FRM Lecture 2

892 views

Published on

Lectures in financial risk management, EUSP, 2011 (in Russian)

Published in: Education
0 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
892
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
25
Actions
Shares
0
Downloads
28
Comments
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

FRM Lecture 2

  1. 1. Управление финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaRУправление финансовыми рисками Адекватность моделей Развитие моделей Занятие 2 Недостатки и альтернативы А.В. Сурков Факультет экономики Европейский университет в Санкт-Петербурге 18 апреля 2011 г.
  2. 2. УправлениеСодержание финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Развитие моделей Недостатки иМодели ценности под риском альтернативы Методы расчета ценности под риском Проверка адекватности моделей ценности под риском Развитие моделей ценности под риском Недостатки моделей ценности под риском и альтернативные меры риска
  3. 3. УправлениеСодержание финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Развитие моделей Недостатки иМодели ценности под риском альтернативы Методы расчета ценности под риском Проверка адекватности моделей ценности под риском Развитие моделей ценности под риском Недостатки моделей ценности под риском и альтернативные меры риска
  4. 4. УправлениеОбщий обзор методов финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Развитие Аналитические методы – методы локальной оценки моделей Недостатки и Линейные модели альтернативы Нелинейные модели Численные методы – методы полной переоценки актива Метод Монте-Карло Расчет по исторической информации Bootstrapping
  5. 5. УправлениеЛокальный метод (1) финансовыми рисками А.В. Сурков Пусть Модели VaR фактор риска S имеет какое-то распределение Расчет VaR Адекватность ценность инвестиции V монотонно зависит от S, моделей Развитие мы можем определить изменение VaRα (δS) для моделей Недостатки и заданной доверительной вероятности α, такое что, альтернативы более экстремальные значения δS, приводящие к таким же или большим убыткам, могут реализоваться лишь с вероятностью 1 − α Тогда ∂V VaRα (δV ) = · VaRα (δS) ∂S Достоинства: Простота Распределение ценности инвестиции имеет тоже распределение, что и фактор риска
  6. 6. УправлениеЛокальный метод (2) финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Достоинство: в случае нормального распределения Расчет VaR Адекватность легко обобщается портфель из нескольких активов и моделей Развитие моделей на несколько факторов риска – дельта-нормальный Недостатки и альтернативы метод Недостаток: локальный метод не учитывает нелинейные эффекты Учет следующего члена – метод дельта-гамма ∂V 1 ∂2V VaRα (δV ) = · VaRα (δS) − · [VaRα (δS)]2 ∂S 2 ∂S 2 Недостаток: не учитывает экстремальные сценарии
  7. 7. УправлениеМетоды полной переоценки актива финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Локальный метод не учитывает нелинейные эффекты Развитие моделей Недостатки и Метод полной переоценки актива альтернативы δV = V (S0 + δS) − V (S0 ) Метод Монте-Карло Расчет по исторической информации Bootstrapping
  8. 8. УправлениеМетод Монте-Карло финансовыми рисками А.В. Сурков Выбираем случайный процесс, управляющий Модели VaR Расчет VaR движением цен базового актива. Например: Адекватность моделей Развитие моделей dS/S = µdt + σdW Недостатки и альтернативы Моделируем достаточное количество реализаций в течение интересующего периода времени √ δS/S = µδt + σφ δt, φ ∼ N(0, 1) Рассчитываем финальную стоимость производного финансового инструмента для всех реализаций Определяем VaR для заданной доверительной вероятности
  9. 9. УправлениеПример: $100 в индекс РТС на 1 день финансовыми рисками А.В. Сурков104 Модели VaR Расчет VaR103 Адекватность моделей Развитие102 моделей Недостатки и альтернативы101100 99 98 97 96 95 94 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
  10. 10. УправлениеМетода Монте-Карло: достоинства и финансовыми рискаминедостатки А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaRДостоинства: Адекватность моделей Факторы риска могут иметь произвольное поведение Развитие моделей Недостатки и Возможно моделирование портфелей из разных альтернативы инструментов Допускаются нелинейные платежи и платежи, зависящие от истории изменения цен Возможен учет экстремальных сценариевНедостатки: Требовательность к вычислительным мощностям Чувствительность к предположениям относительно случайных процессов и их корреляций
  11. 11. УправлениеРасчет по исторической информации финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Ближайшее будущее похоже на прошлое!? Развитие моделей Недостатки и Предполагаем, что в будущем доходности портфеля альтернативы будут такими же, как и в прошлом Строим гистограмму и вычисляем VaR Возможность взвешивать наблюдения: например, если есть сезонность, можно данным из сезона, на который осуществляется прогноз приписывать больший вес
  12. 12. УправлениеРасчет по исторической информации: финансовыми рискамидостоинства и недостатки А.В. СурковДостоинства: Модели VaR Расчет VaR Простота Адекватность моделей Возможность моделирования экстремальных Развитие моделей Недостатки и событий в будущем, если они уже происходили в альтернативы прошлом Нет предположений относительно распределений и корреляцийНедостатки: Зависимость от периода, за который имеются данные Замедленная реакция на структурные сдвиги Невозможность учета экстремальных событий, если их еще не было Как быть с производными инструментами?
  13. 13. УправлениеBootstrapping финансовыми рисками А.В. Сурков Историческая информация: доходности n базовых Модели VaR активов в определенные моменты в прошлом Расчет VaR Адекватность моделей Извлекаем вектор доходностей n базовых активов в Развитие моделей случайный момент времени Недостатки и альтернативы Используем для построения первого шага траекторий всех n базовых активов в будущем Снова извлекаем вектор доходностей n базовых активов в случайный момент времени Так строим траектории цен базовых активов до нужного временного горизонта Повторяем процесс для получения нужного числа реализаций Рассчитываем VaR по итоговым ценностям портфеля
  14. 14. УправлениеBootstrapping: достоинства и недостатки финансовыми рискамиДостоинства: А.В. Сурков Факторы риска могут иметь произвольное поведение Модели VaR Расчет VaR Возможно моделирование портфелей из разных Адекватность моделей инструментов Развитие моделей Недостатки и Допускаются нелинейные платежи и платежи, альтернативы зависящие от истории изменения цен Нет предположений относительно распределений и корреляцийНедостатки: Зависимость от периода, за который имеются данные Необходимость большого объема исторической информации для генерации достаточного количества траекторий, однако чем больше объем, тем больше зависимость от старых данных
  15. 15. УправлениеПочему оценки VaR могут содержать ошибки финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Неточности в исторических данных или в оценке Развитие моделей параметров Недостатки и альтернативы Отклонение от предположений аналитической модели: распределение, нелинейности Генерация сценариев методом Монте-Карло, не соотвествующих заявленным характеристикам Недостаточное количество данных для расчета по исторической информации или bootsrapping
  16. 16. УправлениеBacktesting финансовыми рисками А.В. СурковКак проверить, насколько хорошо то значение VaR, что Модели VaRмы получили с помощью нашей модели? Расчет VaR Адекватность моделей Пусть VaR определяется для доверительной Развитие моделей вероятности α. Недостатки и альтернативы Тогда p0 = 1 − α – вероятность превышения VaR, если VaR откалибрована правильно. Подсчитываем количество превышений VaR n в N ˆ наблюдениях H0 : VaR откалибрована правильно, p = p0 . Пусть n > Np0 . H1 : VaR откалибрована неправильно ˆ и p > p0 H1 : VaR откалибрована неправильно и p = p0
  17. 17. УправлениеБиномиальное распределение финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaRПри H0 распределение количества превышений x в Адекватность моделейвыборке из N наблюдений Развитие моделей Недостатки и альтернативы fN,p0 (x) = Cn p0 (1 − p0 )N−x x x x N! Cn = , x = 0, 1, . . . , N x!(N − x)! Ex = Np0 Vx = Np0 (1 − p0 )
  18. 18. УправлениеПлотность биномиального распределения финансовыми рисками А.В. Сурков 0,09 Модели VaR Расчет VaR 0,08 Адекватность моделей Развитие 0,07 моделей Недостатки и 0,06 альтернативы 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 N = 500, p0 = 0.05
  19. 19. УправлениеФункция распределения финансовыми рисками А.В. Сурков 1 Модели VaR Расчет VaR 0,9 Адекватность моделей 0,8 Развитие моделей Недостатки и 0,7 альтернативы 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 N = 500, p0 = 0.05
  20. 20. УправлениеКвантили биномиального распределения (1) финансовыми рисками А.В. СурковЗададимся уровнем значимости α ≡ α. Модели VaR Верхняя односторонняя квантиль для уровня Расчет VaR + Адекватность значимости α – это BN,p0 (α ): моделей Развитие моделей Недостатки и N N альтернативы fN,p0 (x) ≤ α , fN,p0 (x) > α + + x=BN,p (α ) x=BN,p (α )−1 0 0 Нижняя односторонняя квантиль для уровня − значимости α – это BN,p0 (α ): − − BN,p (α ) BN,p (α )+1 0 0 fN,p0 (x) ≤ α , fN,p0 (x) > α x=0 x=0
  21. 21. УправлениеКвантили биномиального распределения (2) финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность Распределение не меняется при одновременной моделей Развитие моделей замене Недостатки и альтернативы p0 → 1 − p0 , x →N −x + − BN,p0 (α ) = N − BN,1−p0 (α ) Функция Excel БИНОМ.ОБР(N; p0 ; α ) возвращает − BN,p0 (α ) + 1. − BN,p0 (α ) =БИНОМ.ОБР(N; p0 ; α ) − 1 + BN,p0 (α ) = N−БИНОМ.ОБР(N; 1 − p0 ; α ) + 1
  22. 22. УправлениеКвантили биномиального распределения (3) финансовыми рисками А.В. Сурков 0,09 Модели VaR Расчет VaR 0,08 Адекватность моделей Развитие 0,07 моделей Недостатки и 0,06 альтернативы 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 − + N= 500, p0 = 0.05, BN,p0 (0.01) = 13, BN,p0 (0.01) = 38
  23. 23. УправлениеПроверка гипотезы H0 : p = p0 относительно финансовыми рискамиодносторонней альтернативы H1 : p > p0 А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность + моделей Если n ≤ ˆ BN,p0 (α ) − 1, то H0 отвергнуть не можем. Развитие моделей + Недостатки и Если n ≥ ˆ BN,p0 (α ), то H0 отвергаем в пользу H1 . альтернативы Или через p-value π N π= fN,p0 (x) x=ˆ n Если π > α , то H0 отвергнуть не можем Если π ≤ α , то H0 отвергаем в пользу H1 Excel: π = 1−БИНОМ.РАСП(ˆ − 1; N; p0 ; 1) n
  24. 24. УправлениеПроверка гипотезы H0 : p = p0 относительно финансовыми рискамидвусторонней альтернативы H1 : p = p0 А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR − + Адекватность Если BN,p0 (α /2) + 1 ≤ n ≤ BN,p0 (α /2) − 1, то H0 ˆ моделей Развитие отвергнуть не можем. моделей Недостатки и альтернативы + − Если n ≥ BN,p0 (α /2) или n ≤ BN,p0 (α /2), то H0 ˆ ˆ отвергаем в пользу H1 . Или через p-value π (point-probability method) π = fN,p0 (ˆ) + n fN,p0 (x) x:fN,p0 (x)<fN,p0 (ˆ) n π > α , то H0 отвергнуть не можем. π ≤ α , то H0 отвергаем в пользу H1 .
  25. 25. УправлениеПример финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность Для портфеля из индекса РТС стоимостью $100 моделей Развитие VaR95% = 4.2. моделей Недостатки и альтернативы Пусть из N = 500 наблюдений, в n = 29 случаях ˆ превышен порог потерь. Верно ли, что p = 1 − 95%? Пусть α = 0.1. + BN,p0 (α ) = 32; 29 ≤ 31; π = 0.23; H0 против H1 отвергнуть не можем − + BN,p0 (α /2) = 16; BN,p0 (α /2) = 34; 17 ≤ 29 ≤ 33; H0 против H1 отвергнуть не можем
  26. 26. УправлениеБорьба с отсутствием нормальности финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Развитие моделей Недостатки и альтернативы Использование распределения Стьюдента Использование смеси нормальных распределений Отказ от предположения i.i.d.
  27. 27. УправлениеКластеризация волатильности финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Развитие Сегодняшняя волатильность положительно моделей Недостатки и коррелирует с вчерашней альтернативы Имеет смысл рассматривать условную волатильность – волатильность при условии ближайшего прошлого EWMA – exponentially weighted moving average GARCH – generalised autoregressive conditional heteroscedasticity
  28. 28. УправлениеПример: дневной доходность индекса РТС финансовыми рисками А.В. Сурков 0,2 Модели VaR Расчет VaR 0,15 Адекватность моделей Развитие 0,1 моделей Недостатки и альтернативы 0,05 0 -0,05 -0,1 -0,15 -0,2 04.09.1995 04.09.1996 04.09.1997 04.09.1998 04.09.1999 04.09.2000 04.09.2001 04.09.2002 04.09.2003 04.09.2004 04.09.2005 04.09.2006 04.09.2007 04.09.2008 04.09.2009 04.09.2010
  29. 29. УправлениеEWMA финансовыми рисками А.В. Сурков Сегодняшняя оценка волатильности Модели VaR ˆ2 2 σ2 σt = (1 − λ) rt−1 + λˆt−1 , 0≤λ≤1 Расчет VaR Адекватность моделей Развитие моделей RiskMetrics: λ = 0.94 для дневных данных Недостатки и альтернативы Или, более практично: n (1 − λ)τ rt−τ 2 τ =1 ˆ2 σt = n (1 − λ)τ τ =1 λ = 0.94, C = 0.002, λn < C ⇒ n = 100 Для ковариации ˆ2 σ2 σij,t = (1 − λ) ri,t−1 rj,t−1 + λˆij,t−1
  30. 30. УправлениеПример: сглаженная волатильность для финансовыми рискамииндекса РТС А.В. Сурков Модели VaR 0,2 Расчет VaR Адекватность моделей 0,15 Развитие моделей 0,1 Недостатки и альтернативы 0,05 0-0,05 -0,1-0,15 -0,2 04.09.1995 04.09.1996 04.09.1997 04.09.1998 04.09.1999 04.09.2000 04.09.2001 04.09.2002 04.09.2003 04.09.2004 04.09.2005 04.09.2006 04.09.2007 04.09.2008 04.09.2009 04.09.2010
  31. 31. УправлениеОтступление: RiskMetrics финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Развитие моделей Недостатки и альтернативы Бесплатная услуга, предлагавшаяся в 1994 г. JPMorgan для продвижения VaR RiskMetrics Technical Document + обновляющаяся ковариационная матрица для нескольких сотен факторов риска Затем отдельная фирма – консалтинг и программное обеспечение 2010: Morgan Stanley Capital International (MSCI, http://www.msci.com/, рассчитывает MSCI Global Equity Indices) приобретает RiskMetrics за $1.55 млрд.
  32. 32. УправлениеGARCH финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Методом максимального правдоподобия Адекватность моделей оцениваются уравнения Развитие моделей Недостатки и альтернативы 2 2 2 rt = c+θ(L)rt−1 +φ(L) t , σt = ω+α(L) t−1 +β(L)σt−1 Пример: доходность индекса РТС ˆt r = 0.002 + 0.13 rt−1 (s.e.) (3·10−4 ) (0.02) σt = 1.4 · 10−5 + 0.15 ˆ2 2 t−1 2 + 0.84 σt−1 (s.e.) (10−6 ) (8·10−3 ) (8·10−3 )
  33. 33. 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 005.09.199505.09.199605.09.199705.09.199805.09.199905.09.200005.09.200105.09.200205.09.2003 Пример: EWMA vs. GARCH05.09.200405.09.200505.09.200605.09.200705.09.200805.09.200905.09.2010 моделей моделей Развитие Расчет VaR рисками Модели VaR Недостатки и Адекватность альтернативы Управление А.В. Сурков финансовыми
  34. 34. УправлениеПрименение EWMA и GARCH финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Развитие моделей Аналитическая модель VaR Недостатки и альтернативы Моделирование по историческим данным с использованием стандартизированных доходностей (деленных на волатильность) Моделирование методом Монте-Карло с соответствующими ковариационными матрицами
  35. 35. УправлениеНедостатки VaR финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Развитие Не описывает наибольших убытков: дневная VaR95% моделей Недостатки и превышается в среднем в один день из 20 альтернативы Не описывает распределение потерь в хвосте : разные распределения могут давать одинаковые значения VaR Измеряется с ошибкой и подвержена модельному риску
  36. 36. УправлениеТребования к мере риска ρ(X ) финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Развитие моделей Недостатки и Монотонность: X1 ≤ X2 ⇒ ρ(X1 ) ≥ ρ(X2 ) альтернативы Трансляционная инвариантность: ρ(X + k) = ρ(X ) − k Однородность: ρ(bX ) = bρ(X ) Субаддитивность: ρ(X1 + X2 ) ≤ ρ(X1 ) + ρ(X2 )
  37. 37. УправлениеПочему VaR не всегда субаддитивна? финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Если доходности распределены нормально – Развитие моделей субаддитивность есть. Недостатки и альтернативы Пример, когда ее нет: пусть есть три облигации A, B, C номиналом $100 и вероятностью дефолта 0.5%. События дефолта независимы. Для каждой из облигаций VaR99% =?
  38. 38. УправлениеПочему VaR не всегда субаддитивна? финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Если доходности распределены нормально – Развитие моделей субаддитивность есть. Недостатки и альтернативы Пример, когда ее нет: пусть есть три облигации A, B, C номиналом $100 и вероятностью дефолта 0.5%. События дефолта независимы. Для каждой из облигаций VaR99% =? Для каждой из облигаций VaR99% = $0 Для портфеля из трех облигаций VaR99% =?
  39. 39. УправлениеПример: VaR не всегда субаддитивна финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Состояние Вероятность Потери Развитие моделей Недостатки и Нет дефолта 0.9850749 $0 альтернативы 1 дефолт 0.0148504 $100 2 дефолта 0.0000746 $200 3 дефолта 0.0000001 $300 VaR99% = $100
  40. 40. УправлениеАльтернативные меры риска (1) финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Все распределение ⇒ набор VaR для возрастающих Расчет VaR Адекватность доверительных вероятностей моделей Развитие моделей Условная VaR – ожидаемые потери, при условии, что Недостатки и альтернативы они превосходят VaR. −VaRα 1 CVaRα = E [X |X < −VaRα ] = xf (x) dx 1−α −∞ Субаддитивна Пример: для $100 в индексе РТС ожидаемые потери сверх VaR95% = 4.2 равны CVaR95% = $6.6.
  41. 41. УправлениеПример финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Развитие моделей Пусть даны 30 доходностей за период (в %): Недостатки и альтернативы −16, −14, −10, −7, −7, −5, −4, −4, −4, −3, −1, −1, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 12, 14, 18, 23, 21 VaR90% =?, CVaR90% =?
  42. 42. УправлениеПример финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Развитие моделей Пусть даны 30 доходностей за период (в %): Недостатки и альтернативы −16, −14, −10, −7, −7, −5, −4, −4, −4, −3, −1, −1, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 12, 14, 18, 23, 21 VaR90% =?, CVaR90% =? VaR90% = 10, CVaR90% = 15
  43. 43. УправлениеАльтернативные меры риска (2) финансовыми рисками А.В. Сурков Стандартное отклонение Модели VaR Расчет VaR N Адекватность 1 2 моделей SD = (xi − EX ) Развитие N −1 моделей Недостатки и i=1 альтернативы Субаддитивна Учитывает все наблюдения, а не только в хвосте. Недостаток: не отличает прибыли от убытков Полустандартное отклонение – учитывает только потери N 1 SDL = [min (xi , 0)]2 NL i=1 Менее популярна, чем VaR

×