MATERIAL COMPLEMENTAR1


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 Concursos não costumam permitir o uso de calculadoras ou planilhas. Logo, os oito capítulos an...
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                     USANDO A HP 12C E O EXCEL EM
                         MATEMÁTICA FINANCEIRA
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Figura 9. 1.   A Calculadora HP 12C.

Suas características principais incluem o fato de possuir mais de 120 funções especí...
armazenamento e processamento quatro vezes superior) ou a HP 19BII (15 vezes mais rápida e
com capacidade 9 vezes superior...
Teste semi-automático: com a calculadora desligada, pressione e mantenha pressionada a
tecla [÷] e depois ligue a HP12C, p...
Apenas funções azuis

                                                       Figura 9. 4.   Funções azuis.

Em relação ao ...
Limpa a formatação do visor.




Formatar exibição de casas decimais

Embora sempre trabalhe internamente com valores com ...
As duas principais características das calculadoras HP12C podem ser apresentadas por meio da
lógica RPN, das inicias da ex...
para a calculadora que o 235 e o 121 são dois números distintos e não 235121, a HP
disponibiliza a tecla [ENTER]. Assim, p...
TECLE [ENTER] PARA SEPARAR VALORES! 
 A tecla ENTER deve ser usada apenas para separar a entrada de números distintos 
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A função [f] CLEAR [REG] ou [f] [REG], simplesmente, do inglês CLEAR REGISTERS, limpa
todos os registradores. Ou seja, lim...
1          700        Abastece o saldo inicial
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Passo       Teclas                                       Descrição
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exemplo, para digitar 17.000.000.000, basta teclar 17 [EEX] 9. De forma similar, para digitar
0,000008 na HP 12C bastaria ...
Assim, a função [g] [LN] da HP 12C pode ser usada para obter o número exato de períodos.
Para ilustrar, considere o caso d...
O uso da função [%] está apresentado na questão seguinte.

[Cap 1, C9] (SUSEP, 240) Uma loja oferece um desconto de 50% a ...
a) 0,6% ao mês        b) 4,2% ao mês                  c) 6% ao mês
d) 42% ao mês         e) 60% ao mês

Podemos usar a fun...
Quando a função [g] [D.MY] é empregada, o flag D.MY fica acesso no visor, indicando a
convenção da notação DIA.MESANO da c...
[Cap1 modificada, D3] (TTN, adaptada, 133) Uma duplicata de $570,00, vencida em
04.03.86, somente foi paga 230 dias depois...
a) Seg          b) Ter           c) Qua          d) Qui          e) Sex

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Passo              Teclas                                          Descrição
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Passo       Teclas          Visor                             Descrição
       1     f P/R          0               Entra ...
Passo            Teclas                Visor                            Descrição
   0               f P/R          0     ...
Temos que a taxa de 1 mês é fácil de ver (1 [FV]) e igual a 5% (5 [i]). Precisamos ver a taxa
de 12 meses (12 [PV]). Assim...
Funções financeiras para dois capitais ou séries uniformes:


                            Calcula ou abastece o número de ...
Divide o valor por 12.




                           Multiplica o valor por 12.


As funções [g] [12x] e [g] [12÷] podem ...
3              2 [N]          Abastece o número de períodos. Lembre que na matemática
                                fina...
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                                 fi...
abastecido em [N]. Como [N] está em número de meses, a
                                     taxa é 0,7974% a. m.


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Flag        Ativa            Desativa                           Descrição
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3        10,833333 [N]        Abastece o prazo. Note que 10 meses e 25 dias são iguais a
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  1. 1. MATERIAL COMPLEMENTAR1 1 Concursos não costumam permitir o uso de calculadoras ou planilhas. Logo, os oito capítulos anteriores da versão impressa do livro nada falaram sobre tais recursos. Este capítulo é extra, disponível para download no site da Editora Atlas (www.EditoraAtlas.com.br) por todos aqueles que desejem usar o livro na faculdade ou na empresa, usando a HP 12C ou o Excel. 1
  2. 2. 9 USANDO A HP 12C E O EXCEL EM MATEMÁTICA FINANCEIRA "É no coração do homem que reside o princípio e o fim de todas as coisas" Tolstoi Objetivos do capítulo Os capítulos anteriores do livro discutiram as mais diversas aplicações e usos da Matemática Financeira aplicada na resolução de provas e questões de concursos públicos que costumam proibir o uso de quaisquer outros recursos além de lápis, caneta e borracha. Todas questões dos capítulos anteriores foram resolvidas sem uso de recursos facilitadores complementares. No máximo, usamos as tabelas para juros compostos e séries uniforme, usualmente fornecidas nas provas de concursos públicos. O fato deste livro apresentar uma grande variedade de questões, classificadas por assunto, da mais fácil para a mais difícil, todas igualmente respondidas e solucionadas integralmente, passo a passo, justifica seu uso em situações além dos concursos. O livro torna-se uma excelente referência acadêmica para cursos de graduação ou pós-graduação. Transforma-se, também, em uma excelente fonte de consulta e uso nas empresas. Este último capítulo, disponível para download no site da Editora Atlas (www.EditoraAtlas.com.br), amplia as possibilidades do uso do livro, apresentando recursos até então não abordados como a calculadora HP 12C e a planilha eletrônica Microsoft Excel. O capítulo aborda de forma simples e clara os principais recursos disponíveis na calculadora HP 12C, envolvendo operações algébricas, funções estatísticas, cálculos com datas, operações com percentagens e, principalmente, os recursos aplicáveis à matemática financeira. Também traz os principais usos da Matemática Financeira no Excel. CALCULADORAS E PLANILHAS NA FACULDADE OU NA EMPRESA!  Concursos não costumam permitir o uso de calculadoras ou planilhas. Logo, os  oito capítulos anteriores da versão impressa do livro nada falaram sobre tais  recursos. Este capítulo é extra, disponível para download no site da Editora Atlas    (www.EditoraAtlas.com.br) por todos aqueles que desejem usar o livro na  faculdade ou na empresa.  Conhecendo a calculadora HP 12C De todas as máquinas financeiras atualmente disponíveis no mercado, a HP 12C é, provavelmente, a mais antiga. Foi lançada em 1981, dentro da clássica série de calculadoras 10C, composta pelas máquinas HP 10C, 11C, 12C, 15C e 16C, todas lançadas entre os anos de 1981 a 1985. 2
  3. 3. Figura 9. 1. A Calculadora HP 12C. Suas características principais incluem o fato de possuir mais de 120 funções específicas para usos em negócios, que permitem trabalhar com 20 diferentes fluxos de caixa, operações com taxas internas de retorno e valores presentes líquidos. É caracterizada por trabalhar com lógica RPN, do inglês Reverse Polish Notation, ou notação polonesa reversa, o que permite uma entrada mais rápida de dados e a execução mais eficiente dos cálculos. Apresenta, ainda, de acordo com o site da HP2 baterias de longa duração, tamanho pequeno e conveniente, além de programação através do teclado. O site do Museu da HP3 apresenta a versão 12C como a calculadora que não morreria, sendo a mais antiga e mais bem vendida calculadora de todo o mundo. Embora outros modelos mais novos e com muito mais recursos tenham sido lançados posteriormente, as vendas da velha HP 12C seguem de vento em popa. PARA AUMENTAR O CONHECIMENTO ... Os tópicos apresentados neste capítulo complementam os conteúdos de todos os meus livros publicados pela Editora Atlas. Para conhecer os livros, visite www.EditorAtlas.com.br ou www.InfinitaWeb.com.br. Alguns catálogos de vendas destacaram a superioridade mecânica de outras máquinas, como a HP 17BII (apresentada como 15 vezes mais rápida que a 12C e com capacidade de 2 http://www.hp.com. 3 HP Museum, http://www.hpmuseum.org. 3
  4. 4. armazenamento e processamento quatro vezes superior) ou a HP 19BII (15 vezes mais rápida e com capacidade 9 vezes superior de processamento de informações). E quais seriam as razões da persistência do uso da velha HP 12C a ponto, por exemplo, de justificar sua aplicação mais de vinte anos depois do seu lançamento? O próprio Museu da HP apresenta algumas justificativas, destacadas na Figura 9. 2. 1. É uma calculadora puramente RPN, sem opções algébricas para confundir o comprador, ou o usuário. As calculadoras mais novas, HP 17B e 19B, foram lançadas em versões algébricas, rapidamente substituídas pelas versões BII, com RPN opcional; 2. Os compradores, geralmente profissionais ligados a áreas de negócios, são sempre ligeiramente conservadores – o que os tornam aficcionados pela HP 12C, já tradicional no mercado; 3. Possui uma excelente (e cara) aparência; 4. Como todas as outras calculadoras da série 10C, possui uma boa e sólida aparência “feita como um tijolo”, especialmente quando comparadas com outros modelos de calculadoras disponíveis no mercado; 5. Ela já se tornou parte do “elegante uniforme executivo de negócios”, o que a distingue facilmente dos modelos mais baratos. 6. Talvez forneça as funções apropriadas, de forma apropriada e pelo preço mais justo possível. Figura 9. 2. Razões para uso da HP 12C. De um modo geral, as duas principais características da calculadora poderiam ser representadas por sua robustez – já que bem cuidada, a máquina dura indeterminadamente, e simplicidade – é fácil de operar, possuindo as principais funções necessárias em matemática financeira, por exemplo. Com a evolução das planilhas eletrônicas, como o Excel, igualmente apresentado neste capítulo, os usos da HP 12C ficaram limitados a rápidas operações, ou cálculos mais simples. Didaticamente, ainda representa um excelente recurso, em função de executar as principais funções financeiras e apresentar um custo muito mais baixo que um microcomputador portátil, por exemplo. Comandos, funções e testes iniciais. O bom uso da calculadora requer o domínio de alguns recursos importantes. Ligar e desligar a calculadora Para ligar e desligar a calculadora, basta pressionar a tecla [ON]. [ON] Liga a calculadora (se ela estiver desligada). [ON] Novamente Desliga a calculadora (se ela estiver ligada). Auto-teste dos circuitos Para saber se a calculadora está funcionando normalmente, existem alguns procedimentos de teste que podem ser efetuados, como: Teste automático: com a calculadora desligada, pressione e mantenha pressionada a tecla [x] (ou [+]) e depois ligue a HP12C, pressionando a tecla [ON]. Solte a tecla [ON] e depois a tecla [x] (ou [+]). Um auto-teste será realizado. Se o mecanismo da máquina estiver funcionando corretamente, dentro de aproximadamente 25 segundos (durante os quais no visor será exibido a palavra "running" piscando) todos os indicadores do visor serão exibidos (a exceção do *: indicador de bateria fraca). Se aparecer a expressão "Error 9" ou não aparecer nada, a calculadora está com problemas; 4
  5. 5. Teste semi-automático: com a calculadora desligada, pressione e mantenha pressionada a tecla [÷] e depois ligue a HP12C, pressionando a tecla [ON]. Solte a tecla [ON] e depois a tecla [÷]. Para verificar todas as teclas da HP, nesta opção de teste é necessário pressionar TODAS as teclas da máquina, da esquerda para a direita, de cima para baixo. Ou seja, é necessário pressionar todas as teclas, da tecla [N] até a tecla [÷], depois da tecla [yx] até a tecla [x], da tecla [R/S] até a tecla [-], pressionando, na passagem, a tecla [ENTER] e, por último, da tecla [ON] até a tecla [+], passando, também, pela tecla [ENTER]. Assim, a tecla [ENTER] deverá ser pressionada em duas passagens distintas. De forma similar ao teste anterior, se o mecanismo da máquina estiver funcionando corretamente, após pressionar todas as teclas na ordem descrita, o visor indicará o número 12 no centro. Se aparecer a expressão "ERROR 9" não aparecer nada, a calculadora está com problemas. Funções amarelas e azuis Como forma de economizar teclas, a HP emprega o recurso de atribuir à mesma tecla, diferentes funções. Algumas teclas da HP apresentam legendas em branco (função principal), em amarelo ou em azul. Para empregar uma função "amarela" é necessário pressionar a tecla [f] antes. Para empregar uma função "azul" é necessário pressionar a tecla [g] antes. Aciona as funções em amarelo. Aciona as funções em azul. Algumas das principais funções amarelas da HP 12C estão apresentadas na Figura 9. 3. Como exemplos de funções financeiras em amarelo, podemos apresentar a função [NPV], iniciais da expressão em língua inglesa Net Present Value, ou Valor Presente Líquido, e a função [IRR], do inglês Internal Rate of Return, ou Taxa Interna de Retorno. Apenas funções amarelas Figura 9. 3. Funções amarelas. Algumas das funções azuis da HP 12C estão apresentadas na Figura 9. 4. Como exemplos de funções financeiras em azul, podemos apresentar a função [DATE], ou data, e a função [∆DYS], ou intervalo de dias. 5
  6. 6. Apenas funções azuis Figura 9. 4. Funções azuis. Em relação ao uso de funções convencionais, azuis e amarelas pode-se apresentar, por exemplo, a tecla [i]. A função convencional da tecla abastece ou calcula a taxa de juros. Mas a tecla [i] também apresenta outras duas funções adicionais: a função [INT] em amarelo, para calcular o juro de uma operação, e a função [12÷], que divide um valor por 12. Abastece ou calcula a taxa de juros. Para usar a função [i] basta pressionar a tecla [i]. Calcula os juros. Para usar a função [INT], que calcula os juros4 de uma operação é necessário pressionar, antes, a tecla [f] (note que o visor indicará que tecla [f] foi pressionada) e depois a tecla [INT]. Divide o valor por 12. De forma similar, para usar a função [12÷] é necessário pressionar a tecla [g] (note que o visor indicará que tecla [g] foi pressionada) e depois a tecla [12÷]. CUIDADO COM OS AZUIS E COM OS AMARELOS! Lembre-se que quando a tecla [f] ou [g] é pressionada, somente as funções em amarelo ou azul serão ativadas! Caso as teclas [f] ou [g] tenham sido pressionadas de forma indesejada, para cancelar a operação, basta pressionar as teclas [f] [PREFIX]. 4 [INT] corresponde às iniciais de interest ou juro em inglês. 6
  7. 7. Limpa a formatação do visor. Formatar exibição de casas decimais Embora sempre trabalhe internamente com valores com muitas casas decimais, a HP12C permite a exibição de um número de casas decimais pré-fixado. Para fixar um número de casas decimais, pressione a tecla [f] e depois o número de casas decimais desejado. Por exemplo, para trabalhar com 2 casas decimais, basta pressionar [f] 2. Para exibir 4 casas decimais, pressione [f] 4. EU SEMPRE TRABALHO COM QUATRO CASAS!  Nas operações que realizo com a calculadora, eu sempre uso a notação com a  apresentação de quatro casas decimais, o que é feito ao longo deste capítulo!    Importante lembrar: embora exiba valores com um número de casas decimais predefinido, internamente a máquina processará um número com um maior número de casas decimais. Em cálculos sucessivos, os valores das etapas intermediárias exibidas no visor, podem, portanto, ser diferentes do valor final exibido. Assim, evite transcrever valores para o papel e depois para a calculadora. Tente sempre usar as pilhas e os registradores da calculadora. Selecionar ponto ou vírgula A HP12C permite usar o ponto ou a vírgula como separador de casas decimais. Para trocar a opção em vigor, desligue a máquina, pressione a tecla [.] e depois ligue a máquina, liberando primeiro a tecla [ON] e depois a tecla [.]. Automaticamente, a HP12C trocará o separador de casas decimais. Notação de números muito grandes ou muito pequenos A HP permite a realização de cálculos com números que sejam maiores que 10-100 e menores que 10100. Já que o visor só permite a exibição de números com até 10 algarismos, números muito grandes ou muito pequenos são exibidos sob a forma de notação científica, onde a mantissa é apresentada primeiramente e, depois, o expoente de 10 que multiplica a mantissa. Por exemplo 14 milhões multiplicado por 24 milhões será exibido na HP como sendo [3,360000 14]. Note a existência de espaço entre 3,360000 e 14. O primeiro número [3,360000] é a mantissa e o segundo [14] é o expoente de 10 que está multiplicando a mantissa. De outra forma: 14.000.000 x 24.000.000 = 336.000.000.000 = 3,360000 x 1014. Uma forma de trabalhar com valores muito grandes na HP é viabilizada pela tecla [EEX] que representa o expoente de 10 que multiplica o número que está sendo digitado. A função será melhor descrita a seguir. Indicação de bateria fraca Caso a bateria da máquina esteja fraca, aparecerá um indicador * piscando no canto inferior esquerdo. Para evitar um desgaste antecipado da bateria, deve-se evitar colocar a calculadora próxima a fontes de campos eletromagnéticos, como alto-falantes automotivos, aparelhos de som, televisores, etc. Lógica RPN e pilhas de registradores 7
  8. 8. As duas principais características das calculadoras HP12C podem ser apresentadas por meio da lógica RPN, das inicias da expressão em língua inglesa Reverse Polonish Notation, ou Notação Polonesa Reversa, e da pilha de registradores. Lógica RPN Note que a HP12C não possui uma das principais teclas de calculadoras algébricas comuns que é a tecla de igualdade. A razão dessa inexistência consiste no fato da HP trabalhar com uma lógica matemática diferente: a lógica RPN. Enquanto em uma operação algébrica comum, os operandos devem ser intercalados por operadores, na lógica RPN os operandos devem ser colocados primeiramente e, depois, devem ser colocados os operadores. A lógica RPN5 foi criada a partir dos trabalhos apresentados por Jan Lukasiewicz, matemático polonês, nos anos 20. Consiste, basicamente, em um sistema lógico formal que permite a especificação de expressões matemáticas sem o uso de parênteses, através da colocação dos operadores antes (notação pré-fixada), ou depois (notação pós-fixada), dos operandos. Figura 9. 5. O matemático polonês Jan Lukasiewicz. A notação pré-fixada recebeu o nome de Notação Polonesa, em homenagem a Lukasiewicz. A HP ajustou a notação pós-fixada para o teclado das calculadoras, mediante o uso de pilhas para armazenamento dos operandos e funções específicas para o manuseio das pilhas. Assim, denominou a lógica criada de Notação Polonesa Reversa, ou, simplesmente, RPN – mantendo a homenagem a Lukasiewicz. Comparando a notação algébrica convencional com a polonesa reversa, temos que para somar 235 e 121 em uma operação convencional, deve-se fazer 235 + 121 = 356, como apresenta a Figura 9. 6. 235 + 121 = 356 Operador Instrução Operandos Figura 9. 6. Operação algébrica convencional. Em uma operação com lógica RPN, é necessário entrar antes com os operandos 235 e 121. Apenas depois, colocaríamos o operador da adição. Para poder separar os números ou indicar 5 Segundo o HP Museum, www.hpmuseum.org. 8
  9. 9. para a calculadora que o 235 e o 121 são dois números distintos e não 235121, a HP disponibiliza a tecla [ENTER]. Assim, para somar 235 e 121 na HP será necessário pressionar as teclas 235 [ENTER] 121 [+]. No visor aparecerá a resposta 356. Veja a representação da Figura 9. 7. Notação polonesa … 235 121 + 356 ENTER Operador Instrução Operandos Figura 9. 7. Operação de soma com lógica RPN. Pilhas de Registradores Outra característica da HP é representada pela pilha de registradores. Embora apenas um dos registradores da máquina seja sempre exibido e que corresponde ao visor, também denominado registrador X, existem outros, dispostos em forma de "pilha", que permitem e facilitam a realização de cálculos sucessivos. É como se acima do visor, a HP 12C armazenasse outros valores. Veja a representação da Figura 9. 8. Último X Registrador T Registrador Z Registrador Y Registrador X Figura 9. 8. Registradores X, Y, Z e T da HP 12C. Conforme visto na Figura 9. 8, o visor é denominado Registrador X. Além dele, existem outros registradores, como o Y, Z e T. Quando um número é digitado na máquina, ele é automaticamente inserido no Registrador X (visor). Ao pressionar a tecla [ENTER], o número é duplicado, sendo seu valor copiado para o registrador Y. As operações da máquina são quase sempre efetuadas com os registradores X e Y. Assim, sugere-se que, antes de iniciar operações sucessivas na HP, deve-se fazer a limpeza da pilha. Para limpar a pilha, basta pressionar as teclas [f] [REG]. A tecla [ENTER] consiste no principal mecanismo para a operação de pilhas da HP 12C. Ao pressionar [ENTER], os registradores são "empurrados" para cima na pilha, sendo o conteúdo do visor (registrador X) duplicado. Quando as operações são efetuadas, a calculadora opera os registradores X e Y, mantendo o resultado no visor (registrador X). 9
  10. 10. TECLE [ENTER] PARA SEPARAR VALORES!  A tecla ENTER deve ser usada apenas para separar a entrada de números distintos  na HP 12C!    É importante destacar que a única ocasião em que a tecla [ENTER] deve ser pressionada é quando se deseja dois números que estão sendo introduzidos consecutivamente, um número imediatamente após o outro. Apenas nestas ocasiões o [ENTER] deve ser utilizado. Os passos associados à seqüências de teclas da HP12C para a realização da soma entre 5 e 4 podem ser apresentados como a seguir. Passo Teclas Descrição 0 [f] [REG] Sempre é passo inicial em qualquer operação na HP 12C. Limpamos a pilha de registradores com a função [f] [REG]. Esta função será descrita mais detalhadamente a seguir. 1 5 Digita-se o valor do primeiro operando: 5. Nota-se que o valor foi armazenado no registrador X. 2 [ENTER] Separa-se a entrada dos operandos 5 e 4 com a tecla [ENTER]. Nota-se que o registrador X foi duplicado sendo copiado no registrador Y. 3 4 Digita-se o valor do segundo operando: 4. Nota-se que o valor foi armazenado no registrador X. No registrador Y continua armazenado o valor do primeiro operando: 5. 4 [+] Solicita-se a operação desejada: soma mediante o operador [+]. Final {Visor} Note-se que o registrador Y foi adicionado ao registrador X. No 9,0000 visor (Registrador X) é fornecido o resultado: 9. A evolução dos registros na pilha feitos para a soma de 5 e 4 apresentada anteriormente poderia ser representados como na Figura 9. 9. Registrador Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4 Passo 5 Último X [f] [Reg] 0 5 0 [ENTER] 0 4 0 [+] 4 T 0 0 0 0 0 Z 0 0 0 0 0 Y 0 0 5 5 0 X (Visor) 0 5 5 4 9 Figura 9. 9. Seqüência de passos e pilhas para a soma de 4 e 5 na HP 12C. É importante ressaltar a importância da pilha na realização de cálculos seqüenciais. Por exemplo, a operação (45+5)/(17-12) pode-se ser feita de forma simples na HP, mediante o uso da pilha. Passo Teclas Descrição 0 [f] [REG] Limpamos a pilha de registradores. 1 45 Digita-se o valor do primeiro operando. 2 [ENTER] Separa-se a entrada dos operandos. 3 5 Digita-se o valor do segundo operando. 4 [+] Solicita-se a operação desejada. A pilha registrará a soma igual a 50. 5 17 Terceiro operando. 6 [ENTER] Separa-se a entrada dos operandos. 7 12 Quarto operando. 8 [-] Solicita-se a operação desejada. A pilha registrará a diferença igual a 5. 10
  11. 11. 9 [÷] Solicita-se a operação desejada. Executaremos a divisão dos números armazenados na pilha: 50 ÷ 5 = 10. Final {Visor} Resultado final. 10,0000 Na HP, em função da pilha, não é necessário o uso de parênteses. A pilha permite o acúmulo dos cálculos parciais. Veja a seqüência de passos e registros da Figura 9. 10. Registrador Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4 Passo 5 Último X [f] [Reg] 0 45 0 [ENTER] 0 5 0 [+] 5 T 0 0 0 0 0 Z 0 0 0 0 0 Y 0 0 45 45 0 X (Visor) 0 45 45 5 50 Registrador Passo 6 Passo 7 Passo 8 Passo 9 Passo 10 Último X 17 5 [ENTER] 5 12 5 [‐] 12 [÷] 5 T 0 0 0 0 0 Z 0 50 50 0 0 Y 50 17 17 50 0 X (Visor) 17 17 12 5 10 Figura 9. 10. Seqüência de passos e movimentações na pilha da HP 12C. O conhecimento sobre o funcionamento da pilha de registradores é essencial para a realização de cálculos na HP 12C. Funções de Operações de Pilha Algumas funções da HP 12C são próprias para as operações envolvendo a pilha de registradores, enfatizada novamente na Figura 9. 11. Último X Registrador T Registrador Z Registrador Y Registrador X Figura 9. 11. Pilha de registradores. A HP 12C usa a convenção de denominar o visor de registrador X. Logo “acima” dele temos, na ordem, os registradores Y, Z e L. Por fim, temos o registrador Último X, que armazena o último valor operado e que estava no visor. Veja os exemplos apresentados a seguir. Limpa o registrador X A função [CLX] limpa o registrador X. Ou seja, limpa o conteúdo do visor. Limpa todos os registradores da HP (não apenas a pilha), incluindo os registradores financeiros e os estatísticos 11
  12. 12. A função [f] CLEAR [REG] ou [f] [REG], simplesmente, do inglês CLEAR REGISTERS, limpa todos os registradores. Ou seja, limpa a memória da HP 12C, mantendo apenas os programas registrados na memória de programas. Rola a pilha para baixo. A tecla [R ] permite movimentar os números para baixo na pilha, alterando a sua ordem de exibição. Por exemplo, após entrar com as teclas [f] [REG] 1 [ENTER] 2 [ENTER] 3 [ENTER] 4, pode-se ver o conteúdo da pilha mediante a rolagem para baixo. Ao pressionar a tecla [R ], a HP 12C rolará o conteúdo da pilha para baixo. Outras funções aplicáveis à manipulação da pilha estão apresentadas a seguir. Troca a posição dos registradores X e Y. A função [x y] troca a posição dos valores armazenados nos registradores X e Y. Recupera o último valor do registrador X. A função [g] [LSTx] permite recuperar o último valor do registrador X. Registradores adicionais Um outro conjunto de registradores da HP pode ser utilizado mediante o emprego das teclas: [STO] Do inglês STORE, armazene. Armazena valores em um registrador que pode variar de .0 a 9 (vinte opções disponíveis). [RCL] Do inglês RECALL, recupere. Recupera valores armazenados na função [STO]. Por exemplo, o valor 165,23 pode ser armazenado no registrador 1: 165,23 [STO] 1. Após limpar o visor com a tecla [CLX], o valor pode ser recuperado através da tecla [RCL]. Para isso, bastaria executar [RCL] 1. O visor apresenta a resposta correta, igual a 165,23. Os registradores permitem operações matemáticas, como soma, subtração, multiplicação e divisão. Para somar 10 ao conteúdo do registrador 1, basta fazer [STO] + 1. Em outras palavras, adicione o valor 10 ao valor que estava armazenado no registrador 1. Por exemplo, suponha que seu último saldo no banco era igual a $700,00. Desde a última posição, você emitiu cheques nos valores de $50,00 e $120,00. Além disso, efetuou um depósito no valor de $250,00. Qual o valor do seu saldo atual? Solução: o saldo pode ser controlado diretamente em um dos registradores da HP, como o registrador 1, de acordo com os passos apresentados na Figura 9. 12. Passo Teclas Descrição 0 [f] [REG] Limpamos a pilha de registradores. 12
  13. 13. 1 700 Abastece o saldo inicial 2 [STO] 1 Armazena o saldo (700) no registrador 1 3 50 [CHS] Abastece o valor da primeira movimentação: pagamento (sinal negativo) com cheque no valor de $50 4 [STO] [+] 1 Acrescentamos o valor no visor (-50) ao registrador 1 (que era 700 e passou a ser 650) 5 120 [CHS] Fornecemos o valor da segunda movimentação: pagamento (sinal negativo) com cheque no valor de $120 6 [STO] [+] 1 Acrescentamos o valor no visor (-120) ao registrador 1 (que era 650 e passou a ser 530) 7 250 Entramos com o valor da terceira movimentação: depósito no valor de $250 8 [STO] [+] 1 Acrescentamos o valor no visor (250) ao registrador 1 (que era 530 e passou a ser 780) 9 [RCL] 1 Recuperamos o valor armazenado no registrador 1. Final {Visor} No visor aparece o valor: 780. 780,0000 Figura 9. 12. Usando as funções [STO] e [RCL]. Registradores Estatísticos Um grupo de funções e recursos especiais da HP12C permite a execução de cálculos estatísticos básicos. Para isso, é necessário entrar com os dados necessários, empregando a função [Σ+]. Caso algum valor errado tenha sido incluído, pode-se excluí-lo mediante a tecla [Σ-]. Naturalmente, antes de armazenar valores nos registradores estatísticos é necessário limpar o conteúdo anterior mediante a função [f] [Σ]. Veja a Figura 9. 13. Função Descrição [f] [Σ] Limpa valores armazenados nos registradores estatísticos. [Σ+] Acrescenta dados aos registradores estatísticos da HP12C. [Σ-] Subtrai dados aos registradores estatísticos da HP12C. Figura 9. 13. Operando com os registradores estatísticos. É interessante observar que a HP12C não armazena os dados individuais, mas, sim, um conjunto de somatórios, descrito na tabela seguinte. Dos somatórios armazenados é possível construir as principais medidas estatísticas como a média, o desvio-padrão e o coeficiente de correlação. Os somatórios são armazenados em registradores específicos, conforme apresenta a Figura 9. 14. Registrador Estatístico Registrador da HP N: número de dados armazenados R1: Registrador 1 ΣX: somatório de X R2: Registrador 2 ΣX2: somatório de X ao quadrado R3: Registrador 3 ΣY: somatório de Y R4: Registrador 4 ΣY : somatório de Y ao quadrado 2 R5: Registrador 5 ΣXY: somatório de (X vezes Y) R6: Registrador 6 Figura 9. 14. Registradores estatísticos da HP12C. Assim, para recuperar o número de elementos incluídos nos somatórios (n) basta recuperar o registrador 1: [RCL] 1. Para recuperar o Σ XY basta recuperar o registrador 6: [RCL] 6. Para ilustrar, considere que as vendas de uma mercearia em uma semana de maio tenham sido iguais a 5, 6, 3, 2 e 9. Calcule, com base nestes dados, o somatório das vendas. Solução: basta entrar com os valores e depois solicitar o somatório. Veja os passos a seguir. 13
  14. 14. Passo Teclas Descrição 0 [f] [Σ] Limpa os registradores estatísticos 1 5 [Σ+] Digita-se o primeiro valor e o acrescenta aos registradores estatísticos 2 6 [Σ+] Digita-se o próximo valor e o acrescenta aos registradores estatísticos 3 3 [Σ+] Digita-se o próximo valor e o acrescenta aos registradores estatísticos 4 2 [Σ+] Digita-se o próximo valor e o acrescenta aos registradores estatísticos 5 9 [Σ+] Digita-se o próximo valor e o acrescenta aos registradores estatísticos 6 [RCL] 2 Recupera o valor do registrador 2 (que representa Σ X) Final {VISOR} A soma é igual a 25. 25 Registradores Financeiros Os registradores financeiros da HP 12C estão apresentados na Figura 9. 15. Figura 9. 15. Registradores financeiros. Podem ser de dois tipos básicos: registradores de séries uniformes e registradores de fluxos de caixa, também conhecidos como registradores para séries não uniformes. Séries uniformes: os registradores de séries uniformes são representados pelas teclas localizadas logo abaixo do visor: [n], [i], [PV], [PMT] e [FV]. Séries não uniformes: Os registradores de séries não uniformes são ativados através das funções [g] [CF0] e [g] [CFj] e armazenados nos registradores numéricos. Podem ser armazenados até 20 registradores de fluxos de caixa não uniformes. As principais funções são representadas pelas teclas: [f] [NPV] e [f] [IRR]. A HP 12C compartilha os registradores com as funções financeiras. Ambos estão apresentados com maior profundidade a seguir. Funções algébricas As funções algébricas da HP 12C permitem a realização de cálculos matemáticos elementares. As principais funções são representadas pelos operadores algébricos básicos [+], [-], [x], [÷], que, respectivamente, efetuam as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão. Outras funções para operações algébricas elementares da HP 12C estão apresentadas a seguir. Troca o sinal. A função [CHS], do inglês CHange Sign, “troca o sinal” do registrador X, isto é, multiplica seu valor por –1. Por exemplo, para entrar com o valor –105 na HP 12C é preciso colocar o valor 105 e depois trocar o seu sinal através da tecla [CHS]. Abastece o expoente de 10 que multiplica o número. A função [EEX], do inglês Enter EXpoent, introduza o expoente, abastece o expoente de 10 que multiplica o número que está sendo inserido. Permite operações com números grandes. Por 14
  15. 15. exemplo, para digitar 17.000.000.000, basta teclar 17 [EEX] 9. De forma similar, para digitar 0,000008 na HP 12C bastaria teclar 8 [EEX] [CHS] 6. Calcula o inverso do registrador X. Para calcular, por exemplo, 1/153, bastaria teclar 153 [1/x]. Algumas outras funções algébricas da HP 12C permitem operações com raízes, potências, fatoriais ou logarítmos: Calcula a raiz quadrada do registrador X. Por exemplo, para calcular a raiz quadrada de 7.225, basta teclar 7225 [g] [ X ]. O visor fornece a resposta: 85,0000. Calcula o registrador Y elevado ao registrador X. Por exemplo, para calcular o cubo de 14, basta teclar na HP 12C: 14 [ENTER] 3 [Yx]. O visor fornece a resposta: 2.744,0000. Para calcular a raiz enésima de um número qualquer, basta elevá-lo ao inverso do índice da raiz. Por exemplo, para calcular a raiz quinta de 371.293, basta elevar o número ao inverso de cinco. Na HP 12C: 371293 [ENTER] 5 [1/x] [Yx]. O visor fornece a resposta: 13,0000. Calcula o logaritmo neperiano do registrador X. Por exemplo, para calcular o logaritmo neperiano de 80, basta teclar 80 [g] [LN]. A HP 12C fornece o resultado: 4,3820. No nosso capítulo 4, discutimos os cálculos associados à obtenção do número de períodos em uma operação com juros compostos. Deduzimos que o número de períodos poderia ser apresentado como sendo igual à seguinte fórmula. ⎛ VF ⎞ log⎜ ⎟ n= ⎝ VP ⎠ log(1 + i ) Usando as propriedades de logaritmos, podemos apresentar a equação anterior em função de logaritmos neperianos. ⎛ VF ⎞ ⎛ VF ⎞ log⎜ ⎟ ln⎜ ⎟ n= ⎝ VP ⎠ = ⎝ VP ⎠ log(1 + i ) ln(1 + i ) Mais adiante, veremos que a HP 12C possui função financeira específica para o cálculo do número de períodos, representada pela tecla [N] e discutida com maior profundidade a seguir. Porém, esse cálculo na HP 12C é sempre aproximado para o inteiro superior. Caso, por exemplo, o número exato de períodos de uma operação seja 2,00004, a função financeira [N] da HP retorna o inteiro superior, igual a 3. Porém, 2,00004 está muito mais próximo de 2 que de 3. Assim, precisamos tomar cuidado com o uso da função financeira [N] da HP 12C. 15
  16. 16. Assim, a função [g] [LN] da HP 12C pode ser usada para obter o número exato de períodos. Para ilustrar, considere o caso da questão a seguir. [Cap 4, I2] (Agente Administrativo de Saúde - nov./90, 150) A juros compostos, um capital C, aplicado a 3,6% ao mês, quadruplicará em qual número aproximado de meses? a) 30 b) 33 c) 36 d) 39 e) 42 Durante a sua resolução algébrica, chegamos a encontrar que o valor de n pode ser apresentado de acordo com a seguinte equação. ⎛ VF ⎞ ⎛ VF ⎞ ⎛ 400 ⎞ log⎜ ⎟ ln⎜ ⎟ ln⎜ ⎟ n= ⎝ VP ⎠ = ⎝ VP ⎠ = ⎝ 100 ⎠ log(1 + i ) ln (1 + i ) ln (1 + 0,036) Usando a função LN da HP 12C, poderíamos executar os passos apresentados a seguir: [f] [REG] 400 [ENTER] 100 [÷] [g] [LN] 1 [ENTER] 0,036 [+] [g] [LN] [÷]. O visor apresenta o resultado: 39,1972. Note que caso a função [N] tivesse sido usada, o valor obtido seria 40, já que a função [N] aproxima o cálculo para o inteiro superior. É importante destacar que a HP não possui a função específica para cálculo de logaritmos com base 10, entretanto pode-se empregar uma propriedade dos logaritmos apresentada como: logab = logka / logkb ou log10x = ln x / ln 10 Assim, para se obter o logaritmo neperiano de 100, por exemplo, bastaria extrair o logaritmo neperiano de 100 e dividi-lo pelo logaritmo neperiano de 10. Por exemplo, na HP bastaria fazer 100 [g] [LN] 10 [g] [LN] [÷] que é igual a 2. Caso seja necessário extrair a parte fracionária ou inteira de um determinado valor, a HP 12C disponibiliza duas funções específicas para esta tarefa: [g] [FRAC] Calcula a parte fracionária do registrador X. Por exemplo, para extrair a parte fracionária de 17,8562, basta teclar na HP 12C: 17,8562 [g] [FRAC]. O visor fornece a resposta: 0,8562. [g] [INTG] Calcula a parte inteira do registrador X. Por exemplo, para extrair a parte inteira de 17,8562, basta teclar na HP 12C: 17,8562 [g] [INTG]. O visor fornece a resposta: 17,0000. Caso cálculos com probabilidades estejam sendo feitos, a HP 12C possui função adequada para o cálculo do fatorial de um número. [g] [n!] Calcula o fatorial do registrador X. Por exemplo, para calcular 7!, basta teclar na HP 12C: 7 [g] [n!]. O visor fornece a resposta: 5.040,0000. Funções percentuais São três as funções que facilitam cálculos percentuais da HP 12C: Calcula a percentagem fornecida no registrador X em cima do registrador Y. 16
  17. 17. O uso da função [%] está apresentado na questão seguinte. [Cap 1, C9] (SUSEP, 240) Uma loja oferece um desconto de 50% a quem pagar a vista e oferece um desconto de 20% a quem pagar integralmente um mês após a compra. Na realidade, essa loja cobra, de quem prefere pagar um mês após a compra, juros mensais de: a) 15% b) 30% c) 45% d) 60% e) 75% Já que nenhum valor é fornecido no enunciado, pode-se assumir um preço igual a $100,00. Sendo o preço igual a $100,00, o valor a vista seria 100 menos 50% de 100, ou $50,00. Na HP 12C podemos executar os passos seguintes. Passo Teclas Descrição 0 [f] [REG] Limpa a memória da calculadora. 1 100 [ENTER] Abastece o valor inicial. 2 50 [%] Abastece o percentual e calcula o seu respectivo valor. 3 [-] Realiza a subtração. Final {VISOR} A HP apresenta a subtração calculada: 50,0000. 50,0000 O valor após 30 dias seria 100 menos 20% de 100, ou $80,00. Na HP 12C poderíamos executar os passos: [f] [REG] 100 [ENTER] 20 [%] [-]. O visor forneceria a resposta, igual a 80,0000. Assim, os juros seriam iguais a 80 – 50, ou $30,00. A taxa é igual a 30 ÷ 50 = 60%. Uma maneira muito mais rápida para resolver a questão [Cap 1, C9] apresentada anteriormente poderia ser por meio da função [∆%]. Veja a apresentação da função [∆%] a seguir. Calcula quantos porcento do registrador X o registrador Y vale. Veja o uso da função [%T] no exemplo a seguir. [Cap 3 modificada, E2] (TRE - São Paulo/90, 203) Um título, no valor nominal de $80.000,00, foi pago com antecedência, sofrendo um desconto comercial simples de $1.500,00. Qual o percentual de desconto da operação? a) 1% b) 1,5% c) 1,875% d) 2% e) 2,25% Veja os passos na HP 12C. Passo Teclas Descrição 0 [f] [REG] Limpa a memória da calculadora. 1 80000 [ENTER] Abastece o valor nominal. 2 1500 Abastece o desconto. 3 [g] [%T] Solicitamos o percentual de desconto, calculado sobre o valor nominal. Final {VISOR} A HP apresenta o percentual calculado: 1,8750. 1,8750 Calcula a variação percentual existente entre os registradores Y e X, nesta ordem. Podemos usar a função [∆%] na solução da questão apresentada a seguir. [Cap1, C8] (UNIRIO, 30) Para comprar um tênis de $70,00, Renato deu um cheque pré- datado de 30 dias no valor de $74,20. A taxa de juros cobrada foi de: 17
  18. 18. a) 0,6% ao mês b) 4,2% ao mês c) 6% ao mês d) 42% ao mês e) 60% ao mês Podemos usar a função [∆%] para calcular de modo simples a taxa de juros do período, que corresponde à variação percentual dos valores. Passo Teclas Descrição 0 [f] [REG] Limpa a memória da calculadora. 1 70 [ENTER] Abastece o valor inicial. 2 74,20 Abastece o valor final. 3 [g] [∆%] Solicitamos a variação percentual ou taxa de juros do período. Final {VISOR} A HP apresenta a variação calculada: 6%.. 6,0000 Em relação à Questão [Cap 1, C9], o cálculo da taxa de juros ao período ou da variação percentual seria muito mais fácil por meio da função [∆%]. Na HP 12C poderíamos executar os passos: [f] [REG] 50 [ENTER] 80 [∆%]. O visor forneceria a resposta, igual a 60,0000. Funções de datas Um dos usos importantes da HP 12C no cálculo de operações financeiras faz referência à contagem de dias entre duas datas ou à projeção de uma data futura, com base na data atual e do prazo da operação. A HP permite cálculos com datas entre 15/10/1582 e 25/11/4046 e, antes de começar a trabalhar com cálculos de data na HP 12C, é necessário configurar a notação empregada. O padrão usual da HP consiste na apresentação das datas como nos Estados Unidos, onde a data 20 de abril de 2008 poderia ser apresentada como 04 – 20 – 2008. No Brasil, usamos notação diferente, com a apresentação do dia, seguido do mês e, por fim, do ano. Assim, a mesma data aqui no Brasil poderia ser apresentada como 20/04/2008. PARA AUMENTAR O CONHECIMENTO ... MATEMÁTICA DAS FINANÇAS (A) com aplicações na HP12C e Excel - v. 1 (Série Desvendando as Finanças). Adriano Leal Bruni e Rubens Famá O livro “A Matemática das Finanças” apresenta a Matemática Financeira, ilustrando seu uso com muitos exemplos e exercícios na calculadora HP 12C. Para saber mais sobre o livro, visite www.editoraatlas.com.br ou www.infinitaweb.com.br. Para poder usar a notação convencional de datas aqui no Brasil, é necessário configurar corretamente a máquina. Para isso, devemos acender um flag, um indicativo no visor da máquina, alertando o fato de que estamos trabalhando com apresentação das datas no formato da HP 12C D.MY. Ou seja, as datas serão apresentadas pelo dia, seguido de um ponto (.), seguido do mês e, por fim, do ano. Assim, a data 20/04/2008 pode ser apresentada na HP 12C como sendo 20.042008. A configuração da convenção de data da HP 12C pode ser feita mediante o uso das seguintes funções: [g] [D.MY] Configura a HP para trabalhar no modo de notação dia.mêsano. [g] [M.DY] Configura a HP para trabalhar no modo de notação mês.diaano. 18
  19. 19. Quando a função [g] [D.MY] é empregada, o flag D.MY fica acesso no visor, indicando a convenção da notação DIA.MESANO da calculadora. Flag Ativa Desativa Descrição D.MY [g] [D.MY] [g] [M.DY] Quando ativado, indica a opção de cálculo de datas inseridas no modo DIA.MÊSANO, o que é mais usual no Brasil. Como, no Brasil, é adotada a convenção de notação de datas no formato dia, mês e ano, recomenda-se que o indicador D.MY esteja sempre ativado. Calculando o número de dias entre duas datas Pode-se usar a função [g] [∆DYS] para calcular o número de dias entre duas datas. Calcula o número de dias corridos existentes entre as datas fornecidas nos registradores Y e X. Para ilustrar o uso do recurso, considere a questão seguinte. [Cap 1, D1] (AFTN/98 adaptada, 187) A quantia de $10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Assinale a alternativa que apresenta o número de dias na operação. a) 112 b) 143 c) 146 d) 152 e) 157 Antes de calcular, é preciso configurar a HP 12C para a notação D.MY. Passo Teclas Descrição 1 [g] [D.MY] Configura a HP 12C para trabalhar com datas no formato DD.MMAAAA. Ou seja, dia, seguido de ponto, seguindo do mês e, por fim, do ano. Com a HP 12C devidamente configurada, o visor mostrará o flag D.MY aceso. Após ter configurado a calculadora, pode-se executar os passos seguintes. Passo Teclas Descrição 0 [f] [REG] Limpa a memória da calculadora. 1 12.041998 Abastece a data inicial. Note que a convenção DD.MMAAAA (D.MY) foi obedecida. No caso, considerou-se o ano da prova (1998). Na prática, qualquer ano poderia ser considerado. 2 05.091998 Abastece a data final. 3 [g] [∆DYS] Solicitamos o cálculo do número de dias Final {VISOR} A HP apresenta o número calculado de dias: 146. 146,0000 Projetando uma data futura ou passada A função [g] [DATE] permite que a HP 12C projete uma data futura ou passada, a partir de uma data inicial. Com base no registrador Y, calcula a data futura ou passada acrescida do número de dias presente no registrador X. Para ilustrar o uso do recurso, considere a questão seguinte. 19
  20. 20. [Cap1 modificada, D3] (TTN, adaptada, 133) Uma duplicata de $570,00, vencida em 04.03.86, somente foi paga 230 dias depois. Assinale a alternativa que apresenta a data de vencimento da operação. a) 13.08.86 b) 14.09.86 c) 28.09.86 d) 20.10.86 e) 27.10.86 Passo Teclas Descrição 0 [f] [REG] Limpa a memória da calculadora. 1 04.031986 Abastece a data inicial. Note que a convenção DD.MMAAAA [ENTER] (D.MY) foi obedecida. 2 230 Abastece o intervalo de dias. Como o intervalo foi positivo, a HP retornará a data após terem sido passados 230 dias. 3 [g] [DATE] Solicitamos a data projetada. 4 {VISOR} A HP apresenta a data: 20 out. 1986. Além de apresentar a 20.10.1986 1 data futura, a HP indica o dia da semana correspondente à data representado pelo código 1. Quando usamos a função [g] [DATE], podemos encontrar datas futuras, como na questão anterior, ou passadas. Observe a solução da questão seguinte. [Cap1 modificada, D2] (FISCAL TRIB.- CE, adaptada, 136) Um capital foi resgatado no dia 24 de abril, do ano de 1997. Sabendo que o prazo da operação foi de 73 dias, determine a data em que foi aplicado. a) 6/02/97 b) 10/02/97 c) 12/02/97 d) 14/02/97 e) 16/02/97 Passo Teclas Descrição 0 [f] [REG] Limpa a memória da calculadora. 1 24.041997 Abastece a data inicial. Note que a convenção DD.MMAAAA [ENTER] (D.MY) foi obedecida. 2 73 [CHS] Abastece o intervalo de dias. Como o intervalo foi negativo, a HP retornará a data antes de terem sido passados 73 dias. 3 [g] [DATE] Solicitamos a data projetada. 4 {VISOR} A HP apresenta a data: 9 fev. 1997. Além de apresentar a data 9.02.1997 7 futura, a HP indica o dia da semana por meio do número 7 apresentado após a data. O número 7 corresponde a domingo. Determinando o dia da semana Quando a função [g] [DATE] é empregada, além da data calculada, nós podemos saber o dia da semana correspondente à data. A HP 12C sempre retorna um código numérico após a data. Para saber a qual dia da semana o código se refere, basta usar a tabela seguinte. Código Dia da semana 1 Segunda-feira 2 Terça-feira 3 Quarta-feira 4 Quinta-feira 5 Sexta-feira 6 Sábado 7 Domingo Figura 9. 16. Códigos de dias da semana. Veja o uso do recurso na questão apresentada a seguir. [Cap1 modificada, D2] (FISCAL TRIB.- CE, adaptada, 145) Um capital foi resgatado no dia 13 de abril, do ano de 1997. Sabendo que o prazo da operação foi de 58 dias, determine o dia da semana em que foi aplicado. 20
  21. 21. a) Seg b) Ter c) Qua d) Qui e) Sex Passo Teclas Descrição 0 [f] [REG] Limpa a memória da calculadora. 1 13.041997 Abastece a data inicial. Note que a convenção DD.MMAAAA [ENTER] (D.MY) foi obedecida. 2 58 [CHS] Abastece o intervalo de dias. Como o intervalo foi negativo, a HP retornará a data antes de terem sido passados 58 dias. 3 [g] [DATE] Solicitamos a data projetada. Final {VISOR} A HP apresenta a data: 14 fev. 1997. Além de apresentar a 14.02.1997 5 data futura, a HP indica o dia da semana correspondente à data. Para isso a calculadora segue a convenção de que o número 5 apresentado após a data corresponde a sexta-feira. Funções estatísticas Um grupo de recursos extremamente úteis da HP 12C estão representados nas funções estatísticas da calculadora. Através de funções estatísticas simples, é possível obter-se algumas estatísticas básicas como a média, o desvio-padrão, a média ponderada, o coeficiente de correlação e variáveis interpoladas. [g] [ x ] Calcula a média aritmética simples dos valores de X e Y armazenados no modo de somatório. [g] [s] Calcula o desvio padrão amostral dos valores de X e Y armazenados no modo de somatório. [g] [ xw ] Calcula a média ponderada dos valores de X e Y armazenados no modo de somatório. Exemplo: As notas obtidas por um aluno nas provas de Química foram iguais a 6, 4 e 9. Sabendo que as avaliações tinham pesos iguais a 5, 3 e 2, respectivamente, calcule a média final do aluno na disciplina. Solução: pode-se entrar com os dados no modo de somatório da calculadora. Sabendo-se que os registradores 6 e 2 armazenam, respectivamente, ΣXY e ΣX e que a média ponderada pode ser escrita como: Xw = ΣXY / ΣX, os registradores 6 e 2 podem ser empregados para a obtenção da média ponderada. Vide o exemplo fornecido a seguir. Passo Teclas Descrição 0 f [Σ] Limpa os registradores estatísticos 1 6 [ENTER] 5 [Σ+] Digita-se o primeiro par de dados e os acrescenta aos registradores estatísticos. Note que a nota está no registrador Y e o peso no registrador X. 2 4 [ENTER] 3 [Σ+] Digita-se o segundo par de dados e os acrescenta aos registradores estatísticos. 3 9 [ENTER] 2 [Σ+] Digita-se o terceiro par de dados e os acrescenta aos registradores estatísticos. 4 RCL 6 Recupera o registrador 6: ΣXY 5 RCL 2 Recupera o registrador 2: ΣX 6 [÷] Divide o registrador Y (ΣXY) pelo registrador X (ΣX). Final {VISOR} O visor mostra a média ponderada, igual a 6. 6,0000 Em outra solução, mais simples, poderia usar a função média ponderada. No passo 4 basta recuperar a média ponderada através da função [g] [Xw]. 21
  22. 22. Passo Teclas Descrição 0 f [Σ] Limpa os registradores estatísticos 1 6 [ENTER] 5 [Σ+] Digita-se o primeiro par de dados e os acrescenta aos registradores estatísticos. Note que a nota está no registrador Y e o peso no registrador X. 2 4 [ENTER] 3 [Σ+] Digita-se o segundo par de dados e os acrescenta aos registradores estatísticos. 3 9 [ENTER] 2 [Σ+] Digita-se o terceiro par de dados e os acrescenta aos registradores estatísticos. 4 [g] [Xw] Solicita o cálculo da média ponderada. Final {VISOR} O visor mostra a média ponderada, igual a 6. 6,0000 Funções de programação Um recurso útil da calculadora HP 12C em determinadas situações consiste na possibilidade de programar a máquina. Existem várias funções e recursos de programação, como: [R/S] Do inglês RUN/STOP, solicita ou interrompe a execução de um programa. [f] [P/R] Do inglês PROGRAM/RUN, colocada a calculadora no modo de programação (PROGRAM) ou de execução (RUN); [f] [PSE] Do inglês PAUSE, fornece uma pausa de cerca de 1 segundo na execução do programa. [f] [PRGM] Do inglês CLEAR PROGRAMS, limpa os programas registrados na memória da calculadora. [g] [GTO] Do inglês go to, executa um desvio de rotina em programa, com instrução do tipo “vá para”. [SST] Do inglês single step, executa o programa passo a passo. [g] [BST] Do inglês back step, volta um passo na execução do programa. CURIOSIDADE DA HP 12C! Para desligar e travar a calculadora, impossibilitando o uso por terceiros pressione  as seguintes teclas:   45 [ENTER] [ON] [PMT] (juntos) [ON] [PMT] (juntos) [1/x]    Para ligar novamente: [ON] [PMT] (juntos)  As funções de programação podem ser melhor explicitadas nos exemplos fornecidos a seguir. Uma loja, que trabalha com artigos importados, codifica todos os seus preços em dólares. Porém, durante qualquer operação de compra ou cotação, de preço por telefone, é necessário que o preço fornecido seja dado em real. Crie um programa para converter, automaticamente, valores em dólar para valores em reais. Um exemplo de programa para conversão de valores, de US$ para R$, pode ser visto a seguir. Para poder usar o programa a cotação do US$ deve estar armazenada no Registrador 1. Para isso, pode-se usar o recurso [STO] 1. 22
  23. 23. Passo Teclas Visor Descrição 1 f P/R 0 Entra no modo de programação da HP12C. 2 f PRGM 0 Limpa os programas existentes. 3 RCL 1 01 – 45 1 Recupera o valor armazenado no Registrador 1. 4 x 02 - 10 Multiplica. 5 g GTO 00 03 - 43.33 00 Volta para a primeira linha do programa. Final f P/R Encerra o modo de programação da HP12C. Antes de rodar o programa, é necessário armazenar o valor da cotação do dólar no registrador 1. Por exemplo, imagine que a cotação do dólar seja igual a 1,98. Qual é o valor em reais de uma mercadoria com preço igual a US$7,20? Com o programa abastecido, basta fazer: Passo Teclas Descrição 1 1,98 [STO] [1] Armazena a cotação do dólar no registrador [1]. 2 7,20 Entra com o preço em dólar. 3 [R/S] Roda o programa, convertendo US$ em R$. Final {VISOR} O visor apresenta o valor 14,2560, resultado de US$ 7,20 convertido para R$, com cotação de 1,98. Para rodar outras vezes o programa, basta pressionar a tecla [R/S]. Os recursos de programação da HP 12C podem ser empregados em matemática financeira com o objetivo de, por exemplo, converter taxas equivalentes compostas. Para inserir um programa na HP 12C é preciso entrar no modo de programação e digitar a seqüência de teclas que desejamos gravar e usar no futuro. PROGRAMANDO A HP 12C!  Nós podemos inserir um programa na HP 12C que permite a conversão das taxas!      Por meio do abastecimento da taxa no registrador [i], do período fornecido de capitalização no registrador [PV] e o do período de capitalização desejado no registrador [FV], é possível converter taxas equivalentes através da execução do programa, via tecla [R/S]. 23
  24. 24. Passo Teclas Visor Descrição 0 f P/R 0 Entra no modo de programação da HP12C. O visor indicará o flag PRGM 1 f PRGM 0 Limpa os programas existentes. 2 RCL i 01 - 45 12 Início da entrada da rotina. 3 1 02 - 1 4 0 03 - 0 5 0 04 - 0 6 ÷ 05 - 10 7 1 06 - 1 8 + 07 - 40 9 RCL PV 08 - 45 13 10 RCL FV 09 - 45 15 11 ÷ 10 - 10 12 Yx 11 - 21 13 1 12 - 1 Fim da rotina. 14 - 13 - 30 15 1 14 - 1 16 0 15 - 0 17 0 16 - 0 18 x 17 - 20 19 g GTO 00 18 - 43.33 00 Volta para a primeira linha do programa. 20 f P/R Encerra o modo de programação da HP12C. Figura 9. 17. Programa para cálculo de taxas equivalentes na HP12C. Para usar o programa, devemos digitar a taxa, seguida da tecla [i]. O valor da unidade da taxa colocamos no registrador [FV]. O que queremos ver pode ser encontrado mediante o uso da tecla [PV]. O QUE É FÁCIL DE VER E O QUE EU PRECISO VER!  Para facilitar a memorização associe: [i] é a taxa; [PV] é o que preciso ver; [FV] é o  que é fácil de ver.    Por exemplo, calcule a taxa mensal equivalente a 80% a. a. Logo, é fácil de ver a taxa para 12 meses ou um ano. Assim, temos: Taxa: 80% Registrador [i] Registrador usual para taxa de juros. Temos: 12 meses Registrador [FV] Registrador o que é Fácil de Ver, no caso a taxa de 12 meses. O que queremos? Registrador [PV] O que Preciso Ver. Com o programa anterior digitado na HP12C basta fazer 80 [i] 1 [PV] 12 [FV] [R/S]. A resposta é 5,02% a.m. O programa também poderia ser usado em outras situações onde o cálculo de uma taxa equivalente fosse necessário. Veja o exemplo a seguir. [Cap4, P9] (Auditor de Tributos Municipais, SEFAZ, Fortaleza-CE/98, 213) Obter a taxa de juros anual equivalente à taxa mensal de 5%, a juros compostos, em porcentagem e com aproximação de uma casa decimal. a) 60,0% b) 69,0% c) 72,8% d) 74,9% e) 79,6% 24
  25. 25. Temos que a taxa de 1 mês é fácil de ver (1 [FV]) e igual a 5% (5 [i]). Precisamos ver a taxa de 12 meses (12 [PV]). Assim, na HP 12C, após o programa ter sido inserido, temos: 1 [FV] 5 [i] 12 [PV]. O visor mostra a resposta: 79,59%. PARA USAR TEM QUE ABASTECER ANTES!  Lembre‐se que para usar o programa é preciso inseri‐lo na sua HP 12C antes do  seu uso!    Códigos de erro Eventualmente, na operação da HP 12C pode ocorrer alguma falha, resultando em um procedimento incorreto, muitas vezes indicado por uma mensagem de erro. As principais mensagens de erro da calculadora podem ser vistas na Figura 9. 18. Erro Descrição Error 0 Erro em operações matemáticas. Exemplos: divisão de número por zero, raiz quadrada de número negativo, logaritmo de número menor ou igual a zero, fatorial de número não inteiro. Error 1 Ultrapassagem da capacidade de armazenamento e processamento da máquina: a magnitude do resultado é igual ou superior a 10100. Por exemplo, fatorial de 73. Note que a mensagem de erro não aparece: apenas uma série de noves aparece no visor. Error 2 Operações estatísticas com erro. Por exemplo, média com n igual a 0. Error 3 Erro no cálculo da taxa interna de retorno (IRR). Neste caso, a mensagem informa que o cálculo é complexo, podendo envolver múltiplas respostas e não poderá prosseguir, a menos que você forneça uma estimativa para a taxa interna de retorno (IRR) Error 4 Erro em operações com a memória da calculadora. Por exemplo: tentativa de introdução de mais de 99 linhas de programação; tentativa de desvio (GTO) para uma linha inexistente em um programa; tentativa de operação com os registradores de armazenamento (R5 a R9 ou R.0 a R.9); tentativa de utilização de um registrador ocupado com linha de programação. Error 5 Erro em operações com juros compostos. Provavelmente, algum valor foi colocado com o sinal errado (todos os valores têm o mesmo sinal), ou os valores de i, PV e PF são tais, que não existe solução para n. Error 6 Problemas com o uso dos registradores de armazenamento. O registrador de armazenamento especificado não existe, ou foi convertido em linha de programação. O número de fluxos de caixa inseridos foi superior a 20. Error 7 Problemas no cálculo da taxa interna de retorno (IRR). Não houve troca de sinal no fluxo de caixa. Error 8 Problemas com o calendário. Pode ser decorrente do emprego de data inapropriada ou em formato impróprio; tentativa de adição de dias além da capacidade da máquina. Error 9 Problemas no auto-teste. Ou o circuito da calculadora não está funcionando corretamente, ou algum procedimento no auto-teste apresentou falhas. Figura 9. 18. Códigos de erro da HP12C. Usando as funções financeiras da HP 12C A seguir serão apresentadas as principais funções financeiras da HP12C. As funções financeiras mais usuais situam-se logo abaixo do visor da HP 12C, conforme apresenta a Figura 9. 19. Figura 9. 19. Funções financeiras da HP 12C. 25
  26. 26. Funções financeiras para dois capitais ou séries uniformes: Calcula ou abastece o número de períodos. Calcula ou abastece a taxa de juros Calcula ou abastece o valor presente Calcula ou abastece a prestação. Caso seja usada, é preciso configurar a máquina com o uso das funções [g] [END] no caso de séries uniformes postecipadas, sem entrada, ou [g] [BEG], com séries antecipadas, com entrada. Calcula ou abastece o valor futuro Funções financeiras para séries não uniformes: Do inglês Cash Flow 0, armazena o fluxo de caixa na data zero. Do inglês Cash Flow j, armazena o fluxo de caixa na data j (j entre 1 e 20). Armazena o número de fluxos de caixa repetidos. Do inglês Net Present Value, calcula o valor presente líquido de um fluxo de caixa não uniforme. Do inglês Internal Rate of Return, calcula a taxa interna de retorno de um fluxo de caixa não uniforme. USE A CONVENÇÃO DOS SINAIS!  A HP 12C requer o uso da convenção dos sinais! Se saiu do bolso, sinal negativo.  Se entrou no bolso, sinal positivo!    Além das funções financeiras propriamente ditas, é preciso destacar a importância da função para troca de sinais, a função [CHS], que troca o sinal do número. Assim, quando abastecemos o valor presente de uma operação de aplicação de $5.000,00, devemos lembrar a convenção dos sinais apresentada no capítulo 1 do livro que diz que quando consideramos uma saída de recursos devemos usar o sinal negativo. Assim, para abastecer o valor -5000 na HP 12C devemos fazer: 5000 [CHS] [PV]. Outras funções simples também ajudam a executar operações financeiras, como as funções [g] [12x] e [g] [12÷]. 26
  27. 27. Divide o valor por 12. Multiplica o valor por 12. As funções [g] [12x] e [g] [12÷] podem ser empregadas rotineiramente na conversão de períodos anuais em mensais ou vice-versa. Nas operações com juros simples e taxas proporcionais, podem ser também empregadas na conversão de taxas. Por exemplo, uma questão pode apresentar que uma operação foi feita por 36 meses mas o enunciado solicita a taxa anual. Para converter 36 meses em um ano de forma rápida na HP 12C, bastaria executarmos 36 [g] [12÷]. Caso o enunciado falasse em 1,5 ano, mas solicitasse a taxa mensal, poderíamos converter o prazo para meses, executando 1,5 [g] [12x]. Em outros casos poderíamos desejar obter a taxa simples anual proporcional a 6% a. m. Na HP 12C, bastaria fazer 6 [g] [12x]. Caso fosse preciso obter a taxa simples mensal proporcional a 104% ao ano, bastaria executar 104 [g] [12÷]. FUNÇÕES FINANCEIRAS E PERÍODOS INTEIROS Quando apenas períodos inteiros são considerados, o cálculo é muito simples na HP 12C. Caso uma operação com dois capitais esteja sendo analisada, fornecemos três parâmetros e solicitamos o quarto. Por exemplo, podemos fornecer o valor presente, o número de períodos e taxa. Em seguida solicitamos o valor futuro. Outro exemplo, fornecemos o valor presente, o valor futuro e taxa. Em seguida, pedimos o número de períodos. Quando realizamos cálculos financeiros na HP 12C precisamos estar atentos e respeitar a convenção dos sinais. Desembolsos de caixa devem ser considerados, sempre, com o sinal negativo. Entradas com o sinal positivo. Caso a convenção não seja seguida, a HP poderá apresentar a mensagem “ERROR 5”, indicando que, possivelmente, existiu o erro na colocação dos sinais. Outra dica importante faz referência ao uso da tecla com o objetivo de recuperar um dos valores armazenados. Caso tenhamos armazenado a taxa e o prazo e, momentos depois, precisássemos recuperar o valor do prazo, bastaria teclar [RCL] [N]. A HP fornece rapidamente o valor contido na memória correspondente ao prazo. [Cap 4, D6] (Coperve, 173) O montante produzido por $10.000,00, aplicados em regime de juro composto à taxa de 4% ao mês, durante 2 meses, é de: a) $10.816,00 b) $10.800,00 c) $10.400,00 d) $9.600,00 e) $10.200,00 Passo Teclas Descrição 0 [f] [REG] Limpa a memória da calculadora. 1 10000 [CHS] [PV] Abastece o valor presente. Note a importância de respeitar a convenção dos sinais. Como aplicamos $10.000,00, logo tiramos do bolso $10.000,00. É preciso usar a convenção do sinal negativo. 2 4 [i] Abastece a taxa. Note que a HP 12C já entende que a taxa é abastecida em termos percentuais. Sendo a taxa de 4% ao período, não é preciso colocá-la na forma 0,04. Podemos colocá-la como sendo igual a 4. 27
  28. 28. 3 2 [N] Abastece o número de períodos. Lembre que na matemática financeira, a taxa e o número de períodos precisam estar em uma mesma base. Logo, sendo a taxa mensal, N deve ser apresentado em número de meses. 4 [FV] Solicita o valor futuro. Final {VISOR} O visor da HP indica o valor futuro calculado, igual a 10.816,0000 10.816,00. Note que o valor foi positivo, indicado uma entrada de caixa futura, conseqüência da aplicação de $10.000,00 feita originalmente. [Cap 4, E3] (BB, 100) Numa financeira, os juros são capitalizados trimestralmente. Quanto renderá de juros, ali, um capital de $145.000,00 em um ano, a uma taxa de 40% ao trimestre? a) $557.032,00 b) $542.880,00 c) $412.032,00 d) $377.000,00 e) $397.888,00 Passo Teclas Descrição 0 [f] [REG] Limpa a memória da calculadora. 1 145000 [CHS] [PV] Abastece o valor presente. Note a importância de respeitar a convenção dos sinais. Como aplicamos $10.000,00, logo tiramos do bolso $10.000,00. É preciso usar a convenção do sinal negativo. 2 40 [i] Abastece a taxa. Note que a HP 12C já entende que a taxa é abastecida em termos percentuais. Sendo a taxa de 4% ao período, não é preciso colocá-la na forma 0,04. Podemos colocá-la como sendo igual a 4. 3 4 [N] Abastece o número de períodos. Lembre que na matemática financeira, a taxa e o número de períodos precisam estar em uma mesma base. Logo, sendo a taxa trimestral, N deve ser apresentado em número de trimestres. Em um ano, temos quatro trimestres. 4 [FV] Solicita o valor futuro. 5 {VISOR} O visor da HP indica o valor futuro calculado, igual a 557.032,00. 6 [RCL] [PV] Solicitamos o valor presente que havia sido abastecido. 7 {VISOR} O visor da HP indica o valor presente abastecido, igual a - 145.000,00. 8 [+] Somamos valores presente negativo e futuro positivo, com o objetivo de calcular os juros desejados pelo enunciado da questão. Final {VISOR} O visor da HP indica os juros calculados, iguais a 412.032,00. 412.032,0000 [Cap 4, F3] (TFC/93 ajustada, 47) Uma pessoa tem um compromisso no valor de $900.000,00 a ser saldado dentro de 6 meses. A maior taxa de juros mensal por remuneração de aplicação de capital que conseguiu foi de 7% ao mês, no regime de juros compostos. Para garantir o pagamento do compromisso na data marcada, qual a quantia mínima que deverá aplicar hoje? a) $430.858,00 b) $499.408,00 c) $519.588,00 d) $599.708,00 e) $649.858,00 Passo Teclas Descrição 0 [f] [REG] Limpa a memória da calculadora. 1 900000 [FV] Abastece o valor futuro. Note a importância de respeitar a convenção dos sinais. Como precisaremos receber $900.000,00, logo colocaremos no bolso $900.000,00. É preciso usar a convenção do sinal positivo. 2 7 [i] Abastece a taxa. Note que a HP 12C já entende que a taxa é abastecida em termos percentuais. Sendo a taxa de 7% ao período, não é preciso colocá-la na forma 0,07. Podemos colocá-la como sendo igual a 7. 28
  29. 29. 3 6 [N] Abastece o número de períodos. Lembre que na matemática financeira, a taxa e o número de períodos precisam estar em uma mesma base. Logo, sendo a taxa mensal, N deve ser apresentado em número de meses. 4 [PV] Solicita o valor presente. Final {VISOR} O visor da HP indica o valor presente calculado, igual a - 599.708,0000 599.708,00. Note que o valor foi negativo, indicado uma saída de caixa presente, conseqüência da necessidade do resgate futuro. [Cap 4, H2] (FISCAL DE RENDAS-CAMPOS, 131) Uma pessoa recebe uma proposta de investimento hoje, quando uma quantia de $200,00 fará com que, no final do segundo ano, o valor do montante seja de $242,00. No regime de juros compostos, a taxa de rentabilidade anual desse investimento é de: a) 5% b) 7,5% c) 10% d) 12,5% e) 15% Passo Teclas Descrição 0 [f] [REG] Limpa a memória da calculadora. 1 200 [CHS] [PV] Abastece o valor presente. 2 2 [N] Abastece o número de períodos. 3 242 [N] Abastece o valor futuro. 4 [i] Solicita a taxa de juros. Final {VISOR} O visor da HP indica a taxa calculada: 10. Note que a unidade 10,0000 da taxa esta em porcento, ao período do valor abastecido em [N]. Como [N] está em número de anos, a taxa é 10% a. a. A taxa apresentada pela HP 12C sempre estará na unidade de N. Assim, caso seja preciso obter uma taxa mensal, N deve ser apresentado em número de meses. Caso seja preciso uma taxa anual, N deve ser apresentada em número de anos e assim por diante. CUIDADO COM O ERROR 5! As funções financeiras da HP 12C demandam o uso correto da convenção dos  sinais. Quando o dinheiro sai do bolso, use sinal negativo. Quando entra dinheiro  no bolso, use sinal positivo. Caso apareça a mensagem ERROR 5, o uso do sinal foi    esquecido!  Observe a solução da questão seguinte. [Cap 4 modificada, H2] (FISCAL DE RENDAS-CAMPOS, 142) Uma pessoa recebe uma proposta de investimento hoje, quando uma quantia de $200,00 fará com que, no final do segundo ano, o valor do montante seja de $242,00. No regime de juros compostos, a taxa de rentabilidade mensal desse investimento é de: a) 0,5% b) 0,80% c) 1% d) 1,25% e) 1,5% Note que o enunciado pede a taxa mensal. Assim, precisamos considerar um número de períodos em meses. No caso, dois anos são iguais a 24 meses. Assim, N = 24. Passo Teclas Descrição 0 [f] [REG] Limpa a memória da calculadora. 1 200 [CHS] [PV] Abastece o valor presente. 2 24 [N] Abastece o número de períodos em meses. 3 242 [FV] Abastece o valor futuro. 4 [i] Solicita a taxa de juros. Final {VISOR} O visor da HP indica a taxa calculada: 0,7974. Note que a 0,7974 unidade da taxa esta em porcento, ao período do valor 29
  30. 30. abastecido em [N]. Como [N] está em número de meses, a taxa é 0,7974% a. m. CUIDADO NO CÁLCULO DO NÚMERO DE PERÍODOS!!! Quando usamos a HP 12C para calcular o número de períodos de uma operação, devemos tomar cuidado com o valor retornado para N. O algoritmo empregado pela HP 12C calcula N tanto em operações com dois capitais como em séries uniformes. O resultado apresentado no cálculo de N sempre é aproximado para o inteiro superior. Assim, caso o valor calculado algebricamente para N seja igual a 2,001, a HP aproximará o cálculo, fornecendo o número 3 como resposta. Logo, precisamos tomar cuidado ao calcular N com a HP 12C. NÚMERO APROXIMADO DE PERÍODOS!  A HP 12C aproxima o cálculo do número de períodos para o inteiro superior!    Cuidado ao calcular N na HP 12C!  Veja a solução algébrica e na HP 12C da questão apresentada a seguir. [Cap 4, I2] (Agente Administrativo de Saúde - nov./90, 150) A juros compostos, um capital C, aplicado a 3,6% ao mês, quadruplicará em qual número aproximado de meses? a) 30 b) 33 c) 36 d) 39 e) 42 Em uma solução algébrica anteriormente apresentada e que ilustrou o cálculo com a função [g] [LN] da HP 12C, aplicando a fórmula temos que n = 39,1966. Aproximadamente 39 meses.   É MAIS FÁCIL TRABALHAR COM NÚMEROS!  Quando nada é dito, assuma o valor 100!    Para usar a HP 12C, podemos assumir um valor presente igual a 100. Seu quádruplo será 400. Caso a questão fosse resolvida na HP 12C, teríamos os passos a seguir. Passo Teclas Descrição 0 [f] [REG] Limpa a memória da calculadora. 1 100 [CHS] [PV] Abastece o valor presente. 2 3,6 [i] Abastece a taxa mensal. 3 400 [FV] Abastece o valor futuro. 4 [N] Solicita o número de períodos. Final {VISOR} O visor da HP indica o número aproximado de períodos, igual 40,0000 a 40. É preciso sempre tomar cuidado com o cálculo de [N] na HP, já que seu valor será aproximado para o inteiro superior. FUNÇÕES FINANCEIRAS E PERÍODOS FRACIONÁRIOS Quando existem períodos fracionários, a HP 12C permite cálculos na convenção exponencial, sempre considerando juros compostos nas partes inteira ou fracionária de N, ou cálculos na convenção linear, com juros compostos na parte inteira de N, mas juros simples na parte fracionária de N. 30
  31. 31. Originalmente6, cálculos envolvendo o regime de capitalização composta em períodos fracionários são relativamente trabalhosos. Para simplificar as operações, nestes casos, costumava-se empregar a denominada convenção linear. De acordo com a convenção linear, existe a incidência de juros compostos durante os períodos inteiros de capitalização, sendo que, posteriormente, existe a incidência de juros simples durante os períodos fracionários de capitalização. PARA AUMENTAR O CONHECIMENTO ... MATEMÁTICA FINANCEIRA COM HP12C E EXCEL. Adriano Leal Bruni e Rubens Famá O bom uso da Matemática Financeira requer o domínio de conceitos e operações fundamentais de álgebra. O livro “Matemática Financeira com HP12C e Excel” revisa todos os principais conceitos de matemática básica necessários em Finanças, trazendo mais de 1000 exercícios ao longo do livro, incluindo muitas questões de concursos públicos. Para saber mais sobre o livro, visite www.editoraatlas.com.br ou www.infinitaweb.com.br. Matematicamente, o valor futuro no regime de capitalização composta, com convenção linear pode ser apresentado pela equação seguinte: m ⎛ r⎞ VF = VP.(1 + i ) .⎜1 + i. ⎟ ⎝ s⎠ Onde: VF = Valor Futuro VP = Valor Presente i = taxa de juros da operação m = número de períodos inteiros de capitalização r/s = período fracionário de capitalização Note que m + r/s é igual a n (número de períodos de capitalização) Pela convenção exponencial, sempre são aplicados juros compostos, mesmo nos períodos fracionários de capitalização. Assim, prevalece a fórmula padrão de juros compostos: VF = VP (1 + i ) . n   LINEAR OU EXPONENCIAL?  Questões de concursos proíbem o uso de calculadoras e costumam cobrar cálculos  na convenção linear. Porém, na prática no Brasil, quase todas as operações são  feitas na convenção exponencial. Logo, cuidado ao configurar sua HP 12C!    A HP 12C permite operações com juros compostos nas duas convenções. Para usá-las corretamente, existe a necessidade do uso de dois indicadores (apresentados como flags) fundamentais nos cálculos que envolvem matemática financeira na HP12C, apresentados na Figura 9. 20. 6 Lembre-se que a HP 12C foi lançada em 1981! 31
  32. 32. Flag Ativa Desativa Descrição C [STO] [EEX] [STO] [EEX] Quando ativado indica a opção de cálculo de juros Compostos nas parcelas fracionárias de períodos não inteiros. Quando não ativado, indica que nas parcelas fracionárias de períodos não inteiros o cálculo no regime de juros compostos ocorrerá mediante juros simples! Ou seja, com o flag desativado estaremos usando a convenção linear, apresentada no capítulo 4 do livro. Figura 9. 20. A Calculadora HP 12C. Observe o uso da convenção linear na solução da questão apresenta a seguir. [Cap 4, O1] (Fiscal de Tributos Estaduais, SEFAZ-SC/98, 222) Uma pessoa aplicou $10.000,00 a juros compostos de 18% ao ano, pelo prazo de dois anos e três meses. Admitindo-se a convenção linear, o montante da aplicação ao final do prazo era igual a quanto? a) $13.593,62 b) $13.693,62 c) $13.793,63 d) $13.924,00 e) $14.550,58 ⎛ r⎞ Usando a equação da convenção linear: VF = VP.(1 + i ) .⎜1 + i. ⎟ . Substituindo os valores m ⎝ s⎠ ⎛ 3⎞ tem-se que: VF = 10000.(1 + 0,18) .⎜1 + 0,18. ⎟ = $14.550,58. 2 ⎝ 12 ⎠ Usando a HP 12C, temos os passos apresentados a seguir. Em um primeiro momento é preciso conferir se o flag C está apagado. Caso não esteja, é preciso apagá-lo, configurando a HP para operar na convenção linear. Passo Teclas Descrição 1 [STO] [EEX] Caso o flag C esteja aceso, é preciso apagá-lo. Após o flag C ter sido apagado, podemos executar os passos apresentados a seguir. Passo Teclas Descrição 0 [f] [REG] Limpa a memória da calculadora. 1 10000 [CHS] [PV] Abastece o valor presente. 2 18 [i] Abastece a taxa anual. 3 2,25 [N] Abastece o prazo. Note que dois anos e três meses são iguais a 2,25 anos. 4 [FV] Solicita o valor futuro Final {VISOR} O visor da HP indica o valor futuro calculado na convenção 14.550,5800 linear, com juros simples na parte fracionária do período: 14.550,58. Veja o outro exemplo apresentado a seguir. [Cap 4, O5] (ESAF, 98) A melhor aproximação do capital que, em 10 meses e 25 dias, a juros compostos de 9% a. m. calculados pela convenção linear, resultaria no montante de $235.506,45 é: a) $92.540,00 b) $92.572,98 c) $92.586,80 d) $96.800,00 e) $119.243,77 Passo Teclas Descrição 0 [f] [REG] Limpa a memória da calculadora. 1 235506,45 [FV] Abastece o valor futuro. 2 9 [i] Abastece a taxa mensal. 32
  33. 33. 3 10,833333 [N] Abastece o prazo. Note que 10 meses e 25 dias são iguais a 10,833333 meses. 4 [PV] Solicita o valor presente. Final {VISOR} O visor da HP indica o valor presente calculado na convenção 92.539,9717 linear, com juros simples na parte fracionária do período: $92.539,97. CALCULANDO JUROS SIMPLES NA HP 12C A calculadora HP 12C permite cálculos com juros simples na parte fracionária de N, caso a convenção linear esteja ativada e o flag C desativado. Caso o usuário deseje trabalhar com juros simples na HP 12C, é preciso obrigatoriamente estar com o flag C apagado no visor e entrar com o N fracionário. EU NUNCA USO JUROS SIMPLES NA HP 12C!  Eu acho muito estranho o uso de juros simples na HP 12C! Recomendo nunca  usar!    Veja o cálculo com juros simples nas questões apresentadas a seguir. [Cap 2, E6] (Agente Ad. de Saúde - fevereiro/91, 157) $50.000,00 aplicados a juros simples, à taxa de 8% ao mês durante 48 dias, produz o montante de: a) $6.400,00 b) $19.200,00 c) $43.600,00 d) $56.400,00 e) $69.200,00 Em um primeiro momento é preciso conferir se o flag C está apagado. Caso não esteja, é preciso apagá-lo, configurando a HP para operar na convenção linear. Passo Teclas Descrição 1 [STO] [EEX] Caso o flag C esteja aceso, é preciso apagá-lo. Em um segundo momento, é preciso lembrar que o N abastecido precisa ser obrigatoriamente menor que 1. O enunciado fala em taxa de 8% ao mês, com prazo de 48 dias. Para poder usar a HP executando cálculos com juros simples, deveríamos usar um N fracionário. Poderíamos usar o N em anos (48/360) e a taxa também em base anual, em % a.a. Ou seja, taxa igual a 96% a.a. (8% x 12). Passo Teclas Descrição 0 [f] [REG] Limpa a memória da calculadora. 1 50000 [CHS] [PV] Abastece o valor presente. 2 8 [ENTER] 12 [X] [i] Abastece a taxa anual. Poderíamos usar na conversão a função [g] [12x]. 3 48 [ENTER] 360 [/] Abastece o prazo. Note que foi preciso converter o prazo para [N] número de anos de modo a ter um N fracionário. 4 [FV] Solicita o valor futuro Final {VISOR} O visor da HP indica o valor futuro calculado na convenção 56.400,0000 linear, com juros simples na parte fracionária do período. Como o N foi fracionário, todos os cálculos foram feitos a juros simples. O valor encontrado é igual a $56.400,00. Veja o outro exemplo apresentado a seguir. 33

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