Trabajo de ecuaciones-1[1]

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  • 1. ECUACIONES<br />ASIGNATURA: LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO<br />NOMBRES: ANGELA CAROLINA FORERO Y ALEX MAURICIO MENDOZA MANJARREZ<br />GRUPO:<br />UNIVERSIDAD: CORPORACION UNIFICADA DE EDUCACION SUPERIOR “CUN”<br />2011<br />Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:<br />La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que la satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que cumpla la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es:<br />Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. También puede ocurrir que haya varios o incluso infinitos conjuntos de valores que la satisfagan.<br />En el caso de que todo valor posible de la incógnita haga cumplir la igualdad, la expresión se llama identidad. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación. <br /> Ecuación de primer grado<br />Se dice que una ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente es 1.<br />Una ecuación de primer grado tiene la forma canónica:<br />Con a diferente de cero.<br />Su solución es la más sencilla: <br />Resolución de ecuaciones de primer grado<br />Dada la ecuación:<br />1- Transposición:<br />Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros de la ecuación; normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:<br />Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía.<br />Se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro lado restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6)<br />La ecuación quedará así:<br />Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado en el segundo miembro (a la derecha).<br />2- Simplificación:<br />El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.<br />Realizamos la simplificación del primer miembro: <br />Y simplificamos el segundo miembro: <br />La ecuación simplificada será:<br />3- Despejar:<br />Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de la igualdad.<br />Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía.<br />Si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar su signo).<br />Si dividimos entre un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía.<br />Si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número pasará sin cambiar su signo).<br />Coloquialmente: en la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):<br />Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.<br />Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.<br />En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)<br />Por tanto, simplificando, la solución es:<br />Aplicaciones de las Ecuaciones de Primer Grado<br />Ejemplo 1:<br />El número de canicas que tengo más tres es igual al doble de las canicas que tengo menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? <br />El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresión algebraica:<br />Se podría leer así: El número de canicas que tengo más tres que me dan es igual al doble de mis canicas quitándome dos. El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento:<br />Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:<br />Que, simplificado, resulta:<br />Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:<br />X=5<br />Ejemplo 2:<br />Pague $87 por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costó $5 más que el libro y $20 menos que el traje. ¿Cuánto pagué por cada artículo?<br />Solución:<br />Sea x=precio del sombrero<br />Entonces:<br />X-5=precio del libro<br />X+20=precio del traje<br />Por lo tanto:<br />(x)+(x-5)+(x+20)=87<br />3x+20-5=87<br />3x=87+5-20<br />3x=72<br />X=72/3<br />X=24<br />Entonces los precios fueron:<br />Sombrero= $24<br />Libro=24-5= $19<br />Traje=24+20= $44<br />Ejemplo 3:<br />La suma de tres números enteros consecutivos es 156. Hallar los números.<br />Solución:<br />Sean<br />x=número menor <br />X+1= número intermedio<br />X+2=número mayor<br />Entonces:<br />(x)+(x+1)+(x+2)=156<br />3x+3=156<br />3x=156-3<br />3x=153<br />X=153/3<br />X=51<br />Por lo tanto los números son:<br />51,52y53<br />Ejemplo 4:<br />La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar ambos<br />Solución:<br />Sea x= numero menor, entonces:<br />X+8=numero mayor, por lo tanto:<br />(x)+(x+8)=106<br />2x+8=106<br />2x=106-8<br />2x=98<br />X=98/2<br />X=49 entonces:<br />Numero menor=49<br />Numero mayor=57<br />Ejemplo 5:<br />Repartir 310 dólares entre tres personas de modo que la segunda reciba 20 menos que la primera y 40 más que la tercera. <br />Solución:<br />Sea x=dinero que recibe la segunda persona, entonces:<br />X+20=dinero que recibe la primera persona<br />X-40=dinero que recibe la tercera persona<br />Por lo tanto:<br />(x)+(x+20)+(x-40)=310<br />3x+20-40=310<br />3x=310+40-20<br />3x=330<br />X=330/3<br />X=110<br />Por lo tanto las tres personas reciben respectivamente:<br />130,110 y 70<br />Ejemplo 6:<br />La suma de tres números es 72. El segundo es 1/5<br />Del tercero y el primero excede al tercero en 6. Hallar<br />Dichos números. <br />Solución:<br />Sea <br />x=tercer numero, entonces:<br />X/5=segundo numero<br />X+6=primer numero<br />Por lo tanto:<br />(x)+(x/5)+(x+6)=72<br />5x5+x5+5x+65=72<br />5x+x+5(x+6)=5(72)<br />5x+x+5x+30=360<br />11x=360-30<br />11x=330<br />X=330/11<br />X=30<br />Por lo tanto los números son respectivamente:<br />36,6 y 30<br /> Ecuación de segundo grado<br />-99060-1575435<br />Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y=o), si los hubiese, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática.<br />Una ecuación de segundo grado, ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:<br />Donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.<br />Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:<br />Con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática.<br />La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos, ya que junto con las, ecuaciones lineales permiten modelar un gran número de relaciones y leyes.<br />Clasificación<br />Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones (una a veces, que se repite con la otra). Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:<br />1.- Completa: Tiene la forma canónica:<br />Donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero.<br />Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales y diferentes, dos números reales e iguales (un número real doble), o dos números complejos conjugados, dependiendo del valor que tome el discriminante<br />Ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.<br />Se resuelven por factorización, por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. La fórmula general se deduce más adelante.<br />2.- Incompleta pura: Es de la forma:<br />Donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y c tienen signo contrario o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y c tienen el mismo signo. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma: <br />Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:<br />Pasamos -16 al segundo miembro<br />Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz cuadrada<br />3.- Incompleta mixta: Es de la forma:<br />Donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0. No tiene solución en números imaginarios.<br />Ejemplo:<br />En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambas expresiones:<br />Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o:<br />Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3.<br />Solución general de la ecuación de segundo grado<br />La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:<br />,<br />Donde el símbolo "±" indica que los dos valores<br />y<br />Son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones racionales del álgebra elemental.<br />Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada):<br />Podremos saber el número y naturaleza de las soluciones:<br />Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje x);<br />Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje x);<br />Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola y el eje x no se cruzan).<br />Deducción de la fórmula general<br />Relacionando la ecuación de segundo grado con un polinomio de segundo grado y las raíces del mismo (a su vez raíces de una función cuadrática), podemos resolver la ecuación algebraicamente y obtener la fórmula de dicha ecuación.<br />Sea dada la ecuación:<br />Donde para garantizar que sea realmente una ecuación polinómica de segundo grado.<br />Como a es distinto de cero, podemos dividir entre a cada término de la ecuación:<br />Restamos el valor del término independiente en ambos miembros de la igualdad:<br />Para completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP), o más brevemente, para completar el cuadrado en el miembro izquierdo, se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal, por lo que sumamos en ambos miembros de la ecuación:<br />Factorizamos el TCP del lado izquierdo y hacemos la operación indicada del derecho:<br />Hacemos la operación con fracciones en el miembro derecho:<br />Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros:<br />Separamos las raíces de la fracción del lado derecho:<br />Simplificamos el radical del denominador del miembro derecho:<br />Despejamos la incógnita que buscamos:<br />Combinamos las fracciones con el mismo denominador del lado derecho y obtenemos la fórmula general:<br />Ejemplo:<br />Si tenemos la ecuación cuadrática: <br />Utilizamos la fórmula general:<br />Si sustituimos las letras por los números, siendo:<br />a = 1<br />b = 5<br />c = 6<br />Tendremos:<br /> <br />x1=-2<br />x2=-3<br />Método II<br />(Por factorización)<br />También podemos resolver ecuaciones cuadráticas del siguiente modo:<br />Si hallamos dos números que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual a c, la expresión:<br />Es equivalente a:<br />Siendo m y n los dos valores (o raíces) de la expresión.<br />En el ejemplo anterior, m = -2 y n = -3, puesto que: 2 + 3 = 5 y 2 x 3 = 6.<br />Luego, la igualdad:<br />Es equivalente a:<br />x+2=0 -> x=-2 x+3=0 -> x=-3<br />APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO<br />Problema 1. <br />Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres números consecutivos <br />Solución: Se puede realizar el siguiente dibujo del problema, teniendo en cuenta que la hipotenusa es el lado mayor y llamando "x" al menor de los catetos. <br />Teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, se cumple: <br />(x+2)2 = (x+ 1)2 + x2. <br />Operando: x2 + 4x + 4 = x 2 + 2x + 1+ x2. <br />Agrupando todos los términos en el segundo miembro y simplificando: <br />x2 - 2x - 3=0<br />(x-3)(x+1)=0<br />x-3=0 x+1=0<br />x=3 x=-1<br />x =-1 hay que rechazarla porque un lado no puede tener una medida negativa, luego nos queda: x=3<br />Hipotenusa: x + 2 = 5 <br />Cateto mayor: x + 1 = 4 <br />Cateto menor: x = 3. <br /> Problema 2:<br /> Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168. <br />Solución: <br />  <br />Cualquier número par puede expresarse en la forma   2x. <br />  <br />Sea pues   2x   un número par. El par consecutivo de  2x  es  2x + 2. <br />  <br />El producto de los dos números es 168:  2x (2x + 2) = 168.  Se plantea así una ecuación de segundo grado que hay que resolver. <br />  <br />2x (2x + 2) = 168  <br /> <br />4x2 + 4x - 168 = 0. <br />  <br />Dividiendo toda la ecuación entre 4, resulta   x2 + x - 42 = 0. <br />x=-b±b2-4ac2a x=-1±12-41-4221 x=-1±1692 x=-1±132 <br />x1==-1+132 x=6 x2=-1-132 x=-7<br /> Si  x = 6,  2x + 2 = 12 + 2 = 14 <br />  <br />Una solución es 12 y 14. <br />  <br />Si  x = -7,  2x + 2 = -14 + 2 = -12 <br />  <br />Dos números pares consecutivos cuyo producto es 168 son  -14 y -12. <br />  <br />El problema tiene dos soluciones: 12 y 14; -12 y -14. <br /> Problema 3:<br /> Calcular dos números cuya suma sea 39 y cuyo producto sea 380. <br /> Solución: <br />  <br />Si  x  es uno de los números, el otro será  39 - x,  puesto que entre las dos han de sumar 39. <br />  <br />El producto de los dos números es 380: <br />  <br /> X (39 - x) = 380 <br /> 39x-x2=380 x2-39x+380=0 <br /> <br />(X-20)(X-19)=0<br /> <br />X-20=0 -> x=20 x-19=0 -> x=19<br /> Si un número es 20, el otro será 39 - 20 = 19. <br /> <br />Si un número es 19, el otro será 39 - 19 = 20. <br />  <br /> Problema 4: <br />Si se aumenta en  4 cm  el lado de un cuadrado, su área aumenta en  104 cm2.  Calcular el área y perímetro del cuadrado inicial. <br />  <br />Solución: <br />  <br />Sea  L   el lado del cuadrado. <br />El área será  A = L 2. <br />  <br />Si se aumenta en 4 cm el lado del cuadrado será  L  + 4 <br />y su área será  A= (L  + 4)2. <br />  <br />Al hacer la transformación, el área aumenta en 104 cm2, es decir: <br />L 2 + 104 = (L  + 4)2 <br />  <br />Se resuelve la ecuación   L 2 + 104 = L 2 + 8L+16<br />L2-L2+104-16=8L<br />  <br />Simplificando  L 2  resulta una ecuación de primer grado: <br />8L=88 -> L=11<br />  <br />El área del cuadrado inicial es  A= L 2 = 112 = 121 cm2 <br />  <br />El perímetro del cuadrado inicial es  P = 4 L  = 4 (11 cm) = 44 cm<br />Problema 5: <br />La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?<br />SOLUCION:<br />Sea x la edad actual del hijo, entonces la edad actual del padre es x2, dentro de 24 años las edades respectivas serán:<br />X+24 y x2+24<br />Y además de acuerdo con el enunciado del problema tenemos que:<br />x2+24=2(x+24)<br />Entonces:<br />x2+24=2x+48<br />x2-2x-24=0<br />(x-6)(x+4)=0<br />x-6=0 -> x=6 x+4=0 ->x =-4<br />La respuesta correcta es x=6, porque la edad no puede ser negativa, por lo tanto las edades actuales son:<br />Hijo = 6 Padre =36<br />