ÁLGEBRA I <ul><li>-Relación </li></ul><ul><li>Relación inversa </li></ul><ul><li>Tipos de relaciones </li></ul>
Relación inversa <ul><li>Definición : Si R es una relación inversa definida en un conjunto A, se llama relación inversa de...
Ejercicio de clase <ul><li>Si A =  {1,2,3} y R: (x;y) / y    x </li></ul><ul><li>   R =  {(1,2) , (1,3) , (2,3)} </li></...
TIPOS DE RELACIONES <ul><li>Las relaciones definidas en un conjunto pueden cumplir o no las propiedades ya descriptas. Las...
RELACIONES DE EQUIVALENCIA <ul><li>Definición: una relación R en un conjunto A es de equivalencia si y sólo sí es reflexiv...
Ejemplo <ul><li>La relación de “ congruencia módulo n ” para n número natural, definida en el conjutno de los números ente...
Demostración <ul><li>E1:    a    Z, a – a = 0    a    a(3 </li></ul><ul><li>E2:    a    Z,    b    Z, a – b    3q...
Clases de Equivalencia y conjunto cociente <ul><li>Ya se ha probado que la relación de congruencia módulo n, definida sobr...
Clases de equivalencia: <ul><li>Z 0 =   ..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, ...  </li></ul><ul><li>Z 1 =   ..., -8, -5, -2, 1, 4,...
CONCEPTOS  Clase de Equivalencia <ul><li>Definición: Si A es un conjunto,  ~ una relación de equivalencia definida en A y ...
Conjunto Cociente <ul><li>A/~ es el conjunto cociente del conjunto A sobre la relación de equivalencia definida en A, sí y...
PARTICIÓN DE UN CONJUNTO <ul><li>Una relación de equivalencia produce una partición del conjunto A si y sólo si: </li></ul...
Relaciones funcionales  <ul><li>Definición: </li></ul><ul><li>Una relación  f  entre elementos de un conjunto A y elemento...
Situación <ul><li>Una fábrica de impresoras quiere lanzar al mercado un nuevo modelo. Para ello realiza un estudio y se de...
Las funciones <ul><li>Las funciones son una herramienta útil para describir, analizar e interprestar situaciones provenien...
<ul><li>Es la pregunta con que inicia el estudio de las “funciones” el gran matemático Miguel de Guzmán, y continúa propon...
<ul><li>La presión atmósférica depende de la altura </li></ul>
Planteamientos al abordar las funciones <ul><li>Las preguntas que podríamos hacernos al abordar este concepto podrían ser,...
¿Qué tipos de funciones son las que necesitamos conocer?
¿Para qué valores de la variable independiente resulta que la variable dependiente va creciendo o decreciendo...?
¿Cómo es el crecimiento de la función rápido, lento, ...? ¿Cómo medir el crecimiento’
¿ Qué representación se les puede dar para hacernos una mejor idea de sus características y de su significado?
Escribe ahora aquellas preguntas que vos quieras plantear o que vos te harías
Preguntas de los alumnos de Tecnología referidas al tema… <ul><li>No sé que preguntar </li></ul><ul><li>No me animo a preg...
Veamos algunos casos Y sus diferentes representaciones
Representación Verbal  <ul><li>“ Se deja caer una piedra desde el techo de un edificio que mide 80 m de altura y se quiere...
Representación algebraica <ul><li>La física ha adoptado de la matemática un modelo que se adapte para describir la caída l...
Representación gráfica
Representación algorítmica <ul><li>Se trata, entonces, de encontrar una fórmula que permita calcular para cada valor de t,...
Funciones que se obtienen experimentalmente
Representación verbal o coloquial
Representación por tabla  (registro tabla)‏
Representación gráfica
Relaciones entre variables <ul><li>Para describir una relación entre dos variables x e y, utilizando una función, es neces...
Más definiciones <ul><li>Una función f queda determinada por: </li></ul><ul><li>Un conjunto A llamado dominio. </li></ul><...
Dominio y Codominio
Análisis de los conceptos <ul><li>Esta definición incluye conjuntos de elementos cualesquiera, numéricos o no numéricos, y...
El dominio <ul><li>El  dominio  de una función es el conjunto formado por todos los valores que toma la variable independi...
El codominio <ul><li>El  codominio  de una función  f  es un conjunto que contiene a todos los valores que puede tomar la ...
Imagen de una función <ul><li>Cada elemento  y  está asociado a un elemento  x  del dominio de  f , se llama imagen de  x ...
Después de los estudiado hasta aquí....... <ul><li>Veamos algunas cuestiones </li></ul>
 
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Algebra 1 - Relaciones

  1. 1. ÁLGEBRA I <ul><li>-Relación </li></ul><ul><li>Relación inversa </li></ul><ul><li>Tipos de relaciones </li></ul>
  2. 2. Relación inversa <ul><li>Definición : Si R es una relación inversa definida en un conjunto A, se llama relación inversa de R al conjunto R-1 al conjunto </li></ul><ul><li>R-1 = {(y;x)/(x;y)  R} </li></ul><ul><li>Ejemplos: </li></ul><ul><li>a) Si A = {0,1,2 } y R = {(0;2) , (1;0) , (2;1) } </li></ul><ul><li> R-1 = {(2; 0) , (0; 1) , (1; 2) } </li></ul>
  3. 3. Ejercicio de clase <ul><li>Si A = {1,2,3} y R: (x;y) / y  x </li></ul><ul><li> R = {(1,2) , (1,3) , (2,3)} </li></ul><ul><li>Luego R-1, por definición será: </li></ul><ul><li>R-1 = {(2, 1) , (3, 1) , (3, 2)} </li></ul><ul><li>En símbolos: R-1: (y; x) / y  x </li></ul>
  4. 4. TIPOS DE RELACIONES <ul><li>Las relaciones definidas en un conjunto pueden cumplir o no las propiedades ya descriptas. Las relaciones más usuales en matemática son: </li></ul><ul><li>Las relaciones de equivalencia </li></ul><ul><li>Las realciones de orden </li></ul><ul><li>Las relaciones funcionales o aplicaciones. </li></ul>
  5. 5. RELACIONES DE EQUIVALENCIA <ul><li>Definición: una relación R en un conjunto A es de equivalencia si y sólo sí es reflexiva, simétrica y transitiva. </li></ul><ul><li>O sea, una relación bianria R (simbolizada ~)‏ </li></ul><ul><li>en un conjunto A es una relación de equivalencia </li></ul><ul><li>sí y sólo si posee las siguientes propiedades: </li></ul><ul><li>E1: a  A  a ~ a </li></ul><ul><li>E2: a ~ b  b ~ a </li></ul><ul><li>E3: (a ~ b  b ~ c )  a ~ c </li></ul>
  6. 6. Ejemplo <ul><li>La relación de “ congruencia módulo n ” para n número natural, definida en el conjutno de los números enteros, es una relación de equivalencia. </li></ul><ul><li>Se dice que dos números son congruentes módulo n o que pertenecen a la misma clase residual módulo n cuando tienen el mismo resto en la división por n. Y se escribe: a  b (n </li></ul><ul><li>“ a es congruente módulo n con b” </li></ul><ul><li>Sea Z el conjunto de los enteros y a  c(3 </li></ul><ul><li> a – b = 3q con q  Z </li></ul>
  7. 7. Demostración <ul><li>E1:  a  Z, a – a = 0  a  a(3 </li></ul><ul><li>E2:  a  Z,  b  Z, a – b  3q  </li></ul><ul><li>b – a = 3 (-q) o sea a  b(3  b  a(3 </li></ul><ul><li>E3:  a  Z,  b  Z,  c  Z, ( a – b = 3q  </li></ul><ul><li>b – c = 3q’ )  a – c = 3(q + q’) = 3 h </li></ul><ul><li>o sea ( a  b(3   b  c(3 )  a  c(3 </li></ul>
  8. 8. Clases de Equivalencia y conjunto cociente <ul><li>Ya se ha probado que la relación de congruencia módulo n, definida sobre el conjunto Z de los enteros, es una relación de equivalencia. </li></ul><ul><li>Si se considera en especial la congruencia módulo 3, esta relación produce una partición del conjunto Z en tres clases no vacìas y disjuntas: </li></ul>
  9. 9. Clases de equivalencia: <ul><li>Z 0 =  ..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, ...  </li></ul><ul><li>Z 1 =  ..., -8, -5, -2, 1, 4, 7, ...  </li></ul><ul><li>Z 2 =  ..., -7, -4, -1, 2, 5, 8, ...  </li></ul><ul><li>Se observa que cada número entero pertenece a uno y sólo uno de estos subconjuntos de Z y que la unión de Z0, Z1 y Z2 es el conjunto Z. </li></ul><ul><li>El conjunto formado por estas tres clases de equivalencia es el conjunto cociente de Z sobre la congruencia módulo 3, y se indica Z/  </li></ul>
  10. 10. CONCEPTOS Clase de Equivalencia <ul><li>Definición: Si A es un conjunto, ~ una relación de equivalencia definida en A y a un elemento cualquiera de A, entonces Ca es una clase de equivalencia en A, respecto de la relación ~, si y sólo si Ca es el subconjunto de A formado por todos los elementos de A equivalentes al elemento a. </li></ul><ul><li>Ca = {x / x  A  x ~ a} </li></ul>
  11. 11. Conjunto Cociente <ul><li>A/~ es el conjunto cociente del conjunto A sobre la relación de equivalencia definida en A, sí y sólo si es el conjunto de todas las clases de equivalencia determinadas sobre A por dicha relación. </li></ul><ul><li>A/~ = {Ka , Kb, ..., Kn} </li></ul>
  12. 12. PARTICIÓN DE UN CONJUNTO <ul><li>Una relación de equivalencia produce una partición del conjunto A si y sólo si: </li></ul><ul><li>1) A es la unión de las clases de equivalenica </li></ul><ul><li>2) Las clases de equivelencias son disjuntas de a pares. </li></ul><ul><li>3) Las clases de equivelencias son no vacías. </li></ul>
  13. 13. Relaciones funcionales <ul><li>Definición: </li></ul><ul><li>Una relación f entre elementos de un conjunto A y elementos de un conjunto B es una función o aplicación de A en B si y sólo si, verifica las siguientes condiciones: </li></ul><ul><li>1º) Condición de Existencia: </li></ul><ul><li>  x  A,  y  B / (x ; y)  f </li></ul><ul><li>2º)Condición de Unicidad: </li></ul><ul><li>  (x ; y)  f  (x ; z)  f   y = z </li></ul>
  14. 14. Situación <ul><li>Una fábrica de impresoras quiere lanzar al mercado un nuevo modelo. Para ello realiza un estudio y se determina que la ganancia </li></ul><ul><li>( en miles pesos) está dada por el precio de venta (en pesos) y esta relación viene establecida por la siguiente fórmula: g(p) = -4 ( p – 250) + 10000, donde representa el precio de venta. </li></ul><ul><li>¿ A qué precio conviene vender las impresoras para obtener la máxima ganancia? </li></ul><ul><li>¿Existe algún precio para el cual no hay ganancia’ </li></ul>
  15. 15. Las funciones <ul><li>Las funciones son una herramienta útil para describir, analizar e interprestar situaciones provenientes de la Matemática misma y de otras ciencias. Hemos analizado el concepto de función y daremos lugar al estudio de las diferentes formas de representación. Además, estudiaremos algunas propiedades de las funciones a través de sus gráficos. </li></ul>
  16. 16. <ul><li>Es la pregunta con que inicia el estudio de las “funciones” el gran matemático Miguel de Guzmán, y continúa proponiéndonos las siguientes situaciones: </li></ul><ul><li>El precio del transporte depende del precio del combustible. </li></ul><ul><li>El volumen que ocupa un gas depende de la presión a la que es sometido. </li></ul>¿Qué son?
  17. 17. <ul><li>La presión atmósférica depende de la altura </li></ul>
  18. 18. Planteamientos al abordar las funciones <ul><li>Las preguntas que podríamos hacernos al abordar este concepto podrían ser, entre otras, las siguientes: </li></ul>
  19. 19. ¿Qué tipos de funciones son las que necesitamos conocer?
  20. 20. ¿Para qué valores de la variable independiente resulta que la variable dependiente va creciendo o decreciendo...?
  21. 21. ¿Cómo es el crecimiento de la función rápido, lento, ...? ¿Cómo medir el crecimiento’
  22. 22. ¿ Qué representación se les puede dar para hacernos una mejor idea de sus características y de su significado?
  23. 23. Escribe ahora aquellas preguntas que vos quieras plantear o que vos te harías
  24. 24. Preguntas de los alumnos de Tecnología referidas al tema… <ul><li>No sé que preguntar </li></ul><ul><li>No me animo a preguntar </li></ul><ul><li>Me da vergüenza </li></ul><ul><li>Por qué son dos las variables en una función? </li></ul><ul><li>Qué utilidades dan los profesores de tecnología a las funciones? </li></ul><ul><li>… </li></ul>
  25. 25. Veamos algunos casos Y sus diferentes representaciones
  26. 26. Representación Verbal <ul><li>“ Se deja caer una piedra desde el techo de un edificio que mide 80 m de altura y se quiere describir còmo varìa la altura de la piedra en relación con el tiempo, es decir, desde que comienza a caer hasta que toca el suelo.” </li></ul><ul><li>Como en cada instante t la piedra se encuentra a una ùnica altura h del suelo, se dice que la relación entre h y t es una función, o que h es fucnión de t . </li></ul>
  27. 27. Representación algebraica <ul><li>La física ha adoptado de la matemática un modelo que se adapte para describir la caída libre de los cuerpos a través de la fórmula: </li></ul><ul><li>h(t) = h 0 + v 0 . t – ½ g t 2 </li></ul><ul><li>Donde h0 y v0 son parámetros: el primero representa la altura desde donde es lanzado un cuerpo, y el segundo, la velocidad con la que el cuerpo es arrojado; g es una constante que representa la aceleración de la gravedad. </li></ul>
  28. 28. Representación gráfica
  29. 29. Representación algorítmica <ul><li>Se trata, entonces, de encontrar una fórmula que permita calcular para cada valor de t, el único valor de h que le corresponde. </li></ul><ul><li>Si h 0 = 80m ; v 0 = 0, porque la piedra se deja caer a partir del reposo, y ½ . g  5 </li></ul><ul><li> la expresión algebraica buscada será: </li></ul><ul><li>h(t) = 80 – 5 . t 2 </li></ul>
  30. 30. Funciones que se obtienen experimentalmente
  31. 31. Representación verbal o coloquial
  32. 32. Representación por tabla (registro tabla)‏
  33. 33. Representación gráfica
  34. 34. Relaciones entre variables <ul><li>Para describir una relación entre dos variables x e y, utilizando una función, es necesario encontrar una ley que asigne a cada valor de x ( variable independiente), un único valor de y (variable dependiente). </li></ul><ul><li>En la situación de caída libre –de la piedra- t es la variable independiente, h es la variable dependiente, y la fórmula h(t) = 80 – 5t 2 es la ley o propiedad que asigna a cada valor de t un único valor de h . </li></ul>
  35. 35. Más definiciones <ul><li>Una función f queda determinada por: </li></ul><ul><li>Un conjunto A llamado dominio. </li></ul><ul><li>Un conjunto B llamado codominio. </li></ul><ul><li>Una ley que asocia a cada elemento x del conjunto A un único elemento de B. </li></ul><ul><li>Veamos esto gráficamente: </li></ul>
  36. 36. Dominio y Codominio
  37. 37. Análisis de los conceptos <ul><li>Esta definición incluye conjuntos de elementos cualesquiera, numéricos o no numéricos, y abarca tanto la ley de correspondencia como los conjuntos en los que toman sus valores las variables. </li></ul><ul><li>De acuerdo con esta definición, dos funciones son iguales sicoinciden su dominio, su codominio y la ley de correspondencia que relaciona los elementos de ambos conjuntos. </li></ul>
  38. 38. El dominio <ul><li>El dominio de una función es el conjunto formado por todos los valores que toma la variable independiente x y se simboliza </li></ul><ul><li>Dom( f ) </li></ul><ul><li>En la situación 1, de la piedra, el dominio de la función es el intervalo  0 ; 4  </li></ul>
  39. 39. El codominio <ul><li>El codominio de una función f es un conjunto que contiene a todos los valores que puede tomar la función. </li></ul><ul><li>Las funciones estudiadas, en este curso, tendrán como dominio al conjunto de los números R o a un subconjunto del mismo, y como codominio igual a R. </li></ul>
  40. 40. Imagen de una función <ul><li>Cada elemento y está asociado a un elemento x del dominio de f , se llama imagen de x y se escribe f(x) (se lee “efe de x”). </li></ul><ul><li>En la situación 1, el valor h = 0 está asociado a t = 4, que es un elemento perteneciente al dominio de la función; 0 es la imagen de 4 y se escribe h(4). </li></ul><ul><li>El conjunto formado por todas las imágenes de los elementos del dominio de f se llama imagen de f y se simboliza Im(f). observemos que la imagen está contenida en el codominio. </li></ul><ul><li>En la situación 1, la imagen de la función es el intervalo  0 ; 80  </li></ul>
  41. 41. Después de los estudiado hasta aquí....... <ul><li>Veamos algunas cuestiones </li></ul>
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