1. Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales.
(Eliminación de Gauss y Gauss-Jordán).
Un conjunto finito de ecuaciones lineales de las variables X1, X2,. . . . . . . . . Xn, recibe el
nombre de sistema de ecuaciones lineales.
Por ejemplo un, sistema general de tres ecuaciones lineales en cuatro incógnitas se
escribe así:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = b3
Un sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas se puede abreviar escribiendo
únicamente el arreglo rectangular de números:
a11 a12………… a1n b1
a21 a22………… a2n b2
. . . .
. . . . .
am1 am2………… amn bm
Esto se conoce como matriz aumentada del sistema. (El término matriz se emplea en
matemáticas para denotar un arreglo rectangular de números. Las matrices aparecen en
varios contextos).
Como ejemplo la matriz aumentada del siguiente sistema de ecuaciones es:
El método básico para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en
reemplazar el sistema dado por un nuevo sistema que tenga el mismo conjunto solución,
pero que sea más fácil de resolver. Por lo general, este nuevo sistema se obtiene en una
serie de etapas, aplicando los siguientes tres tipos de operaciones.
1. Multiplicar una ecuación (o renglón) por una constante diferente de cero.
2. Intercambiar dos ecuaciones (renglones).
3. Sumar un múltiplo de una ecuación (renglón) a otra.
Dado que los renglones (líneas horizontales) de una matriz aumentada corresponden a
las ecuaciones del sistema asociado, estas tres operaciones equivalen a las operaciones
con renglones de la matriz aumentada.
A continuación se da un ejemplo que ilustra la forma en que estas operaciones se
pueden emplear para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

3. Método de eliminación de Gauss
El método se basa en la idea de reducir la matriz aumentada a una forma que sea lo
suficientemente sencilla como para poder resolver el sistema de ecuaciones a simple vista.
En la última etapa del ejemplo anterior se obtuvo la matriz aumentada.
Después de la cual, fue fácil obtener la solución x = 1, y = 2, z = 3 para el sistema
original de ecuaciones. Sin embargo, es posible hacer la solución más evidente, a partir de la
matriz aumentada, aplicando unas cuantas operaciones adicionales en los renglones. Por
ejemplo, en la matriz anterior,
Multiplique el primer renglón por -1 y sume al segundo renglón para obtener.
Ahora, multiplique el tercer renglón por – (11/2) y sume al primer renglón y el segundo
multiplique por 7/2 y sume el tercero. Esto da
El sistema de ecuaciones correspondientes es X1 =1
X2 =2
X3 =3
Por tanto, la solución X1 = 1, X2 = 2, X3 = 3 se hace obvia examinando la raíz aumentada.
La matriz anterior es un ejemplo de una matriz que tiene la forma escalonada reducida. Para
tener esta forma, una matriz debe tener las siguientes propiedades.
1. Si un renglón no consta exclusivamente de ceros, entonces el primer elemento diferente
de cero en el renglón es 1.
2. Si hay renglones exclusivamente de ceros, entonces están agrupados en la parte inferior
de la matriz.
3. Si los renglones j y j + 1 son dos renglones sucesivos cualesquiera que no constan
exclusivamente de ceros, entonces, el primer numero diferente de cero en el renglón j + 1
aparece a la derecha del primer número diferente de cero en el renglón j.
4. Todas las columnas que contienen el primer elemento diferente de cero de algún renglón
tienen ceros en todas las posiciones restantes.

4. Método de eliminación de Gauss-Jordán
El estudiante acaba de ver con que facilidad se resuelve un sistema de ecuaciones lineales
una vez que su matriz aumentada tiene la forma escalonada reducida. Ahora se dará un
procedimiento esquemático, conocido como eliminación de Gauss-Jordán, que puede ser
empleado para llevar cualquier matriz a la forma escalonada reducida, A medida que se
enuncia cada etapa, se ilustrara el procedimiento llevando la siguiente matriz a la forma
escalonada reducida.
Etapa 1. Localizar en el extremo izquierdo la columna (línea vertical) que no consta
exclusivamente de ceros.
Columna en el extremo izquierdo que no cumpla
exclusivamente de ceros
Etapa 2. Si es necesario, intercambiar el renglón superior con otro renglón, de tal manera
que el elemento que esta al comienzo de la columna señalada en la etapa 1 sea diferente
de cero.
Se intercambiaron los dos primeros
renglones de la matriz anterior.
Etapa 3. Si el elemento que ahora esta al comienzo de la columna que se encontró en la
etapa 1 es a, entonces, multiplicar el primer renglón por 1/a, de tal manera que el primer
elemento sea 1.
El primer renglón de la matriz
anterior se multiplica por 1/2.
Etapa 4. Sumar múltiplos adecuados del primer renglón a los renglones que le siguen, de
tal forma que en la columna localizada en la etapa 1, todos los elementos después del
primero sean ceros.
El primer renglón de la matriz
anterior se multiplica por -2 y el
resultado se sumo al tercer renglón.

5. Etapa 5. Cubrir el primer renglón de la matriz y comenzar de nuevo con la etapa 1 aplicada
a la submatriz resultante. Proseguir de esta manera hasta que la matriz completa este en
forma escalonada.
Columna en el extremo izquierdo de la submatriz
que no consta exclusivamente de ceros.
Se multiplico por -1/2 el primer
renglón de la submatriz.
El primer renglón de la submatriz se
multiplico por -5 y el resultado se sumo
al segundo renglón de la submatriz
Se cubrió el primer renglón de la
submatriz y se regreso a la etapa 1
Columna en el extremo izquierdo de la nueva
submatriz que no consta exclusivamente de ceros.
El primer (y único) renglón de la nueva
submatriz se multiplico por 2.
La matriz completa ya esta en forma escalonada.
Etapa 6. Comenzando por el último renglón, y avanzando hacia arriba, sumar múltiplos
adecuados de cada renglón a los renglones que estén encima de él, de tal manera que
satisfaga el cuarto requisito de la definición de matriz en forma escalonada reducida.
Al segundo renglón de la matriz
anterior se le sumo el tercero
multiplicado por 7/2.

6. Al primer renglón se le sumo el tercero
multiplicado por -6
Al primer renglón se le sumo el
segundo multiplicado por 5.
La última matriz tiene la forma escalonada reducida.
El sistema de ecuaciones correspondientes es
X1 +2X2 +3X4 =7
X3 =1
X5 = 2
Despejando las variables principales se obtiene
X1 = 7 -2x2 -3x4
X3 = 1
X5 = 2
Puesto que a X2, y X4, se les asigna valores arbitrarios r, s y t, respectivamente, el conjunto
solución queda definido por las formulas.
X1 = -3r -4s -2t, X2 = r, X3 = -2s, X4 = s, X5 = t X6= 1/3

7. 2.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales.
(Eliminación de Gauss y Gauss-Jordán).
Ejercicios para resolver
1.- ECUACIÓN LINEAL
1-
.-
2. ELIMINACIÓN DE GAUSS
2-
.-
3-
-
3.- ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN
4- 2x1 +X2 +X3 = 8
- 3x1 -2x2 -3x3 = 1
4x1 -7x2 +3x3 = 10
5- X1 +X2 +X3 = 0
- -2x1 +5x2 +2x3 = 0
-7x1 +7x2 +x3 = 0