1. Universidad de San Carlos
Facultad de Ingeniería
Resistencia de Materiales 1
Sección: N
Ing. Yefry Rosales
Aux. Eduardo Machuca
INVESTIGACION
TIPOS DE APOYOS Y ECUACIONES DE MOMENTO, CORTE Y
FLEXION
NOMBRE: Juan Pablo Godoy Ocampo
CARNET: 2002-12074
Guatemala 26 de junio del 2009

2. ANALISIS DE ESTRUCTURAS RÍGIDAS
Definición
Viga
Una viga es un miembro estructural donde las cargas aplicadas son
principalmente perpendiculares al
eje, por lo que el diseño predominante es a flexión y corte (véase
Figura 1); si las cargas no son perpendiculares se produce algo de
fuerza axial, pero esta no es determinante en el diseño.
Figura 1. Flexión (a) y corte en vigas (b) y (c) (Nota: Según Ingeniería
Simplificada. Para Arquitectos y Constructores. (p. 92) , por
Parker, H. y Ambrose, J. 1995. México D.F., México: Editorial LIMUSA,
S.A. de C.V.)
Pórtico
Se conoce como pórtico al conjunto de vigas y columnas en el cual las
uniones son rígidas y su diseño
está gobernado por flexión en las vigas y flexocompresión en las
columnas
Ecuaciones de equilibrio
El equilibrio es uno de los requisitos que debe cumplir una estructura,
lo cual implica que la resultante
de las fuerzas externas es cero y no existe un par de fuerzas; al
descomponer en un plano cada fuerza y cada
par en sus componentes rectangulares, se encuentra las condiciones
necesarias y suficientes para el equilibrio
de un cuerpo rígido se pueden expresar también por las tres
ecuaciones siguientes:
Σ = 0 x F ; Σ = 0 y F ; Σ = 0 pto M (Ec. 1)

3. Estas ecuaciones expresan el hecho de que las componentes de las
fuerzas externas en las direcciones x
y y, así como los momentos de las fuerzas externas están en
equilibrio. Por tanto, el sistema de fuerzas
externas no impartirá ni movimiento de traslación ni de rotación al
cuerpo rígido considerado (Beer y
Johnston, 1979; Das, Kassimali y Sami, 1999).
Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 10
Universidad de Los Andes, Venezuela Prof. Jorge O. Medina
El uso de la condición de equilibrio en una estructura permite realizar
el proceso analítico esencial en
un problema estructural. En la etapa inicial se pueden conocer las
fuerzas que se generan en los apoyos para
hacer que la estructura este en equilibrio.
Tipos de apoyos
Los apoyos de vigas, son los elementos que le proporcionan la
estabilidad a la viga y por lo general, se
encuentran en los extremos o cerca de ellos. Las fuerzas en los
apoyos que se generan son productos de las
cargas aplicadas y se llaman reacciones y equilibran las cargas
aplicadas. Analíticamente estas reacciones
representan las incógnitas de un problema matemático.
Las reacciones se pueden dividir en tres grupos que corresponden al
tipo de apoyo que se está
empleando (Das, Kassimali y Sami, 1999).
Reacciones formada por una fuerza de dirección conocida
Los apoyos y conexiones que causan reacciones de este tipo son:
rodillos, balancines, superficies
lisas, bielas y cables cortos. Estos apoyos solo impiden el movimiento
en una dirección. Las reacciones de
este grupo solo proporcionan una incógnita, que consiste en la
magnitud de la reacción y se pueden dirigir en
uno u otro sentido a lo largo de la dirección conocida.

4. Tipos de vigas
Las vigas empleadas en una estructura pueden clasificarse según su
número de reacciones en dos
grupos: isostática e hiperestáticas, dentro de cada grupo hay una
variedad de formas que varían según el tipo y
posición de los apoyos. De manera general, encontramos dos tipos de
vigas isostáticas, mientras que las
hiperestáticas pueden ser de 5 (véase Figura 4). La figura muestra en
forma esquemática los diferentes tipos y
también la forma que cada viga tiende a adoptar a medida que se
deforma bajo la carga (Parker y Ambrose,
1995).

5. 1 Condición requerida para la realización de un análisis estructural, al
ser la estabilidad el segundo
requisito que debe cumplir una estructura.
2 Estas ecuaciones se obtienen del estudio de la mecánica de los
sólidos deformables o resistencia de
materiales.
3 Condición necesaria pero no suficiente para considerar que la viga
sea estable.
FUNDAMENTO TEÓRICO
Las vigas son elementos estructurales sujetos principalmente a flexión.
Consideremos la viga de la Figura 1 cuya sección transversal es
prismática.
Figura 1 Viga en cantiliver sujeta a flexión.
Analizando el diferencial de longitud ds se puede establecer la
siguiente relación:
(1)
donde:
k = Curvatura
r = Radio de curvatura.
dq = Incremento del ángulo de rotación q .

6. El ángulo de rotación q del eje longitudinal de la viga en cualquier
punto m1 es aquel comprendido entre el eje x y la tangente de la curva
elástica. Este ángulo es positivo en sentido dexógiro y negativo en
sentido destrógiro.
Si observamos ahora la Figura 2 podemos establecer que la primera
derivada de la deflexión con respecto a x es la pendiente de la curva
elástica.
Figura 2 Diferencial de la viga sujeta a flexión.
También, podemos aseverar que el valor del diferencial de longitud ds
es aproximadamente igual al del diferencial dx. De lo anterior
reescribimos la Ecuación 1:
(2)
Debido a lo pequeño del valor del ángulo de giro dentro de nuestro
diferencial, el valor de la tangente de dicho ángulo es el ángulo mismo.
Esto nos lleva a establecer:
(3)
Derivando la expresión anterior con respecto a x y sustituyendo en la
Ecuación 2, tendremos:
(4)

7. La Ecuación 4 asocia la curvatura y la deflexión en la viga. Si la viga
está compuesta de un material linealmente elástico, podemos escribir
la siguiente relación:
(5)
donde:
M= Momento flector.
E= Módulo de elasticidad del material.
I= Momento de inercia alrededor del eje de flexión.
A la Ecuación 5 se le conoce como la ecuación de la curva elástica.
Derivando esta ecuación podemos encontrar los valores de la fuerza
cortante V y la carga q que actúan en la viga.
(6)
(7)
Las convenciones de signos utilizadas en las ecuaciones anteriores
son mostradas en la Figura 3.
Figura 3 Convención de signos utilizada en el análisis de vigas sujetas
a flexión.

8. Una viga sujeta a flexión presentará dos componentes importantes en
su deflexión, la de corte y la de momento. En la mayoría de los casos,
con excepción de las vigas donde la relación longitud-peralte es
pequeña, la aportación a la deformación por corte se desprecia. Para
el cálculo de las deflexiones existen varios métodos de análisis tales
como: doble integración, área-momento, viga conjugada y trabajo
virtual. Centraremos nuestra atención en dos métodos cuya aplicación
es sumamente sencilla y rápida.
Método del trabajo virtual. Supongamos que sobre el sistema elástico
de la Figura 1 actúan varias fuerzas externas (Q1... Qn). Si
simultáneamente sobre el sistema se aplica una carga unitaria (P=1)
en el lugar donde se desea conocer la deformación. El principio de
trabajo virtual establece que el trabajo externo es igual al trabajo
interno.
(8)
donde:
F= fuerzas internas en el sistema causadas por las fuerzas externas
actuantes.
f= fuerzas internas causadas por la carga virtual unitaria.
e= deformación causada por el total de las fuerzas internas.

9. Figura 4 Derivación del teorema de trabajo virtual.
Considerando solamente las fuerzas externas reales,
(9)
Sustrayendo la Ecuación 9 de la Ecuación 8, el resultado indica que la
deformación en el punto de interés es igual a la sumatoria del producto
de las fuerzas internas causadas por una carga virtual unitaria y las
deformaciones reales del sistema.
(10)
Para vigas sujetas a flexión, donde la deformación es causada
principalmente por efecto del momento flector actuante y en menor
grado por la fuerza de corte, la expresión anterior se escribe como:
(11)
donde:
m= Momento flector virtual.
M= Momento flector real.
v= Fuerza de corte virtual.
V= Fuerza de corte real.
E= Módulo de elasticidad.
I= Momento de inercia de la sección transversal de la viga.
A= Area de la sección transversal de la viga.
G= Módulo de corte elástico o módulo de rigidez.
L= Longitud de la viga.

10. La aplicación del método del trabajo virtual para obtener deflexiones
en vigas se puede resumir de la siguiente manera:
1. Encontrar las ecuaciones de momento y corte producidas
por las fuerzas reales.
2. Remover las fuerzas reales y colocar una carga virtual
unitaria en el lugar y la dirección donde se desea
determinar la deflexión. Determinar las ecuaciones de
momento y corte virtual.
3. Calcular la deflexión utilizando la Ecuación 11. Un valor
positivo indicará que la dirección de la deflexión es la
misma que la de la carga virtual, en caso contrario, la
dirección es opuesta.
Examinando la Ecuación 11, podemos inferir que la deflexión de una
viga aumentará si se aumenta su longitud o se incrementa la magnitud
de las fuerzas actuantes, mientras que si su momento de inercia con
respecto al eje de flexión y el módulo elástico de material que la
conforma se incrementan, esta tiende a disminuir.
Método de la viga conjugada. Con este método se pueden encontrar
giros y deflexiones mediante la resolución de los cortantes y
momentos de una "viga conjugada" sujeta a una carga elástica. La
analogía entre la viga real y la conjugada se basa en la similaridad
existente entre la obtención de la ecuación de la curva elástica a partir
de la curvatura y la obtención del momento a partir de la carga
aplicada y se sustenta en las equivalencias contenidas en la Tabla 1.
Tabla 1 Equivalencias que sustentan el método de la viga conjugada.
Viga real Viga conjugada
Curvatura (M/EI) Carga (q)
Pendiente (q ) Fuerza cortante (V)
Deflexión (u ) Momento flector (M)
Las condiciones de frontera debidas a la fuerza en la viga real y al
desplazamiento en la viga conjugada deben también ser equivalentes.
>

11. Tabla 2 Equivalencia entre las condiciones de frontera de la viga real y
la viga conjugada.
> Viga conjugada
Viga real
Soporte simple (q ¹ 0, u =0) Soporte simple (V=0, M=0)
Extremo libre (q ¹ 0, u ¹ 0) Extremo empotrado (V¹ 0, M¹ 0)
Extremo empotrado (q =0, u =0) Extremo libre (V=0, M=0)
Articulación intermedia (q ¹ 0, u ¹ 0) Soporte intermedio (V¹ 0, M¹ 0)
Soporte intermedio (q ¹ 0, u =0) Articulación intermedia (V¹ 0, M=0)
La carga elástica consiste en aplicar como carga el diagrama de
momentos de la viga original dividido entre su rigidez a la flexión (EI).
En la Figura 5 se ilustra gráficamente lo anterior.
Figura 5 Equivalencias entre la viga real y la viga conjugada.
Una vez aplicada la carga elástica a la viga conjugada encontramos la pendiente de un
cierto punto de la deformada de la viga real calculando el cortante en ese mismo punto en la
viga conjugada. De manera similar, si deseamos la deflexión en un cierto punto debemos
calcular el momento flector de ese lugar en la viga conjugada.
Si tomamos como convención el origen de la viga en su extremo izquierdo, el sentido
positivo del eje x hacia la derecha y el sentido positivo del eje y hacia abajo entonces una
deflexión hacia abajo es positiva y una pendiente positiva corresponde a un giro de la viga
en el sentido de las manecillas del reloj.