Derivadas

DERIVACIÓN Sección 3.1-3.2 Stewart Cuarta Edición Tomado de Miriam Benhayón (UNIMED) Para el curso de Cálculo diferencial UNIANDES Marcos Alejo Sandoval

RECTA TANGENTE A UNA CURVA y f(x) f(a+h) Donde h tiende a cero... f(a) a a+h x f(a + h) − f(a) msec = h

PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO X CUALQUIERA f ’(x) f(x + h) − f(x) m tang = lim h →0 h Este límite representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en un punto x cualquiera perteneciente al dominio de f(x)

ECUACIÓN DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO X=a y − f(a) = f '(a)(x − a) ejercicio Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábloa y=x2 en el punto (-2,4)

TANGENTE VERTICAL Si una curva f(x) posee una tangente vertical en x=a de su dominio, entonces se cumple: lim = f '(x) = ∞ x →a

REGLAS DE DERIVACIÓN • SE UTILIZAN PARA HALLAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN SIN NECESIDAD DE HALLAR EL LÍMITE CUANDO h TIENDE A 0…. • Permiten encontrar f ’(x) de forma rápida.

NOTACIÓN df(x) f '(x) = = Dx f(x) dx

REGLAS DE DERIVACIÓN Derivada de una función de la forma f(x)=xn n Si f(x) = x , entonces : n −1 f' (x) = nx NOTA : Si f(x) =x, entonces : f' (x) =1 Si f(x) =N, entonces : f' (x) =0

REGLAS DE DERIVACIÓN Regla del múltiplo constante K ,de la forma: g(x) = K . f(x) g(x) =Kf(x) df(x) g' (x) =Kf´(x) =K dx

REGLAS DE DERIVACIÓN Regla de la suma algebraica de funciones: Sean f(x) y g(x) : (f(x) ± g(x))' = f ' (x) ± g' (x)

PROBLEMA 1 Encuentre la derivada de las siguientes funciones: a. f(x) = x 2 + 4x + 1 5 3 2 b. f(x) = 3 x − 2x + x2 3 5 6 c. f(x) = x + 5 x

PROBLEMA 2 ¿En qué puntos la siguiente función tiene una recta tangente con pendiente horizontal ? f(x) = x − 3x 3

PROBLEMA 3 Halle el punto en el cual la recta tangente a la curva dada es paralela al eje x f(x) = x − 2x + 3 2

CONSIDERACIÓN Si la derivada es nula en un punto de un intervalo (mtan=0), f(x) presentará una tangente horizontal en ese punto. Si f´(c) = 0, f(x) tendrá una tangente horizontal en x=c

TEOREMA Si f(x) es DERIVABLE en x=a, entonces necesariamente es CONTINUA en ese punto El recíproco no necesariamente es cierto

PROBLEMA 4 ¿En qué puntos del dominio la función representada puede ser?: • a. ¿Derivable? • b. ¿Continua pero no F(x) derivable? • c. ¿Ni continua ni derivable? x -3 1 3

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL Si f(x) = ex, entonces f ´ (x) = ex

REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS f(x) = cosx f' (x) = − senx g(x) = senx g' (x) = cosx h(x) = tanx h' (x) = sec x 2 z(x) = secx z' (x) = secx.tanx G(x) = cotanx G' (x) = − csc 2 x F(x) = cscx F' (x) = −cscx.cotanx

PROBLEMA 5 Encuentre la derivada de las siguientes funciones: 2 3 a. f(x) = secx- 2 + tanx + 1 − sen x 2 x 5 3 b. f(x) = 6 − 2senx + x9 2 + cosx 1 x c. f(x) = + e senx 3

REGLAS DE DERIVACIÓN Regla del producto de funciones: Sean f(x) y g(x) : (f(x) ×g(x))' = f' (x) ×g(x) + f(x) ×g' (x) Ejemplo: f(x)=x 3 cos(x) F(x)=e x .tanx

REGLAS DE DERIVACIÓN Regla del cociente de funciones: Sean f(x) y g(x) : '  f(x)  f' (x) ×g(x) − f(x) ×g' (x)   g(x)  =    ( g(x)) 2 Ejemplos: f(x)=x3 / cos(x) F(x)=3ex/(tanx-2)

PROBLEMA 6 Aplique las reglas de derivación para hallar f ´ : a. f(x) = 2xsenx (3x 3 − 4) b. f(x) = senx x c. f(x) = 3 2− x

PROBLEMA 6 -RESPUESTAS a. f´(x) = 2(senx + xcosx) 9x senx − (3x − 4)cosx 2 3 b. f´(x) = 2 sen x 1 -1/2 −1 −2 x (2 − 3x ) − x (3x ) 1/2 c. f´(x) = 2 −1 2 (2 − 3x )

PROBLEMA 7 Aplique las reglas de derivación para hallar f ´ : (x − 1)(x + 3) a. f(x) = (xsecx) 3tanx 5 b. g(x) = − x senx- -x 2 x e 2 cscx c. F(x) = + 6e x 3 4x

PROBLEMA 8 aplique las reglas de derivación para hallar la derivada de las funciones dadas : 5xcosx a. g(x) = 2 x 6xtanx b. F(x) = x + 3senx

PROBLEMA 9 Un problema interesante… Dada f(x) y las condiciones que se indican, encuentre f’(4) f(x) = x .g(x), g(4) = 2 , g´(4) =3, f´(4)=?

REFLEXIONES El más preciado derecho en el mundo es el derecho a estar equivocado. (Harry Weinberger, 1917) Caer está permitido, levantarse es obligatorio... (Anónimo)

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Derivadas

by Alex Rivadeneira

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