1. Ministerio OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEM´ATICA Sociedad Matem´atica
de Educaci´on (ONEM 2010) Peruana
Cuarta fase - Nivel 1
07 de noviembre de 2010
- La prueba tiene una duraci´on m´axima de 4 horas.
- No est´a permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
Problema 1. En el concurso La Casa de la Suerte, un concursante entra con 100 nuevos
soles a una casa de 10 pisos. En cada piso hay tres cofres cerrados, los cuales contienen
alguno de los siguientes mensajes:
((Ganas 9 nuevos soles)), ((Pierdes 7 nuevos soles)), ((Pierdes 3 nuevos soles)).
El cofre ganador, tiene dentro la cantidad que se menciona en el mensaje (9 nuevos
soles), mientras que en los cofres perdedores se debe dejar la cantidad indicada. El
concurso consiste en que el participante debe elegir s´olo un cofre por piso y abrirlo,
obedecer las instrucciones respectivas y finalmente salir de la casa con el dinero restante.
Jimena concurs´o en La Casa de la Suerte y sali´o con 122 nuevos soles. ¿Cu´antos cofres
ganadores abri´o Jimena?
Problema 2. En las casillas de la primera fila del tablero mostrado se escribe los n´umeros
del 1 al 8 en alg´un orden y sin repetir. Luego en las casillas de las filas siguientes
se debe escribir la diferencia (el mayor menos el menor si son distintos y cero si son
iguales) de los dos n´umeros que est´an ubicados inmediatamente sobre ella. ¿Cu´al es el
mayor valor posible que puede tomar el n´umero escrito en la casilla de la ´ultima fila?
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2. Problema 3.
a) Sea n un entero positivo, demuestra que el n´umero
(5n + 1)(5n + 2)(5n + 3)(5n + 4)
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es entero y que el d´ıgito de sus unidades es 2.
b) Si se cumple que:
51 × 52 × 53 × · · · × 200 = (10m + n) × 10p
,
donde m, n, p son enteros positivos y 0 < n < 10. Halla el valor de n + p.
Problema 4. En el siguiente tablero algunas casillas est´an pintadas de negro y las otras de
blanco:
Una operaci´on consiste en elegir un rect´angulo formado por una o m´as casillas del
tablero e intercambiar el color de todas las casillas que est´an dentro de ese rect´angulo
(las casillas blancas se convierten en negras y las negras se convierten en blancas).
a) ¿Cu´al es la menor cantidad de operaciones necesarias para que el tablero tenga
todas sus casillas blancas?
b) ¿Cu´al es la menor cantidad de operaciones necesarias para que el tablero tenga
todas sus casillas negras?
Aclaraci´on. Los cuadrados tambi´en son considerados rect´angulos.
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