Your SlideShare is downloading. ×

Ingreso2013

1,483

Published on

apunte del ingreso del profesorado de matematica albino sanchez barros año 2013

apunte del ingreso del profesorado de matematica albino sanchez barros año 2013

Published in: Education
0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
1,483
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
7
Actions
Shares
0
Downloads
100
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO INTRODUCTORIO 2013 1 I.S.F.D “Insp. Prof. Albino G. Sánchez Barros” MÓDULOS: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA GEOMETRÍA PROFESORES: MÓNICA ABALLAY ALEJANDRO NIETO
  • 2. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 Vida Intelectual "El genio es fruto de una larga paciencia, pero una paciencia organizada, inteligente. No hay necesidad de facultades extraordinarias para realizar una obra; un término medio calificado es suficiente; la demás es provisto por la energía y sus sabias aplicaciones. Y así vemos el caso de un obrero probo, ahorrador y fiel al trabajo: este triunfa. En tanto, un genio enfatuado fracasa. Lo que digo sobre esto, vale para todos; empero la aplico especialmente a quienes disponen solamente de una parte de su vida, la menor, para dedicarse a las trabajos de la inteligencia. Estos, más que otros, deben ser consagrados. Lo que más vale es la voluntad; una voluntad ardiente y profunda, una voluntad dispuesta a 2 triunfar, a ser alguien; a llegar a algo; ser ya por deseo, ese alguien calificado por su ideal. Todo lo demás tiene arreglo. Libros existen en todas partes. Los grandes seres están siempre presentes y desde su pasado animan al pensador entusiasta. Cuando se experimentan sentimientos tales, no importa dónde se está y de que se dispone. Uno está marcado con el sello; es un elegido por el Espíritu; no hay más que perseverar y confiar en la vida tal cual Dios la organiza." Jacques Maritain Del libro “Introducción a la Filosofía” Ed: Club de Lectores – Bs As 1999 .
  • 3. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 ARITMÉTICA Y ALGEBRA REVISIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Y SUS OPERACIONES 1. Introducción Aún en las etapas más primitivas de la evolución humana se encuentra en el Hombre el sentido del número. Esta capacidad le permite a él reconocer lo que ha cambiado en un conjunto de elementos, por ejemplo, si se ha extraído o añadido algún objeto. 3 ¿Cómo pudo un hombre, hace 5000 años, saber que en su rebaño no faltaba ninguna de sus 41 ovejas, si ni siquiera sabía contar hasta 10? Una simple solución es la siguiente: llevaba consigo tantas piedritas como ovejas, y al terminar la jornada guardaba por cada oveja una piedrita en su bolsa; si sobraba alguna sabía que debía buscar una oveja. Establecía una correspondencia biunívoca entre dos conjuntos de objetos. Mucho tiempo después, los romanos usaron también piedritas para hacer sus cálculos; la palabra “cálculo” significa etimológicamente piedra, y de ahí el origen de la palabra calcular. La actividad de contar y la necesidad de simplificar la tarea de hacer cálculos, implicó la necesidad de utilizar símbolos escritos para representar lo que se había contado. Fue así que surgieron los distintos sistemas de numeración. A través de la historia se han usado distintos sistemas, y en cada uno de ellos cada número se representa como una combinación de símbolos. En algunos casos los símbolos representan cantidades y una combinación de símbolos representa la suma de estas cantidades; estos sistemas emplean una descomposición aditiva. En otros casos, como el sistema decimal actual, importa la ubicación del símbolo en la representación del número. Por ejemplo, 21 significa veintiuno, mientras que 12 significa doce. Estos sistemas se llaman posicionales. Algunas culturas usaron una base de 20 símbolos, otros de 60, pero el sistema de numeración que ha predominado y es el que actualmente usamos tiene base 10, y por eso se llama decimal. Eso significa que podemos escribir números arbitrariamente grandes con tan sólo diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Así es como el número 10 ha dejado sus marcas en nuestra forma de contar y en las palabras para nombrar los números. Así por ejemplo “dieciséis” está compuesto por las palabras “diez” y “seis”, “treinta” hace alusión a “tres” veces 10. La característica fundamental de este sistema de numeración está centrada entonces en la posición que el número ocupa: Así el número 111, cada una de las cifras –que son iguales- tiene un valor absoluto que es el mismo y un valor relativo a la posición que ocupa:
  • 4. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 1 1 1 Representa 1 unidad Representa Representa 1 centena que 1 decena, es equivale a 10 decir 10 decenas y a 100 unidades unidades 4 Los números que se usan para contar se llaman números naturales: 1, 2, 3,.... Fueron los primeros números que aparecieron en la historia de las matemáticas. Luego se agregó el 0 como una forma de representar lo que no hay, los números negativos para poder resolver todas las restas, las fracciones para resolver todas las divisiones, también los números irracionales y los imaginarios. De esta manera quedaron definidos los distintos conjuntos numéricos: los naturales, los enteros, los racionales, los reales y los complejos. Haremos, en este curso, un recorrido por los distintos conjuntos, justificando brevemente la necesidad de construirlos. 2. Números naturales 2.1. Nociones básicas Los números naturales son, tal como los conocemos, 1, 2, 3, 4, 5,. . . infinitos. Llamamos N al conjunto de los números naturales, es decir: N = { 1, 2, 3, 4, 5, ...} Estos números se usan a diario para contar. Matemáticamente, contar significa decir cuántos elementos tiene un conjunto. Por ejemplo, el conjunto {a, b, c, d} tiene 4 elementos. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto vacío? Como el conjunto vacío no posee ningún elemento, necesitamos un símbolo nuevo que represente la cantidad de elementos de este conjunto. Este símbolo es el 0. Llamamos N al conjunto de los números naturales con el cero, o sea: N 0 = N  {0} = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
  • 5. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 2.2. Propiedades  Es un conjunto infinito, totalmente ordenado por la relación de menor o igual ( ≤ ).  Tiene primer elemento, el número 1.  No tiene último elemento, es un conjunto infinito.  Todo número natural tiene un siguiente. 5  Entre dos números naturales consecutivos no hay ningún número natural y entre dos naturales no consecutivos hay un conjunto finito de números naturales, por eso es un conjunto discreto. 2.3. Operaciones El conjunto de los números naturales tiene dos operaciones importantes: la suma y el producto. Ambas son operaciones asociativas y conmutativas. El 1 es el neutro para el producto, y la suma no tiene elemento neutro en N, pero sí en N₀: el 0. La suma repetida de un mismo número se llama multiplicación, o también usaremos el término producto. Así, sumar 5 veces 8 es multiplicar 5 por 8, y coincidentemente, es lo mismo que sumar 8 veces 5. Esto es: 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 5 . 8 y además 8 + 8 + 8 + 8+ 8 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 5 veces 8 veces Por lo tanto, en el conjunto de los números naturales podemos definir 2 operaciones: suma y multiplicación. Estas operaciones son cerradas, es decir, la suma y la multiplicación entre dos números naturales es otro número natural. Además las operaciones cumplen con las siguientes propiedades:  Conmutatividad: esta propiedad se refiere a que el orden de los términos de una suma o de los factores en una multiplicación no altera el resultado. Por ejemplo: 5 + 6 = 6 + 5 = 11 ; 2.3=3.2=6  Asociatividad: esta propiedad se refiere a que la forma de agrupar los términos en una suma o en una multiplicación no altera el resultado. Por ejemplo: 2+(3+4)=(2+3)+4=9 2 . ( 3 . 4 ) = ( 2 .3) .4 = 24
  • 6. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013  Distributividad: de la multiplicación respecto de la suma: la multiplicación distribuye respecto de la suma.  En forma general, las dos operaciones: suma y producto están relacionadas por la siguiente propiedad: Para toda terna de números naturales a, b, c, vale que a · (b + c)= a · b + a · c propiedad distributiva del producto respecto de la suma (a + b) · c = a · c + b · c 6 Por ejemplo: (2+1) . 3 = 2 . 3 + 1 . 3 3 . (2+1) = 3 . 2 + 3 . 1 3 . 3 = 6 + 3 9 = 9 Así como la multiplicación por un natural es una suma iterada de términos iguales, se conviene en representar la multiplicación iterada de factores iguales, como una potencia: 8 . 8 . 8 . 8 = 8⁴ En este caso, 8 se llama la base y 4 el exponente. El exponente indica el número de veces que se multiplica a la base por sí misma. Notemos por ejemplo que: 5² . 5⁴ = 5²⁺⁴ = 5⁶ puesto que (5 .5) (5 . 5 . 5 . 5) = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 2 veces 4 veces 6 veces La multiplicación de dos potencias de igual base es otra potencia con la misma base, y cuyo exponente es la suma de los exponentes. Veamos cómo se pueden usar estas propiedades para calcular el cuadrado de la suma de dos números naturales: (a + b) 2 = (a + b) · (a + b) = (a + b) · a + (a + b) · b =a·a+b·a+a·b+b·b = a² + a b + a b + b² = a² + 2 a b + b²
  • 7. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 Esto también puede verse geométricamente como muestra el dibujo de la figura 1: 7 Ejercicio: Encontrar una fórmula para (a + b)³ Divisibilidad Sean a y b números naturales. Se dice que a es divisible en b si el resto de a ÷ b es cero. Ejemplos 48 es divisible en 8, el cociente (resultado) de la división es 6 y el resto es cero. Decimos entonces que 8 es divisor de 48. ¿Qué otros divisores tiene 48? 48 se puede dividir por: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48 Entonces un número es b es divisor de otro a, si y sólo si el resto de la división es cero. Un número tiene una cantidad finita de divisores.  Todo número se puede dividir por sí mismo y por uno. Pero sí un número sólo se puede dividir por sí mismo y por uno, entonces es un número primo.  Si un número además de ser divisible por sí mismo y por la unidad, lo es por otros divisores; entonces es número compuesto.  1 es divisor de todos los números.  El número 1 no es primo, ni compuesto. Ejemplos 12 es número compuesto, porque tiene como divisores al: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. 28 es número compuesto, porque tiene como divisores al: 1, 2, 4, 7, 14 y 28. 5 es número primo, porque sólo se puede dividir por 1 y por 5.
  • 8. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 7 es número primo, porque sólo se puede dividir por 1 y por 7. 2 es el menor de los números primos. Tabla de números primos Para obtener los primeros n números primos de los números naturales se puede utilizar la criba de Eratóstenes, la cual consiste en hacer una tabla con los números del 1 hasta n. El procedimiento es señalar con un paréntesis los números que sean primos y tachar 8 los que no lo sean. Se empieza por tachar el 1 y escribir entre paréntesis el 2, a continuación se tachan los múltiplos de 2, posteriormente se busca el primer número no tachado, en este caso (3), se pone entre paréntesis y se tachan todos sus múltiplos. El procedimiento se sigue hasta tener marcados todos los números. Por tanto, los números primos entre 1 y 100 son: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97} Múltiplos El múltiplo de un número es el que lo contiene un número exacto de veces o son los resultados de la tabla de multiplicar de un número. Ejemplos 36 es múltiplo de 9, porque lo contiene 4 veces, también 36 está en la lista de resultados de la tabla de multiplicar del 9. 240 es múltiplo de 12, porque lo contiene 20 veces. Los múltiplos de un número k se obtienen al multiplicar k por los números naturales: k.n siendo n cualquier número natural.
  • 9. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 Ejemplos Los múltiplos de 3 son: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, … , porque 3(1) = 3, 3(2) = 6, 3(3) = 9, 3(4) = 12, 3(5) = 15, 3(6) = 18, ... Los múltiplos de 5 son: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … , porque 5(1) = 5, 5(2) = 10, 5(3) = 15, 5(4) = 20, 5(5) = 25  A diferencia de los divisores, los múltiplos de un número son infinitos.  0 es múltiplo de todos los números. 9 Criterios de divisibilidad Divisibilidad en 2: Un número es divisible por 2 si termina en 0, 2, 4, 6 u 8, los números divisibles por 2 se llaman pares. Divisibilidad en 3: Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3. Ejemplos 51 es divisible entre 3, ya que 5 + 1 = 6 y 6 es múltiplo de 3. 486 es divisible entre 3, ya que 4 + 8 + 6 = 18 y 18 es múltiplo de 3. Divisibilidad en 4: Un número es divisible por 4, si sus últimos 2 dígitos son 0 o un múltiplo de 4. Ejemplos 900 es divisible entre 4, porque termina en doble 0. 628 es divisible entre 4, porque 28 es múltiplo de 4. Divisibilidad en 5: Un número entero es divisible por 5, si su último dígito es 0 o 5. Ejemplo 5 215 y 340 son divisibles entre 5, ya que terminan en 5 y 0 respectivamente. Divisibilidad en 6: Un número entero es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3 a la vez. Ejemplos 24 es divisible por 2 porque termina en número par y es divisible por 3 porque la suma de sus cifras da 6, por lo tanto es también divisible por 6.
  • 10. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 216 es divisible por 2, ya que termina en 6, y es divisible por 3, porque la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Por lo tanto, 216 es divisible por 6. Divisibilidad por 7: Un número es divisible entre 7, cuando al multiplicar el último dígito por 2 y restar el producto al número que se forma con los dígitos restantes, la diferencia es 0 o un múltiplo de 7. Ejemplos 315 es divisible por 7, ya que 5 × 2 = 10 y 31 − 10 = 21 y 21 es múltiplo de 7. 10 147 es divisible por 7, porque 7 × 2 = 14 y 14 − 14 = 0. Divisibilidad en 8: Un número es divisible por 8, cuando sus 3 últimos dígitos de la derecha son 0 o forman un múltiplo de 8. Ejemplos 6 000 es divisible por 8, ya que sus últimos 3 dígitos son 0. 3 160 es divisible por 8, porque los 3 últimos dígitos, 160, forman un múltiplo de 8. Divisibilidad en 9: Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9. Ejemplos 1 233 es divisible por 9, ya que 1 + 2 + 3 + 3 = 9, y 9 es múltiplo de 9. 6 786 es divisible por 9, ya que 6 + 7 + 8 + 6 = 27, y 27 es múltiplo de 9. Divisibilidad en 10: Un número es divisible por 10, si el último dígito es 0. Ejemplos 360 es divisible por 10, porque su último dígito es 0. 2 500 es divisible por 10, ya que termina en 0. Divisibilidad en 11: Un número es divisible por 11, si el valor absoluto de la diferencia entre la suma de los dígitos en posición par y la suma de los dígitos en posición impar es 0 o múltiplo de 11. Ejemplos 1 364 es divisible por 11, ya que (3 + 4) – (1 + 6) = 7 – 7 = 0 82 918 es divisible por 11, porque (8 + 9 + 8 ) – ( 1 + 2 ) = 25 – 3 = 22 y 22 es múltiplo de 11
  • 11. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 Descomposición de un número en sus factores primos La descomposición de un número en sus factores primos es su expresión como producto de sus factores primos. Para obtenerlo, se divide el número por el menor divisor primo posible, el cociente que se obtiene se vuelve a dividir por el menor divisor primo posible, y así hasta que el último cociente sea 1, este procedimiento también se conoce como factorización de un número compuesto. Por ejemplo: 11 Máximo común divisor (MCD) Es el mayor de los divisores en común de 2 o más números. Ejemplo 1 Los divisores de 18 y 24 son: Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 y 18 Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 Los divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6, el mayor de los divisores en común es el 6 Por tanto, el máximo común divisor de 18 y 24 es 6. Para calcular el MCD de varios números se descomponen simultáneamente en sus factores primos, hasta que ya no tengan un divisor primo en común. Cuando los números sólo tienen a la unidad como común divisor, los números reciben el nombre de “primos relativos”.
  • 12. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 Ejemplo 2 12 Mínimo común múltiplo (mcm) El mínimo común múltiplo es el menor de todos los múltiplos comunes de 2 o más números. Ejemplo 1 Al obtener los múltiplos de 4 y 6 se tiene: Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, … Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, … Los múltiplos comunes son: 12, 24, 36, 48, … El menor de todos los múltiplos en común es 12 Por tanto, el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12 Para calcular el mcm de varios números se descomponen simultáneamente en factores primos hasta que los cocientes sean 1, si alguno de los números no es divisible entre el factor dado, se baja y se continúa hasta encontrar el factor primo que lo divida.
  • 13. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 Ejemplo 2 13 Problemas
  • 14. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 3. Números Enteros Quedó planteado ya que los números naturales sirven para contar y ordenar. Sin embargo, hay situaciones que para ser descriptas correctamente requieren de otro tipo de números. Los números enteros negativos se usan en diversos contextos, por ejemplo, para expresar o calcular: S  En geografía, profundidades o diferencias de altura: o la capa más superficial de la estructura de la Tierra, llamada corteza terrestre, llega hasta los -30 km en el fondo oceánico; 14 o la diferencia de altura que hay desde la cima del o Aconcagua, que se halla a 6.959 metros sobre el nivel del mar, hasta el fondo de la laguna del Carbón, en la provincia de Santa Cruz, donde el altímetro marca 105 metros bajo el nivel del mar. (Figura 2) figura 2  Temperaturas bajo cero: el día más frío del año 2008 en Ushuaia fue el 16 de agosto, con una temperatura mínima de -5°C y una temperatura máxima de 7°C.  En contabilidad, los números negativos significan deudas y los positivos haberes o activos poseídos.  Fechas en la antigüedad, años antes de Cristo: Platón, el más importante filósofo de la antigüedad, fue alumno de Sócrates y maestro de Aristóteles; nació en Grecia en el año 427 a.C. y murió en el año 347 a.C.; por lo tanto, vivió 80 años. 3.1. Construcción de los números enteros Para continuar el estudio de los números, consideremos N 0 el conjunto de los números naturales y el cero, y pensemos en la siguiente situación. En el capítulo anterior, estudiamos operaciones de números naturales y vimos que dos números
  • 15. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 naturales se pueden sumar y se obtiene como resultado otro número natural; también se pueden multiplicar y el resultado es un número natural. Por ejemplo, 3+6 = 9 ∈ N y 3·6 = 18 ∈ N. Además, si quisiéramos restar uno de otro, por ejemplo, hacer 6 - 3 también se puede dentro del conjunto N, es decir 6 - 3 = 3 ∈ N. Una situación cotidiana que refleja esta situación matemática es la siguiente: si Luis tiene 6 pesos, Marcos le puede pedir prestados 3 pesos y a Luis todavía le quedan 3. En cambio, si Luis tuviera sólo 3 pesos, Marcos no debería esperar que le preste 6 porque no tiene más de 3. Es decir, ¿qué ocurre si queremos efectuar la operación de resta en el otro sentido, o sea, 3 - 6? ¿A 3 se le puede restar 5? Veremos enseguida que, en realidad, sí se puede 15 efectuar esta operación, pero el resultado ya no es un número natural. Recordemos que la operación suma dentro de N₀ tiene al cero como elemento neutro porque a + 0 = a y 0 + a = a para todo número natural a. Pero ningún número natural tiene un inverso dentro de N₀, respecto de la suma. La pregunta es qué tipo de números deberíamos agregarle a N₀ para que todo elemento tenga inverso respecto de la operación suma. Es decir, si Paula tuviera 3 remeras, Lorena podría pedirle las 3 remeras (por lo menos para probárselas) y en este caso, Paula no se quedaría con ninguna. Es decir, 3 - 3 = 0, o, mejor dicho, 3 + (-3) = 0 que no es un natural pero sí pertenece a N₀. En otras palabras, agreguémosle a N₀ todos los “opuestos” de sus elementos, es decir, el -1, el -2, etcétera. Llamaremos al nuevo conjunto que construimos de esta forma conjunto de los números enteros y lo denotamos con la letra Z. 3.2. Propiedades  Es un conjunto infinito totalmente ordenado por la relación de ≤ (menor o igual).  No tiene primero ni último elemento.  Todo número entero tiene un antecesor y un siguiente.  Entre dos números enteros existe un número finito de números enteros, por lo tanto es un conjunto discreto. Propiedad del número 0  Elemento Neutro para la Suma: si lo sumamos con cualquier número se obtiene el mismo número. Por ejemplo: 7 + 0 = 7, −4 + 0 = −4  Multiplicación por Cero: la multiplicación por cero siempre da como resultado cero.
  • 16. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 Por ejemplo: 6 . 0 = 0 , (−3) . 0 = 0  Potencia Cero: Se conviene definir la potencia de un número no nulo con exponente cero, igual a 1. Por ejemplo: 7: = 1 y (−5): = 1 Propiedad del número 1  Elemento Neutro para la Multiplicación: si se lo multiplica por cualquier número se Obtiene el mismo número; por ejemplo: 4 . 1 = 4 , (−9) .1 = −9 y 0 .1 = 0 16 3.3. Representación de los números enteros en la recta numérica Los números enteros suelen representarse como puntos de una recta. Esto es, se eligen dos puntos distintos, uno representa el 0 y el otro el 1. Así se tiene un segmento unidad. Transportando este segmento hacia un lado de la recta se representan todos los enteros positivos, y hacia el otro todos los enteros negativos. Claramente, existen muchos puntos de la recta que no se corresponden con ningún entero. 3.4. Valor absoluto de un número Es la distancia que existe desde cero hasta el punto que representa a dicha cantidad en la recta numérica. El valor absoluto de un número a se representa como a . Ejemplos: Determina el valor absoluto de – 3 Se representa − 3 en la recta numérica: De cero a − 3 se observa que hay 3 unidades de distancia, por tanto, el valor absoluto de − 3 es igual a 3 y se representa como:  3 = 3 Para encontrar el valor absoluto de 8:
  • 17. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 En la recta numérica la distancia entre el origen y 8 es de 8 unidades, por consiguiente, 8 8 3.5. Operaciones con números enteros y propiedades. 17 Suma En esta operación los elementos reciben el nombre de sumandos y el resultado suma o adición. La suma o adición de números enteros se efectúa sólo si los signos de los números son iguales. 3 + 9 = 12 y − 3 – 9= -12 Si los números tienen el mismo signo (−), se suman sus valores absolutos y el signo del resultado es el mismo que el de los sumandos (−). − 3 – 9 = − 12 Esta operación que genera, por lo general, dificultades para resolverla se puede interpretar a través de ejemplos prácticos o través de gráficos: Ejemplo 1: Supongamos que Luciano tiene cuenta en el kiosco de la escuela. El día lunes compró un sandwich y le anotaron 3 pesos; el día martes compró una gaseosa y un sandwich y le anotaron 9 pesos. La anotación en el cuaderno es la siguiente: Luciano debe: Día lunes: $ 3 Día martes: $ 9 La cuenta es: -3 -9 -12
  • 18. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 Veámoslo en la recta: Partiendo de C, avanzamos 3 unidades a la izquierda y llegamos a A, luego avanzamos 9 unidades más a la izquierda y llegamos a B. 18 Suma y resta con signos de agrupación Los signos de agrupación son ( ) paréntesis, [ ] cochetes , { } llaves Al realizar sumas y restas de números enteros que tienen signos de agrupación, primero es necesario eliminar dichos signos, para hacerlo debes seguir el siguiente procedimiento: Si a un signo de agrupación lo precede un signo positivo, el número entero que encierra conserva su signo. Analicemos los siguientes ejemplos: ¿Cuál es el resultado de (− 8) + (− 3)? Puesto que ambos signos de agrupación están precedidos por signos positivos, entonces se suprimen y se realiza la operación para obtener el resultado: (− 8) + (− 3) = − 8 − 3 = −11 Efectúa (+ 6) + (− 8) Al estar precedidos por signos positivos, ambos enteros conservan su signo y se obtiene como resultado: (+ 6) + (− 8) = 6 − 8 = − 2 Si un signo de agrupación es precedido por un signo negativo, entonces el entero que encierra cambia su signo: Por ejemplo: Para resolver − (14) − (− 10) Como a los signos de agrupación le anteceden signos negativos, entonces se deben cambiar los signos de los enteros y realizar la operación que resulta.
  • 19. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 − (14) − (−10) = −14 + 10 = − 4 El resultado de la operación es − 4 ¿Cuál es el resultado de (− 6) + (− 3) − (−11)? Se aplican los procedimientos correspondientes a cada signo de agrupación y se procede a efectuar la operación con enteros: (− 6) + (− 3) − (−11) = − 6 − 3 + 11 = − 9 + 11 = 2 Para resolver (6 − 8) + (5 − 2) 19 Una forma de realizar la operación es efectuar las operaciones que encierran cada uno de los signos de agrupación: (6 − 8) + (5 − 2) = (− 2) + (3) = 1 Para resolver (8 − 3) − (− 4 + 6) + (2 − 7 − 3) + 5= =8−3+4−6+2−7−3+5 =8+4+2+5−3−6−7–3 ó = (8 + 4 + 2 + 5 ) – (3 + 6 + 7 + 3 ) = 19 – 19 = (19 ) – ( 19) = 0 = 19 – 19 = 0 ¿Cuál es el resultado de *(− 8 + 6) − (− 3 − 2)+ + *4 − (2 − 1)+? Se efectúan las operaciones contenidas en los paréntesis: *(− 8 + 6) − (− 3 − 2)+ + *4 − (2 − 1)+ = = [ (− 2) − (− 5) + + *4 − (1)+ Se eliminan los paréntesis y se realizan las operaciones que encierran los corchetes: = *− 2 + 5+ + *4 − 1+ = [3] + [3] =3+3 =6
  • 20. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 Resta Es la operación inversa de la suma o adición. Los elementos de una resta son el minuendo (+), sustraendo (−) y la diferencia. a Minuendo − b Sustraendo c Diferencia Cuando se restan 2 números enteros la diferencia lleva el signo del entero de mayor 20 valor absoluto, como lo muestran los siguientes ejemplos: 9–7=2 ¿Cuál es el resultado de 3 − 4? Se realiza la operación 4 − 3 = 1, y al resultado se le antepone el signo negativo, debido a que el número de mayor valor absoluto es negativo, por tanto: 3 − 4 = −1 La multiplicación Leyes de los signos 1. El producto de dos números con signos iguales da como resultado un número positivo. Ejemplo: (8) (5) = 40 ; (− 3) (− 7) = 21 2. El producto de dos números con signos diferentes da como resultado un número negativo. Ejemplo: (− 6) (4) = − 24 ; (9)(− 3) = − 27 En general, la aplicación simbólica de las leyes de los signos anteriores es: (+) (+) = + (−) (−) = + (−) (+) = − (+) (−) = − Efectúa (− 3)(− 4)(− 6) Solución Se realiza el producto de (− 3)(− 4) y el resultado, 12, se multiplica por − 6, entonces: (− 3)(− 4)(− 6) = (12)(− 6) = − 72
  • 21. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 Finalmente, el resultado de la multiplicación es − 72 ¿Cuál es el resultado de (3) (− 5) (− 2) (4)? Solución Se multiplican 3 por − 5 y − 2 por 4, los resultados se vuelven a multiplicar para obtener el resultado final de la operación. = (3) (− 5) (− 2) (4) = (−15) (− 8) = 120 21 Por tanto, el producto es 120. Multiplicación con signos de agrupación Los signos de agrupación que se utilizan son: ( ), [ ], { }, ; cuyos nombres respectivamente son: paréntesis, corchetes y llaves. Para simplificar y obtener el resultado de una operación con signos de agrupación, hay que suprimir éstos y multiplicar los números del interior de los signos por el número o signo que los anteceden. Después se agrupan y suman los números del mismo signo y los resultados se restan. Efectúa 3 (4 − 2) – 5 (1 − 4) − (8 + 9) = aplicamos propiedad distributiva y suprimimos paréntesis 3. (4 − 2) – 5 (1 − 4) − (8 + 9) = = 12 − 6 − 5 + 20 − 8 − 9 Se agrupan y suman los números con el mismo signo, los resultados se restan: = 12 + 20 − 6 − 5 − 8 − 9 = 32 − 28 =4 ¿Cuál es el resultado de 6 – 4 {2 – 5 (4 − 3) + 3 (3 − 2)-? En este caso, primero se suprimen los paréntesis y los números se multiplican por los números que les anteceden: 6 – 4 {2 – 5 (4 − 3) + 3 (3 − 2) } = = 6 – 4 ,2 − 20 + 15 + 9 − 6- Ahora, se eliminan las llaves al multiplicar por −4,
  • 22. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 = 6 − 8 + 80 − 60 − 36 + 24 Por último, se realiza la operación al agrupar signos iguales y los resultados obtenidos se restan: = 6 + 80 + 24 − 8 − 60 – 36 ó = (6 + 80 + 24 ) – (8 + 60 + 36 ) = 110 – 104 = 110 - 104 =6 = 6 División 22 Partes de la división a b r p Divisor dividendo b≠0 resto cociente Si a y b son números enteros, la división de a por b, siendo b un número entero diferente de cero, consiste en encontrar a los números enteros p y r tales que: p . b + r = a para todo a > b y b < r. Ejemplo En la división de 25 en 4, el cociente es 6 y el resto, 1 ya que: 25 = 4 .6 + 1 Ejemplo En la división de 36 en 9, el cociente es 4 y el resto es 0, ya que: 36 = 9 . 4 + 0 Cuando en una división el resto es igual a 0, entonces se dice que la división es exacta. La división entera es una operación que sólo tiene sentido en el conjunto de los números enteros. Ahora bien, si bien el cociente entre 25 y 4 es 6, no es cierto que 4 por 6 sea igual a 25. Así como con los naturales no podemos resolver el problema de hallar el número que sumado a 5 de como resultado 3, en el conjunto de los enteros
  • 23. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 no es posible resolver problemas como hallar el número que multiplicado por 6 sea igual a 25. Para encontrar la solución a esta operación necesitamos trascender el conjunto de los números enteros, es decir ampliarlo y esa ampliación va a dar por resultado la aparición del Conjunto de los números racionales en el que no sólo 25 dividido en 4 es posible resolver sino cualquier división en la que:  El dividendo no es múltiplo del divisor  El dividendo es menor que el divisor 23 casos éstos que no tienen solución en el conjunto de los números enteros Z. Por ejemplo: 25 : 4 ó 3 : 7 En el conjunto de los números racionales: 25 3 25 4 = = 6,25 y 3:7= = 0,428571 4 7 4. Números Racionales Este conjunto numérico resulta de las sucesivas ampliaciones que se vienen produciendo desde los naturales a los enteros y de los enteros a los racionales, para que la división sea siempre posible. Un número racional es aquel que puede ser expresado como una fracción. Cabe entonces la pregunta: ¿ 2 es un número racional? ¿ y -3? ¿y 0? Veamos: Si cada uno de estos números tiene la posibilidad de escribirse como fracción, entonces son números racionales: 4 6 10 6 9 12 0 0 0 2=    ... ; -3=       ... ; 0=    ... 2 3 5 2 3 4 2 3 4 Un número natural como 2, tiene la posibilidad de ser escrito como una fracción. Un número entero como -3, también tiene la posibilidad de ser escrito como una fracción. Además el 0 es otro número entero que puede
  • 24. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 escribirse como una fracción. Por lo tanto, será que los números naturales y los enteros son también racionales? a  Si a y b son dos números naturales cualesquiera, entonces es un b racional. a  Si a y b son dos números enteros cualesquiera, entonces es un b número racional. 24 0  Si n es cualquier número entero, entonces es un número n racional. Naturales: N Cero: 0 Enteros: Z Negativos: Z  Racionales: Q Fraccionarios 4.1. Propiedades  Es un conjunto totalmente ordenado por la relación ≤.  No tiene primer ni último elemento.  Entre dos números racionales existen infinitos racionales, esto determina que Q sea un conjunto denso. Como consecuencia, ningún racional tiene antecesor, ni sucesor.
  • 25. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 GEOMETRÍA Fundamentos para su enseñanza1 La geometría forma parte de nuestro lenguaje cotidiano: Nuestro lenguaje verbal diario paseé muchos términos geométricos, por ejemplo: punto, recta, plano, curva, ángulo, paralela, círculo, cuadrado, perpendicular, etc. Si nosotros debemos comunicamos con otros a cerca de la ubicación, el tamaño o la forma de un objeto la terminología geométrica es esencial. En general un vocabulario geométrico básico nos permite comunicamos y entendemos con mayor preedición acerca de observaciones 25 sobre el mundo en que vivimos. La geometría tiene importantes aplicaciones en problemas de la vida real: Por ejemplo, está relacionada con problemas de medida que a diario nos ocupan, corno diseñar un cantero o una pieza cerámica, o un folleto, cubrir una superficie ó calcular el volumen de un cuerpo; con leer mapas y planos, o. con dibujar o construir un techo con determinada inclinación. La geometría se usa en todas las ramas de la matemática: Ella se comporta como un tema unificante (crea vínculos entre distintas áreas) de la matemática curricular ya que es un rico recurso de visualización para conceptos aritméticos, algebraicos y estadísticos. Los docentes usamos frecuentemente ejemplos y modelos geométricos para ayudar a que los estudiantes comprendan y razonen sobre conceptos matemáticos no geométricos. Son ejemplos o modelos geométricos usados en la enseñanza:  La recta numérica para números y operaciones  Las figuras y formas ·geométricas que se usan para desarrollar el significado de conceptos relativos a números fraccionarios  Los arreglos rectangulares para estudiar propiedades de los números naturales, o la multiplicación entre ellos.  Las ideas de curvas, figuras y cuerpos relacionadas directamente con los conceptos longitud, superficie y volumen.  Las coordenadas en un plano y la idea de representar puntos a través de pares Ordenados de números reales para relacionar el algebra con la geometría.  Los gráficos dé barra, círculos, lineales, etc. que permiten la descripción de datos numéricos utilizando elementos geométricos.  El geoplano para representar fracciones o recorridos La geometría es un medio para desarrollar la percepción espacial y la visualización. Sin considerar la necesidad de una buena percepción espacial en ocupaciones especificas todos necesitamos la habilidad de visualizar objetos en el espacio y captar sus 1 Extraído del Cuaderno para el curso de ingreso Geometría- Profesorado de Matemática- Albino S. Barros. Año 2011
  • 26. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 relaciones, o de la capacidad de" leer representaciones bidimensionales de objetos tridimensionales. " La geometría como modelo de disciplina organizada lógicamente: Ideas acerca de la lógica y la deducción en geometría no necesitan esperar para ser enseñada hasta los niveles superiores de la escolaridad. La geometría ayuda a estimular, ejercitar habilidades de pensamiento y estrategias de resolución de problemas. Da oportunidades" para observar, comparar, "medir, conjeturar, imaginar, crear, generalizar y deducir. Tales oportunidades pueden ayudar 26 al alumno a aprender como descubrir relaciones por ellos mismos y tornarse mejores solucionadores de problemas. OBJETIVOS  Introducir a los alumnos ingresantes al profesorado de Matemática en el uso del lenguaje geométrico adecuado y descubran otros nuevos.  Lograr un conocimiento básico de las formas geométricas y las relaciones espaciales, indispensables para el desenvolvimiento en la vida cotidiana y en el aula.  Lograr que los alumnos se familiaricen y manipulen los elementos de la geometría y su correcto uso. (regla, escuadra, compás, transportador, como así también utilizar tecnologías que colaboren a mejorar el , aprendizaje geométrico)  Comprender y adecuar estrategias para la resolución de problemas geométricos  Trabajar cooperativarnente asumiendo responsabilidades, respetando las normas acordadas, valorando la tenacidad y el esfuerzo necesario en el que hacer geométrico para el desarrollo personal y social. Introducción La geometría es una de las ramas más antiguas de la matemática. Fue la primera en desarrollarse como un cuerpo teórico ordenado, con axiomas, teoremas, y demostraciones; este desarrollo fue imitado luego por el resto de las matemáticas. La propia geometría desarrolló sus propias ramas, y por ese motivo es difícil hablar hoy de una única geometría. Cada vez que las herramientas teóricas se demostraban insuficientes para resolver nuevos desafíos, distintos problemas prácticos motivaron el desarrollo de estas nuevas geometrías.2 2 "Las Geometrías"- Autores varios: Juan Pablo Pinasco, Pablo Amster, Nicolás Saintier, Inés Saltiva – Ed: INET - Ciudad Autónoma de Buenos Aires. Argentina. 2009
  • 27. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 Geometría (del griego geo, tierra; metrein, medir), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea. Geometría demostrativa primitiva El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los 27 campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios. Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas. Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras). La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro Los elementos. El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.
  • 28. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 Símbolos Matemáticos Las matemáticas se valen de un dialecto o lenguaje coloquial para expresarse en forma concisa, abreviada e universal. Este lenguaje en algunos casos se compone de letras griegas y otras veces de diversos símbolos universales. El porqué de este lenguaje único de las matemáticas podría ser para darle un carácter universal, es decir, darle entendimiento en cualquier lugar sea cual sea el idioma que se hable. 28 Conceptos básicos Cada vez que en matemática se inicia el desarrollo de una teoría se debe fijar, como punto de partida, los conceptos primitivos, que se aceptan sin definir y ciertas propiedades que se aceptan sin demostrar, llamadas axiomas. A partir de ellos, se definen nuevos conceptos (definiciones) y se demuestran nuevas propiedades (teoremas). El lenguaje que usa el matemático para desarrollar su teoría es la lógica, en consecuencia, en una teoría matemática intervienen los siguientes elementos:  Conceptos o Términos primitivos (elementos sin definir)  Axiomas (propiedades sin demostrar)  Definiciones  Teoremas (propiedades demostradas)  Lenguaje lógico Antes de iniciar el estudio de la geometría y trigonometría, analizaremos algunos conceptos básicos:
  • 29. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 GEOMETRIA EUCLIDEANA3 El mérito principal de los Elementos de Euclides es haber llevado a cabo este procedimiento, eligiendo unos pocos axiomas, como base para desarrollar la geometría. El sistema axiomático de la geometría euclídea se divide en dos grupos de afirmaciones: unas son de carácter más general, y las otras se refieren específicamente a los objetos geométricos. Suele llamarse nociones comunes a los del primer grupo, y postulados a los del segundo. Comencemos por las nociones comunes: 29 1. Cosas iguales a una misma, son iguales entre sí. 2. Si a iguales se agregan iguales, los todos son iguales. 3. Si de cosas iguales se restan cosas iguales, las restas son iguales. 4. Cosas coincidentes son iguales entre sí. 5. El todo es mayor que la parte. Esta lista de afirmaciones nos permite comparar “cosas”: pueden ser números, figuras, etc. El término iguales hay que tomarlo en un sentido muy general, porque tendrá distintos significados según el contexto. Euclides utiliza indistintamente iguales, congruentes, o equivalentes, si bien hoy día, se utiliza cada uno de estos términos en determinados contextos. Por ejemplo, hablamos por un lado de igualdad de números, y por otro de congruencia de ángulos o de segmentos. No debemos olvidar que esta es una convención arbitraria que no constituye una cuestión clave o fundamental de la matemática. Los postulados son los siguientes: 1. Por dos puntos puede trazarse una recta. 2. Una recta dada puede extenderse indefinidamente. 3. Dado un centro y un radio puede trazarse un círculo. 4. Todos los ángulos rectos son congruentes a uno dado. 5. Si dos líneas cruzan una tercera de tal manera que la suma de los ángulos interiores en un lado es menor de dos ángulos rectos, entonces las dos líneas deben cruzarse una a la otra de ese lado, prolongadas lo suficiente. GEOMETRÍA. Rama de las matemáticas que estudia las propiedades, las formas y las dimensiones de fi guras y cuerpos geométricos. 3 Juan Pablo Pinasco – “Las geometrías”- INET -República Argentina.2009
  • 30. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 Punto. Según Euclides: “Punto es lo que no tiene partes”, para evitar confusiones al dar una definición más compleja sólo diremos que la idea de punto, nos la da la marca que deja un lápiz sobre el papel, tan pequeña que carece de dimensión. Línea recta. Sucesión infinita de puntos que tienen la siguiente forma: podemos agregar una línea recta es aquélla que yace por igual respecto de los puntos que están en ella”. 30 Recta ⃡ Semirrecta. Si se fija un punto C en una recta, al conjunto de puntos que le siguen o preceden se le llama semirrecta. Semirrecta Segmento. Porción de recta limitada por 2 puntos no coincidentes. Segmento ̅̅̅̅ Curva. Es aquella línea que no tiene partes rectas. Figura geométrica. Extensión limitada por puntos, líneas y superficies. Cuerpo sólido. Es todo aquello que ocupa un lugar en el espacio y posee longitud, anchura y altura. El Plano y El Espacio. El plano al igual que El Espacio geométrico, es un plano es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones en el caso del plano, y el caso del espacio tres (lago, ancho y profundidad) . Contienen infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos
  • 31. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 fundamentales junto con el punto y la recta. Solamente puede ser definido o descripto en relación a otros elementos geométricos similares. Se suele describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. Cuando se habla de un plano, se está haciendo referencia a la superficie geométrica que no posee volumen (es decir, que es sólo bidimensional) y que posee un número infinito de rectas y puntos que lo cruzan de un lado al otro. 31 Semiplano. Cuando a un plano cualquiera se define una recta el mismo se divide en dos semiplanos opuestos. Sp [r,A) se lee “Semiplano de borde r que contiene a A” B Sp [r,B) se lee “Semiplano de borde r que contiene a B” A Cuando se verifica que la recta r no pertenece al semiplano o sea que r Sp (r,A), se definen dos semiplanos abiertos opuestos. α r Semiespacio. De manera analógica un plano que está incluido en un espacio geométrico, divide a éste en dos semiespacios opuestos. En la siguiente gráfica podemos de encortar dos semiespacios a los que definimos como: Se [α,J) se lee: “Semiespacio de borde α que contiene a J Se [α,L) se lee: “Semiespacio de borde α que contiene a L Axiomas importantes Lee atentamente los siguientes axiomas y trata de identificarlos en las gráficas:4 4 Graficas realizadas en GeoGebra.
  • 32. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 i. Tres puntos determinan un plano. ii. Una recta y un punto no pertenecientes a la misma caracterizan un mismo plano. iii. Por un punto cualquiera perteneciente a un plano, y por él pueden pasar infinitas rectas. iv. Una recta, determinada por dos puntos distintos de un plano, está incluida en dicho plano. v. Dados dos puntos que determinan un segmento, por el cual, pueden pasar infinitos planos. vi. Dos planos que se cortan forman una única recta. 32 Rectas Paralelas Son rectas paralelas aquellas que están separadas por una misma distancia hasta el infinito, es decir, no se tocan nunca. La recta r es paralela a la recta s. Las dos rectas son paralelas entre sí. Perpendiculares Se trata de dos rectas que se cortan en un punto, es decir, tienen un punto en común. En este punto que se cortan forman un ángulo recto (ángulo de 90º). También se dice que dos rectas son perpendiculares cuando en el punto en que se cortan, dividen al espacio en 4 partes iguales, formándo ángulos de 90º. La recta r es perpendicular a la recta s. De la misma forma, la recta s es perpendicular a la recta r (carácter recíproco de la perpendicularidad). Entre las dos rectas se forma un ángulo de 90º. Para indicar que dos rectas son perpendiculares entre sí, se pone un arco o un ángulo recto pequeño, con un punto dentro. Ángulos Sean tres puntos (E, F, y G) no alineados pertenecientes a un mismo plano, se pueden considerar los semiplanos Sp [̅̅̅̅ ,G) y Sp [̅̅̅̅ ,F). Podemos definir “ángulo”̂ como la intersección de estos semiplanos. ̂ =Sp [̅̅̅̅ ,G)  Sp [̅̅̅̅ ,F) ̂ Se lee: ángulo convexo GEF
  • 33. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 Elementos de los ángulos: Vértice: Punto en común que tienen sus lados. Lados: Cada una de las semirrectas que lo forman. Amplitud: Es la apertura de sus lados y se mide en grados Tambien se puede tener la siguientes notaciones α ó ̂ (se lee ángulo α) 33 A ó ̂ (se lee ángulo en el vértice A) Clasificación de los ángulos según su amplitud Llano, es el ángulo formado por dos semirrectas opuestas. Tiene sus lados en la misma recta. Su amplitud es la mitad de un ángulo completo, es decir, de 180º. Ángulo Recto, es uno cualquiera de los ángulos en que la bisectriz divide al llano. Su amplitud o abertura es de 90º. Agudo, es todo ángulo cuya amplitud sea menor que la del recto, es decir, es como máximo de 90º. Obtuso, es aquel cuya amplitud es mayor que la del ángulo recto y menor que la del llano, es decir, está comprendida entre 90º y 180º.
  • 34. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 Nulo, es aquel que carece de amplitud y sus semirectas componentes son coincidentes y forman 0°. El ángulo nulo es congruente con el ángulo Giro que tiene una amplitud de 360°. Complementarios, son aquellos cuya suma es igual a un ángulo recto (90°). a + b = 90° 34 Suplementarios, son aquellos cuya suma es igual a dos ángulos rectos (180°). a + b = 180° Conjugados, son los ángulos cuya suma es igual a cuatro ángulos rectos (360°) a +b = 360° Ángulos determinados por una recta incidente a otras dos incluidas en un plano t b α1 α2 Sea la recta a⊂α, b⊂α y t incidente α4 α3 a ay a b en dos puntos distinto A y B, respectivamente. En ese plano se a β1 β2 forman los ángulos α1, α2, α3, α4, β4 β3 β1, β2, β3 y β4. La recta t suele llamase transversal o secante. α Los ángulos contenidos en un mismo semiplano de borde t se llaman colaterales. Ángulos colaterales son:α1, α4, β1 y β4 También en otro semiplano son colaterales: α2, α3, β2 y β3 Ángulos internos: α3, α4, β1 y β2 Ángulos externos: α1, α2, β3 y β4 Podemos clasificar ciertos pares de ángulos: - Dos ángulos colaterales, uno interno y otro externo, no adyacentes se llaman correspondientes. Son pares de ángulos correspondientes:
  • 35. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 α1 y β1 - α4 y β4 - α3 y β3 - α4 y β4 - Dos ángulos colaterales e internos se llaman conjugados internos. Son pares de ángulos conjugados internos: α4 y β1 - α3 y β2 - Dos ángulos colaterales y externos se llaman conjugados externos. Son pares de ángulos conjugados externos: α1 y β4 - α2 y β3 - Dos ángulos no colaterales e internos, pero no adyacentes, se llaman alternos internos. Son pares de ángulos alternos internos: α3 y β1 - α4 y β2 35 - Analógicamente dos ángulos no colaterales e internos, pero no adyacentes, se llaman conjugados externos. Son pares de ángulos alternos internos: α2 y β4 - α1 y β3 Medida de ángulos - sistemas de medición de ángulos Se utilizan varias unidades para medir los ángulos, la más empleada en la vida cotidiana es la sexagesimal, también es utilizada sobre todo por los topógrafos la centesimal y por los matemáticos el radian. Sexagesimal. Aproximadamente en el año 1000 a.c los babilonios extienden a los círculos celestes la división del día en 360 partes, y a cada una de estas partes les llaman grado sexagesimal. La cuarta parte le corresponden 90 grados sexagesimales, que se denota por 90º. Ahora bien como los babilonios utilizan el sistema de numeración de base 60, dividen el grado en 60 partes iguales y cada una de estas partes la denominan minuto y se nota por 1. Cada minuto lo subdividen a su vez en 60 segundos y cada una de estas subdivisiones lo nota por 1. Así pues tenemos que un ángulo recto mide 90º, 1º= 60 y 1= 60. Centesimal. La medida de ángulos centesimal se adoptó con el sistema métrico decimal. El ángulo completo 360º en el sistema sexagesimal se divide en 400 partes iguales y un ángulo recto en 100, se notan por 100g y le llama gradian. A su vez cada grado centesimal (gradian) se divide en 100 partes iguales que son los minutos, se nota por 1m y cada minuto se subdivide en 100 segundos que lo notaremos por 1s. Radianes. Dada una circunferencia de centro O y radio r, se denomina radian al ángulo central cuyo arco coincide con el radio. 1 rad= 57° 17 44.8 360º = 2 rad Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes; un ángulo de 180° equivale a π radianes (recordemos que el número π ≈ 3,14159265359…) Las equivalencias de los principales ángulos se muestran en las siguientes figuras: La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°
  • 36. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 La equivalencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200g La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes. Técnica para trazar rectas paralelas y perpendiculares En los siguientes dibujos se explica cómo trazar paralelas y perpendiculares con la ayuda de la escuadra y del cartabón. Observemos, como muestran los dibujos, que el cartabón no se mueve durante todo el proceso. 36 1. Primero se trazan varias líneas paralelas (en este caso, horizontales). Para ello solo se mueve la escuadra sobre el borde del cartabón, que permanece fijo. Varias líneas Varias líneas 2. Luego se gira la escuadra, como muestra el dibujo, y se apoya de nuevo sobre el borde del cartabón, que permanece fijo. Giro de la escuadra Giro de la escuadra 3. Por último se trazan las rectas perpendiculares a las anteriores (en este caso, las verticales). El cartabón sigue fijo durante todo el trazado. Trazado de perpendiculares Trazado de perpendiculares Mediatriz de un segmento. La mediatriz de un segmento̅̅̅̅es la recta que pasa por el punto medio del segmento M y es perpendicular al él dividiendo en dos segmentos iguales ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅. Pasos para trazar una mediatriz 1. Trazamos el segmento ̅̅̅̅̅. 2. Con centro en A se traza una circunferencia de radio mayor que la mitad del segmento ̅̅̅̅̅. 3. Desde B se traza una circunferencia de igual radio que la primera. 4. La recta que pasa por la intersección de las circunferencias (puntos C y D) es la mediatriz del segmento ̅̅̅̅̅ Bisectriz de un ángulo. La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos partes iguales. Pasos para trazar una bisectriz 1. Con centro en el vértice del ángulo se traza una circunferencia de cualquier amplitud encontrando los puntos A y B. 2. Desde los puntos de corte A y B de la circunferencia con los lados del ángulo se trazan dos circunferencias con el mismo radio que se cortan formando el punto C.
  • 37. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 3. La recta que pasa por el vértice del ángulo y el punto C de corte de las circunferencias es la bisectriz. Polígonos. La palabra polígono está formada por dos voces de origen griego: “polys”: muchos y “gonía”: ángulos; por lo tanto, es una figura con varios ángulos. Un polígono es la región interior de una línea poligonal cerrada y no cruzada. Sus elementos son: los lados, los vértices y las diagonales. A la línea que lo rodea se la llama contorno del 37 polígono. Podemos clasificar a los polígonos en regulares e irregulares, fijándonos en sus lados y, en cóncavos o convexos, fijándonos en sus ángulos. Polígonos regulares y polígonos irregulares Polígonos Regulares. Son todos los polígonos cuyos lados y ángulos son iguales. Una característica particular de los polígonos regulares, es que siempre pueden ser inscritos en una circunferencia. Por ejemplo, un triángulo es un polígono regular de 3 lados. Si te fijas en el dibujo, podrás ver que todos sus vértices tocan a la circunferencia, sin embargo, en el triángulo que está al lado, sólo dos de sus puntos tocan a la circunferencia, lo que nos muestra que es un polígono irregular. Polígono Irregular. A su vez, decimos entonces que un polígono es irregular cuando sus lados no son iguales, y podemos ver también, que no todos sus puntos tocan la circunferencia. Clasificación de polígonos regulares según el número de lados Según su número de lados los polígonos reciben los siguientes nombres: Triángulo: 3 lados. Cuadrilátero: 4 lados Pentágono: 5 lados Hexágono: 6 lados Heptágono: 7 lados Octógono: 8 lados Eneágono: 9 lados Decágono: 10 lados Undecágono: 11 lados Dodecágono: 12 lados Elementos de un polígono En un polígono podemos distinguir:  Lado, L: es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.  Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
  • 38. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013  Diagonal, D: segmento que une dos vértices no contiguos.  Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.  Ángulo interior y ángulo exterior. En un polígono regular podemos distinguir, además:  Centro, O: el punto equidistante de todos los vértices y lados.  Apotema, Ap: segmento que une ROMBO TRAPECIO b el centro del polígono con el centro d2 h de un lado; es perpendicular a d1 dicho lado. B d1 . d2 . CUADRADO A= A =( B 2 b ) . h Cálculo de áreas de polígonos sencillos 2 TRIANGULO 38 En la siguiente figura presentamos en forma h general el cómo se debe calcular el área de + L B algunas figuras sencillas. 2 B.h A= L A= 2 También hay figuras como el Romboide y el RECTANGULO trapesoide que se calculan sus areas como el A = b.h A= π.r2 CIRCULO h Rombo y el trapecio respectivamenete. r b ROMBOIDE TRAPESOIDE 5L . Ap A = b.h b A= 2 d2 h d1 PENTAGONO PARALELOGRAMO B h Ap Para calcular el área de los POLÍGONOS b L REGULARES de n lados se los puede descomponer en triángulos congruentes y adyacentes de vértice o y apotema Ap. Área del polígono =n .área AOB ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Área AOB = por lo que̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ Entonces el Área AOB = y deducimos que el Área polígono = y como el perímetro de un polígono es P = n . L Nos queda: Área polígono =
  • 39. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 Triángulos Se llama triángulos a toda figura convexa cuya intersección de tres semiplanos definidos por tres puntos A, B, y C no alineados pertenecientes a un mismo plano. Se llama triángulo ABC a: ABC = Sp [̅̅̅̅,C)  Sp [̅̅̅̅ ,B)  Sp [̅̅̅̅ ,A) Los puntos A, B y C del triángulo se llaman vértice y los segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ son los lados de los mismos. Los ángulos interiores son ̂ ̂ ̂ . 39 El ángulo ̂ tiene por opuesto al segmento ̅̅̅̅ y es adyacente a los ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ El ángulo ̂ tiene por opuesto al segmento ̅̅̅̅ y es adyacente a los ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ El ángulo ̂ tiene por opuesto al segmento ̅̅̅̅ y es adyacente a los ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Clasificación de los triángulos Como ya se sabe, un triángulo tiene tres lados y tres ángulos. Se obtienen diferentes tipos de triángulos dependiendo del valor de sus ángulos y sus lados.
  • 40. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 Teorema de Pitágoras Este es quizás uno de los teoremas matemáticos que más demostraciones presenta a lo largo de toda la historia. Este teorema solo funciona para los triángulos rectángulos. H sa Cateto nu Pitágoras llama HIPOTENUSA al lado opuesto al ángulo interior recto, o sea el po te b Hi lado más largo de un triángulo rectángulo, a los otros dos lados les llama Cateto CATETOS. a Enunciado: “En todo triángulo rectángulo la medida de la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de 40 los catetos.” Demostración: El ángulo ̂ es común a los triángulos BMA y BAC, donde vemos que ̂ ̂ por ser ambos rectos. Además el ángulo ̂ es común a los triángulos AMC y BAC, y vemos que ̂ ̂ por ser ambos rectos. Luego demostramos que BAC AMC. Sea el triángulos rectángulo BAC y la altura ̅̅̅̅̅ se concluye por propiedad que En consecuencia, sus lados homólogos son proporcionales y en particular tenemos pares de triángulos semejantes y los triángulosque por lo que deducimos: y por propiedad fundamental de las proporciones ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ obtenemos: ̅̅̅̅̅ y ̅̅̅̅̅ si sumamos miembro a miembro obtenemos: ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ Si sacamos factor común ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ Pero como ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ nos queda demostramos que Otra demostración: El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
  • 41. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 Trigonometría La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios. El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyó fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad. Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse 41 en una rama independiente que hace parte de la matemática. El término Trigonometría proviene de las palabras griegas: Trígono y Metrón, que quieren decir: Triángulo y Medida respectivamente. Sin embargo el estudio de la Trigonometría no solamente está limitado a la medición de los triángulos, pues el campo de estudio de esta disciplina matemática se ha ido enriqueciendo progresivamente hasta llegar a ser un instrumento indispensable en el Análisis Matemático, en la Física y en varias ramas de la Ingeniería. Trigonometría circular La circunferencia trigonométrica tiene como elementos y fundamentos principales al sistema de ejes cartesianos, una circunferencia Cr(O,1) (centro O origen y de radio 1) y un punto móvil P(x,y) , de coordenadas x en el eje de las abscisas e y en el eje de las ordenadas, que gira por sobre el contorno de la circunferencia en sentido anti- horario . Los ejes son rectas reales perpendiculares que tienen como cero coincidentes en el punto O (origen).Dichos ejes separan al plano cartesiano en cuatro cuadrantes como muestra la figura. El primer cuadrante tiene los valores de las ordenadas y de las abscisas positivas. En cambio en el segundo cuadrante tiene las ordenadas negativas y abscisas positivas. En el tercer cuadrante tiene los valores de las ordenadas y de las abscisas negativas. Por último en el cuarto cuadrante tiene las ordenadas positivas y las abscisas negativas. El segmento ̅̅̅̅ define el radio vector cuyo módulo siempre es igual a en la circunferencia trigonométrica. Además el radio vector define un ángulo α que depende de su valor de la posición del punto móvil P. A su vez cada posición que tome el punto P y sus coordenadas definirá un triángulo rectángulo único para cada posición.
  • 42. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 El triángulo rectángulo OPX está compuesto por la hipotenusa ̅̅̅̅ = ρ que es el radio vector, y por los catetos ̅̅̅̅ = Y y ̅̅̅̅ = X. Con los valores las medidas de los lados ρ, X e Y podemos formar las siguientes razones: Estas 6 razones determinan 6 valores que están vinculados con el valor que toma el ángulo α. O sea que el ángulo α es una variable independiente, el valor de ρ=1 es constante y los valores e X e Y son variables dependientes del valor que toma α. En consecuencia podemos afirmar que estas razones son funciones del ángulo , y se las 42 denomina funciones trigonométricas, que son las siguientes: Seno α = o sea Sen α = al ser ρ=1 queda Sen α= Y Coseno α = o sea Cos α = al ser ρ=1 queda Cos α= Y Tangente α = o sea Tg α = Cotangente α = o sea Cotg α = Secante α = o sea Sec α = Cosecante α = o sea Sec α = Resolución trigonométrica de triángulos rectángulos Resolver un triángulo rectángulo es hallar el valor de sus lados, sus ángulos y de su área. Es necesario conocer dos datos, uno de ellos sí o sí tiene que ser un lado, el otro dato puede ser un ángulo u otro lado. Además se sabe que al ser un triángulo rectángulo, sus ángulos agudos son correspondientes. La resolución de triángulos: resolver un triángulo consiste en averiguar la longitud de sus tres lados y la amplitud de sus ángulos. Para resolver el triángulo rectángulo hay que averiguar los elementos que faltan partiendo de dos datos conocidos. Es por eso que se nos presentan 4 casos: 1er caso: Resolución de un triangulo rectángulo conociendo su Hipotenusa y un Cateto Datos Incógnitas Hya b;α;β; Calculo de b Calculo de = Despejando √ Remplazando b nos queda √ Calculo de α Calculo de β = Cos α = Sen α = despejando α = ( ) despejando β = ( )
  • 43. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 2do caso: Resolución de un triangulo rectángulo conociendo su Hipotenusa y un ángulo Datos Incógnitas Hyα a;b;β; Calculo de β Calculo de = Despejando Remplazando a y b nos queda Calculo de a Calculo de b = Sen α = Cos α = = Despejando a = Despejando b = Cos 43 3er caso: Resolución de un triangulo rectángulo conociendo sus Catetos Datos Incógnitas ayb H;α;β; Calculo de α Calculo de b Tg α = Despejando α = ( ) Despejando √ Calculo de β Calculo de Tg β = = Despejando β = ( ) 4to caso: Resolución de un triangulo rectángulo conociendo su Hipotenusa y un ángulo Datos Incógnitas ayα H;b;β; Calculo de β Calculo de Despejando = Calculo de H Calculo de b Remplazando b nos queda Sen α = Tg α = = Despejando H= Despejando b = =
  • 44. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 Geometría en el Espacio 44 5
  • 45. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 45
  • 46. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 46
  • 47. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 47
  • 48. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 48
  • 49. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 49
  • 50. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 50
  • 51. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 51
  • 52. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 52
  • 53. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 53
  • 54. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 A modo de resumen el siguiente cuadro: 54
  • 55. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 ACTIVIDADES La presente sección del dossier de este curso de ingreso al profesorado de matemática está orientada a la realización de actividades prácticas y de entrenamiento a la disciplina. Verás en su desarrollo ejercitación, problemas, y situaciones que se resuelven con conceptos matemáticos presentes en este módulo, los cuales intentan integrar las tres áreas desarrolladas, Aritmética, Algebra y Geometría Ejercicios de entrenamientos 55 A. 1. ¿Qué diferencia de altura hay desde la cima del Aconcagua, que se halla a 6.959 metros sobre el nivel del mar, hasta el fondo de la laguna del Carbón, en la provincia de Santa Cruz, donde el altímetro marca 105 metros bajo el nivel del mar? 2. ¿Qué amplitud térmica hubo el 16 de agosto de 2.008 en Ushuaia? (Figura 2) 3. Si tenemos $1.500 en el banco, no podemos emitir un cheque por $1.750, salvo que el banco nos preste la diferencia, en cuyo caso generaríamos una deuda. Para informarnos de esta situación, el banco nos mandaría una carta donde explicaría que, en este caso, el saldo de nuestra cuenta sería de $1.500 - $1.750 = -$250, es decir que le deberíamos $250 al banco. 4. Pitágoras, filósofo y matemático griego, nació aproximadamente en el año 582 a.C. y vivió 75 años; ¿en qué año murió?
  • 56. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 B. Ejercicios con Enteros: Resuelve las siguientes operaciones: 56 C. Calcula: 1. (32)(− 5) 2. (− 5)(− 3)(− 7) 3. (− 14)(− 23) 4. (3)(− 2)(− 5) 5. (6)(− 1)(− 3) 6. (− 9)(− 8)(− 3)( - 4) 7. (− 2)(− 3)(− 4)(− 5)(− 6) D. Realiza las siguientes operaciones:
  • 57. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 E. Ejercicios con Racionales: Realiza los siguientes cálculos 2) 4) 5) 57 6) 7) 8) 9) 10) 11) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) F. Escribe algebraicamente los siguientes enunciados. a) El doble de un número. b) La mitad de un número. c) El opuesto de un número. d) El inverso de un número. e) La suma de dos número. f ) La suma de un número y el opuesto de otro. g) La suma de un número y su inverso. h) El producto de tres número. i) El producto de los inversos de tres número.
  • 58. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 j) El inverso del producto de tres número. k) La suma de los cuadrados de dos número. l) El cuadrado de la suma de dos número. m) La diferencia entre el cubo de un número y su cuadrado. n) La diferencia entre el triplo de un número y su doble. ñ) El valor absoluto del cubo de un número. o) El cubo del valor absoluto de un número. G. Escribe un enunciado que se traduzca en la expresión algebraica dada: 58 H. Escribe una expresión algebraica que represente a los siguientes enunciados:  El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado de uno, más el cuadrado del otro más el doble producto de ambos.  El valor absoluto de un número es igual al valor absoluto de su opuesto.  La diferencia entre los cuadrados de dos números es igual al producto entre la diferencia y la suma de los mismos.  En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.  En todo triángulo, la longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos.  El triple de un número más el doble de otro es igual a 17.  La razón entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro es π. I. Resolver aplicando las propiedades de la potenciación y la radicación J. Simplifica las siguientes expresiones: K. Introducir factores dentro del radical:
  • 59. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 L. Racionalizar las siguientes expresiones 59 M. Realiza las siguientes operaciones: N. Racionaliza los siguientes denominadores
  • 60. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 O. Determina el valor de los ángulos que se muestran en las siguientes figuras 60 P. Si l1//l2, obtén los valores de x y de y en la siguiente figura:
  • 61. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 Q. Calcula el perímetro y la superficie de las siguientes figuras 61 9. Rectángulo de 10 y 15 m. 10. Paralelogramo de base (x – 1) m y altura (x – 2) m. 11. Triángulo de base 14 dm y altura 9 dm. 12. Trapecio de bases 6 y 4 dm y altura de 3.5 dm. 13. Círculo de radio 30 cm. 14. Círculo de diámetro 18 cm. R. Encuentra el área de la zona sombreada si AC √ cm y ABCD es un cuadrado. S. Determina el área lateral, total y volumen de los siguientes cuerpos geométricos: 1. Prisma rectangular de dimensiones 2, 3 y 5 cm. 2. Prisma cuya base es un triángulo equilátero de 4 cm de lado y 6 cm de altura. 3. Prisma cuadrangular si el lado de la base es 1 cm y su altura 4 cm. 4. Prisma de base un hexágono regular de lado 2.5 cm y altura 6.5 cm. 5. Paralelepípedo de dimensiones √ , 4 y 2 √ cm. 6. Cubo de lado 2 cm. 2 7. Prisma cuadrangular si el área de la base es 12 cm y la altura es 8 cm. 8. Prisma cuya base es un octágono regular de lado 10 cm y apotema (5 + 5 √ ) cm si su altura es de 5 cm.
  • 62. I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de MatemáticaCURSO INTRODUCTORIO 2013 9. Pirámide regular cuya base cuadrangular de lado tiene 3 cm si su altura mide 4 cm 10. Pirámide regular cuya base es un hexágono regular de lado 2 cm si su altura es 5 cm. 11. Pirámide regular cuya base es un octágono regular de lado 4 cm, apotema 4.8 cm y altura de 6.4 cm 12. Cilindro circular recto de radio 3 cm y altura 5 cm. 13. Cilindro circular recto de diámetro 8 cm y altura 4 cm. 14. Cono circular recto de radio 7 cm, altura 9 cm y generatriz √ cm. 15. Cono circular recto de radio 2 cm y altura 8 cm. T. Resolver los siguientes problemas I. En una torre de 40 m que está sobre un peñasco de 65 m 62 de alto junto a una laguna, se encuentra un observador que mide el ángulo de depresión de 20° de un barco situado en la laguna. ¿A qué distancia de la orilla del peñasco se encuentra el barco? II. Un niño tiene un barrilete, el cual hace volar sosteniendo una cuerda a un metro del suelo. La cuerda se tensa formando un ángulo de 45° con respecto a la horizontal. Obtén la altura del barrilete con respecto al suelo si el niño suelta 20 metros de cuerda. III. Un maleante es perseguido por un patrullero, quien es apoyado desde el aire por un helicóptero, como se muestra en la figura. Si el ángulo de depresión desde el helicóptero hasta donde se encuentra el delincuente es de 25° y el ángulo de depresión hasta donde se encuentra el patrullero es de 65°, y su distancia a éste es de 25 metros, La distancia entre el helicóptero y el delincuente. La distancia entre el patrullero y el delincuente. La altura del helicóptero.

×