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Statistique epfc 2013 ch1_ch2
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Statistique epfc 2013 ch1_ch2

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CH1 et CH2 du cours 1ere Compta

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  • 1. E.P.F.C.Chargé de cours: A.Alexandrowicz 2012-2013
  • 2. Artemus Ward
  • 3.  Origines et définitions  «Status», Etat en latin, apparaît en français en 1771.  Initialement concerne les affaires de l’Etat Historique Dès 3000 av J.C. en Mésopotamie, se poursuit en Chine et dans l’Empire Romain  Au XIXe Siècle 1er Congrès International de la Statistique  uniformiser les techniques de compilation des statistiques (Adolphe Quételet)
  • 4.  Terminologie Statistiques ≠ Statistique Statistique descriptive v.s. Statistique inductive Population et recensement  Les véhicules automobiles immatriculés en Belgique  La population des P.M.E. dun pays  Les salariés dune entreprise  Les habitants dun quartier Individu, unité statistique
  • 5.  Critères (caractères): propriétés des individus Ex1: Etude du personnel d’une entreprise d’après leur ancienneté Ex2: Parc automobile d’une entreprise d’après la marque des voitures  Peut être quantitatif (variable statistique) ou qualitatif (caractère statistique): Ex1: poids, taille, résultats d’examen,… Ex2: couleur de carrosserie d’une voiture, la nationalité,… Variable statistique discrète ou continue EX1: Nombre d’enfants par famille,… Ex2: poids, taille, temps d’appels téléphoniques,… Echantillon représentatif et sondage Biais statistique
  • 6. Exemple de biais statistiquePrédictions du Literary Digest en 1936 à l’aube des élections américaines
  • 7.  Série statistique et série chronologique Tableau d’effectifs et/ou effectifs cumulés.  Si variable discrète  distribution des fréquences/tableaux recensés  Si variable continue  distribution groupés des fréquences/tableaux à classes
  • 8. « Le statisticien moyen est marié à 1,75 femmes quifont leur possible pour l’éloigner de la maison 2,25nuits dans la semaine avec seulement 50% de succès.L’inclinaison de son front est de 2% (dénotant unegrande fermeté d’esprit), il possède 5/8 d’un compteen banque et 3.06 enfants qui le rendent à demi-fou;1.65 de ses enfants sont des garçons. Seuls 0.07% detous les statisticiens sont éveillés à leur petitdéjeuner, au cours duquel ils consomment 1.68 tassesde café-et renversent les 0.32 restantes sur leurpalstron…Le samedi soir il engage 1/3 de baby -sitterpour ses 3.06 chérubins, à moins qu’il ne soit affublédes 5/8 d’une belle-mère vivant à domicile et quimontera la garde pour la moitié du prix… » W.F. Miksch(1950)
  • 9. Exemple de données: on veut savoir le nombre d’examens oraux à présenteren fin d’année par des élèves de première année comptabilité.  Données recueillies: 9, 11, 8, 10, 13, 12, 10, 11, 10Soit n le nombre de valeurs observées d’une variable numériquediscrète dont les valeurs possibles, rangées dans l’ordre croissant,sont x1, x2, x3,…xp n est l’effectif de la population( ou de l’échantillon), ici n=9 l’ensemble des données rassemblées sans se soucier de l’ordre est un série statistique/tableau brut Une suite ordonnée est l’arrangement des données numériques dans l’ordre croissant ou décroissant L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur, ici l’étendue est de 5
  • 10.  La fréquence absolue d’une valeur xi est le nombre ni d’observations égales à xi. Dès lors: p ∑ni=n i=1 La fréquence relative fi d’une valeur xi est le rapport ni /n. Dès lors: p ∑ fi =1 i=1 La fréquence relative est souvent exprimée en %: fi %= 100 ni/ n
  • 11.  La fréquence (absolue ou relative) cumulée d’une valeur xi est la somme des fréquences( absolues ou relatives) de cette valeur et des valeurs inférieures. Soit X une variable numérique discrète. On a donc les valeurs suivantes pour: Freq.abs. cum. Val de X Freq.rel. cum. Ρ0=0 Si X<x1 Φ0=0 Ρ1=n1 Si x1≤X<x2 Φ1=f1 Ρ2 = n1+n2 Si x2≤X<x3 Φ2=f1+ f2 Ρp = n Φp=1
  • 12. On constate que: Φi=ρi/n La distribution des fréquences (absolues ou relatives, cumulées ou non) d’une variable est un tableau contenant les valeurs possibles des cette variable, rangées par ordre croissant et pour chacune de ces valeurs la fréquence (absolue ou relative, cumulée ou non) correspondante. On parle de tableau recensé.
  • 13. ExempleA partir des données brutes suivantes, établissez ladistribution des fréquences correspondante 7 1 5 12 3 6 4 1 8 10 5 8 2 6 0 5 5 4 7 8 4 7 5 6 5 6 8 5 3 3 2 1 3 3 2 7 4 10 6 4
  • 14. Valeurs de la Freq. Freq. Freq. Freq. abs Freq.rel.cu Freq.rel.variable(xi) abs(ni) relatives relatives cumulées( mulées(Φi) cum. (%) (ni/n) (%) ρi) 0 1 0.025 2.50% 1 0.025 2.50% 1 3 0.075 7.50% 4 0.1 10.00% 2 3 0.075 7.50% 7 0.175 17.50% 3 5 0.125 12.50% 12 0.3 30.00% 4 5 0.125 12.50% 17 0.425 42.50% 5 7 0.175 17.50% 24 0.6 60.00% 6 5 0.125 12.50% 29 0.725 72.50% 7 4 0.1 10.00% 33 0.825 82.50% 8 4 0.1 10.00% 37 0.925 92.50% 9 0 0 0.00% 37 0.925 92.50% 10 2 0.05 5.00% 39 0.975 97.50% 11 0 0 0.00% 39 0.975 97.50% 12 1 0.025 2.50% 40 1 100.00%
  • 15.  Représentations graphiques  Diagramme en bâtons  Consiste à porter en abscisse les valeurs observées xi  Tracer en regard de chacune d’elles et parallèlement à l’axe des ordonnées un segment vertical, appelé bâton, de longueur égal à sa fréquence (absolue ou relative) non cumulée.
  • 16.  Exemple diagramme en bâtons Diagramme en bâton des fréquences absolues (ni) 8 7 Frequence Absolue 6 Fréquance Absolue( ni) 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Valeurs de la variable (xi)
  • 17.  Polygone des fréquences S’obtient en joignant les extrémités des segments successifs du diagramme en bâtons Exemple de polygone des fréquences Polygône des fréquences absolues (ni) 8 Frequence Absolue 7 Fréquance Absolue( ni) 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Valeurs de la variable (xi)
  • 18.  Diagramme en bâtons et polygone des fréquences Diagramme en bâton et polygone des fréquences 8 absolues (ni) 7 Fréquence Absolue 6 Fréquance Absolue( ni) Fréquence Absolue 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Valeurs de la variable (xi)
  • 19.  Polygone des fréquences relatives cumulées Fonction de distribution de la variable ou fonction de répartition des fréquences Fonction en escalier, non décroissante, continue à droite et variant de 0 à 1  Est le graphique de la fonction F(x) définie comme suit: ∀X∈ ℝ, 0 Si X < x1 F(x)= (n1+ n2+…ni)/n Si xi ≤ X <xi+1 1 Si x ≥ xp avec i=1,2,…,p
  • 20.  Exemple de polygone des fréquences relatives cumulées Polygone des fréquences relatives cumulées 1 Fréquence relative cumulée 0.9 0.8 Fréquence relative cumulée 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Valeurs de la variable (xi)
  • 21.  Diagramme sectoriel ou camembert  Pour l’analyse des données en % Caractère Effectif Freq Diagramme sectoriel (camembert) rel. Célibataire 9 0.45 10% Célibataire Divorcé 2 Divorcé 0.10 Marié Marié 7 0.35 45% Veuf Veuf 2 0.10 35% 10%
  • 22.  Le regroupement des données en classes ou catégories consiste à partitionner le domaine de la variable en intervalles contigus.  Si le nombre de valeurs observées distinctes devient grand  Variables continues  Fréquences absolues faibles On définit:  La fréquence absolue d’une classe Ci est le nombre ni d’observations appartenant à l’intervalle Ci  La fréquence relative d’une classe le Ci est le rapport ni/n noté fi
  • 23.  La fréquence (absolue ou relative) cumulée d’une classe Ci est la somme des fréquences ( absolues ou relatives) de cette classe et des classes précédentes. La distribution groupée des fréquences d’une variable est un tableau contenant les classes de cette variable et, pour chacune de ces classes, les fréquences correspondantes( on parle aussi de tableau à classes) L’étendue ou amplitude d’une classe est la différence entre ses extrémités appelées borne supérieure et borne inférieure. Le centre ou la valeur centrale d’une classe Ci est le point correspondant au milieu de cette classe. Il s’obtient en calculant la moyenne arithmétique des bornes de la classe.Remarque: dans le cadre de ce cours on essaiera de choisir des classes demême amplitude afin de faciliter la comparaison des deux classes
  • 24.  Comment déterminer le nombre de classes?  Pas de loi rigoureuse  Dépend du problème considéré  Pas trop grand, faible nombre d’individus par classes  Pas trop petit, sinon les classes sont trop larges et risque de perte d’information  Généralement entre 5 et 20 classes  Quelques formules empiriques: Règle de Sturge: Nombre de classes = 1+ (3,3*log n) Règle de Yule: Nombre de classes = 2,5 ∜ n
  • 25.  Comment déterminer l’amplitude d’une classe?  Amplitude des classes = (X max - X min) / Nombre de classesavec X max et X min, respectivement la plus grande et la plus petite valeur de X dans lasérie statistique.  A partir de Xmin on obtient les limites de classes ou bornes de classes par addition successive de l’intervalle de classe.  Les classes peuvent être désignées par leurs bornes ou par leur centre si elles ont même amplitude  Par convention la borne inférieure de chaque classe appartient à la classe; la borne supérieure ne lui appartient pas
  • 26.  Exemple 1:A partir des données brutes suivantes, établissons unedistribution des fréquences 72 51 56 95 68 66 77 81 83 75 41 79 92 78 85 55 104 76 80 61 65 70 83 92 88 59 75 75 81 69 71 96 101 87 65 74 68 73 78 68 73 86 84 51 85 75 79 90 68 71 75 74 81 64 88 78 77 66 91 75 69 73 82 76 76 71 74 96 72 74 102 74 80 82 86 78 87 61 80 78 48 68 71 66 59 92 77 76 81 70 85 77 68 82 78 75 91 77
  • 27.  Nombre de classes:  Régle de Sturge: 1+ (3.3*log 98)=7.57  Règle de Yule: 2.5*∜ 98=7.87 Amplitude des classes:  Xmax-Xmin/nombre de classes= 110-40/7= 10Remarque: nous pouvons arrondir le nombre de classes en fonction desrésultats obtenus et afin de faciliter de regroupement de données.
  • 28.  Distribution groupée des fréquences: On regroupe les données en classes d’amplitude 10 Freq Freq Freq. Freq. rel. Classes Centres absolue relative abs.cum cum. [40-50[ 45 2 2.0% 2 2.0% [50-60[ 55 6 6.1% 8 8.2% [60-70[ 65 16 16.3% 24 24.5% [70-80[ 75 40 40.8% 64 65.3% [80-90[ 85 22 22.4% 86 87.8% [90-100[ 95 9 9.2% 95 96.9% [100-110[ 105 3 3.1% 98 100.0%
  • 29.  Représentations graphiques  Histogramme:  Consiste à porter en abscisse, de façon équidistante, des points correspondants aux bornes de chaque classe du tableau groupé.  Construire sur chaque intervalle de classe comme base un rectangle dont la hauteur est la fréquence absolue (ou relative) de cette classe. On dit un rectangle de hauteur proportionnelle à la fréquence de la classe considérée.  Dès lors si toutes les classes ont même amplitude on obtient une suite de rectangles de même base(=histogramme normé).  Si on adopte l’amplitude de classes pour unité sur Ox et la fréquence absolue 1 pour unité sur Oy, l’aire de chaque rectangle aura pour mesure la fréquence absolue ni de la classe Ci.  La mesure de l’aire total sous l’histogramme est donc n pour les fréquences absolues et 1 pour les fréquences relatives.
  • 30. Exemple 2: A partir des données brutes suivantes qui représentent les cotes obtenues à un examen par 50 étudiants, constatons le changement « d’allure » de l’histogramme en fonction de l’amplitude pour les classes: 0.0 2.1 6.1 7.8 9.5 10.4 12.1 12.8 13.9 14.8 0.0 3.2 6.2 8.2 9.6 10.5 12.4 12.8 14.2 15.5 0.5 4.5 7.2 9.1 9.9 11.1 12.5 12.9 14.6 16.1 1.2 5.3 7.2 9.1 9.9 11.8 12.6 13 14.7 16.8 1.7 5.3 7.4 9.5 10.1 11.9 12.6 13.7 14.7 18.2
  • 31. Amplitude 1 Amplitude 4
  • 32. Amplitude 5 Amplitude 10
  • 33.  Exemple Histogramme des classes Exemple 1:
  • 34.  Exemple Polygone des fréquences
  • 35.  Polygone des fréquences (absolues ou relatives)  Consiste à joindre par des segments de droite les centres (ou milieux) des bases supérieures des rectangles successifs des histogrammes.Remarque: on complète le polygone en le faisant commencer aupoint Q, abscisse 35(= valeur centrale de la classe [30,40[) et 0en ordonnée(=fréquence nulle); et finir au point S d’abscisse115(=valeur centrale de la classe [110,120[ ) et d’ordonnée 0. L’aire comprise entre le polygone et l’axe des abscisses est égale à l’aire de l’histogramme, pour autant que toutes les classes soient de même amplitude!
  • 36.  Polygone des fréquences relatives(absolues) cumulées consiste à porter en regard des bornes supérieures des classes des ordonnées égales aux fréquences relatives cumulées de ces classesRemarque: Nous faisons l’hypothèse que toute la fréquenced’une classe est concentrée en sa borne supérieure Consiste à joindre les points successifs obtenus par des segments de droite et compléter le graphe, aux extrémités, par des parallèles à l’axe des abscisses. On appelle ce graphe la fonction de distribution de la variable
  • 37.  Exemple Polygone des fréquences
  • 38.  Histogramme non normé Dans le cas ou les classes ne sont pas de même amplitude, il faut ajuster la hauteur des rectanglesExemple 3:Voici le tableau des ouvriers d’une entreprise suivant leur âge: Freq.abs. Age (ni) [20,25[ 9 [25,30[ 27 [30,35[ 36 [35,40[ 45 [40,45[ 18 [45,50[ 9 [50,55[ 3 [55,60[ 3
  • 39. Etablissons l’histogramme des fréquences:
  • 40. Supposons que les deux dernières classes aient été regroupéesde la façon suivante: Freq.abs Age ni [20,25[ 9 [25,30[ 27 [30,35[ 36 [35,40[ 45 [40,45[ 18 [45,50[ 9 [50,60[ 6 Cet histogramme est faux!
  • 41.  En effet, cet histogramme est faux car il représente une série statistique qui correspondrait aux fréquences absolues suivantes: [45,50[ 9 [50,55[ 6 [55,60[ 6 On constate que l’amplitude de la classe [50,60[ étant double de l’amplitude de chacune des autres classes, il faut représenter sur le segment [50,60[, un rectangle de hauteur moitié de la fréquence absolue donnée, autrement dit un rectangle de hauteur 6/2=3. Dés lors, si une classe est d’amplitude k fois plus grande (ou plus petite) que l’amplitude prise pour l’unité, il faut diviser(ou multiplier) par k la fréquence correspondante à la classe concernée. Lors de la représentation à l’aide de l’histogramme c’est l’aire des rectangles, et non leur hauteur, qui est proportionnelle à la fréquence (absolue ou relative).
  • 42.  Exercices

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