Your SlideShare is downloading. ×
Universidad Tecnológica De TorreónProcesos Industriales Área Manufactura              Estadística    “Trabajo final de la ...
Distribuciones de probabilidadEn teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de unavariable a...
Distribución BernoulliUn ensayo bernoulli es un experimento que tiene dos resultados. Al primero se lellama “éxito” y al o...
Ejemplos:         Cuando se lanza al aire una moneda hay una probabilidad de 0.5 de que caiga en         “cara”. Sea X = 1...
Cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que salga 6. Sea X = 1,si el dado cae seis y X = 0, en cualquier ot...
Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte superior del tablero.La probabilidad de que anote el tiro es...
Media:      =P         0.25Varianza:   = P(1-P)   0.1875 Eventos     Si la bebida es mediana    Probabilidad   Y=1        ...
Distribución binomialExtraer un solo componente de una población y determinar si está o nodefectuosa es ejemplo de un ensa...
Si X ~Bin (n,p), la función de masa de probabilidad de X es:P(X) = P(X =**************************************************...
Determine la función de masa de probabilidad de la variable aleatoria X,Si X ~Bin (10,0.4).Determine P(X =5)**************...
Se lanza una moneda 10 veces y la probabilidad de obtener cara es de .5Sea X~ Bin (10, 0.5). Determine
Sea X~ Bin(8, 0.4). Determine
La distribución poissonLa distribución de poisson se utiliza con frecuencia en el trabajo científico. Unamanera de conside...
Estas probabilidades son casi iguales entre sí. Aunque a partir de la fórmula de lafunción de masa de probabilidad binomia...
Ejemplos:Si X ~Poisson (3), calcule: P(X = 2), P(X = 10), P(X = 0), P(X = -1) y P(X = O.5)                    λ           ...
Suponga que 0.03% de los contenedores plásticos producidos en cierto procesotiene pequeños agujeros que los dejan inservib...
Si X ~Poisson (4), calcule: P(X = 0), P(X = 1) y P(X = 2)*****************************************************************...
Si X ~Poisson (5), calcule: P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3), P(X = 4) y P(X = 5)
Distribución NormalUna distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N (μ, σ).Su gráfica es la campa...
Tipificación de la variablePara poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X quesigue una distribución N ...
1. Determine el área bajo la curva normal      a) Ala derecha de z= -0.85.      b) Entre z = 0.40 y z = 1.30.      c) Entr...
3- La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente conmedia de 10 giga pascales (Gpa) desviación está...
5- El volumen de las llantas llenadas por cierta maquina se distribuyecon media de 12.05 onzas y desviación estándar de 0....
Distribución GammaLa distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se estáinteresado en la ocurrencia de...
1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que0,1.Cá...
Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horasde trabajo. Para conservar este promedio esta...
Distribución T de studentsurge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño ...
es la varianza muestral y demostró que la función de densidad de T es                       donde    es igual a n − 1.    ...
=0.22313 + 0.33470+0.25102 +0.12551=0.9344   2. Sea T ~ Weibull(0.5,3)      a) Determinar     b) Determinar     c) Determi...
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure menos de 5000           horas?              P(t<5000) =P(T5. Un sist...
Distribuciones de probabilidad
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Distribuciones de probabilidad

3,674

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
3,674
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
65
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Transcript of "Distribuciones de probabilidad"

  1. 1. Universidad Tecnológica De TorreónProcesos Industriales Área Manufactura Estadística “Trabajo final de la unidad dos” Distribuciones de probabilidad Alejandra Ríos Zamora 2°D Lic. Edgar Gerardo Mata Ortiz
  2. 2. Distribuciones de probabilidadEn teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de unavariable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre lavariable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución deprobabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de lossucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales, ladistribución de probabilidad está completamente especificada por la función dedistribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variablealeatoria sea menor o igual que x.Por lo tanto una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores quepueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase acabo. Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro,constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puedediseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendenciasactuales de diversos fenómenos naturales.
  3. 3. Distribución BernoulliUn ensayo bernoulli es un experimento que tiene dos resultados. Al primero se lellama “éxito” y al otro “fracaso”. La probabilidad de “éxito” se denota por p.Por consecuencia, la probabilidad de “fracaso” es 1-p.Para cualquier ensayo de bernoulli se define a la variable aleatoria x así: si elexperimento propicio “éxito”, entonces X = 1. De lo contrario, X = 0. De ahí que Xsea una variable aleatoria discreta, con función de masa de probabilidad p(X)definida por P (0) =P(X = 0) = 1-p P (1) =P(X = 1) =pSe dice que la variable aleatoria X sigue una distribución de bernoulli conparámetro p la notación es X ~ Bernoulli (p) Media y varianza de una variable aleatoria de Bernoulli.Media = pVarianza = p (1-p)
  4. 4. Ejemplos: Cuando se lanza al aire una moneda hay una probabilidad de 0.5 de que caiga en “cara”. Sea X = 1, si la moneda cae en “cara” y X = 0, si cae en “cruz”. ¿Cuál es la distribución de X? Probabilidad de que caiga “cara” = .5 ó 50% Probabilidad Eventos Sustituimos la formula Probabilidad Éxito X=1 P(1) =P(X = 1) =P 0.5 ó 50% X=0 P(0) =P(X = 0) = 1-P 0.5 ó 50%Fracaso La probabilidad de éxito, P(X = 1), es igual a 0.5. Por lo tanto, X~ Bernoulli (0.5) Media: =P 0.50 Varianza: = P(1-P) 0.25 0.50 (1-0.50)
  5. 5. Cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que salga 6. Sea X = 1,si el dado cae seis y X = 0, en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X? Eventos Probabilidad X=1 P(1) =P(X = 1) =P 0.16 ó 1/6 X=0 P(0) =P(X = 0) = 1-P 0.83 ó 5/6La probabilidad de éxito, P(X = 1), es igual a 1/6. Por lo tanto,X~ Bernoulli (1/6)Media: =P 0.16 ó 1/6Varianza: = P(1-P) 0.1344 /36********************************************************************************Diez por ciento de los componentes fabricados mediante determinado procesoesta defectuoso. Se selecciona un componente aleatoriamente. Sea X = 1, si elcomponente esta defectuoso y X =0, en cualquier otro caso. ¿Cuál es ladistribución de X? Eventos Probabilidad X=1 P(1) =P(X = 1) =P 0.10 X=0 P(0) =P(X = 0) = 1-P 0.90La probabilidad de éxito, P(X = 1), es igual a 0.1. Por lo tanto,X~ Bernoulli (0.1)Media: =P 0.1Varianza: = P(1-P) 0.09
  6. 6. Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte superior del tablero.La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55. Sea X = 1, si anota el tiro, si no lohace, X = 0. Determine la mediana y la varianza de X Eventos Probabilidad X=1 P(1) =P(X = 1) =P 0.55 X=0 P(0) =P(X = 0) = 1-P 0.45La probabilidad de éxito, P(X = 1), es igual a 0.1. Por lo tanto,X~ Bernoulli (0.55)Media: =P 0.55Varianza: = P(1-P) 0.2475*******************************************************************************En un restaurante de comida rápida, 25% de las órdenes para beber es unabebida pequeña, 35% una mediana y 40% una grande.Sea X = 1 si se escoge aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y X= 0en cualquier otro caso.Sea Y = 1 si la orden es una bebida median y Y = 0 en cualquier otro caso.Sea Z = 1 si la orden es una bebida pequeña o mediana y Z = 0 en cualquier otrocaso. Eventos Si la bebida es pequeña Probabilidad X=1 P(1) =P(X = 1) =P 0.25 X=0 P(0) =P(X = 0) = 1-P 0.75
  7. 7. Media: =P 0.25Varianza: = P(1-P) 0.1875 Eventos Si la bebida es mediana Probabilidad Y=1 P(1) =P(Y = 1) =P 0.35 Y=0 P(0) =P(Y = 0) = 1-P 0.65Media: =P 0.35Varianza: = P(1-P) 0.2275 Eventos Si la bebida es pequeña o Probabilidad mediana Z=1 P(1) =P(Z = 1) =P 0.60 Z=0 P(0) =P(Z = 0) = 1-P 0.40Media: =P 0.60Varianza: = P(1-P) 0.24
  8. 8. Distribución binomialExtraer un solo componente de una población y determinar si está o nodefectuosa es ejemplo de un ensayo bernoulli. En la práctica, es posible extraervarios componentes de una gran población y contar el número de elementosdefectuosos. Esto implica realizar diversos ensayos de bernoulli independientes ycontar el número de éxitos. El número de éxitos es una variable aleatoria, quetiene una distribución binomial.Suponga que se lleva a cabo una serie de n ensayos de bernoulli, cada uno conla misma probabilidad de éxito p. además, suponga que los ensayos sonindependientes: esto es, que el resultado de un ensayo no influyen en losresultados de alguno de los otros ensayos. Sea la variable aleatoria X igual alnúmero de éxitos en n ensayos, entonces X tiene la distribución binomial conparámetros n y p. la notación es X~Bin(n,p). X es una variable aleatoria discretay sus posibles valores son 0,1……n. Entonces X tiene la Cada ensayo tiene distribución Se realiza un total X es el numero Los ensayos son la misma binomial con de n ensayos de de éxitos en los n independientes probabilidad de parámetros n y p, bernoulli y si: ensayos éxito p que se denota como X~Bin(n,p)
  9. 9. Si X ~Bin (n,p), la función de masa de probabilidad de X es:P(X) = P(X =**********************************************************************************************Ejemplos:Se lanza al aire 8 veces un dado. Determine la probabilidad de que no salga masde dos números seis.Cada lanzamiento del dado es un experimento Bernoulli con una probabilidad deéxito de 1/6.Sea X el número de seises en los 8 lanzamientos. Entonces X~ Bin (8 1/6). Senecesita determinar a P(X=0), P(X=1) y P(X=2)
  10. 10. Determine la función de masa de probabilidad de la variable aleatoria X,Si X ~Bin (10,0.4).Determine P(X =5)**********************************************************************************************Se toma una muestra de cinco elementos de una población grande, en la cual10% de los elementos esta defectuosaSea X~ Bin(5, 0.1). Determine
  11. 11. Se lanza una moneda 10 veces y la probabilidad de obtener cara es de .5Sea X~ Bin (10, 0.5). Determine
  12. 12. Sea X~ Bin(8, 0.4). Determine
  13. 13. La distribución poissonLa distribución de poisson se utiliza con frecuencia en el trabajo científico. Unamanera de considerarla es como una aproximación de la distribución binomialcuando n es grande y p es pequeño. Esto se muestra con un ejemplo:Una masa contiene 10 000 átomos de una sustancia radiactiva. La probabilidad deque cierto átomo decaiga en un periodo de un minuto es 0.0002. Sea X el númerode átomos que decae en un minuto. Se puede considerar a cada átomo como unensayo de bernoulli, en lo que el éxito ocurre si el átomo decae. Por tanto, X es elnumero de éxitos en 10 000 ensayos de bernoulli independientes, cada uno conprobabilidad de éxito de 0.0002, de tal forma que la distribución de X es Bin (10000, 0.0002). La media de X es µx =(10 000)(0.0002) = 2.Otra masa contiene 5 000 átomos y cada uno de estos tiene probabilidad de0.0004 de decaer en un intervalo de un minuto. Se Y el numero de átomos deesta masa que decae en un minuto.Por lo tanto Y ~ Bin(5 000, 0.0004) y µy = (5 000)(0.0004)=2.En cada uno de estos casos, el número de ensayos n y la probabilidad de éxito pson diferentes, pero el número promedio de éxitos, que es igual al producto np, esel mismo. Ahora suponga que se quiere calcular la probabilidad de que solo tresátomos decaigan en un minuto para cada uno de estas masas. Mediante lafunción de masa de probabilidad binomial, se calcula de la siguiente manera:
  14. 14. Estas probabilidades son casi iguales entre sí. Aunque a partir de la fórmula de lafunción de masa de probabilidad binomial esto no es obvio, cuando n es grande yp es pequeño la función de masa depende por completo de la media np, y muypocos de los valores específicos de n y p. por consiguiente, se puede aproximarla función de masa binomial con una cantidad que dependa solo del producto np.Específicamente, si n es grande y p es pequeña, y λ =np, se puede demostrarmediante métodos avanzados que para toda las X.Esto conduce a la definición de una nueva función de probabilidad, denominadafunción de masa de probabilidad de poisson, que se define medianteSi X es una variable aleatoria cuya función de masa de probabilidad está dada porla ecuación entonces X sigue una distribución de poisson con parámetro λ. Lanotación es X~ Poisson (λ)
  15. 15. Ejemplos:Si X ~Poisson (3), calcule: P(X = 2), P(X = 10), P(X = 0), P(X = -1) y P(X = O.5) λ X no debe ser negativo X debe ser un número entero
  16. 16. Suponga que 0.03% de los contenedores plásticos producidos en cierto procesotiene pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa el número decontenedores en una muestra aleatoria de 10 000 que tiene estos defectosdetermine P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3), P(X = 4) y P(X = 5)λ =np =(10 0008)(0.03%)λ=3
  17. 17. Si X ~Poisson (4), calcule: P(X = 0), P(X = 1) y P(X = 2)**********************************************************************************************Si X ~Poisson (6), calcule: P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3) y P(X = 4)
  18. 18. Si X ~Poisson (5), calcule: P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3), P(X = 4) y P(X = 5)
  19. 19. Distribución NormalUna distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N (μ, σ).Su gráfica es la campana de Gauss:El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas esigual a la unidad.Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área iguala 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha .La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.Distribución normal estándarN (0, 1)La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquellaque tiene por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica launidad, σ =1.La probabilidad de la variable X dependerá del área del recintosombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.
  20. 20. Tipificación de la variablePara poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X quesigue una distribución N (μ, σ) en otra variable Z que siga unadistribución N (0, 1).Cálculo de probabilidades en distribuciones normalesLa tabla nos da las probabilidades de P (z ≤ k), siendo z la variabletipificada.Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ (k).Φ (k) = P (z ≤ k)
  21. 21. 1. Determine el área bajo la curva normal a) Ala derecha de z= -0.85. b) Entre z = 0.40 y z = 1.30. c) Entre z =0.30 y z = 0.90. d) Desde z = - 1.50 hasta z =-0.45Estos resultados se obtuvieron con las tablas anexas al final de los problemasa) 1 – 0.1977 = 0.8023b) 0.9032 – 0.6554 = 0.2478c) 0.8159 – 0.3821 = 0.4338d) 0.0668 + (1 – 0.3264) = 0.7404 2- Las puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyen normalmentecon media de 480 y desviación estándar de 90. a) ¿Cuál es la proposición de puntuaciones mayores a 700? b) ¿Cuál es el 25º? ¿Percentil de las puntuaciones? c) Si la puntuación de alguien es de 600. ¿En que percentil se encuentra? d) ¿Qué proporción de las puntuaciones se encuentra entre 420 y 520? µ = 480 σ = 90 a) Z = (700-480)/90 = 2.44 el área a la derecha de Z es 0.0073 b) la puntuación de z en el 25 º percentil -0.67 El 25 º percentil es entonces 480 - 0.67 (90) = 419.7 c) z = (600-480)/90 = 1.33 el área a la derecha de z es 0.9082 Por lo que una puntuación de 600 está en el percentil 91 e) z = (420 - 480)/90 = - 0.67 Z = (520 – 480)/90 = 0.44 El área entre z = - 0.67 y z = 0.44 es 0.6700 – 0.2514 = 0.4186
  22. 22. 3- La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente conmedia de 10 giga pascales (Gpa) desviación estándar de 1.4 Gpa. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de esta aleación tenga resistencia mayor a 12 GPa? b) Determine el primer cuartil de la resistencia de esta aleación. c) Determine el 95º. Percentil de la resistencia de esta aleación.RESULTADOSµ = 10 σ = 1.4a) z = (12 -10)/1.4 = 1.43 el área ala derecha de z = 1.43 es 1 – 0.9236 = 0.0764b) la puntuación de z en el 25 º percentil es -0.67El 25 º percentil es entonces 10 - 0.67 (1.4) = 9.062 Gpa.c) la puntuación de z en el 95 º percentil es 1.645El 25 º percentil es entonces 10 + 1.645(1.4) = 12.303 Gpa.4- La penicilina es producida por el hongo penicillium, que crece en un caldo, cuyocontenido de azúcar debe controlarse con cuidado. La concentración optima eazúcar es de 4.9 mg/mL. Si la concentración excede los 6 mg/mL, el hongo muerey el proceso debe suspenderse todo el día. a) ¿Si la concentración de azúcar en tandas de caldo se distribuye normalmente con media 4.9 mg/mL y desviación estándar 0.6 mg/mL en qué proporción de días se suspenderá el proceso? b) El distribuidor ofrece vender caldo con una concentración de azúcar que se distribuye normalmente con medida de 5.2 mg/mL y desviación estándar de 0.4 mg/mL ¿este caldo surtirá efectos con menos días de producción perdida? RESULTADOS a) (6 – 4.9)/0.6 =1.83 1 – 0.9664 = 0.0336 b) Z = (6 – 5.2)/0.4 = 2.00 1 – 0.9772 = 0.0228 Con este caldo el proceso se suspendería el 2.28% de los días
  23. 23. 5- El volumen de las llantas llenadas por cierta maquina se distribuyecon media de 12.05 onzas y desviación estándar de 0.03 onzas.a) ¿Qué proporción de latas contiene menos de 12 onzas?b) La medida del proceso se puede ajustar utilizando calibración. ¿En que valor debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas?c) Si la media del procesos sigue siendo de 12.05 onzas. ¿En que valor debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas?RESULTADOS a) (12 – 12.05)/0.03 = -1.67 la proporción es 0.0475 b) Z= -2.33 entonces -2.33=(12 - µ)/0.03 despejando µ = 12 .07 onzas c) – 2.33 = (12-12.05)/ σ despejando σ = 0.0215 onzas
  24. 24. Distribución GammaLa distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se estáinteresado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson demedia lambda, la variable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener nocurrencias del evento sigue una distribución gamma con parámetros a=n lambda(escala) y p=n (forma). Se denotaGamma(a,p).Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de laduración de elementos físicos (tiempo de vida).Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Poresta razón, es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento yfenómenos de espera (por ejemplo en una consulta médica “tiempo que transcurrehasta la llegada del segundo paciente”).Ejercicio 1El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue unadistribución dePoisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurramenos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta lallegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).Solución:Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (ap)a : Escala 60000p : Forma 20000Punto X 10000Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174Media 0,3333Varianza 0,0556Moda 0,1667La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundopaciente es 0,98.Ejercicio 2Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que sonsometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue unadistribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:
  25. 25. 1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que0,1.Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000Punto X 14,2429Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.
  26. 26. Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horasde trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cadames. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfechocon esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focoscuya duración fue?:Aquí se encuentran las muestras que se tomaron para resolver el problema.Solución:Para poder resolver el problema lo que se tendrá que hacer será lo siguiente seaplicara una formula la cual tendremos que desarrollar con los datos con los quecontamos.Tendremos que sustituir los datost= x -μSI n α = 1- Nc = 10%v = n-1 = 24t = 2.22Procedimiento: se demostrara la forma en que se sustituirán los datos.VALOR DE LOS DATOS. APLICACION DE LA FORMULAµ n=500 h t=505.36-500 t = 2.22n =25 12.07 25Nc =90% v = 25 -1 = 24X=505.36 α = 1- 90% = 10%S=12.07
  27. 27. Distribución T de studentsurge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño dela muestra es pequeño.Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferenciasentre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entrelas medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debeser estimada a partir de los datos de una muestra.La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente Donde  Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1  V tiene una distribución ji-cuadrado con grados de libertad  Z y V son independientes Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad .Aparición y especificaciones de la distribución t de StudentSupongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con 2media μ y varianza σ . Sea la media muestral. Entonces sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1. Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de antemano, Gosset estudió un cociente relacionado, donde
  28. 28. es la varianza muestral y demostró que la función de densidad de T es donde es igual a n − 1. La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student. El parámetro representa el número de grados de libertad. La distribución depende de , pero no de o , lo cual es muy importante en la práctica. 1. Sea T ~ t(4,0.5) a) Determinar b) Determinar c) Determinar P(TP(T= 1- e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e (0.5)(1)=1- 0.60653 -0.30327 -0.075816 -0.012636=0.000175 d) Determinar P(TP(T= e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e (0.5)(3)
  29. 29. =0.22313 + 0.33470+0.25102 +0.12551=0.9344 2. Sea T ~ Weibull(0.5,3) a) Determinar b) Determinar c) Determinar P(T P (T>5) =1-P(T 1) = 1 – e- 3. En el articulo “Parameter Estimation with Only One Complete Failure Observation”se modela la duración en horas, de cierto tipo de cojinete con la distribución de Weibull con parámetros a) Determine la probabilidad de que un cojinete dure mas de 1000 horas b) Determine la probabilidad de que un cojinete dure menos de 2000 horas P(T<2000)= P(T c) La función de riesgo se definio en el ejercicio 4 ¿Cuál es el riesgo en T=2000 horas? h(t) = 4. La duración de un ventilador, en horas , que se usa en un sistema computacional tiene una distribución de Weibull con a) ¿Cuáles la probabilidad de que un ventilador dure mas de 10 000 horas? P(T>10 000 ) =1 –(1- =0.3679
  30. 30. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure menos de 5000 horas? P(t<5000) =P(T5. Un sistema consiste de dos componentes conectados en serie. El sistema fallara cuando algunode los componentes falle. Sea T el momento en el que el sistema falla. Sean X1 y X2 las duracionesde los dos componentes. Suponga que X1 y X2 son independientes y que cada uno sigue unadistribución Weibull con 2 a) Determine P( P( b) Determine P(T 5) P(T =0.8647 c) T Tiene una distribución de Weibull= si es Asi ¿Cuáles son sus parametros?Si, T~ Weibull (2,

×