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Preguntas de Regresion Lineal
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Preguntas de Regresion Lineal

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  • 1. 1. ¿Cuál es el propósito general del análisis de regresión? En términos generales, el análisis de Regresión trata sobre el estudio de ladependencia de un fenómeno económico respecto de una o varias variables explicativas,con el objetivo de explorar o cuantificar la media o valor promedio poblacional de laprimera a partir de un conjunto de valores conocidos o fijos de la/s segunda/s. Utiliza el método de los "mínimos cuadrados" para ajustar una línea a una serie deobservaciones. Puede utilizar esta herramienta para analizar la forma en que los valoresde una o más variables independientes afectan a una variable dependiente; por ejemplo,en el rendimiento de un atleta inciden varios factores: la edad, la estatura y el peso entreotros. Basándose en un conjunto de datos de rendimiento, la regresión determinará laincidencia de cada uno de los factores en la medición del rendimiento y podrán utilizarseestos resultados para predecir el rendimiento de un atleta nuevo no sometido a ningunaprueba. 2. En el análisis de regresión intervienen dos tipos de variables: las independientes y las dependientes. Explique con sus palabras y a través de ejemplos, las características de estos dos tipos de variables.En un Análisis de Regresión simple existe una variable respuesta o dependiente (y) quepuede ser el número de especies, la abundancia o la presencia-ausencia de una solaespecie y una variable explicativa o independiente (x).La variable independiente aquella que produce modificaciones en otra variable con lacual está relacionada. Suele designársele, por ello, como variable causal.La variable dependiente, por su lado, experimenta modificaciones siempre que la variableindependiente cambia de valor o modalidad de darse. Por ello, también recibe el nombrede variable efecto.Es importante señalar que una variable independiente en una cierta relación puede serdependiente en otra, o viceversa.De manera general, pero simplificada, podemos decir que entre una variableindependiente y su correspondiente variable dependiente se puede dar una variableinterviniente, que actúa como puente entre las dos primeras.
  • 2. 4.- Considere el modelo de regresión lineal simple y i=β0 + β1xi + εi, conteste: a) Formule las hipótesis que se hacen sobre los parámetros del modelo y explique la consecuencia de aceptar o rechazar cada una de éstas.  Prueba de hipótesis para el parámetro β0 (que indica la intersección con el eje y).H0: β0 = 0HA: β0 ≠ 0Al aceptar la H0: β0 = 0, nos indica que nuestra ecuación nos quedaría de la siguientemanera: yi= β1xi y por lo tanto, al graficar nuestra recta de regresión ésta pasa por elorigen formando respecto al eje de las abscisas, un ángulo de 45°.Con este resultado, no podemos considerar que nuestro modelo de regresión seaconfiable para predecir resultados debido a que no nos está mostrando una relación designificancia entre nuestros parámetros.  Prueba de hipótesis para el parámetro β1 (que indica la pendiente de la recta, es decir, el incremento o decremento de la variable y por cada incremento de x).H0: β1 = 0HA: β1 ≠ 0Al aceptar nuestra H0: β1 = 0, estamos considerando un valor nulo para nuestra pendiente,y la ecuación de regresión toma la siguiente forma: yi= β0 + (0) xi es decir, el últimotérmino queda eliminado y por lo tanto, a la hora de graficarlo nos queda de la siguientemanera:
  • 3. El resultado de la variable dependiente toma el valor constante de nuestro parámetro β0 ylo que nos queda no es una recta de regresión lineal, ya que como en el caso anterior, nonos plantea una relación para poder predecir con cierta confianza valores para nuestravariable dependiente y. b) Anote en forma detallada el estadístico de prueba, t0, para cada una de las hipótesis y dé una explicación de por qué sirven para probar las hipótesis. Es decir, determine cuándo estos estadísticos tienen valores pequeños o grandes, y la decisión que se tomaría con respecto a su hipótesis correspondiente.Un estadístico de prueba es aquel calculado de una sola muestra aleatoria simple tomadade la población de interés, en una prueba de hipótesis para establecer la verdad ofalsedad de la hipótesis nula.Para el parámetro β1 tenemos que: ̂ √Para obtener la fórmula de éste estadístico, se hace un análisis respecto a la media yvarianza del parámetro β1 y se considera que tienen una distribución normal. Para calcularla desviación estándar del estimador se hace una estimación dada por: ̂ √ ⁄Y recibe el nombre de error estándar de β1. Nótese que esta igualdad se toma en cuentapara el cálculo del estadístico.
  • 4. La distribución t-student se utiliza para muestras de n≤30. También es importantemencionar que como nuestra HA contiene desviaciones desde la hipótesis nula encualquier dirección (por lo de β1≠0) se denomina hipótesis de dos colas, y he aquí dondese aplica la distribución t-student. Para el parámetro β0 tenemos que: ̂ ̅ √ [ ]Como en el caso anterior, para formular el estadístico de prueba se tomó en cuenta que elparámetro de β0 sigue una distribución normal considerando su media y varianza.Entonces una estimación de esta última es: ̅ ̅ ̂( ̂ ) ̂ [ ] [ ]De igual manera notamos que esto se toma en cuenta en la estructura del estadístico deprueba.En ambos casos para saber si aceptamos o rechazamos nuestra H0, representamosnuestro criterio de rechazo de la siguiente manera: | |Si el valor de nuestro estadístico de prueba es grande o pequeño, podemos decir que esrespecto a los datos que se estén manejando para el análisis del problema, obviamentepara saber si se rechaza nuestra H0, el valor del estadístico debe satisfacer la expresiónanterior, por lo tanto estaremos aceptando la HA, esto quiere decir que el valor delestadístico si es mayor que el área de rechazo (expresada con el valor que se obtiene delas tabla de distribución t-student, con cierto nivel de significancia), entonces se encuentraen el área de aceptación y como todo esto está en función de la H0 podemos sacarconclusiones respecto de lo que estamos afirmando.
  • 5. c) Con respecto al análisis de varianza para el modelo, escriba y explique la hipótesis correspondiente. Además, anote con detalle el estadístico de prueba, F0, y dé una justificación de por qué tal estadístico sirve para probar tal hipótesis.En este caso, se plantea un análisis enfocado hacia la variabilidad total observada en lavariable de respuesta (Syy), la variabilidad explicada por la recta de regresión (SCR)y lavariabilidad no explicada por la recta de regresión (SCE), obteniendo consecuentemente elCuadrado Medio del Error, considerando los grados de libertad. Todo esto se utiliza paragenerar otra forma de probar la hipótesis sobre la significancia de la regresión.Para el análisis de varianza, sólo utilizamos la prueba de hipótesis para el estimador β1,como ya sabemos, la pendiente.H0: β1 = 0HA: β1 ≠ 0El estadístico de prueba respecto la hipótesis nula es:F0 = =En realidad, esta forma de probar la significancia de la regresión, es equivalente a la quese estableció a través del estadístico t0, ya que al elevar éste al cuadrado obtenemos:t 02 = = = = F0La distribución Fisher, se utiliza para probar si dos muestras provienen de poblaciones queposeen varianzas iguales. Esta prueba es útil para determinar si una población normaltiene una mayor variación que la otra. Y como al principio se menciona que los datos delproblema están sometidos a un análisis de varianza, es por eso que debemos utilizar esteestadístico de prueba.
  • 6. 5.-Con respecto a los intervalos de confianza para la recta y los intervalos de predicción,señale ¿Cómo se obtienen y para que se aplica cada uno de ellos?Intervalo de confianza de la recta ̅ ̅ - √ | - √Un intervalo de confianza está definido por dos valores entre los cuales se encuentra elvalor del parámetro con un determinado nivel de confianza que se denota (1 – ) y que seaplica para mostrar los valores entre los cuales se puede encontrar nuestro estimadorpuntual, para dar una idea de la confiabilidad de nuestro estimador.Los intervalos de predicción ̅ ̅ - √ | - √Se utilizan para predecir o pronosticar nuevas o futuras observaciones de Y. Para predecirpor intervalos la nueva observación es independiente de las observaciones utilizadas paraajustar el modelo de regresión lineal por tal motivo el intervalo anterior no es adecuado.Este intervalo depende tanto del error del modelo como del error asociada laspredicciones futuras.Entre más alejado del valor medio es xi, mayores son los intervalos de confianza y depredicción.Los intervalos tienen la propiedad de ser de diferente ancho, según el valor de X, siendomás angostos cuando X es igual al promedio, ensanchándose a medida que nos alejamosdel promedio. Cuando se sale del rango de los datos, se ensanchan más fuertemente. Estosignifica que mientras más nos alejamos del centro de los valores de la variable X, másimprecisas serán nuestras estimaciones del valor de la variable Y, lo que parece razonable.15. ¿por qué se requiere la regresión lineal múltiple? Porque en muchas situaciones practicas existen varias variables independientes que secree que influyen o están relacionadas con una variable de respuesta Y, y por lo tanto seránecesario tomar en cuenta si se quiere predecir o entender mejor el comportamiento deY.
  • 7. 17 – Considere un modelo de regresión lineal múltiple con cuatro variables: yi =  0+  1 x1i +  2 x2i + ……..+ 4 x4 +  i ; i = 1,2,…,n, y suponga que para estimar losparámetros se utilizaron un total de 12 observaciones, es decir, n = 12. Contestelas siguientes preguntas: a) Explique en forma esquemática el procedimiento matemático para estimar los parámetros que minimizan los errores por mínimos cuadrados.Generalmente, para el caso de k variables independientes X1, X2,....,Xk, la media de Y| X1, X2,....,XKestá dada por el modelo de regresión lineal múltiple  Y|x1, x2 ,………, xk =  0 +  1 x1 +……..+  k xky la respuesta estimada se obtiene de la ecuación de regresión de la muestradonde cada coeficiente de regresión  i se estima por bi de los datos de la muestra con el uso delmétodo de mínimos cuadrados. Con 4 variables (x1, x2, x3, x4) y 12 observaciones (n=12) Elprocedimiento matemático es mediante el ajuste del modelo de regresión lineal múltiple:  Y|x1 , x2, x3 , x4 =  0 +  1x1+  2x2+  3x3 +  4x4a los puntos de datos i= 1,2,....,12 y 12 >4 },. Al utilizar el concepto de mínimos cuadrados para llegar a las estimaciones 0, 1, 2,  3,  4,minimizamos la expresión:Al diferenciar SSE a su vez con respecto a 0, 1, 2,  3,  4, e igualar a cero:Sustituyendo n con 12 y k con 4, estas ecuaciones se pueden resolver para a 0, 1, 2,  3,  4mediante cualquier método apropiado para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
  • 8. b) Denote el modelo en forma matricial: y=X + exprese con precisión todas las matrices involucradas en el modelo.De manera resumida: Y= X= =  [ ] [ ] [ ] [ ]La matriz de datos Y es el conjunto de todas las observaciones en cuanto a la variable dependientese observaron en el experimento, de aquí que va de y1 hasta y12 con respecto a la totalidad deobservaciones n = 12.La matriz de datos X representa en realidad los valores de las variables independientes ya sean encuadrados, cubos, productos cruzados u otras funciones de las variables de predicción. Se observaque la primera columna de la matriz X es una columna de unos, por tanto, estamos insertando unvalor de x, específicamente x0, como coeficiente de b0. Donde x0 siempre es igual a 1.La siguiente matriz representa los estimadores del modelo, para cada parámetro de la matriz hayuna columna en la matriz X.La última matriz representa el error aleatorio inherente a todo modelo de regresión. c) Proporcione la expresión matricial para los estimadores de mínimos cuadrados.Entonces la solución de mínimos cuadrados para la estimación de 0, 1, 2,  3,  4 , implicaencontrar b para la que SSE = (y - Xb)(y - Xb)se minimiza. Este proceso de minimización implica resolver para b en la ecuaciónEl resultado se reduce a la solución de b en(XX) = XYPodemos escribir la solución para el coeficiente de regresión como  =(X’X)-1 X’YDe esta forma se puede obtener la ecuación de predicción o la ecuación de regresión al resolverun conjunto de k + 1 ecuaciones con un número igual de incógnitas. Esto implica la inversión de lamatriz XX de k + 1 por k + 1.
  • 9. d) Especifique la hipótesis de significancia del modelo y lo que significa aceptar o rechazar esta hipótesis.La hipótesis más importante sobre un modelo de regresión múltiple consiste en ver si laregresión es significativa:H0 : 1 2  3  4 = 0HA : j ≠ 0 Para al menos un j = 1, 2, 3, 4  Aceptar H0 indica que ningún término en el modelo tiene una contribución significativa al explicar la variable de respuesta, Y.  Rechazar H0 implica que por lo menos un término en el modelo contribuye de manera significativa a explicar Y. e) De la expresión del estadístico de prueba, F0, para la hipótesis anterior, así como una explicación racional de por qué funciona como estadístico de prueba, es decir, vea cuando este estadístico tiene valores grandes o pequeños, y lo que eso significa en términos de calidad de ajuste. F0 = CMR/CME La hipótesis nula anterior se rechaza si: F0 > F (α, 4, 7)Dado que un estadístico es una medida cuantitativa, derivada de un conjunto de datos deuna muestra, con el objetivo de estimar o contrastar características de unapoblación o modelo estadístico, en este caso nos permite aceptar o rechazar la hipótesis, cuandoel valor de F0 es mayor que el valor F(α, 4, 7) implica que debemos descartar la hipótesis nula y aceptar laalternativa que nos habla de una significación del modelo, además si F0 es notablemente grande refiere auna mayor significancia dado que se aleja del criterio de rechazo establecido. f) Formule las hipótesis sobre los parámetros individuales del modelo y comente que significa aceptar o rechazar cada una de estas.H0 : j = 0HA : j ≠ 0 j = 1, 2, 3, 4Aceptar la hipótesis nula, para cualquier estimador, indica que el mismo no contribuyeesencialmente a predecir Y en general, en caso contrario, rechazar hipótesis nula y porconsiguiente aceptar la hipótesis alternativa, indica que el parámetro Bj es significativo.
  • 10. g) Proporcione la expresión para el estadístico de prueba para el caso anterior y comente por que estos estadísticos funcionan como criterio de aceptación o rechazo. t0 = La hipótesis nula anterior se rechaza si: t0 > t (α/2, 7 )La prueba t de Student como todos los estadísticos de contraste se basa en el cálculo deestadísticos descriptivos previos: el número de observaciones, la media y la desviación típica encada grupo. A través de estos estadísticos previos se calcula el estadístico de contrasteexperimental. Por lo tanto el criterio de rechazo anterior funciona perfectamente con cadaestimador j h) ¿Cuáles son los riesgos de hacer predicciones fuera de la región de los datos originales?Fuera de la región, los aspectos físicos o sociales que están atrás de todo modelo de regresiónpueden empezar a actuar de otra forma, muy fuera de la región de los datos originales empiezan aactuar otros fenómenos no considerados en el modelo original. Este riesgo es más grande en elanálisis de regresión múltiple, ya que se trabaja con regiones multidimensionales.

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