• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Alexander hernandez100213
 

Alexander hernandez100213

on

  • 273 views

analisis numerico

analisis numerico

Statistics

Views

Total Views
273
Views on SlideShare
273
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
0
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Alexander hernandez100213 Alexander hernandez100213 Document Transcript

    • UNIVERSIDAD FERMIN TORO ÁREA: TECNOLOGÍA ESTUDIOS A DISTANCIAASIGNATURA: ANÁLISIS NUMÉRICO Unidad IV Realizado por: Alexander Hernández C.I. 10565198
    • POLINOMIOS INTERPOLANTESEn análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en laforma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubiertomás tarde por Leonhard Euler en 1783.Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto depuntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador deLagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma deLagrange.Dado un conjunto de k + 1 puntosdonde todos los xj se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma deLagrange es la combinación lineal.de bases polinómicas de Lagrange
    • EjemploLa función tangente y su interpolador.Se desea interpolar en los puntosCon cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro(es decir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de labase polinómica.La base polinómica es:
    • Así, el polinomio interpolador se obtiene simplemente como lacombinación lineal entre los y los valores de las abscisas
    • DIFERENCIAS DIVIDIDASEn análisis numérico, la interpolación polinómica es una técnica de interpolaciónde un conjunto de datos o de una función por un polinomio. Es decir, dado ciertonúmero de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento sepretende encontrar un polinomio que pase por todos los puntos.Dada una función f de la cual se conocen sus valores en un número finito deabscisas x0,x1,...,xm, se llama interpolación polinómica al proceso de hallar unpolinomio pm(x) de grado menor o igual a mSea una variable discreta de elementos y sea otra variable discretade elementos los cuales corresponden, por parejas, a la imagen u ordenada yabcisa de los datos que se quieran interpolar, respectivamente, tales que:Este método es muy algorítmico y resulta sumamente cómodo en determinadoscasos, sobre todo cuando se quiere calcular un polinomio interpolador de gradoelevado.El polinomio de grado resultante tendrá la formadefiniendo comoy definiendo comoLos coeficientes son las llamadas diferencias divididas.Una vez se hayan realizado todos los cálculos, nótese que hay (muchas) másdiferencias divididas que coeficientes . El cálculo de todos los términosintermedios debe realizarse simplemente porque son necesarios para poderformar todos los términos finales. Sin embargo, los términos usados en laconstrucción del polinomio interpolador son todos aquellos que involucren a .
    • FORMULA DE NEWTONSea pk(x) el polinomio de interpolacion en los puntos x0; x1; : : : ; xk (grado maximo= k). Considerando pk(x); pk 1(x) y su diferencia : qk(x) = pk(x) pk 1(x)vemos que para los puntos x0; x1; : : : ; xk 1 tenemos que: pk 1(xi) = yi = pk(xi); 06i6k 1 y tambien que para el siguiente punto xk tenemos que pk(xk) = yk, sinconocerse el valor a priori que pueda tener pk 1(xk). Por tanto, el polinomio qk(x) veri ca : qk(xi) = pk(xi) pk 1(xi) = yi yi = 0; 06i6k 1 Ahora bien, qk(x) es un polinomio de grado maximo k ya que es la resta de dospolinomios, pk(x) de grado k y pk 1(x) de grado k 1 y segun se acaba de ver se anulaen los k puntos anteriores tiene con lo cual se puede expresar de la siguiente forma : k 1 Y qk(x) = ak(x x0)(x x1) (x xk 1) = ak (x xi) i=0Por otra parte, en el punto xk se cumple qk(xk) = pk(xk) pk 1(xk) = ak(xk x0)(xk x1) (xk xk 1) ydespejando entonces ak de esta ultima identidad tenemos : yk pk 1(xk) ak = (x x0)(x x1) (x xk 1) con lo cual podemos poner : pk(x) = pk 1(x) + qk(x) donde lo que parece complicado es calcular el ak, que ser a el coe ciente kde x en el polinomio pk(x) pero para esto se puede utilizar las diferenciasdivididas:De nicion 1. Dada la funcion f de la cual se conoce su valor en los puntos x0; x1; : : : ;xk,se llama diferencia dividida de f en los puntos x0; x1; : : : ; xk al valor ak = f[x0;x1; ; xk] y se calcula recursivamente como sigue :
    • f[xi] = f(xi) = yi f[x ] f[xi] f[xi; xi+1] = i+1 x x i+1 i f[x ; x ; ;x ] = f[xi+1; xi+2; ; xi+k] x f[xi; xi+1; x ; xi+k 1] i i+1 i+k i+k iEjemplo. El calculo de las diferencias divididas para cuatro puntos se ordenar a comosigue :Solucion: x0 ! y0 = f[x0] & f[x0; x1] & x1 ! y1 = f[x1] % f[x0; x1; x2] & f[x1; x2] % f[x0; x1; x2; x3] x2 ! y2 = f[x2] f[x1; x2; x3] % f[x2; x3] x3 ! y3 = f[x3] Podemos abordar entonces el calculo del polinomio de interpolacion en lospuntos (x0; y0), (x1; y1),(x2; y2),: : : ; (xn; yn) de la siguiente forma :p0(x) = a0 = f[x0] = f(x0) = y0p1(x) = p0(x) + a1(x x0) = f[x0] + a1(x x0) = f[x0] + f[x0; x1](x x0)p2(x) = p1(x) + a2(x x0)(x x1) = f[x0] + a1(x x0) + a2(x x0)(x x1) = = f[x0] + f[x0; x1](x x0) + f[x0; x1; x2](x x0)(x x1) . ..pn(x) = a0 + a1(x x0) + a2(x x0)(x x1) + + an(x x0)(x x1) : : : (x xn 1) = pn(x) = f[x0] +f[x0; x1](x x0) + f[x0; x1; x2](x x0)(x x1) + + f[x0; x1; ; xn](x x0)(x x1) : : : (x xn 1) o tambien de forma mas concisa : n i 1 p (x) = X f[x ; x ; : : : ; x ] Y (x x) n i=0 0 1 i j=0 j que se denomina formula de interpolacion de Newton en diferencias divididas. Para la evaluacion del polinomio de interpolacion en su forma de Newton endiferencias divididas pn(x) = f[x0]+ f[x0; x1](x x0)+ + f[x0; x1; : : : ; xn](x x0)(x x1) (xxn 1) usaremos el anidamiento del esquema de Ru ni{Horner :
    • pn(z) = ( (an(z xn 1) + an 1)(z xn 2) + + a1)(z x0) + a0 para la evaluacion en un punto z, y donde se ha puesto ak = f[x0; : : : ; xk]. Observese que se necesitan n productos y 2n? sumas/restas.Ejemplo. Obtener una formula para la suma de los cuadrados de los primerosnumerosnaturales. n P 2 n(n+1)(2n+1)Solucion: Sabemos que k = y como queremos obtenerla por interpolacion 6 k=1construimos un conjunto de valores segun los diferentes valores de n. Como elpolinomio ha de ser el mismo para cualquier posible ordenacion de los puntos,elegimos el siguiente orden: n y f[xi; xi+1] f[xi; xi+1; xi+2] f[xi; : : : ; xi+3] f[xi; : : : ; xi+4] 3 ! 14 9 2 ! 5 23=6 50=3 1=3 5 ! 55 19=6 0 54=4 1=3 1 ! 1 23=6 29=3 4 ! 30 El polinomio es por tanto: 23 1 p(x) =14 + 9(x 3) + 6(x 3)(x 2) + 3(x 3)(x 2)(x 5) = (1) =2x + 3x + 6x = x(x + 1)(2x + 1) 3 2 6 6 como cabr a esperar.Ejemplo. Obtener por interpolacion el valor para x = 3 conocidos los valores x0 = 0; y0 =1;x1 = 1; y1 = 0; x2 = 2; y2 = 7; x3 = 4; y3 = 63.Solucion: Por la formula de Newton tenemos, sustituyendo ya el valor x = 3 : x y f[xi; xi+1] f[xi; xi+1; xi+2] f[xi; : : : ; xi+3] 0 1 1
    • 1 0 3 7 1 2 7 7 28 4 63El valor del polinomio es por tanto: p(3) = 1 + 1:(3) + 3:3:(2) + 1:(3):(2):(1) = 26 (2)que es lo mismo que se obtuvo con Lagrange, logicamente .
    • POLINOMIOS INTERPOLANTES DE NEWTON-GREGORY Y GAUSS La fórmula usa la notación, que es el número de combinaciones de s cosas tomadas de n a la vez, lo que lleva a razones factoriales. Donde s viene dada por: x es el valor a interpolar el polinomio obtenido; Xo viene a ser el punto de partida para seleccionar los valores , que serán seleccionados de la tabla de diferencias, formando una fila diagonal hacia abajo en el caso de la fórmula de avance; en caso de la fórmula de retroceso los valores forman una fila diagonal hacia arriba y a la derecha. Y ha viene a ser la longitud o distancia entre los valores de xi Polinomio Interpolante de Gauss Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método de Newton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo la fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zig-zag. En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así sucesivamente. A continuación se tiene las fórmulas de avance y retroceso del Polinomio Interpolante de Gauss.
    • INTERPOLACIÓN DE HERMITELa interpolación de Hermite es un método de interpolación. Consiste en buscar un polinomio porpedazos que sea cúbico en cada subintervalo y quecumpla en los puntos , donde es la función que se quiere interpolar.La función queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de lasolución de sistemas lineales de ecuaciones de tamaño cada uno.La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad delos lo cual no es el caso en muchas aplicaciones.