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  1. 1. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional Projeto Final da Disciplina Análise de Algoritmo: Geometria Computacional Aldisio Medeiros aldisiog@gmail.com Jovane Pires jovane.amaro.pires@gmail.com Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  2. 2. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional Sumário 1. Origem e Definição da Geometria Computacional 2. Operações Primitivas a. Estruturas Básicas b. Operações i. Esquerda-Direita ii. EmCírculo 3. Fecho Convexo 2D a. Algoritmo Incremental b. Algoritmo de Graham 4. Fecho Convexo 3D 5. Implementações e Aplicações 6. Conclusão 7. Referências Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  3. 3. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 1. Origem e Definição da Geometria Computacional ➯ A Geometria Computacional emergiu da área de desenvolvimento e análise de algoritmos em meados dos anos 70 ➯ Todavia sua origem permeiam os fundamentos da geometria euclidiana o O caráter algorítmo já era observado o Existia um certo número de operações elementares com régua e compasso. o Ex:   c2. Traçar um círculo de centro o e raio igual ao segmento ab;  o c1. Dados a e b, obter um segmento de reta; c3. Obter a interseção de entre retas e ente círculos Ex: Obter um circulo que contenha 3 pontos não colineares, a, b e c. ➯ “Geometria Computacional é o estudo sistemático de algoritmos eficientes para problemas geométricos” Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  4. 4. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 1. Origem e Definição da Geometria Computacional ➯ A Geometria Computacional preocupa-se em resolver problema geométricos também levando em consideração a complexidade computacional; ➯ O que é um problema geométrico? o o ➯ ➯ A entrada é um conjunto de objetos geométricos A solução de um problema geométrico envolve aspectos geométricos (localização e forma dos objetos) e aspectos topológicos (relações de adjacência e incidência entre os objetos). Como identificar qual o melhor algoritmo? Alguns problemas: 1.1. Recontrução de Curvas: Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  5. 5. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 1. Origem e Definição da Geometria Computacional 1.2. Triangulação 1.3. Diagrama de Voronoi Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  6. 6. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 1. Origem e Definição da Geometria Computacional 1.4. Fecho Convexo 2D 1.5. Fecho Convexo 3D Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  7. 7. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 1. Origem e Definição da Geometria Computacional 1. Tipos de problemas em Geometria Computacional: a. Seletivos: Descobrir relações topológicas. Exemplos: fecho convexo, triangulação, árvore geradora mínima, simplicação de curvas e superfícies. a. Construtivos: Nesses problemas temos que construir um ou mais objetos geométricos novos a partir da entrada. Exemplos: interseção de polígonos, círculo mínimo, diagrama de Voronoi. a. Decisão: Nesses problemas temos somente que responder “ im” s ou “ ão”a uma pergunta. Ex: Dado um polígono e um ponto, o ponto está fora do n polígono? a. Consultas: Dado um conjunto X de objetos geométricos, queremos processá-lo previamente de modo a poder responder eficientemente a consultas repetidas sobre ele. Ex: Conjunto de retângulos e a lista dos incidentes em um certo retângulo Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  8. 8. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 2. Operações Primitivas As primitivas são as operações básicas de um algoritmo. Por exemplo, nos algoritmos de ordenação a função para comparar dois elementos é uma primitiva, assim como a operação de troca de elementos. Como contamos a eficiência de um algoritmo? Contando a quantidade de operações primitivas executadas. 2. Exemplo de Primitivas: a. Operações com vetores b. Distância e angulos c. Ângulos orientados no plano d. Ponto é interno ao poligono e. Produto Vetorial f. Esquerda-Direita g. In-circle Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  9. 9. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 2.1. Produto Vetorial O produto vetorial pode ser calculado a partir do seguinte determinante: Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  10. 10. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 2.1. Esquerda-Direita Esta primitiva consiste em sabermos a posição de um ponto em relação a um vetor (segmento orientado). Então dados três pontos A, B e C tal que AB é um segmento orientado, temos que a primitiva Esquerda(A,B,C) é verdadeira se o ponto C está a esquerda da reta formada ao estendermos o segmento AB nos dois sentidos. A primitiva é falsa caso contrário. Analogamente temos a primitiva Direita. Se esta for positiva, o ponto C está à esquerda ( a ); se for negativa, C está à direita ( b ). Se a área calculada for nula, então A, B e C estão alinhados ( c ). Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  11. 11. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 2.2. In-Circle Esta primitiva consiste em sabermos a posição de um ponto em relação a uma circunferência no plano. Sabemos que se tivermos três pontos de uma circunferência no plano então conseguimos representá-la pois apenas uma circunferência pode passar por 3 pontos fixos. Então dados quatro pontos A, B, C e D onde A, B e C representam uma única circunferência. Digamos que seu centro seja M e seu raio R. Como observação, distância(A,M) = distância(B,M) = distância(C,M) = R A primitiva In-Circle(A,B,C,D) é verdadeira se o ponto D é interno à circunferência dada, isto é, a distância(D,M) < R. Esta primitiva é falsa caso contrário.a Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  12. 12. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 3. Fecho Convexo 2D 3.1. Definição 3.2. Algoritmo Incremental 3.3. Algoritmo QuickHull 3.4. Algoritmo Graham Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  13. 13. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 3. Fecho Convexo 2D 3.1. Definição 3.1.1 Histórico ➯ Chand-Kappur desenvolvem o algoritmo do Embrulho que é eficiente para n pontos em uma dimensão arbitrária 1970 ➯ Graham desenvolve o primeiro algoritmo com Ordem de complexidade inferior a O(n²) ➯ Jarvis desenvolve uma especialização do método de Chand-Kappur ➯ Preparata e Hong desenvolvem o primeiro algoritmo para fechos Convexos 3D em O(nlogn) 3.1.1 Definição Exemplos: Pontos, segmentos de retas, discos, semiplanos, triângulos, etc Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  14. 14. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 3. Fecho Convexo 2D O’Rourke [ORou94] lista uma série de definições alternativas e equivalentes do fecho convexo, as mais interessantes das quais estão relacionadas a seguir: ➯ O fecho convexo de um conjunto S de pontos do plano é o menor polígono convexo P que contém S, sendo “menor” entendido no sentido de que não existe outro polígono P’ tal que P ⊃ P' ⊃ S . ➯ O fecho convexo de um conjunto S de pontos é a interseção de todos os conjuntos convexos que contêm S. ➯ O fecho convexo de um conjunto S de pontos do plano é a união de todos os triângulos determinados por pontos pertencentes a S. Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  15. 15. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 3. Fecho Convexo 2D Definição: Seja FC(s) o fecho convexo do conjunto s, temos o problema: Problema: Como encontrar o polígono que define o fecho S ? 1. Encontrar as fronteiras do polígono FC(S) 2. Encontrar os vértices do polígono FC(S) Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  16. 16. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 3. Fecho Convexo 2D 3.1. Algoritmo Incremental ➯ Um primeiro algoritmo para o cálculo do fecho convexo de um conjunto de pontos é o algoritmo incremental. Algoritmos incrementais resolvem um dado problema para um subconjunto e, passo a passo, calculam a solução inserindo novos elementos do conjunto inicial. ➯ No caso do fecho convexo de um conjunto de n pontos, o algoritmo calcula o fecho convexo para n-1 pontos e compõe esse resultado com o novo ponto. Basta decidir se o novo ponto está dentro ou fora do fecho convexo atual. Se estiver dentro, é um ponto interno ao fecho e não é preciso atualizar nada. Se estiver fora, então é necessário "consertar" o fecho atual de forma a incluí-lo entre os vértices. Nesse processo, pode acontecer de algum(s) dos antigos vértices deixar de ser um vértice passando a ser mais um ponto interior. Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  17. 17. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 3. Fecho Convexo 2D ➯ Utilizamos as primitivas Esquerda-Direita para saber a posição de um dado ponto em relação a um lado do fecho convexo atual. A idéia é simplificada se assumirmos que o polígono tem a seqüência de seus vértices orientada em um sentido (anti-horário, por exemplo). Assim, basta verificar se um novo ponto está a esquerda (se o sentido adotado for anti-horário) de todos os lados do fecho. Se isso for verdade, então trata-se de um ponto interno ao fecho, senão é um ponto externo que será colocado como um vértice. ➯ Analisando a sua complexidade, podemos gastar tempo O(logn) para decidir se o novo ponto está dentro ou fora do fecho convexo dos n-1 pontos anteriores. Em seguida temos que "consertar" o fecho anterior com o novo ponto, o que pode levar-nos a mexer em (n-1)-1arestas do fecho anterior (as arestas que "enxergam" o novo ponto). Portanto, esse passo gasta tempo O(n). Assim, a complexidade da inserção de um ponto é dominada pelo segundo passo, levando tempo O(n) para ser executado. Como vamos executar esse passo n vezes, então a complexidade total do algoritmo é O(n2). Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  18. 18. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 3. Fecho Convexo 2D 3.2. Algoritmo QuickHull ● ● O QuickHull é um algoritmo que calcula o fecho convexo de pontos num plano, com complexidade média O(n*logn), tornando-se um equivalente geométrico do algoritmo de ordenação QuickSort. Ele divide o plano em 2 regiões, utilizando-se dos pontos mais extremos (isto é, pontos com menor e maior coordenada x e maior e menor coordenada y) do conjunto. A região interna a este quadrilátero é desprezada, pois obviamente não fará parte do fecho convexo dos pontos (são todos pontos interiores). A seguir aplica-se a cada uma das regiões restantes um algoritmo recursivo, que calcula o ponto P mais distante do segmento correspondente (na primeira vez é um segmento do quadrilátero) e divide o problema local em duas partes, como se o segmento da iteracao atual fosse dividido em outros dois, tendo o ponto P em comum. A recursão é aplicada até uma parte possuir somente dois pontos, que são então conectados. Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  19. 19. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional Fecho Convexo 2D 3.2. Algoritmo QuickHull ● Analisando a sua complexidade, esse algoritmo é quadrático no pior caso, mas equivalentemente ao quicksort, podemos perceber sua eficiência: em exemplos com pontos aleatoriamente distribuídos, muitos pontos estarão dentro do quadrilátero inicial e serão descartados logo na primeira fase do algoritmo. Após diversos testes percebe-se que o QuickHull se iguala ao algoritmo de Graham em relacão a tempo, quando nao possui desempenho melhor. Como no Quicksort, o QuickHull possui no "caso médio" tempo O(n*logn). Aqui a primitiva utiizada continua sendo a primitiva Esquerda-Direita. Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  20. 20. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 3. Fecho Convexo 2D 3.3. Algoritmo Graham O algoritmo de Graham calcula o fecho convexo de pontos num plano, com complexidade de tempo O(n*logn). Ele encontra o ponto P com menor coordenada y e então ordena os pontos restantes pelo ângulo em relação à linha horizontal que passa pelo ponto P. Agora, com ajuda de uma pilha, o algoritmo trabalha em tempo linear. Empilhamos os dois primeiros pontos e então basta percorrermos os pontos ordenados fazendo o seguinte: se o ponto X em questão está a esquerda do vetor penúltimo-último elemento da pilha (último elemento da pilha é o topo) então empilhamos e olhamos o próximo; se o ponto X em questão está a direita deste mesmo vetor, então desempilhamos e voltamos a analisar X. • • Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  21. 21. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 3. Fecho Convexo 2D ➯ Ao final temos na pilha uma lista de pontos que forma o fecho convexo dos pontos. A complexidade do algoritmo é O(n*logn) porque precisamos gastar esse tempo para ordená-los. Já o processamento após os pontos estarem ordenados é linear, nao alterando a complexidade final. O algoritmo de Graham é um algoritmo ótimo para o cálculo do fecho convexo. Aqui a primitiva pode ser considerada a operação Esquerda que verifica se um ponto está a esquerda de um vetor. ➯ Convém ressaltar que tudo funciona desse modo obedecendo a definição de que um polígono seja definido como uma lista de vértices ordenados em um sentido. Assim, um ponto fora do polígono estará a esquerda de todas as arestas orientadas do polígono se o sentido escolhido for o sentido anti-horário. Se definirmos o polígono ordenado no sentido horário, um ponto estará fora do polígono se estiver a direita das arestas orientadas. Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  22. 22. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 3. Fecho Convexo 2D Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  23. 23. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 3. Fecho Convexo 2D Problema 1 . Se origem em P0 , este não pertence ao fecho, o que no final precisaria de um método para remover da pontos internos da pilha Problema 2. Se origem em P1 e P2 não fisse parte do fecho Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  24. 24. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 3. Fecho Convexo 2D Solução . Se ordenamos os pontos a partir da coordenada y ou pelo ângulo formado a partir de um ponto P0, e tomamos o ponto inicial o menor ponto desse conjunto garantimos: 1. O ponto inicial fará parte do fecho (Problema 1 resolvido) 2. O ponto seguinte também fará parte do fecho (Problema 2 resolvido) Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  25. 25. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 3. Fecho Convexo 2D Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  26. 26. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 3. Fecho Convexo 2D Problema 3 . Casos onde existe colinearidade,Se origem em P0 , porém P1 é colinear de P2 ? Solução. Ordena-se a partir do ponto onde a expressão é verdadeira: Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  27. 27. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 3. Fecho Convexo 2D Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  28. 28. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 3. Fecho Convexo 2D Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  29. 29. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 3. Fecho Convexo 2D Qual a equação de recorrência do Algoritmo de Graham? Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  30. 30. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 4. Fecho Convexo 3D 4.1. Definição 4.2. Dificuldade 4.3. Algumas implementações Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  31. 31. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 4. Fecho Convexo 3D 3.1. Definição O fecho convexo 3D é um Poliedro Convexo. Os poliedros são convexos quando se encontram todos para o mesmo lado em relação ao plano de qualquer uma das suas faces, ou seja, quando as suas faces deixam sempre as demais no mesmo semiespaço. Complicado? Vamos entender melhor isso! Considere um poliedro e uma de suas faces: um octaedro, por exemplo. Imagine um plano apoiado nessa face. O poliedro ficou todo de um lado só desse plano? Então ele é convexo! Veja: Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  32. 32. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional 4. Fecho Convexo 3D 4.2. Dificuldade For a finite set of points, the convex hull is a convex polyhedron in three dimensions, or in general a convex polytope for any number of dimensions, whose vertices are some of the points in the input set. Its representation is not so simple as in the planar case, however. In higher dimensions, even if the vertices of a convex polytope are known, construction of its faces is a non-trivial task, as is the dual problem of constructing the vertices given the faces. The size of the output may be exponentially larger than the size of the input, and even in cases where the input and output are both of comparable size the known algorithms for high-dimensional convex hulls are not outputsensitive due both to issues with degenerate inputs and with intermediate results of high complexity. Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  33. 33. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional Comparativo http://computacion.cs.cinvestav.mx/~anzures/geom/hull.php Algorithm Speed Brute Force Graham Scan QuickHull Incremental Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  34. 34. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional Implementações http://computacion.cs.cinvestav.mx/~anzures/geom/hull.php http://www.cse.unsw.edu.au/~lambert/java/3d/hull.html http://computacion.cs.cinvestav.mx/~anzures/geom/hull.php Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
  35. 35. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional Onde Aplicamos Fecho Convexo? Aldisio Medeiros | Jovane Pires Novembro, 08 de 2012 06 de 2013 Dezembro,
  36. 36. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional Conclusão... Aldisio Medeiros | Jovane Pires Novembro, 08 de 2012 06 de 2013 Dezembro,
  37. 37. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Aldisio Medeiros | Jovane Pires Análise de Algoritmo - Geometria Computacional Dezembro, 06 de 2013
  38. 38. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional Obrigado. Aldisio Medeiros | Jovane Pires Novembro, 08 de 2012 06 de 2013 Dezembro,
  39. 39. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação Análise de Algoritmo - Geometria Computacional Referências http://www.ime.usp.br/~freitas/gc/fecho.html http://www.ime.usp.br/~freitas/gc/java/FechoApp.html http://lhf.impa.br/cursos/gc/notas.pdf http://www.dpi.inpe.br/gilberto/livro/geocomp/geometria.pdf Aldisio Medeiros | Jovane Pires Dezembro, 06 de 2013
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