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  1. 1. ALGARISMOS ROMANOS Por Matemática Matemática Nota:Contando com os romanosO Mundo Vestibular preparou um artigo com a história dos números em algarismosromanos com tabelas e exemplos para que você possa se preparar para as provas.De todas as civilizações da Antigüidade, a dos romanos foi sem dúvida a maisimportante. Seu centro era a cidade de Roma. Desde sua fundação, em 753 a.C., até serocupada por povos estrangeiros em 476 d.C., seus habitantes enfrentaram um númeroincalculável de guerras de todos os tipos.Inicialmente, para se defenderem dos ataques de povos vizinhos; mais tarde nascampanhas de conquistas de novos territórios. Foi assim que, pouco a pouco, osromanos foram conquistando a península Itálica e o restante da Europa, além de umaparte da Ásia e o norte de África.Apesar de a maioria da população viver na miséria, em Roma havia luxo e muitariqueza, usufruídas por uma minoria rica e poderosa. Roupas luxuosas, comidas finas efestas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite romana. Foi nesta Roma de miséria eluxo que se desenvolveu e aperfeiçoou o número concreto, que vinha sendo usado desdea época das cavernas. Como foi que os romanos conseguiram isso?O sistema de numeração romanoOs romanos foram espertos. Eles não inventaram símbolos novos para representar osnúmeros; usaram as próprias letras do alfabeto.I V X L C D M Como será que eles combinaram estes símbolos para formar o seusistema de numeração? O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave: I tinha o valor 1. V valia 5. X representava 10 unidades. L indicava 50 unidades.C valia 100. D valia 500. M valia 1.000.Quando apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam os seus valores.II = 1 + 1 = 2 XX = 10 + 10 = 20 XXX = 10 + 10 + 10 = 30Quando dois números diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes do maior,subtraíam os seus valores.IV = 4 porque 5 - 1 = 4 IX = 9 porque 10 – 1 = 9 XC = 90 porque 100 – 10 = 90Mas se o número maior vinha antes do menor, eles somavam os seus valores.
  2. 2. VI = 6 porque 5 + 1 = 6 XXV = 25 porque 20 + 5 = 25 XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1= 36 LX = 60 porque 50 + 10 = 60Ao lermos o cartaz, ficamos sabendo que o exercíto de Roma fez numa certa épocaMCDV prisioneiros de guerra. Para ler um número como MCDV, veja os cálculos queos romanos faziam:Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor. M = 1.000Como antes de M não tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra de maior valor.D = 500Depois tiravam de D o valor da letra que vem antes.D – C = 500 – 100 = 400Somavam 400 ao valor de M, porque CD está depois e M.M + CD = 1.000 + 400 = 1.400Sobrava apenas o V. Então:MCDV = 1.400 + 5= 1.405Os milhares Como você acabou de ver, o número 1.000 era representado pela letra M.Assim, MM correspondiam a 2.000 e MMM a 3.000. E os números maiores que 3.000?Para escrever 4.000 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traçohorizontal sobre as letras que representavam esses números. Um traço multiplicava onúmero representado abaixo dele por 1.000.Dois traços sobre o M davam-lhe o valor de 1 milhão. O sistema de numeração romanofoi adotado por muitos povos. Mas ainda era difícil efetuar cálculos com este sistema.Por isso, matemáticos de todo o mundo continuaram a procurar intensamente símbolosmais simples e mais apropriados para representar os números.E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais notáveis invençõesde toda a história da Matemática: O sistema de numeração decimal.Tabela de Algarismos RomanosI-1II - 2III - 3IV - 4V-5VI - 6VII - 7VIII - 8
  3. 3. IX - 9X - 10XI - 11XII - 12XIII - 13XIV - 14XV - 15XVI - 16XVII - 17XVIII - 18XIX - 19XX - 20XXX - 30XL - 40L - 50LX - 60LXX - 70LXXX - 80XC - 90C - 100CC - 200CCC - 300CD - 400D - 500DC - 600DCC - 700DCCC - 800CM - 900M - 1000MM - 2000Exemplos:Número arábico Número Romano1900 MCM1950 MCML1975 MCMLXXV2000 MMOs numerais I, X e C, escritos à direita de numerais maiores, somam-se seus valores aosdesses numerais.Exemplos:VII = 7 ( 5 + 2 )
  4. 4. LX = 60 ( 50 + 10 )LXXIII = 73 (50+20+3)CX = 110 (100+10)CXXX = 130 (100+30)MCC = 1.200 (1.000+200)Os numerais I, X e C, escritos à esquerda de numerais maiores, subtraem-se seusvalores aos desses numerais.Exemplos:IV = 4 (5-1)IX = 9 (10-1)XL = 40 (50-10)XC = 90 (100-10)CD = 400 (500-100)CM = 900 (1.000-100)Colocando-se um traço horizontal sobre um ou mais numerais, multiplica-se seu valorpor 1.000.Exemplos:V = 5.000IX = 9.000X = 10.000GEOMETRIA PLANA Por Matemática Vídeos do Vestibular , Matemática Nota:Share on email Share on facebook Share on twitter Share on stumbleupon More SharingServices por Ulisses A Geometria Plana está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática!CONHEÇA A GEOMETRIA PLANAPara se chegar à compreensão da necessidade de classificação de figuras, da formacomo é usual na Geometria Euclidiana, é necessário obter compreendido as suasvantagens matemáticas. Sem esta compreensão, parece um jogo de palavras ter ouvido oprofessor afirmar que um triângulo isósceles é o que tem os lados iguais, e depois ver o
  5. 5. professor permitir que um triângulo com os três lados iguais seja também isósceles. Sóapós o conhecimento de algumas propriedades das figuras é que os alunoscompreenderão as vantagens de optar por uma classificação.Vamos optar por apresentar os diversos tipos de figuras em separado apenas por umarazão de "arrumação".Chamamos polígonos a qualquer porção do plano limitada por segmentos de reta queforma uma linha poligonal fechada.GEOMETRIA PLANAA Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outrosobjetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos maisvariados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.POLÍGONOPolígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que seintersectam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do polígono.Ospontos de intersecção são denominados vértices do polígono. A região interior aopolígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono.TRIÂNGULOSOs triângulos são polígonos de três lados. Iremos classificar os triângulos de duasmaneiras: quanto aos lados e quanto aos ângulos.Quanto aos lados:Equilátero - todos os lados iguaisIsósceles - dois lados iguaisEscaleno - todos os lados diferentesQuanto aos ângulos:
  6. 6. Acutângulo - Um ângulo agudoObtusângulo - Um ângulo obtusoRetângulo - Um ângulo retoAlgumas propriedades:- Se o triângulo tem dois lados iguais, os ângulos que lhes são opostos também sãoiguais.- Num triângulo, ou em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais.- Num triângulo, ou em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais.- Num triângulo, ao maior lado opõem-se o maior ânguloOs triângulos podem ser classificados em diversos tipos de acordo com seuslados(Eqüiláteros - Possuem três lados de mesmo comprimento, Isósceles - possuemdois lados de mesmo comprimento e Escalenos - possuem três lados de comprimentosdiferentes) ou quanto a seus ângulos(Retângulos - possuem um ângulo de 90° graus,também chamado ângulo reto, Obtusângulos - possuem um ângulo obtuso, ou seja, umângulo com mais de 90°, Acutângulos - possuem três ângulos agudos, ou seja, menoresdo que 90°). Polígonos são definidos como a figura formada po um número n maior ouigual a 3 de pontos ordenados de forma que três pontos consecutivos sejam nãocolineares.Um exemplo de polígono de 3 lados é um triângulo. Os polígonos possuemdenominações particulares para enes diferentes:n=3 - triângulo, n=4 - quadrilátero, n=10- decágono, n=20 - icoságono). Estas denominações são derivadas dos nomes dosnúmeros em grego. Outra forma importante da geometria plana é a circunferênciadefinida como sendo o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a umponto fixo desse plano é uma constante positiva. Chamamos de círculo ao conjunto deuma circunferência e seus pontos internos. Existem também certos casos especiais paraquadriláteros como definiremos a seguir: é dado o nome de trapézio a um quadriláteroque possui dois lados paralelos.Para o caso dos lados não paralelos serem congruentes dá-se a este trapézio o nome detrapézio isósceles, para o caso de lados não paralelos não congruentes é dado o nome detrapézio escaleno, e um trapézio que possui um lado perpendicular as bases é chamadotrapézio retângulo. Paralelogramo é um quadrilátero que possui os lados opostosparalelos. Retângulo possui quatro ângulos congruentes entre si. O losango possuiquatro lados congruentes entre si, e finalmente o quadrado que possui 4 lados e quatroângulos congruentes entre si.Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos doslados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a umpolígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades,estará inteiramente contido no polígono. Polígono No. de lados Polígono No. de lados Triângulo 3 Quadrilátero 4
  7. 7. Pentágono 5 Hexágono 6 Heptágono 7 Octógono 8 Eneágono 9 Decágono 10 Undecágono 11 Dodecágono 12Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos dopolígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos queestão fora do polígono.Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm asmesmas medidas.Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrarque num paralelogramo:Os lados opostos são congruentes;Os ângulos opostos são congruentes;A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o;As diagonais cortam-se ao meio.Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais deum losango formam um ângulo de 90o.Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de ladosparalelos.
  8. 8. Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. Oquadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentosdistintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento queliga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seucomprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor dotrapézio.Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso,existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtidopela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isóscelesmaior."Pipa" ou "papagaio": É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivoscongruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes.Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e que os ângulosopostos ligados pela diagonal menor são congruentes.CONHEÇA A GEOMETRIA PLANAPara se chegar à compreensão da necessidade de classificação de figuras, da formacomo é usual na Geometria Euclidiana, é necessário obter compreendido as suas
  9. 9. vantagens matemáticas. Sem esta compreensão, parece um jogo de palavras ter ouvido oprofessor afirmar que um triângulo isósceles é o que tem os lados iguais, e depois ver oprofessor permitir que um triângulo com os três lados iguais seja também isósceles. Sóapós o conhecimento de algumas propriedades das figuras é que os alunoscompreenderão as vantagens de optar por uma classificação.Vamos optar por apresentar os diversos tipos de figuras em separado apenas por umarazão de "arrumação".Chamamos polígonos a qualquer porção do plano limitada por segmentos de reta queforma uma linha poligonal fechada.Conceitos que Você Precisa Saber deGeometriaMatemática 1. Relações Métricas nos triângulos retângulos2. Polígonos RegularesSejam R o raio da circunferência circunscrita, r o raio da inscrita, , o lado do polígono ea o apótema.a) Triângulo Eqüilátero
  10. 10. b) Quadradoc) Hexágono RegularConceitos que Você Precisa Saber deGeometria
  11. 11. Por Matemática Matemática Nota:Share on email Share on facebook Share on twitter Share on stumbleupon More SharingServices3. Áreas das Figuras Planasa) Triângulo
  12. 12. b) Retângulo:
  13. 13. c) Paralelogramo:d) Trapézio:e) Losango:f) Quadrado:g) Área do círculo:
  14. 14. h) Comprimento da circunferência:i) Coroa Circular

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