MATH

2. Escuela de Talentos 2
MÉTODO INDUCTIVO
Problema 1
Calcular la suma de las cifras de E
Problema 2
Calcular la suma de cifras del resultado de “U”:
𝑈 =
√
111 … 111⏟
2𝑛 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
− 222 … 222⏟
𝑛 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
Problema 3
Calcular la suma de cifras del resultado de la
siguiente operación:
√
999 … 999⏟
2(𝑛−1) 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
− 199 … 998⏟
𝑛 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
Problema 4
Calcule la suma de cifras del siguiente producto.
111 … 111⏟
100 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
𝑥 1000 … 001⏟
101 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
Problema 5
Calcule la suma de cifras de la siguiente expresión:
𝐴 = (333 … 333)⏟
21 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
2
+ (999 … 999)⏟
21 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
2
Problema 6
Calcule la suma de cifras de la siguiente expresión:
𝐴 =
√
111 … 111⏟
50 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
+ 444 … 444⏟
25 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
+ 1
Problema 7
Calcule la suma de cifras de n:
𝑛2
= 111 … 111⏟
100 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
222 … 222⏟
100 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
25
Problema 8
Calcular la siguiente expresión:
𝑄 = [5 (
14+24+34+⋯+204
12+22+32+⋯+202
) + 1] ÷ 3
Problema 9
¿Cuántas bolitas se contarán en la figura 20?
Problema 10
¿De cuantas formas diferentes se puede leer la
palabra “TALENTOS” en el siguiente arreglo?
T
A A
L L L
E E E E
N N N N N
T T T T T T
O O O O O O O
S S S S S S S S
Problema 11
Calcular la suma de cifras del resultado de la
siguiente operación:
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

3. 3Escuela de Talentos
𝐴 = √997𝑥998𝑥999𝑥1000 + 1
Problema 12
Calcular la suma de todos los números del
siguiente arreglo:
[
2 4 6
4 6 8
6
⋮
18
20
8
⋮
20
22
10
⋮
22
24
… 18 20
… 20 22
…
⋱
…
…
22 24
⋮ ⋮
34 36
36 38]
Problema 13
¿Cuántos triángulos existen en la siguiente figura?
Problema 14
Si se cumple que:
√ 𝑎5̅̅̅̅ 𝑥𝑎6̅̅̅̅ 𝑥𝑎7̅̅̅̅ 𝑥𝑎8̅̅̅̅ + 1 = 2161
Calcular:
𝐴 = 𝑎 + 𝑎𝑎̅̅̅̅ + 𝑎𝑎𝑎̅̅̅̅̅+. . .⏟
𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠
Problema 15
¿Cuántos cuadriláteros cóncavos se contarán en la
figura?
Problema 16
¿Cuántos triángulos se cuentan en la siguiente
figura?
Problema 17
¿Cuántos puntos de corte hay en 𝐹20?
Problema 18
¿Cuántos cuadriláteros cóncavos se pueden
contar en la siguiente figura?
Problema 19
¿Cuántos hexágonos se pueden contar en la
siguiente figura?
1 2 3 48 49 50
𝐹3𝐹1 𝐹2
1 2 3 88 89 90
1 2 3 38 39 40

4. Escuela de Talentos 4
Problema 20
Calcule la suma de los números de la fila 20 en:
Problema 21
En la secuencia de figuras
El total de canicas que hay en las dos últimas
figuras es 1225; ¿Cuántas canicas habrá en la
última figura?
Problema 22
Calcule el valor de R.
𝑅 =
√ 𝑛 + 1𝑥3 + 3𝑥5 + 5𝑥7+. . .⏞
𝑛 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠
12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑛2
Problema 23
Calcule el número de palitos en el siguiente
castillo:
Problema 24
Calcule el valor de R
Problema 25
¿Cuántos cuadraditos sombreados hay en total?
Problema 26
¿De cuantas maneras diferentes se puede leer la
palabra “EXPLOTACIÓN” usando letras vecinas?
N
O N
I O N
C I O N
A C I O N
T A C I O N
O T A C I O N
L O T A C I O N
P L O T A C I O N
X P L O T A C I O N
E X P L O T A C I O N
2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
𝐹1
𝐹3
𝐹4
𝐹2
1 2 3 4 47 48 49 50
21 3 4 99
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4

5. 5Escuela de Talentos
Problema 27
Halle el número total de palabras “CRÍTICA”.
A C I T I R C
C A C I T I R
I C A C I T I
T I C A C I T
I T I C A C I
R I T I C A C
C R I T I C A
Problema 28
¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la
palabra “SALVAJE” usando letras vecinas?
S
S A S
S A L A S
S A L V L A S
S A L V A V L A S
S A L V A J A V L A S
S A L V A J E J A V L A S
S A L V A J E S E J A V L A S
Problema 29
Dado n un número entero, probar por inducción
matemática ∀ 𝑛 ≥ 1.
a) 1 + 4 + 7 + ⋯ + (3𝑛 − 2) = 𝑛(3𝑛 − 1)/2
b) 1 + 7 + 13 + ⋯ + (6𝑛 − 5) = 𝑛(3𝑛 − 2)
C) 12
+ 32
+ 52
+ ⋯ + (2𝑛 − 1)2
= [
𝑛(𝑛+1)
2
]2
Problema 30
Probar por inducción matemática que, para todo
entero 𝑛 ≥ 1, se cumple:
1
21
+
2
22
+
3
23
+ ⋯ +
𝑛
2 𝑛
= 2 − (
𝑛 + 2
2 𝑛
)
Problema 32
Dado el conjunto 𝐶 = { 𝑥 𝑛 > 0/𝑛 ∈ ℕ}, donde
𝑥1 = √2, 𝑥 𝑛+1 = √2𝑥 𝑛, 𝑛 ∈ ℕ, probar por
inducción matemática que una cota superior del
conjunto C es el número 2. Es decir, que 𝑥 𝑛 ≤
2, ∀ 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑛 ≥ 1.
Problema 32
Sea 𝑎 > 1 𝑦 𝑛 ≥ 2/𝑛 ∈ ℤ. Probar que:
𝑎 𝑛
> 1 + 𝑛(𝑎 − 1), ∀𝑛 > 1
Problema 33
Probar que en cada caso que:
a) 4 𝑛
+ 5 𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3, ∀ 𝑛 ∈ ℕ
b) 3(4 𝑛
) + 15 𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 9, ∀ 𝑛 ∈ ℕ
Problema 34
Probar que, para todo entero 𝑛 ≥ 1.
42𝑛+1
+ 3 𝑛+2
es múltiplo de 13
Problema 37
Demostrar por inducción matemática que un
polígono convexo de 𝑛 lados tiene [
𝑛(𝑛−3)
2
]
diagonales, donde 𝑛 ≥ 3.