a x→a a) Si b > 0, entonces existe algún r > 0 tal que 0 < f (x) ∀x ∈ A ∩ E(a; r). b) Si b < 0, entonces existe algún r > 0 tal que f (x) < 0 ∀x ∈ A ∩ E(a; r). c) Si b < c, entonces existe algún r > 0 tal que f (x) < g(x) ∀x ∈ A ∩ E(a; r).En particular, f conserva el signo del límite en puntos suficientemente próximos al punto a, perodistintos de a (cuando el límite no es nulo).Observación. En la proposición 4.1.19 y en el corolario 4.1.20, no se puede cambiar < por ≤.Corolario 4.1.21. Sean A ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulación de A y f : A → R, g : A → Rfunciones para las que existen l´m f (x) = b ∈ R ∪ {±∞}, l´m g(x) = c ∈ R ∪ {±∞}. Si existe algún ı ı x→a x→ar > 0 tal que f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ A ∩ E(a; r),entonces b ≤ c.Observación. En el enunciado anterior, no se puede cambiar ≤ por <.Proposición 4.1.22 (regla del sandwich para funciones con límite finito). Sean A ⊆ R, a ∈ R ∪{±∞} un punto de acumulación de A y f : A → R, g : A → R, h : A → R funciones tales que: a) existe r de modo que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x ∈ A ∩ E(a; r). b) existen l´m f (x) = l´m h(x) = b ∈ R. ı ı x→a x→aEntonces también existe l´m g(x) y es igual a b. ı x→aDemostración. Basta aplicar la caracterización del límite mediante sucesiones (proposición 4.1.9) yla regla del sandwich para sucesiones (proposición 3.1.18). O bien, se puede demostrar de manerasimilar al caso de las sucesiones.
  • 76. 72 Capítulo 4. Continuidad La versión para límites infinitos es más simple:Proposición 4.1.23 (regla del sandwich para funciones con límite infinito). Sean A ⊆ R, a ∈ R ∪{±∞} un punto de acumulación de A y f : A → R, g : A → R funciones tales que existe r de modo que f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ A ∩ E(a; r). a) si l´m f (x) = +∞, entonces también se tiene l´m g(x) = +∞. ı ı x→a x→a b) si l´m g(x) = −∞, entonces también se tiene l´m f (x) = −∞. ı ı x→a x→aDemostración. Basta aplicar la proposición 4.1.9 y el resultado análogo para sucesiones.4.1.7. Condición de Cauchy para funcionesProposición 4.1.24. Sean A ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulación de A y f : A → R. Lassiguientes propiedades son equivalentes: a) f tiene límite finito cuando x tiende al punto a; b) se cumple la siguiente condición de Cauchy: para cada ε > 0 existe r ∈ R tal que para cua- lesquiera x, y ∈ A ∩ E(a; r) se verifica | f (x) − f (y)| < ε; c) para cada sucesión (xn ) de puntos de A {a} tal que l´m xn = a se verifica que la sucesión ı n ( f (xn )) es de Cauchy.Demostración. a) =⇒ b) Sea l´m f (x) = b. Dado ε > 0 existe r ∈ R tal que para todo x ∈ A ∩ E(a; r) ı x→ase tiene ε | f (x) − b| < , 2luego para cualesquiera x, y ∈ A ∩ E(a; r) será ε ε | f (x) − f (y)| ≤ | f (x) − b| + |b − f (y)| < + = ε. 2 2 b) =⇒ c) Es una comprobación sencilla. c) =⇒ a) Dada una sucesión (xn ) de puntos de A {a} tal que l´m xn = a, como la sucesión ı n( f (xn )) es de Cauchy tendrá un límite b, posiblemente distinto para cada sucesión (xn ). Según lacaracterización del límite mediante sucesiones (proposición 4.1.9), para completar la demostraciónserá suficiente que probemos que l´m f (xn ) es el mismo para todas las sucesiones (xn ). ı n Sean, pues, (yn ), (zn ) sucesiones de puntos de A {a} tales que l´m yn = a = l´m zn , y sean c = ı ı n nl´m f (yn ), d = l´m f (zn ). La sucesión (xn ) definida por x2n−1 = yn , x2n = zn sigue siendo una sucesión ı ı n nde puntos de A {a} con l´m xn = a, luego ( f (xn )) será una sucesión convergente. Si b es su límite, ı ncomo ( f (yn )), ( f (zn )) son subsucesiones suyas, debe cumplirse c = b = d.
  • 77. 4.2. Funciones continuas 734.1.8. Límites de restricciones y extensiones de funcionesProposición 4.1.25. Sean f : A ⊆ R → R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulación de A, b ∈ R ∪{±∞}. Se cumple: a) si A1 ⊆ A, a ∈ A1 , f1 = f |A1 , entonces l´m f (x) = b =⇒ l´m f1 (x) = b. ı ı x→a x→a El recíproco, en general, no es cierto. Sin embargo: b) cuando A1 = A ∩ E(a; r) para algún r, l´m f (x) = b ⇐⇒ l´m f1 (x) = b ı ı x→a x→a (nos referimos a este hecho diciendo que el concepto de límite es un concepto local). c) si A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am y para 1 ≤ j ≤ m es a ∈ A j , f j = f |A j , entonces l´m f j (x) = b (1 ≤ j ≤ m) =⇒ l´m f (x) = b. ı ı x→a x→aObservación. Suele ponerse l´m f (x) ı x→c x∈Sen vez de l´m ( f |S ) (x), y se lee «límite de f (x) cuando x tiende a c a través de S». ı x→c4.2. Funciones continuas4.2.1. Definiciones de continuidad. Operaciones con funciones continuasDefinición 4.2.1. Sea f : D ⊆ R → R, a ∈ D. Se dice que f es continua en el punto a si para todoε > 0 existe δ > 0 tal que para cualquier x ∈ D con |x − a| < δ es | f (x) − f (a)| < ε. 2ε f (a) a 2δ |x − a| < δ =⇒ | f (x) − b| < εProposición 4.2.2. Sea f : D ⊆ R → R, a ∈ D. Se tiene: a) si a es un punto aislado de D, lo que significa que a ∈ D , entonces f es continua en a. /
  • 78. 74 Capítulo 4. Continuidad b) si a es un punto de acumulación de D, a ∈ D , entonces f es continua en a si y solo si existe l´m f (x) y es igual a f (a). ı x→aDefinición 4.2.3. Sea f : D ⊆ R → R, S ⊆ D. Se dice que f es continua en el conjunto S si f escontinua en todos los puntos de S. Si S = D, decimos simplemente que f es continua.Ejemplos. a) Dado c ∈ R, la función constante f (x) = c es continua (en todos los puntos). b) La función identidad, f (x) = x, es continua. c) La función valor absoluto, f (x) = |x|, es continua. d) Las funciones ex , log x, sen x, cos x, tg x, arc sen x, arc cos x, arc tg x, xr son todas ellas continuas en sus respectivos dominios de definición. e) La función de Dirichlet, 1 si x ∈ Q f (x) = 0 si x ∈ Q / no es continua en ningún punto. f) La función f : R → R dada por sen 1 si x = 0 f (x) = x 0 si x = 0 no es continua en 0. g) La función f : R → R dada por x sen 1 si x = 0 f (x) = x 0 si x = 0 es continua en 0.Proposición 4.2.4. Sea f : D ⊆ R → R, a ∈ D. Las siguientes propiedades son equivalentes: a) f es continua en a; b) si (xn ) es una sucesión de puntos de D convergente al punto a, entonces la sucesión ( f (xn )) converge a f (a);Demostración. Análoga a la de la proposición 4.1.9.Proposición 4.2.5. Sean f , g : D ⊆ R → R, a ∈ D, c ∈ R, y supongamos que f y g son continuas ena. Se tiene: a) f + g es continua en a. b) c f es continua en a. c) f g es continua en a.
  • 79. 4.2. Funciones continuas 75 d) si g(a) = 0, f /g es continua en a.Demostración. Basta aplicar la proposición 4.2.4 y el resultado análogo para sucesiones.Proposición 4.2.6. Sean f : D ⊆ R → R, g : E ⊆ R → R, a ∈ D, y supongamos que f (D) ⊆ E. Si fes continua en a y g es continua en f (a), entonces la composición g ◦ f es continua en a.Demostración. Sea ε > 0. Como g es continua en el punto f (a), existe algún r > 0 tal que para todoy ∈ E con |y − f (a)| < r, se tiene |g(y) − g( f (a))| < ε. Ahora, como f es continua en a, existe algún δ > 0 tal que para todo x ∈ D con |x − a| < δ , setiene | f (x) − f (a)| < r. Sea x ∈ dom(g ◦ f ) [es decir, x ∈ D y f (x) ∈ E] con |x − a| < δ . Entonces, | f (x) − f (a)| < r, luego|g( f (x)) − g( f (a))| < ε.Corolario 4.2.7. Sean f , g : D ⊆ R → R, a ∈ D. Si f y g son continuas en a, entonces m´ x( f , g), am´n( f , g) son también continuas en a. ıDemostración. Es fácil comprobar que f + g + | f − g| m´ x( f , g) = a , 2 f + g − | f − g| m´n( f , g) = ı . 2Ahora, la función f − g es continua en a; por la proposición 4.2.6 (tomando en el enunciado f − g enlugar de f y la función valor absoluto en lugar de g), la función | f − g| también es continua en a. Deaquí se deduce que m´ x( f , g) y m´n( f , g) son continuas en a. a ı4.2.2. Propiedades de las funciones continuas: teoremas de Weierstrass, Bolzano y Darboux; funciones continuas monótonasTeorema 4.2.8 (de Weierstrass). Sea f una función continua en un intervalo cerrado y acotado [a, b],(donde a, b ∈ R, a < b). Entonces: a) f está acotada; b) f alcanza un valor mínimo y un valor máximo, es decir, existen puntos r, s ∈ [a, b] (no necesa- riamente únicos) tales que para todo x ∈ [a, b] es f (r) ≤ f (x) ≤ f (s).Demostración. a) Sea f : [a, b] → R una función no acotada y probemos que entonces hay algún puntodel intervalo [a, b] donde la función no es continua. Dado que f no está acotada, para cada n ∈ N hayalgún punto xn ∈ [a, b] tal que | f (xn )| > n. En particular, l´m | f (xn )| = +∞. ı nPero la sucesión (xn )∞ sí está acotada, así que, por el teorema 3.1.23 de Bolzano-Weierstrass, hay n=1alguna subsucesión suya que converge: xϕ(n) → c ∈ [a, b].Sabemos que l´m | f (xϕ(n) )| = +∞, ı n
  • 80. 76 Capítulo 4. Continuidadpor ser una subsucesión de (| f (xn )|)∞ . Entonces, la función f no es continua en c, ya que si lo fuera n=1debería ser l´m | f (xϕ(n) )| = | f (c)|. ı n b) Sea f : [a, b] → R continua. Por el apartado anterior, ya sabemos que está acotada, de modo queel conjunto { f (x) : x ∈ [a, b]} tiene supremo e ínfimo en R; sean M = sup{ f (x) : x ∈ [a, b]} ∈ R, m = ´nf{ f (x) : x ∈ [a, b]} ∈ R. ıSe trata de probar que ese supremo y ese ínfimo se alcanzan, es decir, que existen ciertos r, s ∈ [a, b]tales que f (r) = m, f (s) = M. 1 Para cada n ∈ N, el número M − no es una cota superior de f , de modo que podemos elegir nalgún xn ∈ [a, b] tal que 1 M − < f (xn ) ≤ M. nEn particular, l´m f (xn ) = M. ı nComo la sucesión (xn )∞ n=1 está acotada, tendrá alguna subsucesión (xϕ(n) )∞ convergente: n=1 xϕ(n) → s ∈ [a, b].Por una parte, la función f es continua en todos los puntos de [a, b]; por otra, f (xϕ(n) ) n∈N es unasubsucesión de f (xn ) n∈N . Entonces, f (s) = l´m f (xϕ(n) ) = M. ı nDe manera análoga se demuestra que existe algún punto r ∈ [a, b] tal que f (r) = m. Pasamos a ver dos resultados íntimamente relacionados entre sí, el teorema de Bolzano y el teo-rema de los valores intermedios o propiedad de Darboux. Algunos libros comienzan por probar elteorema de los valores intermedios (por ejemplo, [ROSS, teor. 18.2, pág. 96]) y el teorema de Bolzanoresulta como caso particular; otros proceden al revés, demostrando primero el teorema de Bolzanoy obteniendo después el teorema de los valores intermedios como consecuencia. Tomamos este se-gundo camino, que utiliza una demostración más constructiva que sugiere un procedimiento (un tantorudimentario) para obtener aproximaciones de raíces de ecuaciones.Teorema 4.2.9 (de los ceros o de Bolzano). Sea f : [a, b] → R una función continua (a, b ∈ R, a < b).Supongamos que f (a) f (b) < 0. Entonces existe c ∈ (a, b) con f (c) = 0.Demostración. Sea, por ejemplo, f (a) < 0 < f (b). Veamos mediante inducción completa que pode-mos construir sucesiones (xn ), (yn ) tales que a ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn < yn ≤ · · · ≤ y1 ≤ b, b−ayn − xn = , f (xn ) ≤ 0, f (yn ) > 0 para todo n ∈ N. 2n
  • 81. 4.2. Funciones continuas 77 a+b Para ello, comencemos tomando z1 = . O bien f (z1 ) ≤ 0, o bien f (z1 ) > 0. En el primer 2caso, hagamos x1 = z1 , y1 = b; en el segundo caso hagamos x1 = a, y1 = z1 . En ambos casos, resultaa ≤ x1 < y1 ≤ b, y1 − x1 = (b − a)/2, f (x1 ) ≤ 0, f (y1 ) > 0. Supongamos construidos x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn , de manera que a ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn < yn ≤ · · · ≤ y1 ≤ b, b−a xn + yny j −x j = j , f (x j ) ≤ 0, f (y j ) > 0 (1 ≤ j ≤ n). Tomamos entonces zn+1 = ; o bien f (zn+1 ) ≤ 2 20, o bien f (zn+1 ) > 0. En el primer caso, hagamos xn+1 = zn+1 , yn+1 = yn , en el segundo caso hagamosxn+1 = xn , yn+1 = zn ; en ambos casos resulta a ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn ≤ xn+1 < yn+1 ≤ yn ≤ · · · ≤ y1 ≤ b, b−ayn+1 − xn+1 = , f (xn+1 ) ≤ 0, f (yn+1 ) > 0. 2n+1 La sucesión (xn ) es una sucesión monótona no decreciente, acotada superiormente por b. Entoncestiene un límite c, y necesariamente c ≤ b. Análogamente, (yn ) es una sucesión monótona no crecienteacotada inferiormente por a. Así que tiene límite y necesariamente l´m yn ≥ a. Pero como l´m(yn − ı ı n n b−axn ) = l´m n = 0, resulta que l´m yn = l´m xn = c, con lo que a ≤ c ≤ b. ı ı ı n 2 n n Puesto que para cada n ∈ N es f (xn ) ≤ 0, f (yn ) > 0, usando la continuidad de f en c se deducefinalmente f (c) = l´m f (xn ) ≤ 0, ı f (c) = l´m f (yn ) ≥ 0, ı n no sea, f (c) = 0 (lo que garantiza además que a = c = b).Teorema 4.2.10 (teorema de los valores intermedios o de Darboux). Sea I un intervalo, f : I → Rcontinua. Entonces f tiene la propiedad de los valores intermedios: si a < b y λ está entre f (a) yf (b), es decir, f (a) < λ < f (b) o f (a) > λ > f (b), entonces existe al menos un x ∈ (a, b) tal quef (x) = λ .Demostración. Aplicar el teorema 4.2.9 de Bolzano a la función f (x) − λ en el intervalo [a, b].Corolario 4.2.11. Sea I un intervalo, f : I → R continua. Entonces f (I) es un intervalo.Aplicaciones. a) Toda aplicación continua de [0, 1] en [0, 1] tiene un punto fijo (ver [ROSS, pág. 97]).En efecto, sea f : [0, 1] → [0, 1] continua. Un número x se dice que es un punto fijo de f si f (x) = x.Definimos g : [0, 1] → R como g(x) = f (x) − x. La función g es continua, porque lo es f . Además,como 0 ≤ f (x) ≤ 1, tenemos que g(0) = f (0) − 0 = f (0) ≥ 0, g(1) = f (1) − 1 ≤ 0.Si g(0) = 0, entonces f (0) = 0; si g(1) = 0, entonces f (1) = 1; si no, entonces g(0) > 0 > g(1) y, porel teorema 4.2.9 de Bolzano o el teorema 4.2.10 de Darboux existirá algún x ∈ (0, 1) tal que g(x) = 0,es decir, f (x) = x. En cualquier caso, hemos visto que f tiene algún punto fijo. b) Dado m ∈ N (m > 1), todo y > 0 tiene raíz m-ésima positiva (ver [ROSS, pág. 97]). En efecto:se trata de probar que existe algún x > 0 tal que xm = y; sea f : R → R dada por f (x) = xm . Es unafunción continua. Si y < 1, entonces tenemos f (0) = 0 < y < 1 = f (1),
  • 82. 78 Capítulo 4. Continuidady basta aplicar el teorema 4.2.10 de Darboux a la función f : [0, 1] → R. Si y = 1, trivialmente podemostomar x = 1. Si y > 1, entonces f (0) = 0 < y < ym = f (y),y aplicamos el teorema 4.2.10 de Darboux a la función f : [0, y] → R.Lema 4.2.12. Sea g una función estrictamente monótona en un intervalo J y tal que g(J) es unintervalo I. Entonces g es continua en J.Demostración. Podemos suponer que g es estrictamente creciente (en el otro caso, se sigue de formaanáloga). Sea c ∈ J. Entonces, l´m g(x) = sup{g(x) : x ∈ J, x < c} ≤ g(c), ı x→c− l´m g(x) = ´nf{g(x) : x ∈ J, x > c} ≥ g(c) ı ı x→c+(esto, en caso de que c no sea uno de los extremos del intervalo; si lo es, la demostración se reduce atomar el único límite lateral que tenga sentido). Se trata de probar que las dos desigualdades son igualdades. Supongamos que, por ejemplo, sup{g(x) : x ∈ J, x < c} < g(c)(para la otra desigualdad se procede de manera similar). Elijamos cualquier λ tal que sup{g(x) : x ∈ J, x < c} < λ < g(c).Entonces, g(x) < λ para todos los x ∈ J, x < c. Y si x ∈ J, pero x ≥ c, resulta que λ < g(c) ≤ g(x).Así que λ ∈ g(J). Sin embargo, tomando cualquier x ∈ J tal que x < c, se tiene g(x) < λ < g(c), /g(x) ∈ g(J), g(c) ∈ g(J). Por lo tanto, g(J) no es un intervalo, lo que contradice las hipótesis.Proposición 4.2.13. Sea I un intervalo, f : I → R continua y estrictamente creciente (resp., estricta-mente decreciente), J = f (I) el intervalo imagen. Entonces la función inversa f −1 : J → I es asimismocontinua y estrictamente creciente (resp., estrictamente decreciente).Demostración. Es una consecuencia directa del lema 4.2.12, ya que la función inversa de una es-trictamente monótona es también estrictamente monótona (y del mismo tipo) y f −1 (J) = I es unintervalo.Teorema 4.2.14 (continuidad de la función inversa). Sea f una función continua e inyectiva enun intervalo I. Entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, y la inversa f −1 :f (I) → R es asimismo estrictamente monótona (del mismo tipo) y continua.Demostración. De acuerdo con la proposición 4.2.13, basta demostrar que f es estrictamente monó-tona. Supongamos que f no es estrictamente decreciente; entonces existen ciertos a, b ∈ I tales que a < b, f (a) ≤ f (b).Como f es inyectiva, se deduce que f (a) < f (b). Vamos a probar que f es estrictamente creciente, esdecir, que ∀r, s ∈ I con r < s, resulta que f (r) < f (s).
  • 83. 4.2. Funciones continuas 79Consideramos seis casos: en los tres primeros uno de los dos puntos r, s es el punto a; en los tresúltimos ninguno es a. Tendremos en cuenta que la función es inyectiva, así que, por ejemplo, tenemosdescartado que sea f (r) = f (s). a) r = a, s = b. Ya sabemos que f (a) < f (b). b) r = a, a < s, s = b. Hay que probar que f (a) < f (s). Pero si fuera f (s) < f (a), entonces f (a) estaría comprendido entre f (s) y f (b), luego habría algún c comprendido entre s y b tal que f (c) = f (a). Esto no puede ser, porque f es inyectiva. c) s = a, r < a. Hay que probar que f (r) < f (a). Pero si fuera f (r) > f (a), entonces podríamostomar algún λ tal que f (a) < λ < f (r), f (a) < λ < f (b).Habría algún c comprendido entre r y a tal que f (c) = λ y algún d comprendido entre a y b tal quef (d) = λ . Esto no puede ser, porque f es inyectiva. d) r < a < s. Según los apartados anteriores, ya sabemos que f (r) < f (a) < f (s). e) a < r < s. Ya sabemos que f (a) < f (r) y que f (a) < f (s). Si fuera f (r) > f (s), entonces f (s)estaría comprendido entre f (a) y f (r), luego habría algún c ∈ (a, r) tal que f (c) = f (s). Esto no puedeser, porque f es inyectiva. f) r < s < a. Ya sabemos que f (r) < f (a) y que f (s) < f (a). Si fuera f (r) > f (s), entonces f (r)estaría comprendido entre f (s) y f (a), luego habría algún c ∈ (s, a) tal que f (c) = f (r). Esto no puedeser, porque f es inyectiva.4.2.3. Clasificación de discontinuidadesDefinición 4.2.15 (tipos de discontinuidades). Sea f : D → R, c ∈ D . Decimos que f tiene en cuna discontinuidad evitable si existe l´m f (x) ∈ R pero o bien el límite no coincide con f (c), o bien ı x→cc ∈ D. / Nótese que en tal caso, la función g definida por f (t) si t ∈ D {c} g(t) = l´m f (x) si t = c ı x→cque es casi la misma que f , resulta continua en el punto c: hemos evitado la discontinuidad de fredefiniendo adecuadamente el valor en c como l´m f (x). Este límite se denomina a veces el valor ı x→casintótico de f en c. Decimos que f tiene en c una discontinuidad de salto si existen l´m f (x) ∈ R y l´m f (x) ∈ R, ı − ı + x→c x→cpero son distintos. En algunos libros llaman a este tipo de discontinuidad discontinuidad de saltofinito. La diferencia l´m f (x) − l´m f (x) recibe el nombre de salto de f en c (hay textos que dan ı + ı − x→c x→ceste nombre al valor absoluto de la diferencia).Corolario 4.2.16. Sea f : (a, b) → R una función monótona. Si c ∈ (a, b), entonces o bien f escontinua en c o bien f tiene en c una discontinuidad de salto.Nota. Puede probarse que, como consecuencia de este resultado, el conjunto de discontinuidades deuna función monótona en un intervalo es finito o numerable.
  • 84. 80 Capítulo 4. Continuidad f (a) l´m f (x) ı l´m f (x) ı x→a x→a− l´m f (x) ı f (a) x→a+ a a Discontinuidad evitable Discontinuidad de salto4.2.4. Continuidad uniforme. Teorema de Heine. Extensión de funciones continuasDefinición 4.2.17. Sea f : S ⊆ R → R. Entonces f es uniformemente continua en S si para cadaε > 0 existe δ > 0 tal que para cualesquiera x, y ∈ S con |x − y| < δ es | f (x) − f (y)| < ε. Nótese que una función uniformemente continua es, necesariamente, continua. El recíproco, engeneral, no es cierto.Ejemplo. La función 1 f : (0, 1] → R, f (x) = xes continua, pero no uniformemente continua. Sin embargo, para cada a > 0, la función 1 g : [a, +∞) → R, g(x) = xes uniformemente continua.Nota. Por comodidad, diremos a veces que una función es uniformemente continua en un subconjuntode su dominio en lugar de decir que la restricción de la función a dicho subconjunto es uniformementecontinua. Así, en el ejemplo anterior, la función 1/x es uniformemente continua en [a, +∞) (paracualquier a > 0) pero no es uniformemente continua en (0, 1].Teorema 4.2.18 (de Heine). Si f es continua en un intervalo cerrado y acotado [a, b], entonces f esuniformemente continua en [a, b].Demostración. Sea f : [a, b] → R, supongamos que no es uniformemente continua en [a, b] y probe-mos que entonces hay algún punto de [a, b] donde f no es continua. Como f no es uniformemente continua, existe algún ε > 0 tal que para cualquier δ > 0 hay almenos un par de puntos x, y ∈ [a, b] (que dependerán de δ ) para los cuales |x − y| < δ , pero | f (x) −f (y)| ≥ ε. Entonces, para cada n ∈ N tenemos un par de puntos xn , yn ∈ [a, b] tales que 1 |xn − yn | < , | f (xn ) − f (yn )| ≥ ε. nEn particular, xn − yn → 0. Dado que la sucesión (yn )∞ está acotada, hay alguna subsucesión suya n=1convergente: yϕ(n) → c ∈ [a, b].
  • 85. 4.2. Funciones continuas 81Por otra parte, y dado que xn − yn → 0, también xϕ(n) − yϕ(n) → 0. Por lo tanto, xϕ(n) = (xϕ(n) − yϕ(n) ) + yϕ(n) → c.Por último, la función f no puede ser continua en el punto c, ya que entonces se tendría | f (xϕ(n) ) − f (yϕ(n) )| → | f (c) − f (c)| = 0y, sin embargo, | f (xϕ(n) ) − f (yϕ(n) )| ≥ εpara todos los n ∈ N. Sin embargo, la continuidad en intervalos del tipo (a, b] o [a, +∞) no produce el mismo efecto: yahemos visto, por ejemplo, que 1 f : (0, 1] → R, f (x) = xno es uniformemente continua, pese a ser continua; también es continua, pero no uniformementecontinua, la función g : [0, +∞) → R, g(x) = x2 1(considérense, por ejemplo, los valores de g en n + y n). nProposición 4.2.19. Si f es uniformemente continua en un conjunto S y (sn ) es una sucesión deCauchy contenida en S, entonces ( f (sn )) es una sucesión de Cauchy.Demostración. Sea ε > 0. Como f es uniformemente continua, existe algún δ > 0 tal que para cua-lesquiera x, y ∈ S con |x − y| < δ , se tiene | f (x) − f (y)| < ε. Ahora, como la sucesión (sn )∞ es de Cauchy, existe algún K ∈ N tal que para cualesquiera n=1n, m > K se tiene |sn − sm | < δ . Y además, sn , sm ∈ S. Entonces, para cualesquiera n, m > K se tiene| f (sn ) − f (sm )| < ε. Por lo tanto, la sucesión ( f (sn ))∞ es de Cauchy. n=1Proposición 4.2.20. Una función f : (a, b) → R es uniformemente continua si y solo si posee unaextensión continua en [a, b].Demostración. Si f tiene una extensión continua g : [a, b] → R, entonces g es uniformemente conti-nua, según el teorema 4.2.18 de Heine. Cualquier restricción de una función uniformemente continuatambién es uniformemente continua, y en particular, f . Ahora supongamos que f es uniformemente continua en (a, b); se trata de probar que existen losdos límites l´m+ f (x), ı l´m− f (x) ı x→a x→by que son números reales, ya que entonces la siguiente función será una extensión continua de f alintervalo [a, b]:   f (x),  si x ∈ (a, b)  g(x) = x→a+ f (x), si x = a l´m ı    l´m f (x), si x = b ı − x→b
  • 86. 82 Capítulo 4. ContinuidadSolo vamos a probar que existe l´m+ f (x) y que es un número real; el otro límite se prueba de manera ı x→aanáloga. Elijamos una sucesión (sn )∞ contenida en el intervalo (a, b) y tal que l´m sn = a. Como es con- n=1 ı nvergente, la sucesión es de Cauchy; y como la función f es uniformemente continua, la sucesión( f (sn ))∞ es también de Cauchy y, por lo tanto, convergente. Sea n=1 l´m f (sn ) = L ∈ R. ı nAhora sea (tn )∞ una sucesión cualquiera contenida en el intervalo (a, b) y tal que l´m tn = a. Defina- n=1 ı nmos la nueva sucesión r2n = tn , r2n−1 = sn .Por la misma razón que antes, la sucesión ( f (rn ))∞ es convergente. Como ( f (tn ))∞ y ( f (sn ))∞ n=1 n=1 n=1son dos subsucesiones suyas, deducimos que l´m f (tn ) = l´m f (rn ) = l´m f (sn ) = L. ı ı ı n n nSegún la proposición 4.1.9, l´m f (x) = L ∈ R. ı x→a+4.3. EjerciciosEjercicio 4.1. Calcular los límites siguientes: x2 + 1 x4 + x + 2 a) l´m ı = +∞ b) l´m ı =0 x→+∞ log x x→+∞ ex+5 x5 log x (log x)3 c) l´m √ ı = +∞ d) l´m ı =0 x→+∞ x4 + 1 x→+∞ ex − 1 x 2x π π2 e) l´m ı =0 f) l´m ı = x→+∞ ex + 4 x→0 x ctg πx 2 2 √ √ √ √ 1+x− 1−x a+x− a 1 g) l´m ı =1 h) l´m ı = √ (a > 0) x→0 x x→0 x 2 a √ 1+x−1 √ √ 1 i) l´m √ ı = −1 j) l´m ı x+ x+ x− x = x→0 1 − x − 1 x→+∞ 2 2x − 2 xp − 1 p k) l´m √ ı 3 = 54 l) l´m ı = (q = 0) x→1 26 + x − 3 x→1 x q −1 q ex − esen x ax − bx log a − log b m) l´m ı =1 n) l´m x ı = (a, b, c, d > 0) x→0 x − sen x x→0 c − d x log c − log d x ñ) l´m xx = 1 ı o) l´m xx = 0 ı x→0+ x→0+ 8x2 +3 x 2x2 + 3 a1/x + b1/x + c1/x √ p) l´m ı = e−8 q) l´m ı = 3 abc (a, b, c > 0) x→+∞ 2x2 + 5 x→+∞ 3 ex + sen x − 1 (sen 2x − 2 sen x)4 r) l´m ı =2 s) l´m ı =8 x→0 log(1 + x) x→0 (3 + cos 2x − 4 cos x)3
  • 87. 4.3. Ejercicios 83 sec2 x − 2 tg x 1 π 1 t) l´m ı = u) l´m tg 2x ctg ı +x = x→π/4 1 + cos 4x 2 x→π/4 4 2 π π sec2 sen(x − 6) π 2−bx 2 /b2 v) l´m √ ı =1 w) l´m ı sen2 = e−a (b = 0) x→π/6 3 − 2 cos x x→0 2 − ax sen(x − π/3) 1 cos x x) l´m ı =√ y) l´m ı x→π/3 1 − 2 cos x 3 x→π/2 3 (1 − sen x)2Ejercicio 4.2. Demostrar que los siguientes límites no existen: 1 a) l´m cos x b) l´m sen ı ı c) l´m e1/ sen x ı x→∞ x→0 x x→0Ejercicio 4.3. Hallar los siguientes límites laterales, si existen: x + 1, si x = 2 a) l´m f (x), donde f (x) = ı x→2± 0, si x = 2 −2x + 3, si x ≥ 1 b) l´m± f (x), donde f (x) = ı x→1 3x − 5, si x < 1 √ √ 1 − cos 2x 1 − 1 − x2 |x| c) l´m± ı d) l´m± ı e) l´m± ı x→0 x x→0 x x→0 x2 + x x2 − 1 1 f) l´m± ı g) l´m± ı h) l´m (x − 1)ex/(x−1) ı x→1 |x − 1| x→0 2 − 21/x x→1± 1 sen 1x 1 i) l´m± ı 1/x + 1 j) l´m± ı k) l´m± e1/x sen ı x→0 e x→0 e1/x + 1 x→0 x e1/x x2 − 2x x2 + x + 6 l) l´m± ı m) l´m± ı n) l´m± ı x→0 e1/x − 1 x→2 x2 − 4x + 4 x→2 x2 − 4Ejercicio 4.4. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:   0 si sen x = 0 2(1 + e−1/x )−1 si x = 0 a) f (x) = 1/e si cos 2x = 0 b) f (x) =   2 si x = 0 (2 sen x) 2 1/ cos 2x en otro caso  1 sen 1 si x = 0 xn si x ∈ R Q c) f (x) = x x d) f (x) = 0 si x = 0 0 si x ∈ QEjercicio 4.5. Para cada una de las siguientes funciones polinómicas, hallar un entero n tal que f (x) =0 para algún x comprendido entre n y n + 1: a) f (x) = x3 − x + 3 b) f (x) = 4x2 − 4x + 1 c) f (x) = x5 + x + 1Ejercicio 4.6. Demostrar: a) La ecuación x2x = 1 tiene al menos una solución positiva no mayor que 1. b) La ecuación 163 x179 + = 119 1 + x2 + sen2 x
  • 88. 84 Capítulo 4. Continuidad tiene al menos una solución real. c) La ecuación sen x = x − 1 tiene al menos una solución real. π d) La ecuación 2 − x − sen x = 0 posee solución en [0, π ]. 2 e) La ecuación x sen x − π = 0 posee al menos dos soluciones en [0, π]. 4Ejercicio 4.7. Sean I un intervalo y f : I → R. Supongamos que existe K > 0 tal que | f (x) − f (y)| ≤K|x − y| cualesquiera que sean x, y ∈ I. Una función de este tipo se llama lipschitziana. ¿Es f continuaen I? ¿Es uniformemente continua en I?
  • 89. Capítulo 5Derivación5.1. Generalidades5.1.1. Concepto de derivada. Derivadas lateralesDefinición 5.1.1. Sea f una función real definida en un intervalo abierto I y sea a un punto de I.Se dice que f es derivable en a si existe (en R) el límite del cociente de incrementos o cociente dediferencias f (x) − f (a) l´m ı . (5.1) x→a x−a Cuando f es derivable en a, el valor del límite (5.1) recibe el nombre de derivada de f en a, ysuele denotarse por f (a); es decir, f (x) − f (a) f (a) := l´m ı x→a x−asi tal límite existe y es finito. d df También se usan otras notaciones: f (a), , etc. dx dx x=aNota. En realidad, para definir la derivada no es necesario que el dominio de la función f sea unintervalo: la definición anterior tiene sentido para cualquier tipo de dominio D con tal de que el puntoa, además de estar en D, sea punto de acumulación de D. Adviértase igualmente que incluso podemosconsiderar límites laterales, definiendo entonces de manera obvia la derivada por la derecha y laderivada por la izquierda de una función en un punto, cuando los límites laterales del cociente deincrementos tengan sentido.Definición 5.1.2. Sea f : D ⊆ R → R una función derivable en algún punto, y sea S el subconjuntode puntos de D en los que f es derivable (naturalmente, puede ser S = D). La función derivada de fse define haciendo corresponder a cada x ∈ S el valor de la derivada de f en el punto x. Por razones obvias, esta función suele denotarse por f , de manera que f (y) − f (x) f : x ∈ S → f (x) = l´m ı ∈ R. y→x y−x 85
  • 90. 86 Capítulo 5. DerivaciónObservación. En este punto conviene deshacer un equívoco, que surge quizá del manejo habitual delas derivadas de las funciones elementales: la definición de derivada en un punto es previa a la defunción derivada, y no al revés. Por ejemplo, no es que la derivada de la función seno en un punto x escos x porque el coseno sea la función derivada del seno, sino al revés: el coseno es la función derivadadel seno porque la derivada de la función seno en un punto cualquiera x resulta ser igual a cos x, esdecir, que existe sen y − sen x l´m ı y→x y−xy vale cos x.5.1.2. Interpretación geométrica y física de la derivada El cociente de incrementos f (x) − f (a) /(x − a) corresponde gráficamente a la pendiente dela cuerda que une el punto (a, f (a)) con el punto (x, f (x)), con lo que en el límite tenemos que laderivada f (a) (suponiendo que exista) corresponde a la pendiente de la tangente a la gráfica de f enel punto (a, f (a)). f (a) a Interpretación geométrica de la derivada: la recta tangente tiene pendiente f (a) En Física, si a cada valor x de una determinada magnitud (la variable independiente) le corres-ponde el valor f (x) de una segunda magnitud (la variable dependiente), el cociente de incrementos f (x) − f (a) /(x − a) corresponde a la variación media de la variable dependiente en el intervalo[a, x] de variación de la variable independiente, y la derivada f (a) (suponiendo que exista) correspon-de a la variación instantánea de la variable dependiente. Por ejemplo, si la variable independiente esel tiempo, cuando la variable dependiente es el espacio tenemos los conceptos de velocidad media yvelocidad instantánea; cuando la variable dependiente es la velocidad, pasamos a la acelación mediay la aceleración instantánea. No es sorprendente la gran cantidad de aplicaciones que encuentra el concepto de derivada, sise tiene en cuenta la formación histórica de este concepto: véanse, por ejemplo, [D URÁN, cap. 3],[R ÍBNIKOV, págs. 182–186], [H AIRER -WANNER, pág. 80 y sigs.]. En este último libro, como motivacionespara la introducción de la derivada a partir de la pendiente de la tangente se señalan: • El cálculo del ángulo bajo el que se cortan dos curvas (Descartes). • La construcción de telescopios (Galileo) y de relojes (Huygens, 1673). • La búsqueda de máximos y mínimos de una función (Fermat, 1638).
  • 91. 5.1. Generalidades 87 • El estudio de la velocidad y aceleración de un movimiento (Galileo, 1638, y Newton, 1686). • En Astronomía, la verificación de la Ley de Gravitación (Kepler, Newton).5.1.3. Derivabilidad y continuidadProposición 5.1.3. Si f es una función derivable en un punto a, entonces f es continua en el punto a.Demostración. f (x) − f (a) l´m f (x) = l´m f (a) + ı ı (x − a) = f (a) + f (a) · 0 = f (a). x→a x→a x−a El recíproco no es cierto: una función puede ser continua en un punto y no ser derivable en esepunto. Por ejemplo, la función f (x) = |x|, f :R→Res continua en todos los puntos, pero no es derivable en 0. Tiene derivadas laterales: la derivada porla izquierda es −1 y la derivada por la derecha es 1. La función g : R → R dada por x sen 1 si x = 0 g(x) = x 0 si x = 0es continua en todos los puntos, pero en 0 no es derivable y ni siquiera tiene derivadas laterales.5.1.4. Cálculo de derivadasTeorema 5.1.4 (operaciones algebraicas con funciones derivables). Sean D ⊆ R, a ∈ D ∩ D , c ∈ Ry f , g : D → R funciones derivables en a. Se tiene: a) f + g es derivable en a, con derivada ( f + g) (a) = f (a) + g (a). b) c f es derivable en a, con derivada (c f ) (a) = c f (a). c) f g es derivable en a, con derivada ( f g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a). f (a)g(a) − f (a)g (a) d) si g(a) = 0, entonces f /g es derivable en a, con derivada ( f /g) (a) = . g(a)2Demostración. Se deducen fácilmente de las hipótesis y las siguientes propiedades: ( f + g)(x) − ( f + g)(a) f (x) − f (a) g(x) − g(a) a) = + . x−a x−a x−a (c f )(x) − (c f )(a) f (x) − f (a) b) =c . x−a x−a ( f g)(x) − ( f g)(a) g(x) − g(a) f (x) − f (a) c) f es continua en a y = f (x) + g(a) . x−a x−a x−a d) g(x) = 0 cerca de a; g es continua en a; ( f /g)(x) − ( f /g)(a) f (x) − f (a) g(x) − g(a) 1 = g(a) − f (a) · . x−a x−a x−a g(x)g(a)
  • 92. 88 Capítulo 5. DerivaciónEjemplo. Teniendo en cuenta la fórmula ciclotómica, se prueba que fijado n ∈ N, la función xn esderivable en todos los puntos y su derivada en un punto x vale nxn−1 .Ejemplo. Dados c0 , c1 , . . . , cn ∈ R, la función P(x) = cn xn + cn−1 xn−1 + · · · + c0es derivable en todos los puntos, y su derivada en un punto x vale P (x) = cn nxn−1 + cn−1 (n − 1)xn−2 + · · · + c1 .Teorema 5.1.5 (derivación de funciones compuestas: la regla de la cadena). Sean f : D → R yg : E → R tales que f (D) ⊆ E y supongamos que f es derivable en un punto a y que g es derivable enf (a). Entonces la función compuesta g ◦ f es derivable en a y su derivada en este punto viene dadapor la regla de la cadena: (g ◦ f ) (a) = g ( f (a)) f (a). g(y) − g( f (a))Demostración. Definamos h(y) = , si y ∈ E { f (a)}. Entonces, l´m h(y) = g ( f (a)). ı y − f (a) y→ f (a)Definamos h( f (a)) = g ( f (a)), con lo cual tenemos h : E −→ R continua en el punto f (a). Además, [y − f (a)]h(y) = g(y) − g( f (a)) ∀y ∈ EEn efecto: si y = f (a), es cierto por la definición de h; si y = f (a) se trata de la igualdad 0 = 0. Enparticular, para cada x ∈ D se tiene f (x) ∈ E, luego [ f (x) − f (a)]h( f (x)) = g( f (x)) − g( f (a)).De aquí, f (x) − f (a) (g ◦ f )(x) − (g ◦ f )(a) (h ◦ f )(x) = , ∀x ∈ D {a}. x−a x−aPero f (x) − f (a) • l´m ı = f (a), x→a x−a • l´m (h ◦ f )(x) = (h ◦ f )(a), ya que f es continua en a (por ser derivable) y h lo es en f (a). ı x→aPor consiguiente, (g ◦ f )(x) − (g ◦ f )(a) ∃ l´m ı = f (a)h( f (a)) = f (a)g ( f (a)) ∈ R. x→a x−a5.1.5. Derivabilidad de la función inversaProposición 5.1.6 (condición necesaria para la derivabilidad de la función inversa). Si f es unafunción inyectiva, derivable en un punto c, y su función inversa f −1 es asimismo derivable en b = f (c),necesariamente se tiene f (c) = 0. Además 1 f −1 (b) = . f (c)
  • 93. 5.1. Generalidades 89Demostración. Aplicando la regla de la cadena a f −1 ◦ f = id, como la derivada de la identidad entodos los puntos vale 1, queda f −1 (b) f (c) = 1.Aplicación. La función arc sen no es derivable en 1 y −1. En efecto, basta tomar f = sen : [− π , π ] → 2 2[−1, 1]; entonces, f −1 = arc sen : [−1, 1] → [− π , π ]. Tomamos c = ± π . Entonces, con la notación de 2 2 2la proposición anterior, b = ±1. Entonces f es derivable en c, pero f (c) = 0, así que f −1 no puedeser derivable en b. Sin hipótesis adicionales, que la derivada no se anule no implica la derivabilidad de la inversa. Unrecíproco parcial, suficiente en la práctica, es el siguiente:Teorema 5.1.7 (condición suficiente para la derivabilidad de la función inversa). Sea f una fun-ción continua e inyectiva en un intervalo I y sea J = f (I). Si f es derivable en c ∈ I y f (c) = 0,entonces f −1 es derivable en b = f (c) con derivada 1 f −1 (b) = . f (c)Demostración. Señalemos primero que J es un intervalo abierto, puesto que f ha de ser estrictamentemonótona. Además, sabemos que f −1 es continua en b (aplicar el teorema 4.2.14 de continuidad dela función inversa). Para mayor comodidad, ponemos g = f −1 . Con esta notación, g(b) = c. Definamos h : I → R haciendo, para cada x ∈ I,   f (x) − f (c) si x = c h(x) = x−c  f (c) si x = cEvidentemente, h es continua en c. Tomando ahora y ∈ J distinto de b, sea x = g(y) ∈ I, por lo que y = f (x) y x = c, lo que permiteescribir g(y) − g(b) x−c 1 1 = = = . y−b f (x) − f (c) h(x) h(g(y))En resumen, para todo y ∈ J distinto de b, g(y) − g(b) 1 = . y−b h(g(y))Pero g es continua en b y h es continua en c = g(b), luego h ◦ g es continua en b, de donde podemosconcluir que existe g(y) − g(b) 1 1 1 g (b) = l´m ı = = = . y→b y−b h(g(b)) h(c) f (c)Nota. Repasando la demostración, se observa que los mismos argumentos prueban en realidad losiguiente: dada una función inyectiva f : D ⊆ R → R, si f es derivable en un punto c ∈ D conf (c) = 0, b := f (c) ∈ [ f (D)] y f −1 es continua en b, entonces f −1 es derivable en b = f (c) conderivada 1 f −1 (b) = . f (c)No obstante, el enunciado previo es más directo de utilizar en muchas aplicaciones prácticas.
  • 94. 90 Capítulo 5. DerivaciónEjemplo. La función arc sen es derivable en (−1, 1). Basta aplicar el teorema 5.1.7 a la función f = sen y los intervalos I = (− π , π ), J = (−1, 1). La función f es inyectiva en I y derivable en 2 2cualquier c ∈ I y además f (c) = cos c = 0. Tomemos b ∈ (−1, 1) cualquiera; podemos aplicar elteorema con c = arc sen b y resulta que la función arc sen es derivable en b y la derivada es 1 1 1 1 (arc sen) (b) = = =√ =√ , (sen) (c) cos c 1 − sen2c 1 − b2donde hay que tener en cuenta que cos c > 0, ya que c ∈ (− π , π ). 2 2Ejemplo. Sean f (x) = ex , f : R → R, y g(x) = log x, g : (0, ∞) → R. • si sabemos que f es derivable para cada x ∈ R y f (x) = f (x), entonces deducimos que g es derivable para cada x ∈ (0, +∞) y g (x) = 1/x; • si sabemos que g es derivable para cada x ∈ (0, +∞) y g (x) = 1/x, entonces deducimos que f es derivable para cada x ∈ R y f (x) = f (x).5.2. El teorema del valor medio5.2.1. Extremos relativos y derivada nulaDefinición 5.2.1. Sea f : D ⊆ R → R y c ∈ D. Se dice que f tiene un máximo relativo en c si existeun δ > 0 tal que para todo x ∈ D con |x − c| < δ es f (x) ≤ f (c) (también se dice que f tiene unmáximo local en c). Se dice que f tiene un máximo relativo estricto en c si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ Dcon 0 < |x − c| < δ es f (x) < f (c) (también se dice que f tiene un máximo local estricto en c). Se dice que f tiene un mínimo relativo en c si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ D con|x − c| < δ es f (x) ≥ f (c) (también se dice que f tiene un mínimo local en c). Se dice que f tiene un mínimo relativo estricto en c si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ Dcon 0 < |x − c| < δ es f (x) > f (c) (también se dice que f tiene un mínimo local estricto en c). Que f tiene un extremo relativo en c significa que tiene un máximo relativo o un mínimo relativo. Extremos relativos y absolutos de una funciónDefinición 5.2.2. Sea S ⊆ R y c ∈ R. Se dice que c es un punto interior de S si para algún δ > 0 severifica que (c − δ , c + δ ) ⊆ S.
  • 95. 5.2. El teorema del valor medio 91Ejemplo. Si S es un intervalo, los extremos no son puntos interiores, mientras que los demás puntossí son interiores a S.Proposición 5.2.3. Sea f : D ⊆ R → R y c un punto interior de D. Si f es derivable en c y tiene en cun extremo relativo, entonces f (c) = 0.Demostración. Supongamos que f tiene en c un máximo relativo (si tiene un mínimo relativo solohay que cambiar de sentido algunas desigualdades o pasar a la función opuesta). Como c es un puntointerior de D y f es derivable en c, se deduce que existen las dos derivadas laterales de f en c. Además, f (x) − f (c) f (x) − f (c) f (c) = l´m ı + = l´m ı . x→c x−c x→c− x−cPero según las hipótesis existen un δ1 > 0 tal que f (x) ≤ f (c) siempre que x ∈ D y |x − c| < δ1 , y unδ2 > 0 tal que (c − δ2 , c + δ2 ) ⊆ D. Tomando δ = m´n{δ1 , δ2 }, encontramos que ı f (x) − f (c) • si x ∈ (c − δ , c), entonces x ∈ D y ≥ 0, x−c f (x) − f (c) • si x ∈ (c, c + δ ), entonces x ∈ D y ≤ 0, x−cde donde se deduce que f (x) − f (c) f (c) = l´m ı − ≥ 0, x→c x−c f (x) − f (c) f (c) = l´m ı + ≤ 0, x→c x−cy finalmente que f (c) = 0.Nota. En la demostración anterior solo se utiliza realmente que c es un punto interior para poderasegurar que tienen sentido las dos derivadas laterales, de modo que esta condición puede sustituirsepor la (más complicada de enunciar) de que c sea punto de acumulación de los conjuntos D ∩ [c, +∞)y D ∩ (−∞, c]. Cuando no se impone ninguna condición de este tipo a c, el resultado es falso. Por ejemplo, lafunción f (x) = x definida en el intervalo [0, 1] tiene extremos en los puntos 0 y 1, y f es derivable enlos dos puntos, pero su derivada no es 0, sino 1 en ambos.Definición 5.2.4. Sea f : D ⊆ R → R y c un punto de D ∩ D . Se dice que c es un punto crítico de fsi f es derivable en c y f (c) = 0.Corolario 5.2.5. Supongamos que f : D ⊆ R → R tiene un extremo relativo en un punto c. Entonces,o bien c es un punto crítico de f , o bien c no es un punto interior de D, o bien f no es derivable en c.Ejemplos. a) x ∈ [−1, 1] → x ∈ R; sus extremos relativos son ±1, que no son puntos interiores del dominio. b) x ∈ [−1, 1] → x2 ∈ R; sus extremos relativos son ±1, que no son puntos interiores, y 0, que es un punto crítico. c) x ∈ [−1, 1] → x3 ∈ R; sus extremos relativos son ±1, que no son puntos interiores del dominio. Hay un punto crítico, 0, que no es extremo relativo. d) x ∈ [−1, 1] → |x| ∈ R; sus extremos relativos son ±1, que no son puntos interiores, y 0, donde la función no es derivable. e) x ∈ R → [x] ∈ R; la función no tiene extremos relativos.
  • 96. 92 Capítulo 5. Derivación5.2.2. Teoremas de Rolle y del valor medio (o de los incrementos finitos)Teorema 5.2.6 (de Rolle). Sea f : [a, b] → R (donde a, b ∈ R, a < b) una función continua en [a, b] yderivable en el intervalo abierto (a, b) y supongamos que f (a) = f (b). Entonces existe al menos unx ∈ (a, b) tal que f (x) = 0.Demostración. Puesto que f es continua en [a, b], tiene máximo y mínimo absolutos en [a, b], por elteorema 4.2.8 de Weierstrass. Si ambos extremos absolutos están en a y b, entonces f tiene que ser constante, ya que f (a) = f (b). Y f se anula en todos los puntos de (a, b). En caso contrario, f tiene algún extremo absoluto (que también es relativo) en un punto interiorx ∈ (a, b). Y es derivable en x, así que sabemos que f (x) = 0. Geométricamente, que la función valga lo mismo en dos puntos obliga a que haya tangente hori-zontal en algún punto intermedio de la gráfica.Nota. Una vez más, si el dominio de f no es un intervalo el resultado no es cierto. Basta considerarfunciones definidas en un intervalo menos un punto para encontrar derivada distinta de cero en todoel dominio aunque tengamos el mismo valor en los extremos; por ejemplo, la función valor absolutoen [−1, 0) ∪ (0, 1]. a c b a c b Teorema de Rolle Teorema del valor medioTeorema 5.2.7 (del valor medio o de los incrementos finitos). Sea f : [a, b] → R (donde a, b ∈ R,a < b) una función continua en [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Entonces existe almenos un x ∈ (a, b) tal que f (b) − f (a) = f (x)(b − a). f (b) − f (a)Demostración. Basta definir en el intervalo [a, b] la función g(x) = f (x) − (x − a), que b−acumple las hipótesis del teorema 5.2.6 de Rolle. Por lo tanto, existe al menos un x ∈ (a, b) tal que f (b) − f (a)g (x) = 0, es decir, f (x) = . b−a
  • 97. 5.3. Aplicaciones del teorema del valor medio 93 Dicho de otra manera, la variación media de f en el intervalo coincide con la variación instantáneaen algún punto del intervalo. Por ejemplo, si un vehículo ha recorrido 180 km en 2 horas, en algúninstante ha marchado exactamente a 90 km/h. Geométricamente, la pendiente de la cuerda que une los extremos de la gráfica coincide con lapendiente de la tangente en algún punto.5.3. Aplicaciones del teorema del valor medio5.3.1. Funciones con derivada acotada y con derivada nulaCorolario 5.3.1. Sea f una función continua en un intervalo I y derivable en todos los puntos inte-riores del intervalo. Si la derivada está acotada, entonces f es uniformemente continua en I.Demostración. Hay alguna constante K > 0 tal que | f (x)| ≤ K en todo punto x interior a I. Sean dospuntos cualesquiera a, b ∈ I (por ejemplo, con a < b); como f es continua en [a, b] y derivable en(a, b), será f (b) − f (a) = f (x)(b − a)para algún x ∈ (a, b), y por lo tanto | f (b) − f (a)| ≤ K|b − a|.Las funciones que satisfacen una desigualdad como esta se llaman funciones de Lipschitz. Y cualquierfunción de Lipschitz es uniformemente continua, ya que, dado ε > 0, basta tomar δ = ε/K y resultaque a, b ∈ I, |b − a| < δ =⇒ | f (b) − f (a)| < ε.Corolario 5.3.2. Sea f una función continua en un intervalo I y derivable en todos los puntos inte-riores del intervalo. Si f (x) = 0 en cada x interior a I, entonces f es constante en I.Demostración. La función f toma el mismo valor en todos los puntos de I, pues dados dos puntoscualesquiera a, b ∈ I (por ejemplo, con a < b) como f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), será f (b) − f (a) = f (x)(b − a)para algún x ∈ (a, b), por el teorema 5.2.7 del valor medio. Por lo tanto, f (b) − f (a) = 0.Corolario 5.3.3. Sean f y g dos funciones continuas en un intervalo I y derivables en todos los puntosinteriores del intervalo. Si f (x) = g (x) en cada x interior a I, entonces hay una constante c ∈ R talque f (x) = g(x) + c en todo punto de I.Demostración. Basta aplicar el corolario 5.3.2 a la función f − g.Nota. Estas conclusiones no son aplicables a funciones cuyos dominios no son intervalos.
  • 98. 94 Capítulo 5. Derivación5.3.2. Signo de la derivada y monotoníaCorolario 5.3.4. Sea f una función continua en un intervalo I y derivable en todos los puntos inte-riores del intervalo. Se tiene: a) si f (x) > 0 en todo punto interior de I, entonces f es estrictamente creciente en I. b) si f (x) < 0 en todo punto interior de I, entonces f es estrictamente decreciente en I. c) f (x) ≥ 0 en todo punto interior de I ⇐⇒ f es monótona no decreciente en I. d) f (x) ≤ 0 en todo punto interior de I ⇐⇒ f es monótona no creciente en I.Demostración. a) Sean a, b ∈ I con a < b. Como f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), será f (b) − f (a) = f (x)(b − a)para algún x ∈ (a, b), por el teorema 5.2.7 del valor medio. Dado que x es interior a I, f (x) > 0 porhipótesis, y se sigue f (b) − f (a) > 0,o sea, f (a) < f (b), que es lo que necesitábamos probar. La demostración de b) es similar, así como las implicaciones =⇒ de c) y d). Falta demostrar lasimplicaciones ⇐= de c) y d). Supongamos, por ejemplo, que f es monótona no decreciente en elintervalo I. Si x es un punto interior de I, entonces existen y ∈ I tales que x < y; para estos, se tiene f (y) − f (x) ≥ 0, y−xya que f es no decreciente. Luego f (y) − f (x) f (x) = l´m ı + ≥ 0. y→x y−xEsto demuestra la implicación ⇐= de c). La otra es análoga.Nota. Sin embargo, los recíprocos de a) y b) no son ciertos. Si la función f es estrictamente crecienteen I, su derivada puede que se anule en algunos puntos (eso sí, según el apartado c), f (x) ≥ 0 paratodos los x). Por ejemplo, la función f (x) = x3 es derivable en todos los puntos y estrictamente creciente, perohay algún punto donde su derivada se anula.Ejemplo. Veamos que para todo x > 0, x − 1 x3 < arc tg x. En efecto: tomamos la función f : R → R 3dada por f (x) = arc tg x − x + 1 x3 . Es una función derivable y su derivada es 3 1 x4 f (x) = − 1 + x2 = . 1 + x2 1 + x2Por lo tanto, f (x) > 0 para todo x ∈ (0, +∞) y la función f es estrictamente creciente en el intervalocerrado [0, +∞). En particular, para todo x > 0 se tiene f (0) < f (x), es decir, 1 0 < arc tg x − x + x3 , 3que es lo que queríamos demostrar.
  • 99. 5.3. Aplicaciones del teorema del valor medio 95 y = arc tg x y = x − 1 x3 3 Las funciones arc tg x y x − 1 x3 3Ejemplo. Sea g(x) = x − e log x, definida en el intervalo (0, +∞). Es una función derivable y paracada x > 0 e x−e g (x) = 1 − = . x xLuego g (x) < 0 si x ∈ (0, e). Por lo tanto, g es estrictamente decreciente en el intervalo (0, e] (obser-vemos que podemos incluir el punto e, pero no 0). Por otra parte, g (x) > 0 si x ∈ (e, +∞), así que g esestrictamente creciente en el intervalo [e, +∞) (de nuevo, podemos incluir el punto e). Es fácil deducirde aquí que g tiene un mínimo absoluto estricto en e. Es decir, para todo x > 0, x = e, se tiene 0 = g(e) < g(x) = x − e log x.Puesto de otra forma: e log x < x. Además, la función g no tiene más extremos relativos ni absolutos. y = x − e log x e La función x − e log x5.3.3. Propiedad del valor intermedio para derivadas Si una función es la derivada de otra en un intervalo, puede que no sea continua (ver por ejem-plo [ROSS, ejr. 28.4, pág. 160]). Pero en el siguiente resultado se prueba que, lo mismo que las funcio-nes continuas, tiene la propiedad de los valores intermedios.
  • 100. 96 Capítulo 5. DerivaciónTeorema 5.3.5 (del valor intermedio para derivadas). Sea f una función derivable en un intervaloI. Si la derivada f toma dos valores, toma también todos los valores intermedios; es decir, si a, b ∈ I,a < b, y λ está entre f (a) y f (b), existe al menos un x ∈ (a, b) tal que f (x) = λ .Demostración. Supongamos, por ejemplo, que f (a) < λ < f (b); si fuera f (a) > λ > f (b) se pro-cedería de manera análoga. Definamos la función g(x) = f (x) − λ x, para x ∈ [a, b]. Es una función derivable en [a, b], porquelo es f . Además, g (x) = f (x) − λ para cada x ∈ [a, b]. En particular, g es continua en [a, b], así quetiene mínimo absoluto (por el teorema 4.2.8 de Weierstrass). Ahora bien, g(x) − g(a) l´m ı = g (a) = f (a) − λ < 0, x→a+ x−a g(x) − g(a)luego existe x ∈ (a, b] tal que < 0 y, por lo tanto, g(x) < g(a). Esto significa que el mínimo x−aabsoluto de g no está en a. Análogamente, g(x) − g(b) l´m− ı = g (b) = f (b) − λ > 0, x→b x−b g(x) − g(b)de donde se deduce que existe x ∈ [a, b) tal que > 0; como x − b < 0, resulta que g(x) < x−bg(b). Esto significa que el mínimo absoluto de g tampoco está en b. Por lo tanto, el mínimo absoluto de g está en algún punto x ∈ (a, b). Y como es un extremo relativode g en el interior del intervalo y g es derivable, se tendrá g (x) = 0, por la proposición 5.2.3. Es decir,f (x) = λ .Notas. a) Este resultado indica que, dada una función arbitraria g, puede que no exista ninguna función derivable cuya derivada sea g (es decir, una función primitiva de g). Basta con que g no cumpla la propiedad de los valores intermedios. Por ejemplo, la función 1 si x ≥ 0 g(x) = 0 si x < 0 no es la derivada de ninguna función f : R → R. b) Cuando hayamos definido la integral, probaremos que cualquier función continua en un inter- valo tiene primitiva.Corolario 5.3.6. Sea f una función continua en un intervalo I y derivable en todos los puntos inte-riores del intervalo. Si la derivada f no se anula en ninguno de esos puntos, entonces la función f esestrictamente monótona en I (o bien estrictamente creciente o bien estrictamente decreciente).Demostración. Existen las siguientes posibilidades: a) f (x) > 0 en todos los puntos x interiores a I. En tal caso f es estrictamente creciente. b) f (x) < 0 en todos los puntos x interiores a I. En tal caso f es estrictamente decreciente. c) Hay puntos x1 , x2 , interiores a I, tales que f (x1 ) < 0 < f (x2 ). Pero esto no puede suceder, porque el teorema 5.3.5 del valor intermedio para derivadas obligaría entonces a que la derivada se anulase en algún punto entre x1 y x2 .
  • 101. 5.3. Aplicaciones del teorema del valor medio 975.3.4. Teorema del valor medio generalizado. Regla de L’HospitalTeorema 5.3.7 (del valor medio generalizado). Sean f y g funciones continuas en un intervalo [a, b](donde a, b ∈ R, a < b) y derivables en el intervalo abierto (a, b). Existe al menos un x ∈ (a, b) tal que f (x)[g(b) − g(a)] = g (x)[ f (b) − f (a)].Demostración. Basta definir en el intervalo [a, b] la función h(x) = f (x)[g(b) − g(a)] − g(x)[ f (b) −f (a)], que cumple las hipótesis del teorema 5.2.6 de Rolle. Luego existe al menos un x ∈ (a, b) tal queh (x) = 0, es decir, f (x)[g(b) − g(a)] = g (x)[ f (b) − f (a)].Proposición 5.3.8 (regla de L’Hospital). Sean I un intervalo, f , g : I → R y a ∈ R ∪ {±∞} un puntode acumulación de I. Denotemos mediante s uno de los símbolos a, a+ , a− . Supongamos que: a) f y g son derivables en I {a} y g (x) = 0 en cada x ∈ I {a}. b) se verifica alguna de las tres condiciones siguientes: • l´m f (x) = l´m g(x) = 0. ı ı x→s x→s • l´m g(x) = +∞. ı x→s • l´m g(x) = −∞. ı x→s c) existe f (x) l´m ı = L ∈ R ∪ {±∞}. x→s g (x)Entonces, existe el límite de f (x)/g(x) y es igual a L: f (x) f (x) l´m ı = l´m ı = L. x→s g(x) x→s g (x)Demostración. Para empezar, veamos que basta considerar el caso a = 0 y s = 0+ . En efecto, una vezdemostrado este caso se deducen los demás: • Si a = 0 y s = a+ , hacemos el cambio y = x − a, aplicamos la regla en el caso conocido y deshacemos el cambio: f (x) f (y + a) f (y + a) f (x) l´m ı = l´m ı = l´m ı = l´m ı . x→a+ g(x) y→0+ g(y + a) y→0+ g (y + a) x→a+ g (x) • Si a ∈ R y s = a− , hacemos el cambio y = −x. • Si a ∈ R y s = a, hacemos los dos límites laterales. • Si a = ±∞, hacemos el cambio y = 1/x; por ejemplo, f (x) f (1/y) − y12 f (1/y) f (1/y) f (x) l´m ı = l´m+ ı = l´m+ 1 ı = l´m+ ı = l´m ı . x→+∞ g(x) y→0 g(1/y) y→0 − 2 g (1/y) y→0 g (1/y) x→+∞ g (x) y
  • 102. 98 Capítulo 5. DerivaciónAsí que a partir de ahora, suponemos que a = 0 y s = 0+ . Aparte de esto, el caso l´m+ g(x) = −∞ se deduce del caso l´m+ g(x) = +∞ tomando la función ı ı x→0 x→0G(x) = −g(x) en lugar de g, y el caso L = −∞ del caso L = +∞, tomando la función F(x) = − f (x)en lugar de f . En resumen, solo necesitamos considerar los siguientes casos: a) l´m+ f (x) = l´m+ g(x) = 0. ı ı x→0 x→0 f (x) b) l´m+ g(x) = +∞ y l´m+ ı ı = L ∈ R. x→0 x→0 g (x) f (x) c) l´m+ g(x) = +∞ y l´m+ ı ı = +∞. x→0 x→0 g (x) a) Supongamos que l´m+ f (x) = l´m+ g(x) = 0. Definamos las siguientes funciones: ı ı x→0 x→0 f (x) si x > 0, x ∈ I F(x) = 0 si x = 0. g(x) si x > 0, x ∈ I G(x) = 0 si x = 0.Las dos funciones F y G son continuas en 0 por la derecha y derivables en I {0}. Además, del teoremade Rolle 5.2.6 se deduce que para cada x > 0 tiene que ser G(x) = G(0), ya que de lo contrario setendría 0 = G (c) = g (c) para algún c. Por el teorema 5.3.7 del valor medio generalizado, para cada x > 0, x ∈ I, existe algún c tal que0<c<xy f (x) F(x) − F(0) F (c) f (c) = = = . g(x) G(x) − G(0) G (c) g (c)Ahora sea (xn ) ⊆ I una sucesión cualquiera tal que xn > 0 para todo n ∈ N y xn → 0. Si para cadan ∈ N tomamos un cn que cumpla la fórmula anterior, entonces cn → 0+ y f (xn ) f (cn ) l´m ı = l´m ı = L. n g(xn ) n g (cn )Por la caracterización del límite mediante sucesiones (proposición 4.1.9), deducimos que f (x) l´m+ ı = L. x→0 g(x) f (x) b) Supongamos que l´m+ g(x) = +∞ y que l´m+ ı ı = L ∈ R. x→0 g (x) x→0 Dado que g (x) = 0 para todo x ∈ I, x > 0, deducimos del teorema de Rolle 5.2.6 que g es inyectivaen I ∩ (0, +∞). Para cada par de puntos distintos x, y ∈ I positivos, podemos escribir f (x) f (x) − f (y) g(x) − g(y) f (y) = · + . g(x) g(x) − g(y) g(x) g(x)
  • 103. 5.3. Aplicaciones del teorema del valor medio 99Por el teorema 5.3.7 del valor medio generalizado, f (x) f (c) g(y) f (y) = · 1− + g(x) g (c) g(x) g(x) f (c) 1 f (c) = + − · g(y) + f (y) g (c) g(x) g (c)para algún c comprendido entre x e y. Por lo tanto, f (x) f (c) 1 f (c) −L = −L+ − · g(y) + f (y) g(x) g (c) g(x) g (c) f (c) 1 f (c) ≤ −L + · |g(y)| + | f (y)| g (c) |g(x)| g (c) f (c) 1 f (c) ≤ −L + − L · |g(y)| + |L| · |g(y)| + | f (y)| . g (c) |g(x)| g (c)Sea ε > 0. Existe algún r > 0 tal que f (c) ε −L < , si 0 < c < r. g (c) 2Fijemos y = r. Ahora existe algún δ > 0, con δ < r, tal que 2 ε g(x) > · |g(r)| + |L| · |g(r)| + | f (r)| , si 0 < x < δ . ε 2Entonces, para cada x con 0 < x < δ se tiene (teniendo en cuenta que 0 < x < c < y = r) f (x) f (c) 1 f (c) ε ε −L ≤ −L + − L · |g(r)| + |L| · |g(r)| + | f (r)| < + = ε. g(x) g (c) |g(x)| g (c) 2 2Esto prueba que f (x) l´m+ ı = L. x→0 g(x) f (x) c) Supongamos que l´m+ g(x) = +∞ y que l´m+ ı ı = +∞. Volvemos a la expresión x→0 x→0 g (x) f (x) f (c) g(y) f (y) = · 1− + , g(x) g (c) g(x) g(x)donde c está comprendido entre x e y. Dado M > 0, existe algún número r > 0 tal que f (c) > 2(M + 1), si 0 < c < r. g (c)Fijamos y = r y ahora existe algún δ1 > 0 tal que g(r) 1 1− > , si 0 < x < δ1 g(x) 2y también algún δ2 > 0 tal que f (r) > −1, si 0 < x < δ2 . g(x)
  • 104. 100 Capítulo 5. DerivaciónElegimos δ = m´n{r, δ1 , δ2 }. Para cada x con 0 < x < δ , teniendo en cuenta también que 0 < x < c < ıy = r, resulta que f (x) f (c) g(r) f (r) 1 = · 1− + > 2(M + 1) · − 1 = M. g(x) g (c) g(x) g(x) 2Esto prueba que f (x) l´m+ ı = +∞. x→0 g(x)Corolario 5.3.9. Sea I un intervalo, a ∈ I, f una función definida en I. Supongamos que: a) f es continua en a; b) para algún r > 0, f es derivable en {x ∈ I : 0 < |x − a| < r}; c) existe l´m f (x) = c. ı x→aEntonces f es también derivable en a y f (a) = c.Demostración. Basta aplicar la regla de L’Hospital 5.3.8 a las funciones F y G dadas por F(x) =f (x) − f (a), G(x) = x − a.5.4. Aproximación polinómica local5.4.1. Desarrollos polinómicos. Teorema de Taylor-YoungDefinición 5.4.1 (derivadas de orden superior). Sea f una función derivable en un conjunto D.Dado c ∈ D ∩ D , si la función derivada f es derivable en c se dice que f es dos veces derivable enc, y la derivada de f en c, que se denota por f (c), se llama derivada segunda de f en c. Se dice que f es dos veces derivable en un conjunto D si es dos veces derivable en cada puntode D. Si esto sucede, la función f definida en D, que asocia a cada x ∈ D el valor f (x) se llamafunción derivada segunda de f en D. Reiterando, se define para cada n ∈ N el concepto de función n veces derivable en un punto, enun conjunto, la derivada de orden n en un punto, que se escribe f (n) (c), y la función derivada deorden n.Teorema 5.4.2 (de Taylor-Young). Sea I un intervalo, c un punto de I, f una función definida en I.Supongamos que f es derivable en todos los puntos hasta el orden n − 1 (n ≥ 1) y que existe f (n) (c).Entonces 1 f (c) f (n) (c) l´m ı f (x) − f (c) − f (c)(x − c) − (x − c)2 − · · · − (x − c)n = 0. x→c (x − c)n 2 n!Demostración. Lo probamos por inducción sobre n. Fijados I y c ∈ I, sea Pn la propiedad: dada unafunción f : I → R derivable en todos los puntos hasta el orden n − 1 y tal que existe f (n) (c), se verifica 1 f (c) f (n) (c) l´m ı f (x) − f (c) − f (c)(x − c) − (x − c)2 − · · · − (x − c)n = 0. x→c (x − c)n 2 n!
  • 105. 5.4. Aproximación polinómica local 101La propiedad P1 es cierta, puesto que tenemos entonces una función f derivable en c y, por la defini-ción de derivada en un punto, será 1 f (x) − f (c) l´m ı f (x) − f (c) − f (c)(x − c) = l´m ı − f (c) = 0. x→c (x − c) x→c (x − c)Veamos ahora que si es cierta Pn , también lo es Pn+1 . Sea f : I → R una función derivable en todoslos puntos hasta el orden n y tal que existe f (n+1) (c). Su función derivada f : I → R es una funciónderivable en todos los puntos hasta el orden n − 1 para la que existe la derivada de orden n en c.Aplicando la hipótesis de inducción a f , 1 f (c) f (n+1) (c) l´m ı f (x) − f (c) − f (c)(x − c) − (x − c)2 − · · · − (x − c)n = 0. x→c (x − c)n 2 n!Definamos F : I → R por f (c) f (n) (c) f (n+1) (c) F(x) = f (x) − f (c) − f (c)(x − c) − (x − c)2 − · · · − (x − c)n − (x − c)n+1 . 2 n! (n + 1)!La función F es derivable en cada x ∈ I con derivada f (c) f (n+1) (c) F (x) = f (x) − f (c) − f (c)(x − c) − (x − c)2 − · · · − (x − c)n ; 2 n!teniendo en cuenta la regla de L’Hospital 5.3.8 se deduce que existe 1 f (c) f (n+1) (c) l´m ı f (x) − f (c) − f (c)(x − c) − (x − c)2 − · · · − (x − c)n+1 x→c (x − c)n+1 2 (n + 1)! F(x) F (x) = l´m ı = l´m ı = 0. x→c (x − c)n+1 x→c (n + 1)(x − c)n Podemos expresar el teorema 5.4.2 de Taylor-Young de otras formas, introduciendo algunos con-ceptos nuevos.Definición 5.4.3. Dada una función f derivable n veces en un punto c, se llama polinomio de Tayloren c de orden n al polinomio f (c) f (n) (c) Pn,c, f (x) = f (c) + f (c)(x − c) + (x − c)2 + · · · + (x − c)n 2 n!(nótese que se trata de un polinomio de grado menor o igual que n). Entonces, la fórmula del teorema 5.4.2 de Taylor-Young se puede escribir así: f (x) − Pn,c, f (x) l´m ı = 0. x→c (x − c)nSi definimos   f (x) − Pn,c, f (x) , si x = c u(x) = (x − c)n  0, si x = centonces la fórmula del teorema 5.4.2 de Taylor-Young es: f (x) = Pn,c, f (x) + (x − c)n u(x),con una función u continua en c y u(c) = 0. También se suele usar la notación o pequeña de Landau:
  • 106. 102 Capítulo 5. DerivaciónDefinición 5.4.4. Si f y g son dos funciones, se dice que f (x) = o(g(x)) cuando x → c si f (x) l´m ı = 0. x→c g(x)También se escribe f (x) = h(x) + o(g(x)) si f (x) − h(x) = o(g(x)), es decir, si f (x) − h(x) l´m ı = 0. x→c g(x) Con esto, la fórmula del teorema 5.4.2 de Taylor-Young es f (x) = Pn,c, f (x) + o((x − c)n ), x → c. Es interesante saber que para una función dada solo puede haber un polinomio de grado menor oigual que n que cumpla esa condición, como pasamos a demostrar.Proposición 5.4.5 (unicidad de la aproximación polinómica). Sea I un intervalo, c ∈ I, f : I → R,n ∈ N. Supongamos que existen polinomios P y Q de grado menor o igual que n tales que f (x) − P(x) f (x) − Q(x) l´m ı = l´m ı =0 x→c (x − c)n x→c (x − c)nEntonces P = Q.Demostración. Como P − Q es un polinomio de grado menor o igual que n, se tendrá que P(x) − Q(x) = b0 + b1 (x − c) + · · · + bn (x − c)npara ciertos coeficientes b0 , b1 , . . . , bn . Y como P(x) − Q(x) [ f (x) − Q(x)] − [ f (x) − P(x)] l´m ı = l´m ı = 0, x→c (x − c)n x→c (x − c)nresulta en primer lugar que P(x) − Q(x) b0 = l´m[P(x) − Q(x)] = l´m ı ı · (x − c)n = 0. x→c x→c (x − c)nLuego realmente P(x) − Q(x) = b1 (x − c) + · · · + bn (x − c)n .Pero entonces P(x) − Q(x) P(x) − Q(x) b1 = l´m ı = l´m ı · (x − c)n−1 = 0, x→c x−c x→c (x − c)ny reiterando el proceso, b2 = · · · = bn = 0,es decir, P = Q. Este resultado permite denominar a P el desarrollo polinómico de f de orden n en el punto c (seusa también el nombre de desarrollo limitado). No toda función admite un desarrollo polinómico; elteorema 5.4.2 de Taylor-Young da una condición suficiente, aunque no necesaria, para su existencia.
  • 107. 5.4. Aproximación polinómica local 103Ejemplo. La función  cos x + x3 sen 1 si x = 0 f (x) = x 1 si x = 0no tiene derivada segunda en el origen, pero es fácil comprobar que 1 f (x) = 1 − x2 + o(x2 ) 2cuando x → 0.Ejemplo. La función x2 log x si x = 0 f (x) = 0 si x = 0es derivable en el origen, y por tanto admite un desarrollo polinómico en el origen de orden 1. Sinembargo, no admite desarrollos polinómicos de orden superior a 1.Observación. En algunas ocasiones, podemos calcular derivadas n-ésimas en un punto a partir delteorema 5.4.2 de Taylor-Young y de la unicidad del desarrollo. Por ejemplo, sea f (x) = 1/(1 − x).Como 1 x7 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + 1−x 1−x x7y es una o(x6 ) cuando x → 0, se deduce que 1−x P6,0, f (x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 .Es decir, f (0) = f (0) = 1, f (0) = 2, f (0) = 3!, f (4) (0) = 4!, f (5) (0) = 5!, f 6 (0) = 6!. Si conocemos el desarrollo polinómico de la derivada de una función podemos obtener fácilmenteun desarrollo polinómico para la función misma. Concretamente:Proposición 5.4.6. Sea I un intervalo, c ∈ I, f : I → R, n ∈ N. Supongamos que f es continua en I yderivable en I {c}. Si f (x) = a0 + a1 (x − c) + · · · + an (x − c)n + o ((x − c)n ) , x → c,entonces a1 an f (x) = f (c) + a0 (x − c) + (x − c)2 + · · · + (x − c)n+1 + o (x − c)n+1 , x → c. 2 n+1Demostración. Es una consecuencia inmediata de la regla de L’Hospital 5.3.8: f (x) − f (c) − a0 (x − c) − a1 (x − c)2 − · · · − n+1 (x − c)n+1 2 an l´m ı x→c (x − c)n+1 f (x) − a0 − a1 (x − c) − · · · − an (x − c)n = l´m ı = 0. x→c (n + 1)(x − c)n
  • 108. 104 Capítulo 5. Derivación5.4.2. Aplicación al cálculo de límitesCorolario 5.4.7. Sea I un intervalo, c un punto de I, f una función definida en I. Supongamos quef es derivable en todos los puntos hasta el orden n − 1 (n ≥ 1) y que existe f (n) (c). Si f (n) (c) = 0,entonces f (c) f (n−1) (c) f (n) (c)f (x) − f (c) − f (c)(x − c) − (x − c)2 − · · · − (x − c)n−1 ∼ (x − c)n , x → c. 2 (n − 1)! n!Demostración. Basta tener en cuenta que para x → c, f (c) f (n−1) (c) f (x) − f (c) − f (c)(x − c) − 2 (x − c) − · · · − (n−1)! (x − c) 2 n−1 −1 ( f (n) (c)/n!)(x − c)n f (n−1) (c) (n) n−1 − f (c) (x − c)n f (x) − f (c) − f (c)(x − c) − · · · − (n−1)! (x − c) n! = −→ 0. ( f (n) (c)/n!)(x − c)nNota. Las equivalencias que vimos para funciones elementales se obtienen como caso particular deeste corolario, conociendo los valores de las derivadas de tales funciones. Además, podemos afinaresas equivalencias, lo que resulta especialmente útil cuando hay que manejar sumas o diferencias defunciones conocidas.Observación. Este resultado, junto con el teorema 5.4.2 de Taylor-Young, permite en muchos casosresolver con comodidad indeterminaciones del tipo “0/0” en el cálculo de límites. Disponemos asíde procedimientos que en algunos casos sustituyen con ventaja a la aplicación repetida de la regla deL’Hospital 5.3.8.Ejemplo. Calculemos el límite (sen x − x)2 − 36 x6 1 l´m ı . x→0 x8Para empezar, utilizando el teorema 5.4.2 de Taylor-Young, se deduce que 1 1 5 sen x = x − x3 + x + o(x5 ), 6 120cuando x → 0. Por lo tanto, 1 1 5 sen x − x = − x3 + x + o(x5 ), 6 120cuando x → 0. Elevando al cuadrado, es fácil comprobar que 1 6 1 8 (sen x − x)2 = x − x + o(x8 ) 36 360cuando x → 0. Entonces, (sen x − x)2 − 36 x6 1 1 o(x8 ) =− + 8 x8 360 xcuando x → 0 y, finalmente, (sen x − x)2 − 36 x6 1 1 l´m ı 8 =− . x→0 x 360
  • 109. 5.4. Aproximación polinómica local 1055.4.3. Fórmula de Taylor con resto Seguimos la exposición de [O RTEGA, pág. 119 y sigs.].Teorema 5.4.8 (de Taylor). Sea f una función n + 1 veces derivable en un intervalo I. Entonces,dados a, x ∈ I, se cumple f (a) f (n) (a) f (x) = f (a) + f (a)(x − a) + (x − a)2 + · · · + (x − a)n + Rn (x, a) 2 n!(esta expresión se llama fórmula de Taylor), donde Rn (x, a) (resto de Taylor o término comple-mentario) es una función que depende de x y de a y que puede expresarse de las siguientes formas: a) Término complementario de Lagrange: existe un punto s interior al intervalo de extremos a y x [equivalentemente: existe un s = λ a + (1 − λ )x con λ ∈ (0, 1)] tal que f (n+1) (s) Rn (x, a) = (x − a)n+1 . (5.2) (n + 1)! b) Término complementario de Cauchy: existe un punto c interior al intervalo de extremos a y x [equivalentemente: existe un c = λ a + (1 − λ )x con λ ∈ (0, 1)] tal que f (n+1) (c) Rn (x, a) = (x − a)(x − c)n . (5.3) n!Demostración. Está claro que f (a) f (n) (a) Rn (x, a) = f (x) − f (a) + f (a)(x − a) + (x − a)2 + · · · + (x − a)n . 2 n!Lo que hay que probar es que Rn (x, a) puede escribirse como en (5.2) y (5.3) (fórmulas de Lagrangey de Cauchy, respectivamente). Definamos h : I → R de la siguiente manera: f (t) f (n−1) (t) f (n) (t) h(t) = f (t) + (x − t) f (t) + (x − t)2 + · · · + (x − t)n−1 + (x − t)n 2 (n − 1)! n!(obsérvese que la variable es t, y que x es una constante). Según las hipótesis, h es derivable en I.Además, para cada t ∈ I, f (t) h (t) = f (t) + − f (t) + (x − t) f (t) + −(x − t) f (t) + (x − t)2 +... 2 f (n−1) (t) f (n) (t) f (n) (t) f (n+1) (t) + −(x − t)n−2 + (x − t)n−1 + −(x − t)n−1 + (x − t)n (n − 2)! (n − 1)! (n − 1)! n! f (n+1) (t) = (x − t)n . n!Demostremos ahora las fórmulas de Lagrange y de Cauchy, empezando por esta última.
  • 110. 106 Capítulo 5. Derivación b) Por el teorema 5.2.7 del valor medio, existe algún c comprendido entre x y a tal que h(x) =h(a) + h (c)(x − a), es decir, f (a) f (n−1) (a) f (n) (a) f (x) = f (a) + (x − a) f (a) + (x − a)2 + · · · + (x − a)n−1 + (x − a)n 2 (n − 1)! n! f (n+1) (c) + (x − c)n (x − a). n!Esto demuestra la fórmula de Cauchy para el resto Rn (x, a). a) Ahora consideremos la función g(t) = (x − t)n+1 . Por el teorema 5.3.7 del valor medio genera-lizado, existe algún s comprendido entre x y a tal que h(x) − h(a) h (s) (x − s)n f (n+1) (s) f (n+1) (s) = =− =− , g(x) − g(a) g (s) n!(n + 1)(x − s)n (n + 1)!es decir, f (n+1) (s) f (x) = h(x) = h(a) − [g(x) − g(a)] (n + 1)! f (a) f (n−1) (a) f (n) (a) = f (a) + (x − a) f (a) + (x − a)2 + · · · + (x − a)n−1 + (x − a)n 2 (n − 1)! n! f (n+1) (s) + (x − a)n+1 . (n + 1)!Esto demuestra la fórmula de Lagrange para el resto Rn (x, a). El resto de Taylor es el error cometido al sustituir la función por su polinomio de Taylor. Elteorema 5.4.8 proporciona expresiones explícitas del resto, muy útiles en la práctica para controlarese error. Nótese que los resultados obtenidos pueden reescribirse del siguiente modo: f (n) (a) f (n+1) (s) f (x) = f (a) + f (a)(x − a) + · · · + (x − a)n + (x − a)n+1 n! (n + 1)! f (n) (a) f (n+1) (c) = f (a) + f (a)(x − a) + · · · + (x − a)n + (x − a)(x − c)n n! n!para s, c adecuados. La fórmula de Taylor-Young nos daba también una expresión del resto de Taylor, aunque menosinformativa sobre su tamaño: tan solo da idea de su comportamiento en el límite (aunque con menosexigencias sobre la función).Aplicación. El número e es irracional. Vamos a demostrarlo por reducción al absurdo: supongamosque e = a , con a, b ∈ N y lleguemos a una contradicción. Tomamos un número n ∈ N que cumpla bn ≥ b y n ≥ e. Aplicamos el teorema 5.4.8 de Taylor, con la fórmula (5.3) para el resto, a la funciónexp en el punto a = 0; para todo j ∈ N, exp( j) (0) = exp(0) = 1. Luego 1 1 1 es ex = 1 + x + x 2 + x 3 + · · · + x n + , 2 3! n! (n + 1)!donde s es un número comprendido entre 0 y x. Sustituimos x = 1: 1 1 1 es e = 1+1+ + +···+ + , 2 3! n! (n + 1)!
  • 111. 5.4. Aproximación polinómica local 107donde 0 < s < 1. Por lo tanto, a 1 1 1 es −1−1− − −···− = . b 2 3! n! (n + 1)!Como b ≤ n, el miembro de la izquierda se puede reunir en una sola fracción con denominador n!: K es = , n! (n + 1)!y, multiplicando por n!, es K= . n+1Aquí, K es un número entero. Ahora bien, exp(s) > 0 para cualquier s ∈ R; luego K es un númeronatural y por lo tanto es 1≤K≤ . n+1Además, la función exp es esctrictamente creciente y 0 < s < 1, luego es < e. De aquí se deduce que e 1< , n+1es decir, n + 1 < e, lo que no es cierto. Hemos llegado a una contradicción. Luego el numero e tieneque ser irracional.Nota. La fórmula y el polinomio de Taylor se llaman de Taylor-Maclaurin en el caso particular a = 0.Algunos desarrollos de Taylor-Maclaurin. A continuación indicamos los desarrollos de las prin-cipales funciones elementales. En unos casos es la fórmula de Taylor-Maclaurin (con la fórmula deLagrange del resto) y en otros la fórmula de Taylor-Young, es decir, con la notación de la o pequeñade Landau. 1 1 a) = 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + xn+1 1−x (1 − t)n+2 1 2 1 3 1 et b) ex = 1 + x + x + x + · · · + xn + xn+1 2! 3! n! (n + 1)! 1 1 1 (−1)n+1 n (−1)n xn+1 c) log(1 + x) = x − x2 + x3 − x4 + · · · + x + 2 3 4 n (n + 1)(1 + t)n+1 α(α − 1) 2 α n α xn+1 d) (1 + x)α = 1 + αx + x +···+ x + 2! n n+1 (1 + t)n+1−α 1 3 1 5 1 7 (−1)n 2n+1 (−1)n+1 cost 2n+3 e) sen x = x − x + x − x +···+ x + x 3! 5! 7! (2n + 1)! (2n + 3)! 1 2 1 4 1 6 (−1)n 2n (−1)n+1 cost 2n+2 f) cos x = 1 − x + x − x +···+ x + x 2! 4! 6! (2n)! (2n + 2)! 1 2 17 7 g) tg x = x + x3 + x5 + x + o(x8 ) 3 15 315
  • 112. 108 Capítulo 5. Derivación 1 5 61 6 h) sec x = 1 + x2 + x4 + x + o(x7 ) 2 24 720 1 3 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) x2n+1 i) arc sen x = x + x3 + x5 + · · · + · + o(x2n+2 ) 6 40 2 · 4 · 6 · · · · · (2n) 2n + 1 1 1 1 (−1)n 2n+1 j) arc tg x = x − x3 + x5 − x7 + · · · + x + o(x2n+2 ) 3 5 7 2n + 1 1 3 1 5 1 7 1 cosht 2n+3 k) senh x = x + x + x + x +···+ x2n+1 + x 3! 5! 7! (2n + 1)! (2n + 3)! 1 2 1 4 1 6 1 2n cosht 2n+2 l) cosh x = 1 + x + x + x +···+ x + x 2! 4! 6! (2n)! (2n + 2)! 1 2 17 7 m) tgh x = x − x3 + x5 − x + o(x8 ) 3 15 315 1 3 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) x2n+1 n) arg senh x = x − x3 + x5 + · · · + (−1)n · + o(x2n+2 ) 6 40 2 · 4 · 6 · · · · · (2n) 2n + 1 1 1 1 1 ñ) arg tgh x = x + x3 + x5 + x7 + · · · + x2n+1 + o(x2n+2 ) 3 5 7 2n + 1 1 −π −π/2 π/2 π −1 La función seno y su polinomio de Taylor-Maclaurin de quinto grado5.4.4. Extremos relativos Recordemos que, por definición, una función f : D → R tiene en un punto a ∈ D un máximorelativo si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ D con |x − a| < δ es f (a) ≥ f (x). Se dice queel máximo relativo es estricto si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ D con 0 < |x − a| < δ es f (a) > f (x). Análogamente, f tiene un mínimo relativo en a si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ Dcon |x − a| < δ es f (a) ≤ f (x). Y es un mínimo relativo estricto si existe un δ > 0 tal que para todox ∈ D con 0 < |x − a| < δ es f (a) < f (x). Se dice que f tiene un extremo relativo en a si tiene en aun máximo relativo o un mínimo relativo. Según la proposición 5.2.3, si una función f : D ⊆ R → R tiene un extremo relativo en un puntointerior de D y es derivable en ese punto, entonces la derivada de f en ese punto tiene que ser 0.Tenemos así una condición necesaria para la existencia de extremos relativos que, según sabemos,no es condición suficiente. Usando el teorema 5.4.2 de Taylor-Young se puede dar una condiciónsuficiente mediante las derivadas de orden superior.
  • 113. 5.4. Aproximación polinómica local 109Teorema 5.4.9 (condiciones para la existencia de extremos relativos). Sea f una función derivablen − 1 veces (n > 1) en un intervalo abierto I; sea a ∈ I tal que existe f (n) (a) y además f (a) = f (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0, f (n) (a) = 0.Entonces: a) n par, f (n) (a) > 0 =⇒ f tiene en a un mínimo relativo estricto; b) n par, f (n) (a) < 0 =⇒ f tiene en a un máximo relativo estricto; c) n impar =⇒ f no tiene un extremo relativo en a.Demostración. Observemos que podemos aplicar el corolario 5.4.7 y, por lo tanto, f (a) f (n−1) (a) f (n) (a)f (x) − f (a) − f (a)(x − a) − (x − a)2 − · · · − (x − a)n−1 ∼ (x − a)n , x → a. 2 (n − 1)! n!Como f (a) = f (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0,quedará f (n) (a) f (x) − f (a) ∼ (x − a)n , x → a, n!de donde f (x) − f (a) f (n) (a) l´m ı = . x→a (x − a)n n!Puesto que f (n) (a) = 0 se sigue que, para algún r > 0, se cumplirá para todo x ∈ I con 0 < |x − a| < rque f (x) − f (a) f (n) (a) signo = signo = signo f (n) (a). (x − a)n n!Estudiemos ahora los distintos casos posibles. a) Si n es par y f (n) (a) > 0, para los x ∈ I con 0 < |x − a| < r es f (x) − f (a) signo( f (x) − f (a)) = signo = signo f (n) (a). (x − a)n ya que por ser n par, se tiene (x − a)n > 0. Luego para todo x ∈ I con 0 < |x − a| < r queda f (x) > f (a) y f tiene en a un mínimo relativo estricto. b) Si n es par y f (n) (a) < 0, se procede de la misma manera y se llega a que f tiene en a un máximo relativo estricto. c) Si n es impar, entonces (x − a)n < 0 si x < a; y (x − a)n > 0 si x > a. Luego f (x) − f (a) tiene un signo si x ∈ I ∩ (a − r, a) y el signo contrario si x ∈ I ∩ (a, a + r). Por lo tanto, f no tiene un extremo relativo en a.
  • 114. 110 Capítulo 5. Derivación5.4.5. Convexidad y concavidad Sea I un intervalo y f : I −→ R una función. Recordemos que si a y b son dos puntos distintos deI, la recta (en R2 ) que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) tiene la ecuación: f (b) − f (a) y(x) = f (a) + (x − a) b−ao, de otra manera, f (b) − f (a) y(x) = f (b) + (x − b). b−aDefinición 5.4.10. Sea f : I −→ R, I un intervalo. Se dice que f es convexa en I si para cualesquieraa, b, c ∈ I tales que a < c < b se tiene f (b) − f (a) f (c) ≤ f (a) + (c − a) b−a(es decir, la gráfica de f está por debajo de todas las cuerdas) o, lo que es igual, f (c) − f (a) f (b) − f (a) ≤ c−a b−a(es decir, la pendiente de la cuerda crece al crecer una de las abscisas). Se dice que f es cóncava en I si para cualesquiera a, b, c ∈ I tales que a < c < b se tiene f (b) − f (a) f (c) ≥ f (a) + (c − a) b−ao, lo que es igual, f (c) − f (a) f (b) − f (a) ≥ . c−a b−aObservación. Que c ∈ (a, b) equivale a que c = λ a + (1 − λ )b, con λ ∈ (0, 1). Es fácil ver entoncesque f (b) − f (a) f (c) ≤ f (a) + (c − a) ⇐⇒ f (c) ≤ λ f (a) + (1 − λ ) f (b). b−a Función convexa Función cóncava El siguiente resultado se deduce inmediatamente de las definiciones.
  • 115. 5.4. Aproximación polinómica local 111Proposición 5.4.11. Sea f : I −→ R, I un intervalo. La función f es cóncava en I si y solo si − f esconvexa en I.Teorema 5.4.12. Sea f una función derivable en un intervalo I (derivable lateralmente en los extre-mos si estos pertenecen al intervalo). Son equivalentes: a) f es convexa en I; b) la gráfica de f está por encima de sus tangentes: f (b) ≥ f (a) + f (a)(b − a) ∀ a, b ∈ I; c) f es no decreciente en I.Demostración. a) =⇒ b): sean a, b ∈ I; supongamos que a < b. Entonces, para todo x ∈ (a, b) se tiene f (x) − f (a) f (b) − f (a) ≤ ; x−a b−apuesto que f es derivable en a, haciendo x −→ a+ se obtiene f (b) − f (a) f (a) ≤ b−ay como b − a > 0, resulta f (a)(b − a) + f (a) ≤ f (b), como teníamos que demostrar. Si, por el contrario, b < a, entonces se tiene para todo x ∈ (b, a) f (a) − f (b) f (b) − f (a) f (x) ≤ f (b) + (x − b) = f (a) + (x − a), a−b b−ade donde, haciendo x −→ a− , f (b) − f (a) f (a) ≥ ; b−ay como b − a < 0, resulta también en este caso f (a)(b − a) + f (a) ≤ f (b). b) =⇒ c): sean a, b ∈ I, a < b. Por hipótesis, f (a)(b − a) ≤ f (b) − f (a)y, cambiando los papeles de a y b, f (b) − f (a) ≤ f (b)(b − a);luego f (a)(b − a) ≤ f (b)(b − a) y, por ser b − a > 0, f (a) ≤ f (b). Es decir, f es no decreciente. c) =⇒ a): sean a, b, c ∈ I, a < c < b. Por el teorema 5.2.7 del valor medio, ∃ α ∈ (a, c) tal que f (c) − f (a) = f (α)(c − a); ∃ β ∈ (c, b) tal que f (b) − f (c) = f (β )(b − c).Por hipótesis, f (α) ≤ f (β ), luego f (b) − f (a) = f (α)(c − a) + f (β )(b − c) f (c) − f (a) ≥ f (α)(c − a) + f (α)(b − c) = f (α)(b − a) = (b − a); c−acomo b − a > 0, se deduce que f (c) − f (a) f (b) − f (a) ≤ . c−a b−aY f es convexa.
  • 116. 112 Capítulo 5. DerivaciónCorolario 5.4.13. Sea f derivable en un intervalo I (derivable lateralmente en los extremos si estospertenecen al intervalo). Son equivalentes: a) f es cóncava en I; b) la gráfica de f está por debajo de sus tangentes: f (b) ≤ f (a) + f (a)(b − a) ∀ a, b ∈ I; c) f es no creciente en I.Corolario 5.4.14. Sea f derivable dos veces en un intervalo I. Son equivalentes: a) f es convexa en I; b) f (x) ≥ 0 para todo x ∈ I.Corolario 5.4.15. Sea f derivable dos veces en un intervalo I. Son equivalentes: a) f es cóncava en I; b) f (x) ≤ 0 para todo x ∈ I.Definición 5.4.16. Sea f una función y sea a ∈ dom f . Se dice que f tiene en a un punto de inflexiónsi existe δ > 0 tal que (a−δ , a+δ ) ⊆ dom f y o bien f es convexa en (a−δ , a] y cóncava en [a, a+δ ),o bien es cóncava en (a − δ , a] y convexa en [a, a + δ ). a El punto a es un punto de inflexiónProposición 5.4.17. Sea f : D ⊆ R → R y a un punto interior de D. Supongamos que f es derivableen un intervalo abierto I ⊆ D tal que a ∈ I. Entonces, si f tiene un punto de inflexión en a y existef (a), necesariamente f (a) = 0.Demostración. Por hipótesis existe δ > 0 tal que f es convexa en (a − δ , a] y cóncava en [a, a + δ )(si es al revés, se procede de manera análoga). A su vez, para algún ρ > 0 se tendrá (a − ρ, a + ρ) ⊆ I.Haciendo r = m´n{δ , ρ}, la función f es derivable en (a − r, a + r) ⊆ I, convexa en (a − r, a] y cóncava ıen [a, a + r). En consecuencia la función f es monótona no decreciente en (a − r, a] y monótona no crecienteen [a, a + r), por lo que tiene en a un máximo relativo; como f es derivable en a, su derivada se anula;es decir, f (a) = 0.
  • 117. 5.4. Aproximación polinómica local 113Observación. Aun suponiendo que f sea derivable en a, que f tenga en a un punto de inflexión notiene ninguna relación con el valor de f (a) y, en particular, no tiene por qué ser f (a) = 0.Proposición 5.4.18 (condición suficiente para la existencia de puntos de inflexión). Sea f unafunción derivable n − 1 veces (n ≥ 3) en un intervalo abierto I; sea a ∈ I tal que existe f (n) (a) yademás f (a) = f (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0, f (n) (a) = 0.Si n es impar, entonces f tiene en a un punto de inflexión.Demostración. Por el corolario 5.4.7 (aplicado a la función f ), ( f )(n−2) (a) f (x) ∼ (x − a)n−2 , (n − 2)!luego f (x) f (n) (a) l´m ı = =0 x→a (x − a)n−2 (n − 2)!y f (x)/(x − a)n−2 tiene signo constante en (a − δ , a + δ ) {a} para algún δ > 0; por ser n − 2 impar,resulta que f tiene un signo en (a − δ , a) y el otro en (a, a + δ ). Como f (a) = 0, se deduce queo bien f es convexa en (a − δ , a] y cóncava en [a, a + δ ) o al revés. Es decir, f tiene un punto deinflexión en a.Corolario 5.4.19. Sea f una función derivable n − 1 veces (n ≥ 3) en un intervalo abierto I; sea a ∈ Ital que existe f (n) (a) y además f (a) = f (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0, f (n) (a) = 0.Si n es impar, entonces f tiene en a un punto de inflexión con tangente horizontal y no un extremolocal.Demostración. Ver la proposición 5.4.18 y el teorema 5.4.9.5.4.6. Representación gráfica de funciones Si f es una función real de una variable real, su estudio y representación gráfica puede sistema-tizarse en los siguientes pasos (de los que han de llevarse a cabo tan solo los que resulten imprescin-dibles para responder a las cuestiones que se traten de resolver, y siempre de la manera más sencillaposible): 1) Generalidades. a) Determinación de su dominio. b) Simplificación del estudio: paridad [ f (−x) = f (x)] o imparidad [ f (−x) = − f (x)]; perio- dicidad [ f (x + p) = f (x)]. Otras simetrías. Regiones planas sin puntos de la gráfica. c) Límites de la función en puntos del dominio; continuidad. d) Límites de la función en los puntos de acumulación del dominio que no pertenezcan a él. En particular, asíntotas verticales: si para algún punto a de acumulación del dominio de f se cumple l´m− f (x) = +∞, la recta x = a es una asíntota vertical (lo mismo si el límite ı x→a es −∞ o si el límite es por la derecha).
  • 118. 114 Capítulo 5. Derivación e) Comportamiento en el infinito: asíntotas horizontales y oblicuas. • Si el dominio de f no está acotado superiormente y para algún b ∈ R es l´m f (x) = ı x→+∞ b, la recta y = b es una asíntota horizontal. • Si existen a, b ∈ R tales que l´m [ f (x) − (ax + b)] = 0, la recta y = ax + b es una ı x→+∞ asíntota oblicua. En este caso, f (x) a = l´m ı , b = l´m [ f (x) − ax]. ı x→+∞ x x→+∞ Una asíntota horizontal es un caso particular de asíntota oblicua, con a = 0. f (x) • Si existe a ∈ R tal que a = l´m ı , la recta y = ax es una dirección asintótica de x→+∞ x la gráfica (aun cuando no exista asíntota). En este caso, si l´m [ f (x) − ax] = +∞ se ı x→+∞ dice que la gráfica de f tiene una rama parabólica de dirección asintótica y = ax. • Lo mismo para x → −∞ (si el dominio de f no está acotado inferiormente). Asíntota horizontal, vertical y oblicua f) Crecimiento y decrecimiento. 2) Estudio de la derivada. a) Derivabilidad de la función. Puntos con tangente vertical. b) Signo de la derivada: crecimiento y decrecimiento; extremos relativos y absolutos. c) Crecimiento y decrecimiento de la derivada: convexidad y concavidad; puntos de infle- xión. d) Puntos críticos o singulares.
  • 119. 5.5. Ejercicios 115 3) Estudio de la derivada segunda. a) Existencia de la derivada segunda. b) Signo de la derivada segunda: convexidad y concavidad; puntos de inflexión. 4) Otras consideraciones: valores particulares de la función o de sus derivadas; cortes con los ejes; cortes con las asíntotas.5.5. EjerciciosEjercicio 5.1 (derivadas sucesivas de un producto: regla de Leibniz). Sea I un intervalo, c un puntode I, f y g funciones definidas en I. Dado n ∈ N, si f y g son funciones derivables hasta el orden n enel punto c, entonces el producto f g es derivable hasta el orden n en el punto c, y se tiene n n (k) ( f g)(n) (c) = ∑ f (c)g(n−k) (c). k=0 kEjercicio 5.2. Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones y hallar f (x), f (x), donde seaposible. x2 , si x ≤ 0 a) f (x) = |x| b) f (x) = 2, c) f (x) = |x|3 −x si x > 0Ejercicio 5.3. Hallar y , simplificando si es posible, en los siguientes casos: sen x + cos x a) y(x) = b) y(x) = (x2 + 1) arc tg x sen x − cos x √ √ c) y(x) = log(x + x2 + 1) d) y(x) = log(x + x2 − 1) 1 − cos x e) y(x) = log f) y(x) = x1/ log x 1 + cos x 1−x √ 1 2x + 1 g) y(x) = arc tg h) y(x) = log x2 + x + 1 − √ arc tg √ 1+x 3 3 sen a sen x √ i) y(x) = arc sen j) y(x) = x arc sen x + 1 − x2 1 − cos a cos xEjercicio 5.4. Hallar el número de soluciones reales que tienen las siguientes ecuaciones y dos enterosconsecutivos entre los que se encuentra cada solución: a) 3x5 + 15x − 8 = 0 b) 2x3 − 9x2 + 12x = −1 c) x5 − 5x = 1 d) 3−x = x e) ex = 1 + x f) x5 + 2x + 1 = 0Ejercicio 5.5. Demostrar las siguientes desigualdades: x3 x3 a) x− < arc tg x < x − , x ∈ (0, 1] b) ex > ex, x=1 3 6 x c) < log(1 + x) < x, x > −1, x = 0 d) 2x < sen 2x + tg x, x ∈ (0, π/2) 1+x
  • 120. 116 Capítulo 5. Derivación x3 x2 e) tg x > x + , x ∈ (0, π/2) f) ex ≥ 1 + x + , x≥0 3 2 x3 g) x− < sen x < x, x>0 6Ejercicio 5.6. Demostrar que arc tg x − arc tg y < x − y, si x > y. Deducir que la función arc tg esuniformemente continua en R. πEjercicio 5.7. Probar que arc sen x + arc cos x = para todo x ∈ [−1, 1]. 2 1Ejercicio 5.8. Probar que arc cos √ = arc tg x para todo x ≥ 0. ¿Y si x < 0? 1 + x2Ejercicio 5.9. Sean f , g : [0, 1] → R continuas en [0, 1], derivables en (0, 1), con f (0) = 0, g(0) = 2 y| f (x)| ≤ 1, |g (x)| ≤ 1 para todo x ∈ (0, 1). Probar que f (x) ≤ g(x) para cada x ∈ [0, 1].Ejercicio 5.10. Calcular los siguientes límites: log x a) l´m ı =0 (ε > 0) b) l´m xa log x = 0 ı (a > 0) x→+∞ xε x→0+ 1 ctg x 1 c) l´m ı − = d) l´m (2 − x)tg(πx/2) = e2/π ı x→0 x2 x 3 x→1 e) l´m (log ctg x)tg x = 1 ı f) l´m x1/(1−x) = 1/e ı x→0+ x→1 1 1 1 1 g) l´m ı √ − =− h) l´m ctg x − ı =0 x→0 log(x + 1 + x2 ) log(1 + x) 2 x→0 x i) l´m log(1 + sen2 x) ctg log2 (1 + x) = 1 ı j) l´m e1/(1−cos x) sen x ı ( ∃) x→0 x→0 2 + 2x + sen 2x x k) l´m ı ( ∃) l) l´m x1/ log(e −1) = e ı x→+∞ (2x + sen 2x)esen x x→0+ 1 cosh x 1 1 1 1 m) l´m xsen x ı − =− n) l´m ı − = x→0+ x2 x senh x 3 x→0 x ex − 1 2 x(ex + 1) − 2(ex − 1) 1 1 1 1 ñ) l´m ı = o) l´m ı − = x→0 x3 6 x→1 log x x − 1 2 e − (1 + x)1/x e sen 3x2 p) l´m ı = q) l´m ı = −6 x→0 x 2 x→0 log cos(2x2 − x)Ejercicio 5.11. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes: a) f (x) = 4x3 − 21x2 + 18x + 20 b) f (x) = sen x + cos x, x ∈ [0, 2π] 2x c) f (x) = d) f (x) = cos x − x 1 + x2 e) f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 12 f) f (x) = x2 e−xEjercicio 5.12. Hallar los extremos relativos de las funciones siguientes:
  • 121. 5.5. Ejercicios 117 √ f (x) = 3 x2 − x2 f (x) = (x − 1)2 + (x + 1)2 3 3 3 a) b) c) f (x) = 2x3 − 15x2 − 82x + 8 d) f (x) = 2 sen x + cos 2x e) f (x) = ex sen x, x ∈ [−2, 2]Ejercicio 5.13. Hallar los máximos y mínimos absolutos, si existen, en los casos siguientes: a) f (x) = x3 − x2 − 8x + 1, en [−2, 2] b) f (x) = x5 + x + 1, en [−1, 1] 1 c) f (x) = arc sen(1 + x), en su dominio d) f (x) = , en (0, 1], [0, 1] y R 2x4 − x + 1 2 e) f (x) = e−x , en [−1, 1], (0, 1) y R f) f (x) = x2 log x, en [e−1 , e] y (0, +∞)  x4 sen2 1 si x = 0,Ejercicio 5.14. Sea f (x) = x 0 si x = 0. a) Demostrar que f tiene en 0 un mínimo local. b) Demostrar que f (0) = f (0) = 0 y que no existe f (0). x3Ejercicio 5.15. Sea f (x) = ax − . Probar que f es creciente en R si y solo si a ≥ 9/8. 1 + x2Ejercicio 5.16. ¿Qué número es mayor, eπ o π e ? Probar que si x > e, entonces ex > xe .Ejercicio 5.17. Escribir x4 + x3 − 3x2 + 4x − 4 como una suma de potencias de (x − 1). Escribirx4 − 11x3 + 43x2 − 60x + 14 como una suma de potencias de (x − 3).Ejercicio 5.18. Escribir la fórmula de Maclaurin de orden n, o la de Young, de las funciones siguien-tes: 2 a) f (x) = ex b) f (x) = (1 + ex )2 c) f (x) = xex 1 1+x d) f (x) = log √ e) f (x) = log f) f (x) = (1 + x) log(1 + x) 1−x 1−xEjercicio 5.19. Escribir la fórmula de Taylor de orden n de: a) f (x) = (2 − x)−1 , en potencias de (x − 1). 3x b) f (x) = sen , en potencias de (x − π). 2 c) f (x) = log x, en potencias de (x − 2). d) f (x) = ex , en potencias de (x − 1). √ e) f (x) = 1 + x, en potencias de (x − 3). 1 f) f (x) = log 2x − , en potencias de (x − 2). x−1Ejercicio 5.20. Probar que el error cometido al sustituir sen x por x − 1 x3 + 120 x5 es menor que 10−4 , 6 1 πsi |x| ≤ 4 .
  • 122. 118 Capítulo 5. DerivaciónEjercicio 5.21. Probar que el error cometido al sustituir sen(ex − 1) por x + 1 x2 es menor que 3 · 10−3 , 2 1si |x| ≤ 10 .Ejercicio 5.22. Probar que el error cometido al sustituir cos2 (3x) por 1 − 9x2 + 27x4 es menor que 14 · 10−5 , si |x| ≤ 10 .Ejercicio 5.23. Probar que el error cometido al sustituir esen x por 1 + x + 1 x2 es menor que 3 · |x|3 . 2 f (x)Ejercicio 5.24. Hallar en cada caso p ∈ N tal que l´m ı es finito y no nulo (se dice entonces x→a (x − a) pque f (x) es un infinitésimo de orden p cuando x → a): a) f (x) = sen x, a = 0 b) f (x) = log(1 + x), a = 0 c) f (x) = 1 − x + log x, a = 1 d) f (x) = 1 − cos x, a = 0 √ e) f (x) = tg x − sen x, a = 0 f) f (x) = x − 2, a = 4 2 /2 g) f (x) = ex − 1, a = 0 h) f (x) = cos x − e−x ,a=0 i) f (x) = sen x2 − log(1 + x2 ), a = 0Ejercicio 5.25. Calcular los límites siguientes, utilizando la fórmula de Young: 3 sen ax − 3ax − a3 x3 1 − x + log x a) l´mı b) l´mı √ x→0 6bx − 6 sen bx + b 3 x3 x→1 1 − 2x − x2 sen x − x sen x − x cos x c) l´mı d) l´mı x→0 arc tg x − x x→0 x(x2 − sen2 x)1/2 1+x senh x − tg x e) l´m x2 1 − ı x(1 + x) log f) l´m ı x→+∞ x x→0 sen x − arc sen x √ sen x − tg x cos x − 1 − x g) l´m ı h) l´m ı x→0 arc sen x − arc tg x x→0 sen x (sen 3x − 3 sen x)2 i) l´m ı x→0 (cos 2x − cos x)3Ejercicio 5.26. Estudiar el crecimiento, los extremos y la convexidad de las siguientes funciones, ydibujar su gráfica. x3 x2 + 1 a) f (x) = b) f (x) = 2 (x + 1)2 x −4 √ 1 c) f (x) = 4x2 − x d) f (x) = log x e x √ √ e) f (x) = f) f (x) = 3 x − 3 x + 1 x g) f (x) = tg2 x h) f (x) = x6 − 3x4 + 3x2 − 5
  • 123. Capítulo 6La integral de Riemann Vamos a dar una definición precisa de la integral de una función definida en un intervalo. Estetiene que ser un intervalo cerrado y acotado, es decir [a, b] con a < b ∈ R, y la definición que daremosde integral solo se aplica a funciones acotadas, y no a todas, sino a las funciones que llamaremosintegrables. En el siguiente capítulo veremos cómo, en un sentido más amplio, podemos hablar de integralesde funciones no acotadas o definidas en intervalos no acotados. Seguimos básicamente el desarrollo que puede verse, entre otros muchos textos, en [ROSS, cap. VI,pág. 184 y sigs.] o en [BARTLE -S HERBERT, cap. 6, pág. 251 y sigs.]. Como complemento puede con-sultarse [G UZMÁN, cap. 12]. La evolución histórica de la integral está muy bien contada (sobre todo laaportación de Newton y Leibniz) en [D URÁN]; de carácter más técnico es el libro [G RATTAN -G UINNESS].6.1. Definición (de Darboux) de la integral de Riemann6.1.1. Definición de integralDefinición 6.1.1. Una partición de un intervalo [a, b] es un conjunto finito de puntos de [a, b] queincluye a los extremos. Una partición P la representamos ordenando sus puntos de menor a mayor,comenzando en a y terminando en b: P = {xi }n ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}. i=0El conjunto de las particiones de [a, b] lo indicamos con P([a, b]). Una partición como la indicadadivide el intervalo [a, b] en n subintervalos [xi−1 , xi ], cada uno de longitud xi − xi−1 .Definición 6.1.2 (sumas de Darboux). Sea f una función acotada definida en [a, b], y sea P ∈P([a, b]), P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}. Sean, para cada i = 1, . . . , n, Mi = sup{ f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]}; mi = ´nf{ f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]}. ıLa suma inferior de f asociada a P se define como n S( f , P) = ∑ mi (xi − xi−1 ), i=1y la suma superior de f asociada a P es n S( f , P) = ∑ Mi (xi − xi−1 ). i=1 119
  • 124. 120 Capítulo 6. La integral de Riemann f (x) f (x)a x1 x2 ... xn−1 b a x1 x2 ... xn−1 b Suma inferior asociada a una partición Suma superior asociada a una particiónObservación. Para cualquier P ∈ P([a, b]) tenemos que S( f , P) ≤ S( f , P), ya que mi ≤ Mi para cadai. También, poniendo M = sup{ f (x) : x ∈ [a, b]}, m = ´nf{ f (x) : x ∈ [a, b]}, se deduce que m(b − a) ≤ ıS( f , P) ≤ S( f , P) ≤ M(b − a) cualquiera que sea la partición P (y por consiguiente, tanto el conjuntode las sumas superiores como el de las sumas inferiores están acotados, superiormente por M(b − a),inferiormente por m(b − a)).Nota (relación entre la integral y la medida de áreas). Supongamos que f es una función nonegativa y consideremos la región que delimita su gráfica con las rectas y = 0, x = a y x = b. Si el áreade dicha región es A, entonces S( f , P) ≤ A ≤ S( f , P),ya que las respectivas sumas son las áreas que obtenemos si cambiamos f en cada [xi−1 , xi ) por mi oMi , y los hemos definido de forma que mi ≤ f ≤ Mi (de hecho hemos tomado los valores más ajustadosque cumplen dichas desigualdades). a x1 x2 ... xn−1 b Suma superior, área y suma inferior En la figura, se representan en distinto color la diferencia entre la suma superior y el área A yla diferencia entre A y la suma inferior. Parece claro que si tomamos una partición suficientementenutrida de puntos podemos conseguir que estas zonas sean muy pequeñas, de forma que tanto la sumasuperior como la inferior sean arbitrariamente próximas al área A.
  • 125. 6.1. Definición (de Darboux) de la integral de Riemann 121Definición 6.1.3. Dada f acotada en [a, b], se define su integral inferior en [a, b] como b f = sup{S( f , P) : P ∈ P([a, b])}, ay su integral superior en [a, b] como b f = ´nf{S( f , P) : P ∈ P([a, b])}. ı a Notemos que, como consecuencia de la observación previa, la integral inferior y la superior sonvalores reales perfectamente definidos para cualquier función acotada en un intervalo cerrado y aco-tado. No es difícil adivinar que la integral inferior es siempre menor o igual que la superior, pero lademostración de este hecho es menos trivial de lo que parece a simple vista. Para probarlo, necesita-mos un estudio más detallado de las sumas de Darboux, que posponemos al apartado siguiente.Definición 6.1.4. Una función f acotada en [a, b] es integrable-Riemann en [a, b] (en el sentido deDarboux), o simplemente integrable, si se cumple que b b f= f. a aEn tal caso, al valor común de dichas integrales se le llama la integral (de Riemann) de f en [a, b], y bse escribe f. a b A veces es cómodo escribir la integral como f (x)dx, expresando la función mediante su va- alor f (x) en la variable x. En tal caso, es indiferente la letra empleada: el mismo significado tiene b b b f (y)dy, f (z)dz, f (t)dt, etc.; todos estos símbolos representan la integral de la función f en a a ael intervalo [a, b].Ejemplo (integral de una funcion constante). Si f (x) = c para todo x ∈ [a, b] y P es la particióntrivial {a, b} resulta que S( f , P) = c(b − a) = S( f , P). Se comprueba fácilmente que lo mismo sucedepara cualquier otra partición, así que la integral superior y la inferior coinciden con c(b − a). Es decir, b c dx = c(b − a). aEjemplo (integral de la función identidad). Si f (x) = x para todo x ∈ [a, b], su integral superior ysu inferior coinciden con 1 (b2 − a2 ). Es decir, 2 1 b x dx = (b2 − a2 ). a 2La comprobación de este resultado a partir de la definición de integral requiere más esfuerzo del quecabe suponer (véanse en [BARTLE -S HERBERT, págs. 257–258] los cálculos para a = 0, b = 1).Ejemplo (integral de la función cuadrado). Si f (x) = x2 para todo x ∈ [a, b], su integral superior ysu inferior coinciden con 1 (b3 − a3 ). Es decir, 3 1 b x2 dx = (b3 − a3 ). a 3La obtención de esta fórmula es sorprendentemente complicada. Los detalles del cálculo pueden verseen [ROSS, pág. 186] o [BARTLE -S HERBERT, pág. 258].
  • 126. 122 Capítulo 6. La integral de Riemann Este ejemplo y el anterior ponen de manifiesto la necesidad de hallar procedimientos indirectosde cálculo que permitan evaluar cómodamente al menos integrales de funciones tan sencillas comoestas. Veremos algunos más adelante.Ejemplo (una función acotada que no es integrable). Sea f : [0, 1] → R la dada por f (x) = 1si x ∈ Q y f (x) = 0 si x ∈ Q (la función de Dirichlet). Por la densidad de los racionales y de los /irracionales, en cualquier intervalo [xi−1 , xi ], asociado a cualquier partición P, f toma los valores 0y 1, luego resulta que S( f , P) = 1 y S( f , P) = 0. Por lo tanto la integral inferior vale 0 y la integralsuperior vale 1. La función de Dirichlet no es integrable-Riemann.Nota (¿la integral es el área?). Dada una función f acotada y no negativa, ya hemos visto queS( f , P) ≤ A ≤ S( f , P) para cada partición P, si A es el área de la región que limita la gráfica de f . Portanto A es una cota superior del conjunto de las sumas inferiores y una cota inferior del conjunto delas sumas superiores, y entonces b b f ≤A≤ f. (6.1) a a bSi f es integrable, los dos extremos de (6.1) coinciden con f , así que el área A es igual a la integral. aPero hay que señalar un matiz importante: mientras que la integral es un concepto que hemos definido b f (x) dx a a b La integral y el árearigurosamente, nos hemos valido de una noción intuitiva e ingenua de la medida de áreas.6.1.2. Propiedades básicas de las sumas de DarbouxLema 6.1.5. Sea f una función acotada en un intervalo cerrado y acotado [a, b]. Si P y Q son parti-ciones de [a, b] y P ⊆ Q (se dice en tal caso que Q es más fina que P), entonces S( f , P) ≤ S( f , Q) ≤ S( f , Q) ≤ S( f , P),y en consecuencia S( f , Q) − S( f , Q) ≤ S( f , P) − S( f , P).
  • 127. 6.1. Definición (de Darboux) de la integral de Riemann 123Demostración. Basta probarlo en el caso en que Q tiene un elemento más que P; para el caso generalbasta reiterar el razonamiento, añadiendo en cada paso un punto nuevo hasta obtener Q. Ponemosentonces Q = P ∪ {c}, con P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b} y Q ≡ a = x0 < . . . < xk−1 <c < xk < . . . < xn = b. Se trata de probar que S( f , P) ≤ S( f , Q) y S( f , Q) ≤ S( f , P). Sean mi los ínfimos correspondientes a la partición P y sean α1 = ´nf{ f (x) : x ∈ [xk−1 , c]}, ı α2 = ´nf{ f (x) : x ∈ [c, xk ]} ı(ver la figura). Entonces, mk ≤ α1 , mk ≤ α2 . Por lo tanto, α1 mk α2 xk−1 c xk Diferencia entre las sumas inferiores correspondientes a P y Q S( f , Q) − S( f , P) = α1 (c − xk−1 ) + α2 (xk − c) − mk (xk − xk−1 ) ≥ mk (c − xk−1 + xk − c) − mk (xk − xk−1 ) = 0.Análogamente, sean Mi los supremos correspondientes a P y sean β1 = sup{ f (x) : x ∈ [xk−1 , c]} yβ2 = sup{ f (x) : x ∈ [c, xk ]}. Entonces, Mk ≥ β1 , Mk ≥ β2 y S( f , Q) − S( f , P) = β1 (c − xk−1 ) + β2 (xk − c) − Mk (xk − xk−1 ) ≤ 0.Lema 6.1.6. Sea f una función acotada en un intervalo cerrado y acotado [a, b]. Si P y Q son parti-ciones cualesquiera de [a, b], entonces S( f , P) ≤ S( f , Q).Demostración. Por el lema 6.1.5, si tomamos P ∪ Q ∈ P([a, b]) entonces S( f , P) ≤ S( f , P ∪ Q) ≤ S( f , P ∪ Q) ≤ S( f , Q);la primera desigualdad se da porque P ⊆ P ∪ Q, y la tercera porque Q ⊆ P ∪ Q.
  • 128. 124 Capítulo 6. La integral de Riemann a x1 x2 ... xn−1 b Suma inferior y suma superior para particiones distintasTeorema 6.1.7. Si f es una función acotada en [a, b], entonces su integral inferior es siempre menoro igual que su integral superior: b b f≤ f a aDemostración. Según el lema 6.1.6, si Q es una partición cualquiera de [a, b], b f = sup{S( f , P) : P ∈ P([a, b])} ≤ S( f , Q). aPor lo tanto, b b f ≤ ´nf{S( f , Q) : Q ∈ P([a, b])} = ı f. a a6.1.3. Existencia de la integral: condición de Riemann. Integrabilidad de las funciones monótonas y de las funciones continuas «Al abordar la integral de Riemann uno se enfrenta a dos cuestiones. Primero, para una funciónacotada en un intervalo, se encuentra la cuestión de la existencia de la integral. Segundo, cuando sesabe que existe la integral, surge entonces el problema de evaluarla» ([BARTLE -S HERBERT, pág. 259]). Para ver si una función es integrable, ¿es preciso considerar todas las sumas de Darboux y calcularla integral superior e inferior? Por suerte, en el siguiente teorema vamos a demostrar que no es nece-sario: basta probar que hay particiones cuyas sumas de Darboux están suficientemente próximas. Esteresultado servirá además para deducir que las funciones continuas y las monótonas son integrables.Teorema 6.1.8 (condición de integrabilidad de Riemann). Una función f acotada en [a, b] es inte-grable en dicho intervalo si y solo si para cada ε > 0 existe una partición P = Pε de [a, b] tal que S( f , P) − S( f , P) < ε. bDemostración. Supongamos primero que f es integrable. Como f es el supremo de las sumas a binferiores y el ínfimo de las sumas superiores, para ε > 0 resulta que ni f − ε/2 es cota superior a
  • 129. 6.1. Definición (de Darboux) de la integral de Riemann 125 bde las primeras ni f + ε/2 es cota inferior de las segundas, así que existen dos particiones P1 y P2 atales que b b f − ε/2 < S( f , P1 ), S( f , P2 ) < f + ε/2. a aSi P = P1 ∪ P2 entonces S( f , P1 ) ≤ S( f , P) y S( f , P) ≤ S( f , P2 ), luego b b f − ε/2 < S( f , P), S( f , P) < f + ε/2 a ay por tanto S( f , P) − S( f , P) < ε. Recíprocamente, si esto así para alguna P entonces b b f ≤ S( f , P) < S( f , P) + ε ≤ f + ε, a a b b b bluego 0 ≤ a f − a f < ε, y si esto es así para todo ε > 0 entonces a f − a f = 0.Definición 6.1.9. Dada una partición P ∈ P([a, b]), su norma P es el máximo de {xi − xi−1 : i =1, . . . , n}. La norma de una partición es la mayor distancia entre dos puntos consecutivos de la misma.Gráficamente, se trata de la anchura máxima de los intervalos parciales [xi−1 , xi ]; controla la holgurade la partición, de modo que cuanto menor sea, más tupida es la partición, sus puntos están máspróximos.Observación. Podemos tomar particiones de norma arbitrariamente pequeña: para conseguir que lanorma sea menor que un δ > 0 prefijado, basta elegir un n tal que h = b−a < δ y tomar n P = {a, a + h, a + 2h, a + 3h, . . . , a + nh = b}.Teorema 6.1.10 (integrabilidad de las funciones monótonas). Toda función monótona en un inter-valo [a, b] es integrable.Demostración. Supongamos que f es una función no decreciente en [a, b]. Entonces f está acotada(inferiormente por f (a), superiormente por f (b)). Dada P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}, la monotonía dice que, para cada i, Mi ≡ sup{ f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]} = f (xi ); mi ≡ ´nf{ f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]} = f (xi−1 ). ıPor lo tanto, n n S( f , P) − S( f , P) = ∑ (Mi − mi )(xi − xi−1 ) = ∑ ( f (xi ) − f (xi−1 ))(xi − xi−1 ) i=1 i=1 n < P ∑ ( f (xi ) − f (xi−1 )) = P ( f (b) − f (a)). i=1 Ahora, dado ε > 0 basta tomar una partición P de modo que P ( f (b) − f (a)) < ε para probar quese cumple la condición de integrabilidad de Riemann (teorema 6.1.8). Si f es no creciente la demostración es análoga.
  • 130. 126 Capítulo 6. La integral de Riemann a x1 x2 . . . xn−1 b Suma superior y suma inferior para una función monótona Notemos que la idea esencial de la demostración es que, gracias a la monotonía de f , en cadasubintervalo [xi−1 , xi ] podemos controlar la oscilación de sus valores (el tamaño de Mi − mi ) a travésdel tamaño de la norma de la partición. Esta misma idea es adaptable al caso de que f sea continua,debido a que f es entonces uniformemente continua.Teorema 6.1.11 (integrabilidad de las funciones continuas). Toda función continua en un intervalo[a, b] es integrable.Demostración. Sea f continua en [a, b]. Notemos que f es acotada por ser continua en el intervalocerrado y acotado [a, b], así que tiene sentido considerar su integrabilidad. Además, el teorema 4.2.18de Heine dice que es uniformemente continua en [a, b]. Dado ε > 0, existe por tanto un valor δ > 0 εtal que | f (x) − f (y)| < b−a para cualesquiera x, y ∈ [a, b] tales que |x − y| < δ . Sea P una partición tal que P < δ , P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}. Si Mi y mison los correspondientes supremos e ínfimos en cada [xi−1 , xi ], por el teorema 4.2.8 de Weierstrasspodemos elegir ri , si en dicho intervalo con Mi = f (ri ) y mi = f (si ). Entonces |ri − si | ≤ xi − xi−1 < δ , εasí que f (ri ) − f (si ) < b−a , y n n S( f , P) − S( f , P) = ∑ Mi (xi − xi−1 ) − ∑ mi (xi − xi−1 ) i=1 i=1 n n = ∑ (Mi − mi )(xi − xi−1 ) = ∑ ( f (ri ) − f (si ))(xi − xi−1 ) i=1 i=1 ε n ε < ∑ (xi − xi−1 ) = b − a (b − a) = ε. b − a i=1Por la condición de integrabilidad de Riemann (teorema 6.1.8), f es integrable. Pero hay funciones integrables que no son monótonas ni continuas. El siguiente resultado propor-ciona ejemplos sencillos.Proposición 6.1.12. Sea f : [a, b] → R una función acotada. Si f es integrable en cada intervalo [c, b],con a < c < b, entonces es integrable en [a, b].
  • 131. 6.1. Definición (de Darboux) de la integral de Riemann 127Demostración. Sea B > 0 una cota de | f | en [a, b]. Dado ε > 0, tomemos c ∈ (a, b) de manera que εc − a < 4B . Como f es integrable en [c, b], en virtud de la condición de Riemann se puede encontraruna partición Pcb del intervalo [c, b] tal que S( f , Pcb )−S( f , Pcb ) < ε . Añadiendo el punto a a la partición 2Pcb , obtenemos una partición P de [a, b] para la que S( f , P) − S( f , P) = sup f ([a, c]) · (c − a) + S( f , Pcb ) − ´nf f ([a, c]) · (c − a) − S( f , Pcb ) ı ≤ B · (c − a) + S( f , Pcb ) + B · (c − a) − S( f , Pcb ) ε ε ε < 2B · (c − a) + < + = ε, 2 2 2y en consecuencia f es integrable en [a, b].Ejemplo. La función f : [0, 1] → R definida mediante f (0) = 1 y 1 f (x) = sen si 0 < x ≤ 1 xes integrable-Riemann en [0, 1]. En efecto, claramente está acotada y además es integrable en cadaintervalo [c, 1], con 0 < c < 1, porque es continua en [c, 1]. Este es un ejemplo interesante de una función integrable que no es continua ni monótona.Comentario: discontinuidades de las funciones integrables-Riemann (condición de in-tegrabilidad de Lebesgue) Las funciones continuas son integrables, aunque no todas las funciones integrables son continuas:valen de ejemplo las funciones monótonas con discontinuidades. Pero las funciones integrables nopueden tener demasiadas discontinuidades, según demostró Lebesgue. Concretamente:Teorema 6.1.13 (condición de integrabilidad de Lebesgue). Una función f acotada en [a, b] esintegrable si y solo si para cada ε > 0 se puede encontrar una sucesión (Jn ) de intervalos tal que: n a) l´m ∑ |Jk | < ε, donde |Jk | es la longitud del intervalo Jk ; ı n k=1 b) el conjunto de puntos de [a, b] en los que f es discontinua está contenido en ∪n Jn . Cuando se conozca la medida de Lebesgue, se verá que esto significa que el conjunto de puntos dediscontinuidad de f es de medida nula. Los conjuntos finitos quedan dentro de esta categoría; tambiénlos conjuntos numerables, es decir, los conjuntos infinitos que pueden escribirse en forma de sucesión,como N, Z o Q.6.1.4. Sumas de Riemann. Definición de integrabilidad de Riemann: comparación con la de Darboux El control de las oscilaciones de f a través de la norma de la partición que hemos visto parafunciones monótonas o continuas puede llevarse a cabo para cualquier función integrable:Teorema 6.1.14. Una función f acotada en [a, b] es integrable si y solo si para cada ε > 0 existe unδ > 0 tal que toda partición P de [a, b] con norma P < δ cumple que S( f , P) − S( f , P) < ε.
  • 132. 128 Capítulo 6. La integral de RiemannDemostración. Supongamos que f es integrable. Fijado ε > 0, sea P0 ∈ P([a, b]) tal que ε S( f , P0 ) − S( f , P0 ) < , 2pongamos que P0 tiene n puntos y sea K > 0 tal que | f (x)| ≤ K para todo x ∈ [a, b]. Sea P una partición de [a, b], P ≡ {a = t0 < t1 < . . . < tm−1 < tm = b}.y tomemos Q = P0 ∪P. Como máximo, Q tiene n−2 puntos más que P, los de P0 {a, b}. Supongamosque fuese Q = P ∪ {c}, con t j−1 < c < t j . Entonces sería S( f , P) − S( f , Q) = M j (t j − t j−1 ) − α1 (c − t j−1 ) − α2 (t j − c)donde M j , α1 y α2 son los supremos de los valores de f en [t j−1 ,t j ], [t j−1 , c] y [c,t j ] respectivamente.Como |M j | ≤ K, |α1 | ≤ K, |α2 | ≤ K y 0 < t j − t j−1 ≤ P , deducimos que S( f , P) − S( f , Q) ≤ K(t j − t j−1 ) + K(c − t j−1 ) + K(t j − c) ≤ 2K P .Reiterando lo anterior (añadiendo cada vez un punto hasta obtener Q) es fácil ver que en generaltenemos S( f , P) − S( f , Q) ≤ 2(n − 2)K P < 2nK P ,y análogamente se ve que S( f , Q) − S( f , P) < 2nK P .También tenemos que S( f , Q) − S( f , Q) < ε/2, porque Q es más fina que P0 . Por lo tanto, S( f , P) < S( f , Q) + 2nK P < S( f , Q) + ε/2 + 2nK P < S( f , P) + ε/2 + 4nK P . εAhora basta tomar δ = 8nK y si P < δ , entonces S( f , P) − S( f , P) < ε. El recíproco es consecuencia directa de la condición de integrabilidad de Riemann (teorema 6.1.8).Definición 6.1.15. Dada una partición P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b} y una funciónf definida en [a, b], para cada elección de valores si ∈ [xi−1 , xi ] se dice que n S = ∑ f (si )(xi − xi−1 ) i=1es una suma de Riemann de f asociada a P. Provisionalmente, decimos que f es ℜ-integrable o integrable según la definición de Riemannen [a, b] si existe un número real R tal que, dado ε > 0 arbitrario, se puede encontrar un δ > 0 demanera que |S − R| < εpara cualquier suma de Riemann S de f asociada a una partición P de norma P < δ . Cuando b ℜesto suceda, decimos que R es la ℜ-integral de f en [a, b], y ponemos (provisionalmente) R = f. a
  • 133. 6.1. Definición (de Darboux) de la integral de Riemann 129Observación. Dado que mi ≤ f (si ) ≤ Mi para cada i, cualquier suma de Riemann asociada a P deuna función acotada f cumple que S( f , P) ≤ S ≤ S( f , P). El resultado siguiente prueba que la integral según la definición de Darboux y la integral según ladefinición de Riemann son iguales.Teorema 6.1.16. Una función acotada en un intervalo [a, b] es integrable según la definición 6.1.15de Riemann si y solo si es integrable según la definición 6.1.4 de Darboux, y en ese caso las dosintegrales coinciden.Demostración. Sea f integrable con la definición de Darboux y sea ε > 0. Por el teorema 6.1.14,existe δ tal que S( f , P) − S( f , P) < ε siempre que P < δ ; si S es una suma de Riemann asociadaa P entonces S( f , P) ≤ S ≤ S( f , P), y como también S( f , P) ≤ ab f ≤ S( f , P) concluimos que ladistancia entre S y ab f es menor que ε. Es decir, cualquier suma de Riemann S asociada a unapartición P ∈ P([a, b]) con P < δ cumple que b S− f < ε. a bPor lo tanto, f es integrable en [a, b] según la definición de Riemann, con integral igual a f. a Para probar el recíproco, supongamos que f es integrable según la definición de Riemann en [a, b],con integral R. Dado ε > 0, si δ es como en la definición 6.1.15 y P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . <xn−1 < xn = b}, P < δ , podemos tomar si ∈ [xi−1 , xi ] de manera que f (si ) > Mi − ε (1 ≤ i ≤ n). Lacorrespondiente suma de Riemann S verifica simultáneamente S ≥ S( f , P) − ε(b − a), |S − R| < ε.Entonces, b f ≤ S( f , P) ≤ S + ε(b − a) < R + ε + ε(b − a), ay como ε es arbitrario, b f ≤ R. a b b bDe manera análoga se prueba que a f ≥ R, por lo cual a f = a f = R, f es integrable en el sentidode Darboux y b f = R. aCorolario 6.1.17. Sea f una función integrable en [a, b], (Pn ) una sucesión de particiones de [a, b]tal que l´m Pn = 0. Si para cada n se considera una suma de Riemann Sn correspondiente a la ı npartición Pn y a la función f , entonces b l´m Sn = ı f. n a 1 n k 1Ejemplo. Para toda función f integrable en [0, 1], l´m ı ∑f = f. n n k=1 n 0
  • 134. 130 Capítulo 6. La integral de Riemann6.2. Propiedades básicas de la integral de Riemann6.2.1. Operaciones con funciones integrables Empezaremos probando la linealidad de la integral. Para ello nos conviene observar antes lo si-guiente:Lema 6.2.1. Sea A un conjunto acotado y no vacío de números reales. Entonces: a) sup(−A) = −´nf A; ´nf(−A) = − sup A. ı ı b) Para todo α > 0 se cumple que sup(αA) = α sup A, ´nf(αA) = α ´nf A. ı ı c) sup A − ´nf A = sup{|x − y| : x, y ∈ A}. ıDemostración. a) Si y = ´nf A y x ∈ A resulta que −x ≤ −y, luego −y es cota superior de −A, y por ıtanto sup(−A) ≤ −´nf A. Si s = sup(−A), dado x ∈ A tenemos que −x ≤ s, es decir que −s ≤ x, luego ı−s es una cota inferior de A y entonces − sup(−A) ≤ ´nf A, o sea −´nf A ≤ sup(−A). Ya tenemos que ı ısup(−A) = −´nf A, y entonces sup A = sup(−(−A)) = −´nf(−A), luego ´nf(−A) = − sup A. ı ı ı b) Si s = sup A, dado x ∈ A tenemos que αx ≤ αs, luego αs es una cota superior de αA; portanto sup(αA) ≤ α sup A. Por la misma razón tenemos que sup A = sup α αA ≤ α sup(αA), y entonces 1 1α sup A ≤ sup(αA). Por tanto sup(αA) = α sup A. Y de a) se deduce que α ´nf A = −α sup(−A) = ı− sup(−αA) = ´nf(αA). ı c) Recordemos que, dados dos conjuntos acotados A y B, sup(A + B) = sup A + sup B. Notemosque el conjunto {|x − y| : x, y ∈ A} es la intersección con [0, +∞) de {x − y : x, y ∈ A} = A + (−A),luego su supremo es igual al de este y, por a), sup(A + (−A)) = sup A + sup(−A) = sup A − ´nf A. ıTeorema 6.2.2. Sean f y g funciones integrables en [a, b] y sea α un número real. Entonces b b a) α f es integrable y (α f ) = α f. a a b b b b) f + g es integrable y ( f + g) = f+ g. a a aDemostración. a) Notemos primero que f es acotada, y entonces α f también lo es. Si α = 0 el resultado es inmediato. Si α > 0, para cada partición P de [a, b] se obtiene, usandola parte b) del lema 6.2.1, que S(α f , P) = αS( f , P) y S(α f , P) = αS( f , P). Por la misma razón, sededuce que b b b αf =α f =α f, a a a b b b αf =α f =α f, a a a b bluego α f es integrable y (α f ) = α f. a a Para ver que − f es integrable (α = −1) utilizamos la parte a) del lema: resulta que, para cualquierP, S(− f , P) = −S( f , P) y S(− f , P) = −S( f , P), luego b b b b b b (− f ) = − f =− f, (− f ) = − f =− f. a a a a a a
  • 135. 6.2. Propiedades básicas de la integral de Riemann 131Por último, si α es cualquier valor negativo lo reducimos a los casos anteriores: α f = −|α| f esintegrable, con integral igual a b b b − (|α| f ) = −|α| f =α f. a a a b) Notemos primero que f + g está acotada, porque f y g lo están. Dado A ⊆ [a, b], para cada t ∈ Atenemos que f (t) + g(t) ≤ sup{ f (x) : x ∈ A} + sup{g(x) : x ∈ A},luego sup{ f (t) + g(t) : t ∈ A} ≤ sup{ f (t) : t ∈ A} + sup{g(t) : t ∈ A}y análogamente ´nf{ f (t) : t ∈ A} + ´nf{g(t) : t ∈ A} ≤ ´nf{ f (t) + g(t) : t ∈ A}. ı ı ıCuando tomamos como A los subintervalos [xi−1 , xi ] que define una partición P ∈ P([a, b]), se sigueque S( f + g, P) ≤ S( f , P) + S(g, P), S( f , P) + S(g, P) ≤ S( f + g, P).Dado ε > 0, podemos tomar dos particiones P1 y P2 tales que S( f , P1 ) − S( f , P1 ) < ε/2 y S(g, P2 ) −S(g, P2 ) < ε/2. Si P = P1 ∪ P2 , también S( f , P) − S( f , P) < ε/2 y S(g, P) − S(g, P) < ε/2, y de aquíse deduce que S( f + g, P) − S( f + g, P) < ε. Por la condición de integrabilidad de Riemann (teore-ma 6.1.8), f + g es integrable. Además tenemos que b b b b f+ g−ε = f − ε/2 + g − ε/2 < S( f , P) + S(g, P) a a a a b ≤ S( f + g, P) ≤ ( f + g) ≤ S( f + g, P) a b b ≤ S( f , P) + S(g, P) < f + ε/2 + g + ε/2 a a b b = f+ g + ε. a a b b b b bEs decir, para cualquier ε > 0 resulta que a f+ a g−ε < a (f + g) < a f+ a g + ε, y entonces b b b a ( f + g) = a f + a g.Nota. El teorema 6.2.2 dice que el conjunto R([a, b]) formado por todas las funciones integrables en[a, b] es un espacio vectorial, y que la aplicación R([a, b]) −→ R dada por f → ab f es lineal. El siguiente resultado expresa la monotonía de la integral con respecto al integrando:Teorema 6.2.3. Sean f y g funciones integrables en [a, b] tales que f (x) ≤ g(x) para cada x ∈ [a, b].Entonces b b f≤ g. a a
  • 136. 132 Capítulo 6. La integral de RiemannDemostración. Si f ≤ g tenemos que 0 ≤ g − f , y es inmediato comprobar que S(g − f , P) ≥ 0 paracualquier partición P del intervalo [a, b]. Como además g − f es integrable, se deduce que b b b 0 ≤ S(g − f , P) ≤ (g − f ) = g− f. a a aNota. En particular, si h es integrable en [a, b] y h ≥ 0, entonces b h ≥ 0. aAunque no es tan sencillo de demostrar, también se cumple la monotonía estricta: si h es integrableen [a, b] y h(x) > 0 para todo x ∈ [a, b], entonces ab h > 0. Como consecuencia, si dos funciones f yg son integrables y se cumple que f (x) < g(x) en todo x ∈ [a, b], podemos asegurar que ab f < ab g.Teorema 6.2.4. Si f es integrable en [a, b], entonces | f | es integrable en [a, b] y b b f ≤ | f |. a aDemostración. Como f es integrable, está acotada. Y por lo tanto, la función | f | también está acotada.Dada una partición P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b} ∈ P([a, b])tenemos que n S( f , P) − S( f , P) = ∑ (Mi − mi )(xi − xi−1 ), i=1 n S(| f |, P) − S(| f |, P) = ∑ (Mi − mi )(xi − xi−1 ), i=1donde, usando la parte (c) del lema, Mi − mi = sup{ f (t) : t ∈ [xi−1 , xi ]} − ´nf{ f (t) : t ∈ [xi−1 , xi ]} = sup{| f (t) − f (s)| : s,t ∈ [xi−1 , xi ]} ıpara cada i. Análogamente, Mi − mi = sup{ | f (t)| − | f (s)| : s,t ∈ [xi−1 , xi ]}.Como para cada t y s la desigualdad triangular inversa dice que | f (t)|− | f (s)| ≤ | f (t) − f (s)|, resultaque Mi − mi ≤ Mi − mi para cada i, y por tanto que S(| f |, P) − S(| f |, P) ≤ S( f , P) − S( f , P) para todaP. Por la condición de integrabilidad de Riemann resulta que si f integrable también lo es | f |. Ahora, como f ≤ | f | y − f ≤ | f |, por los teoremas 6.2.3 y 6.2.2 tenemos que ab f ≤ ab | f | y b b b a (− f ) = − a f ≤ a | f |, luego b b b b f = m´ x a f,− f ≤ | f |. a a a a En cierto sentido, este resultado puede verse como una generalización de la desigualdad trian-gular, cambiando sumas por integrales. Pronto iremos comprobando que es tan útil como la propiadesigualdad triangular.
  • 137. 6.2. Propiedades básicas de la integral de Riemann 133Corolario 6.2.5. Sean f y g dos funciones integrables en [a, b]. Entonces las funciones m´ x( f , g), am´n( f , g) son también integrables en [a, b]. ıDemostración. Basta tener en cuenta que 1 m´ x{ f (x), g(x)} = a f (x) + g(x) + | f (x) − g(x)| , 2 1 m´n{ f (x), g(x)} = ı f (x) + g(x) − | f (x) − g(x)| . 2Teorema 6.2.6. Sean f y g funciones integrables en [a, b]. Entonces: a) f 2 es integrable en [a, b]; b) la función producto f g es integrable en [a, b].Demostración. a) f está acotada, así que existe K > 0 tal que | f (x)| < K para todo x ∈ [a, b]. Entonces0 ≤ f (x)2 ≤ K 2 para todo x, luego f 2 también está acotada. Dado ε > 0, sea P ∈ P(I) tal que S( f , P)− εS( f , P) < 2K . Si P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}, entonces, como en el teorema 6.2.4,resulta que S( f , P) − S( f , P) = ∑n ri (xi − xi−1 ), donde i=1 ri = sup{| f (t) − f (s)| : s,t ∈ [xi−1 , xi ]},y análogamente S( f 2 , P) − S( f 2 , P) = ∑i ri (xi − xi−1 ), donde ri = sup{| f 2 (t) − f 2 (s)| : s,t ∈ [xi−1 , xi ]}.Como para cada s y t tenemos que | f 2 (t) − f 2 (s)| = | f (t) + f (s)| · | f (t) − f (s)| ≤ (| f (t)| + | f (s)|)| f (t) − f (s)| ≤ 2K| f (t) − f (s)|,resulta que ri ≤ 2Kri para cada i, y por tanto que S( f 2 , P) − S( f 2 , P) ≤ 2K S( f , P) − S( f , P) < ε, yasí vemos que f 2 es integrable, por la condición de integrabilidad de Riemann. b) Por el apartado a), son integrables tanto f 2 como g2 y ( f + g)2 (ya que f + g es integrable).Pero 1 f g = ( f + g)2 − f 2 − g2 , 2y así vemos que f g es integrable.Observación. Los teoremas 6.2.4 y 6.2.6 no admiten recíproco: una función f puede ser no integrablepese a que | f | y f · f = f 2 sí lo sean. Como ejemplo podemos tomar, en I = [0, 1], la función dada porf (x) = 1 si x ∈ Q y f (x) = −1 si x ∈ Q, de forma que f 2 = | f | = 1. /6.2.2. Integración en subintervalosTeorema 6.2.7. Sea f una función definida en un intervalo cerrado y acotado [a, b]. Dado c ∈ [a, b],son equivalentes: a) f es integrable en [a, b]; b) f es integrable en [a, c] y en [c, b].
  • 138. 134 Capítulo 6. La integral de RiemannAdemás, cuando f es integrable en [a, b] se tiene: b c b c) f= f+ f. a a cDemostración. b) =⇒ a) Como f es integrable en [a, c] y en [c, b], en particular f está acotada en[a, c] y en [c, b]: en consecuencia, f está acotada en [a, b]. Además, usando la condición de Riemann, la integrabilidad de f garantiza que para todo ε > 0existen una partición Pa de [a, c] y una partición Pcb de [c, b] tales que c ε ε S( f , Pa ) − S( f , Pa ) < , c c S( f , Pcb ) − S( f , Pcb ) < . 2 2Considerando ahora la partición Pa de [a, b] obtenida al tomar todos los puntos de Pa y los de Pcb , se b csigue directamente aplicando la definición que S( f , Pa ) = S( f , Pa ) + S( f , Pcb ), b c S( f , Pa ) = S( f , Pa ) + S( f , Pcb ), b cluego b ε ε c ε b ε f ≤ S( f , Pa ) = S( f , Pa ) + S( f , Pcb ) < S( f , Pa ) + b c c + S( f , Pcb ) + ≤ f+ + f+ . a 2 2 a 2 c 2Es decir, b c b f< f+ f +ε a a cpara cualquier ε > 0. De aquí se obtiene que b c b f≤ f+ f. a a cAnálogamente, b ε ε c ε b ε f ≥ S( f , Pa ) = S( f , Pa ) + S( f , Pcb ) > S( f , Pa ) − b c c + S( f , Pcb ) − ≥ f− + f− . a 2 2 a 2 c 2Es decir, b c b f> f+ f −ε a a cpara cualquier ε > 0. De ahí se deduce que b c b f≥ f+ f. a a c b bComo a f ≥ a f, resulta b b c b f= f= f+ f, a a a clo que nos dice que f es integrable en [a, b], con b c b f= f+ f. a a c
  • 139. 6.2. Propiedades básicas de la integral de Riemann 135 a) =⇒ b) Si f es integrable en [a, b], para cada ε > 0 existirá una partición Qb del intervalo [a, b] atal que S( f , Qb ) − S( f , Qb ) < ε. a aSea Pa la partición de [a, b] obtenida al añadir a Qb el punto c (si es que no figura ya en Qb ), y b a adescompongamos Pa en sendas particiones Pa y Pcb de [a, c] y de [c, b], respectivamente. Se tiene b c S( f , Pa ) − S( f , Pa ) + S( f , Pcb ) − S( f , Pcb ) = S( f , Pa ) − S( f , Pa ) ≤ S( f , Qb ) − S( f , Qb ) < ε, c c b b a ay como S( f , Pa ) − S( f , Pa ) y S( f , Pcb ) − S( f , Pcb ) son no negativos, cada uno de ellos será menor o c cigual que su suma, por lo que S( f , Pa ) − S( f , Pa ) < ε, c c S( f , Pcb ) − S( f , Pcb ) < ε,y por consiguiente f es integrable en [a, c] y en [c, b].Corolario 6.2.8. Sea f : [a, b] → R acotada, y sean a = c0 < c1 < c2 < . . . < cn = b. Se cumple quef es integrable en [a, b] si y solo si lo es en [ci−1 , ci ] para cada i = 1, . . . , n, y en tal caso b n ci f =∑ f. a i=1 ci−1Demostración. Aplicar inducción sobre n y el teorema 6.2.7. El siguiente resultado permite ampliar ligeramente la noción de integral y dar ejemplos adicionalesde funciones integrables.Lema 6.2.9. Sean f y g dos funciones definidas en un intervalo cerrado y acotado [a, b] que coincidenexcepto posiblemente en a y b, es decir, tales que f (x) = g(x) para todo x ∈ (a, b).Entonces f es integrable en [a, b] si y solo si lo es g. Si son integrables, b b f= g. a aDemostración. Basta probar que la función h = f − g es una función integrable en [a, b] con integralnula. Ahora bien: h se anula en (a, b), por lo que para cada partición P ≡ {t0 = a < t1 < · · · < tn−1 <tn = b} será S(h, P) = m´ x{h(a), 0} · (t1 − a) + m´ x{h(b), 0} · (b − tn−1 ) ≥ 0, a a S(h, P) = m´n{h(a), 0} · (t1 − a) + m´n{h(b), 0} · (b − tn−1 ) ≤ 0. ı ıDado ε > 0, tomemos B > m´ x{|h(a)|, |h(b)|} y Pε de manera que a ε ε t1 − a < , b − tn−1 < . 2B 2BResulta b ε ε b ε ε h ≤ S(h, Pε ) < B +B = ε, h ≥ S(h, Pε ) > −B −B = −ε, a 2B 2B a 2B 2B b b b bluego ah ≤0≤ a h. Por lo tanto, ah = ah = 0, es decir, h es integrable en [a, b] con integralnula.
  • 140. 136 Capítulo 6. La integral de RiemannCorolario 6.2.10. Sea g una función integrable en [a, b], y sea f una función igual a g excepto en unconjunto finito de puntos de [a, b]. Entonces f es integrable, y ab f = ab g.Demostración. Por inducción sobre el número de puntos, con ayuda del lema.Definición 6.2.11. Una función f : [a, b] → R se dice continua a trozos si existe una partición a =t0 < t1 < t2 < . . . < tn−1 < tn = b tal que f es continua en cada intervalo (ti−1 ,ti ) y existen y son realeslos límites laterales en cada ti . Una función f : [a, b] → R se dice monótona a trozos si existe una partición a = t0 < t1 < t2 <. . . < tn−1 < tn = b tal que f es monótona (de cualquier clase) en cada intervalo (ti−1 ,ti ). Por ejemplo, la función de la figura no es continua ni monótona, pero sí continua a trozos ymonótona a trozos. a b Función continua a trozos y monótona a trozosTeorema 6.2.12. Si f es un función continua a trozos o una función acotada y monótona a trozos en[a, b], entonces f es integrable en [a, b].Demostración. Si f es continua a trozos y ti son como en la definición, para cada i existe una extensióncontinua (y por tanto integrable) de f (t ,ti ) al intervalo [ti−1 ,ti ]. Esta extensión es integrable en el i−1intervalo [ti−1 ,ti ], por ser continua, y coincide con f en (ti−1 ,ti ), luego f es integrable en [ti−1 ,ti ], porel lema 6.2.9. Por el corolario 6.2.8, resulta que f es integrable en [a, b]. Si f es monótona a trozos y acotada y ti son como en la definición, entonces existen y son realeslos límites laterales en cada ti . La demostración sigue de manera análoga a la de funciones continuasa trozos. No obstante, hay funciones que son integrables en un intervalo [a, b] y no son continuas a trozosni monótonas a trozos. Un ejemplo es la función definida en [0, 1] mediante 1, si x = 0, f (x) = 1 sen x , si 0 < x ≤ 1,que vimos que era integrable en [0, 1].
  • 141. 6.2. Propiedades básicas de la integral de Riemann 1376.2.3. Teoremas de la media (o del valor medio) del cálculo integralTeorema 6.2.13. Sea f una función integrable en el intervalo cerrado y acotado [a, b] y sean m, Mtales que para todo x ∈ [a, b] se cumpla m ≤ f (x) ≤ M.Entonces el número 1 b f, b−a adenominado promedio integral de f en [a, b], está en [m, M], es decir 1 b m≤ f ≤ M. b−a aDemostración. Puesto que m ≤ f ≤ M, por la monotonía de la integral b b b m(b − a) = m≤ f≤ M = M(b − a), a a ay como b − a > 0, podemos dividir para obtener 1 b m≤ f ≤ M. b−a a Cuando f es continua en [a, b], su promedio integral está en el rango de valores de f :Corolario 6.2.14 (teorema de la media del cálculo integral). Sea f una función continua (y portanto integrable) en el intervalo cerrado y acotado [a, b]. Existe entonces al menos un punto x0 ∈ [a, b]tal que 1 b f = f (x0 ). b−a aDemostración. Por el teorema 4.2.8 de Weierstrass el conjunto { f (x) : x ∈ [a, b]} tiene mínimo ymáximo, a los que llamamos m y M respectivamente. Se cumple así que b b b m(b − a) = m≤ f≤ M = M(b − a). a a aEs decir, 1 b m≤ f ≤ M. b−a aPor el teorema 4.2.10 de Darboux (o de los valores intermedios), existe x0 ∈ [a, b] en el que f tomadicho valor entre m y M, y así f (x0 ) = b−a ab f . 1Ejemplo. Sea 1 < a < b. Para cada x ∈ [a, b], √ √ x+ x x+1 2 2 1≤ √ =√ = 1+ √ ≤ 1+ √ . x− x x−1 x−1 a−1Por lo tanto, √ 1 b x+ x 2 1≤ √ dx ≤ 1 + √ . (6.2) b−a a x− x a−1
  • 142. 138 Capítulo 6. La integral de RiemannEn algunas ocasiones, no es necesario calcular el valor exacto de una integral, sino que basta conestimaciones aproximadas. Por ejemplo, de (6.2) se deduce que a+1 x + x √ l´m ı √ dx = 1. a→+∞ a x− x El corolario 6.2.14 puede mirarse como una lectura inversa del teorema 5.2.7 del valor medio delcálculo diferencial. De hecho, otra demostración del corolario 6.2.14 consiste en aplicar el teoremadel valor medio a la función F : [a, b] → R dada por F(x) = ax f , que es derivable y cuya derivada esF (x) = f (x) (según probaremos en el siguiente apartado).Teorema 6.2.15. Sea f una función integrable en el intervalo cerrado y acotado [a, b], sea g unafunción no negativa, integrable en el intervalo cerrado y acotado [a, b] y sean m, M tales que paratodo x ∈ [a, b] se cumple m ≤ f (x) ≤ M.Entonces existe µ ∈ [m, M] tal que b b fg = µ g a a(el número µ es una especie de promedio ponderado de f respecto a la densidad de masa g).Demostración. Puesto que g ≥ 0, se verifica mg ≤ f g ≤ Mg.Todas estas funciones son integrables, luego podemos poner b b b m g≤ fg ≤ M g. a a a Si ab g = 0, cualquier µ ∈ [m, M] cumple la igualdad del enunciado. Si b b a g = 0, entonces a g > 0,y basta tomar como µ el cociente entre ab f g y ab g.Corolario 6.2.16. Sea f una función continua (y por tanto integrable) en el intervalo cerrado yacotado [a, b] y sea g una función no negativa, integrable en [a, b]. Existe entonces al menos un puntox0 ∈ [a, b] tal que b b f g = f (x0 ) g. a aDemostración. La función f tiene máximo y mínimo absolutos sobre [a, b], por el teorema 4.2.8 deWeierstrass. Si el máximo y el mínimo se alcanzan en c y d, respectivamente, podemos aplicar elteorema 6.2.15 con m = f (c) y M = f (d). Por el teorema 4.2.10 de Darboux, hay al menos un puntox0 ∈ [a, b] tal que f (x0 ) = µ, donde µ es el valor del teorema 6.2.15.Proposición 6.2.17 (segundo teorema de la media del cálculo integral). Sean f y g funcionesintegrables en un intervalo cerrado y acotado [a, b]. a) Si g ≥ 0 y es no creciente, existe x0 ∈ [a, b] tal que b x0 f g = g(a) f. a a
  • 143. 6.3. Teoremas fundamentales del cálculo integral 139 b) Si g ≥ 0 y es no decreciente, existe x0 ∈ [a, b] tal que b b f g = g(b) f. a x0 c) Si g es monótona, existe x0 ∈ [a, b] tal que b x0 b f g = g(a) f + g(b) f. a a x0Demostración. Ver [G ARAY-C UADRA -A LFARO, pág. 212].6.3. Teoremas fundamentales del cálculo integral6.3.1. Regla de Barrow (primer teorema fundamental del cálculo integral)Teorema 6.3.1 (regla de Barrow). Sea f una función integrable en un intervalo [a, b] y supongamosque existe otra función g continua en [a, b], derivable en (a, b) y tal que g (x) = f (x) para todox ∈ (a, b). Entonces, b f = g(b) − g(a). aDemostración. Sea P una partición cualquiera de [a, b], P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}.Según el teorema 5.2.7 del valor medio, n g(b) − g(a) = g(xn ) − g(x0 ) = ∑ (g(xi ) − g(xi−1 )) i=1 n n = ∑ g (ci )(xi − xi−1 ) = ∑ f (ci )(xi − xi−1 ), i=1 i=1donde ci ∈ (xi−1 , xi ) para cada i. Puesto que ´nf{ f (t) : t ∈ [xi−1 , xi ]} ≤ f (ci ) ≤ sup{ f (t) : t ∈ [xi−1 , xi ]}, ıse deduce que S( f , P) ≤ g(b) − g(a) ≤ S( f , P).Como esto es cierto para cualquier partición P, tomando supremos e ínfimos resulta que b b f ≤ g(b) − g(a) ≤ f. a a b b bPero sabemos que f es integrable, así que a f = a f = a f . Por lo tanto, b f = g(b) − g(a). a
  • 144. 140 Capítulo 6. La integral de Riemann La regla de Barrow nos dice cómo calcular la integral de una función f integrable entre a y b: si ges continua en [a, b] y es una primitiva de f en (a, b), entonces b f (x) dx = g(b) − g(a). a x=bLa diferencia g(b) − g(a) suele escribirse como g(x) . Es decir: x=a b x=b f (x) dx = g(x) . a x=aEjemplo. La función arc sen es continua, luego integrable, en el intervalo [0, 1]. Calculando por partes √una primitiva, encontramos la función x arc sen x + 1 − x2 , continua en [0, 1] y derivable claramenteen el intervalo [0, 1), con derivada arc sen x en ese intervalo; menos claro es lo que sucede en el punto1, pero según el teorema 6.3.1 no necesitamos saberlo para garantizar que 1 π arc sen x dx = 1 · arc sen 1 + 1 − 12 − 0 · arc sen 0 + 1 − 02 = − 1. 0 2 Si aplicamos la regla de Barrow para calcular una integral, puede ser conveniente utilizar losresultados empleados en el cálculo de primitivas, como el teorema de integración por partes queacabamos de citar o el teorema de cambio de variable. Ambos tienen su versión para integrales. Vemosprimero la de integración por partes:Teorema 6.3.2 (integración por partes). Si u y v son funciones continuas en [a, b] derivables en(a, b) y sus derivadas u y v son integrables en [a, b], entonces b b uv = u(b)v(b) − u(a)v(a) − u v. a aDemostración. Notemos que u v y uv son integrables porque lo son u , v (estas por hipótesis) ytambién u y v (porque son continuas). Entonces también es integrable (uv) = u v + uv , y por la reglade Barrow b b b uv + uv= (uv) = u(b)v(b) − u(a)v(a), a a ade donde obtenemos la fórmula del enunciado.Observación. Este resultado no se puede utilizar en el ejemplo anterior; ¿por qué?Ejemplo. Veamos que, para cualesquiera m y n enteros no negativos, 1 m! n! xm (1 − x)n dx = . 0 (m + n + 1)!Probémoslo por inducción sobre n. Primero vemos que la fórmula es válida para n = 0 y cualquier m,usando la regla de Barrow: 1 xm+1 x=1 1 m! 0! xm dx = = = . 0 m+1 x=0 m + 1 (m + 0 + 1)!
  • 145. 6.3. Teoremas fundamentales del cálculo integral 141Ahora, si n ∈ N y suponemos que la fórmula es cierta para n − 1 y cualquier m, integrando por partesconcluimos que lo es para n y cualquier m: para ello tomamos u(x) = (1 − x)n y v(x) = xm+1 /(m + 1),con lo que 1 1 x=1 1 xm (1 − x)n dx = u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − u (x)v(x)dx 0 0 x=0 0 n 1 = xm+1 (1 − x)n−1 dx, m+1 0que por hipótesis de inducción es n (m + 1)! (n − 1)! m! n! · = . m + 1 (m + 1) + (n − 1) + 1 ! (m + n + 1)!Corolario 6.3.3 (fórmula de Taylor con resto integral). Sea I un intervalo, c un punto de I, f unafunción definida en I, n ∈ N. Supongamos que f es derivable en I hasta el orden n y que f (n) escontinua en I. Entonces para cada x ∈ I es f (c) f (n−1) (c) f (x) = f (c) + f (c)(x − c) + (x − c)2 + · · · + (x − c)n−1 2 (n − 1)! 1 x + (x − t)n−1 f (n) (t) dt. (n − 1)! cDemostración. Basta integrar por partes reiteradamente 1 x (x − t)n−1 f (n) (t) dt (n − 1)! c(ver [BARTLE -S HERBERT, teor. 6.3.14, pág. 281]).6.3.2. Continuidad y derivabilidad de una integral con extremo de integración varia- ble El teorema 6.3.1 (regla de Barrow) viene a decir que al integrar la derivada de f recuperamos f(ya que f (x) = f (a) + ax f ). Para que podamos decir del todo que integrar y derivar son procesosinversos, la pregunta natural sería: ¿podemos decir que derivando una función dada por la integral de f recuperamos f ? Es tanto como decir: ¿podemos expresar una primitiva de f mediante integrales de f ? La respuesta es afirmativa, como vamos a comprobar.Convenio. Si a > b y f es integrable en [b, a], escribimos b a f =− f. a b bSi a = b, escribimos a f = 0. b Notemos que, con este convenio, la regla de Barrow vale también para integrales a f con a ≥ b.Además, la relación entre las integrales de f y de | f | es en general b b f ≤ |f| a a
  • 146. 142 Capítulo 6. La integral de Riemann(si a < b el término de la derecha es ab | f |, como hasta ahora). En cuanto a la monotonía, notemosque si 0 ≤ f ≤ g son funciones integrables podemos asegurar que b b f ≤ g, a a a aya que si a > b esta desigualdad es b f≤ b g. Por último, si las integrales tienen sentido entonces c b b f+ f= f a c acualquiera que sea el orden entre a, b y c.Teorema 6.3.4 (teorema fundamental del cálculo integral (segundo)). Sea f una función integrableen [a, b]. Definamos F : [a, b] → R mediante x F(x) = f. aEntonces: a) F es continua en [a, b]; b) si f es continua en algún x0 ∈ [a, b], entonces F es derivable en x0 y F (x0 ) = f (x0 ).Demostración. a) La función f es integrable, así que está acotada; sea K > 0 tal que | f (x)| ≤ K paratodo x ∈ [a, b]. Veamos que para cada x, y ∈ [a, b], |F(x) − F(y)| ≤ K|x − y|. Si x = y, no hay nada que probar. Si no, podemos suponer que x > y, por ejemplo. Entonces, x y x x |F(x) − F(y)| = f (t) dt − f (t) dt = f (t) dt ≤ | f (t)| dt ≤ K|x − y|, a a y ycomo queríamos probar. Ahora, dado ε > 0, tenemos: para cada x, y ∈ [a, b] con |x − y| < ε/K, secumple que |F(x) − F(y)| < ε. Es decir, la función F es continua en [a, b] (de hecho hemos probadoque es uniformemente continua). b) Supongamos que f es continua en algún x0 ∈ [a, b]. Se trata de probar que F(x0 + h) − F(x0 ) l´m ı = f (x0 ). h→0 hTanto si h > 0 como si h < 0, x0 +h x0 x0 +h F(x0 + h) − F(x0 ) = f (t) dt − f (t) dt = f (t) dt, a a x0luego F(x0 + h) − F(x0 ) 1 x0 +h 1 x0 +h 1 x0 +h − f (x0 ) = f (t) dt − f (x0 ) dt = [ f (t) − f (x0 )] dt. h h x0 h x0 h x0Entonces, F(x0 + h) − F(x0 ) 1 x0 +h − f (x0 ) = [ f (t) − f (x0 )] dt . h |h| x0
  • 147. 6.3. Teoremas fundamentales del cálculo integral 143Sea ε > 0. Como f es continua en x0 , existe algún δ > 0 tal que | f (t) − f (x0 )| < ε, si |t − x0 | < δ .Sea ahora |h| < δ . Si h > 0, entonces F(x0 + h) − F(x0 ) 1 x0 +h 1 x0 +h − f (x0 ) = [ f (t) − f (x0 )] dt ≤ ε dt = ε; h h x0 h x0y si h < 0, F(x0 + h) − F(x0 ) 1 x0 1 x0 − f (x0 ) = [ f (t) − f (x0 )] dt ≤ ε dt = ε. h −h x0 +h −h x0 +hEn resumen, F(x0 + h) − F(x0 ) − f (x0 ) ≤ ε, hsi |h| < δ . Hemos probado que, en efecto, F(x0 + h) − F(x0 ) l´m ı = f (x0 ). h→0 h Realmente, se cumple un resultado más general:Teorema 6.3.5. Sea f una función definida en un intervalo no trivial I cualquiera, que sea integrableen cualquier intervalo cerrado y acotado contenido en I. Fijado un punto a ∈ I, definamos F : I → Rmediante x F(x) = f. aEntonces: a) F está bien definida y es continua en todo I; b) en cada punto x0 ∈ I donde f sea continua, F es derivable y F (x0 ) = f (x0 ).Demostración. Para puntos a la derecha de a, basta aplicar el teorema 6.3.4 a la función x F(x) = f, x ∈ [a, b], apara algún b ∈ I, b > a. Y para los puntos a la izquierda de a, basta considerar la función x G(x) = f, x ∈ [b, a], bpara algún b ∈ I, b < a y tener en cuenta que F(x) = G(x) − G(a).Corolario 6.3.6. Toda función f continua en un intervalo no trivial I cualquiera admite una primitivaen dicho intervalo.Demostración. Basta observar que, por ser continua, f es integrable en cada intervalo cerrado y aco-tado contenido en I, y si fijamos un punto a ∈ I y consideramos la función F : I → R dada por x F(x) = f, apor el teorema 6.3.5 resulta que F = f en I.
  • 148. 144 Capítulo 6. La integral de RiemannAplicación. Podemos construir la función logarítmica como la primitiva de la función 1/x que seanula para x = 1 (ver Apéndice).Corolario 6.3.7. Sea f una función definida en un intervalo no trivial I cualquiera, integrable encualquier intervalo cerrado y acotado contenido en I y sea α : J → I derivable en x0 ∈ J. Dado a ∈ I,sea G : J → R la función dada por α(x) G(x) = f. aSi f es continua en α(x0 ), entonces G es derivable en x0 , con G (x0 ) = α (x0 ) f α(x0 ) . xDemostración. Si definimos F en J como F(x) = f , x ∈ J, entonces G = F ◦ α, y por la regla de ala cadena (teorema 5.1.5) y el teorema fundamental del cálculo integral (teorema 6.3.4), resulta que G (x0 ) = α (x0 )F α(x0 ) = α (x0 ) f α(x0 ) . 2x 2Ejemplo. Sea F : [0, +∞) → R dada por F(x) = e−t dt. Nos proponemos hallar sus extremos xrelativos y absolutos y sus puntos de inflexión. 2 No podemos expresar una primitiva de e−t como combinación de funciones elementales, y en-tonces no podemos aplicar la regla de Barrow (teorema 6.3.1) para calcular la integral y obtener otraexpresión de F. Pero sí que podemos obtener una expresión manejable de la derivada de F, graciasal teorema fundamental del cálculo integral (teorema 6.3.4) y al corolario 6.3.7, que podemos aplicar 2porque e−t es continua y 2x es derivable. 2x 2 x 2 Como F(x) = e−t dt − e−t dt, resulta que para cualquier x ≥ 0, 0 0 2 2 2 2 2 2 F (x) = 2e−4x − e−x = e−x (2e−3x − 1) = e−x (elog 2−3x − 1).Vemos que F tiene el mismo signo que log 2 − 3x2 , luego es positiva en [0, (log 2)/3) y negativaen ( (log 2)/3, +∞). Por tanto F es creciente en [0, (log 2)/3] y decreciente en [ (log 2)/3, +∞),y alcanza su máximo absoluto en (log 2)/3. Su mínimo absoluto lo tiene en 0, ya que F(0) = 0 y,para cualquier x > 0, F(x) es positiva por ser la integral de una función positiva en el intervalo notrivial [x, 2x]. De la expresión de F obtenemos que 2 1 2 2 2 F (x) = 16xe−4x ( e3x − 1) = 16xe−4x (e3x −3 log 2 − 1), 8 √de donde su signo es el de x2 − log 2, y deducimos que F es cóncava en [0, log 2] y convexa en √ √[ log 2, +∞). Tenemos un único punto de inflexión en log 2. Es fácil ver, además, que el límite de F en +∞ es 0. Basta acotar el valor de F usando la monotonía 2de la integral: como e−t es decreciente en [0, +∞), para todo t en el intervalo [x, 2x] se cumple que 2 2e−t ≤ e−x , y entonces 2x 2 2x 2 2 F(x) = e−t dt ≤ e−x dt = xe−x . x x xPor la regla de L’Hospital 5.3.8 vemos que l´m x2 = 0, luego también l´m F(x) = 0. ı ı x→+∞ e x→+∞
  • 149. 6.3. Teoremas fundamentales del cálculo integral 145Teorema 6.3.8 (cambio de variable). Sea u una función derivable en un intervalo abierto J tal queu es continua y sea I un intervalo abierto tal que u(J) ⊆ I. Si f es continua en I, entonces f ◦ u escontinua en J y b u(b) f (u(x))u (x) dx = f (t) dt (6.3) a u(a)para cualesquiera a, b ∈ J.Demostración. Sea F una primitiva de f en I. Entonces (F ◦ u) = ( f ◦ u)u , y como f y ( f ◦ u)u sonintegrables en intervalos cerrados y acotados (porque son continuas), por la regla de Barrow resultaque u(b) b f = F(u(b)) − F(u(a)) = (F ◦ u)(b) − (F ◦ u)(a) = ( f ◦ u)u . u(a) a √ 3Ejemplo. Calculemos el valor de √ 4 − x2 dx. − 3 Ponemos √ √ √ 3 3 3 1 √ 4 − x2 dx = √ 2 1 − (x/2)2 dx = √ 4 1 − (x/2)2 dx − 3 − 3 − 3 2(hacemos el cambio de variable t = x/2 según la fórmula (6.3), de izquierda a derecha) √ 3/2 = √ 4 1 − t 2 dt − 3/2(ahora hacemos el cambio de variable t = sen y según la fórmula (6.3), de derecha a izquierda) π/3 π/3 π/3 = 4 1 − sen2 y cos y dy = 4| cos y| cos y dy = 4 cos2 y dy −π/3 −π/3 −π/3 π/3 y=π/3 4π √ = 2(1 + cos 2y) dy = (2y + sen 2y) = + 3. −π/3 y=−π/3 3Ejemplo (integrales de funciones pares e impares). Si f es par e integrable en [−a, a], entonces a a f =2 f. −a 0Esto se puede demostrar a partir de la definición de integral o mediante la condición de integrabilidadde Riemann (teorema 6.1.8). El significado geométrico es claro, dado que la gráfica de f es simétricarespecto de x = 0. En el caso particular de que f sea continua, esta propiedad se puede demostrar de manera mássencilla con un cambio de variable, ya que −a f = −a f + 0a f y a 0 0 0 a a t=−x f (x) dx = − f (−t) dt = f (−t) dt = f (t) dt. −a a 0 0 aAnálogamente, si f es impar entonces f = 0. −a
  • 150. 146 Capítulo 6. La integral de Riemann6.4. Apéndice: construcción de las funciones logarítmica y exponencial Ya hemos usado las propiedades de la función logarítmica en ejemplos y ejercicios. Ahora dispo-nemos de las herramientas necesarias para poder construirla, probando con todo rigor su existencia ysus propiedades básicas. Recordemos que las potencias de exponente racional se definen en R+ = (0, +∞) de la siguientemanera: xn = x · x · · · x (n veces) si n ∈ N, y x1/n es la función inversa. Dado m otro número natural,xm/n = (x1/n )m , y por último x0 = 1 y x−a = 1/xa . Resulta que la derivada de la función dada por xa es axa−1 , de manera que una primitiva de xaen R+ es a+1 xa+1 , pero esto solo vale si a = −1. Como x−1 = 1/x es continua en R+ , podemos usar 1el teorema fundamental del cálculo integral (teorema 6.3.4) para definir una primitiva en este caso(a = −1), la dada por cx (1/t)dt, cualquiera que sea c > 0. Elegimos c = 1, y la función que resultacumple todos los requisitos que buscamos para el logaritmo neperiano.Proposición 6.4.1. La función L : (0, +∞) → R dada por x 1 L(x) = dt 1 testá bien definida, es estrictamente creciente (luego inyectiva) y suprayectiva. Es asimismo derivableen todos los puntos de su dominio y para cada x ∈ (0, +∞) 1 L (x) = ; xen particular, es cóncava en su dominio. y= 1 x 1 x L(x) es el área de la figuraDemostración. La función f : (0, +∞) → R dada por f (t) = 1 es continua, luego L está bien definida, tes derivable en cada x ∈ (0, +∞) y su derivada es la función L (x) = f (x) = 1 . x Puesto que L = f es estrictamente positiva, L es estrictamente creciente. Como es continua (por-que es derivable), su imagen L (0, +∞) es un intervalo, y para ver que este intervalo es todo R bastaráprobar que la función L no está acotada superior ni inferiormente. Ahora bien: dados a > 0 y n ∈ N, el cambio de variable t = un permite escribir an 1 a nun−1 a 1 L(a ) = n dt = du = n du = nL(a). 1 t 1 un 1 uTomando a > 1, como L(a) > L(1) = 0, se deduce que L no está acotada superiormente; tomando0 < a < 1, como L(a) < L(1) = 0, se deduce que L no está acotada inferiormente.
  • 151. 6.4. Apéndice: construcción de las funciones logarítmica y exponencial 147 Con esta información es suficiente para comprobar que su gráfica tiene la forma que ya conocemos(complétese el estudio de la función de la manera habitual). En cuanto a la propiedad esencial dellogaritmo de transformar productos en sumas, tenemos:Proposición 6.4.2. Para cualesquiera x, y ∈ (0, +∞), la función L cumple L(xy) = L(x) + L(y).Demostración. Utilizando el cambio de variable t = u/x, xy 1 x 1 xy 1 y x du y du L(xy) − L(x) = dt − dt = dt = = = L(y). 1 t 1 t x t 1 u x 1 uObservación. También puede darse otra demostración usando solo el valor de la derivada: fijadoarbitrariamente y > 0, sea fy la función dada por fy (x) = L(xy). Entonces 1 1 fy (x) = y · L (xy) = y · = = L (x) xy xpara todo x, luego fy (x) = L(x) +C, para cierta constante C, en todo x > 0. Si tomamos x = 1 vemosque C = L(y). nObservación. La sucesión 1 + 1 es convergente, y denotando su límite por e, resulta L(e) = 1. En nefecto: 1 n 1 L 1 + 1 − L(1) 1 L 1+ = nL 1 + = n → L (1) = = 1; n n 1/n 1la función inversa de L es continua, porque L es estrictamente creciente y continua, así que la sucesión n 1 + 1 tiene límite y n 1 n 1 n 1+ = L−1 L 1 + → L−1 (1). n nEs fácil, igualmente, obtener las equivalencias conocidas y el desarrollo de Taylor-Maclaurin paraL(1 + x). Lo dejamos como ejercicio para el lector. Por último, la función inversa L−1 : R → (0, +∞), tiene todas las propiedades admitidas para lafunción ex , de modo que tenemos aquí una manera de introducir rigurosamente la función exponencial.Definición 6.4.3. Se llama función exponencial a la función exp : R → R definida por exp(x) =L−1 (x). Así pues, exp(x) = y si y solo si L(y) = x; en particular, exp(0) = 1 y exp(1) = e. Suele escribirseex en lugar de exp(x).Proposición 6.4.4. a) La función exponencial es derivable (indefinidamente) y su derivada es ella misma: para cada x ∈ R, exp (x) = exp(x). b) e0 = 1. 1 c) Para cada x ∈ R, = e−x y, en particular, ex = 0. ex d) Dados x, y ∈ R, ex+y = ex · ey . n e) Dados n ∈ N y x ∈ R, enx es el producto de n factores iguales a ex : enx = ex · · ·ex .
  • 152. 148 Capítulo 6. La integral de Riemann f) Para cada x ∈ R, ex > 0. g) La función exponencial es estrictamente creciente y convexa. En particular, es inyectiva. h) Se tiene l´m ex = +∞, ı l´m ex = 0. ı x→+∞ x→−∞ En consecuencia, el conjunto imagen de la función exponencial es (0, +∞).Demostración. a) Como L es derivable e inyectiva en el intervalo (0, +∞), su inversa exp es deri- vable, según el teorema 5.1.7 de derivación de la función inversa. Además, 1 1 exp (x) = = = exp(x), x ∈ R. L (exp(x)) 1/ exp(x) Es decir, la derivada de la función exp es ella misma, luego resulta indefinidamente derivable (igual a todas sus derivadas sucesivas). b) Obvio. c) Sea f : x ∈ R → f (x) = ex e−x ∈ R. Derivando de acuerdo con a), f (x) = ex e−x − ex e−x = 0, luego f toma constantemente el valor f (0) = 1. ex+y d) Fijado y, sea f : x ∈ R → f (x) = ex ∈ R. Teniendo en cuenta a), ex+y · ex − ex+y · ex f (x) = = 0, (ex )2 luego f toma constantemente el valor f (0) = ey . e) Se prueba por inducción sobre n utilizando d). 2 f) ex = ex/2 ≥ 0 y ex = 0. g) La derivada primera y la derivada segunda de la función exponencial (que son iguales a la función exponencial) son estrictamente positivas. h) Puesto que la función exponencial es estrictamente creciente, e = e1 > e0 = 1, luego l´m en = +∞. De nuevo por la monotonía de la función exponencial, esto basta para probar ı n que l´m ex = +∞. ı x→+∞ Finalmente, 1 l´m ex = l´m e−y = l´m ı ı ı = 0. x→−∞ y→+∞ y→+∞ ey Del teorema 4.2.10 de Darboux (o de los valores intermedios) se sigue que el conjunto imagen de la función exponencial es todo el intervalo (0, +∞). En esta demostración se observa que todas las propiedades básicas de la función exponencial sededucen realmente de a) y b), que en este sentido pueden ser consideradas sus propiedades fundamen-tales.
  • 153. 6.5. Apéndice: cálculo de áreas, longitudes y volúmenes 1496.5. Apéndice: cálculo de áreas, longitudes y volúmenes Aunque no vamos a definir con rigor qué es una curva plana, a menudo viene dada como la gráficade una función f : I → R, donde I es un intervalo y se pide que f sea continua, o continua a trozos,o derivable. . . Esta forma de representar una curva plana se llama explícita. Por ejemplo, la gráfica dela función y = x2 es una parábola. También pueden venir definidas en forma paramétrica, es decir,como puntos de la forma (x(t), y(t)), donde x : I → R, y : I → R son dos funciones e I es un intervalo.Por ejemplo, la circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio 1 se puede expresar enforma paramétrica como x = cost, y = sent, t ∈ [0, 2π]Otra manera de describir una curva plana es en coordenadas polares: si representamos por ρ el radioy por θ un argumento de un punto del plano, los puntos que cumplen ρ = 1 son la circunferencia concentro en el origen de coordenadas y radio 1. La ecuación ρ = θ es la de una espiral. En general, unacurva en coordenadas polares es una relación ρ = ϕ(θ ). Una curva en forma explícita (y = f (x)) se puede expresar siempre en forma paramétrica: x = t,y = f (t). Una curva en forma polar (ρ = ϕ(θ )) también se puede expresar siempre en forma para-métrica: x = ϕ(θ ) cos θ , y = ϕ(θ ) sen θ . En cambio, no toda curva en forma paramétrica se puedeexpresar en forma explícita ni en forma polar. Y no toda curva en forma explícita se puede poner enforma polar ni viceversa. A continuación recogemos, sin demostración, diversas fórmulas que permiten calcular la longitudde una curva plana y el área de una superficie o el volumen de un cuerpo asociados a curvas planas.En cada caso se supone que las funciones que aparecen son continuas a trozos, o derivables a trozos,según haga falta para que las integrales estén bien definidas.Área de una figura plana y = f (x) y = f (x) a b a b b b El área de la figura es a f (x) dx, El área de la figura es a | f (x)| dx si f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]
  • 154. 150 Capítulo 6. La integral de Riemann y = g(x) y = f (x) a b b El área de la figura es a | f (x) − g(x)| dx (x(t0 ), y(t0 )) = (x(t1 ), y(t1 )) ρ = ρ(θ ) β α 1 β El área de la figura es tt01 y(t)x (t) dt , El área de la figura es 2 α ρ(θ )2 dθ si la curva es cerradaLongitud de una curva plana y = f (x) (x(t1 ), y(t1 ))a (x(t0 ), y(t0 )) b b t1 La longitud de la curva es a 1 + f (x)2 dx La longitud de la curva es t0 x (t)2 + y (t)2 dt
  • 155. 6.5. Apéndice: cálculo de áreas, longitudes y volúmenes 151 ρ = ρ(θ ) β α β El área de la figura es α ρ(θ )2 + ρ (θ )2 dθVolumen de un cuerpo de revolución y = f (x) y = f (x) a a b b El volumen del cuerpo generado al girar la figura El volumen del cuerpo generado al girar la figura alrededor del eje x es ab π f (x)2 dx alrededor del eje x es ab 2πx| f (x)| dx, si a, b ≥ 0 ρ = ρ(θ ) (x(t1 ), y(t1 )) (x(t0 ), y(t0 )) β α El volumen del cuerpo generado al girar la figura El volumen del cuerpo generado al girar la figura β alrededor del eje x es tt01 πy(t)2 x (t) dt , alrededor del eje x es α 2π ρ(θ )3 sen θ dθ , 3 si y(t) ≥ 0 para todo t ∈ [t0 ,t1 ] si 0 ≤ α ≤ β ≤ πVolumen de un cuerpo de secciones conocidas
  • 156. 152 Capítulo 6. La integral de Riemann área S(x) x El volumen de la figura es ab S(x) dx, donde S(x) es el área de la sección perpendicular al eje en xÁrea de una superficie de revolución y = f (x) a (x(t1 ), y(t1 )) (x(t0 ), y(t0 )) b El área de la superficie generada al girar la curva El área de la superficie generada al girar la curva alrededor del eje x es ab π f (x)2 dx alrededor del eje x es tt01 πy(t)2 x (t) dt , si y(t) ≥ 0 para todo t ∈ [t0 ,t1 ] ρ = ρ(θ ) β α El área de la superficie generada al girar la curva alrededor β del eje x es α 2π ρ(θ )3 sen θ dθ , si 0 ≤ α ≤ β ≤ π 3
  • 157. 6.6. Apéndice: cálculo de primitivas 1536.6. Apéndice: cálculo de primitivas6.6.1. Métodos básicos de integraciónIntegración por partes: si f y g son dos funciones derivables, f (x)g (x) dx = f (x)g(x) − f (x)g(x) dx.Cambio de variable: Si f (t) dt = F(t), esto es, F (t) = f (t), y ϕ es una función derivable, enton-ces f (ϕ(x))ϕ (x) dx = F(ϕ(x)). Abreviadamente, f (ϕ(x))ϕ (x) dx = f (t) dt = F(t) = F(ϕ(x)).En el primer paso “se hace el cambio de variable t = ϕ(x), dt = ϕ (x) dx”; en el último paso “sedeshace el cambio t = ϕ(x)”.6.6.2. Integrales elementales (x + a)r+1 a) (x + a)r dx = +C, si r = −1 r+1 dx b) = log |x + a| +C x+a c) ex dx = ex +C d) cos x dx = sen x +C e) sen x dx = − cos x +C f) cosh x dx = senh x +C g) senh x dx = cosh x +C dx h) = (1 + tg2 x) dx = tg x +C cos2 x dx i) = − ctg x +C sen2 x dx 1 x+a 1 x+a j) = arc tg +C = − arc ctg + D, si b = 0 (x + a)2 + b2 b b b b 2(x + a) k) dx = log |(x + a)2 + b| +C (x + a)2 + b 2(x + a) 1/(1 −