Aldi wiki

228
-1

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
228
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Aldi wiki

  1. 1. PDF generado usando el kit de herramientas de fuente abierta mwlib. Ver http://code.pediapress.com/ para mayor información.PDF generated at: Tue, 28 May 2013 20:23:09 UTCNumeros Naturales
  2. 2. ContenidosArtículosNúmero natural 1Conjunto 6ReferenciasFuentes y contribuyentes del artículo 13Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 14Licencias de artículosLicencia 15
  3. 3. Número natural 1Número naturalLos números naturales pueden usarse para contar(una manzana, dos manzanas, tres manzanas, …).Un número natural es cualquiera de los números que se usan paracontar los elementos de un conjunto.Convenios de notaciónPuesto que los números naturales se utilizan para contar objetos, elcero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia delos mismos. Dependiendo del área de la matemática, el conjunto de losnúmeros naturales puede presentarse entonces de dos manerasdistintas:•• Definición sin el cero:•• Definición con el cero:donde la N de natural se suele escribir en "negrita de pizarra".Históricamente, el uso del cero como numeral fue introducido en Europa en el siglo XII con la conquista musulmanade la península ibérica,[1]pero no se consideraba un número natural.[2]Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definicionesconjuntistas de los números naturales. Esta convención prevalece en dicha disciplina,[3]y otras, como la teoría de lacomputación.[4]En particular, el estándar DIN 5473 adopta esta definición.[4]Sin embargo, en la actualidad ambosconvenios conviven.[5]Para distinguir ambas definiciones a veces se introducen símbolos distintos. Por ejemplo, si se incluye el cero en losnaturales, al conjunto de los números naturales sin el cero se lo llama conjunto de los enteros positivos y se lo denotacomo . Alternativamente también se utiliza .[6]Por el contrario, cuando el 0 no se considera un número natural (cosa que es conveniente, por ejemplo, endivisibilidad y teoría de números), al conjunto de los naturales con el cero se lo llama conjunto de los númeroscardinales y se lo denota .HistoriaAntes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos paracontar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos.Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en unavara o simplemente trazos específicos sobre la arena (Véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededordel año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales enformas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre deescritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes,en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto,mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue RichardDedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjuntode números naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden,resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la
  4. 4. Número natural 2existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Fregeperdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró laexistencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso delaxioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto denúmeros naturales como ordinales según von Neumann.Las propiedades de los números naturales son:1.1. Que un número natural va después del otro2.2. Que dentro de dos números naturales consecutivos no puede haber otro3.3. Que son infinitosConstrucciones axiomáticasHistóricamente, se han realizado propuestas para axiomatizar la noción habitual de números naturales, de entre lasque destacan las de Peano y la construcción a partir de la teoría de conjuntos.Axiomas de PeanoLos axiomas de Peano rigen la estructura de los números naturales sin necesidad de otra teoría (por ejemplo, la deconjuntos) ni de las nociones aritméticas de suma o equivalencia. Requiere, eso sí, de la noción previa de sucesor.Los cinco axiomas de Peano son (definición sin el cero):1.1. El 1 es un número natural.2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.3.3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.5. Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y además siempre se verifica que: dado un número naturalcualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A contiene al conjunto de todos los númerosnaturales. Este es el axioma de inducción, que captura la idea de inducción matemática.Definición en teoría de conjuntosEn teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. Laidea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que sequiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contengaprecisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada porVon Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.Formalmente, un conjunto se dice que es un número natural si cumple1. Para cada ,2. La relación es un orden total estricto en3. Todo subconjunto no vacío de tiene elementos mínimo y máximo en el ordenSe intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores.Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que no contieneelementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.Se define-según Halmos- entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por y que cadanúmero natural tiene un sucesor denotado como . Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientesexpresiones:
  5. 5. Número natural 3De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Porejemplo:• Por definición (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)• 1 es el sucesor de 0, entonces• 2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces•• y en generalEsto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es pornaturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresiónes decir que un número es menor o igual que si y sólo si contiene a todos los elementos de .También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de susantecesores. Así si y sólo si .Ésa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrolloaxiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica dedemostración conocida como inducción matemática.Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir quesi es un conjunto inductivo, entonces . Esto significa que, en efecto, es el mínimo conjuntoinductivo.Se define la suma por inducción mediante:Lo que convierte a los números naturales en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamadoMonoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse enun grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresionesEsto convierte (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo.Otra forma de construcción de es la siguiente: Sea la clase de todos los conjuntos y definiremos una relaciónbinaria R "ser equipotente" de la siguiente manera Dados A y B∈ se dice que A R B Existe una aplicaciónbiyectiva de A sobre B,es decir,existe biyectiva. Claramente se puede demostrar que esta relaciónverifica las propiedades reflexiva,simétrica y transitiva luego es una relación de equivalencia al conjunto cocientelos llamaremos cardinales y a los cardinales finitos se les llamará números naturales.Lasoperaciones de suma y producto de cardinales se definen como el cardinal de la unión y el producto cartesiano de losconjuntos representantes y verifica todas las propiedades para que sea un semianillo conmutativo yunitario.
  6. 6. Número natural 4Operaciones con los números naturalesLas operaciones matemáticas que se definen en el conjunto de los números naturales son la suma y la multiplicación.La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas, es decir:• El orden de los números no altera el resultado (propiedad conmutativa), a+b = b+a, y a×b = b×a.• Para sumar — o multiplicar — tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una maneraespecífica ya que (a+b)+c=a+(b+c) (propiedad asociativa). Esto es lo que da sentido a expresiones como a+b+c.Al construir la operación de multiplicación de números naturales, se puede observar claramente que la adición osuma y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades igualesy gracias a esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, que se expresa:Aparte, estas dos operaciones cumplen con las propiedades de:• Clausura de ambas operaciones para todos los números naturales a y b, ya que a + b y a × b son siempre númerosnaturales.• Existencia de elementos neutros para ambas operaciones, es decir, para cada número a, a + 0 = a y a × 1 = a.• No existencia de divisores de cero para la operación de multiplicación: si a y b son números naturales tales que a× b = 0, entonces a = 0 ó b = 0.Propiedades de los números naturalesLos números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden se puede redefinir así: si y sólosi existe otro número natural que cumple . Este orden es compatible con todas las operacionesaritméticas puesto que si , y son números naturales y , entonces se cumple:Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado1. Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < bEn los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b≠ 0, podemosencontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que:    y     .Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo,son estudiadas por la teoría de números.Uso de los números naturalesLos números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elementoen una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño deun conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal (teoría de conjuntos). En el mundode lo finito, ambos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos.Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos conceptos son diferentes.• Otro uso de gran importancia, desde el punto de vista matemático, es en la construcción de los números enteros,para lo cual en N×N se establece una relación de equivalencia, para dos pares ordenados de N×N:(a,b) ~ (c,d) si y solo si a + d = b + c.
  7. 7. Número natural 5Sustracción o resta con números naturalesAsúmase que ℕ = {0, 1, 2, 3,...} y sea H = {(m, n)/ m, n ∈ ℕ; m ≥ n}, sea g una aplicación de H en ℕ, tal que g(m,n)=m-n = d si solo si m = d + n, donde m,n están en H y d está en ℕ. A la aplicación g de H sobre ℕ se llama sustraccióno resta en N. La diferencia d = m-n , sólo es posible en el caso que m ≥ n.Proposiciones•• Si m - n = p, entonces m - p= n•• Si m - n = p, entonces (m +r) - ( n+ r) = p• Para cualquier m ∈ ℕ, m - m = 0;•• como m- 0 = m , 0 hace el papel de elemento neutro por la derecha.•• La resta no es conmutativa ni asociativa.• Si se da m - n = p, existe una infinidad de números naturales m´y m´tal que m´- n´= p; de modo tal que en ℕxℕ larelación (m,n) ≈ (m´,n´) s.s.s. m + n´ = n + m´ define una relación de equivalencia, punto de partida para laconstrucción del ℤ de los números enteros[7].Referencias[3][3] Véanse textos como o[4][4] Véase .[5][5] Véase[6][6] , p. 27.[7][7] "Concepto de número" (1970) Trejo, César, publicación de la OEA; Universidad Nacional de Buenos AiresBibliografía• Hernández Hernández, Fernando (1998). Teoría de conjuntos. México D.F.: Sociedad Matemática Mexicana.ISBN 970-32-1392-8.• Hurtado, F. (2 de 1997) (en español). Atlas de matemáticas (1 edición). Idea Books, S.A.. pp. 12. ISBN978-84-8236-049-2.• Welschenbach, Michael (2005). Cryptography in C and C++. Apress. ISBN 9781590595022idioma=inglés.
  8. 8. Conjunto 6ConjuntoLos diversos polígonos en la imagen constituyen un conjunto. Algunos de loselementos del conjunto, además de ser polígonos son regulares. La colecciónde estos últimos —los polígonos regulares en la imagen— es otro conjunto,en particular, un subconjunto del primero.En matemáticas, un conjunto es una agrupaciónde objetos considerada como un objeto en sí. Losobjetos del conjunto pueden ser cualquier cosa:personas, números, colores, letras, figuras, etc.Cada uno de los objetos en la colección es unelemento o miembro del conjunto.[1]Porejemplo, el conjunto de los colores del arcoírises:AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde,Azul, Añil, Violeta}Un conjunto suele definirse mediante unapropiedad que todos sus elementos poseen. Porejemplo, para los números naturales, si seconsidera la propiedad de ser un número primo,el conjunto de los números primos es:P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puedeescribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no defineun conjunto nuevo. Por ejemplo:S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil,Azul}Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de losplanetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarsemediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones máselementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otrolado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetosmatemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción deaxiomas y conduce a la teoría de conjuntos.HistoriaEl concepto de conjunto como objeto abstracto no comenzó a emplearse en matemáticas hasta el siglo XIX, a medidaque se despejaban las dudas sobre la noción de infinito.[2]Los trabajos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann yacontenían ideas relacionadas con una visión conjuntista de la matemática. Las contribuciones de Richard Dedekindal álgebra estaban formuladas en términos claramente conjuntistas, que aún prevalecen en la matemática moderna:relaciones de equivalencia, particiones, homomorfismos, etc., y él mismo explicitó las hipótesis y operacionesrelativas a conjuntos que necesitó en su trabajo.La teoría de conjuntos como disciplina independiente se atribuye usualmente a Georg Cantor. Comenzando con susinvestigaciones sobre conjuntos numéricos, desarrolló un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propiedades. Lainfluencia de Dedekind y Cantor empezó a ser determinante a finales del siglo XIX, en el proceso de«axiomatización» de la matemática, en el que todos los objetos matemáticos, como los números, las funciones y las
  9. 9. Conjunto 7diversas estructuras, fueron construidos en base a los conjuntos.Definición[...] entiendo en general por variedad o conjunto toda multiplicidad que puede ser pensada como unidad, esto es, toda colección deelementos determinados que pueden ser unidos en una totalidad mediante una ley.—Georg Cantor[3]Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa:números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son:A es el conjunto de los números naturales menores que 5.B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.C es el conjunto de las letras a, e, i, o y u.D es el conjunto de los palos de la baraja francesa.Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llamanelementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈:[4]a ∈ A se leeentonces como «a está en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el símbolo ∉.Por ejemplo:3 ∈ A , ♠ ∈ Damarillo ∉ B, z ∉ CNotaciónRelación de pertenencia. El conjunto A es un conjunto de polígonos. En laimagen, algunas de las figuras pertenecen a dicho conjunto, pero otras no.Existen varias maneras de referirse a unconjunto. En el ejemplo anterior, para losconjuntos A y D se usa una definición intensivao por comprensión, donde se especifica unapropiedad que todos sus elementos poseen. Sinembargo, para los conjuntos B y C se usa unadefinición extensiva, listando todos suselementos explícitamente.Es habitual usar llaves para escribir loselementos de un conjunto, de modo que:B = {verde, blanco, rojo}C = {a, e, i , o, u}Esta notación mediante llaves también se utilizacuando los conjuntos se especifican de formaintensiva mediante una propiedad:A = {Números naturales menores que 5}D = {Palos de la baraja francesa}Otra notación habitual para denotar por comprensión es:A = {m : m es un número natural, y 1 ≤ m ≤ 5}D = {p : p es un palo de la baraja francesa}F = {n2: n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10} ,
  10. 10. Conjunto 8En estas expresiones los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto F es el conjunto de «los números de laforma n2tal que n es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeroscuadrados de números naturales. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical («|») u oblicua «/» .Igualdad de conjuntosConjunto de personas. El conjunto de «personas» mostrado en la imagen, A,tiene 8 miembros. Este conjunto puede representarse mediante llaves omediante un diagrama de Venn. El orden de las personas en A es irrelevante.Un conjunto está totalmente determinado por suselementos. Por ello, la igualdad de conjuntos seestablece como:Propiedad de la extensionalidadDos conjuntos A y B que tengan losmismos elementos son el mismo conjunto,A = B.Esta propiedad tiene varias consecuencias. Unmismo conjunto puede especificarse de muchasmaneras distintas, en particular extensivas ointensivas. Por ejemplo, el conjunto A de losnúmeros naturales menores que 5 es el mismoconjunto que A′, el conjunto de los números 1, 2,3 y 4. También:B = {verde, blanco, rojo} = {colores de labandera de México}C = {a, e, i, o, u} = {vocales del español}D = {Palos de la baraja francesa} = {♠, ♣, ♥, ♦}El orden en el que se precisan los elementos tampoco se tiene en cuenta para comparar dos conjuntos:B = {verde, blanco, rojo} = {rojo, verde, blanco}C = {a, e, i, o, u} = {e, i, u, a, o}Además, un conjunto no puede tener elementos «repetidos», ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento dedicho conjunto o no serlo. Se da entonces que, por ejemplo:{1, 2} = {1, 2, 1}En ausencia de alguna característica adicional que distinga los «1» repetidos, lo único que puede decirse del conjuntode la derecha es que 1 es uno de sus elementos.
  11. 11. Conjunto 9SubconjuntosSubconjunto. B es un subconjunto de A (en particular un subconjuntopropio).Un subconjunto A de un conjunto B, es unconjunto que contiene algunos de los elementosde B (o quizá todos):Un conjunto A es un subconjunto delconjunto B si cada elemento de A es a suvez un elemento de B.Cuando A es un subconjunto de B, se denotacomo A ⊆ B y se dice que «A está contenido enB». También puede escribirse B ⊇ A, y decirseque B es un superconjunto de A y también «Bcontiene a A» o «B incluye a A».Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo,ya que siempre se cumple que «cada elemento deA es a su vez un elemento de A». Es habitualestablecer una distinción más fina mediante elconcepto de subconjunto propio: A es un subconjunto propio de B si es un subconjunto de B pero no es igual a B.Se denota como A ⊊ B, es decir: A ⊆ B pero A ≠ B (y equivalentemente, para un superconjunto propio, B ⊋ A).[5]Ejemplos.El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}Conjuntos disjuntosA y B son conjuntos disjuntos.Un conjunto A es disjunto a otro B si loselementos de A no pertenecen a B:la disjunción de conjuntos es reciproca y si A esdisjunto de B, B es disjunto de A:Por lo tanto dos conjuntos A y B son disjuntos sino tienen elementos comunes, que tambiénpuede decirse:Los conjuntos A y B son disjuntos si: la intersección entre A y B es el conjunto vacío.
  12. 12. Conjunto 10CardinalidadLos conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito se pueden contar los elementos delconjunto:El número de elementos de un conjunto finito es su cardinal.El cardinal se denota por |A|, card(A) o #A. Así, en los ejemplos anteriores, se tiene que |A| = 4 (cuatro números), |B|= 3 (tres colores) y |F| = 10 (diez cuadrados). El único conjunto cuyo cardinal es 0 es el conjunto vacío ∅.En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso por ejemplo de los números naturales: N ={1, 2, 3, ...}. Sin embargo, existe una manera de comparar conjuntos infinitos entre sí, y se obtiene que existenconjuntos infinitos «más grandes» que otros. El «número de elementos» de un conjunto infinito es un númerotransfinito.Operaciones con conjuntosOperaciones con conjuntosUniónIntersecciónDiferenciaComplementoDiferencia simétricaExisten varias operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevosconjuntos:
  13. 13. Conjunto 11• Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B), es el conjunto de todos loselementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.• Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunesa A y B.• Diferencia: (símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A B que resulta de eliminar de Acualquier elemento que esté en B.• Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁que contiene todos los elementos que nopertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.• Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todoslos elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.• Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todoslos pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento bperteneciente a B.Ejemplos• {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}• {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}• {5, z, ♠} {♠, a} = {5, z}•• {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}• {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}Notas[1][1] Para esta introducción, véase y .[2][2] Esta sección está basada en[3][3] Véase[4] Este símbolo lo introdujo Peano. Vid Matemática Moderna de André Warusfel sobre epsilon y Nachbin en su Álgebra Elemental (pág.1 ypág.2) habla de: "La notación de Peano x ∈ X".[5] También se utiliza la notación A ⊂ B y B ⊃ A, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, A ⊆ B y B ⊇ A; o subconjunto propio, A ⊊ By B ⊋ A. Véase Subconjunto.ReferenciasBibliografía• Courant, Richard; Robbins, Herbert; Stewart, Ian (1996) (en inglés). What is Mathematics? An ElementaryApproach to Ideas and Methods. Oxford University Press. ISBN 0-19-510519-2. Suplemento del capítulo II.• Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos (http://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf), consultado el18-04-2011.• Jech, Thomas. Edward N. Zalta (ed.): « Set Theory (http://plato.stanford.edu/archives/spr2009/entries/set-theory/)» (en inglés). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2009 Edition). Consultado el22-04-2011.• Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.•• Nachbin, Leopoldo : Álgebra elemental (1986) Rochester, Nueva York; editora: Eva V. Chesnau. Edición de laOEA, traducida al español por César E. Silva.
  14. 14. Conjunto 12Bibliografía adicional• Halmos, Paul R. : Teoría intuitiva de conjuntos (1965) Compañía editorial Continental S.A. México 22, D.F.primera edición en español.Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre ConjuntosCommons.• Weisstein, Eric W., « Set (http://mathworld.wolfram.com/Set.html)» (en inglés), MathWorld, consultado el22-04-2011• Esta obra deriva de la traducción de Set, publicada bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la LicenciaCreative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported por editores de la Wikipedia en inglés.
  15. 15. Fuentes y contribuyentes del artículo 13Fuentes y contribuyentes del artículoNúmero natural  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=67181153  Contribuyentes: -jem-, 217-127-165-236.uc.nombres.ttd.es, 2fast4all, AVIADOR, Airunp, Akhram, Akma72,Alephcero, Alexander-Venezuela, Alvaro qc, Amadís, Andreasmperu, Angelito7, Angelsaracho, Antonorsi, Antur, Antón Francho, Arrt-932, Arturo Reina, Ascánder, AstroNomo, Ayleen, BL,Banfield, Barteik, Barymar, Belb, Beto29, BetoCG, BlackBeast, Blitox, Carloszelayeta, Cgb, Charly Toluca, Cinabrium, Cobalttempest, Criscam.11, Ctrl Z, DJ Nietzsche, Damián del Valle,Dangelin5, Daniel JG, Danyfarfan, Dark, David0811, DayL6, Diegusjaimes, Dnu72, Dodo, Domaniom, Dorieo, Drappy Dan, Dreitmen, Eduardo 09fut, Eduardosalg, Eferro, Eloy, Elsenyor,Elvenbyte, Emiduronte, Ernessaul, Ernesto Trento, Erudición, Eyetheunlord, Faustito, Feministo, Fmariluis, Foundling, Fran89, Fsd141, GermanX, Ggenellina, Gizmo II, Grillitus, Gusgus,Gustronico, Góngora, HUB, Helmy oved, House, Hugoses, Humberto, Ignacio cifuentes, JMCC1, Jarisleif, Jkbw, Jndvdrm, Jorge c2010, JorgeGG, Joseaperez, Jtico, Juan Marquez, Julio grillo,Kikones34, Kismalac, Kn, Komputisto, Lahi, Las Colinas, Laura Fiorucci, Leonpolanco, LlamaAl, Locos epraix, Lourdes Cardenal, Luienrike, Lulu123, Macheledesma, Mafores, MagisterMathematicae, Manwë, Marcelo, Marcoantoniothomas, Matdrodes, Matiasasb, Maveric149, Mel 23, MiguelMTN, Miss Manzana, Montgomery, Moriel, Mortadelo, Mortadelo2005, Msdus, Murode Aguas, Nachosan, Netito777, Nihilo, Opti72, Ornitododo, Oscarthebig, Palissy, Pan con queso, Platonides, Poco a poco, Pólux, Queninosta, Raulshc, Ricardogpn, RoyFocker, Rumpelstiltskin,Sabbut, Saloca, Sigmanexus6, Sittsam, SuperBraulio13, Superzerocool, Taichi, Technopat, Tefaa :D, Tguardia, Toad32767, Tonatihu, Tuncket, UA31, Valentin vendetta, Vatelys, Vitamine,Vivero, Vubo, WILLIAM ARANGO RESTREPO, Waka Waka, Wesisnay, Wikipedico wikipedico, Xatufan, Yeza, Ysidoro, Zorosandro, conversion script, dup-200-65-89-249.prodigy.net.mx,Érico Júnior Wouters, 708 ediciones anónimasConjunto  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=66737027  Contribuyentes: .José, .Sergio, AFLastra, ALE!, Abajo estaba el pez, Acratta, Aeoris, Albert0013, Albertobsd, Aleator,Aloriel, Alvaro qc, Andreasmperu, Arcibel, Argentinoo, AstroNomo, Atila rey, Axvolution, Açipni-Lovrij, Banfield, Camilo, Cgb, Chien, Cyberdelic, DJ Nietzsche, Daniel unam, David0811,Davius, Demiannnn, Diegusjaimes, Dnu72, Echani, Farisori, Fsd141, Galandil, Ginés90, Gusgus, Götz, HUB, Harpagornis, Helmy oved, HiTe, Hprmedina, Humbefa, Humberto, Ialad, Igna,Ingenioso Hidalgo, Interwiki, JMCC1, Jcaraballo, Jkbw, Jorge c2010, Juan Marquez, Juana Banana, Julio grillo, Kismalac, Kn, Leonpolanco, Linkedark, Lipedia, Loku, Luis Felipe Schenone,Maestro de matemáticas, Mafores, Magister Mathematicae, MarcoAurelio, Marianov, MarisaLR, Matdrodes, Mctpyt, Mel 23, Moriel, Nachosan, Netito777, Olivares86, PhJ, Pilaf, Piolinfax,Porao, Pólux, Rafamarley, Ricardogpn, Savh, Sergio Andres Segovia, Serser, Sittsam, SuperBraulio13, Technopat, Tesla91, The crazy01, Tirithel, Tomatejc, UA31, UAwiki, Unf, Vargenau,Waka Waka, Wewe, Xerox 5B, Yayoloco, Yormilenio, conversion script, w066.z064003107.lax-ca.dsl.cnc.net, 284 ediciones anónimas
  16. 16. Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 14Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:Three apples.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Three_apples.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Oleg AlexandrovArchivo:PolygonsSet.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PolygonsSet.svg  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: kismalacArchivo:Membership.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Membership.svg  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: kismalacArchivo:PersonsSet.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PersonsSet.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes: Toilets_unisex.svg:AIGA symbol signs collection derivative work: kismalacArchivo:Subset-2.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Subset-2.svg  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: kismalacArchivo:DisjointSets.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:DisjointSets.svg  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: User:KismalacArchivo:SetUnion.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SetUnion.svg  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: kismalacArchivo:SetIntersection.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SetIntersection.svg  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: kismalacArchivo:SetDifferenceA.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SetDifferenceA.svg  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: kismalacArchivo:SetComplement.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SetComplement.svg  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: User:kismalacArchivo:SetSymmetricDifference.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SetSymmetricDifference.svg  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes:User:kismalacArchivo:Commons-logo.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svg  Licencia: logo  Contribuyentes: SVG version was created by User:Grunt andcleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab.
  17. 17. Licencia 15LicenciaCreative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported//creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/

×