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III           Isaac Newton (1643–1727)                         Gottfried Leibniz (1646–1716)“Ahí intervinieron los dos ver...
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VIII                                                                                                ÍNDICE GENERAL        ...
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2                                                                             Capítulo 1. Números reales    • Propiedad an...
1.1. Sistemas numéricos                                                                                     3    • Para nú...
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1.2. Ordenación de los números reales                                                             7    • −|a| ≤ a ≤ |a|.  ...
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1.2. Ordenación de los números reales                                                              9Teorema 1.2.3 (parte e...
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1.3. Apéndice: expresión decimal de un número real                                                   11   • intervalo cerr...
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Capítulo 2Funciones reales de una variable real.Generalidades2.1. Primeros conceptos2.1.1.   Funciones. Clases particulare...
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20                                   Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades          Función mon...
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24                                           Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidadespara cada x ∈...
2.2. Funciones trascendentes                                                                        25    d) Dados n ∈ N y...
26                                   Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades                     ...
2.2. Funciones trascendentes                                                                         27Proposición 2.2.6 (...
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Teoría de funciones de una variable real (Análisis matemático I), Universidad de Zaratoga)

  1. 1. TEORÍA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL I. Barrow (1630–1677), Lectiones Geometricae Editado por José L. Arregui, Julio Bernués,Bienvenido Cuartero y Mario Pérez, sobre apuntes del área de Análisis Matemático
  2. 2. III Isaac Newton (1643–1727) Gottfried Leibniz (1646–1716)“Ahí intervinieron los dos verdaderos fundadores del Análisis. N y L, Newton y Leibniz, padresenemigos que se destrozaron para que fuese reconocida su paternidad. Se les deben dos descu-brimientos esenciales. El primero: Descubrieron que las dos direcciones distintas en que los matemáticos habíantrabajado hasta entonces, determinación de tangentes y cálculo de áreas, constituían de hecho lasdos caras de un mismo fenómeno y se podía pasar de una a otra. Se podía, a partir de tangentes,remontar a la curva, de la función derivada se podía remontar a la función de la que era laderivada. ¡Una rectificación había sido llevada a una cuadratura! ¡Si los griegos levantaran lacabeza! Esto fue una revelación en el mundo de los matemáticos. El mismo útil era capaz de efec-tuar acciones tan distintas como calcular la longitud de una curva, determinar el área de unafigura, calcular el volumen de un sólido, situar el centro de gravedad de una figura, localizar losmínimos y los máximos de una curva, determinar las tangentes, expresar las velocidades y lasaceleraciones. Una especie de útil universal que entusiasmó a los que se ocupaban de física. Lasvariaciones de toda clase de fenómenos podrían, en lo sucesivo, estudiarse con esta técnica. Seabría una gran puerta al conocimiento de los fenómenos físicos. ¡La física y la mecánica habíanencontrado su herramienta! La cual era matemática. Consecuencia: el ‘movimiento’, excluido frecuentemente de las matemáticas, hacía una en-trada triunfal. A fines del siglo XVII, el mundo cristalizado de las figuras de la Grecia antigua seanimó. Se pasó de la fotografía al cine. La segunda: ‘N y L’ hicieron de ese nuevo campo un ‘cálculo’, provisto de reglas, el cálculoinfinitesimal. La derivación se convirtió en una operación. Operación de nuevo género que actua-ba no sobre números sino sobre cantidades variables relacionadas con curvas. Operación que sepodía efectuar con ayuda de un algoritmo sistemático.” (Denis Guedj, El teorema del loro. Ed. Anagrama, Barcelona (2000), pp. 376–377.)
  3. 3. Índice general1. Números reales 1 1.1. Sistemas numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Números naturales: principio de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Números enteros y racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3. Números reales: operaciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Ordenación de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1. Desigualdades fundamentales en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2. Valor absoluto de un número real. Desigualdades básicas . . . . . . . . . . . 6 1.2.3. Conjuntos acotados en R. El axioma del supremo . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4. Propiedad arquimediana de R: consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.5. Números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.6. Intervalos en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Apéndice: expresión decimal de un número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122. Funciones reales de una variable real. Generalidades 17 2.1. Primeros conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1. Funciones. Clases particulares de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.3. Ejemplos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Funciones trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1. Funciones exponencial y logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2. Funciones trigonométricas. Funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . 26 2.2.3. Funciones hiperbólicas. Funciones hiperbólicas inversas . . . . . . . . . . . 31 2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333. Sucesiones de números reales 37 3.1. Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.1. Definición de sucesión. Sucesiones acotadas y sucesiones convergentes. Lí- mite de una sucesión convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.2. Sucesiones monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.3. Operaciones con sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.4. Desigualdades y límites. Regla del sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1.5. Subsucesiones. Teorema de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.6. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2. Límites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 V
  4. 4. VI ÍNDICE GENERAL 3.2.1. Sucesiones divergentes. Propiedades. Operaciones con sucesiones divergentes 50 3.2.2. La recta ampliada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2.3. Límite superior y límite inferior de una sucesión. Límites de oscilación . . . 56 3.3. Límites de sucesiones y funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614. Continuidad 63 4.1. Límites de funciones reales de una variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.1.1. Definición de límite de una función. Unicidad del límite. Límite por sucesiones 63 4.1.2. Límites infinitos y límites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.1.3. Cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.1.4. Límites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.1.5. Límites de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.1.6. Límites y desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.1.7. Condición de Cauchy para funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.1.8. Límites de restricciones y extensiones de funciones . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2.1. Definiciones de continuidad. Operaciones con funciones continuas . . . . . . 73 4.2.2. Propiedades de las funciones continuas: teoremas de Weierstrass, Bolzano y Darboux; funciones continuas monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2.3. Clasificación de discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.2.4. Continuidad uniforme. Teorema de Heine. Extensión de funciones continuas 80 4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825. Derivación 85 5.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.1.1. Concepto de derivada. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.1.2. Interpretación geométrica y física de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.1.3. Derivabilidad y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.1.4. Cálculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.1.5. Derivabilidad de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.2. El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.2.1. Extremos relativos y derivada nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.2.2. Teoremas de Rolle y del valor medio (o de los incrementos finitos) . . . . . . 92 5.3. Aplicaciones del teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.3.1. Funciones con derivada acotada y con derivada nula . . . . . . . . . . . . . 93 5.3.2. Signo de la derivada y monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.3.3. Propiedad del valor intermedio para derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.3.4. Teorema del valor medio generalizado. Regla de L’Hospital . . . . . . . . . 97 5.4. Aproximación polinómica local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.4.1. Desarrollos polinómicos. Teorema de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . 100 5.4.2. Aplicación al cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.4.3. Fórmula de Taylor con resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.4.4. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.4.5. Convexidad y concavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.4.6. Representación gráfica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
  5. 5. ÍNDICE GENERAL VII6. La integral de Riemann 119 6.1. Definición (de Darboux) de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.1.1. Definición de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.1.2. Propiedades básicas de las sumas de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.1.3. Existencia de la integral: condición de Riemann. Integrabilidad de las funcio- nes monótonas y de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.1.4. Sumas de Riemann. Definición de integrabilidad de Riemann: comparación con la de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.2. Propiedades básicas de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.2.1. Operaciones con funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.2.2. Integración en subintervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.2.3. Teoremas de la media (o del valor medio) del cálculo integral . . . . . . . . 137 6.3. Teoremas fundamentales del cálculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.3.1. Regla de Barrow (primer teorema fundamental del cálculo integral) . . . . . 139 6.3.2. Continuidad y derivabilidad de una integral con extremo de integración variable141 6.4. Apéndice: construcción de las funciones logarítmica y exponencial . . . . . . . . . . 146 6.5. Apéndice: cálculo de áreas, longitudes y volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.6. Apéndice: cálculo de primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.6.1. Métodos básicos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.6.2. Integrales elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.6.3. Integración de algunos tipos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567. Integrales impropias 161 7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.1.1. Integrales impropias: definición de integrales impropias convergentes, diver- gentes, oscilantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 7.1.2. Primeras propiedades de las integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.2. Convergencia de integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.2.1. Convergencia de integrales impropias con integrando no negativo. Criterios de comparación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.2.2. Integrales impropias de integrando cualquiera: convergencia absoluta y con- vergencia condicional. Criterios de Abel y Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 167 7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698. Series numéricas 171 8.1. Definición y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.1.1. Series: términos y sumas parciales. Series convergentes, divergentes y oscilantes171 8.1.2. Linealidad de la convergencia de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 8.1.3. Series telescópicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 8.1.4. Condición necesaria para la convergencia de una serie. Condición general de convergencia de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 8.2. Series de términos no negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.2.1. Convergencia de una serie de términos no negativos. Criterios de comparación 175 8.2.2. Otros criterios. Convergencia de algunas series de términos no negativos . . . 177 8.3. Series de términos cualesquiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 8.3.1. Series alternadas: criterio de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
  6. 6. VIII ÍNDICE GENERAL 8.3.2. Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 8.3.3. Criterios generales de Cauchy (de la raíz) y de D’Alembert (del cociente) . . 182 8.3.4. Criterios de convergencia de Abel y Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.4. Propiedad conmutativa para series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.5. Apéndice: sumación de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 8.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1869. Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor 189 9.1. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 9.1.1. Convergencia de las series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 9.1.2. Propiedades de las funciones representadas por series de potencias . . . . . . 192 9.2. Desarrollos en serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 9.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19910. Sucesiones y series de funciones 201 10.1. Sucesiones y series de funciones: convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . 201 10.2. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 10.2.1. Definición de convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 10.2.2. Convergencia uniforme y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 10.2.3. Convergencia uniforme e integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 10.2.4. Convergencia uniforme y derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 10.3. Una condición suficiente para la convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 20811. Funciones elementales 209 11.1. Funciones elementales y series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 11.1.1. Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 11.1.2. Función logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 11.1.3. Funciones exponencial y logarítmica de base cualquiera . . . . . . . . . . . 212 11.1.4. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 11.2. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 11.3. Apéndice: el número π es irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221Retratos 223Bibliografía 233Índice de símbolos 235Índice alfabético 237
  7. 7. Capítulo 1Números reales1.1. Sistemas numéricos1.1.1. Números naturales: principio de inducción Los números 1, 2, 3, . . . , reciben el nombre de números naturales. Con ellos se realizan dos ope-raciones, la suma de números naturales y el producto de números naturales, que dan como resultadootro número natural perfectamente definido. Para dos números naturales cualesquiera m y n, su sumasuele representarse por m + n y su producto por m · n o mn (si no hay lugar a confusión). Si denotamoscon N el conjunto de todos los números naturales, podemos pensar en la suma y el producto comoaplicaciones del producto cartesiano N × N en N: + : N×N → N, · : N×N → N. (m, n) → m+n (m, n) → m·n A continuación describimos las propiedades fundamentales de estas operaciones (m, n, p repre-sentan números naturales cualesquiera): • Propiedad asociativa de la suma: (m + n) + p = m + (n + p). • Propiedad conmutativa de la suma: m + n = n + m. • Propiedad asociativa del producto: (mn)p = m(np). • Propiedad conmutativa del producto: mn = nm. • Elemento neutro (identidad) para el producto: hay un número natural, que denotamos por 1, tal que 1 · n = n · 1 = n. • Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: m(n + p) = mn + mp.Se puede asimismo comparar el tamaño de dos números naturales cualesquiera y establecer así unarelación de orden en N. Suele escribirse m ≤ n para indicar que m es menor o igual que n (o lo quees lo mismo, que n es mayor o igual que m, lo que también se escribe n ≥ m); y se escribe m < n (on > m) para expresar que m es estrictamente menor que n, es decir, que m es menor (y distinto) que n.Esta relación cumple las siguientes propiedades (m, n, p representan números naturales cualesquiera): • Propiedad reflexiva: m ≤ m. 1
  8. 8. 2 Capítulo 1. Números reales • Propiedad antisimétrica: si m ≤ n y n ≤ m, entonces m = n. • Propiedad transitiva: si m ≤ n y n ≤ p, entonces m ≤ p. • Propiedad de orden total: siempre es m ≤ n o n ≤ m. La ordenación de N no es independiente de la suma y el producto: para dos números naturales m,n se tiene m > n si y solo si m = n + p para algún número natural p.Principio de buena ordenación. Todo conjunto no vacío de números naturales posee un elementomínimo, es decir, dado S ⊆ N no vacío, existe un elemento m en S tal que m ≤ n para todo n ∈ S.El principio de inducción. Esta es una de las propiedades de N que más vamos a usar durante elcurso. Se puede enunciar así: • si un conjunto de números naturales contiene a 1 y por cada elemento n del conjunto también n + 1 pertenece a él, entonces el conjunto es N. Es decir, dado S ⊆ N tal que 1 ∈ S y n + 1 ∈ S siempre que n ∈ S, es S = N.En la práctica, el principio de inducción suele aplicarse en términos de propiedades más que en térmi-nos de conjuntos: • supongamos que para cada número natural n se tiene una propiedad Pn que puede ser cierta o falsa. Supongamos además que: a) P1 es cierta; b) si para algún n ∈ N la propiedad Pn es cierta, entonces la propiedad Pn+1 también es cierta. Entonces, Pn es cierta para todo n ∈ N.La siguiente variante se llama principio de inducción completa: • supongamos que para cada número natural n se tiene una propiedad Pn que puede ser cierta o falsa. Supongamos además que: a) P1 es cierta; b) si para algún n ∈ N todas las propiedades P1 , P2 , . . . , Pn son ciertas, entonces Pn+1 también es cierta. Entonces, Pn es cierta para todo n ∈ N. Es un hecho notable, señalado por el matemático italiano Peano en su obra Arithmetices principianova methodo exposita (Bocca, 1889) que todas las propiedades de los números naturales puedendeducirse de las siguientes, llamadas en su honor axiomas de Peano para los números naturales: • Para todo número natural n existe otro número natural, ns , que se llama siguiente o sucesor de n. • Existe un número natural, que denotamos por 1, tal que ns = 1 cualquiera que sea el número natural n.
  9. 9. 1.1. Sistemas numéricos 3 • Para números naturales cualesquiera m y n, es ms = ns si y solo si m = n. • Principio de inducción: si un conjunto S de números naturales contiene a 1 y por cada elemento n ∈ S también ns ∈ S, entonces S = N.Las operaciones de suma y producto y la relación de orden se definen entonces en términos de si-guientes, véase por ejemplo [B IRKHOFF -M AC L ANE].1.1.2. Números enteros y racionales El conjunto de los números enteros . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . , que amplía el de los naturales,se denota por Z. En él hay definidas dos operaciones, suma y producto, y una relación de orden. Laspropiedades de la suma, el producto y el orden para los números naturales también las cumplen losnúmeros enteros. Y además: • Elemento neutro (cero) para la suma: hay un número entero, que denotamos por 0, tal que 0 + n = n + 0 = n para cualquier entero n. • Elemento opuesto para la suma: para cada entero n hay otro número entero (y solo uno), que denotamos por −n, tal que (−n) + n = n + (−n) = 0.Estas propiedades y las anteriores de la suma y el producto se resumen diciendo que Z, con estas dosoperaciones, es un anillo conmutativo. Para la relación de orden podemos añadir: • Relación del orden con la suma: si a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c. • Relación del orden con el producto por números no negativos: si a ≤ b y c ≥ 0, entonces ac ≤ bc.Principio de buena ordenación de los conjuntos acotados inferiormente. El principio de buenaordenación de los números naturales no es válido para los números enteros: por ejemplo, el propioconjunto Z no tiene elemento mínimo, pues para cada n ∈ Z es n − 1 < n. Sin embargo, hay unapropiedad análoga para cierta clase de subconjuntos: los acotados inferiormente. Un subconjunto S ⊆ Z no vacío se dice que está acotado inferiormente si existe algún númeroentero k ∈ Z tal que para todo n ∈ Z, k ≤ n. Todo conjunto no vacío S ⊆ Z acotado inferiormenteposee un elemento mínimo, es decir, existe un elemento m en S tal que para todo n ∈ S, m ≤ n.Un principio de inducción. En Z puede hablarse del siguiente a un número entero, en el sentidode que entre n y n + 1 no hay ningún otro número entero. No se cumple, sin embargo, el principio deinducción, sino una propiedad similar aunque más débil: • si un conjunto de números enteros contiene un número k y que por cada elemento n del conjunto también n+1 pertenece a él, entonces el conjunto contiene a todos los números enteros mayores o iguales que k. Es decir, si k ∈ S ⊆ Z y n+1 ∈ S siempre que n ∈ S, entonces S ⊇ {n ∈ Z : n ≥ k}.Los números racionales. En Z es posible la resta, pero no la división. Esta operación es posible(dividiendo por elementos distintos de 0) en el conjunto Q de los números racionales, que son co-cientes de números enteros (con denominador no nulo). En este conjunto están definidas la suma yel producto, y una relación de orden. Las propiedades de la suma, el producto y el orden para losnúmeros enteros también las cumplen los números racionales. Y además:
  10. 10. 4 Capítulo 1. Números reales • Elemento inverso para el producto: si a = 0, hay un número racional (y solo uno) que denota- mos por a−1 o 1 , tal que a−1 a = aa−1 = 1. aEsta y las anteriores propiedades de la suma, el producto y el orden se resumen diciendo que Q es uncuerpo conmutativo totalmente ordenado. Señalemos que en Q no hay ninguna propiedad similar al principio de inducción. Ni siquierapuede hablarse del siguiente a un número dado: concretamente, entre dos números racionales distintossiempre hay otro número racional. En efecto: si a < b, es fácil comprobar que a < a+b < b. 2 Es fácil descubrir huecos en Q: por ejemplo, ningún número racional puede representar la longitudde la diagonal de un cuadrado de lado 1. Dicho de otra forma, no existe ningún número racional atal que a2 = 2. En efecto: sea a ∈ Q; podemos escribirlo como a = m , con m y n enteros sin factores nprimos comunes y n = 0. Si fuera a2 = 2 se seguiría que m2 = 2n2 , luego m2 es par, y también debeserlo m; pero entonces m = 2p para algún entero p, y sustituyendo en m2 = 2n2 queda 4p2 = 2n2 . Esdecir, 2p2 = n2 ; luego n2 es par, y también deber serlo n. En resumen, m y n son pares; pero habíamossupuesto que m y n no tenían factores comunes. La contradicción viene de suponer que a2 = 2. Para poder hablar de números que representen estas cantidades se necesita una nueva ampliaciónde los sistemas numéricos. Así pasamos a considerar el conjunto R de los números reales o, másexactamente, las propiedades de R (sin entrar en su naturaleza: no decimos qué es un número real,sino cómo se manejan los números reales).1.1.3. Números reales: operaciones algebraicas En R hay dos operaciones, suma y producto, respecto de las cuales es un cuerpo conmutativo.Esto significa que si a, b, c son números reales cualesquiera, se cumple: a) Propiedad asociativa de la suma: (a + b) + c = a + (b + c). b) Propiedad conmutativa de la suma: a + b = b + a. c) Elemento neutro (cero) para la suma: hay un número real, que denotamos por 0, tal que 0 + a = a + 0 = a. d) Elemento opuesto para la suma: hay un número real (y solo uno), que denotamos por −a, tal que (−a) + a = a + (−a) = 0. e) Propiedad asociativa del producto: (ab)c = a(bc). f) Propiedad conmutativa del producto: ab = ba. g) Elemento neutro (identidad) para el producto: hay un número real distinto de 0, que denotamos por 1, tal que 1 · a = a · 1 = a. h) Elemento inverso para el producto: si a = 0, hay un número real (y solo uno) que denotamos por a−1 o 1/a, tal que a−1 a = aa−1 = 1. i) Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: a(b + c) = ab + ac.Todas las propiedades que usamos habitualmente se deducen de estas. Por ejemplo, veamos en detallecómo se prueba que para todo número real x es x · 0 = 0: c) i) x · 0 = x(0 + 0) = x · 0 + x · 0
  11. 11. 1.2. Ordenación de los números reales 5y de d) se sigue a) d) c) 0 = −(x · 0) + x · 0 = −(x · 0) + [(x · 0 + x · 0)] = [−(x · 0) + x · 0] + x · 0 = 0 + x · 0 = x · 0. Los números reales se pueden representar gráficamente como puntos de una recta. Esto permitever, sobre todo, las relaciones de orden. √ log 2 3 π γ 2 π π2 −2 −1 0 11 1 π2 2 e3 4 5 6 7 8 9 10 32 6 1 √ √ 2 2 La recta real, con algunos números señalados1.2. Ordenación de los números reales1.2.1. Desigualdades fundamentales en R En R hay una relación de orden que extiende la de los números racionales. Las propiedades básicasson las siguientes (a, b, c representan números reales cualesquiera): • Propiedad reflexiva: a ≤ a. • Propiedad antisimétrica: a ≤ b y b ≤ a =⇒ a = b. • Propiedad transitiva: a ≤ b y b ≤ c =⇒ a ≤ c. • Propiedad de orden total: a ≤ b ó b ≤ a. • Relación con la suma: a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c. • Relación con el producto: c ≥ 0, a ≤ b =⇒ ac ≤ bc; en particular, c ≥ 0, b ≥ 0 =⇒ bc ≥ 0.Dados a, b ∈ R, se escribe a < b si a ≤ b y a = b. De estas propiedades pueden deducirse sucesivamente (es un ejercicio recomendable) las siguien-tes desigualdades, que utilizaremos de aquí en adelante sin más comentario según las necesitemos. Enlo que sigue, a, b, c, d, a1 ,. . . , an representan números reales cualesquiera. • a ≤ b, b < c =⇒ a < c. • a < b, b ≤ c =⇒ a < c. • a < b =⇒ a + c < b + c. • Suma de desigualdades: a ≤ b, c ≤ d =⇒ a + c ≤ b + d, siendo entonces a + c = b + d si y solo si a = b y c = d.
  12. 12. 6 Capítulo 1. Números reales • a1 , . . . , an ≥ 0 =⇒ a1 + · · · + an ≥ 0; además, a1 + · · · + an > 0 excepto si a1 = · · · = an = 0. • a > 0, b > 0 =⇒ ab > 0. • a > 0, b < 0 =⇒ ab < 0. • a < 0, b < 0 =⇒ ab > 0. • a2 ≥ 0. • a = 0 =⇒ a2 > 0. • 2ab ≤ a2 + b2 . • 1 > 0, −1 < 0. • a < b, c > 0 =⇒ ac < bc. • a < b, c < 0 =⇒ ac > bc. • a ≤ b, c ≤ 0 =⇒ ac ≥ bc. • 0 ≤ a ≤ b =⇒ a2 ≤ b2 . • 0 ≤ a < b =⇒ a2 < b2 . 1 • a > 0 ⇐⇒ > 0. a 1 1 • 0 < a ≤ b =⇒ ≤ . b a 1 1 • a ≤ b < 0 =⇒ ≤ . b a1.2.2. Valor absoluto de un número real. Desigualdades básicas El valor absoluto de un número real a es el número real no negativo a, si a ≥ 0; |a| = −a, si a ≤ 0.Gráficamente corresponde a la distancia de a al origen.Definición 1.2.1 (distancia entre números reales). Dados a, b ∈ R, se llama distancia entre a y bal número real no negativo |a − b|. Gráficamente, |a − b| mide la distancia geométrica entre los puntos a y b. Recogemos las propiedades del valor absoluto que son de mayor interés para el resto del curso. Sia, b, c, d denotan números reales cualesquiera, se verifica: • |1| = 1; | − 1| = 1. • | − a| = |a|.
  13. 13. 1.2. Ordenación de los números reales 7 • −|a| ≤ a ≤ |a|. • |a| ≤ b ⇐⇒ −b ≤ a ≤ b. • |a| < b ⇐⇒ −b < a < b. • |a| > b ⇐⇒ a > b ó a < −b. • |a| ≥ 0. • |a| = 0 ⇐⇒ a = 0. • |ab| = |a| · |b|. • |a−1 | = |a|−1 siempre que a = 0. • a2 ≤ b2 ⇐⇒ |a| ≤ |b|. • a2 = b2 ⇐⇒ |a| = |b|.Desigualdad triangular. Si a y b son números reales cualesquiera, |a + b| ≤ |a| + |b|.Esta desigualdad es muy útil, como iremos viendo. La demostración es sencilla: según las propiedadesanteriores, −|a| ≤ a ≤ |a|, −|b| ≤ b ≤ |b|.Sumamos las desigualdades y resulta −|a| − |b| ≤ a + b ≤ |a| + |b|, es decir, −(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ (|a| + |b|).Usamos otra de las propiedades anteriores (|c| ≤ d ⇐⇒ −d ≤ c ≤ d, cambiando la notación) ydeducimos que |a + b| ≤ |a| + |b|.Desigualdad triangular inversa. Si a y b son números reales cualesquiera, |a| − |b| ≤ |a − b|.Esta desigualdad es consecuencia de la desigualdad triangular. En efecto: aplicando la desigualdadtriangular a los números b y a − b, resulta |a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b|,es decir, |a| − |b| ≤ |a − b|.Cambiando el papel de a y b, tenemos |b| − |a| ≤ |b − a| = |a − b|, es decir, −(|a| − |b|) ≤ |a − b|.De aquí se deduce que |a| − |b| ≤ |a − b|.
  14. 14. 8 Capítulo 1. Números reales1.2.3. Conjuntos acotados en R. El axioma del supremo Dado un subconjunto S de R y un número real a, si a ≤ s para todo s ∈ S se dice que a es unacota inferior de S y que S está acotado inferiormente (por a). Si b es otro número real y b ≥ s paratodo s ∈ S, se dice que b es una cota superior de S y que S está acotado superiormente (por b). Si unconjunto S está acotado superior e inferiormente, se dice que está acotado. Un número real m se dice que es el mínimo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es unacota inferior. Es decir, si m ∈ S y m ≤ s para todo s ∈ S. Se escribe entonces m = m´n S. ı Un número real M se dice que es el máximo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es unacota superior. Es decir, si M ∈ S y M ≥ s para todo s ∈ S. En ese caso, se escribe M = m´ x S. a Un número real a se dice que es el ínfimo de un conjunto S si es la mayor cota inferior del S. Esdecir, si a ≤ s para todo s ∈ S y cada a > a no es cota inferior de S; de modo que se tendrá a > spara algún s ∈ S. En ese caso, se escribe a = ´nf S. ı Dicho de otra forma, el ínfimo de un conjunto es el máximo del conjunto de cotas inferiores delprimero. Nótese que si a = ´nf S, será a = m´n S si y solo si a ∈ S. ı ı Un número real b se dice que es el supremo de un conjunto S si es la menor cota superior del S.Es decir, si b ≥ s para todo s ∈ S y cada b < b no es cota superior de S; de modo que se tendrá b < spara algún s ∈ S. Se escribe b = sup S. Dicho de otra forma, el supremo de un conjunto es el mínimo del conjunto de cotas superiores delprimero. Nótese que si b = sup S, será b = m´ x S si y solo si a ∈ S. a El axioma del supremo, o axioma de completitud de R, es la siguiente propiedad que caracterizala diferencia entre Q y R: • Todo subconjunto no vacío de R acotado superiormente tiene supremo.La propiedad simétrica (todo subconjunto no vacío de R acotado inferiormente tiene ínfimo) es con-secuencia de lo anterior.1.2.4. Propiedad arquimediana de R: consecuenciasTeorema 1.2.2 (propiedad arquimediana de R). Dados dos números reales a, b, con a > 0, existealgún número natural n tal que na > b.Demostración. Sean a, b ∈ R, con a > 0. Razonemos por reducción al absurdo: supongamos que la te-sis no es cierta, es decir, na ≤ b para todo número natural n, y veamos que se llega a una contradicción.En tal caso, el conjunto S = {na : n ∈ N}, que no es vacío, estaría acotado superiormente (por b), luegopor el axioma del supremo tendría supremo. Sea s este supremo, es decir, s = sup S = sup{na : n ∈ N}.Puesto que a > 0, s − a < s; según la definición de supremo, s − a ya no puede ser cota superior delconjunto S, de modo que existirá algún elemento en S estrictamente mayor que s − a. Dicho elementoserá de la forma ma con m ∈ N, y así s − a < ma. Pero esto implica que s < ma + a = (m + 1)a yobviamente (m + 1)a ∈ S, con lo cual s no es una cota superior de S. Hemos llegado a una contradic-ción. Aplicada al caso particular a = 1, la propiedad arquimediana muestra que el conjunto N de losnúmeros naturales no está acotado superiormente por ningún número real. Como consecuencia de la propiedad arquimediana se puede probar que todo número real estácomprendido entre dos enteros consecutivos.
  15. 15. 1.2. Ordenación de los números reales 9Teorema 1.2.3 (parte entera de un número real). Dado x ∈ R, existe un número entero (y uno solo),que suele denotarse con [x], tal que [x] ≤ x < [x] + 1.El número [x] se llama la parte entera de x.Demostración. La desigualdad del enunciado equivale a decir que [x] es el mayor número entero quees menor o igual que x. Para probar que existe, podemos utilizar uno cualquiera de los siguientescaminos: Primer camino. Comenzamos por observar que todo conjunto no vacío de números enteros aco-tado superiormente tiene un elemento máximo, como se deduce del principio de buena ordenación delos conjuntos minorados sin más que tomar opuestos. Pero el conjunto S = {n ∈ Z : n ≤ x}es no vacío, pues por la propiedad arquimediana existe n ∈ N tal que n > −x y así −n < x, luego−n ∈ S; además, S está acotado superiormente (por x o por cualquier número natural superior a x, sino queremos salirnos de Z). Por lo tanto, S tiene un elemento máximo, llamémosle m. Como m ∈ S, setendrá m ≤ x. Y como m es el máximo de S y m < m + 1, se deduce que m + 1 ∈ S, es decir, x < m + 1. / Segundo camino. Utilizamos que todos los números naturales son mayores o iguales que 1 (de-mostrarlo por inducción) y que los números naturales son justamente los enteros positivos. Llamandonuevamente S al conjunto de enteros menores o iguales que x, S es no vacío por el argumento anteriory está acotado superiormente por x; aplicando el axioma del supremo, S tiene un supremo, al quevamos a llamar s. Como s − 1 ya no es cota superior de S, por ser estrictemente menor que s, existirám ∈ S tal que s − 1 < m ≤ s. Pero m también es cota superior de S, dado que si algún n ∈ S verificasen > m obtendríamos m < n ≤ s < m + 1, de donde 0 < n − m < 1, y n − m sería un entero positivomenor que 1, imposible. Por tanto vemos que hay un elemento de S que es cota superior de S, es decir,que es el máximo de S, y como antes deberá cumplir m ≤ x < m + 1. La propiedad arquimediana permite también deducir cómo están distribuidos en R los númerosracionales.Teorema 1.2.4 (densidad de Q en R). Dados dos números reales a, b, con a < b, existe algún númeroracional r tal que a < r < b.Observación. Si existe tal r, podrá escribirse en la forma r = m/n con m ∈ Z y n ∈ N, de modo quetenemos que encontrar m ∈ Z y n ∈ N tales que a < m/n < b o, lo que es lo mismo, na < m < nb. Esintuitivamente claro, pensando en la representación gráfica de R, que entre dos números a distanciamayor que 1 siempre se puede incluir un número entero (suponiendo los dos números positivos, porejemplo, superponiendo el segmento unidad consigo mismo hacia la derecha, la primera vez quesobrepasemos el número más cercano al origen, no habremos sobrepasado el otro número). Esta es laidea que vamos a tratar de utilizar.Demostración. La propiedad arquimediana aplicada a b − a > 0 y a 1 nos asegura la existencia de unn ∈ N tal que n(b − a) > 1, con lo cual nb > na + 1. Sea ahora S = {p ∈ Z : p > na}. Este es un conjunto no vacío (¿por qué?) de números enterosacotado inferiormente en Z (¿por qué?); por lo tanto, posee un elemento mínimo. Llamando m = m´n S, ıpuesto que m ∈ S es m > na; y como es el mínimo de S, m − 1 no puede estar en S, lo que significa quem − 1 ≤ na. Pero entonces m ≤ na + 1 < nb; así pues, na < m < nb y finalmente a < m/n < b.
  16. 16. 10 Capítulo 1. Números reales1.2.5. Números irracionales Los números reales que no son racionales se llaman números irracionales. Veamos que existennúmeros irracionales. Ya sabemos que no hay ningún número racional cuyo cuadrado es 2, así quevamos a probar que sí hay un número real positivo cuyo cuadrado es 2. Este número tendrá que serirracional. Consideremos el conjunto S = {x ∈ R : x ≥ 0, x2 ≤ 2}. Este es un conjunto no vacío de númerosreales (por ejemplo, 1 ∈ S). Y está acotado superiormente, ya que si x ∈ S, x 2 ≤ 2 < 4 = 22 ,de donde se deduce que x ≤ 2. Es decir, 2 es una cota superior de S. Luego el conjunto S tiene supremo. Sea v = sup S; como 1 ∈ S, v ≥ 1 > 0. Comprobemos que no puede ser v2 > 2 ni v2 < 2. Si v2 > 2, entonces tomando h = m´n{v, (v2 − 2)/2v} se tendría h > 0, v − h ≥ 0 y ı (v − h)2 = v2 − 2vh + h2 > v2 − 2vh ≥ v2 − (v2 − 2) = 2 ≥ x2 ,para todo x ∈ S, de donde v − h ≥ x. Pero v − h no puede ser cota superior del conjunto S porque esmenor que su supremo. Si v2 < 2, entonces tomando h = m´n{v, (2 − v2 )/3v} se tendría h > 0, v + h > 0 y ı (v + h)2 = v2 + 2vh + h2 ≤ v2 + 2vh + vh = v2 + 3vh ≤ v2 + (2 − v2 ) = 2,o sea, v + h ∈ S. Pero esto no puede ser, porque v + h > v y en cambio para todo x ∈ S se tiene x ≤ v. Queda así como única posibilidad v2 = 2. Este número positivo cuyo cuadrado es 2 se representa √por 2.Teorema 1.2.5 (densidad de R Q en R). Dados dos números reales a, b, con a < b, existe algúnnúmero irracional x tal que a < x < b.Demostración. Sea y ∈ R Q cualquiera (ya hemos visto que existe alguno). Puesto que a − y < b − y,según el teorema 1.2.4 existe algún r ∈ Q tal que a − y < r < b − y, de donde a < r + y < b. Por último,r + y es un número irracional, ya que si fuera racional se tendría y = (r + y) + (−r) ∈ Q.1.2.6. Intervalos en R Reciben el nombre de intervalos los subconjuntos de R definidos del siguiente modo (a, b sonnúmeros reales cualesquiera): • intervalo acotado y abierto: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}; • intervalo acotado, cerrado por la izquierda y abierto por la derecha: [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}; • intervalo acotado, abierto por la izquierda y cerrado por la derecha: (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}; • intervalo acotado y cerrado: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}; • intervalo abierto, acotado inferiormente pero no superiormente: (a, +∞) = {x ∈ R : x > a}; • intervalo cerrado, acotado inferiormente pero no superiormente: [a, +∞) = {x ∈ R : x ≥ a}; • intervalo abierto, acotado superiormente pero no inferiormente: (−∞, b) = {x ∈ R : x < b};
  17. 17. 1.3. Apéndice: expresión decimal de un número real 11 • intervalo cerrado, acotado superiormente pero no inferiormente: (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}; • intervalo no acotado inferior ni superiormente: (−∞, +∞) = R.Nótese que si a > b, (a, b) = 0, de modo que el conjunto vacío es un intervalo. / Los intervalos de R se caracterizan por la propiedad de los valores intermedios:Proposición 1.2.6 (caracterización de los intervalos reales). Un subconjunto I de R es un intervalosi y solo si dados x, y ∈ I, cada z ∈ R tal que x ≤ z ≤ y también pertenece a I (dicho de otro modo:con cada dos valores están también todos los intermedios).Demostración. Para probar la implicación directa basta un examen de todos los casos. Por ejemplo,si I = (a, b), x, y ∈ I, y z ∈ R es tal que x ≤ z ≤ y, se tiene a < x ≤ z ≤ y < b, luego a < z < b y pordefinición z ∈ I. La implicación inversa es trivial en el caso de que I = 0. Suponemos, pues, I = 0. Pueden presen- / /tarse las siguientes situaciones: a) I es acotado; b) I es acotado superiormente pero no inferiormente;c) I es acotado inferiormente pero no superiormente; d) I no es acotado superior ni inferiormente.Veamos cada una de ellas. a) I es acotado. Sea a = ´nf I, b = sup I. Obviamente entonces (a, b) ⊆ I ⊆ [a, b], pues c ∈ ı(a, b) ⇐⇒ a < c < b, y por definición de supremo e ínfimo existirán un x ∈ I con x < c y un y ∈ Icon c < y, luego c ∈ I; por otra parte, también por definición de supremo e ínfimo, de x ∈ I se siguea ≤ x ≤ b, o sea, x ∈ [a, b]. Ahora, • si a, b ∈ I, [a, b] = (a, b) ∪ {a, b} ⊆ I ⊆ [a, b], luego I = [a, b]; • si a ∈ I, b ∈ I, [a, b) = (a, b) ∪ {a} ⊆ I ⊆ [a, b] {b} = [a, b), luego I = [a, b); • si a ∈ I, b ∈ I, (a, b] = (a, b) ∪ {b} ⊆ I ⊆ [a, b] {a} = (a, b], luego I = (a, b]; • si a ∈ I, b ∈ I, (a, b) ⊆ I ⊆ [a, b] {a, b} = (a, b), luego I = (a, b). b) I es acotado superiormente pero no inferiormente. Sea a = sup I, con lo que (−∞, a) ⊆ I ⊆(−∞, a], pues para cada z ∈ I es z ≤ a y dado z < a, existe y ∈ I con z < y (por definición de supremo)y existe x ∈ I con x < z (I no está acotado inferiormente), que con la hipótesis del enunciado da z ∈ I.En consecuencia, • si a ∈ I, (−∞, a] = (−∞, a) ∪ {a} ⊆ I ⊆ (−∞, a], luego I = (−∞, a]; • si a ∈ I, (−∞, a) ⊆ I ⊆ (−∞, a] {a} = (−∞, a), luego I = (−∞, a). /Los restantes casos se analizan de forma análoga: en c) se obtiene I = (a, +∞) o I = [a, +∞), dondea = ´nf I, y en d) queda I = R. ı1.3. Apéndice: expresión decimal de un número real En esta exposición seguimos esencialmente la que puede verse en [A POSTOL 2, págs. 13–15]. Los números reales de la forma a1 a2 an a0 + + 2 + · · · + n , 10 10 10donde a0 es un número entero no negativo y a1 , . . . , an son enteros que satisfacen 0 ≤ a j ≤ 9, seexpresan normalmente de la forma a0 , a1 a2 . . . an . Esta expresión se llama representación decimalfinita. Estos números son racionales, pero no todo número racional tiene una representación decimalfinita (véase [A POSTOL 2, págs. 13–14]).
  18. 18. 12 Capítulo 1. Números realesProposición 1.3.1 (aproximaciones decimales finitas de los números reales). Dado un número realx ≥ 0, para todo n ∈ N existe un decimal finito rn = a0 , a1 a2 . . . an tal que 1 rn ≤ x < rn + . 10nEn consecuencia, x = sup{rn : n ∈ N}.Demostración. Para construir los rn basta tomar a0 = [x], ak = [10k x] − 10[10k−1 x], 1 ≤ k ≤ n (verdetalles en [A POSTOL 2, págs. 14–15]). Por otra parte, x es cota superior de {rn : n ∈ N} por construcción, y es la menor de las cotas 1superiores porque si y < x es posible encontrar un n ∈ N de manera que 10n > (¿por qué?) y x−ypara este n es rn > y (¿por qué?). Que x es el supremo del conjunto {rn : n ∈ N} suele expresarse poniendo x = a0 , a1 a2 . . . an . . .y se dice entonces que a0 , a1 a2 . . . an . . . es una representación decimal infinita de x. En ciertos ca-sos, es posible obtener el mismo supremo para dos representaciones decimales infinitas distintas,ver [A POSTOL 2, pág. 15]. Para x = 0, suele tomarse como representación decimal 0, 00 . . . 0 . . .; y para x < 0, se parte de unarepresentación decimal de −x y se coloca un signo − delante. Hay una presentación más geométrica y computacional en [L AX, sec. 1.3]. Si en lugar de potencias de 10 se utilizan potencias de 2, se obtiene la representación binariade los números reales; la representación hexadecimal resulta al tomar potencias de 16. Ambas sonmuy importantes (especialmente la primera) en relación con los ordenadores. Pueden verse detallesen [A BELLANAS -G ALINDO, cap. 3] y [BARTLE -S HERBERT, pág. 73 y sigs.].1.4. EjerciciosEjercicio 1.1. Sea x ∈ R. Demostrar que si |x| ≤ ε para todo ε > 0, entonces x = 0. ¿Qué númerosreales x cumplen que x ≤ ε para todo ε > 0?Ejercicio 1.2. Decir si cada una de las siguientes expresiones es cierta o falsa: 30 30 100 a) ∑ j4 = ∑ j4 b) ∑ 2 = 200 j=1 j=0 j=0 20 20 100 100 2 c) ∑ (2 + j2 ) = 2 + ∑ j2 d) ∑ k2 = ∑k j=1 j=1 k=1 k=1Ejercicio 1.3. Expresar con notación de sumatorio: 1 1 1 1 a) + + +···+ b) 1 + 40 + 900 + 16 000 + 250 000 + 3 600 000 1·2 2·3 3·4 10 · 11 c) 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + 5x4 d) a5 + a4 b + a3 b2 + a2 b3 + ab4 + b5 e) a5 − a4 b + a3 b2 − a2 b3 + ab4 − b5 f) a0 x4 + a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4
  19. 19. 1.4. Ejercicios 13 1 1 1 n 1Ejercicio 1.4. Sabiendo que = − , hallar la suma de ∑ . j( j + 1) j j+1 j=1 j( j + 1)Ejercicio 1.5. Hallar las sumas siguientes (n ∈ N): n a) ∑ (2 j − 1) (usar la igualdad j2 − ( j − 1)2 = 2 j − 1, j ∈ N). j=1 n b) ∑ j (apoyarse en a)). j=1Ejercicio 1.6. Probar que xn −yn = (x−y)(xn−1 +xn−2 y+· · ·+xyn−2 +yn−1 ) para cada n ∈ N, x, y ∈ R.Escribir el segundo miembro con notación de sumatorio. Esta expresión recibe el nombre de fórmulao ecuación ciclotómiica. nEjercicio 1.7. Deducir de la ecuación ciclotómica la suma de ∑ x j , x = 1. Hacer operaciones en la j=0 n n nexpresión (1 − x) ∑ jx j para deducir la suma de ∑ jx j , x = 1. Análogamente en (1 − x) ∑ j2 x j para j=1 j=1 j=1 ndeducir la suma de ∑ j2 x j , x = 1. j=1Ejercicio 1.8. Demostrar por inducción las propiedades siguientes (n ∈ N): n n(n + 1)(2n + 1) n k+4 n(3n + 7) a) ∑ k2 = b) ∑ = . k=1 6 k=1 k(k + 1)(k + 2) 2(n + 1)(n + 2) 2 n n(n + 1) n a(rn − 1) c) ∑ k3 = . d) ∑ ar j−1 = (r = 1). k=1 2 j=1 r−1 n 1 √ 2n 1 (−1)k+1 e) ∑ √ ≥ n. f) ∑ = ∑2n k=1 . k=1 k k=n+1 k kEjercicio 1.9. Deducir de las ecuaciones 1=1 1 − 4 = −(1 + 2) 1−4+9 = 1+2+3 1 − 4 + 9 − 16 = −(1 + 2 + 3 + 4)una fórmula general sencilla que incluya las anteriores como casos particulares, y demostrarla me-diante el principio de inducción.Ejercicio 1.10. Probar la fórmula del binomio de Newton: para cada x, y ∈ R y cada n ∈ N, n n j n− j (x + y)n = ∑ xy . j=0 jDeducir de ella que: n n a) 1 + n + +···+ + 1 = 2n ; 2 n−1 n n b) 1 − n + + · · · + (−1)n−1 + (−1)n = 0. 2 n−1
  20. 20. 14 Capítulo 1. Números realesEjercicio 1.11. Demostrar que si un conjunto A de números naturales contiene a n0 y además cumplen ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, entonces A contiene a {n ∈ N : n ≥ n0 }. ¿Puede asegurarse siempre la igualdad deestos conjuntos?Ejercicio 1.12. Demostrar que 72n+1 − 48n − 7 (n ∈ N) es divisible por 48.Ejercicio 1.13. Demostrar que 22n + 15n − 1 (n ∈ N) es múltiplo de 9.Ejercicio 1.14. Desigualdad de Bernoulli: probar que para todo x > −1 y todo n ∈ N se verifica(1 + x)n ≥ 1 + nx.Ejercicio 1.15. Probar las siguientes desigualdades para n ∈ N: a) n! > 2n−1 (n ≥ 3) b) (2n)! < 22n (n!)2 √ √ c) n+ n−1+···+ 2+ 1 < n+1 nEjercicio 1.16. Sean x, y > 0 y para cada k, n ∈ N, sea αk,n = ∑ jk n j x j yn− j . j=0 a) Probar, mediante la fórmula del binomio de Newton, que α1,n = nx(x + y)n−1 . n b) Hallar α2,n . Sugerencia: calcular antes β2,n = ∑ j( j − 1) n j x j yn− j . j=0 c) Obtener un procedimiento para calcular αk,n para cualesquiera k, n ∈ N.Ejercicio 1.17. Desigualdad de Cauchy-Schwartz: probar que si x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ R, entonces 2 n n n ∑ x jy j ≤ ∑ x2j ∑ y2j . j=1 j=1 j=1Deducir que, si a2 + b2 = c2 + d 2 = 1, entonces |ac + bd| ≤ 1. n (2n + 1)2Ejercicio 1.18. Sea P(n) la propiedad ∑ k = . k=1 8 a) Probar que si P(n) es cierta, entonces P(n + 1) es cierta. b) Discutir la afirmación: se deduce por inducción que P(n) es cierta para todo n ∈ N.Ejercicio 1.19. Decidir para qué números naturales n es cierta la desigualdad 2n > n2 . Demostrarlopor inducción.Ejercicio 1.20. Comparar nn+1 y (n + 1)n para n ∈ N, y enunciar y demostrar qué desigualdad severifica entre ambos números.Ejercicio 1.21. Probar por inducción que si a1 , a2 , . . . , an son números reales positivos tales quea1 a2 . . . an = 1, entonces a1 + a2 + · · · + an ≥ n. Deducir de aquí que si x1 , x2 , . . . , xn son númerosreales no negativos cualesquiera, entonces x1 + x2 + · · · + xn √ ≥ n x1 x2 . . . xn , nes decir, su media aritmética es siempre mayor o igual que su media geométrica.
  21. 21. 1.4. Ejercicios 15 n 1Ejercicio 1.22. Probar que para todo número natural n es 1 + < 3. nEjercicio 1.23. Demostrar que el cardinal del conjunto de las partes de un conjunto que tiene nelementos es 2n .Ejercicio 1.24. Hallar las soluciones de las desigualdades siguientes: 1 x a) 2x2 + 9x + 6 ≥ x + 2 b) x + < 1 c) <0 x x+5 3x2 − 1 2x − 1 2x2 + 9x + 6 d) >0 e) ≤1 f) ≥1 1 + x2 3x + 2 x+2 x2 − 4x + 4 x−1 3x + 2 g) >0 h) ≤ 1 + x3 3x + 4 xEjercicio 1.25. Resolver las ecuaciones: x−1 x−1 a) |x2 − 5x + 6| = −(x2 − 5x + 6) b) = x+1 x+1 c) |(x2 + 4x + 9) + (2x − 3)| = |x2 + 4x + 9| + |2x − 3| d) |x − 1| |x + 1| = 0 e) |x − 1| |x + 2| = 3Ejercicio 1.26. Resolver las siguientes desigualdades: a) |x − 1| + |x + 1| < 1 b) |x − 5| < |x + 1| c) |3x − 5| < 3 d) |x2 − 1| < 1 e) |x2 − x + 1| > 1 f) 1 < |x − 1 | < 2 2 g) x − |x| > 2 h) |x2 − x| + x > 1 i) x + |x − 1| < 2 1 |x3 −1| j) 1+|x−1| < |x − 2| k) −1 ≤ x−1 ≤2Ejercicio 1.27. Estudiar para qué números reales x se cumple: |x| + 1 −2|x| + 1 a) <1 y < 1 b) 2x − |2x − 1| = −5x x xEjercicio 1.28. Calcular el supremo y el ínfimo, si existen, de los siguientes conjuntos, indicando sison máximo o mínimo respectivamente: a) { 1 : n ∈ N} ∪ {0} n b) { 2n+1 : n ∈ N} n √ c) {n ± 1 : n ∈ N} n d) {x ∈ Q : |x| < 2} ∪ {x ∈ Q : 1 x−5 > 7} e) { 1 + (−1)n : n ∈ N} n f) ∞ n=1 {x ∈ R : n2 x2 − n(3n − 1)x + (2n2 − 3n − 2) = 0} {(−1)n n +1 : n ∈ N} 2 g) { 1 : n ∈ N} n h) n+1 i) {x ∈ R : x2 + x − 1 < 0} j) {x ∈ R : x < 0, x2 + x − 1 < 0} k) {x ∈ R : x2 + x + 1 ≥ 0} l) ∞ n=1 −1, 1 n n m) ∞ n=1 −1, 1 n n n) ∞ 1 1 n=1 2n , 2n−1
  22. 22. 16 Capítulo 1. Números realesEjercicio 1.29. Sean A un conjunto, s = sup A y ε > 0. ¿Se puede asegurar que existe algún a ∈ Atal que s − ε < a < s? En caso afirmativo, demostrarlo. En caso negativo, dar un contraejemplo ymodificar las desigualdades anteriores para que sea cierto.Ejercicio 1.30. Sean A y B dos conjuntos no vacíos, acotados, de números reales. a) Demostrar que si A ⊆ B, entonces sup A ≤ sup B, ´nf A ≥ ´nf B. ı ı b) Probar que si x ≤ y para todos los x ∈ A, y ∈ B, entonces sup A ≤ y para todo y ∈ B; x ≤ ´nf B para todo x ∈ A ı y por lo tanto sup A ≤ ´nf B. ı c) Demostrar que si sup A < ´nf B, entonces que a < b para todos los a ∈ A, b ∈ B. Justificar si es ı cierto el recíproco.Ejercicio 1.31. a) Sean A y B dos conjuntos acotados de números reales. Definimos el conjunto A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}. Demostrar que sup(A + B) = sup A + sup B, ´nf(A + B) = ´nf A + ´nf B. ı ı ı b) Sean A = {x1 , x2 , . . . , xn } ⊆ R, B = {y1 , y2 , . . . , yn } ⊆ R, y consideremos el conjunto C = {x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn }. Demostrar que supC ≤ sup A + sup B, ´nfC ≥ ´nf A + ´nf B. ı ı ı Dar algún ejemplo que muestre que las desigualdades pueden ser estrictas.
  23. 23. Capítulo 2Funciones reales de una variable real.Generalidades2.1. Primeros conceptos2.1.1. Funciones. Clases particulares de funciones Recordemos que una aplicación f : A → B se define en términos conjuntistas como una terna(A, B, G f ), donde A, B son conjuntos dados, llamados respectivamente el dominio y el codominioo conjunto final de f , y G f , denominado gráfico o gráfica de f , es un subconjunto del productocartesiano A × B tal que para todo x ∈ A existe un elemento único y ∈ B de modo que (x, y) ∈ G f (eseelemento y unívocamente asociado a x suele denotarse por f (x) y se llama valor de la aplicación fen el punto x o imagen de x por f ).Definición 2.1.1. Una función real de variable real es una aplicación f : A → B con A, B ⊆ R. Informalmente, dar una función f supone dar: a) su dominio de definición A = dom f ; b) su codominio B (al que habitualmente prestaremos menor atención en este curso); c) una regla de correspondencia o regla de definición que permita asignar inequívocamente a cada elemento x de A, sin excepción, un elemento f (x) de B perfectamente determinado por x y f.Cambiar una cualquiera de estas tres cosas (el dominio, el conjunto final o la regla de definición) haceque la función cambie. Por ejemplo, si tenemos una función f : A → B y consideramos un subconjuntoS de A, la restricción de f a S es la función f |S : S → B tal que f |S (x) = f (x) para cada x ∈ S, queno es la misma función f (se ha cambiado el dominio), aunque venga dada por la misma regla decorrespondencia (a cada x de S, la restricción f |S hace corresponder el mismo valor que f ). En la práctica raras veces se muestra una función como una terna, tal como requeriría su definiciónformal: lo habitual es especificar su dominio y la regla que permite determinar el valor de la funciónen cada elemento del dominio (ver los comentarios de [BARTLE -S HERBERT, sec. 1.2, págs. 22–25]). Encuanto al conjunto final de una función, cuando no se mencione explícitamente se sobrentenderá quedicho conjunto es R. 17
  24. 24. 18 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades Suele chocar al principiante que a veces la regla de definición de una función aparece divididaen varias subreglas parciales (expresadas habitualmente mediante fórmulas), tendiendo a interpretarincorrectamente que se han definido tantas funciones como subreglas se enuncien. Por ejemplo, lafunción f : R → R tal que x, si x ≥ 0; f (x) = −x, si x < 0,es una sola función, la función valor absoluto, y no dos funciones, aunque sus valores coincidan enparte de su dominio (no en todo) con los que toman las dos funciones distintas g : x ∈ R → g(x) = x ∈ Ry h : x ∈ R → h(x) = −x ∈ R. Dada una función f , emplearemos la expresión « f está definida en S» como sinónimo de que S esun subconjunto de dom f . El dominio de f es, en este sentido, el mayor subconjunto de R en el que festá definida.Definición 2.1.2. Sea f una función con dominio A y sean S ⊆ A, T ⊆ R. Llamamos conjunto imagende S por f al conjunto f (S) = { f (x) : x ∈ S},y conjunto antiimagen de T por f al conjunto f −1 (T ) = {x : f (x) ∈ T },que será un subconjunto (eventualmente vacío) de A. El conjunto imagen del dominio de f suele denominarse, simplemente, conjunto imagen de f orango de f , y se denota a veces im f o rang f ; por tanto, se tiene im f = f (dom f ) = { f (x) : x ∈ dom f }. Una función f se dice inyectiva si elementos distintos de su dominio tienen siempre imágenesdistintas: es decir, si dados x, y ∈ dom f , de x = y se sigue f (x) = f (y); o, equivalentemente, si dadosx, y ∈ dom f , de f (x) = f (y) se sigue x = y. Una función f : A → B se dice suprayectiva si f (A) = B, o sea, si el conjunto final y el conjuntoimagen de f coinciden; dicho de otra forma, si cada elemento de B es imagen de algún (o algunos)elemento(s) de A. Una función se dice biyectiva si es simultáneamente inyectiva y suprayectiva.Ejemplos. La función identidad id : x ∈ R → id(x) = x ∈ R es trivialmente biyectiva. La función parteentera, que asocia a cada x ∈ R su parte entera (vista como aplicación de R en R) no es inyectiva nisuprayectiva.Definición 2.1.3 (función inversa). Dada una función inyectiva f : A → B, se llama función inversade f a la función f −1 : f (A) → A tal que f −1 (y) = x si y solo si f (x) = y. En términos más formales, f −1 sería la función dada por la terna ( f (A), A, G f −1 ), donde G f −1 ={(y, x) : (x, y) ∈ G f }, y G f es, por supuesto, la gráfica de f . Para ser rigurosos, deberíamos compro-bar que tal terna define efectivamente una función; esto es una consecuencia inmediata de que f esinyectiva. En muchos textos aparece definida la función inversa solamente para funciones biyectivas. Sinembargo, la práctica usual en análisis matemático recomienda ampliar la definición a todas las funcio-nes inyectivas, como acabamos de hacerlo. Obsérvese que, en cualquier caso, lo que hemos definido
  25. 25. 2.1. Primeros conceptos 19sería la función inversa de la función biyectiva f˜ : A → f (A) tal que f˜(x) = f (x), que, recordémoslo,salvo cuando f es además suprayectiva, es otra función —la biyección asociada a f — pues cambia elconjunto final.Observación. Dada una función inyectiva f : A → B, una función g es la inversa de f si y solo sig : f (A) → A y g( f (x)) = x para todo x ∈ A, f (g(y)) = y para todo y ∈ f (A).Representación gráfica de una función. Dada una función f , para cada x ∈ dom f el par ordenadode números reales (x, f (x)) puede interpretarse como coordenadas de un punto del plano respecto deun sistema de coordenadas cartesianas, de modo que la gráfica de f , es decir, {(x, f (x)) : x ∈ dom f },vendrá representada por un subconjunto del plano, que da la representación gráfica de la función f .Observar esta representación puede proporcionar a veces información interesante sobre f , por lo quemás adelante nos ocuparemos con detalle de la representación gráfica de funciones. El lector puede examinar cómo se refleja en su representación gráfica que una función es inyectivao suprayectiva, y qué relación hay entre las representaciones gráficas de una función inyectiva y la desu inversa.Tabulación de funciones. Cuando el dominio de una función es finito (y con un número no dema-siado elevado de elementos) es a menudo útil describir la función escribiendo en forma de tabla losvalores del dominio y a su lado, correlativamente, los valores de la función en cada uno de ellos. Así,por ejemplo, suele procederse en la recogida de datos experimentales, cuando se estudian dos magni-tudes de las cuales una depende de la otra y, de hecho, las tablas de correspondencias entre númeroso magnitudes son históricamente muy anteriores a la idea misma de función. También se procede a la tabulación de funciones aunque el dominio no sea finito, reflejando ental caso, por descontado, tan solo una parte finita del mismo. Cabe señalar que en la mayoría delas tablas de funciones que se usan en las ciencias, los valores de la función que aparecen en lastablas no son, por razones obvias, valores exactos, sino valores aproximados con un error que esnecesario controlar para poder utilizarlas adecuadamente. Existe una extensa bibliografía de libros detablas de funciones, sustituidos casi totalmente en la actualidad por los ordenadores e incluso por lascalculadoras científicas de bolsillo. Sin embargo, es muy conveniente conocer al menos uno de ellos,como [S PIEGEL -A BELLANAS]. Veamos ahora algunas clases particulares de funciones que aparecerán frecuentemente a lo largode todo el curso.Definición 2.1.4. Una función f se dice monótona no creciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom fcon x < y, es f (x) ≥ f (y). Una función f se dice monótona no decreciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom f con x < y,es f (x) ≤ f (y). Una función f se dice monótona estrictamente creciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom f conx < y, es f (x) < f (y). Una función f se dice monótona estrictamente decreciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom fcon x < y, es f (x) > f (y). Una función monótona es una función de uno cualquiera de los tipos anteriores. Por brevedad, siS ⊆ dom f , se dice que f es monótona en S si la restricción f |S es monótona.
  26. 26. 20 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades Función monótona no creciente Función estrictamente creciente Esta nomenclatura puede variar de unos textos a otros: por ejemplo, algunos autores llaman fun-ciones crecientes a las que nosotros denominamos monótonas no decrecientes, mientras que otrosutilizan el nombre de funciones crecientes para las que hemos definido como monótonas estrictamen-te crecientes. Hemos elegido por ello los nombres que nos parecen menos ambiguos para cada uno delos tipos considerados.Observación. La monotonía no es una propiedad puntual de la función, sino que es una propiedadglobal. Esto significa que solo tiene sentido decir que una función es monótona en un determinadoconjunto, no que es monótona en un punto del conjunto. La expresión función monótona en un puntocarece de significado.Ejemplo. Probar que la función f : R {0} → R definida mediante f (x) = 1/x es estrictamentedecreciente en (−∞, 0) y en (0, +∞). Pero no es estrictamente decreciente en R {0}, porque −1 < 1y sin embargo f (−1) < f (1). En general, dados dos conjuntos A, B ⊆ R y una función f : A ∪ B → R, si f es estrictamentedecreciente en A∪B, puede asegurarse que f es estrictamente decreciente en A y que f es estrictamentedecreciente en B. Pero si f es estrictamente decreciente tanto en A como en B, no puede asegurarse quef sea estrictamente decreciente en A ∪ B. Lo mismo puede decirse con los demás tipos de monotonía.Definición 2.1.5. Se dice que una función f está acotada superiormente si su conjunto imagen estáacotado superiormente. En otras palabras, si existe un número fijo M ∈ R tal que, simultáneamentepara todos los x ∈ dom f , se tiene f (x) ≤ M (por comodidad, suele decirse entonces que f estáacotada superiormente por M o que M es una cota superior de f , en lugar de decir que el conjuntoimagen de f está acotado superiormente por M o que M es una cota superior de dicho conjunto). Enteramente análoga es la definición de función acotada inferiormente. Por último, una función acotada es aquella que está acotada superior e inferiormente, es decir,aquella cuyo conjunto imagen está acotado, de manera que existen constantes m, M ∈ R tales quepara cada x ∈ dom f se tiene m ≤ f (x) ≤ M; equivalentemente, f está acotada si y solo si existe unK ∈ R tal que | f (x)| ≤ K para todo x ∈ dom f . El estudio de una función se simplifica cuando posee algún tipo de repetición. Concretamos estaidea en las siguientes definiciones.
  27. 27. 2.1. Primeros conceptos 21Definición 2.1.6. Sea f una función definida en R. Se dice que f es a) par si para cada x ∈ R se cumple f (−x) = f (x) (su gráfica es entonces simétrica respecto del eje de ordenadas); b) impar si para cada x ∈ R se cumple f (−x) = − f (x) (su gráfica es entonces simétrica respecto del origen de coordenadas); c) periódica de periodo T (T ∈ R {0}) si para cada x ∈ R se cumple f (x + T ) = f (x) (su gráfica puede obtenerse entonces por traslación reiterada de la gráfica en cualquier intervalo de longitud |T |). Función par Función imparObservación. Toda función f : R → R puede escribirse, además de manera única, como suma de unafunción par (su componente par) y una función impar (su componente impar). Concretamente, lascomponentes par e impar son f (x) + f (−x) fP (x) = , 2 f (x) − f (−x) fI (x) = . 2Es inmediato comprobar que fP es par, fI es impar y f = fP + fI . Para ver que la descomposición esúnica, supongamos que f = g + h, con g par h impar. Entonces, f (x) + f (−x) [g(x) + h(x)] + [g(−x) + h(−x)] g(x) + h(x) + g(x) − h(x) fP (x) = = = = g(x) 2 2 2y de la misma manera se comprueba que fI = h. Nótese que la definición de función par y de función impar puede ampliarse de manera obvia afunciones f cuyo dominio sea simétrico (respecto al origen de coordenadas), es decir, tal que −x ∈dom f siempre que x ∈ dom f . Función periódica
  28. 28. 22 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades2.1.2. Operaciones con funciones Dadas dos funciones f y g, podemos construir a partir de ellas nuevas funciones de diferentesmaneras. Para nosotros, las más útiles son las que a continuación exponemos.Definición 2.1.7. La composición de f y g, denotada g ◦ f , es la función con dominio dom(g ◦ f ) = f −1 (dom g)dada por (g ◦ f )(x) = g ( f (x))para cada x ∈ dom(g ◦ f ) (obsérvese que tales x son justamente aquellos para los que g ( f (x)) tienesentido).Definición 2.1.8. La suma de f y g, denotada f + g, es la función con dominio dom( f + g) = dom f ∩ dom gdada por ( f + g)(x) = f (x) + g(x)para cada x ∈ dom( f + g) (obsérvese que tales x son justamente aquellos para los que f (x) + g(x)tiene sentido). Totalmente similar es la definición de la diferencia f − g y del producto f g de f y g.Definición 2.1.9. El cociente de f y g, es la función f /g con dominio dom( f /g) = (dom f ∩ dom g) g−1 (0)dada por f (x) ( f /g)(x) = g(x)para cada x ∈ dom( f /g) (obsérvese una vez más que tales x son exactamente aquellos para los quef (x)/g(x) tiene sentido). En algunos textos, se da el nombre de dominios naturales a los dominios anteriormente definidos.Ejemplo. Consideremos las funciones f , g : R → R dadas por f (x) = x2 − 1, g(x) = x + 1. Su cocientees la función f (x) x2 − 1 h(x) = = , g(x) x+1definida para x ∈ R −1. Observemos que h(x) = x − 1 en todo su dominio. Sin embargo, h no esexactamente la función x − 1, porque el dominio de esta función es R y el dominio de h es R −1.2.1.3. Ejemplos de funcionesSucesiones Son funciones cuyo dominio es el conjunto N de los números naturales. Desempeñan un destacadopapel en la elaboración de nuestra teoría, y a ellas dedicaremos específicamente el capítulo siguiente.
  29. 29. 2.1. Primeros conceptos 23Funciones constantes Son las que asignan a todos los valores de su dominio un mismo valor fijo, es decir, aquellasfunciones f para las que existe un a ∈ R tal que f (x) = a para todos los x ∈ dom f . ¿Puede una función constante ser inyectiva, suprayectiva o biyectiva? ¿Cómo es su representacióngráfica? ¿Es monótona? ¿De qué tipo? ¿Es acotada? ¿Es par, impar, periódica?Función identidad Dado un conjunto A ⊆ R, la identidad en A es la función tal que f (x) = x para cada x ∈ A. ¿Es la identidad siempre inyectiva, suprayectiva o biyectiva? ¿Es monótona? ¿Es acotada? ¿Cómoes su representación gráfica? ¿Cuál es su inversa?Potencias de exponente entero Dado un número natural n, la función f : x ∈ R → xn ∈ R (producto de n funciones iguales a laidentidad) tiene distinto comportamiento según n sea par o impar. Para n = 2k − 1, k ∈ N, la funcióng : x ∈ R → x2k−1 ∈ R es estrictamente creciente y, por tanto, inyectiva. También es suprayectiva,aunque ahora no estamos todavía en condiciones de demostrarlo fácilmente. Sin embargo, la función h : x ∈ R → x2k ∈ R no es inyectiva (es una función par), aunque larestricción de h a [0, +∞) es estrictamente creciente (luego inyectiva), y tiene por imagen el conjunto[0, +∞), como justificaremos más adelante. La potencia de exponente 0 es la función constante con valor siempre igual a 1. Para exponentenegativo, n = −m con m ∈ N, se define 1 1 x ∈ R {0} → xn = = ∈ R. xm x−nRaíces Dado k ∈ N, se puede probar que la función g : x ∈ R → x2k−1 ∈ R es biyectiva. Por tanto, poseeuna función inversa f : R → R, denominada raíz (2k − 1)-ésima; su valor en un punto x ∈ R se denota √ √por 2k−1 x o x1/(2k−1) . De acuerdo con su definición, se tiene y = 2k−1 x si y solo si y2k−1 = x. Sin embargo, puesto que la función h : x ∈ R → x2k ∈ R no es inyectiva, no puede hablarse deraíz 2k-ésima en todo R. No obstante, la restricción de h a [0, +∞) es estrictamente creciente (luegoinyectiva), y tiene por imagen el conjunto [0, +∞): su inversa es la que llamamos función raíz 2k-ésima, de modo que dicha función tendrá ahora por dominio [0, +∞). Es decir, solo está definida en √un número real x si x ≥ 0: su valor en dicho punto se representa por 2k x o x1/(2k) excepto para el caso √ √k = 1 (raíz cuadrada), que se usa abreviadamente x. Nótese que siempre es x ≥ 0 y, en general, √ 2k x ≥ 0.Funciones polinómicas y funciones racionales Las funciones que pueden obtenerse mediante sumas y productos de funciones constantes y de laidentidad en R reciben el nombre de funciones polinómicas. Por tanto, f es una función polinómica(o polinomio) si y solo si existen a0 , a1 , . . . , an ∈ R tales que f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn
  30. 30. 24 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidadespara cada x ∈ R (también suelen denominarse funciones polinómicas las restricciones de las anterioresa cualquier subconjunto de R.) Las funciones racionales son aquellas que pueden expresarse como cociente de dos funcionespolinómicas. Su dominio es todo R salvo un conjunto finito (quizás vacío): el conjunto de los ceros oraíces del denominador. Es habitual utilizar el mismo nombre para las restricciones de estas funcionesa subconjuntos cualesquiera.Funciones algebraicas Reciben este nombre las funciones tales que se pueden encontrar polinomios p0 , p1 , . . . , pn demanera que para todo x ∈ dom f se verifica p0 (x) + p1 (x) f (x) + · · · + pn (x) f (x)n = 0. Obsérvese que las raíces anteriormente definidas quedan dentro de esta clase.2.2. Funciones trascendentes Las funciones que vamos a describir ahora, aunque quedan como las anteriores dentro de las quesuelen denominarse genéricamente funciones elementales, y en buena parte son conocidas por ellector, requieren para su construcción técnicas de las que no disponemos todavía. No podemos, pues,definirlas, pero vamos a emplearlas admitiendo de momento que existen y tienen las propiedades queenunciamos.2.2.1. Funciones exponencial y logarítmicaFunción exponencial La función exponencial, exp : R → R,que construiremos más adelante, aparece en la descripción de los fenómenos en los que la variaciónde una magnitud es proporcional al valor de dicha magnitud. El número exp(1) se denota por e. Es irracional; más todavía, es trascendente, lo que significa queno existe ningún polinomio con coeficientes enteros que se anule en e. Sus primeras cifras decimalesson 2, 7182818284590452353602874713526624977572 . . .(sobre su historia, ver [M AOR]). En lugar de exp(x) suele escribirse ex .Proposición 2.2.1 (propiedades de la exponencial). a) e0 = 1. b) Para cada x ∈ R, 1 = e−x , ex y, en particular, ex = 0. c) Dados x, y ∈ R, ex+y = ex · ey .
  31. 31. 2.2. Funciones trascendentes 25 d) Dados n ∈ N y x ∈ R, n enx = ex · · ·ex . e) Para cada x ∈ R, ex > 0. f) La función exponencial es estrictamente creciente. En particular, es inyectiva. g) El conjunto imagen de la función exponencial es (0, +∞).Función logarítmica La función logarítmica log : (0, +∞) → Res la inversa de la función exponencial, de modo que log x = y si y solo si ey = x. Por tanto, está caracterizada por cumplir log(ex ) = x cualquiera que sea x ∈ Ry elog x = x cualquiera que sea x ∈ (0, +∞). Sus propiedades son consecuencia de las de la función exponencial.Proposición 2.2.2 (propiedades del logaritmo). a) log 1 = 0; log e = 1. b) Para cada x ∈ (0, +∞), 1 log = − log x. x c) Dados x, y ∈ (0, +∞), log(xy) = log x + log y. d) Dados n ∈ N y x ∈ (0, +∞), log(xn ) = n log x. e) El conjunto imagen de la función logarítmica es R. f) La función logarítmica es estrictamente creciente. En particular, es inyectiva.Funciones exponencial y logarítmica de base cualquieraDefinición 2.2.3. Dado un número real a > 0, la función exponencial de base a se define mediantela igualdad ax = ex log a . Cuando a > 1, esta función tiene propiedades similares a la función exponencial anteriormenteestudiada; si a = 1, es una función constantemente igual a 1, y si a < 1, la diferencia esencial con lafunción exponencial de base e estriba en que la función exponencial de base a es entonces estricta-mente decreciente. Propiedades interesantes que se obtienen directamente de la definición y de lo que hemos vistopara las funciones ex y log x son las siguientes:
  32. 32. 26 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades 10 8 exp 6 4 log 2 1 1 2 4 6 8 10 Las funciones exponencial y logaritmoProposición 2.2.4 (propiedades de las potencias). Dados a, b, x, y ∈ R con a > 0, b > 0, a) (ab)x = ax bx . b) (ax )y = axy .Definición 2.2.5. Dado a > 0, a = 1, la función logarítmica de base a se define en (0, +∞) mediantela fórmula log x loga x = . log a Es inmediato comprobar que esta función es la inversa de la función exponencial de base a. Comopropiedad adicional interesante se tiene: dados a, b, x ∈ R con 0 < a = 1 y b > 0, loga (bx ) = x loga b.2.2.2. Funciones trigonométricas. Funciones trigonométricas inversasFunciones trigonométricas Reciben este nombre una serie de funciones de origen geométrico, ligadas con las medidas deángulos y la descripción de fenómenos periódicos. La función seno sen : R → Ry la función coseno cos : R → Rserán definidas más adelante. De momento, admitimos sin demostración que satisfacen las propieda-des que pasamos a enunciar.
  33. 33. 2.2. Funciones trascendentes 27Proposición 2.2.6 (propiedades del seno). a) El seno es una función impar, mientras que el co- seno es una función par: cualquiera que sea x ∈ R se tiene sen(−x) = − sen x, cos(−x) = cos x. b) Para cada x ∈ R es sen2 x + cos2 x = 1. c) Existe un número real positivo, denotado por π, tal que sen π = 0 y sen x = 0 si 0 < x < π. Este número π es irracional (y trascendente) y sus primeras cifras decimales son 3, 14159265358979 . . . El número π, «área del círculo de radio 1, es de lejos la constante más célebre de las mate- máticas. Aparecida inicialmente en Geometría, interviene hoy en los dominios más variados: análisis, teoría de números, probabilidades y estadística, combinatoria, etc. Los más grandes matemáticos se han interesado desde hace más de 2000 años por los problemas planteados por este número» ([L E L IONNAIS, pág. 50]). d) cos π = −1. e) Las funciones sen y cos tienen por conjunto imagen el intervalo [−1, 1]. f) Dados x, y ∈ R tales que x2 + y2 = 1, existe un α ∈ R de modo que cos α = x, sen α = y (gráficamente, esto significa que las funciones seno y coseno que hemos definido se correspon- den con las utilizadas en trigonometría). g) Fórmulas de adición: dados x, y ∈ R, sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y h) Las funciones sen y cos son periódicas de periodo 2π. i) La función sen es estrictamente creciente en [0, π/2] y estrictamente decreciente en [π/2, π]. j) La función cos es estrictamente decreciente en [0, π/2] y estrictamente creciente en [π/2, π]. Damos ahora una tabla de algunos valores particulares de estas funciones. grados x sen x cos x 0 0 √ 0 √ √ 1 √ 15 π/12 4 ( 6 − 2) 1 4 ( √ + 2) 1 6 30 π/6 √ 1/2 √3/2 45 π/4 √2/2 2/2 60 π/3 3/2 1/2 90 π/2 1 0

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