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    Algebra 1 - Relaciones Algebra 1 - Relaciones Presentation Transcript

    • ÁLGEBRA I
      • -Relación
      • Relación inversa
      • Tipos de relaciones
    • Relación inversa
      • Definición : Si R es una relación inversa definida en un conjunto A, se llama relación inversa de R al conjunto R-1 al conjunto
      • R-1 = {(y;x)/(x;y)  R}
      • Ejemplos:
      • a) Si A = {0,1,2 } y R = {(0;2) , (1;0) , (2;1) }
      •  R-1 = {(2; 0) , (0; 1) , (1; 2) }
    • Ejercicio de clase
      • Si A = {1,2,3} y R: (x;y) / y  x
      •  R = {(1,2) , (1,3) , (2,3)}
      • Luego R-1, por definición será:
      • R-1 = {(2, 1) , (3, 1) , (3, 2)}
      • En símbolos: R-1: (y; x) / y  x
    • TIPOS DE RELACIONES
      • Las relaciones definidas en un conjunto pueden cumplir o no las propiedades ya descriptas. Las relaciones más usuales en matemática son:
      • Las relaciones de equivalencia
      • Las realciones de orden
      • Las relaciones funcionales o aplicaciones.
    • RELACIONES DE EQUIVALENCIA
      • Definición: una relación R en un conjunto A es de equivalencia si y sólo sí es reflexiva, simétrica y transitiva.
      • O sea, una relación bianria R (simbolizada ~)‏
      • en un conjunto A es una relación de equivalencia
      • sí y sólo si posee las siguientes propiedades:
      • E1: a  A  a ~ a
      • E2: a ~ b  b ~ a
      • E3: (a ~ b  b ~ c )  a ~ c
    • Ejemplo
      • La relación de “ congruencia módulo n ” para n número natural, definida en el conjutno de los números enteros, es una relación de equivalencia.
      • Se dice que dos números son congruentes módulo n o que pertenecen a la misma clase residual módulo n cuando tienen el mismo resto en la división por n. Y se escribe: a  b (n
      • “ a es congruente módulo n con b”
      • Sea Z el conjunto de los enteros y a  c(3
      •  a – b = 3q con q  Z
    • Demostración
      • E1:  a  Z, a – a = 0  a  a(3
      • E2:  a  Z,  b  Z, a – b  3q 
      • b – a = 3 (-q) o sea a  b(3  b  a(3
      • E3:  a  Z,  b  Z,  c  Z, ( a – b = 3q 
      • b – c = 3q’ )  a – c = 3(q + q’) = 3 h
      • o sea ( a  b(3   b  c(3 )  a  c(3
    • Clases de Equivalencia y conjunto cociente
      • Ya se ha probado que la relación de congruencia módulo n, definida sobre el conjunto Z de los enteros, es una relación de equivalencia.
      • Si se considera en especial la congruencia módulo 3, esta relación produce una partición del conjunto Z en tres clases no vacìas y disjuntas:
    • Clases de equivalencia:
      • Z 0 =  ..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, ... 
      • Z 1 =  ..., -8, -5, -2, 1, 4, 7, ... 
      • Z 2 =  ..., -7, -4, -1, 2, 5, 8, ... 
      • Se observa que cada número entero pertenece a uno y sólo uno de estos subconjuntos de Z y que la unión de Z0, Z1 y Z2 es el conjunto Z.
      • El conjunto formado por estas tres clases de equivalencia es el conjunto cociente de Z sobre la congruencia módulo 3, y se indica Z/ 
    • CONCEPTOS Clase de Equivalencia
      • Definición: Si A es un conjunto, ~ una relación de equivalencia definida en A y a un elemento cualquiera de A, entonces Ca es una clase de equivalencia en A, respecto de la relación ~, si y sólo si Ca es el subconjunto de A formado por todos los elementos de A equivalentes al elemento a.
      • Ca = {x / x  A  x ~ a}
    • Conjunto Cociente
      • A/~ es el conjunto cociente del conjunto A sobre la relación de equivalencia definida en A, sí y sólo si es el conjunto de todas las clases de equivalencia determinadas sobre A por dicha relación.
      • A/~ = {Ka , Kb, ..., Kn}
    • PARTICIÓN DE UN CONJUNTO
      • Una relación de equivalencia produce una partición del conjunto A si y sólo si:
      • 1) A es la unión de las clases de equivalenica
      • 2) Las clases de equivelencias son disjuntas de a pares.
      • 3) Las clases de equivelencias son no vacías.
    • Relaciones funcionales
      • Definición:
      • Una relación f entre elementos de un conjunto A y elementos de un conjunto B es una función o aplicación de A en B si y sólo si, verifica las siguientes condiciones:
      • 1º) Condición de Existencia:
      •  x  A,  y  B / (x ; y)  f
      • 2º)Condición de Unicidad:
      •  (x ; y)  f  (x ; z)  f   y = z
    • Situación
      • Una fábrica de impresoras quiere lanzar al mercado un nuevo modelo. Para ello realiza un estudio y se determina que la ganancia
      • ( en miles pesos) está dada por el precio de venta (en pesos) y esta relación viene establecida por la siguiente fórmula: g(p) = -4 ( p – 250) + 10000, donde representa el precio de venta.
      • ¿ A qué precio conviene vender las impresoras para obtener la máxima ganancia?
      • ¿Existe algún precio para el cual no hay ganancia’
    • Las funciones
      • Las funciones son una herramienta útil para describir, analizar e interprestar situaciones provenientes de la Matemática misma y de otras ciencias. Hemos analizado el concepto de función y daremos lugar al estudio de las diferentes formas de representación. Además, estudiaremos algunas propiedades de las funciones a través de sus gráficos.
      • Es la pregunta con que inicia el estudio de las “funciones” el gran matemático Miguel de Guzmán, y continúa proponiéndonos las siguientes situaciones:
      • El precio del transporte depende del precio del combustible.
      • El volumen que ocupa un gas depende de la presión a la que es sometido.
      ¿Qué son?
      • La presión atmósférica depende de la altura
    • Planteamientos al abordar las funciones
      • Las preguntas que podríamos hacernos al abordar este concepto podrían ser, entre otras, las siguientes:
    • ¿Qué tipos de funciones son las que necesitamos conocer?
    • ¿Para qué valores de la variable independiente resulta que la variable dependiente va creciendo o decreciendo...?
    • ¿Cómo es el crecimiento de la función rápido, lento, ...? ¿Cómo medir el crecimiento’
    • ¿ Qué representación se les puede dar para hacernos una mejor idea de sus características y de su significado?
    • Escribe ahora aquellas preguntas que vos quieras plantear o que vos te harías
    • Preguntas de los alumnos de Tecnología referidas al tema…
      • No sé que preguntar
      • No me animo a preguntar
      • Me da vergüenza
      • Por qué son dos las variables en una función?
      • Qué utilidades dan los profesores de tecnología a las funciones?
    • Veamos algunos casos Y sus diferentes representaciones
    • Representación Verbal
      • “ Se deja caer una piedra desde el techo de un edificio que mide 80 m de altura y se quiere describir còmo varìa la altura de la piedra en relación con el tiempo, es decir, desde que comienza a caer hasta que toca el suelo.”
      • Como en cada instante t la piedra se encuentra a una ùnica altura h del suelo, se dice que la relación entre h y t es una función, o que h es fucnión de t .
    • Representación algebraica
      • La física ha adoptado de la matemática un modelo que se adapte para describir la caída libre de los cuerpos a través de la fórmula:
      • h(t) = h 0 + v 0 . t – ½ g t 2
      • Donde h0 y v0 son parámetros: el primero representa la altura desde donde es lanzado un cuerpo, y el segundo, la velocidad con la que el cuerpo es arrojado; g es una constante que representa la aceleración de la gravedad.
    • Representación gráfica
    • Representación algorítmica
      • Se trata, entonces, de encontrar una fórmula que permita calcular para cada valor de t, el único valor de h que le corresponde.
      • Si h 0 = 80m ; v 0 = 0, porque la piedra se deja caer a partir del reposo, y ½ . g  5
      •  la expresión algebraica buscada será:
      • h(t) = 80 – 5 . t 2
    • Funciones que se obtienen experimentalmente
    • Representación verbal o coloquial
    • Representación por tabla (registro tabla)‏
    • Representación gráfica
    • Relaciones entre variables
      • Para describir una relación entre dos variables x e y, utilizando una función, es necesario encontrar una ley que asigne a cada valor de x ( variable independiente), un único valor de y (variable dependiente).
      • En la situación de caída libre –de la piedra- t es la variable independiente, h es la variable dependiente, y la fórmula h(t) = 80 – 5t 2 es la ley o propiedad que asigna a cada valor de t un único valor de h .
    • Más definiciones
      • Una función f queda determinada por:
      • Un conjunto A llamado dominio.
      • Un conjunto B llamado codominio.
      • Una ley que asocia a cada elemento x del conjunto A un único elemento de B.
      • Veamos esto gráficamente:
    • Dominio y Codominio
    • Análisis de los conceptos
      • Esta definición incluye conjuntos de elementos cualesquiera, numéricos o no numéricos, y abarca tanto la ley de correspondencia como los conjuntos en los que toman sus valores las variables.
      • De acuerdo con esta definición, dos funciones son iguales sicoinciden su dominio, su codominio y la ley de correspondencia que relaciona los elementos de ambos conjuntos.
    • El dominio
      • El dominio de una función es el conjunto formado por todos los valores que toma la variable independiente x y se simboliza
      • Dom( f )
      • En la situación 1, de la piedra, el dominio de la función es el intervalo  0 ; 4 
    • El codominio
      • El codominio de una función f es un conjunto que contiene a todos los valores que puede tomar la función.
      • Las funciones estudiadas, en este curso, tendrán como dominio al conjunto de los números R o a un subconjunto del mismo, y como codominio igual a R.
    • Imagen de una función
      • Cada elemento y está asociado a un elemento x del dominio de f , se llama imagen de x y se escribe f(x) (se lee “efe de x”).
      • En la situación 1, el valor h = 0 está asociado a t = 4, que es un elemento perteneciente al dominio de la función; 0 es la imagen de 4 y se escribe h(4).
      • El conjunto formado por todas las imágenes de los elementos del dominio de f se llama imagen de f y se simboliza Im(f). observemos que la imagen está contenida en el codominio.
      • En la situación 1, la imagen de la función es el intervalo  0 ; 80 
    • Después de los estudiado hasta aquí.......
      • Veamos algunas cuestiones
    •