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    Vetores Vetores Document Transcript

    • VetoresV´rias grandezas f´ a ısicas, tais como por exemplo comprimento, ´rea, volume, tempo, massa e temperatura as˜o completamente descritas uma vez que a magnitude (intensidade) ´ dada. Tais grandezas s˜o chamadas a e aescalares e s˜o modeladas por n´ meros reais. Outras grandezas f´ a u ısicas n˜o s˜o completamente caracteri- a azadas at´ que uma magnitude, uma dire¸˜o e um sentido sejam especificados. Exemplos s˜o deslocamento, e ca avelocidade e for¸a. Tais grandezas s˜o chamadas vetoriais e s˜o modeladas por vetores. c a a Primeiramente, introduziremos o conceito de vetor do ponto de vista geom´trico, o que permite uma evis˜o intuitiva dos vetores e de suas rela¸˜es entre si. Por isso, vamos nos restringir ao plano (espa¸o a co cbidimensional) e ao espa¸o (espa¸o tridimensional). Mais tarde, quando considerarmos vetores do ponto de c cvista alg´brico, o que nos permitir´ estudar vetores em espa¸os de mais de trˆs dimens˜es, a vis˜o geom´trica e a c e o a eque n´s adquirimos estar´ sempre ao nosso lado para nos guiar. o aDefini¸˜o geom´trica de vetores ca e A . AB B . v Dois pontos distintos A e B no espa¸o determinam uma reta. Esta reta ´ uma dire¸˜o no espa¸o. N˜o c e ca c aprecisamos da reta toda para determinar esta dire¸˜o; o segmento da reta entre os pontos A e B, que ´ a ca eparte da reta compreendida entre estes dois pontos, serve muito bem para determinar esta dire¸˜o. Este casegmento de reta pode ser facilmente orientado, provendo um sentido para o segmento, se considerarmosum dos pontos como ponto inicial e o outro como ponto final. Por exemplo, o segmento orientado com pontoinicial A e ponto final B ser´ denotado por AB. Pontos ser˜o considerados como segmentos orientados: um a aponto ´ um segmento orientado nulo; por exemplo, o ponto A ´ identificado com o segmento orientado AA e ecom ponto inicial A e ponto final tamb´m A. Al´m disso, podemos falar no comprimento de um segmento. e eO comprimento do segmento determinado por A e B ´ denotado por AB. e 1
    • Segmentos orientados possuem portanto uma dire¸˜o, um sentido e um comprimento. No entanto, eles catamb´m s˜o caracterizados pelo seu ponto inicial. S˜o modelos (representa¸˜es) de vetores localizados, e a a coonde o ponto de aplica¸˜o do vetor ´ importante; n˜o os consideraremos neste curso. Vetores s˜o unicamente ca e a acaracterizados por dire¸˜o, sentido e magnitude. Eles ser˜o representados por segmentos orientados desde ca aque fizermos a seguinte conven¸˜o: segmentos orientados pertencentes a retas paralelas tais que, quando caestas retas s˜o movidas uma em dire¸˜o ` outra at´ coincidirem, ocorre que os pontos iniciais e finais destes a ca a esegmentos tamb´m coincidem, representam o mesmo vetor. Assim, um vetor pode ser representado por v´rios e asegmentos orientados diferentes. A situa¸˜o ´ an´loga a dos n´meros racionais, que podem ser representados ca e a upor v´rias fra¸˜es diferentes: as fra¸˜es 1 , 4 , 10 e 111 representam o mesmo n´mero racional. a co co 2 2 5 222 u Resumindo: Vetores s˜o representados por segmentos orientados e s˜o caracterizados por a a 1. dire¸˜o, ca 2. sentido, 3. magnitude. Duas opera¸˜es entre vetores que podem ser definidas para quaisquer vetores, mesmo vetores em espa¸os co cde dimens˜es maiores s˜o a soma de vetores e a multiplica¸˜o de vetores por escalares. o a caSoma de VetoresSejam v e w dois vetores. Sua soma v + w ´ o vetor definido da seguinte maneira: e C A B Escolha um representante qualquer AB para o vetor v. Para o vetor w escolha o unico representante BC ´com ponto inicial B, isto ´, igual ao ponto final do representante de v. O vetor v + w ´ representado pelo e esegmento orientado AC, cujo ponto inicial ´ o ponto inicial A de v e cujo ponto final ´ o ponto final C de w. e e Esta defini¸˜o ´ motivada pela interpreta¸˜o de vetores como deslocamento: nesta interpreta¸˜o, a soma ca e ca cade dois vetores corresponde ` composi¸˜o de deslocamentos ou o deslocamento total. Ela ´ a chamada regra a ca edo triˆngulo. a 2
    • Uma defini¸˜o equivalente para a soma de dois vetores ´ sugerida pela interpreta¸˜o de vetores como ca e ca ´for¸as. E a chamada regra do paralelogramo: c Desta vez escolhemos os representantes respectivos AB e AC de v e w com o mesmo ponto inicial A.Eles determinam um paralelogramo ABDC e o vetor v + w ´ o vetor representado pela diagonal (segmento eorientado) AD. C D A B Nesta interpreta¸˜o, a soma de vetores corresponde ` resultante das for¸as. ca a cPropriedades da Soma de Vetores: (1) Comutatividade: Para quaisquer vetores v, w v+w =w+vIsso pode ser facilmente visto atrav´s do diagrama abaixo. e v w w+v v+w w v (2) Associatividade: Para quaisquer vetores u, v, w u + (v + w) = (u + v) + wIsso pode ser facilmente visto atrav´s do diagrama a seguir. e 3
    • w u+v v (u+v)+w u+(v+w) u v+w Como uma conseq¨ˆncia destas duas propriedades, conclu´ ue ımos que vetores podem ser somadas em qual-quer ordem. (3) Existˆncia do Elemento Neutro da Soma: e Seja 0 o vetor nulo, isto ´, o vetor representado por segmentos orientados nulos. Ent˜o, para qualquer e avetor v, v+0=0+v =vIsso ´ ´bvio da defini¸˜o. eo ca (4) Existˆncia do Elemento Inverso da Soma: e Seja −v o vetor que tem a mesma dire¸˜o, mesmo comprimento e sentido inverso ao do vetor v. Ent˜o ca a v + (−v) = 0.Isso ´ ´bvio da defini¸˜o. Portanto, definimos a diferen¸a entre dois vetores: eo ca c v − w := v + (−w).Podemos usar o seguinte diagrama para calcular a diferen¸a entre dois vetores: c w v-w -w v 4
    • Isso permite inferir uma regra do triˆngulo para a diferen¸a dos vetores v e w: para encontrar um a crepresentante para v − w, escolha representantes para v e w que tˆm a mesma origem; ent˜o v − w ser´ e a arepresentando pelo segmento cujo ponto inicial ´ o ponto final de w e cujo ponto final ´ o ponto final de v. e eMultiplica¸˜o de um vetor por um escalar caDefini¸˜o. Se v ´ um vetor n˜o-nulo e α ´ um n´mero real n˜o-nulo, ent˜o a multiplica¸˜o do vetor v pelo ca e a e u a a ca escalar α ´ o vetor denotado αv definido por e(i) αv tem a dire¸˜o de v; ca(ii) αv tem o mesmo sentido de v se α > 0 e αv tem o sentido oposto ao de v se α < 0;(iii) αv tem comprimento |α| vezes o comprimento de v. Definimos ainda 0v = 0 e α0 = 0. Se w = αv, u ´ adizemos que w ´ um m´ ltiplo escalar do vetor v. E f´cil ver que dois vetores n˜o-nulos s˜o paralelos se e e a asomente se um ´ m´ltiplo escalar do outro. e u Observe que segue imediatamente da defini¸˜o que ca (−1)v = −v.Propriedades da Multiplica¸˜o por Escalar: ca (1) Associatividade: Para quaisquer escalares α, β e para qualquer vetor v α(βv) = (αβ)v. (2) Distributividade: Para quaisquer escalares α, β e para quaisquer vetores v, w α(v + w) = αv + βv, (α + β)v = αv + βv. (3) Para qualquer vetor v 1v = v. Estas propriedades ser˜o facilmente provadas uma vez que introduzirmos um sistema de coordenadas aretangulares para vetores. Como um exemplo da utilidade de se trabalhar com vetores, veremos que vetores podem ser utilizadospara provar fatos da geometria euclidiana.Exemplo 1. Seja ABC um triˆngulo e M, N os pontos m´dios dos lados AC e BC. Mostre que o segmento a e M N ´ paralelo ao lado AB e tem comprimento igual ` metade do comprimento de AB. e aResposta: Temos que provar que 1 MN = AB. 2 Temos M N = M C + CN. 5
    • C M N A B Como M ´ o ponto m´dio de AC e N ´ o ponto m´dio de BC, segue que e e e e 1 1 MC = AC e CN = CB. 2 2 Portanto, 1 1 1 1 MN = AC + CB = (AC + CB) = AB. 2 2 2 2Vetores em CoordenadasIntroduza um sistema de coordenadas cartesianas no espa¸o ambiente em que vocˆ est´ trabalhando, seja c e aele o plano ou o espa¸o. Dado um vetor v, escolha um representante para v cujo ponto inicial ´ a origem c edeste sistema de coordenadas. Ent˜o definimos as coordenadas do vetor v como sendo as coordenadas do aponto final deste representante de v. y v2 v v1 x No plano: v = (v1 , v2 ). 6
    • No espa¸o: c v = (v1 , v2 , v3 ). Ent˜o as opera¸˜es acima podem ser definidas equivalentemente da seguinte maneira. a co No plano, se v = (v1 , v2 ) e w = (w1 , w2 ), v + w = (v1 + w1 , v2 + w2 ), αv = (αv1 , αv2 ). No espa¸o, se v = (v1 , v2 , v3 ) e w = (w1 , w2 , w3 ), c v + w = (v1 + w1 , v2 + w2 , v3 + w3 ), αv = (αv1 , αv2 , αv3 ). √ √Exemplo 2. Se v = (2, −1, 4) e w = (− 2, − 3 2 2 , 1), ent˜o a √ √ √ √ 3 2 3v − 2w = 3(2, −1, 4) − 2(− 2, − , 1) √ 2 = (6, −3, 12) + (2, 3, − 2) √ = (8, 0, 12 − 2). A norma de um vetor pode ent˜o ser dada em coordenadas, aplicando-se o Teorema de Pit´goras. a a No plano, se v = (v1 , v2 ), pelo Teorema de Pit´goras temos que a v = 2 2 v1 + v2 . No espa¸o ´ necess´rio aplicar o Teorema de Pit´goras duas vezes para se obter a norma de um vetor em c e a atermos de suas coordenadas. Seja v = (v1 , v2 , v3 ) e considere a figura abaixo: z v3 v v2 y l . v1 . x Aplicando-se o Teorema de Pit´goras ao triˆngulo retˆngulo vertical indicado na figura, obtemos a a a v = 2 l 2 + v3 . 7
    • Aplicando-se novamente o Teorema de Pit´goras ao triˆngulo retˆngulo que se situa no plano xy, obtemos a a a l2 = v1 + v2 . 2 2Portanto, v = 2 2 2 v1 + v2 + v3 .Produto EscalarO produto escalar ´ uma opera¸˜o entre dois vetores cujo resultado ´ um escalar. e ca eDefini¸˜o. O produto escalar (ou produto interno) de dois vetores v, w ´ o escalar denotado v · w ca e definido por v · w = v1 w1 + v2 w2 se v = (v1 , v2 ) e w = (w1 , w2 ) s˜o vetores no plano, e por a v · w = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 se v = (v1 , v2 , v3 ) e w = (w1 , w2 , w3 ) s˜o vetores no espa¸o. a cExemplo 3. (−5, 2) · (3, 7) = −15 + 14 = −1; √ 1 √ (−1, 2, 3) · (5, − , 2 3) = −5 − 1 + 6 = 0. 2Teorema. (Interpreta¸˜o Geom´trica do Produto Escalar) Se v, w s˜o dois vetores n˜o-nulos, ent˜o ca e a a a v·w = v w cos θ, onde θ ´ o ˆngulo entre estes vetores. e aProva: Sejam v = (v1 , v2 , v3 ) e w = (w1 , w2 , w3 ). Pela lei dos cossenos (veja o diagrama) £ £ ¢  ¡ q   2 2 2 v−w = v + w −2 v w cos θ.Logo (v1 − w1 )2 + (v2 − w2 )2 + (v3 − w3 )2 = v1 + v2 + v3 + w1 + w2 + w3 − 2 v 2 2 2 2 2 2 w cos θ 8
    • donde, cancelando os termos comuns entre os lados desta equa¸˜o, ca −2v1 w1 − 2v2 w2 − 2v3 w3 = −2 v w cos θe portanto v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 = v w cos θ. O ˆngulo entre dois vetores ´ definido como o menor ˆngulo entre eles. Portanto, a e a 0 ≤ θ ≤ 180◦ .Podemos usar o produto interno para calcular o ˆngulo entre vetores, pois a v·w cos θ = . v wExemplo 4. Calcule o ˆngulo entre os vetores v = (2, −1, 1) e w = (1, 1, 2). a (2, −1, 1) · (1, 1, 2) 2−1+2 3 1 cos θ = =√ √ =√ √ = . (2, −1, 1) (1, 1, 2) 4+1+1 1+1+4 6 6 2 Portanto θ = 60◦ . Note que se v e w s˜o vetores n˜o-nulos, ent˜o a a a v · w > 0 se e somente se 0 ≤ θ < 90◦ . v · w = 0 se e somente se v e w s˜o perpendiculares. a v · w < 0 se e somente se 90◦ < θ ≤ 180◦ .De fato, se v e w s˜o vetores n˜o-nulos, ent˜o v · w = v a a a w cos θ = 0 se e somente se cos θ = 0, ou seja, see somente se θ = 90◦ .Propriedades do produto escalar: (1) Comutatividade: Se v e w s˜o dois vetores quaisquer, ent˜o a a v · w = w · v. (2) Distributividade: Se u, v e w s˜o vetores quaisquer, ent˜o a a u · (v + w) = u · v + u · w. (3) Se v e w s˜o dois vetores quaisquer e α ´ um escalar qualquer, ent˜o a e a α(v · w) = (αv) · w = v · (αw) Para todo vetor v 2 v·v = v ≥0 e v · v = 0se e somente se v = 0.Observe que a associatividade, “u · (v · w) = (u · v) · w” n˜o faz sentido para o produto escalar, j´ que n˜o a a afaz sentido fazer o produto escalar entre um vetor e um n´mero. Tamb´m n˜o pode existir um elemento u e aneutro para o produto escalar, ou seja, um vetor x tal que v · x = v para todo vetor v, pois v · x ´ sempre eum n´mero. u 9
    • D C A BExemplo 5. Mostre que as diagonais de um losango s˜o perpendiculares. aResposta: Seja ABCD um losango. Basta mostrar que AC · BD = 0. Para mostrar isso, temos que usar os dados b´sicos que dispomos a respeito de losangos. O primeiro a dado que temos sobre losangos ´ que, por defini¸˜o, eles s˜o pol´ e ca a ıgonos com quatro lados iguais; uma conseq¨ˆncia imediata deste fato ´ que lados opostos s˜o paralelos. Estes s˜o os fatos b´sicos sobre ue e a a a losangos. Portanto, temos que escrever as diagonais do losango em termos dos lados, para poder usar essas informa¸˜es. Escrevemos co AC = AB + BC, BD = BA + AD. Ent˜o a AC · BD = (AB + BC) · (BA + AD) = AB · BA + AB · AD + BC · BA + BC · AD. Note que BA = −AB e, porque os lados de um losango tem o mesmo comprimento e s˜o paralelos, a BC = AD. Logo, como o produto escalar ´ comutativo, e usando tamb´m a Propriedade (3), segue que e e AC · BD = AB · (−AB) + AB · AD + AD · (−AB) + AD · AD 2 2 = − AB + AD . Mas, como os lados de um losango s˜o iguais, temos a AB = AD , donde AC · BD = 0, exatamente como quer´ ıamos provar. 10
    • Vetores Unit´rios e Proje¸˜o Ortogonal a caSe v = 1, ent˜o v ´ chamado de vetor unit´rio. Dado um vetor n˜o-nulo v, um vetor unit´rio dire¸˜o a e a a a cade v ´ o vetor e 1 u= v. vDe fato, 1 1 v = v = 1. v vObserve que u tamb´m tem o mesmo sentido de v. eExemplo 6. Um vetor unit´rio na dire¸˜o do vetor v = (1, 2, −3) ´ o vetor a ca e 1 1 2 3 u= √ (1, 2, −3) = √ , √ , −√ . 1+4+9 14 14 14 Dada uma dire¸˜o privilegiada definida por um vetor w, uma opera¸˜o importante ´ decompor qualquer ca ca evetor v na soma de dois vetores v1 e v2 , sendo v1 na dire¸˜o de w e v2 perpendicular a w. ca v v2 v1 w v = v1 + v2 , v1 //w e v2 ⊥ w. O vetor v1 ´ chamado a proje¸˜o ortogonal de v sobre w e ´ denotado por e ca e projw v. Para obter v1 , observe que da figura ´ f´cil ver que seu comprimento ´ dado por v1 = v | cos θ| = e a e|v · w| w . Como ´ um vetor unit´rio com a mesma dire¸˜o e sentido de v, segue que e a ca w w v·w projw v = 2 w. wOutra maneira de obter v1 ´ assumir que podemos escrever e v = αw + v2 com v2 ⊥ w.e determinar o escalar α. Fazendo o produto escalar de ambos os lados desta express˜o pelo vetor w, obtemos a 2 v · w = αw · w + 0 = α w , 11
    • donde v·w α= 2. wEnt˜o v2 = v − projw v, e podemos verificar que v − projw v ´ de fato perpendicular a w: a e v·w v·w 2 w · (v − projw v) = w · v − 2w ·w =w·v− 2 w = w · v − v · w = 0. w wExemplo 7. Seja w = (1, 0, −2) e v = (1, 2, 3). Encontre v1 e v2 tais que v = v1 + v2 , v1 //w e v2 ⊥ w.Resposta: v·w 1 + 0 + (−6) 5 v1 = projw v = 2w = (1, 0, −2) = − (1, 0, −2) = (−1, 0, 2). w 5 5 v2 = v − projw v = (1, 2, 3) − (−1, 0, 2) = (2, 2, 1). 12
    • Produto VetorialPara vetores no espa¸o tridimensional, ´ poss´ definir um produto entre vetores cujo resultado ´ um vetor. c e ıvel eDefini¸˜o. O produto vetorial de dois vetores n˜o nulos v e w que n˜o s˜o paralelos ´ o vetor denotado ca a a a e v × w definido por (i) v × w tem dire¸˜o perpendicular ao plano determinado por v e w; ca (ii) v×w tem sentido determinado pela regra da m˜o direita: direcionando o polegar direito no sentido a de v e o restante dos dedos da m˜o direita no sentido de w, ent˜o v × w tem o sentido projetando a a da palma da m˜o.a (iii) Se θ ´ o ˆngulo entre v e w, a norma de v × w ´ dada por e a e v×w = v w senθ. Se v e w s˜o paralelos, define-se v × w = 0. Tamb´m definimos v × 0 = 0 e 0 × v = 0. a e Note que o comprimento do vetor v × w ´ exatamente a ´rea do paralelogramo determinado por v e w e a(note que estas duas defini¸˜es s˜o consistentes com (iii)). co a w ||w|| senO O vPropriedades do Produto Vetorial: (1) Anti-comutatividade: Se v e w s˜o dois vetores quaisquer, ent˜o a a v × w = −w × v. (2) Ser´ que vale a associatividade para o produto vetorial? Em outras palavras, ser´ que para todos os a a vetores u, v, w temos u × (v × w) = (u × v) × w? (3) Distributividade: Se u, v e w s˜o vetores quaisquer, ent˜o a a u × (v + w) = u × v + u × w. A prova desta importante propriedade ´ mais dif´ e ser´ feita mais adiante, depois de verificarmos e ıcil a as outras propriedades do produto vetorial. 13
    • (4) α(v × w) = (αv) × w = v × (αw) (5) v × w = 0 se e somente se um destes vetores ´ m´ltiplo escalar do outro. e u (6) v · (v × w) = w · (v × w) = 0 (7) Se u, v, w s˜o vetores coplanares (isto ´, est˜o contidos em um mesmo plano), ent˜o (u × v) · w = 0. a e a a Caso contr´rio, |(u × v) · w| ´ igual ao volume do paralelep´ a e ıpedo determinado por u, v e w. Al´m disso, e (u × v) · w > 0 se e somente se u, v e w satisfazem a regra da m˜o direita. a Dizer que os vetores u, v e w, nesta ordem, satisfazem a regra da m˜o direita, significa o seguinte: a Os vetores u e v determinam um plano no espa¸o tridimensional (o plano que os cont´m). Este plano c e subdivide o espa¸o em dois semiespa¸os. O vetor u × v, sendo perpendicular ao plano que cont´m u e v, c c e est´ contido em um destes semiespa¸os. Se o vetor w estiver no mesmo semiespa¸o que u × v, dizemos a c c que u, v, w satisfazem a regra da m˜o direita; em caso contr´rio, dizemos que u, v, w n˜o satisfazem a a a a regra da m˜o direita. A explica¸˜o da terminologia “u, v, w satisfazem a regra da m˜o direita” se a ca a justifica porque, de maneira grosseira, podemos dizer que w aponta mais ou menos na mesma dire¸˜o ca que u×v , cuja dire¸˜o ´ dada pela regra da m˜o direita (porque w n˜o ´ necessariamente perpendicular ca e a a e a u e v, em geral w n˜o est´ exatamente na mesma dire¸˜o que u × v). a a ca w1 uxv v u w2Prova de (7): Veja a figura na pr´xima p´gina. A base do parelelep´ o a ıpedo tem ´rea igual a u × v , aenquanto que a altura do paralelep´ıpedo ´ igual ao comprimento da proje¸˜o ortogonal do vetor w sobre o e cavetor v × w. Quanto ao sinal de (u × v) · w, se u, v, w satisfazem a regra da m˜o direita, ent˜o, por defini¸˜o, u × v e a a caw est˜o no mesmo semiespa¸o em rela¸˜o ao plano que cont´m u e v, logo o ˆngulo entre u × v e w ´ agudo, a c ca e a eportanto seu produto escalar ´ positivo. Se eles n˜o satisfazem a regra da m˜o direita, ent˜o eles est˜o em e a a a asemiespa¸os opostos, logo o ˆngulo entre eles ´ obtuso e portanto seu produto escalar ´ negativo. c a e e(8) As opera¸˜es de produto escalar e produto vetorial comutam: co (u × v) · w = u · (v × w) 14
    • uxv altura v w uProva de (8): Pela comutatividade do produto interno, u · (v × w) = (v × w) · u. Agora, assumindo (5),segue que |(u × v) · w| = |(v × w) · u| pois o paralelep´ ıpedo ´ o mesmo. E o sinal tamb´m ´ o mesmo, pois e e eu, v, w satisfazem a regra da m˜o direita se e somente se v, w, u satisfazem, como pode-se verificar. aProva de (3): Assumindo a ultima identidade em (4), escreva ´ a = u × (v + w) − u × v − u × w.Temos que provar que a ´ o vetor nulo. Para isso, basta mostrar que e x · a = 0 para todo vetor x,pois se isso vale para todo x, em particular vale para x = a, de modo que segue que a · a = 0, ou seja, 2 a = 0 e portanto a = 0. De fato, x · a = x · u × (v + w) − x · u × v − x · u × w = (x × u) · (v + w) − (x × u) · v − (x × u) · w = (x × u) · [v + w − v − w] = (x × u) · 0 = 0. Destacamos os seguintes vetores unit´rios no espa¸o: a c i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). 15
    • Qualquer vetor v = (v1 , v2 , v3 ) pode ent˜o ser escrito como combina¸˜o linear (isto ´, soma de m´ltiplos a ca e uescalares) destes vetores, pois v = (v1 , v2 , v3 ) = (v1 , 0, 0) + (0, v2 , 0) + (0, 0, v3 ) = v1 (1, 0, 0) + v2 (0, 1, 0) + v3 (0, 0, 1) = v1 i + v2 j + v3 k.Teorema 1. (Produto Vetorial em Coordenadas) Sejam v = (v1 , v2 , v3 ) e w = (w1 , w2 , w3 ). Ent˜o a   i j k v × w = det  v1 v2 v3  w1 w2 w3 isto ´, e v2 v3 v1 v3 v1 v2 v×w = det , − det , det . w2 w3 w1 w3 w1 w2Prova: v × w = (v1 i + v2 j + v3 k) × (w1 i + w2 j + w3 k) = v1 w1 (i × i) + v1 w2 (i × j) + v1 w3 (i × k) + v2 w1 (j × i) + v2 w2 (j × j) + v2 w3 (j × k) + v3 w1 (k × i) + v3 w2 (k × j) + v3 w3 (k × k) = 0 + v1 w2 k + v1 w3 (−j) + v2 w1 (−k) + 0 + v2 w3 i + v3 w1 j + v3 w2 (−i) + 0 = (v2 w3 − v3 w2 )i − (v1 w3 − v3 w1 )j + (v1 w2 − v2 w1 )k.Exemplo 8. Seja v = (1, 0, −2) e w = (1, 2, 3). Ent˜o a   i j k 0 −2 1 −2 1 0 v × w = det  1 0 −2  = det , − det , det 2 3 1 3 1 2 1 2 3 = (4, −5, 2).Teorema 2. (O Produto Misto) Sejam u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) e w = (w1 , w2 , w3 ). Ent˜o a   u1 u2 u3 u · (v × w) = det  v1 v2 v3  . w1 w2 w3Prova: Usando o resultado obtido no Teorema 1: v2 v3 v1 v3 v1 v2 u · (v × w) = u1 det − u2 det + u3 det . w2 w3 w1 w3 w1 w2Exemplo 10. Calcule o volume do paralelep´ ıpedo determinado por u = (2, 1, 4), v = (−1, 0, 2) e w = (1, 2, 3). Calcule o volume do paralelep´ ıpedo determinado por a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6) e c = (−5, −1, 3). 16
    • Resposta: Desenvolvendo em cofatores a partir da segunda linha, obtemos   2 1 4 det  −1 0 2  = −5 − 6 = −11, 1 2 3 logo V [u, v, w] = 11. No segundo caso, obtemos   1 2 3 V [a, b, c] = det  4 5 6  = 0, −5 −1 3 logo conclu´ ımos que os vetores a, b e c s˜o coplanares, isto ´, pertencem ao mesmo plano. a e 17