Caracterizacion de una celda fotovoltaica con un modelo simple.

1. INTRODUCCIÓN
En este trabajo se realizó una modelización matemática de una celda
fotovoltaica, sobre la base de un modelo simplificado de la unión p-n , que considera
como generadora de pares electrón-hueco sólo a la zona p frontal de la celda. La
modelización incluye a la fuente de radiación solar que se realizó considerando al sol
como un cuerpo negro, por lo cual se aplica la Ley de Radiación del Cuerpo Negro
de Planck(1900). A la caracterización teórica le siguió su validación por medio de
observaciones experimentales llevadas a cabo en el laboratorio de Óptica del
Departamento de Física. Se realiza en este trabajo también la descripción detallada
del procedimiento experimental.
Los cálculos se realizaron utilizando el programa MATHEMATICA 2.2.
OBJETIVOS GENERALES
Los objetivos del trabajo son la determinación experimental de las curvas de
Corriente vs. Tensión de la celda fotovoltaica y de los parámetros característicos que
sean aplicables en el modelo teórico, luego la modelización, sus cálculos y la
validación del modelo.
MATERIALES Y DESARROLLO
1) Determinación del espectro de emisión de una fuente luminosa:
Para la realización de las observaciones experimentales se recurrió a la
utilización de una fuente luminosa artificial en primer lugar y luego a la fuente directa
del Sol, por lo cual se hacía necesario contar con una modelización apropiada de la
fuente artificial de luz.
En este orden de cosas se procedió a la determinación experimental del
espectro luminoso de la fuente de luz, se utilizó una lámpara de luz incandescente
halógena por ser la que más se aproxima en su espectro a la luz del Sol.
Se procedió a medir las irradiancias absolutas para cada longitud de onda
abarcando un rango de longitudes de onda desde el ultravioleta UVA al infrarrojo
cercano o desde 0,35 – 1,1 µm obteniéndose la curva de respuesta espectral de la
lámpara utilizada.
Materiales:
Fuente de batería Pb-ácido: 12V
Lámpara halógena de 50 W-12V
Filtros de luz monocromáticos de rango 350-1100 nm, en incrementos de 25
nm.
Banco óptico de 1 m de longitud, soportes de elementos.
Solarímetro de celda fotovoltaica.
Micro voltímetro Tel-Atomic, electrónico.
Procedimiento:
Se debe mantener la carga de la batería para proveer de una corriente
constante durante las observaciones, la batería es el elemento más estable para ser
utilizado como fuente. Esto es importante ya que si varía la tensión de la batería se
produce una variación de la intensidad de la luz incidente, lo cual alteraría los
valores del espectro medido.
Se interponen a la lámpara los filtros de luz y se miden los valores de d.d.p.
entre los electrodos del solarímetro que es iluminado en un eje del banco óptico.

2. Las mediciones se realizaron con el solarímetro colocado a una distancia de 35
cm de la lámpara.
Observaciones: la curva que se obtiene así responde a la distribución espectral
de la lámpara pero está viciada de la capacidad de respuesta de la celda del
solarímetro a las distintas longitudes de onda, ya que para cada longitud de onda la
celda responde con un valor diferente en sus electrodos. Podemos observar en la
curva la composición de las dos curvas de respuestas tanto de la lámpara con su
espectro similar al del Sol y el de la celda fotovoltaica con su respuesta espectral
absoluta característica.
2)Determinación de curvas I-V y parámetros característicos de una celda
fotovoltaica:
Para la caracterización de una celda fotovoltaica es primordial obtener su curva
característica eléctrica de corriente-tensión, que abarca los valores desde la
corriente de corto- circuito ISC hasta la tensión de circuito abierto VOC, siendo éstos
dos valores importantes de la celda. Otro valor importante es el del punto de máxima
potencia con sus valores de corriente y tensión IMAX y VMAX con los cuales se puede
calcular un factor importante de la celda para cada condición de irradiación, el factor
FF (Fill Factor) o factor de llenado, que se define así:
OCSC
MAXMAX
VI
VI
FF
.
.
=
Con este factor FF posteriormente se puede hallar un valor aproximado del
parámetro o factor de idealidad de la unión p-n, el factor A0.
Otra determinación importante es la de la curva de la corriente inversa de
saturación de la celda FV.
Fig. 1- esquema de conexiones para la determinación del espectro de la fuente de luz artificial.

3. Materiales:
Celda fotovoltaica de Silicio Cristalino Siemens SFH-120
Resistencia Patrón Rp = 0,3 Ω
Potenciómetro lineal R= 3000 Ω
Solarímetro fotovoltaico
Graficador x-y de dos canales con amplificación de tensiones
Sensor de temperatura por termocupla.
Procedimiento:
En la medición de las curvas I-V con luz artificial se debe tener cuidado de
evitar que se ilumine la celda por reflexiones en las paredes del laboratorio, por lo
cual se debe proveer de un panel opaco de cubrimiento de las laterales y posteriores
de la lámpara. Con luz solar el procedimiento es directo y no hay mayores detalles a
tener en cuenta. Se debe evitar que la celda reciba sombra para no perder corriente
generada.
Al variar el potenciómetro se describe la curva I-V en el graficador quedando
registrada en el papel. Se debe tomar nota de la temperatura de la celda, de las
escalas de tensiones en los ejes x e y, y de la resistencia patrón utilizada para la
escala de corriente.
Se deben graficar por lo menos tres curvas de distinta irradiancia para poder
determinar la resistencia serie Rs de la celda. El procedimiento utilizado para esto es
el método de Wolf, el cual consiste en tomar dos puntos homólogos de dos curvas
entre las cuales hay una diferencia de corriente ∆I y se establecerá una diferencia de
tensiones ∆V, y la resistencia serie será el cociente de ∆V/∆I para cada par de
puntos homólogos. Los puntos homólogos se establecen tomando una misma
diferencia de corriente en el eje de corrientes para dos pares de curvas
cualesquiera.
Observaciones:
Para proceder a la correcta graficación de las curvas I-V se debe tener cuidado
de realizar una variación del potenciómetro en forma continua y de un solo
movimiento suave pero firme, ya que el graficador x-y es muy sensible de acuerdo a
la escala de tensiones que esté utilizándose. Todas las curvas de una muestra
Fig. 2- esquema de conexiones para la determinación de las curvas I-V de la celda fotovoltaica.

4. deben ser tomadas a la misma temperatura, esto es importante para que no varíe la
resistencia serie de la celda en esa muestra.
3) Determinación de las curvas de corriente inversa de saturación:
Otro valor característico de la celda es la corriente inversa de saturación en la
que la celda actúa como una unión p-n en polarización inversa, por lo cual se debe
realizar la medición con la celda en oscuridad. Esto se consigue cubriendo la celda
con un paño negro opaco. Se utiliza también el graficador x-y con una resistencia
patrón mayor y un potenciómetro lineal de valor adecuado para lograr cubrir el
rango de corrientes hasta llegar al valor de disparo por saturación. La celda deberá
estar polarizada en inversa mediante la batería para proveer la tensión necesaria.
Materiales:
Celda fotovoltaica de Silicio Cristalino Siemens SFH-120
Bateria 12 V
Potenciómetro lineal R= 10000 Ω
Resistencia Patrón Rp= 980 Ω
Graficador x-y con escalas amplificadas de tensiones
Procedimiento:
Se procede a aplicar la polarización inversa a la celda en forma creciente
gradualmente, con la celda cubierta con el paño opaco, y se grafica variando el
potenciómetro de forma suave hasta llegar al valor de disparo de la corriente
inversa.
Observaciones:
Se debe evitar aplicar una corriente inversa muy grande a la celda al dispararse
la misma, cortando la corriente inmediatamente para evitar que la celda se recaliente
y averíe.
Debido a la introducción de un gran error sistemático por las resistencias de
contacto del graficador en el trazado de la curva se debería utilizar otro instrumento
Fig. 3- esquema para la determinación de la corriente de saturación inversa.

5. para la medición como por ejemplo un micro amperímetro electrónico o un
galvanómetro de precisión de aguja.
DESARROLLO DEL MODELO TEÓRICO SIMPLE DE CELDA FOTOVOLTAICA:
Tal y como hemos comentado en la introducción, esta práctica está dedicada
a la modelización del fenómeno físico que fundamenta el funcionamiento de una
celda solar fotovoltaica, y está dirigida a la creación de un programa para el cálculo
de los parámetros de una celda de estas características. El desarrollo del ejercicio
comprende dos tipos de cálculos matemáticos. La primera parte, que corresponde al
primer tipo, tiene como objetivo la obtención de ecuaciones explícitas que permitan
describir ciertas magnitudes -como la irradiancia- mediante una expresión
matemática, a partir de algunos datos experimentales y argumentos teóricos, así
como el desarrollo e integración de la ecuación diferencial que rige el proceso. La
segunda parte, que implica otro tipo de cálculos, hace referencia a un problema más
práctico: el cálculo de la corriente de cortocircuito.
1- Ajuste de la curva de intensidad de irradiación solar a partir de una tabla de
valores experimentales:
Consideraciones teóricas:
En Termodinámica se denomina cuerpo negro a un cuerpo ideal que tiene la
propiedad de absorber toda la radiación electromagnética que llega al mismo, ya sea
de luz o calor. En equilibrio térmico con el medio circundante el cuerpo negro irradia
ondas EM de todas las frecuencias, que sigue una ley exponencial propuesta por
Max Planck en 1900, de acuerdo con su postulado de la cuantización de la energía.
La ley de Planck de la radiación del cuerpo negro es la siguiente:
( )
1
12
5
2
−
=
kT
hcT
e
hc
E
λ
λ
λ
π
[Watt/m2
µm]
Donde:
h= constante universal de Planck = 6.626x10-34
Joule-s
c= velocidad de la luz en el vacío = 2.998x108
m/s
k= constante de Boltzmann = 1.381x10-23
Joule/ºK
λ= longitud de onda
T= temperatura absoluta en ºKelvin.
Por consideraciones termodinámicas se puede estudiar la radiación solar como si
fuera emitida por un cuerpo negro, a la temperatura correspondiente al cuerpo solar,
que es de 5.780ºK. Como el sol no es un cuerpo ideal, sino un cuerpo real, se
observará en la curva real una traslación en el eje de abscisas hacia valores
mayores en longitud de onda, y la curva real quedará por debajo de la ideal del
cuerpo negro de la temperatura correspondiente. Esta es una propiedad de todos los
cuerpos reales, ya que no emiten como cuerpos negros ideales.
La distribución espectral de la energía procedente del sol que tiene valores
apreciables se extiende en una región de longitudes de onda que abarca

6. aproximadamente desde 200nm a 4 µm. Principalmente, los espectros de interés
son el espectro solar extra-atmosférico, denominado AM0, y el espectro de
referencia para aplicaciones terrestres AM1.5. Las siglas significan Air Mass, e
indican el camino óptico que recorren los rayos solares. Así, el valor de Air Mass de
1.5 corresponde al camino óptico cuando el sol se encuentra en un ángulo cenital de
48.19º, y los rayos pasan a traves de 1.5 atmósferas:
(cos48.19º)-1
=1.5.
Dada la siguiente tabla de valores experimentales, obtener la función que
representa a la tabla.(Dejar las longitudes de onda expresadas en micrómetros).
λ
µm
0
.395
0
.445
0
.495
0
.545
0
.595
0
.645
0
.695
0
.75
0
.8
0
.86
0
.9
0
.975
0
.985
1
.09
1
.1
I
rrad.
5
93.1
1
302.4
1
516.1
1
539.8
1
526.7
1
492
1
428.3
1
294.3
1
194.8
1
036.8
9
76.8
6
40.4
6
00.5
5
42.6
6
05.2
El espectro AM1.5 dado por la tabla está afectado por un factor llamado de
dilución, fs que para el caso solar vale 2.165x10-5
y representa el cuadrado del
cociente del radio solar sobre el radio de la esfera que contiene a la Tierra y con su
centro en el sol, esta relación proviene del principio de conservación de energía, ya
que el flujo radiante total a través de la superficie del sol es igual al flujo a través de
cualquier superficie esférica concéntrica con el sol, en especial la que tiene como
radio la distancia Tierra Sol. El flujo radiante total del sol será la integral a todo el
espectro de longitudes de onda de la expresión de la ley de Planck, a ésta integral la
llamamos excitancia radiante Msol, entonces tenemos que:
4πrsol
2
.Msol = 4πrT-Sol
2
Ecs
Ecs =. rsol
2
/ rT-Sol
2
Msol
Ecs = fs Msol
Donde :
fs : factor de dilución = 2.165x10-5
Ecs : Constante Solar (Espectro AM0)= 1367 W/m2
± 4 W/m2
.rsol= radio del Sol
.rT-Sol= radio medio de la órbita terrestre.
Entonces al considerar como fuente de energía de nuestro modelo la función
ajustada de la tabla de radiación solar del espectro AM1.5, debemos dividirla por el
factor de dilución para obtener los valores de irradiancia solar adecuados de acuerdo
Irrad.[Watt/m2
µm]
0.40.50.6 0.70.80.9 1 1.1
600
800
1000
1200
1400
λ[µm]

7. con la ley de Planck. Esta función así calculada será la que integra la fluencia de
fotones necesaria para nuestro modelo.
2-Ajuste de la tabla del Coeficiente de Absorción α:
Consideraciones teóricas:
El material semiconductor puede absorber radiación EM y en el caso de la célula
fotovoltaica la absorción se realiza con producción de pares electrón-hueco, pero las
radiaciones se absorben de manera diferente para distintas longitudes de onda. La
absorción se realiza siguiendo la ley de Lambert que puede ser escrita como una
exponencial negativa; el exponente se denomina coeficiente de absorción del
material semiconductor, que depende de las longitudes de onda λ.
En esta caso se trata de calcular un ajuste de la curva de valores experimentales
de α mediante un polinomio cúbico. Para ello, dada la tabla de valores
experimentales del coeficiente de absorción α, es necesario formar una tabla del
logaritmo neperiano de α en función de λ. A partir de ella ajustar un polinomio de
grado tres mediante el comando Fit para obtener la expresión de α en función de λ.
(Expresar λ en micrómetros).
Tabla de valores experimentales del coeficiente de absorción alfa del silicio:
λ [ µm] α [ cm-1
] λ [ µm ] α [cm-1
] λ [µm ] α [cm-1
] λ [µm ] α [cm-1
]
0.26 2,10E+06 0.52 1,02E+04 0.78 1,04E+03 0.104 22.6
0.27 2,21E+06 0.53 9,27E+03 0.79 9,51E+02 0.105 16.3
0.28 2,35E+06 0.54 8,10E+03 0.80 8,69E+02 0.106 11.1
0.29 2,13E+06 0.55 7,15E+03 0.81 7,92E+02 0.107 8,00E+00
0.30 1,65E+06 0.56 6,45E+03 0.82 7,21E+02 0.108 6.2
0.31 1,44E+06 0.57 5,49E+03 0.83 6,55E+02 0.109 4.7
0.32 1,28E+06 0.58 5,43E+03 0.84 5,94E+02 0.110 3.5
0.33 1,19E+06 0.59 4,77E+03 0.85 5,36E+02 0.111 2.7
0.34 1,12E+06 0.60 4,40E+03 0.86 4,83E+02 0.112 2,00E+00
0.35 1,08E+06 0.61 4,09E+03 0.87 4,34E+02 0.113 1.5
0.36 1,04E+06 0.62 3,82E+03 0.88 3,89E+02 0.114 1.01
0.37 7,32E+05 0.63 3,55E+03 0.89 3,47E+02 0.115 0.68
0.38 2,82E+05 0.64 3,28E+03 0.90 3,08E+02 0.116 0.42
0.39 1,70E+05 0.65 3,02E+03 0.91 2,72E+02 0.117 0.22
0.40 1,07E+05 0.66 2,77E+03 0.92 2,39E+02 0.118 0.065
0.41 7,80E+04 0.67 2,53E+03 0.93 2,09E+02 0.119 0.036
0.42 5,73E+04 0.68 2,34E+03 0.94 1,82E+02 0.120 0.023
0.43 4,63E+04 0.69 2,17E+03 0.95 1,57E+02 0.121 0.013
0.44 3,70E+04 0.70 2,00E+03 0.96 1,34E+02 0.122 0.0077
0.45 3,06E+04 0.71 1,86E+03 0.97 1,14E+02 0.123 0.0038
0.46 2,54E+04 0.72 1,71E+03 0.98 95.1 0.124 0.0015
0.47 2,18E+04 0.73 1,58E+03 0.99 7,90E+01 0.125 0,00E+00
0.48 1,82E+04 0.74 1,46E+03 0.100 6,40E+01
0.49 1,59E+04 0.75 1,34E+03 0.101 51.1
0.50 1,38E+04 0.76 1,23E+03 0.102 39.9
0.51 1,18E+04 0.77 1,13E+03 0.103 30.2

8. 3- Ecuación diferencial de transporte de portadores minoritarios en
semiconductores:
MODELO DE CÉLULA SOLAR SIMPLE:
Consideramos sólo la contribución de la base a la corriente fotogenerada.
Ubicamos el origen de coordenadas en la unión semiconductora, con el eje de
abscisas creciente hacia la base de la celda.
y
fotones
x
0
Las expresiones que gobiernan el comportamiento de la celda son:
( )x
n
n
G
nn
x
J
qt
n
−
−
+
∂
∂
−=
∂
∂
−
τ
01
).(
x
n
DnEqJ nnn
∂
∂
+= µ
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-5
5
10
15
Ajuste polinómico de grado tres (línea contínua)
sobre escala logarítmica de α (curva de puntos).
0.4 0.6 0.8 1 1.2
200000
400000
600000
800000
1. 10
6
Curva experimental del coeficiente
de absorción α.
Base p
Emisor n
juntura

9. Donde:
n =concentración de portadores negativos en semiconductor
n0= concentración de equilibrio de electrones mayoritarios ( sin inyección)
Jn=densidad de corriente de portadores minoritarios negativos en
semiconductor
q =carga del electrón
τn=tiempo de vida medio de cargas fotogeneradas
µn=movilidad de los portadores de carga negativos en semiconductor
E=campo eléctrico de la zona de carga espacial (juntura).
Dn=constante de difusión de portadores en semiconductor
G(x)=generación óptica de portadores de cargas.
Para lograr mayor simplicidad en la expresión matemática de las propiedades de la
celda, y validar nuestro modelo simple de celda, consideramos las siguientes
hipótesis como válidas:
1. Régimen estacionario, las condiciones no varían con el tiempo; esto anula la
derivada parcial del tiempo.
2. Dopado de impurezas uniforme en todo el material semiconductor.
3. Baja inyección de cargas; esto supone anular el campo eléctrico E en la
expresión de la densidad de corriente, así como considerar que la constante de
difusión, la movilidad y el tiempo de vida medio son independientes de x.
4. Generación óptica exponencial, G(x).
Considerando la función de generación óptica G(x) como la que da la cantidad de
fotones absorbidos por el material semiconductor y que produjeron un par de cargas
electrón-hueco en forma efectiva, la podemos expresar así:
( )
x
x eG .
0 .. α
α −
Φ=
Donde:
α= coeficiente de absorción de fotones por el semiconductor:[cm-1
].
Φ0= fluencia de fotones.
Φ0=
8.19
10.. 16
)( λλI
[fotones/(cm2
µm s)]
donde:
I(λ)= irradiancia espectral solar, obtenida del ajuste del espectro AM1.5 en el
item 1-.Expresada en [Watt/m2
µm].
λ= longitud de onda de radiación incidente, expresada en [µm].
Entonces la ecuación diferencial de transporte del semiconductor queda
expresada de la siguiente forma:
( )x
n
n G
nn
dx
nd
D −=
−
−
τ
0
2
2
x
n
n e
nn
dx
nd
D .
0
0
2
2
.. α
α
τ
−
Φ−=
−
−
donde :

10. Dn = constante de difusión de portadores minoritarios negativos en el
semiconductor.
n’p=n-n0
Esta ecuación tiene sus condiciones de contorno:
Para x=0 n’p(0)=np0.(eV/Vt
-1)
Para x∞ n’p(∞)=0
Donde :
np0 =
Aef
i
N
n
2
0
, kT
E
AAef
g
eNN
∆
−
=
Con las nomenclaturas siguientes:
np0= concentración de electrones (portadores minoritarios) en zona p en
condiciones de equilibrio( sin campo eléctrico aplicado)
ni0= concentración de portadores intrínsecos de material en equilibrio
NAef= concentración de impurezas aceptoras efectivas del material
NA= concentración de impurezas aceptoras del material
∆Eg= salto de energía, o banda de energía prohibida en la unión. Éste
valor está dado en la unidad eV, convertir la unidad eV a Joule mediante el
factor de conversión: 1eV=1.602x10-19
Joule
En este apartado, el objetivo matemático que queremos obtener es hallar la
solución de la ecuación diferencial, expresar n como función de x solamente siendo
los coeficientes constantes, y luego reescribir la ecuación en función de x, de λ y de
V, incorporando las expresiones previamente halladas de α y de Φ0 como funciones
de λ. El comando de Mathematica que utilizaremos será DSolve, que sirve para la
integración de ecuaciones diferenciales.
4- Constantes de integración y condiciones de contorno:
En este apartado lo que se pretende es, una vez obtenida la solución de la
ecuación diferencial, particularizarla para las condiciones de contorno que se han
descrito en el apartado anterior. Para ello, basta con sustituir los valores, y calcular
el límite correspondiente en el caso de la condición en el infinito. Para ello no es
necesario el uso del ordenador.
La solución resultante, luego de obtenidas las constantes de integración e
incorporadas en Mathematica a la solución, describirá exactamente el proceso que
estamos modelizando.
5- Obtención de Jn, densidad de corriente eléctrica generada por la célula
fotovoltaica:
La densidad de corriente obtenida será, por definición, proporcional a la
derivada de np(x,λ,V) con respecto a x, la expresión está dada en Amperios/cm2
.
dx
dn
qDJ nn = 5.1
Esta operación se puede hacer utilizando el comando D de Mathematica, que
calcula la derivada, y multiplicando por parámetros correspondientes del sistema.
Obtendremos así la expresión de Jn(x,λ,V) (Amperios/cm2
):

11. ( )








−
−
Φ
+








−−=
−
−
−
nnT L
x
n
x
n
nL
x
V
V
po
n
n
n e
L
e
L
Lq
een
L
D
qJ .
1
.
1
1 22
2
0 α
α
α
α
5.2
6- Integración de Jn(x,λ,V) respecto del espectro de longitudes de onda que
incluya el visible y el infrarrojo cercano (λmin=0.2 µm; λmax=4 µm):
En este punto, recordemos que en la función que se ha obtenido aparece aún
de forma explícita el valor de λ. Como lo que se pretende es calcular el aporte
correspondiente a todos los valores de longitud de onda que se reciben, deberemos
integrar la solución entre los valores de límite que se indican a continuación:
Límites de λ: inferior=0.2 µm; superior=4 µm.
Los extremos de integración de x serán hallados más tarde, considerando que
los valores típicos de la profundidad de difusión en células reales son del orden de
1x10-6
metro.
Por último, podemos obtener representaciones gráficas de la función, para
interpretar el comportamiento del sistema a partir de estas representaciones.
(Tomaremos valores de V=0.45 Voltios, valor razonable para una célula fotovoltaica).
7- Obtención de J0. Parámetros característicos de la célula solar:
El factor A0 se llama factor de idealidad del dispositivo, y expresa cuánto se
aleja del comportamiento ideal del semiconductor. El ideal sería A0 = 1.
Para los cálculos de VT consideramos una temperatura absoluta de 300 ºK
(ambiente).
En la expresión de Jn aparecen dos sumandos, el primero es el componente
de la corriente de oscuridad J0, que está multiplicado por un exponencial donde V es
la tensión generada por el dispositivo cuando está iluminado:
nT L
x
V
V
po
n
n
een
L
D
qJ
−








−−= .10 7.1
El segundo sumando es una corriente que no depende de la tensión sino
solamente de la función de generación óptica; ésta es la parte de la corriente
fotogenerada, que llamamos Jnph:
( )








−
−
Φ
=
−
− nL
x
n
x
n
n
nph e
L
e
L
Lq
J .
1
.
122
2
0 α
α
α
α
7.2
Circuito Eléctrico Equivalente de la célula:
Es posible la representación de una célula fotovoltaica por un circuito eléctrico
equivalente, el cual funcionaría dando exactamente las variables de salida
características de una célula real. El circuito equivalente consta de una fuente de

12. corriente continua que representa la corriente generada por la energía solar, de un
diodo por el cual circula una corriente de pérdida o corriente de oscuridad, una
resistencia en serie con la salida para representar la resistencia macroscópica del
material semiconductor. Con los elementos eléctricos equivalente de la célula solar,
podemos dibujar su circuito equivalente de la siguiente manera:
Im Rs
Iph Ia VOC
Donde :
Iph = corriente fotogenerada, fuente de corriente.
Ia = corriente de oscuridad, del diodo.
Im = corriente de salida de la célula
Rs = resistencia serie.
Isc=Jnph.A
I0=J0.A
DondeJ0= componente de oscuridad, fórmula 7.1
Jnph= componente fotogenerada,fórmula 7.2
Del circuito equivalente se deduce la relación corriente-tension en los terminales del
dispositivo:
I= Iph – Ia – (V+I.Rs)/Rsh
Donde 







−=
+
1
.
0
T
s
V
RIV
a eII 7.3
Podemos considerar que en el circuito equivalente la resistencia serie es nula y
deducimos las siguientes ecuaciones:
Por la propia definición, Iph es la corriente de cortocircuito Isc.
En circuito abierto, I=0
0=Isc- 







−10
TV
V
eI
de donde despejando la tensión obtenemos:






+==
0
1ln
I
I
VVV sc
TOC 7.4
y considerando que:
Isc=Jnph.A
I0=J0.A

13. Nos queda 





+=
0
1ln
J
J
VV sc
TOC
La ecuación de la corriente para calcular la potencia máxima si la resistencia serie
no es cero es la siguiente:








−−=
+
1
.
0
T
s
V
RIV
sc eIII 7.5
El parámetro I0 no siempre es fácil de conocer por lo que suele ser preferible
sustituirlo por alguna relación que contenga magnitudes conocidas.
Para ello, despreciando la unidad frente a la exponencial en las ecuaciones 7.4 y 7.5
y despejando de la ecuación 7.4, el valor de I0 y remplazándolo en la 7.5 resulta:








−=
−+
T
OCs
V
VIRV
sc eII 1 7.6
que en el punto de máxima potencia será:








−=
−+
T
OCsscm
V
VRIV
scm eII 1 7.7
Haciendo el producto de VmIm y aplicando las condiciones de potencia máxima:
0==
m
mm
m
m
dV
IdV
dV
dP
7.8
resulta, después de desarrollo algebraico:
( ) 0=




 −
−+
T
smm
scmm
V
RIV
III 7.9
Las dos ecuaciones 7.7 y 7.9 permiten hallar el punto de máxima potencia.
8- Calcular los valores de tensión y corriente correspondientes al punto de
máxima potencia generada:
Calcular:






+=
0
1ln
J
J
VV sc
TOC
Con las ecuaciones 7.7 y 7.9 formamos el sistema de ecuaciones siguiente:

14. 







−=
−+
T
OCsscm
V
VRIV
scm eII 1
( ) 0=




 −
−+
T
smm
scmm
V
RIV
III
Para resolver el sistema de ecuaciones hace falta un valor de Rs, los valores
típicos de resistencia serie pueden tomarse como variables entre 0.001Ω y 0.18Ω,
se deberá tomar un valor obtenido por el método de Wolf para los cálculos.
Lo siguiente que haremos será reemplazar el valor de Im dado por la primera
ecuación, en la segunda, y escribir la ecuación trascendente como una función
f(Vm)=0, y hallar el paso por cero de la función. Para ello, utilizaremos el comando
FindRoot de Mathematica.
Luego con la primera ecuación hallar el valor de Im en función del valor
hallado de Vm.
Consideraciones para el cálculo:
Ley de Planck y coeficiente de absorción α:
Por la complejidad de los cálculos en la integración de la densidad de
corriente JnP(x,λ,V) proveniente de la expresión de la fluencia de fotones Φ(λ) en
función de la Ley de Planck teniendo a la longitud de onda como variable
independiente, debemos expresar éstas en µm de manera que al realizar los
cálculos surjan expresiones cuya precisión sea alcanzable por el programa
Mathematica. Además para poder utilizar la Ley de Planck debemos discretizarla
como primera medida, calculando una serie de valores a partir de una tabla de
valores de λ, expresadas en µm, y para obtener el valor de irradiancia de la medición
experimental se la multiplica por el factor de escala adecuado teniendo en cuenta
que el valor del espectro AM0 es de 1.367 W/m2
, y es el valor que da la integral de la
Ley de Planck para la temperatura del anillo solar. Cabe aclarar que esta ley debe
ser multiplicada por el factor de dilución fs.
El coeficiente de absorción α también es una ley de valores discretos cuya
variable independiente λ estará expresada en µm.
Expresión de np (x,λ,V):
Al escribir la expresión de np se debe tener en cuenta que por la reflexión
producida en la cara frontal de la celda se debe incluir un factor de transmitancia del
orden de 0,7 en el término de fotogeneración. Esto se debe a que la reflectancia en
la cara frontal de la celda del orden del 50% para cortas longitudes de onda y del
30% para las restantes longitudes de onda, nosotros podemos considerar que la
reflectancia tiene un valor de 30% en todo el espectro de longitudes de onda
(Mompín Poblet et al., 1985)
Extremos de integración de Jnp :
Lo mismo, deberá ir expresada en µm la longitud de onda en los cálculos de
integración de JnP, mientras que los valores de extremos de integración de x serán
expresados en m.

15. Para el punto de cortocircuito Jnp tendrá el valor de V=0.
Para J0 el valor de V=Vmax, siendo el valor de x el mismo que para la
corriente fotogenerada Jnp .
El extremo superior de integración de x=xj , será el de la suma del valor de la
profundidad de difusión característica del silicio, del orden de 0,8 µm, más el ancho
de la zona de carga espacial o capa de agotamiento de cargas “w”. Este valor se
calcula con la siguiente fórmula:
( )
2/1
.
).
.2
( 




 +
=
DA
DAs
d
NN
NN
q
Vw
ε
donde :








= 2
0
.
ln.
i
AD
Td
n
NN
VV
es la tensión de difusión característica de la zona de unión
εs = constante dieléctrica del material.
Los valores típicos de Vd son de 1 voltio, y los de w son de 0,1∼0,15 µm.
Por lo tanto xj ≅ 0,9 µm = 0,9 x 10-6
m.
Factor de Idealidad de la celda A0:
Al factor de idealidad lo calcularemos en base a una fórmula empírica
aplicable a silicio mono y policristalino en función del factor FF cuya expresión es la
siguiente:
A0 = 2,8 – 2,3.FF
Datos utilizados en los cálculos de la celda:
Datos de los portadores minoritarios negativos:
τ = 1.1111x10-5
seg.
Dn= 36
Ln = 200x10-4
cm
np0 = 1990.15396 cm-3
n0 = 1.4x1010
cm-3
Datos del material semiconductor:
∆Eg = 1.12 eV
Na = 9.85275x1016
cm-3

16. Nd = 4.94438137x1017
cm-3
εs = 1.0535958x10-14
(Coul)2
/(Nw.cm2
)

17. Ejemplo de cálculo de celda fotovoltaica con Mathematica 2.2:

18. Tablas de datos y graficos obtenidos experimentalmente:
Curva espectral de lámpara halógena incandescente:
0,00E+00
1,00E+00
2,00E+00
3,00E+00
4,00E+00
5,00E+00
6,00E+00
7,00E+00
8,00E+00
9,00E+00
1,00E+01
3,50E-014,00E-014,36E-014,75E-015,25E-015,75E-016,00E-016,50E-017,00E-017,50E-018,00E-018,50E-019,00E-019,50E-011,00E+001,05E+001,10E+00respuesta espectral celula:
Irrad=460 mV
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
lambda (nm)
Voltios
Serie1

19. fecha: 23/5/00 Voltios (celula)Irrad=460 mV
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
lambda(nm)
voltioscelula
Polynomial Regression on Data COMBINADA DE LAS TABLAS
ANTERIORES
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
lambda (nm)
Voltioscelula

20. TABLA DE
DATOSFecha: 15/06/2000
Escalas: Datos:
EJE X 25mV/cm Rp: 0.3ohm
EJEY 0.50 mV/cm Tcel: 28ºC
Eje X Eje Y Tension(x) Tension(y) Corriente
cm cm mV mV mA
0 8,9 0 4,45 14,833
1 8,9 25 4,45 14,833
2 8,8 50 4,4 14,667
3 8,8 75 4,4 14,667
4 8,8 100 4,4 14,667
5 8,7 125 4,35 14,500
6 8,7 150 4,35 14,500
7 8,7 175 4,35 14,500
8 8,6 200 4,3 14,333
9 8,5 225 4,25 14,167
10 8,4 250 4,2 14,000
11 8,1 275 4,05 13,500
12 7,7 300 3,85 12,833
12,5 7,5 312,5 3,75 12,500
13 7,1 325 3,55 11,833
14 4,2 350 2,1 7,000
15 1 375 0,5 1,667
15,7 0 392,5 0 0,000
Ordenadas
para el calculo
de la Potencia
Maxima:
Tension (x) 296 mV
Corriente(y) 13,210406 mA
Potencia(W) 3,91028018 mili W

21. Fecha: 14/07/2000
CURVA III
Escalas: Datos:
EJE X 25mV/cm Rp: 0.3ohm
EJEY 0.50 mV/cm Tcel: 28ºC
Eje X Eje Y Tension Tension(y) Corriente
cm cm mV mV mA
0 10,8 0 54 180
4,9 10,65 122,5 53,25 177,5
7,98 10,5 199,5 52,5 175
8,78 10,35 219,5 51,75 172,5
9,58 10,2 239,5 51 170
10,38 10,05 259,5 50,25 167,5
11,18 9,9 279,5 49,5 165
11,98 9,6 299,5 48 160
12,38 9,45 309,5 47,25 157,5
12,78 9,075 319,5 45,375 151,25
13,18 8,7 329,5 43,5 145
13,58 8,25 339,5 41,25 137,5
13,98 7,65 349,5 38,25 127,5
14,38 7,2 359,5 36 120
14,78 6,6 369,5 33 110
15,18 5,85 379,5 29,25 97,5
15,58 4,95 389,5 24,75 82,5
15,98 3,9 399,5 19,5 65
16,38 2,7 409,5 13,5 45
16,78 1,35 419,5 6,75 22,5
17,1 0 427,5 0 0
Ordenadas
para el
Tension (x) 319,5 mV
Corriente(y) 151,25 mA
Potencia(W) 48,32 mW

22. Fecha: 22/06/2000
Escalas:
EJE X 25mV/cm Rp: 980ohm
EJEY 50 mV/cm Tcel: 27ºC
Eje X Eje Y Tension(x) Tension(y) Corriente
cm cm mV mA mA
1 0 25 0 0
2 0,2 50 10 0,01020408
3 0,22 75 11 0,01122449
4 0,25 100 12,5 0,0127551
5 0,3 125 15 0,01530612
6 0,31 150 15,5 0,01581633
7 0,4 175 20 0,02040816
8 0,45 200 22,5 0,02295918
9 0,5 225 25 0,0255102
10 0,51 250 25,5 0,02602041
11 0,55 275 27,5 0,02806122
12 0,6 300 30 0,03061224
13 0,65 325 32,5 0,03316327
14 0,7 350 35 0,03571429
15 0,8 375 40 0,04081633
16 0,85 400 42,5 0,04336735
17 0,9 425 45 0,04591837
18 1 450 50 0,05102041
19 1,1 475 55 0,05612245
20 1,2 500 60 0,06122449
21 1,3 525 65 0,06632653
22 1,4 550 70 0,07142857
23 1,5 575 75 0,07653061
24 1,7 600 85 0,08673469
25 1,8 625 90 0,09183673
26 2 650 100 0,10204082
27 2,2 675 110 0,1122449
28 2,3 700 115 0,11734694
29 2,6 725 130 0,13265306
30 2,7 750 135 0,1377551
31 3,1 775 155 0,15816327
32 3,3 800 165 0,16836735
33 3,7 825 185 0,18877551

23. Trabajo presentado en la XXIIIª Reunión de Trabajo de la ASADES:
CARACTERIZACION DE UNA CELDA FOTOVOLTAICA: COMPARACION DE
DATOS EXPERIMENTALES Y SIMULADOS APLICANDO UN MODELO
TEÓRICO SIMPLE
Alberto LLAMAZARES, Arturo J. BUSSO y Noelia BAJALES LUNA
Departamento de Física – Facultad de Ciencias Exactas – UNNE
Campus Av. Libertad – Av. Libertad 5600 – 3400 Corrientes
e-mail: adllama@yahoo.com.ar
RESUMEN
Se expone un trabajo de laboratorio tendiente a la implementación de una práctica sobre generación fotovoltaica en el Dpto.
de Física de la Fac. de Cs. Exactas de la UNNE.
Se describe la metodología de trabajo seguida, resultados obtenidos para la caracterización experimental de una celda
fotovoltaica, su modelización y posterior validación de los modelos. Los modelos empleados contemplan tanto el fenómeno a
nivel microscópico (comportamiento físico de la unión p-n) como a nivel macroscópico (circuito equivalente).
Para la modelización se hace uso del programa MATHEMATICA.
ABSTRACT
The implentation of a laboratory experiment on PV generation at the Physics Department of the Facultad de Ciencias Exactas
– UNNE is presented.
The methodology followed and results obtained for the characterization of a crystalline silicon solar cell as well as its
comparison with simulated values using simple microscopic and macroscopic models is also detailed.
For the simulation runs the program MATHEMATICA was used.
PALABRAS CLAVE
Celdas solares, unión p-n, diodo, fotodiodo, circuito equivalente, generador solar.
ANTECEDENTES
El creciente interés a nivel mundial por la utilización de fuentes renovables para satisfacer demandas energéticas de distinto
orden se debe principalmente a una cada vez mayor concientización acerca de lo limitado de las reservas de combustibles
fósiles así como también al deterioro ambiental que estos producen.
La Argentina no esta fuera de esta tendencia pero aun falta mucho trabajo por hacer para que estas tecnologías sean
adoptadas.
En este contexto, dentro del Dpto. de Física de la Facultad de Ciencias Exactas de la UNNE, se esta constituyendo un grupo
dedicado al campo de las energías renovables que, entre otras actividades, pretende implementar laboratorios de tipo rutinario
que permitan una mayor difusión y conocimiento de estos temas dentro del ámbito académico de la facultad.
Como punto de inicio en esta tarea, se encaró la implementación de un laboratorio para el estudio de las características de las
celdas fotovoltaicas.
El presente escrito expone por tanto, los resultados de la experiencia realizada. De la misma se sacaron conclusiones, no solo
relacionadas con la temática en cuestión, sino también referente a correcciones a introducir en la metodología aplicada.
DESARROLLO DEL TRABAJO Y METODOLOGÍA APLICADA:
La comparación de los datos obtenidos experimentalmente se realizó empleando dos modelos simples de celda fotovoltaica:
uno microscópico basado en el comportamiento físico ideal de la unión p-n bajo iluminación (Llamazares et al., 2000) y el
otro macroscópico basado en el circuito eléctrico equivalente.
En el primer caso, se asume la validez del principio de superposición. Este indica que la corriente que fluye a través del
dispositivo bajo condiciones de iluminación es igual a la suma de la corriente de corto circuito, Isc, más la corriente que sería
producida cuando se polariza en la oscuridad a la celda con un potencial V igual al generado bajo iluminación.
La figura 1 muestra el circuito eléctrico equivalente empleado. Este consiste en una fuente de corriente y un diodo conectados
en paralelo. Una fotocorriente Iph, proporcional a la intensidad de la radiación solar incidente sobre el dispositivo es generada
por la fuente de corriente. La unión p-n de la celda solar es representada por un diodo (polarizado en directa). La resistencia
Rs, representa la caída interna de potencial hasta los terminales de contacto. Bajo esta condiciones, la ecuación de I(V) del
circuito puede entonces ser derivada directamente aplicando las leyes de Kirchoff para circuitos eléctricos.
Con el objeto entonces de comparar las características eléctricas experimentales de una célula fotovoltaica con los resultados
predichos por un modelo simple de célula, se realizaron las siguientes determinaciones:

24. Determinación de la curva experimental corriente vs. tensión de una célula fotovoltaica de silicio
cristalino:
La figura 2 muestra el dispositivo utilizado compuesto por los siguientes elementos:
a) Fuente de luz. Como fuente de luz natural fue empleada la luz solar en un día de cielo despejado en horario
alrededor del medio día. Como fuente de luz artificial se utilizó una lámpara incandescente halógena alimentada
con una batería de 12 V DC a fin de lograr estabilidad en el espectro de emisión.
b) Celda fotovoltaica de Silicio cristalino SFH 120 fabricada por la firma Siemens.
c) Solarímetro fotovoltaico.
d) Graficador x-y. Las curvas I-V a diferentes intensidad de iluminación se graficaron directamente mediante un
graficador de dos canales con amplificación de tensiones adecuadas.
e) Dispositivo divisor resistivo y sensor de corriente. El divisor resistivo estaba compuesto por un potenciómetro,
Rp, de variación continua lineal y el sensor de corriente por una resistencia, R, calibrada de bajo valor óhmico
para evitar introducir errores sistemáticos considerables.
f) Sensor de temperatura. Consistía en una termocupla fijada a la cara posterior de la célula con el objeto de
monitorear la temperatura de la misma durante los ensayos.
Fig.1.- Circuito eléctrico equivalente Fig.2.-Esquema del equipo utilizado en las mediciones de las
curvas I-V.
de la celda fotovoltaica
Determinación de los parámetros necesarios para los cálculos:
Para calcular los dos puntos notables, corriente de corto circuito Isc y tensión de circuito abierto Voc, de la curva
característica I-V se utilizó un modelo simple implementado con el asistente Mathematica, desarrollado en un trabajo
anterior (Llamazares et al., 2000).
Éstos valores se utilizaron como datos para calcular los puntos de la curva I-V mediante el circuito eléctrico
equivalente de la célula. Como ya ha sido mencionado, el modelo de circuito equivalente empleado considera
solamente un diodo y resistencia serie, aparte de la fuente de corriente fotogenerada.
A continuación se describen los parámetros críticos necesarios en el modelo de simulación:
Distribución espectral de la fuente de luz:
a- Luz Solar: para modelizar el espectro de radiación solar se utilizó la ley de radiación del cuerpo negro de Planck
para la temperatura del anillo solar, o espectro AM0 ideal, afectado de un factor de escala adecuado para
representar la irradiancia total de los casos de estudio.
b- Fuente artificial: para modelizar esta fuente de luz se utilizó la ley de Planck para la temperatura de color de la
lámpara halógena.
Resistencia serie y factor de calidad A, de la célula:
Se determinó la resistencia serie, Rs , de la célula para cada estado de iluminación mediante el método de Wolf
(Treble, 1991).
El factor de calidad A de la célula fue determinado mediante una aproximación empírica en función del factor de
relleno FF, según el método de ajuste de curvas I-V de MARQUARDT (Krezinger, 1994) para células de silicio
mono y policristalino.
Para obtener el factor de relleno FF de una curva experimental se halló el punto de máxima potencia, para lo cual se
hizo uso de las utilidades del asistente ORIGIN para calcular la función derivada primera de la curva de potencia.
Corriente de saturación Is:
Este parámetro era necesario para el cálculo de la tensión de circuito abierto Voc, y se lo determinó a partir de las
curvas I-V experimentales haciendo uso de la siguiente expresión:








−−=





 +
1.
.
T
s
V
RIV
ssc eIII (1)
donde: VT = A.k.T/q
siendo: k = cte. de Boltzmann

25. T = temperatura absoluta de la célula
q = carga elemental
Se comprobó que la corriente Is así calculada tendía hacia un valor mínimo a medida que V se acercaba a Voc. Se
adoptó entonces como valor para Is este valor mínimo asintótico.
Profundidad de difusión xj y ancho de la región de agotamiento w:
En el modelo microscópico empleado la variable x representa la profundidad del material semiconductor con su
origen en la superficie de la cara iluminada. Para el cálculo de la densidad espectral de corriente Jn(x,λ,V), se debe
realizar una integración múltiple en la cuál el límite superior para la variable x es la suma de la profundidad de
difusión xj más el ancho de la región de agotamiento w. Las otras variables independientes son la longitud de onda λ
y el potencial generado V bajo condiciones de iluminación.
El valor utilizado para xj se tomó de la literatura disponible (Mompín Poblet J., et al, 1985). El ancho w se calculó en
base a la teoría del comportamiento fotovoltaico ideal de uniones semiconductoras (Castañer Muñoz, 1992).
Integración de Jn(x,λ,V):
El cálculo de la integral se realizó considerando V = 0. Los extremos de integración de la variable λ fueron tomados
del intervalo de longitudes de onda entre las cuales se distribuye el 95% de la energía que llega a la superficie
terrestre, eliminando las bandas de absorción atmosférica.(Duffie y Beckman, 1980)
Determinación de la tensión de circuito abierto Voc:
La tensión de circuito abierto se calculó con la siguiente expresión:






+=
0
1ln.
J
J
VV sc
Toc
(2)
donde: Jsc = densidad de corriente de corto circuito.
J0 = densidad de corriente de saturación inversa.
En este modelo simple J0 es solamente función de x y de V. Dado que los extremos de integración de x eran
conocidos, se utilizó como variable de ajuste la tensión V para obtener el valor de Is más cercano al experimental.
COMPARACIÓN DE RESULTADOS DEL MODELO CON LOS VALORES EXPERIMENTALES:
Respuesta espectral absoluta de la célula fotovoltaica:
Se calculó la curva de respuesta espectral absoluta de la célula con la siguiente expresión:
( )
( )
( )λ
λ
λ
E
J
SR Vxn ,,
=
(3)
donde: E(λ) = curva de irradiancia incidente.
La curva resultante presenta correspondencia cualitativa con curvas experimentales encontradas en la literatura
(Treble, 1991), como se observa en la figura 3.
µm
A/W

26. Fig.3- Gráfico de Respuesta Espectral Absoluta obtenida mediante el modelo teórico.
Curvas características I-V:
La figura 4 muestra curvas I-V típicas obtenidas durante las experiencias para distintos niveles de iluminación. Para
el caso de alta irradiancia incidente los valores predichos por el modelo para Isc y Voc, se acercan a los experimentales
con error menor al 1 %. En el caso de baja irradiancia el modelo produce valores inferiores a los experimentales. Tal
desviación suponemos se debe a que la inyección de portadores minoritarios contribuye a la corriente real, situación
esta no contemplada en el modelo teórico utilizado.
En la figura 5 se presentan las curvas I-V experimental y predicha por el modelo de circuito equivalente simple
considerado. Se observa una desviación para los puntos centrales debida a que el modelo no incluye la resistencia
shunt que toma en cuenta corrientes de fuga que se producen en el sistema real.
CONCLUSIONES:
Se determinaron experimentalmente curvas I-V para una celda fotovoltaica a diferentes niveles de intensidad de
iluminación.
Estos datos fueron comparados con dos modelos que simulan el comportamiento de una celda solar.
Se comprobó que los valores de Isc y Voc predichos por el modelo teórico basado en el comportamiento físico ideal de
la unión p-n bajo iluminación, concuerdan dentro del 1% con los experimentales para irradiancias altas dando valores
inferiores a los experimentales para bajas irradiancias.
Se argumenta que esta discrepancia a bajas irradiancias se debe a las limitaciones impuestas por el propio modelo.
Se demuestra una concordancia entre las curvas características I-V experimental y simulada aplicando el circuito
eléctrico equivalente compatible con lo encontrado en la literatura.
Se logro además representar la curva de respuesta espectral absoluta para la celda en cuestión, la cual se ajusta
cualitativamente con los datos de literatura.
Se debe destacar la prestación del programa Mathematica para cálculos de tipo analíticos o numéricos como en los
casos de las corrientes del circuito equivalente de célula, y de la tensión del punto de máxima potencia de la curva I-
V, etc.
BIBLIOGRAFÍA:
Llamazares A. D.; García Raffi L. M., Sánchez Pérez E. A., Sánchez Pérez J. V.(2000).Modelización de una unión p-
n de
silicio para su uso en un panel fotovoltaico utilizando el programa Mathematica. II Jornadas Docentes del
Departamento
de Física Aplicada. Universitat Politècnica de València.
Krezinger A., (1994). Modelos Matemáticos para la simulación de Sistemas Fotovoltaicos por Ordenador I Congreso
Latinoamericano Sobre Energías Alternativas, 27-38. UTN.Córdoba.
Castañer Muñoz L., (1994). Energía Solar Fotovoltaica. Ediciones UPC. España.
Mompín Poblet J., varios, (1985). Energía Solar Fotovoltaica, Serie Mundo Electrónico. Marcombo.Barcelona-
México.
Eisberg R.; Resnick R., (1986). Física cuántica : Átomos, moléculas, sólidos, núcleos y particulas. Limusa. México.
Benet Gilabert Ginés, (1988). Contribución a la modelización de los elementos de sistemas solares fotovoltaicos con
acumulación en la zona de Valencia. Tesis Doctoral. Universitat Politècnica de València. España.
Duffie, J. A.y Beckman, W. A. (1980)-Solar Engineering of Thermal Processes.John Wiley & Sons, New York.
Treble F., (1991).Generating Electricity from the Sun.Pergamon Press, Oxford.
Hlawiczka P., (1977). Introducción a la Electrónica Cuántica. Ed.Reverté, Barcelona.
Device Physics , (1993).volumen 4 Handbooks on Semiconductor .North Holland.
0
50
100
150
200
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
mV
mA
I=414 W/m2 Curva teórica
Fig.5.- Comparación de curvas I-V experimental y predicha a
partir del modelo de circuito equivalente simple.
0
40
80
120
160
200
240
280
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
mV
mA
I=6 2 6 W / m2
I=4 1 4 W / m2
I=1 7 ,4 3 W / m2
Fig.4.- Curvas I-V de iluminación experimentales para
distintas irradiancias.

27. Cálculo del Modelo aplicando el Método de Simulación Monte Carlo:
Se puede realizar una simulación por el Método de Monte Carlo de las
funciones involucradas en los cálculos de la función de fluencia de fotones y de
la corriente generada con lo cual obtendremos un conjunto de valores de
simulación para integrarlos luego por algún método numérico, en este caso se
puede aplicar el método de la regla de Simpson de la integral. Así se obtiene la
integral de la densidad de corriente fotogenerada absoluta, la cual se puede
dividir por la integral de la fluencia de fotones o irradiancia total para obtener la
respuesta espectral absoluta de la celda fotovoltaica.
Luego con este valor se puede calcular la corriente de cortocircuito para
la celda multiplicando por el valor de irradiancia del caso y por el área de la
misma.
Fundamentos del Método de Monte Carlo:
Método de la Transformación Inversa:
Sea X una variable aleatoria con función de probabilidad cumulativa
FX(x). Por ser ésta una función monótona creciente, podemos definir la función
inversa FX
-1
(y) de la siguiente forma:
FX
-1
(y)= inf{x:FX(x)≥ y}
Sea U un número aleatorio distribuido uniformemente en [0,1). Entonces:
X=FX
-1
(U)
Es una variable aleatoria que se distribuye según FX(x). Gráficamente:
Esto se puede probar fácilmente sin más que calcular:
P(X≤x)=P(F-1
(U)≤x)=P(U≤FX(x))=FX(x)
Este método tiene el inconveniente de que debe ser posible calcular de
forma analítica dicha función inversa, pero existen varias distribuciones para las
cuales es posible como el caso de la exponencial o la de Cauchy.
Figura 1

28. Generación de números aleatorios según funciones de distrtibución
discretas:
Vamos a generar valores de una variable aleatoria respecto de una
función densidad de probabilidad constante a trozos, o sea :
Ci xi-1≤ x ≤ xi ; i=1,2,3,...n
fx(x)=
0 en otro caso
con Ci ≥ 0 ∀i y a = x0 < x1 < ...< xn-1 < xn =b. Sean:
∫
−
=
i
i
x
x
xi dxxfP
1
)( , i=1,2,....n
∑=
=
i
j
ji PF
1
donde F0= 0. Entonces:
∫∑
−
+=
−
=
x
x
i
i
j
jx
i
dxCPxF
1
.)(
1
1
donde i=max{j:xj-1≤x} . Si aplicamos ahora el método de la transformación
inversa, partiendo de :
Fx(X)=U
Donde U es una variable aleatoria distribuida uniformemente en [0,1),
obtenemos que :
i
i
i
C
FU
xX 1
1
−
−
−
+=
donde
Fi-1≤U≤Fi
Para aplicar el método desarrollaremos el siguiente algoritmo:
1. Generamos U uniformemente distribuida en [0,1) multiplicado por el max[Fi]
2. Encontrar i de ∑∑ =
−
=
≤≤
i
j
j
i
j
j PUP
1
1
1
i = 1,2,....n
3. Calcular
i
i
i
C
FU
xX 1
1
−
−
−
+= .

29. Ejemplo de Cálculo de Simulación Monte Carlo de celda fotovoltaica: