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1 - Histórico e ObjetivoO presente trabalho tem início em fins de agosto de 2009, em umexercício proposto em sala de aula ...
Manuscrito com parte do enunciado da solução do problema inicial.                                4
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Um número p se comporta como primo em k.N quando o número dedivisores de p em k.N, com quociente em k.N, é igual ao número...
Enunciado do primeiro teorema da monografia                     7
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MULTIPLICAÇÃO• A1 – A Multiplicação é Associativa         Quaisquer que sejam a, b, c є A, tem-se ( a . b ) . c = a . ( b ...
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Definição das Operações de Adição e Multiplicação no       Conjunto dos Inteiros Gaussianos ( Z[i] )                      ...
Além de Anel, Z[ i ] é um Domínio de Fatoração Única ( DFU ).                                      22
Função Norma      23
Caracterização dos Elementos Invertíveis em Z[ i ]                         24
3 – Números Primos em Z[ i ]            Considerações Preliminares                         25
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Caracterização dos Números Primos em p.Z[ i ]                     29
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Apresentação da defesa da monografia.

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  1. 1. Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Caracterização dos Números que se Comportam como Primos em AlgunsSubconjuntos dos Inteiros Gaussianos (Z[i]) Aldo Correia Saldanha Agosto – 2011 1
  2. 2. 2
  3. 3. 1 - Histórico e ObjetivoO presente trabalho tem início em fins de agosto de 2009, em umexercício proposto em sala de aula na disciplina Álgebra I dessa Pós-Graduação.O exercício proposto era determinar quais são os números que secomportam como números primos no conjunto dos números pares.O problema foi resolvido e generalizado para qualquer conjunto demúltiplos de números primos no conjunto dos números Naturais. 3
  4. 4. Manuscrito com parte do enunciado da solução do problema inicial. 4
  5. 5. Manuscrito com parte da demonstração do problema inicial. 5
  6. 6. Um número p se comporta como primo em k.N quando o número dedivisores de p em k.N, com quociente em k.N, é igual ao número de divisoresde um número primo em N, ou seja, dois divisores. k Primos em k.N Divisores do menor primo em k.N 2 8, 12, 20, ... 2, 4 3 18, 27, 45, ... 3, 6 5 50, 75, 125, ... 5, 10 7 98, 147, 245, .. 7, 14 6
  7. 7. Enunciado do primeiro teorema da monografia 7
  8. 8. 8
  9. 9. Enunciado do principal teorema da monografia 9
  10. 10. 2 – Conjunto dos Inteiros Gaussianos O conjunto onde trabalharemos, conhecido como Conjunto dos Inteiros Gaussianos, tem esse nome porque foi feita uma homenagem a um grande matemático de nome Johann Friederich Gauss. Johann Friederich Gauss ( 1777 – 1855 ) nasceu em Burnswick, Alemanha e foi um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Sua preferência, no universo da matemática, está sintetizada na seguinte frase: A MATEMÁTICA É A RAINHA DAS CIÊNCIAS E A ARITMÉTICA É A RAINHA DA MATEMÁTCA. 10
  11. 11. Anel dos Inteiros Gaussianos• O conjunto dos Inteiros Gaussianos possui uma estruturaalgébrica conhecida como Anel .• A teoria dos Anéis é um dos principais assuntos do vastocampo da Álgebra Abstrata.• Gauss contribuiu para o desenvolvimento da teoriaestudando os inteiros algébricos.• A teoria dos Anéis foi muito desenvolvida no final do séculoXIX e início do século XX.• A noção abstrata de Anel foi introduzida na segunda décadado século 20. 11
  12. 12. Definição de Anel Sejam A um conjunto e ( + ) e ( . ) duas operações em A, chamadas de adição e multiplicação. A terna ( A , + , . ) será chamada de Anel se as operações gozarem das seguintes propriedades: ADIÇÃO• A1 – A Adição é Associativa Quaisquer que sejam a, b, c є A, tem-se a + ( b + c ) = a + ( b + c )• A2 – A Adição é Comutativa Quaisquer que sejam a, b є A, tem-se a+b=b+a• A3 – Existência do Elemento Neutro para a Adição Existe z є A tal que z + x = x , para todo x є A• A4 – Existência do Elemento Simétrico para a Adição Para todo a є A, existe a’ є A tal que a + a’ = z 12
  13. 13. MULTIPLICAÇÃO• A1 – A Multiplicação é Associativa Quaisquer que sejam a, b, c є A, tem-se ( a . b ) . c = a . ( b . c )• A2 – A Multiplicação é Comutativa Quaisquer que sejam a, b є A, tem-se a . b = b . a• A3 – Existência do Elemento Neutro para a Multiplicação Existe e є A, e ≠ 0 tal que e . x = x , para todo x є A DISTRIBUTIVIDADE•AM – A Multiplicação é distributiva com relação à Adição Quaisquer que sejam a, b, c є A, tem-se a.(b+c)=a.b+a.c 13
  14. 14. 14
  15. 15. 15
  16. 16. 16
  17. 17. Definição de IDEAL 17
  18. 18. 18
  19. 19. Definição de Elemento PRIMOUm elemento p não nulo e não invertível de umAnel A é dito primo, se toda vez que p divide oproduto de dois elementos de A, p divide um dosfatores. 19
  20. 20. 20
  21. 21. Definição das Operações de Adição e Multiplicação no Conjunto dos Inteiros Gaussianos ( Z[i] ) 21
  22. 22. Além de Anel, Z[ i ] é um Domínio de Fatoração Única ( DFU ). 22
  23. 23. Função Norma 23
  24. 24. Caracterização dos Elementos Invertíveis em Z[ i ] 24
  25. 25. 3 – Números Primos em Z[ i ] Considerações Preliminares 25
  26. 26. 26
  27. 27. 27
  28. 28. 28
  29. 29. Caracterização dos Números Primos em p.Z[ i ] 29
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