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Power Point-Oscilaciones
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Power Point-Oscilaciones

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  • 1. OSCILACIONES
  • 2. El movimiento oscilatorio es un movimientoperiódico en torno a un punto de equilibrioestable. Los puntos de equilibrio mecánicoson, en general, aquellos en los cuales lafuerza neta que hace trabajo sobre la partículaes cero. Si el equilibrio es estable, undesplazamiento de la partícula con respecto ala posición de equilibrio (elongación) da lugara la aparición de una fuerza restauradora quedevolverá la partícula hacia el punto deequilibrio.En términos de la energía potencial, los puntosde equilibrio estable se corresponden con losmínimos de la misma.
  • 3. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLEEs el movimiento oscilatorio más sencillo y a la vez elmás fundamental. Se caracteriza matemáticamenteporque la elongación o posición del oscilador respecto ala posición de equilibrio se expresa por la función seno ocoseno así: x ( t )  A cos(  t   ) x  elongación A  amplitud de oscilación o máxima elongación   frecuencia angular
  • 4.   fase inicialfase del movimiento  t   2Período del movimiento :P   1Frecuencia del movimiento :  PRe lación entre la frecuencia angular y la frecuenciadel movimiento :   2 
  • 5. Y V  A A t t=0  X x
  • 6. dxv    A  sen ( t   ) dtdonde A   v máx máximo valor de la velocidada    A cos(  t   )    x 2 2donde  A  a máx 2 máximo valor de la aceleració n
  • 7. DIAGRAMA DE FASORES PARA EL DESPLAZAMIENTO,VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL MAS y A  2 A  t   x  A 2
  • 8. EJEMPLO 1:¿Qué fase α,es necesaria para que sen(θ+α)=cosθ?EJEMPLO 2:Una pelota se deja caer desde una altura de 4.00m hace una colisiónelástica con el suelo. Si se supone que no se pierde energía mecánica debido a laresistencia del aire,a) Demuestre que el movimiento resultante es periódico y b)determine el período del movimiento c)es oscilatorio este movimiento ? d)es M.A.S. este movimiento?ELEMPLO 3:En un motor ,un émbolo oscila con movimiento armónico simple de modo que su posición varía según la expresión.x(t)=(5.00cm)cos(2t+π/6) donde x se da en centímetros y t en segundos. En t=0,encuentre:a)La posición del émbolo , b)su velocidad c)su aceleración y d)el período y amplitud del movimiento.
  • 9. EJERCICIOS1.Un movimiento armónico simple en dirección x tiene las siguientes propiedades:amplitud máxima =0.5m,tiempo entre los valores máximo y mínimo de x es 2s yx=0.2m cuando t=0.5s.Calcule el período ,la frecuencia angular , y la ecuacióngeneral del movimiento2.Una partícula unida a un resorte tiene una velocidad de v=0.4sen(ωt+π)m/s, donde ω=2.00rad/s. Grafique x, v y a , como función del tiempo , para tresperíodos de movimiento.3.Un oscilador armónico trabaja a una frecuencia de 58.966Hz.¿cual es la amplitud 2para la cual la aceleración máxima es 103.57 m / s ?4.El movimiento de una masa se puede describir mediante la funciónx(t)=Asen(ωt+α), donde ω=2.0rad/s, y α=0.40rad.Exprese el movimiento como unafunción coseno.5.Un resorte tiene una constante k=0.5N/m, y una masa de 0.2kg en su extremo.Esta masa tiene una rapidez máxima de 2.0m/s.a)¿Cuál es la frecuencia angular y elperíodo del sistema ? b)¿Cuál es la amplitud del movimiento?6.Una partícula tiene movimiento armónico simple, y viaja una distancia total de6.98cm durante un ciclo de 1.71s. a) ¿Cuál es la rapidez media de la partícula?b) ¿Cuáles son su rapidez y aceleración máximas?
  • 10. FUERZA Y ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLELa segunda ley dice : F  ma , pero a    x 2 F  m (   x )   m  x   kx ; 2 2 k  m 2 k   m A la cons tan te k se le puede decir cons tan te elástica
  • 11. m 1 k P  2 ,  k 2 mConsideremos el caso de un oscilador masa-resorte dispuesto horizontalmente 1 1 Ek  mv  m (  A  sen ( t   )) 2 2 2 2 1 Ek  m  A sen ( t   ) 2 2 2 2 1 Ek  m  A (1  cos ( t   )) 2 2 2 2
  • 12. 1 Ek  m ( A  x ) 2 2 2 2 1 Ep  2La energía potencial asociada con la fuerza anterior es kxdonde k es la constante de fuerza del resorte. 2La energía mecánica total del oscilador armónico está dada por : E  E k  E p 1E  2 kA 2Ejemplo : Una masa de 50g conectada a un resorte de 35N/m de constante de fuerzaoscila sobre una superficie horizontal y sin fricción con una amplitud de 4cm.Encuentre:a) La energía total del sistema.b) La velocidad de la masa cuando el desplazamiento es 1.0cm.Cuando el desplazamiento es 3cm encuentre:c) La energía cinéticad) La energía potencial
  • 13. Una masa de 1.2kg, fija a un resorte , tiene movimiento armónico simple , a lo largo del eje x ysu período es P=2.5s.Si la energía total del resorte y masa es 2.7J, ¿Cuál es la amplitud de laoscilación?Considere un M.A.S.de una masa en el extremo de un resorte x ( t )  ( 0 . 5 m ) cos(  t   )Cuando t=0,la posición es -0.25m y la velocidad es 1m/s en dirección-X. La energía totaldel movimiento es 5J.Determinar:a) La constante αb) La frecuencia angular ω,la constante k y la masa m.c) La expresión completa para la posición x(t)d) Las expresiones completas para la velocidad v(t) y a(t)e) En qué posiciones son iguales la energía cinética y la energía potencial.
  • 14. En el caso del sistema masa-resorte la segunda ley deNewton se escribe como ecuación diferencial así: F   kx o equivalent emente F  kx  0 2 d x m 2  kx  0 dt 2 d x k 2  x0 dt m 2 d x  x  0 2 2 dt La solución es x ( t )  A cos(  t   ). Todo movimiento oscilatori o que cumpla la E . D . es armónico simple .
  • 15. Péndulo simple
  • 16. Dos resortes de constantes de fuerza k 1 y k 2 se unen por uno de sus extremos .Elsistema así formado se une por uno de sus extremos a una pared y el otro extremo a unamasa m. Si la masa se separa una cierta cantidad de la posición de equilibrio y lasuperficie de soporte no presenta fricción , demostrar que el movimiento es armónicosimple. Encontrar la frecuencia angular de oscilaciónUna masa conocida m oscila libremente en un resorte vertical con un periodo P .Una masa desconocida m  en el mismo resorte oscila con un período P  .Determine.a) La masa desconocida m b) La constante de fuerza del resorte
  • 17. El péndulo físico
  • 18. I  ML / 3 2 I CM  ML / 12 2Para un sistema de partículas , su momento de inercia respecto a un eje es: m 2 I  i di m1 d1 m2 d2 d4 m4 d3 m3
  • 19. Un péndulo simple tiene una longitud de 3.0m.Determine el cambio en superíodo si este se toma desde un punto donde g= 9 . 8 m / s 2 hasta unaelevación donde la aceleración en caída libre disminuye a 9 .79 m / s 2La posición angular de un péndulo simple es:   0 .320 rad cos( 4 .43 t )donde  viene expresado en radianes . Determinar el período y la longituddel péndulo .Un péndulo físico está animado de movimiento armónico simple con unafrecuencia de 0.450hz.Si el péndulo tiene una masa de 2.20kg y el pivoteestá situado a 0.350m del centro de masas ,determinar el momento deinercia del péndulo alrededor del punto de pivote.Una barra uniforme de masa M y largo L oscila en un plano verticalalrededor de uno de sus extremos . Encuentre el período de oscilación si laamplitud del movimiento es pequeña.
  • 20. SUPERPOSICIÓN DE DOS M.A.S
  • 21. x1  A1 cos(  t   1 )x 2  A 2 cos(  t   2 )ahora sup erponemos los dos movimiento s:x  x1  x 2se puede demostrar quex  A cos(  t   )tenemos que det er min ar A y 
  • 22. Ejemplo : Encontrar la ecuación resultante de la superposición de dos movimientosarmónicos simples paralelos cuyas ecuaciones son: x1  2 cos(  t   / 3 ) x 2  3 cos(  t   / 2 )Tarea: Encontrar la ecuación de movimiento resultante de la superposición de de dosmovimientos armónicos simples paralelos cuyas ecuaciones son: x1  6 cos(  t ) x 2  8 cos(  t   / 3 )Hacer el gráfico de cada movimiento y del movimiento resultante.
  • 23. OSCILACIONES AMORTIGUADASEcuacion diferencia l del oscilador amortiguad o 2d x dx  2  x  0 2 2dt dtDependiend o de la relación entre  y se tienen las siguientes soluciones :Si    movimiento 2 2 subamortig uado
  • 24. La solución es: x ( t )  Ae  t cos(   2 2 t )
  • 25. Si    movimiento 2 2 sobreamort iguado   t   t 2 2 2 2   tx ( t )  ( Ae  Be )eSi    movimiento 2 2 críticamen te amortiguad o  tx ( t )  ( A  Bt ) eLas cons tan tes A , B y  se hallanmediante condicione s iniciales
  • 26. Determinar la amplitud y la fase inicial de un oscilador levemente amortigudo , silas condiciones iniciales son: x (0)  x0 y v (0)  v0 resolver si v 0  0
  • 27. OSCILACIONES FORZADAS F  ma ; 2 dx d xF 0 sen  t  b  kx  m 2 dt dt 2d x dx F0  2  0 x  sen  t 2 2dt dt m b kdonde   y 0 2  2m m
  • 28. La solución de interés es: x ( t )  A cos(  t   ) F0 / m A (   0 )  4   2 2 2 2 2
  • 29. El oscilador forzado vibra a la frecuencia de la fuerza de excitación manteniendo suamplitud constante. El valor máximo en la amplitud se logra para una frecuencia dadapor A   0  2 2 2 Hay resonancia en la amplitud cuando    A La amplitud en la velocidad está dada por :  F0 / m v0 A  (   0 )  4   2 2 2 2 2 El valor máximo en la amplitud de la velocidad se log ra cuando    0 A esta frecuencia la velocidad y la energía cinética de las oscilacion es son máximas y se dice que hay resonancia en energía .
  • 30. Es decir la resonancia en la energía ocurre cuando la frecuencia de la fuerza es iguala la frecuencia natural del oscilador sin amortiguamiento y en este caso la velocidadse encuentra en fase con la fuerza aplicada . Bajo estas condiciones, la potenciatransmitida por la fuerza al oscilador siempre es positiva y así el oscilador gana energíaen vez de perder.Cuando hay resonancia en la energía la transferencia de energía de la fuerza al osciladorestá al máximoCONSULTAR EJEMPLOS DE RESONANCIA EN LA ENERGÍA 1 2 P 3